PARADOXES AND WRONG PROOFS 蔡 宗 龍 數 學 系 國 立 彰 化 師 範 大 學 13/Apr/2014 OUTLINE: I. 邏 輯 悖 論 II. 機 率 悖 論 III. 無 窮 悖 論 IV. 幾 何 悖 論 高 中 學 生 數 學 研 究 人 才 培 育 計 畫 http://en.wikipedia.org/wiki/file:drawinghands.jpg 2 I. 邏 輯 悖 論 I-1. 最 簡 單 的 邏 輯 悖 論 是 否 非 真 即 假 非 假 即 真? 是 否 所 有 的 話 都 可 以 判 斷 真 假? 又 真 又 假 的 敘 述 就 稱 為 矛 盾 有 些 敘 述, 不 管 如 何 判 定 對 錯, 都 會 得 到 矛 盾, 我 們 就 稱 為 邏 輯 悖 論 (paradox) 2011/12/11 這 句 話 是 錯 的 請 勿 張 貼 廣 告 傳 單 3 4
I-2. 猜 題 悖 論 I-3. 理 髮 師 悖 論 如 果 隨 機 的 選 擇 這 個 問 題 的 以 下 四 個 選 項, 你 猜 對 的 機 率 會 是 多 少? 有 個 理 髮 師 說 : 城 裡 所 有 不 自 己 理 髮 的 人 都 由 我 幫 他 理 髮, 而 且 我 只 幫 這 些 人 理 髮 (A) 25% (B) 50% (C) 60% (D) 25% 問 題 : 理 髮 師 的 頭 髮 給 誰 理 呢? http://shilohruthie.wordpress.com/c ategory/charmed-ones/ 5 6 RUSSELL S PARADOX I-4. 意 想 不 到 的 考 試 有 個 老 師 宣 布 下 一 週 的 某 天 要 舉 行 一 次 意 想 不 到 的 考 試, 他 保 證 沒 有 學 生 能 在 考 試 之 前 推 測 出 考 試 的 日 期 有 個 學 生 證 明 考 試 不 會 在 下 週 的 任 一 天 舉 行 他 的 證 明 有 錯 嗎? Bertrand Russell (1872-1970) Photo from Wiki 7 http://www.mylot.com/w/image/1579387.aspx 8
I-5. 邏 輯 悖 論 II. 機 率 悖 論 找 出 三 個 錯 誤 的 式 子 : 機 率 問 題 中, 常 常 出 現 超 乎 直 覺 的 結 果 1. 2+2=4 每 件 隨 機 的 事 件 一 定 都 可 以 算 出 機 率 嗎? 2. 3*6=17 3. 8/4=2 4. 13-6=5 5. 5+4=9 http://en.wikipedia.org/wiki/file:standard_deviation_diagram.svg 9 10 II-1. 四 個 小 孩 II-2. 第 二 張 A 假 設 生 男 生 女 的 機 率 均 等 那 一 家 四 個 小 孩 的 性 別, 是 4 個 同 性 3 同 1 異 兩 同 兩 同, 哪 一 個 發 生 的 機 率 比 較 高 呢? 要 是 有 20 個 小 孩 呢? 隨 機 的 拿 到 13 張 牌, 假 設 你 發 現 自 己 有 一 張 A, 則 你 擁 有 第 二 張 A 的 機 率 是 多 少?(5359/14498=0.369 ) 隨 機 的 拿 到 13 張 牌, 假 設 你 發 現 自 己 有 一 張 黑 桃 A, 則 你 擁 有 第 二 張 A 的 機 率 是 多 少?(11686/20825=0.561 ) http://www.photographystudiosix.com/blog/2010/08/25/four-babies-personal-project/ 11 http://pichianghsu.blogspot.com/2010/07/blog-post.html 12
II-3. 錢 包 遊 戲 兩 個 人 各 自 拿 出 自 己 的 錢 包, 他 們 要 比 賽 誰 的 錢 包 裡 面 的 錢 比 較 少, 比 較 少 的 可 以 贏 得 另 一 個 人 錢 包 裡 的 所 有 錢 這 個 遊 戲 公 平 嗎? II-4. MONTY HALL PARADOX 美 國 有 個 電 視 節 目 的 最 終 參 賽 者, 有 機 會 獲 得 一 台 汽 車 節 目 給 三 個 門, 其 中 兩 個 門 後 各 有 一 隻 羊, 剩 下 的 門 後 則 是 參 賽 者 可 以 開 回 家 的 汽 車 參 賽 者 先 選 定 一 扇 門, 接 著 主 持 人 會 打 開 剩 下 兩 扇 門 中, 後 面 有 一 隻 羊 的 門, 讓 參 賽 者 決 定 要 不 要 換 掉 他 一 開 始 選 擇 的 門 參 賽 者 應 該 換 嗎? 13 14 MONTY HALL PARADOX II-5. MONKEY S CHOICE OF M&M 從 三 種 猴 子 最 喜 歡 的 M&M 巧 克 力 中 挑 兩 個 出 來 給 它 選, 選 出 較 不 喜 歡 的, 再 跟 剩 下 的 顏 色 比 結 果 發 現 第 一 次 選 出 較 不 喜 歡 的 顏 色, 在 第 二 輪 的 選 擇 中, 有 2/3 的 機 率 還 是 會 被 選 為 較 不 喜 歡 因 此 心 理 學 家 就 下 了 一 個 結 論 : 一 旦 我 們 不 喜 歡 一 樣 東 西, 很 容 易 就 會 一 直 保 持 不 喜 歡 這 個 結 論 有 問 題 嗎? http://mathforum.org/mathimages/index.php/the_monty_hall_probl em 15 16
MONKEY S CHOICE OF M&M II-6. BERTRAND S BOX PARADOX 有 三 個 箱 子, 一 個 裝 著 兩 枚 金 幣, 一 個 裝 著 兩 枚 銀 幣, 另 一 個 有 金 銀 幣 各 一 枚 隨 機 選 取 一 個 箱 子, 並 從 裡 面 拿 出 一 枚 硬 幣, 假 設 是 金 幣, 則 同 一 個 箱 子 裡 的 另 一 個 硬 幣 是 金 幣 的 機 率 是 1/2( 因 為 可 能 是 金 也 可 能 是 銀 ) 這 樣 對 嗎? http://mathforum.org/mathimages/index.php/the_monty_hall_problem 17 18 II-7. BERTRAND S PARADOX 給 定 一 圓 及 其 內 接 正 三 角 形, 隨 機 畫 出 一 條 弦, 則 這 條 弦 的 長 度 比 內 接 正 三 角 形 邊 長 還 要 小 的 機 率 是 多 少? 可 能 是 1/2 1/3, 也 可 能 是 1/4 甚 至 於 還 有 其 它 可 能, 端 看 你 的 隨 機 是 如 何 選 取 的 II-8. FRIENDSHIP PARADOX 任 何 一 個 網 路 中, 如 果 有 些 人 的 朋 友 數 跟 其 他 人 不 同, 則 朋 友 的 平 均 朋 友 數, 一 定 多 於 個 人 的 平 均 朋 友 數 http://en.wikipedia.org/wiki/bertrand_paradox_(probability) 19 http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/09/17/friends-you-can-count-on/ 20
III. 無 窮 悖 論 III-1. 無 窮 旅 館 一 旦 接 受 了 無 窮 的 概 念, 就 必 須 小 心 許 多 違 背 常 理 的 推 論, 可 能 錯, 也 可 能 對 假 設 宇 宙 裡 有 一 間 無 窮 旅 館, 它 有 無 窮 多 間 房 間 它 可 以 容 納 有 限 多 的 人 也 可 以 容 納 無 窮 多 的 人 假 設 已 經 有 無 窮 多 人 住 進 去 這 個 無 窮 旅 館, 使 得 整 個 旅 館 爆 滿, 後 來 又 來 了 兩 個 人, 他 們 還 可 以 住 進 去 嗎? 假 設 已 經 有 無 窮 多 人 住 進 去 這 個 無 窮 旅 館, 使 得 整 個 旅 館 爆 滿, 之 後 又 來 了 無 窮 多 人, 這 些 人 還 可 以 住 進 去 嗎? http://www.designerstalk.com/forums/showcase/54407-infinite-hotel.html 21 22 III-2. 2 = 2? III-3. 圓 周 長 =4 半 徑? 如 下 圖 等 腰 直 角 三 角 形, 腰 長 為 1, 每 次 均 取 中 點 連 線, 以 得 到 較 小 的 等 腰 直 角 三 角 形, 而 這 些 小 的 三 角 形 的 所 有 腰 的 和 保 持 為 2 無 窮 盡 的 做 下 去, 就 會 得 到 2 = 2. 這 樣 的 推 論 正 確 嗎? 設 C 為 半 圓 的 圓 心, 以 AC 以 及 BC 分 別 為 直 徑, 畫 兩 個 半 圓, 則 這 兩 個 半 圓 的 圓 周 和 等 於 原 來 半 圓 的 圓 周 長 以 同 樣 的 方 法 持 續 做 下 去, 這 些 彎 曲 的 半 圓 曲 線 為 趨 近 到 AB, 所 以 圓 的 周 長 等 於 4 倍 的 半 徑 長 這 樣 的 推 論 正 確 嗎? 23 S. L. Tabachnikov Errors in geometrical proofs Quantum; Nov/Dec 1998; p. 37 24
IV. 幾 何 悖 論 IV.-1 所 有 圓 有 一 樣 的 圓 周 長 我 們 看 得 到 的 形 體 不 一 定 真 的 存 在 我 們 存 在 的 空 間 不 一 定 是 平 的, 也 可 能 是 扭 曲 的 如 下 圖, 有 兩 個 輪 子 固 定 成 同 心 圓 的 樣 子 大 圓 從 A 點 滾 到 B 點, 恰 滾 了 一 圈, 同 時, 小 圓 從 C 點 也 滾 到 了 D 點 因 為 兩 個 輪 子 是 固 定 的, 所 以 小 圓 從 C 到 D 點 也 剛 好 滾 了 一 圈 因 此, 大 圓 與 小 圓 的 圓 周 長 都 等 於 AB 線 段 長 這 樣 的 推 論 對 嗎? http://en.wikipedia.org/wiki/file:klein_bottle.svg 25 S. L. Tabachnikov Errors in geometrical proofs Quantum; Nov/Dec 1998; p. 37 26 IV.-2 違 反 直 覺 的 圖 形 (M. C. ESCHER) 違 反 直 覺 的 圖 形 (M. C. ESCHER) 一 直 往 上 ( 下 ) 走 的 階 梯 (http://en.wikipedia.org/wiki/ascending_and_descen ding) 往 上 流 的 瀑 布 (http://en.wikipedia.org/wiki/m._c._escher) 27 28
IV.-3 MÖBIUS STRIP MÖBIUS STRIP 有 沒 有 一 種 曲 面 只 有 一 面? 我 們 居 住 的 空 間 會 不 會 是 彎 曲 的? Möbius strip 只 有 一 面 Möbius strip 只 有 一 個 邊 沿 著 1/2 寬 的 地 方 剪 開, 會 形 成 什 麼 形 狀? 沿 著 1/3 寬 的 地 方 剪 開, 會 形 成 什 麼 形 狀? 沿 著 1/4 寬 的 地 方 剪 開, 會 形 成 什 麼 形 狀? 將 一 個 Möbius strip 與 一 個 Cylinder 垂 直 的 貼 起 來, 再 從 1/2 寬 的 地 方 剪 開, 會 是 什 麼 形 狀? 29 http://www.pleacher.com/mp/puzzles/tricks/mobistrp.html 30 V. SUMMARY 不 是 每 句 話 都 可 以 判 斷 對 錯 利 用 直 覺 來 判 斷 機 率 問 題 有 可 能 導 致 錯 誤 問 題 的 界 定 必 須 很 清 楚, 我 們 才 有 辦 法 討 論 事 件 發 生 的 機 率 接 受 無 窮 大 的 概 念 就 必 須 同 時 接 受 一 些 違 反 直 覺 的 結 果 看 到 的 不 一 定 存 在 彎 曲 的 空 間 的 可 能 性, 拓 展 了 我 們 對 所 在 空 間 的 可 能 描 述 31