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- 堀荏 爱新觉罗
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1 中 華 民 國 第 四 十 五 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 高 中 組 數 學 科 棋 盤 上 的 馬 步 臺 北 市 立 麗 山 高 級 中 學 作 者 姓 名 : 高 二 黃 右 嫺 高 二 潘 建 融 高 二 陳 柏 諺 指 導 老 師 : 黃 靜 寧
2 中 華 民 國 第 四 十 五 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 科 組 別 : 高 中 組 作 品 名 稱 : 棋 盤 上 的 馬 步 關 鍵 詞 : 棋 盤 馬 步 漢 米 爾 頓 編 號 :
3 目 錄 壹 摘 要 P.2 貳 研 究 動 機 P.2 參 研 究 目 的 P.2 肆 研 究 設 備 及 器 材 P.2 伍 研 究 方 法 P.3 陸 研 究 結 果 與 討 論 P.6 柒 結 論 P.25 捌 參 考 資 料 P
4 壹 摘 要 棋 盤 上 的 馬 步 馬 步 的 走 法 有 八 種, 下 面 我 們 討 論 以 馬 步 不 重 複 地 一 次 走 完 整 個 棋 盤 的 可 行 性, 已 證 明 出 的 結 果 如 下 : 一 在 n m 的 矩 陣 中, 除 3 3,3 5,3 6 和 4 4 為 無 解 外, 其 餘 的 我 們 已 證 出 均 至 少 有 一 解 二 在 n m 均 大 於 4 且 n m 為 偶 數 時, 可 以 以 任 一 格 為 起 點 三 在 n m 均 大 於 4 且 n m 為 奇 數 時, 可 以 以 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 為 起 點 四 對 於 無 解 的 矩 陣, 我 們 改 以 虧 格 的 形 式 討 論, 也 找 出 虧 格 在 適 當 位 置 時 可 有 解 的 情 形 五 有 虧 格 的 大 矩 陣, 在 總 格 子 數 為 偶 數 時, 可 以 以 任 一 格 為 起 點 ; 總 格 子 數 為 奇 數 時, 可 以 任 一 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 為 起 點 貳 研 究 動 機 在 高 一 的 數 學 研 究 方 法 課 程 中, 配 合 整 數 單 元 我 們 曾 經 討 論 過 奇 數 與 偶 數 的 主 題 當 時, 我 們 討 論 下 面 的 問 題 : 一 在 中 國 象 棋 的 棋 盤 上, 馬 能 否 從 某 些 點 出 發, 可 以 不 重 複 地 跳 遍 半 個 棋 盤 ; 而 從 另 外 一 些 點 出 發, 卻 不 能 完 成 ( 這 與 高 二 下 排 列 組 合 中 是 否 有 一 筆 劃 路 徑 的 課 程 相 關 ) 圖 1 中, 半 個 棋 盤 裏, 紅 點 有 22 個, 藍 點 有 23 個, 若 馬 步 由 紅 點 開 始, 下 一 步 必 須 走 到 藍 點, 很 明 顯 的 最 後 會 有 一 個 藍 點 落 單, 無 法 完 成 馬 步 走 完 半 個 棋 盤, 所 以 必 須 由 藍 點 出 發 圖 1 二 上 述 的 題 目, 加 上 跳 回 原 出 發 點 的 條 件, 其 結 果 會 有 什 麼 不 同 呢? 三 前 列 兩 題, 題 中 的 半 個 棋 盤 若 改 為 整 個 棋 盤 情 況 又 將 如 何? 參 研 究 目 的 一 討 論 在 n m 的 矩 陣 中 是 否 能 有 馬 步 路 徑 的 解? 二 討 論 有 解 的 n m 矩 陣 中 有 哪 些 格 子 可 做 起 點, 哪 些 不 行? 三 討 論 在 無 解 的 矩 陣 中 有 一 虧 格 時 能 否 有 解? 四 討 論 大 的 矩 陣 中 有 一 虧 格 時 的 情 況 肆 研 究 設 備 及 器 材 人 腦 紙 筆 電 腦 Microsoft Visual FoxPro5.0 Dev-C++4 Visual Basic 6.0 GP
5 伍 研 究 方 法 一 文 獻 探 討 ( 一 ) 漢 米 爾 頓 路 徑 與 迴 圈 給 一 圖 G( 圖 2), 以 V 來 表 示 所 有 頂 點 的 集 合,E 表 示 所 有 邊 的 集 合, 記 成 G=(V,E), 通 過 途 中 的 每 一 頂 點 且 只 通 過 一 次 的 路 徑 稱 為 漢 米 爾 頓 路 徑 ; 若 是 要 求 必 須 再 回 到 起 始 頂 點 的 回 路, 則 稱 為 漢 米 爾 頓 迴 圈 ( 如 圖 3) 圖 2 圖 3 ( 二 ) 古 人 研 究 十 八 世 紀 時 歐 拉 提 出 了 是 否 能 用 騎 士 一 次 走 完 整 個 西 洋 棋 的 棋 盤 而 不 重 複? 開 始 了 大 家 對 騎 士 走 8 8 棋 盤 之 討 論 我 們 查 閱 了 不 少 書 藉 雜 誌 和 網 路 資 料, 但 大 部 份 均 為 尋 找 解 的 個 數 之 討 論, 如 數 學 傳 播 季 刊 10 卷 2 期 林 建 宏 所 寫 的 5 階 棋 盤 之 騎 士 漫 遊 僅 有 112 個 解, 是 用 電 腦 程 式 找 出 所 有 解 ;28 卷 3 4 期 中 林 克 瀛 所 寫 的, 騎 士 漫 遊 方 陣 與 魔 方 陣 六 階 棋 盤 上 的 騎 士 迴 圈 漫 遊 共 有 1245 種, 則 是 以 推 論 方 式 得 證 解 的 個 數 這 些 資 料 中 對 小 矩 陣 之 情 況 有 豐 富 的 探 討, 但 不 見 其 對 不 同 棋 盤 中 是 否 能 有 解, 或 可 有 解 之 情 形 的 證 明 與 討 論 二 定 義 ( 一 ) 方 陣 行 數 列 數 相 同 的 方 格 圖 ( 二 ) 矩 陣 行 數 列 數 不 等 的 方 格 圖 ( 三 ) 關 鍵 矩 陣 連 接 數 個 矩 陣 時 最 重 要 的 矩 陣 ( 例 : 圖 18) 三 找 馬 步 矩 陣 解 的 方 法 若 將 此 類 方 格 換 成 點, 把 馬 步 用 線 來 取 代, 則 要 找 的 解 就 是 一 個 漢 米 爾 頓 路 徑 或 迴 圈, 但 要 確 定 此 圖 形 是 否 有 漢 米 爾 頓 路 徑 或 迴 圈 是 個 很 困 難 的 問 題 所 以, 我 們 運 用 下 面 幾 種 找 解 的 方 法, 做 為 找 較 大 矩 陣 的 解 或 推 理 到 n m 時 必 用 的 武 器, 下 面 是 我 們 在 研 究 過 程 中 運 用 的 幾 種 基 本 方 法 ( 一 ) 迴 圈 法 先 找 出 方 格 中 的 迴 圈, 通 常 是 以 兩 層 為 一 圈 ( 如 圖 4), 再 設 法 連 接 各 迴 圈 例 :5 5 與 9 9 均 可 用 迴 圈 法 輕 鬆 的 找 到 一 解 圖 5 圖 4 圖 6 迴 圈 法 在 方 陣 時 很 容 易 使 用 且 可 推 廣 至 n n 的 情 況, 但 矩 陣 卻 是 它 的 剋 星, 原 因 是 中 間 剩 下 的 格 子 會 隨 著 不 同 矩 陣 而 變 化, 非 常 難 掌 握 - 3 -
6 ( 二 ) 橋 數 法 馬 步 有 八 個 方 向, 也 就 是 在 方 格 中 橋 數 最 多 為 8, 但 在 方 格 邊 緣 或 有 的 位 置 已 被 前 面 的 步 占 掉 時 橋 數 就 會 小 於 8 因 此 在 找 解 時 我 們 通 常 會 由 橋 數 較 小 的 開 始, 而 遇 到 有 兩 個 以 上 的 橋 可 選 擇 時 則 選 橋 數 小 的 先 走 ( 如 圖 7) 例 : 圖 7 圖 8 圖 8 為 3 4 的 矩 陣 以 橋 數 法 找 解 的 過 程, 圖 中 紅 色 框 中 的 數 位 為 選 中 該 格 後 下 一 步 的 橋 數, 而 在 遇 到 有 兩 格 以 上 橋 數 都 最 小 時, 任 意 選 其 中 一 格 走 另 外, 我 們 也 寫 了 一 個 程 式 顯 示 下 一 步 或 所 有 格 子 的 橋 數, 在 無 其 他 的 限 制 條 件 時, 依 橋 數 法 的 規 則 走 幾 乎 都 可 找 到 解, 非 常 好 用 但 若 有 限 制 條 件, 如 : 固 定 起 點 和 終 點, 則 必 須 靠 下 面 的 方 法 幫 忙 才 容 易 找 到 需 要 的 解 ( 三 ) 前 後 呼 應 法 有 時 我 們 會 需 要 固 定 起 點 和 終 點 的 解, 或 是 比 較 特 殊 的 方 格 直 接 從 頭 開 始 找 會 很 不 容 易 ( 有 可 能 是 無 解 ), 這 時 除 了 從 頭 開 始 找, 我 們 也 會 從 結 束 點 倒 推 回 來 發 現 頭 尾 無 法 連 接 則 無 解, 找 到 頭 尾 相 接 則 得 到 一 解 例 : 若 想 要 找 3 4 矩 陣 符 合 圖 9,( 起 點 ) 與 E( 終 點 ) 的 解, 則 1 到 4 步 因 為 都 只 有 一 條 橋 可 以 選, 所 以 走 法 如 圖 9 而 圖 9 到 第 5 步 時 有 兩 個 選 擇 ( 圖 9 中 紅 框 ), 這 時 換 從 終 點 走 回 來 會 發 現,12 倒 著 走 只 能 走 到 圖 中 11 的 位 置, 但 走 到 11 後 就 沒 有 橋 可 繼 續 走, 所 以 得 證, 在 3 4 的 矩 陣 中 無 法 有 符 合 圖 中 與 E 的 路 徑 ( 四 ) 先 分 割 後 連 接 法 在 比 較 大 的 矩 陣 不 太 可 能 用 前 面 的 方 法 慢 慢 的 找, 所 以 在 大 的 矩 陣 或 在 要 推 證 到 n m 時, 我 們 將 大 矩 陣 分 割 成 小 矩 陣, 再 利 用 小 矩 陣 間 的 連 接 加 以 完 成 圖 10 例 : 將 3 8 的 矩 陣 先 分 成 兩 個 3 4 的 矩 陣, 即 圖 10 的 紅 色 矩 陣 和 藍 色 矩 陣, 因 為 走 完 紅 色 矩 陣 後 在 12 的 位 置 剛 好 可 與 藍 色 矩 陣 的 1 連 接, 所 以 只 要 再 把 藍 色 矩 陣 走 完 就 得 到 了 3 8 矩 陣 的 一 組 解 若 使 用 這 種 方 法 多 接 幾 個 矩 陣, 一 直 延 伸 下 去, 就 可 用 來 證 明 n m 時 的 情 況 所 以, 此 種 方 法 雖 對 小 的 矩 陣 沒 有 用, 但 在 尋 找 通 解 時 卻 不 能 沒 有 它 ( 五 ) 電 腦 找 解 法 我 們 將 棋 盤 座 標 化, 以 橫 坐 標 與 縱 坐 標 的 加 減 來 表 示 馬 步 移 動 後 的 座 標 用 電 腦 依 序 判 斷 每 一 步 的 八 個 方 位 是 否 超 出 棋 盤 範 圍 或 已 經 走 過, 通 過 判 斷 的 就 繼 續 走 下 一 步, 未 通 過 的 則 試 另 一 個 方 位, 若 全 部 未 通 過 則 倒 退 一 步, 繼 續 試 前 一 步 的 另 外 3 個 後 續 位 置, 直 到 找 出 所 有 可 能 的 解 ( 下 頁 中 的 圖 11 為 電 腦 找 解 法 之 程 式 的 流 程 圖 ) - 4 -
7 電 腦 找 解 法 之 程 式 的 流 程 圖 圖
8 陸 研 究 結 果 與 討 論 一 n m 矩 陣 與 馬 步 路 徑 ( 一 ) n=3 時 1. m=3 (3 3) 圖 12 中, 中 間 的 點 沒 有 橋, 故 3 3 的 方 陣 無 解 2. m=5 (3 5) 圖 12 圖 13 中, 有 3 5 矩 陣 中 的 所 有 點 和 幾 條 橋, 其 中 C E 的 橘 色 迴 圈 內 點 A B 必 有 一 為 起 點 或 終 點, 否 則 將 無 法 走 到 其 他 的 點, 因 此 點 C D E F 中 最 A B 多 只 能 再 有 一 個 點 做 起 點 或 終 點, 但 圖 中 有 一 點 有 四 條 橋,4-1=3 大 於 2, 所 以 3 5 的 矩 陣 是 無 解 的 D 圖 13 F 3. m=6 (3 6) 承 上 所 述 起 點 與 終 點 必 為 A 或 B 與 C 或 D 中 的 一 點, 但 此 兩 迴 圈 無 法 在 走 完 其 他 所 有 的 點 後 相 連, 所 以 3 6 的 矩 陣 是 A C B D 無 解 的 圖 其 他 情 況 由 3 4 矩 陣 的 一 組 解, 用 連 接 法 連 接 k 個 相 同 的 矩 陣 ( 如 圖 15), 可 得 3 4k 矩 陣 的 一 組 解 而 同 理 可 證 m=4k+1,m=4k+2 和 m=4k+3 時 的 情 況 圖 15 ( 二 ) 方 格 為 4 m 時 因 為 4=2+2, 若 用 兩 格 環 繞 的 迴 圈 法, 中 間 剛 好 不 會 有 多 餘 的 格 子 干 擾, 所 以 我 們 就 以 這 種 方 法 分 兩 類 來 證 明 1. m=2c+3 且 c 1 圖 16 為 4 (4k+1) 時 的 情 形, 以 左 下 角 做 起 點 而 以 起 點 右 邊 一 格 為 終 點 的 一 組 解 而 4 (4k+3) 時 同 理 可 證 圖
9 2. m=2c+2 且 c 1 m=4k+2 的 情 形 比 m=4k+1 時 複 雜 的 多, 無 法 直 接 從 左 下 角 開 始 就 完 成, 不 過 我 們 發 現 將 此 四 個 迴 圈 若 依 下 面 順 序 連 接 A1-A2-C1-C2-D1-D2-B1-B2( 其 中 的 X1-X2 圖 17 為 以 X1 為 起 點 X2 為 終 點 的 方 式 走 X 迴 圈,X=A B C D) 則 剛 好 可 得 一 組 解 m=4k 時 與 此 類 似, 唯 k=1 時 為 無 解 ( 三 )n m 均 大 於 4 時 因 為 最 小 的 n n 馬 步 方 陣 為 5 5 的 方 陣, 所 以 在 n m=5 開 始 我 們 用 連 接 法 將 小 矩 陣 連 接 成 大 矩 陣 由 關 鍵 矩 陣 ( 圖 中 左 上 紫 色 之 矩 陣, 因 其 負 責 控 制 不 同 的 餘 數, 為 所 有 連 接 的 矩 陣 中 最 重 要 的 一 個, 故 在 此 稱 之 為 關 鍵 矩 陣 ) 的 不 同 大 小 可 把 n m 的 馬 步 方 陣 分 成 以 下 十 五 種 情 況 (p q 均 為 自 然 數, 且 p q 為 連 接 的 方 格 數 ):5p 5q, 5p (5q+1),5p (5q+2),5p (5q+3),5p (5q+4),(5p+1) (5q+1),(5p+1) (5q+2), (5p+1) (5q+3),(5p+1) (5q+4),(5p+2) (5q+2),(5p+2) (5q+3),(5p+2) (5q+4), (5p+3) (5q+3),(5p+3) (5q+4),(5p+4) (5q+4) 只 要 找 到 一 個 起 點 和 終 點 可 以 符 合 圖 中 紅 點 ( 起 點 ) 與 綠 點 ( 終 點 ), 即 可 由 圖 中 的 路 徑 得 到 (5p+1) (5q+2) 時 的 解, 其 它 十 四 種 情 況 亦 同 圖 18 只 有 在 兩 邊 幫 助 連 接 的 矩 陣 均 為 奇 偶 矩 陣 時, 因 為 此 類 矩 陣 之 結 束 點 不 能 在 X( 見 圖 19) 的 位 置 ( 因 為 開 始 點 和 結 束 點 的 顏 色 需 不 同 ), 無 法 用 之 前 的 連 接 方 式 一 次 證 明, 所 以 我 們 選 擇 用 E 做 結 束 點 將 其 分 成 每 列 奇 數 個 矩 陣 每 列 偶 數 個 矩 陣 來 討 論, 以 解 決 此 問 題 圖
10 1. 每 列 矩 陣 數 為 奇 數 圖 每 列 矩 陣 數 為 偶 數 圖
11 二 n m 矩 陣 與 馬 步 迴 圈 我 們 希 望 知 道 在 馬 步 矩 陣 中, 除 了 可 以 有 至 少 一 解 外, 是 否 所 有 的 格 子 都 可 以 做 為 起 點? 或 是 哪 些 格 子 一 定 不 能 做 為 起 點? 又 若 在 矩 陣 中 找 到 一 漢 米 爾 頓 迴 圈, 則 可 確 定 此 馬 步 矩 陣 可 由 任 意 一 點 做 起 點 繞 此 迴 圈 而 結 束 在 此 起 點 的 前 或 後 一 點 無 解 的 方 陣 或 矩 陣 在 此, 則 不 予 討 論 ( 一 ) n m 為 奇 數 時 在 n m 為 奇 數 的 矩 陣 中, 定 義 : 將 相 鄰 的 格 子 塗 上 兩 種 不 同 的 顏 色 稱 為 套 色 ( 如 圖 22), 則 黃 格 會 比 藍 格 多 一 格 依 照 馬 步 走 法, 從 黃 格 只 能 走 到 藍 格, 而 藍 格 也 只 能 走 到 黃 格 假 設 從 黃 格 出 發, 此 格 所 有 的 橋 都 是 連 到 藍 格, 因 此 若 有 漢 米 爾 頓 迴 圈, 結 束 格 必 須 在 藍 格, 但 這 與 黃 格 會 比 藍 格 多 一 圖 22 格 應 結 束 在 黃 格 矛 盾, 所 以 在 奇 數 格 的 矩 陣 中 無 法 找 到 漢 米 爾 頓 迴 圈 又 若 從 藍 格 出 發, 一 定 會 有 至 少 一 個 黃 格 無 法 走 到, 所 以 也 無 法 從 藍 格 開 始 ( 二 ) n=3 時 在 圖 23 中,A 這 個 位 置 只 有 兩 條 橋, 到 達 J 與 G 的 位 罝, 一 個 做 出 發 點 另 一 個 就 必 為 結 束 點, 可 以 任 意 選 擇 我 們 若 選 G 出 發, 只 能 走 到 I 再 接 B, 到 了 B 時 有 兩 個 選 擇 分 別 是 H K, 若 選 擇 H 的 話 就 只 能 再 接 到 J, 這 使 得 J 無 法 成 為 終 點, 而 選 擇 K 則 無 法 走 圖 23 到 H, 所 以 3 4 的 矩 陣 沒 有 馬 步 迴 圈 又 若 想 從 B 這 格 開 始 有 三 條 可 能 路 線, 可 走 B-I-G-A-J 但 之 後 若 走 H 則 無 法 繼 續, 若 不 走 H 則 H 就 永 遠 走 不 到 走 K-E 或 K-D 的 話, 結 束 點 就 一 定 要 在 I, 不 然 I 就 走 不 到 ( 因 為 I 只 剩 一 條 橋 ), 那 麼 反 過 來 由 I 往 回 走 I-G-A-J, 此 時 H 就 會 出 現 同 上 的 問 題, 所 以 無 法 完 成 綜 合 上 述 幾 點 及 前 面 得 到 的 解, 得 證 3 4 的 矩 陣 只 能 有 圖 中 綠 色 格 為 起 點 或 終 點 圖 24 中, 從 1 開 始 的 話 則 A 和 B 必 須 分 別 是 出 發 點 和 結 束 點, 因 為 若 不 當 做 出 發 和 結 束 點 則 必 有 一 個 走 不 到 若 走 1-A-C 則 倒 回 來 走 一 定 是 B-D, 之 後 C 和 D 可 以 隨 意 選 走 X 或 Y 路 線 到 達 X 和 Y1 或 Y2, 此 時 必 接 右 邊 的 3 4 矩 陣, 圖 24 但 由 已 知 的 三 組 解 中 得 知 無 法 適 當 的 連 接 X 和 Y1 或 Y2, 所 以 3 8 的 矩 陣 無 法 以 1 或 2 的 位 置 為 起 點 或 終 點 又 由 已 知 解 中 得 知 其 餘 的 格 子 均 可 做 為 起 點 3. m=10+4k,k 1 時 圖 25 中, 已 知 3 10 的 馬 步 迴 圈, 由 16 為 起 點 15 為 終 點, 走 完 後 連 接 3 4 矩 陣 的 而 結 束 在 E, 因 為 E 可 以 再 迴 到 16, 所 以 得 到 3 14 的 一 個 馬 步 迴 圈 解 由 歸 納 法 可 得, 如 圖 26 中 大 矩 陣 的 位 置 只 有 兩 條 橋, 必 為 一 進 一 出, 所 圖 25 圖 26 以 只 要 有 迴 圈 的 解 即 可 把 做 為 起 點 E 當 做 終 點, 之 後 接 到 小 矩 陣 的 位 置, 而 走 - 9 -
12 已 知 的 路 徑 可 到 達 E, 且 因 為 E 可 以 再 回 到 出 發 點 的, 所 以 得 到 一 馬 步 迴 圈 的 解 4. m=12+4k,k 1 時 同 上 述 m=10+4k 的 解 法, 在 此 時 我 們 一 樣 先 找 出 3 12 的 馬 步 迴 圈 ( 如 圖 27), 之 後 用 歸 納 法 將 連 接 圖 27 的 矩 陣 無 限 延 伸, 而 得 到 一 馬 步 迴 圈 的 解 ( 如 圖 28) 圖 28 ( 三 ) n=4 時 圖 29 圖 30 同 4 4 無 解 的 證 明, 在 此 不 論 m 為 奇 數 或 偶 數, 若 將 格 子 套 色 如 圖 的 話, 橘 色 格 只 能 走 到 白 色 格, 而 若 想 要 有 迴 圈 就 必 須 橘 白 橘 白 的 走 才 有 可 能 但 圖 30 中, 藍 白 格 要 連 接 時, 必 須 於 圖 29 中 的 白 格 中 連 接, 所 以 得 證 不 可 能 有 迴 圈 同 理 可 知 若 想 要 完 成 4 m 的 矩 陣, 必 須 以 橘 色 格 為 起 點, 走 圖 30 中 的 同 色 格, 直 到 走 完 後 再 接 不 同 色 格 才 能 有 機 會 完 成 由 此 結 果 我 們 猜 測 若 起 點 為 圖 30 中 的 藍 格, 則 必 有 至 少 一 解, 且 終 點 的 位 置 在 任 一 白 格 與 圖 29 中 橘 格 交 集 之 格 子, 下 面 我 們 用 迴 圈 法 來 證 明 此 猜 測 1.m=2k+1,k 1 圖 31 中,A 迴 圈 在 中 間 兩 列 時 剛 好 都 可 以 走 到 白 格, 而 所 有 的 白 格 又 剛 好 是 一 個 迴 圈, 所 以 可 以 結 束 結 在 任 一 格 2.m=2k,k 3 圖 中, 分 別 為 兩 種 可 能 的 情 況, 均 是 有 兩 個 迴 圈 A B, 且 除 了 角 落 的 A B 外 均 可 互 換 ( 即 A 走 到 B 或 B 走 到 A), 所 以 不 論 從 哪 格 開 始 都 可 走 完 A 和 B 而 當 A B 圖 31 圖 32 圖 33 在 中 間 兩 列 時 剛 好 都 可 以 走 到 白 格, 所 以 此 時 可 完 成 所 以 格 而 結 束, 得 證 上 述 猜 想 另 外, 我 們 用 程 式 找 解 時 發 現 在 m 比 較 大 後, 任 一 個 前 面 證 出 有 解 的 點 開 始 時, 可 以 結 束 在 圖 30 中 一 四 列 與 起 點 不 同 色 的 格 子, 不 過 目 前 還 未 得 到 完 整 的 證 明 ( 四 ) n m 均 大 於 4 時 同 前 面 n m 路 徑 的 證 明, 這 一 部 份 我 們 也 是 用 連 接 法 來 證, 不 同 的 是 這 裡 需 要 考 慮
13 格 子 數 不 能 為 奇 數 和 p q 之 奇 偶 的 影 響 在 此 我 們 不 再 將 十 五 種 情 況 分 別 討 論, 而 只 考 慮 關 鍵 矩 陣 的 奇 偶 和 p q 的 奇 偶 來 證 明 1. 關 鍵 矩 陣 為 奇 奇 ( 圖 中 的 關 鍵 矩 陣 均 只 以 其 中 一 個 為 例, 其 它 情 況 可 依 此 類 推 ) (1) p 為 奇 數 q 為 偶 數 圖
14 (2) p q 均 為 偶 數 圖 關 鍵 矩 陣 為 偶 奇 ( 奇 偶 與 偶 奇 互 為 對 稱, 因 此 可 以 看 為 一 組 ) (1) p 為 奇 數 q 為 偶 數 圖
15 在 此 若 p=1 或 q=1, 則 用 圖 36 之 繞 法 將 不 能 找 到 迴 圈, 所 以 我 們 用 類 似 3 m 時 的 證 法 來 補 上 p=1( 圖 37) 及 q=1( 圖 38) 時 的 證 明 圖 37 (2) p q 均 為 偶 數 圖 38 圖
16 (3) p q 均 為 奇 數 3. 關 鍵 矩 陣 偶 偶 (1) p 為 偶 數 q 為 奇 數 圖 40 圖 40 圖
17 偶 偶 的 情 形 在 p=1 或 q=1 時 也 無 法 從 上 圖 得 到 迴 圈, 因 此 以 圖 42 中 之 方 法 證 明 (2) p q 均 為 奇 數 圖 42 圖 43 三 n m 為 奇 數 時 的 解 前 面 我 們 已 用 簡 單 的 方 法 證 明 了 必 無 解 的 情 況, 但 尚 未 確 定 是 否 其 它 格 子 均 可 有 解 一 開 始 我 們 想 用 迴 圈 法 來 證 明, 但 此 種 方 法 只 適 用 於 方 陣 無 法 推 至 矩 陣, 且 證 明 方 法 複 雜 ; 後 來 我 們 又 試 著 用 上 面 n m 矩 陣 迴 圈 解 的 證 法, 但 由 於 5 為 奇 數, 無 法 推 證 到 所 有 格 子 最 後, 我 們 將 連 接 的 5 5 方 陣 改 為 偶 數 的 6 6 方 陣, 以 解 決 此 問 題, 且 因 為 六 為 偶 數 不 論 增 加 奇 偶 數 個, 整 個 大 矩 陣 仍 為 奇 奇, 也 就 可 以 不 用 考 慮 奇 偶 不 同 的 影 響 另 外 我 們 也 用 程 式 做 較 小 矩 陣 的 確 認
18 1. p 為 偶 數 圖 44 第 一 次 從 關 鍵 矩 陣 中 的 任 一 黃 格 為 起 點, 由 已 知 的 解 得 均 可 結 束 在 藍 點, 而 延 綠 色 箭 頭 的 方 向 走 ( 圖 44), 每 一 矩 陣 均 以 紅 點 開 始 藍 點 結 束 ( 從 已 知 解 得 知 可 完 成 ), 即 得 在 關 鍵 矩 陣 中 的 黃 格 出 發 均 可 完 成, 但 如 果 要 推 到 其 它 格 子 的 話, 會 受 奇 數 格 的 影 響 必 須 用 下 面 的 方 法 倒 著 走 回 去 圖 45 如 圖 45 左 中, 關 鍵 矩 陣 右 邊 的 矩 陣 中, 任 意 黃 格 開 始 均 可 結 束 在 藍 點, 則 可 以 繼 續 連 下 去, 只 有 在 連 接 路 線 碰 到 關 鍵 矩 陣 後, 奇 數 格 會 使 接 下 來 的 起 點 和 終 點 格 顏 色 改 變 ( 如 圖 45 右 ), 所 以 必 須 有 所 變 化, 不 過 均 可 延 此 一 規 則 延 伸 下 去
19 2.p 為 奇 數 圖 46 由 前 面 的 證 明 可 以 確 定 在 大 的 矩 陣 皆 可 完 成, 但 若 是 連 接 矩 陣 只 有 一 行 或 一 列 時 就 無 法 繞 回 前 面 那 個 迴 圈, 因 此 下 面 我 們 補 充 只 有 一 行 或 一 列 時 的 證 明 3. 3 m 5 m 7 m 9 m 時 我 們 找 到 小 矩 陣 中 若 以 藍 字 的 格 子 開 始 皆 可 以 結 束 在 紅 字 的 格 子, 則 由 前 面 的 證 明 我 們 可 以 確 定 後 面 不 論 再 接 多 少 個 3 4 矩 陣 皆 可 完 成 而 每 一 接 上 的 矩 陣 皆 可 依 圖 47 中 的 數 字 順 序 走 完 ( 遇 到 紅 或 藍 的 數 字 時 先 走 完 原 矩 陣 的 所 有 方 格 再 做 連 接 ), 所 以 不 論 m 為 多 少 時, 只 要 該 方 陣 是 有 解 的 即 得 由 黃 色 格 開 始 皆 有 解 而 5 m 7 m 9 m 時 也 可 以 相 同 方 式 證 明 圖
20 四 虧 格 條 件 在 前 面 我 們 討 論 了 所 有 完 整 的 矩 陣 的 情 況, 其 中 有 幾 個 較 小 的 矩 陣 是 無 解 的, 這 讓 我 們 想 到 若 將 棋 盤 改 為 虧 格 的 形 式 時 是 否 可 以 有 解? 答 案 是 肯 定 的! 下 面 我 們 先 說 明 可 有 解 時 的 條 件 : ( 一 ) 奇 數 格 的 矩 陣 中 虧 格 只 能 位 於 原 先 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子, 而 偶 數 格 的 矩 陣 則 任 一 格 均 可 做 為 虧 格 ( 二 ) 若 虧 格 位 置 在 原 矩 陣 中 是 可 當 起 點 的 格 子, 則 該 虧 格 矩 陣 至 少 必 有 一 馬 步 路 徑 解, 由 原 先 的 第 二 步 開 始 走 即 可 完 成 ( 三 ) 有 虧 格 的 矩 陣 中, 橋 數 為 1 的 格 子 須 做 為 起 點 或 終 點 ( 不 得 有 格 子 之 橋 數 小 於 1) 因 此 若 虧 格 造 成 有 兩 個 可 以 馬 步 連 結 的 格 子 或 任 三 個 以 上 的 格 子 橋 數 為 1 時, 該 矩 陣 將 無 法 完 成 ( 四 ) 若 有 虧 格 後, 使 圖 形 中 一 點 有 超 過 二 條 必 走 路 徑 ( 不 能 刪 的 橋 ), 則 必 無 法 完 成 ( 五 ) 在 找 解 的 過 程 中, 若 出 現 兩 個 格 子 只 有 1 條 橋, 則 必 須 先 走 其 中 一 格 且 須 以 另 一 格 為 終 點 ; 若 出 現 三 個 以 上 格 子 只 有 1 條 橋, 該 矩 陣 將 無 法 完 成 五 有 虧 格 的 矩 陣 與 馬 步 路 徑 ( 一 ) 原 先 無 解 的 矩 陣 圖 48 中, 中 間 的 格 子 無 路 徑 相 連, 故 虧 格 必 須 位 於 中 間 的 格 子, 而 在 有 虧 格 後 可 得 到 一 迴 圈 在 無 虧 格 之 前, 因 為 中 間 的 格 子 有 超 過 2 條 必 走 路 徑 而 無 法 完 成 所 以 在 有 虧 格 後, 必 須 讓 該 格 的 必 走 路 徑 小 於 2, 才 有 機 會 完 成 在 這 些 限 制 下 我 們 得 到 可 有 解 時 虧 格 的 位 置 必 須 在 四 個 角 落 之 一 ( 圖 49 中 灰 色 格 為 虧 格 位 置 ), 可 以 圖 49 中 相 對 於 的 位 置 做 為 起 點 與 終 點 如 圖 中 所 示, 可 有 解 時 虧 格 位 置 必 須 位 於 相 對 於 灰 色 格 的 位 置, 且 起 點 與 終 點 在 的 位 置 虧 格 位 於 角 落 的 格 子 時 可 使 原 無 法 相 連 的 迴 圈 相 連, 故 以 圖 52 中 為 起 點 時 可 有 解 由 上 面 的 結 果 我 們 發 現, 原 來 較 小 的 矩 陣 會 因 橋 數 限 制 而 無 法 有 解, 但 在 有 虧 格 時 也 有 可 能 找 到 一 個 以 上 的 解 圖 49 圖 50 圖 51 圖 48 圖
21 ( 二 ) 在 n m 大 到 一 個 程 度 後 前 面 討 論 了 無 解 矩 陣 在 有 虧 格 時 可 以 有 解 的 情 況, 這 也 讓 我 們 好 奇 在 其 它 矩 陣 中 有 虧 格 時 可 以 有 解 的 情 況 又 是 如 何? 原 本 我 們 想 用 前 面 證 明 偶 數 格 矩 陣 有 迴 圈 和 奇 數 格 矩 陣 可 有 路 徑 的 連 接 法, 但 發 現 情 況 非 常 的 複 雜, 且 若 虧 格 可 在 矩 陣 中 任 一 位 置, 要 討 論 的 次 數 就 有 矩 陣 格 子 數 那 麼 多, 如 此 一 來 就 算 是 小 矩 陣 也 很 難 找 出 所 有 可 能, 在 大 矩 陣 就 更 是 天 方 夜 譚 了 失 敗! 不 過 後 來 我 們 想 到 不 見 得 一 定 要 用 小 的 連 成 大 的, 也 可 以 把 大 的 割 成 小 的, 而 且 發 現 用 這 種 分 割 的 方 式 只 需 找 出 一 個 小 矩 陣, 確 定 它 在 有 一 虧 格 時 可 以 有 迴 圈 或 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 均 可 開 始, 這 樣 就 可 以 在 割 出 該 小 矩 陣 後 連 接 剩 下 的 方 格 而 證 明 出 無 限 大 時 的 情 況 但 是 過 程 中 我 們 又 遇 到 了 一 些 困 難, 這 個 小 矩 陣 似 乎 不 太 小, 它 至 少 有 一 邊 要 大 於 6, 所 以 扣 掉 對 稱 後 虧 格 位 置 至 少 有 9 種, 而 每 一 種 必 需 找 出 17 個 不 同 開 始 點 的 解, 總 共 需 要 153 個 解! 根 本 不 太 可 能 用 人 工 慢 慢 的 一 個 一 個 找, 還 好 我 們 有 電 腦 幫 忙, 找 了 好 幾 天 終 於 找 到 6 6 的 矩 陣 可 以 符 合 前 面 小 矩 陣 的 條 件 ( 以 後 稱 該 6 6 矩 陣 關 鍵 矩 陣 ), 於 是 就 用 先 分 割 後 連 接 法 來 完 成 這 一 部 分 的 證 明 成 功! 1. 分 割 與 連 接 的 方 式 將 大 的 矩 陣 用 直 線 與 橫 線 分 割 ( 每 次 隔 6 格 ) 直 到 均 超 過 中 線 ( 如 圖 53), 因 為 對 稱 的 關 係, 只 要 確 定 圖 中 黃 色 區 域 的 格 子 有 虧 格 時 的 情 況 即 可 推 至 整 個 矩 陣 又 黃 色 域 為 多 個 6 6 的 矩 陣, 所 以 只 須 確 定 虧 格 位 於 這 些 6 6 的 矩 陣 時, 可 以 有 迴 圈 或 在 套 色 後 可 以 以 與 虧 格 不 同 色 的 格 子 當 起 點, 即 可 得 到 該 大 矩 陣 不 論 虧 格 位 於 何 處 的 所 有 情 況 圖 53 而 在 用 直 線 與 橫 線 分 割 後, 要 讓 小 矩 陣 可 以 順 利 相 連 有 三 種 不 同 的 切 割 與 連 接 方 式 第 一 種 為 關 鍵 矩 陣 位 於 第 一 行, 第 二 種 為 關 鍵 矩 陣 位 於 第 一 列, 其 它 情 況 則 為 第 三 種 這 三 種 情 況 的 分 割 與 連 接 方 式 如 下 面 簡 圖 所 示 : 圖 54 圖 55 圖 55 中 藍 線 表 示 該 情 況 的 方 割 方 法, 紅 線 則 是 連 接 的 方 式
22 2. 有 虧 格 後 總 格 子 數 為 偶 數 的 矩 陣 在 奇 數 的 矩 陣 套 色 後 會 有 一 種 顏 色 的 格 子 數 較 多, 所 以 要 有 解 的 第 一 個 條 件 是 虧 格 位 置 只 能 在 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 ( 在 圖 中 為 黃 色 的 格 子 ) 而 在 矩 陣 夠 大 時, 因 為 橋 數 多, 少 幾 條 橋 對 矩 陣 的 影 響 就 相 對 減 少, 我 們 用 上 面 介 紹 分 割 與 連 接 的 方 式 來 證 明 : 在 大 的 奇 數 矩 陣 中, 若 虧 格 位 於 套 色 後 黃 色 的 格 子, 則 可 有 迴 圈, 即 每 一 格 均 可 做 為 起 點 ( 紅 點 與 藍 點 為 各 小 矩 陣 起 點 與 終 點 的 位 置, 綠 色 箭 頭 為 連 接 方 式 ) 圖 56 圖
23 圖 58 依 著 圖 58 中 提 示 的 路 線 走, 只 要 確 定 紅 點 與 藍 點 的 位 置 可 以 做 為 起 點 與 終 點 即 可 下 面 是 6 m 時 均 可 有 解 的 證 明 圖 59 如 圖 59 中, 因 為 3 m 的 矩 陣 在 m 為 奇 數 時, 前 面 已 經 證 明 出 均 可 以 以 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 開 始 而 結 束 在 角 落 ; 另 外 在 偶 數 時, 我 們 也 用 同 樣 的 方 法 證 出, 現 在 我 們 利 用 已 知 3 m 矩 陣 的 解, 應 用 上 圖 的 方 法 連 接 ( 為 開 始,E 為 結 束, 數 字 依 順 序 ) 即 可 得 到 6 m 的 矩 陣, 可 以 任 一 格 開 始 而 結 束 在 角 落 其 他 所 需 的 解, 我 們 也 用 同 樣 的 方 法 證 出, 但 礙 於 篇 幅 有 限 在 此 不 一 一 列 出
24 3. 有 虧 格 後 總 格 數 為 奇 數 的 矩 陣 在 奇 數 的 矩 陣 中, 因 套 色 後 兩 種 顏 色 的 格 子 數 一 樣 多, 所 以 在 大 的 矩 陣 虧 格 可 以 在 任 一 個 格 子 證 明 的 方 式 跟 前 面 奇 數 矩 陣 有 迴 圈 的 相 似, 不 過 偶 數 的 矩 陣 少 了 一 格 後 格 子 數 就 變 成 奇 數, 因 此 不 會 有 迴 圈, 所 以 不 能 像 前 面 的 證 明 繞 一 圈 即 完 成, 而 必 須 一 個 矩 陣 一 個 矩 陣 的 換, 確 定 虧 格 在 不 同 位 置 時 任 一 個 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 均 可 完 成 圖 60 圖 中 關 鍵 矩 陣 的 任 一 紅 格 開 始 均 可 結 束 在 藍 格 而 依 箭 頭 指 示 走 紅 的 開 始 藍 的 結 束 即 可 走 完 所 有 格, 接 著 一 次 一 次 的 把 開 始 點 移 到 其 它 矩 陣, 同 樣 的 以 綠 色 箭 頭 指 示 方 向 走, 只 需 將 開 始 與 結 束 位 置 稍 微 掉 換 一 下 ( 如 下 頁 圖 61) 在 此 關 鍵 矩 陣 可 自 由 的 上 下 左 右 移 動, 所 以 當 關 鍵 矩 陣 不 是 在 第 一 行 或 第 一 列 時 均 可 得 : 虧 格 位 置 在 任 一 個 黃 格 時, 任 一 個 白 格 均 可 做 為 起 點 不 過 若 關 鍵 矩 陣 位 在 第 一 行 第 一 列, 或 虧 格 位 置 在 黃 格 時 就 需 要 用 到 圖 的 分 割 與 連 接 方 式 才 能 得 證
25 圖 61 圖
26 圖 63 圖 64 上 面 證 明 了 大 矩 陣 有 虧 格 的 情 況, 但 這 些 證 明 均 不 適 用 於 小 矩 陣, 因 為 小 矩 陣 無 法 再 分 割 又 如 果 想 直 接 找 出 小 矩 陣 的 所 有 可 能 又 會 因 橋 數 少, 虧 格 不 能 位 在 特 定 的 一 些 格 子, 造 成 有 太 多 的 狀 況 需 要 討 論, 所 以 目 前 還 在 研 究 如 何 證 明 小 矩 陣 的 較 佳 方 法
27 柒 結 論 一 在 n m 的 矩 陣 中 ( 限 制 n m 均 為 不 小 於 3 的 整 數 且 n 大 於 等 於 m), 至 少 有 一 馬 步 路 徑 解 的 條 件 有 : ( 一 ) n=3,m 不 等 於 ( 二 ) n=4,m 不 等 於 4 二 在 有 解 的 n m 矩 陣 中, 可 由 任 一 格 做 為 起 點 的 條 件 有 : ( 一 ) n m 不 為 奇 數 ( 二 ) n=3,m 不 等 於 4 8 ( 三 ) n 不 等 於 4 三 在 3 4 的 矩 陣 中 有 馬 步 路 徑 解 的 條 件 是, 下 圖 中 有 X 的 格 子 不 可 做 為 起 點, 其 餘 皆 可 四 在 3 8 的 矩 陣 中 有 馬 步 徑 路 解 的 條 件 是, 下 圖 中 有 X 的 格 子 不 可 做 為 起 點, 其 餘 皆 可 五 在 4 m 的 矩 陣 中 有 馬 步 徑 路 解 的 條 件 是, 下 圖 中 白 色 的 格 子 不 可 做 為 起 點, 其 餘 皆 可 六 在 n m 均 為 奇 數 且 n m 之 矩 陣 不 為 無 解, 則 其 有 馬 步 路 徑 解 的 必 要 條 件 是, 將 格 子 套 色 後 格 子 數 較 少 的 顏 色 格 子 不 可 做 為 起 點 七 無 解 的 矩 陣 在 有 虧 格 位 於 適 當 的 位 置 時 也 可 以 有 至 少 一 組 解 八 在 大 的 矩 陣 中 有 一 虧 格 後, 總 格 數 為 奇 數 的 矩 陣 可 以 以 套 色 後 格 數 多 一 格 的 顏 色 格 子 為 起 點, 總 格 數 為 偶 數 的 矩 陣 則 可 以 任 一 格 為 起 點 九 另 外, 在 說 明 書 及 版 面 中 未 能 呈 現 的, 有 藉 由 電 腦 程 式 的 輔 助 幫 我 們 找 出 固 定 起 始 點 之 所 有 解 及 人 工 不 易 找 出 的 解 再 者, 我 們 也 寫 出 棋 盤 上 馬 步 的 遊 戲 程 式, 可 供 初 次 接 觸 此 主 題 的 人 玩, 引 導 他 們 一 窺 馬 步 的 奧 秘, 在 我 們 現 場 的 電 腦 中 有 展 示 出 來 可 供 大 家 參 考 十 希 望 未 來 能 夠 透 過 將 棋 盤 座 標 化, 找 出 最 短 路 徑 的 函 數 模 式, 為 做 IC 設 計 與 快 遞 或 宅 急 便 之 運 輸 路 線 規 劃 之 利 用
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BOOK 山 與 溪 谷 社 編 堀 內 一 雄 執 筆 蕭 雲 菁 譯 CONTENTS 訓 練 內 容 設 計 法 056 淡 季 期 的 訓 練 058 旺 季 期 的 訓 練 060 針 對 爬 坡 賽 的 訓 練 內 容 062 賽 後 的 資 料 分 析 064 067 PART4/ 鏑 木 毅 先 生 的 建 言 活 用 於 越 野 路 跑 的 心 跳 訓 練 068 心 率 計 為
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高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 辦 學 績 效 考 評 辦 法 修 正 對 照 表 中 華 民 國 一 百 零 二 年 十 二 月 二 十 日 教 育 部 臺 教 授 國 部 字 第 1020118431A 號 令 修 正 高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 任 期 考 評 辦 法, 名 稱 並 修 正 為 高 級 中 等 學 校 校 長 遴 選 聘 任 及 辦
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中華民國 第51屆中小學科學展覽會
中 華 民 國 第 51 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 國 小 組 數 學 科 佳 作 080401 連 續 整 數 和 的 難 題 學 校 名 稱 高 雄 市 鼓 山 區 中 山 國 民 小 學 作 者 指 導 老 師 小 五 陳 書 玟 小 五 黃 鈺 媚 邱 郁 芳 許 紋 菁 小 五 方 培 蓉 小 五 許 家 哲 小 五 蔣 承 軒 關 鍵 詞 連 續 整 數 和
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網 路 銀 行 基 金 服 務 系 統 - 查 詢 類 操 作 手 冊 中 華 民 國 一 零 五 年 版 第 1 頁 目 錄 文 件 導 引 說 明... 3 壹 基 金 服 務 - 查 詢 類... 1 一 我 的 基 金 ( 含 使 用 者 風 險 等 級 )... 1 1.1 更 新 損 益... 2 二 基 金 往 來 明 細 查 詢 ( 含 配 息 )... 5 2.1 基 金 單 筆
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BSPO615 使 用 及 安 裝 說 明 書 總 代 理 優 氏 集 團 客 林 渥 股 份 有 限 公 司 台 北 市 內 湖 區 行 愛 路 69 號 2 樓 TEL 02-2794 2588 FAX 02-2794 3789 台 中 市 北 屯 區 后 庄 路 1080-12 號 TEL 04-2422 0958 FAX 04-2422 0938 高 雄 市 左 營 區 政 德 路 633
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五 四 五 說 ( 代 序 ) 李 澤 厚 劉 再 復 I I II IV V VII 第 一 篇 五 四 新 文 化 運 動 批 評 提 綱 001 003 006 009 011 014 019 附 論 一 中 國 貴 族 精 神 的 命 運 ( 提 綱 ) 021 021 022 026 02
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中 華 民 國 第 四 十 六 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 高 中 組 生 物 ( 生 命 科 學 ) 科 第 三 名 最 佳 團 隊 合 作 獎 040713 我 們 的 秘 密 基 地 - 暗 影 扶 疏 的 生 態 池 - 之 永 續 經 營 學 校 名 稱 : 臺 北 市 立 大 直 高 級 中 學 作 者 : 高 二 廖 怡 舜 指 導 老 師 : 賴 黃 絹
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Hot Potatoes 命 題 軟 體 操 作 說 明 一 註 冊 操 作 程 序 1. 進 入 Hot Potatoes 的 官 方 網 站 網 址 http://web.uvic.ca/hrd/hotpot/index.htm 並 點 選 Register 2. 點 選 read the licence terms. 閱 讀 使 用 說 明 3. 點 選 I have read the license
二零零六至零七年施政報告
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九 -2 國 中 數 學 基 本 學 習 內 容 補 救 教 材 第 六 冊 主 題 二 機 率 的 計 算 二 機 率 怎 麼 算? 想 一 想 : (1) 投 擲 一 枚 公 正 硬 幣 一 次, 會 出 現 哪 幾 種 情 形? 這 些 情 形 各 自 發 生 的 機 率 是 多 少? 會 不
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會 員 專 區 使 用 手 冊 Version 2.1 Sep. 2016 0 會 員 專 區 使 用 手 冊 目 錄 一 基 本 介 紹... 2 1. 會 員 專 區 登 入 位 置... 2 2. 主 畫 面 與 網 站 架 構 :... 3 3. 功 能 導 覽 列 說 明 :... 3 二 DOI 查 詢 與 維 護... 4 三 DOI 註 冊 期 刊 類 型... 5 1. 選 擇 期
中華民國第四十六屆中小學科學展覽會
嘉 義 市 第 三 十 二 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 非 洲 棋 的 終 極 秘 技 關 鍵 詞 : 非 洲 棋 移 動 遊 戲 策 略 分 析 編 號 : 1 非 洲 棋 的 必 勝 法 則 摘 要 本 研 究 是 探 討 擁 有 上 千 年 前 歷 史 的 西 非 遊 戲 - 非 洲 棋, 利 用
桃園市104年國民中學新進教師甄選各校複試方式及需求表
桃 園 市 105 年 國 民 中 學 新 進 教 師 甄 選 各 校 複 試 方 式 及 需 求 表 編 號 校 名 教 評 會 審 查 方 式 及 學 校 需 求 備 註 1 2 桃 園 青 溪 ( 一 ) 口 試 80% 是 否 符 合 學 校 需 求 度 20% 具 數 學 專 長 者 為 佳 ( 一 ) 口 試 70% 是 否 符 合 學 校 需 求 度 30 % 需 擔 任 資 源 班
HSBC Holdings plc Interim Report 2015 - Chinese
聯 繫 客 戶 創 先 機 助 握 商 情 百 五 載 HSBC Holdings plc 滙 豐 控 股 有 限 公 司 2015 年 中 期 業 績 報 告 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
Microsoft Word - 全華Ch2-05.doc
得 分 : 101 學 年 度 第 2 學 期 Ch2-5 數 字 系 統 與 資 料 表 示 法 命 題 教 師 : 範 圍 : 年 班 號 姓 名 一 單 選 題 : ( 1 ) 1. 通 常 PC 上 採 用 2 的 補 數 法 表 示 負 整 數, 所 使 用 的 整 數 範 圍 為 -32768 到 +32767, 請 問 此 情 況 下, 一 個 整 數 佔 用 多 少 Bytes? (1)2
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觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒
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之 二 資 產 負 債 權 益 展 開 表 102 年 6 月 30 日 單 位 : 新 臺 幣 千 元 資 產 會 計 項 目 展 開 項 目 現 金 及 約 當 現 金 75,497 75,497 存 放 央 行 及 拆 借 銀 178 178 同 業 透 過 損 益 按 公 允 價 值 衡 量 之 金 融 資 產 139,578 139,578 對 金 融 相 關 事 業 之 資 本 投 資
第二組掃描器規範書
第 二 組 掃 描 器 規 範 書 1. A4 規 格 2400 DPI( 含 ) 以 上 掃 描 器 第 1 項 ) 1-1. 機 型 : 平 台 式 掃 瞄 器 1-2. 光 學 解 析 度 :2400x2400DPI( 含 ) 以 上 1-3. 最 大 輸 出 解 析 度 :9600DPI( 含 ) 以 上 1-4. 介 面 :SCSI 介 面 ( 附 介 面 卡 及 傳 輸 線 ) 或 USB
一、報考資格： 碩士班：公立或已立案之私立大學或獨立學院或經教育部認可之國外大學畢業生或應屆畢業生，或具報考大學碩士班之同等學力資格，並符合本校各所訂定之條件者
附 錄 五 英 文 畢 業 門 檻 規 定 102 新 生 相 關 規 定 若 有 變 動 將 依 各 系 所 公 告 為 準 生 物 醫 學 研 究 所 碩 士 班 及 博 士 班 : 通 過 下 列 任 何 一 項 英 語 檢 測 標 準 即 達 英 文 畢 業 門 檻 : ( 七 ) 以 上 校 外 成 績 皆 未 通 過, 可 參 加 校 內 英 檢 測 驗 總 成 績 超 過 160 分
行 政 院 衛 生 署 醫 事 人 員 繼 續 教 育 積 分 管 理 系 統 使 用 手 冊 ( 醫 事 人 員 版 ) 中 華 民 國 100 年 2 月 15 日 文 件 修 訂 歷 史 版 本 制 / 修 訂 人 員 變 更 內 容 摘 要 頁 數 提 供 日 期 V1.0 蕭 鳴 孙 初 版 制 訂 All 100.1.18 目 錄 壹 登 入 說 明... 3 貳 操 作 描 述...
修 課 特 殊 規 定 : 一 法 律 系 學 生 最 低 畢 業 學 分 128;101 學 年 度 修 讀 法 律 系 雙 主 修 學 生 應 修 畢 法 律 專 業 目 64 學 分 ( 限 修 習 本 校 法 律 系 開 設 課 程, 不 得 以 原 學 系 或 外 校 課 程 抵 免 -
法 律 學 系 學 士 班 基 礎 科 目 一 覽 表 101 學 年 度 入 學 學 生 適 用 科 目 名 稱 必 規 定 第 一 學 年 第 二 學 年 第 三 學 年 第 四 學 年 群 學 分 上 下 上 下 上 下 上 下 備 註 ( 先 修 科 目 ) 刑 法 ( 一 ) 群 3 3 基 礎 科 目 刑 法 ( 二 ) 群 3 3 基 礎 科 目 / 先 修 刑 法 ( 一 ) 刑 事
題 目 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 摘 要 在 上 的 研 究 之 中, 我 們 列 舉 出 仍 未 探 討 的 題 目 及 問 題, 利 用 這 的 研 究 課 程 加 以 驗 證 在 實 驗 結 果 中 發 現, 加 入 箭 頭 有 助 於 落 點 的 集 中, 而 加
中 華 民 國 第 52 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 類 別 : 物 理 類 科 別 : 自 然 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 關 鍵 詞 : 弓 箭 箭 頭 落 點 飛 行 距 離 編 號 : 題 目 : 箭 在 弦 上 -- 弓 箭 祕 密 再 探 究 摘 要 在 上 的 研 究 之 中, 我 們 列
目 錄 頁 1. 歡 迎 使 用 網 上 預 約 面 談 訪 問 系 統... 3 2. 新 用 戶... 4 2.1 新 用 戶 登 入 帳 戶 程 序... 4 2.2 啟 動 網 上 預 約 面 談 訪 問 帳 戶... 5 2.2.1 核 對 帳 戶 的 地 址 資 料... 5 2.2.2
網 上 預 約 面 談 訪 問 使 用 指 南 香 港 特 別 行 政 區 政 府 統 計 處 目 錄 頁 1. 歡 迎 使 用 網 上 預 約 面 談 訪 問 系 統... 3 2. 新 用 戶... 4 2.1 新 用 戶 登 入 帳 戶 程 序... 4 2.2 啟 動 網 上 預 約 面 談 訪 問 帳 戶... 5 2.2.1 核 對 帳 戶 的 地 址 資 料... 5 2.2.2 閱
( 五 ) 財 務 會 計 理 論 研 討 3 學 分 ( 六 ) 審 計 理 論 研 討 3 學 分 ( 七 ) 管 理 會 計 理 論 研 討 3 學 分 第 四 條 選 修 科 目 : ( 一 ) 數 量 方 法 3 學 分 ( 二 ) 財 務 會 計 專 題 研 討 ( 一 ) 3 學 分
國 立 雲 林 科 技 大 學 會 計 系 管 理 博 士 班 會 計 組 研 究 生 修 業 要 點 101 年 9 月 19 日 101 學 年 度 第 1 學 期 第 2 次 系 務 會 議 通 過 第 一 章 訂 定 依 據 第 一 條 會 計 系 管 理 博 士 班 會 計 組 研 究 生 修 業 要 點 ( 以 下 簡 稱 本 修 業 要 點 ) 依 據 國 立 雲 林 科 技 大 學
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1. 2. 3. 4. 基 础 部 分 - 色 彩 TM TM Premier B2C Sales to China 2014 TM OCR www.divcom.com.hk/ocrc 現 在 開 始 計 劃 訪 問 亞 洲 零 售 博 覽 的 行 程! 交 通 配 套 乘 車 路 線 : 由 機 場 乘 坐 公 共 汽 車 : A11 或 E11 到 灣 仔 (~80 分 鐘 ) 地 鐵 :
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研 習 完 本 章, 將 學 會 1. 節 點 電 壓 法 --------------------------------------------01 2. 節 點 電 壓 法 之 特 例 -----------------------------------------08 3. 網 目 分 析 法 --------------------------------------------15 4.
玄奘大學 應用心理學系
玄 奘 大 學 應 用 心 理 學 系 研 究 所 碩 士 論 文 申 請 程 序 項 目 日 期 繳 交 資 料 遴 聘 指 導 教 授 一 提 論 文 題 目 及 論 文 指 導 教 授 同 意 書 需 符 合 下 列 條 件 : ( 一 ) 修 滿 超 過 一 半 的 學 分 (30 學 分 ) 或 ( 二 ) 所 有 必 修 課 已 修 過 ** 符 合 上 述 一 項 條 件 即 可 一
268 別 行 政 區 所 以, 全 國 人 民 代 表 大 會 根 據 憲 法 第 31 條 規 定 設 立 了 特 別 行 政 區 沒 有 憲 法 第 31 條 的 規 定, 就 沒 有 特 別 行 政 區 制 度 存 在 的 合 法 性 基 礎 62 正 如 上 述, 憲 法 為 特 別 行
行 政 第 二 十 三 卷, 總 第 八 十 八 期,2010 No.2,267 275 267 * 憲 法 和 基 本 法 是 澳 門 特 別 行 政 區 的 憲 制 基 礎, 體 現 在 二 個 方 面 第 一, 一 國 兩 制 的 實 施 需 要 制 度 化 和 法 律 化, 制 度 化 就 是 設 立 特 別 行 政 區, 法 律 化 就 是 制 定 特 別 行 政 區 基 本 法 制 度
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國 民 小 學 與 國 民 中 學 班 編 制 及 教 職 員 員 額 編 制 準 則 修 正 總 說 明 現 行 國 民 小 學 與 國 民 中 學 班 編 制 及 教 職 員 員 額 編 制 準 則 ( 以 下 簡 稱 本 準 則 ) 係 於 九 十 四 六 月 二 十 三 日 修 正 發 布, 為 配 合 立 法 院 第 六 屆 第 三 會 期 第 五 次 會 議 決 議, 請 教 育 部 (
課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析
電 子 學 ( 一 ) 課 程 簡 介 第 一 章 基 本 電 路 理 論 第 二 章 半 導 體 物 理 與 pn 接 面 二 極 體 元 件 分 析 第 三 章 二 極 體 電 路 分 析 第 四 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 第 五 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 直 流 偏 壓 分 析 第 六 章 雙 載 子 接 面 電 晶 體 之 交 流 小 訊 號 分 析 基 本 電 路
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嶺 東 科 技 大 學 財 務 金 融 系 日 四 技 學 生 專 業 學 習 地 圖 02 年 6 月 28 日 0 學 年 度 第 二 學 期 財 務 金 融 系 課 程 委 會 議 通 過 名 稱 微 積 分 ( 一 ) 微 積 分 ( 二 ) 個 體 經 濟 學 商 業 套 裝 軟 體 ( 二 ) 應 用 統 計 學 ( 一 ) 期 貨 與 選 擇 權 國 際 - 管 理 學 保 險 學 商
國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13
1Part BEVERAGE MODULATION PREPARATION 2 飲 料 調 製 丙 級 技 術 士 技 能 檢 定 必 勝 寶 典 Beverage Modulation Preparation 應 考 綜 合 注 意 事 項 1. 980301 980302 980303 A1 A2 A3 A4 A5 A6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 C13 C14 C15 C16
連江縣政府所屬學校兼任代課及代理教師聘任實施要點（草案）
連 江 縣 中 小 學 兼 任 代 課 及 代 理 教 師 聘 任 補 充 規 定 中 華 民 國 95 年 5 月 4 日 連 教 學 字 第 0950012838 號 中 華 民 國 97 年 7 月 25 日 連 教 學 字 第 0970022418 號 修 訂 中 華 民 國 99 年 1 月 11 日 連 教 學 字 第 0990001112 號 修 訂 中 華 民 國 101 年 10
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資 訊 王 資 料 可 於 相 關 網 站 查 詢 對 應 表 系 統 選 項 資 料 選 項 對 應 相 關 網 址 上 櫃 公 司 現 金 增 資 資 料 現 金 增 資 與 股 上 市 股 票 公 開 申 購 資 訊 票 申 購 上 櫃 股 票 公 開 申 購 資 訊 http://www.twse.com.tw/ch/announcement/public.php 合 併 / 個 別 財 務
Microsoft Word - BM900HD-2F電腦設定.doc
3.4 控 制 機 能 1/20 1. 顯 示 區 顯 示 當 前 起 重 機 狀 態 2. 蜂 鳴 器 蜂 鳴 器 主 要 用 於 過 載 ( 包 括 載 荷 限 制 警 報 ) 當 負 荷 到 達 90% 時, 蜂 鳴 器 間 歇 性 警 報, 到 達 100% 率 時 連 續 警 報 負 荷 率 增 加 時, 蜂 鳴 器 警 報 間 隔 時 間 越 來 越 短 警 報 類 型 間 斷 連 續
國立屏東師範學院教育心理與輔導研究所
諮 心 組 職 涯 領 域 與 生 涯 徑 路 圖 一 職 涯 領 域 以 下 為 本 所 畢 業 生 就 業 相 關 領 域 與 簡 介 說 明, 各 類 別 修 課 事 項 之 說 明 請 參 照 頁 碼 欄 位, 並 翻 至 該 頁 詳 讀 其 說 明, 以 作 為 未 來 就 業 與 修 業 課 程 安 排 之 參 考 此 外, 同 學 在 思 索 未 來 實 習 或 工 作 之 機 構 時,
的 課 程 計 畫 多 數 是 書 商 而 不 是 老 師 規 畫 的, 老 師 只 做 上 傳 的 動 作, 所 以 沒 人 會 去 看 這 份 計 畫! 但 是 我 發 現 日 本 的 教 學 指 導 ( 含 計 畫 與 教 案 ) 也 是 現 成 的 是 理 科 研 究 會 ( 民 間 的 理
日 本 九 州 參 訪 心 得 --- 教 學 計 畫 篇 --- 教 案 與 評 量 的 改 進 日 本 經 驗 --- 一 致 性 與 多 樣 性 吳 月 鈴 在 日 本 觀 課 時, 心 裡 在 想 --- 日 本 的 理 科 教 的 內 容 這 麼 基 礎 啊! 教 法 幾 乎 都 是 學 生 觀 察 實 做, 老 師 在 最 後 做 個 整 理 給 個 結 論, 沒 有 補 充 知 識 或
一、 資格條件：
臺 灣 港 務 股 份 有 限 公 司 新 進 人 員 甄 選 規 範 交 通 部 民 國 102 年 7 月 22 日 交 人 字 第 1025010095 號 函 核 定 交 通 部 民 國 103 年 8 月 4 日 交 授 港 總 人 字 第 10300564431 號 函 核 定 修 正 交 通 部 民 國 104 年 2 月 13 日 交 授 港 總 人 字 第 10401620891
Microsoft Word - 小論文-變性狗問卷調查.doc
篇 名 : 將 母 狗 變 性 來 解 決 流 浪 狗 問 題 之 問 卷 調 查 研 究 作 者 : 王 柏 勝 國 立 鹿 港 高 級 中 學 養 二 甲 班 柯 志 翰 國 立 鹿 港 高 級 中 學 養 二 甲 班 蔡 其 宏 國 立 鹿 港 高 級 中 學 養 二 甲 班 指 導 老 師 : 陳 光 烈 老 師 1 壹 前 言 流 浪 狗 的 問 題 存 在 已 久,( 註 一 ) 目 前
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Chapter 1 Word 範 本 的 利 用 使 用 Word 範 本 來 看 看 如 何 使 用 Word 裡 面 的 範 本 注 意, 在 安 裝 Office 2003 的 時 候, 請 記 得 選 取 完 整 安 裝, 才 能 正 常 使 用 範 本 1 開 新 檔 案 請 選 取 上 方 的 檔 案, 再 點 選 開 新 檔 案 這 裡 不 可 使 用 工 具 列 中 的 圖 示 按
四 資 格 考 試 ( 一 ) 本 所 學 生 修 畢 先 修 課 程 及 共 同 必 修 課 程 之 圖 書 資 訊 學 研 討 或 檔 案 學 研 究 ( 依 組 別 ), 得 申 請 參 加 資 格 考 試 ( 二 ) 申 請 時 間 每 年 2 次, 分 別 為 6 月 1-7 日 及 12
國 立 政 治 大 學 圖 書 資 訊 與 檔 案 學 研 究 所 碩 士 班 修 業 要 點 98 年 10 月 9 日 98 學 年 度 第 1 學 期 第 2 次 所 務 會 議 通 過 104 年 6 月 15 日 103 學 年 度 第 2 學 期 第 3 次 所 務 會 議 修 正 通 過 (104 學 年 度 起 入 學 生 適 用 ) 一 本 要 點 係 為 國 立 政 治 大 學
時間問題
解 難 之 趣 屯 門 區 小 學 數 學 比 賽 特 刊 第 十 六 屆 二 零 零 六 年 四 月 二 十 二 日 時 間 問 題 驟 眼 看 去, 時 間 問 題 很 容 易, 要 中 學 生 去 解 決 連 小 學 生 都 可 以 輕 易 解 決 的 戇 居 題 目, 簡 直 有 點 侮 辱 智 慧 不 過, 同 學 或 許 都 會 見 識 過 以 下 例 子 : 例 一 : 一 口 井 0