數 學 傳 播 35 卷 3 期, pp. 11-21 數 學 的 詩 篇 一 一 Fourier 分 析 林 琦 焜 深 入 研 究 大 自 然 是 所 有 數 學 發 現 最 富 饒 的 來 源, 不 僅 對 於 決 定 良 好 的 目 標 有 好 處, 也 有 助 於 排 除 含 糊 的 問 題 無 用 的 計 算 這 是 建 立 分 析 學 本 身 的 手 段, 也 協 助 我 們 發 現 科 學 裡 最 緊 要 最 應 永 遠 維 繫 的 概 念 最 基 本 的 概 念 就 是 表 現 自 然 事 件 的 概 念 熱 的 解 析 理 論 J. Fourier (1768 1830) 1. 聖 經 的 詩 篇 西 方 文 明 泉 源 之 一 是 希 伯 來 文 明, 其 主 要 代 表 則 是 聖 經 聖 經 不 是 一 本 書, 而 是 很 多 書 ( 共 66 卷 ) 的 統 稱 如 果 把 聖 經 從 中 間 打 開, 讀 者 肯 定 看 到 的 是 詩 篇 (Psalm), 詩 篇 的 希 臘 文 (stringed instrument) 是 由 弦 樂 而 來 詩 篇 的 主 要 作 者 之 一 : 大 衛 王 就 是 豎 琴 高 手, 聽 說 他 的 音 樂 可 以 醫 治 ( 掃 羅 王 ) 頭 痛 就 希 臘 文 的 原 意 來 看, 詩 必 須 有 音 樂 才 足 以 構 成 詩 篇 沒 有 音 樂 的 詩 是 缺 少 活 力 的 猶 太 人 是 詩 的 民 族, 充 滿 感 情, 快 樂 時 他 們 登 爬 喜 悅 的 高 峰 ; 痛 苦 時 陷 入 失 望 的 深 淵, 而 他 們 的 文 字 便 是 他 們 的 音 樂 人 一 代 一 代 過 去, 但 他 們 的 心 靈 依 舊 我 們 若 夠 聰 明, 也 應 該 從 這 些 詩 篇 中 獲 得 安 慰 我 們 今 天 受 的 苦, 在 我 們 以 前 的 人 早 已 受 過, 我 們 後 來 的 人 仍 舊 要 受 聖 經 的 故 事 房 龍 圖 1. 少 年 大 衛 11
12 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 2. 弦 振 動 方 程 Fourier 分 析 的 起 源 正 如 詩 篇 的 意 義, 是 從 弦 樂 器 也 就 是 弦 振 動 開 始 一 般 我 們 將 法 國 數 學 家 Jean d Alembert (1717 1783) 於 1747 年 發 表 的 論 文 張 緊 的 弦 振 動 時 形 成 的 曲 線 研 究 視 為 偏 微 分 方 程 的 開 端 在 這 篇 文 章 中 d Alembert 藉 由 牛 頓 定 律 推 導 出 第 一 個 偏 微 分 方 程 ( 弦 振 動 方 程 或 波 動 方 程 ) 2 u t 2 c2 2 u x 2 = 0, c2 = T ρ (2.1) 這 裡 T 是 琴 弦 的 拉 力 ρ 是 密 度 c 則 是 琴 弦 的 傳 播 速 度 並 且 只 用 到 微 積 分 的 知 識, 他 就 證 明 了 弦 振 動 方 程 (2.1) 的 解 u(x, t) 可 以 表 示 為 u(x, t) = f(x ct) + g(x + ct) (2.2) 其 中 f g 是 任 意 的 好 函 數 ( 意 思 是 二 次 可 微 ), 通 常 我 們 稱 (2.2) 為 d Alembert 公 式 以 紀 念 他 的 貢 獻 在 d Alembert 之 前, 英 國 科 學 家 Brook Taylor (1685 1731) 就 研 究 了 弦 振 動 問 題, 並 發 表 了 小 提 琴 弦 的 基 本 振 動 頻 率 公 式 ; 它 完 全 由 琴 弦 的 長 度 拉 力 與 密 度 所 決 定, 但 是 Taylor 並 沒 有 採 用 偏 導 數 的 概 念, 也 因 此 並 沒 有 得 到 波 動 方 程 (2.1) 圖 2. d Alembert 圖 3. Taylor 波 動 方 程 (2.1) 是 一 個 描 述 波 形 ( 二 階 ) 變 化 率 的 微 分 方 程, 除 了 空 間 的 變 化 率 之 外, 還 有 時 間 的 變 化 率 ( 代 表 加 速 度 ), 它 基 本 上 是 牛 頓 第 二 運 動 定 律 的 產 物, (2.1) 告 訴 我 們 琴 弦 每 一 小 段 的 加 速 度 都 與 這 一 小 段 所 受 的 拉 力 成 正 比 如 果 把 初 始 條 件 與 外 力 h(x, t) 考 慮 進 來 { (D.E.) 2 u c 2 2 u = h(x, t), t > 0, x R t 2 x 2 (I.C.) u(x, 0) = f(x), (x, 0) = g(x) (2.3) t
數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 13 則 d Alembert 公 式 (2.2) 可 以 進 一 步 推 廣 為 u(x, t) = 1 ( ) 1 f(x ct) + f(x + ct) + 2 2c + 1 2c t x+c(t τ) 0 x c(t τ) x+ct x ct g(ξ)dξ h(ξ, τ)dξdτ (2.4) 簡 單 的 量 綱 ( 因 次 ) 分 析 (dimensional analysis) 可 以 判 斷 (2.4) 的 合 理 性 首 先 由 初 始 值 其 次 方 程 式 本 身 也 告 訴 我 們 u(x, 0) = f(x) = [f] = [[u] ] (x, 0) = g(x) = [g] = = [u]t 1 t t 2 u t u 2 c2 2 x h(x, t) = [c] = 2 T 1, [h] = [u]t 2 因 此 (2.4) 每 一 項 的 量 綱 都 是 [u], 換 句 話 說 d Alembert 公 式 (2.4) 是 量 綱 平 衡, 所 以 從 物 理 的 角 度 來 看 (2.4) 這 個 解 是 合 理 且 自 然 的 初 始 值 t (x, 0) = g(x) 告 訴 我 們 初 速 度 g(x) 基 本 上 是 u(x, t) 的 一 階 微 分, 所 以 (2.4) 的 第 二 式 是 函 數 g(x) 的 一 次 積 分 另 外 波 動 方 程 本 身 則 說 明 非 齊 次 項 h(x, t) 是 u(x, t) 的 二 階 微 分, 所 以 (2.4) 最 後 一 項 是 h(x, t) 的 二 重 積 分 這 肯 定 了 我 們 的 理 念 : 方 程 式 本 身 是 會 講 話 的 與 d Alembert 同 年 代 的 瑞 士 數 學 家. Euler (1707 1783), 從 d Alembert 的 研 究 成 果 出 發 也 推 得 波 動 方 程 ( 有 邊 界 ), 並 且 給 了 一 個 特 殊 的 三 角 級 數 解 : u(x, t) = u(x, 0) = a n sin nπx a n sin nπx cos nπct (2.5) 這 就 是 Fourier 級 數 的 最 初 形 式 在 此 之 前 瑞 士 Bernoulli 家 族 的 Daniel Bernoulli (1700 1782) 在 1727 年 也 研 究 了 波 動 方 程, 他 引 進 分 離 變 數 法 (separation of variables), 根 據 他 的 理 論, 最 一 般 的 解 可 以 表 示 為 無 窮 多 個 正 弦 波 的 疊 加 ( 即 三 角 級 數 ) 因 此 與 d Alembert 及 Euler 的 成 果 有 差 異, 後 來 法 國 數 學 家 ouis agrange (1736 1813) 也 加 入 這 一 場 為 期 將 近 一 個 世 紀 的 論 戰 整 個 論 戰 的 核 心 是 那 種 函 數 才 可 以 表 示 成 三 角 函 數 之 和, 在 那 個 年 代 人 們 對 於 函 數 是 什 麼? 仍 然 是 非 常 的 分 歧 這 個 問 題 一 直 要 等 到 法 國 數 學 家 Fourier 才 解 決, 而 Fourier 分 析 就 是 這 場 論 戰 的 結 晶, 最 後 歷 史 也 還 給 D. Bernoulli 一 個 公 道 :
14 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 d Alembert 與 Euler 所 提 出 的 新 曲 線, 全 都 只 是 Taylor 振 動 ( 三 角 級 數 ) 的 組 合 而 已 Daniel Bernoulli (1700-1782) 圖 4. Euler 圖 5. D. Bernoulli 3. 分 離 變 數 法 我 們 回 到 波 動 方 程 的 初 邊 值 問 題 (D.E.) 2 u = c t 2 2 u, 0 x, 0 t, 2 x 2 (B.C.) u(0, t) = u(, t) = 0, 0 t, (I.C.) u(x, 0) = f(x), (x, 0) = g(x), 0 x t 按 D. Bernoulli 的 分 離 變 數 法, 我 們 可 以 假 設 u(x, t) = T(t)ϕ(x), 代 入 方 程 式 得 T (t) + c 2 λ 2 T(t) = 0 ϕ (x) + λϕ(x) = 0, ϕ(0) = ϕ() = 0 (3.1) 對 ϕ(x) 而 言, 這 就 是 著 名 的 Sturm-iouville 問 題, 即 所 謂 的 固 有 值 問 題 (eigenvalue problem), 為 什 麼 呢? 顯 然 ϕ = 0 是 一 個 無 聊 解 (trivial solution)! 除 了 ϕ = 0 之 外 是 否 有 其 它 真 正 有 聊 的 解 呢? 所 以 由 此 自 然 而 然 就 衍 生 出 微 分 方 程 的 固 有 值 問 題 類 似 於 線 性 代 數 的 理 論, 我 們 可 以 計 算 得 固 有 值 與 固 有 函 數 ( ) 2 nπ λ n =, ϕ n (x) = sin nπx, n = 1, 2, (3.2)
數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 15 將 λ n 代 入 T 滿 足 的 方 程 式 並 令 其 解 為 T n T n (x) = a n cos nπct + b n sin nπct, n = 1, 2, (3.3) 其 中 a n b n 是 任 意 的 常 數 所 以 由 重 疊 原 理 ( 線 性 ), 一 般 解 可 以 表 示 為 ( u(x, t) = T n (t)ϕ n (x) = a n cos nπct + b n sin nπct ) ϕ n (x) (3.4) 現 在 的 問 題 是 如 何 決 定 係 數 a n b n 呢? 回 到 方 程 式! 還 好 原 來 的 問 題 有 兩 個 初 始 值 ( 按 牛 頓 定 律 我 們 需 要 最 開 始 的 位 置 與 速 度, 才 能 決 定 粒 子 的 運 動 軌 跡 ) 所 以 f(x) = u(x, 0) = 利 用 垂 直 ( 正 交 ) 的 概 念 可 得 g(x) = t (x, 0) = a n = 2 b n = 2 nπc 0 a n sin nπx nπc b n sin nπx f(x) sin nπx dx 事 實 上, Euler 就 是 利 用 這 方 法 推 導 出 Fourier 係 數 a n b n 0 (3.5) g(x) sin nπx dx (3.6) 由 弦 振 動 方 程 的 解 (3.4) 我 們 看 到, 弦 的 固 有 振 動 在 整 個 弦 上 具 有 整 數 個 正 弦 半 波 的 形 式, 每 個 固 有 振 動 都 有 一 定 的 頻 率, 而 且 這 些 頻 率 可 以 按 大 小 順 序 排 列 為 cπ, 2cπ, 3cπ,, ncπ, cπ 頻 率 稱 為 基 音 頻 率, 其 它 的 頻 率 是 所 謂 的 泛 音 頻 率 固 有 函 數 ϕ n (x) = sin nπx 在 區 間 0 x 中 改 變 n 1 次 符 號, 固 有 函 數 等 於 0 的 點 稱 為 波 節 或 節 點 (node) 在 弦 的 振 動 第 一 泛 音 的 波 節 所 對 應 的 點 固 定 不 動 則 基 音 就 消 失, 我 們 只 聽 到 第 一 泛 音, 也 就 是 提 高 了 八 度 音 按 照 我 們 對 一 般 解 (3.4) 的 認 識, 振 幅 u(x, t) 與 係 數 a n b n 必 須 具 有 相 同 的 量 綱 : [u] = [a n ] = [b n ], 事 實 上 也 的 確 是 如 此 簡 單 的 量 綱 分 析 得 [a n ] = 1 [f]1 = [f] = [u]
16 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 [b n ] = 1 [c] [g]1 = 1 T 1 [u] T = [u] 依 三 角 函 數 的 常 識 判 斷, 有 正 弦 波 必 然 也 有 餘 弦 波 cos nπx 為 何 弦 振 動 只 有 正 弦 波 解? 餘 弦 波 那 裡 去 了 呢? 這 裡 面 有 非 常 深 刻 的 物 理 及 數 學 內 涵, 簡 而 言 之, 就 是 對 稱 性 (symmetry) 對 邊 界 條 件 u(0, t) = 0 而 言 ( 我 們 稱 為 Dirichlet 邊 界 條 件 ), 直 觀 上, 可 以 這 麼 看 : 一 個 好 函 數 在 原 點 ( 邊 界 點 ) 的 值 等 於 0, 若 要 將 此 函 數 週 期 性 平 滑 地 擴 張 到 整 個 實 數 軸 的 左 邊, 那 麼 必 然 是 一 個 奇 函 數, 我 們 稱 為 奇 函 數 擴 張 (odd function extension), 因 此 弦 振 動 的 解 只 有 正 弦 波 同 理 可 以 想 像 如 果 邊 界 值 是 x (0, t) = 0 (Neumann 邊 界 條 件 ) 則 弦 振 動 的 解 是 餘 弦 波, 因 為 在 原 點 的 微 分 等 於 0, 函 數 在 原 點 左 右 兩 邊 差 不 多 是 對 稱, 所 以 必 定 是 一 偶 函 數, 我 們 稱 為 偶 函 數 擴 張 (even function extension), 因 此 弦 振 動 的 解 只 有 餘 弦 波 藉 由 Euler 公 式 e iθ = cosθ + i sin θ, 可 以 將 波 動 方 程 的 解 (3.4) (3.6), 表 示 得 更 精 簡 : f(x) c n e i nπx a 0 = 2 + ( a n cos nπx + b n sin nπx ) (3.7) c n = 1 f(x)e i nπx dx 2 (3.7) 這 個 漂 亮 的 公 式 告 訴 我 們 Fourier 級 數 真 正 的 主 角 是 {e i nπx }, 它 扮 演 的 角 色 正 如 連 續 函 數 中 的 多 項 式 {x n } 所 扮 演 的 一 樣 因 為 {e i nπx } 是 一 個 複 數, 自 然 就 會 有 如 此 的 困 惑 : (3.7) 右 邊 的 無 窮 級 數 是 實 數 值, 那 麼 左 邊 的 無 窮 級 數 真 的 是 實 數 值 嗎? 這 問 題 問 得 好! 多 少 人 是 照 單 全 收 就 如 此 迷 糊 過 了 一 輩 子 這 問 題 的 答 案 仍 然 是 對 稱 性, 因 為 負 的 足 碼 n 與 正 的 足 碼 n 正 好 是 共 軛, 所 以 相 加 之 後 是 一 實 數, 因 此 結 論 (3.7) 的 左 式 也 必 然 是 實 數 值 如 果 所 取 的 級 數 不 是 左 右 對 稱, 則 不 能 肯 定 是 否 是 一 實 數! Fourier 級 數 (3.7) 還 可 以 藉 由 三 角 函 數 的 和 差 化 積 ( 或 積 化 和 差 ) 改 寫 為 f(x) = 1 2 f(ξ)dξ + 1 f(ξ) cos nπ(x ξ) dξ (3.8) 在 這 裡 我 們 看 到 褶 積 (convolution) 自 然 而 然 出 現, 這 是 一 個 深 刻 的 理 論, 與 對 稱 性 不 變 量 有 關, 這 裡 主 要 是 平 移 不 變 ( 時 間 或 空 間 ) 波 動 方 程 也 許 是 有 史 以 來 最 重 要 的 方 程 式, 就 連 愛 因 斯 坦 的 質 能 公 式 E = mc 2 也 比 不 上 這 是 一 個 極 為 有 趣 的 例 子, 說 明 了 數 學 是 如 何 隱 身 於 大 自 然 之 中 同 時 也 是 古 希 臘 精 神 的 重 現 關 於 熱 我 們 是 否 也 有 同 樣 的 論 證? 大 自 然 是 依 數 學 來 設 計 的
數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 17 4. 熱 傳 導 方 程 熱 的 解 析 理 論 號 稱 為 應 用 解 析 ( 分 析 ) 的 聖 經, 是 Fourier 最 著 名 的 著 作 於 1822 年 出 版, 但 其 中 大 部 分 的 內 容 可 追 溯 至 1807 年, 他 呈 送 給 巴 黎 科 學 院 的 一 篇 論 文, 當 時 經 過 了 3(agrange aplace egendre) 審 查 後, 被 科 學 院 拒 絕 在 1811 年 才 又 提 交 修 改 後 的 論 文, 並 獲 得 巴 黎 科 學 院 的 大 獎, 這 篇 文 章 開 闢 了 數 學 史 上 富 有 成 果 的 新 篇 章, 該 文 章 主 要 是 研 究 金 屬 棒 圓 盤 立 方 體 的 熱 傳 導 問 題, 最 簡 單 的 情 形 是 (D.E.) = k 2 u, t > 0, 0 < x < t x 2 (B.C.) u(0, t) = u(, t) = 0, t > 0 (I.C.) u(x, 0) = f(x), 0 < x < (4.1) 仿 D. Bernoulli 的 分 離 變 數 法, Fourier 也 可 以 將 熱 傳 導 的 解 表 示 為 三 角 級 數 但 是 Fourier 更 將 D. Bernoulli 與 Euler 的 成 果 發 展 成 一 般 的 理 論, 因 此 今 天 我 們 稱 之 為 Fourier 級 數 而 不 僅 僅 是 三 角 級 數 在 該 論 文 中, 他 做 出 了 令 人 驚 訝 的 結 論 : 由 任 意 繪 出 的 圖 形 且 定 義 在 有 限 閉 區 間 的 任 何 函 數 都 可 以 被 分 解 為 正 弦 函 數 與 餘 弦 函 數 的 和 f(x) = a 0 2 + (a n cosnx + b n sin nx), 0 x 2π 函 數 是 否 真 的 等 於 其 Fourier 級 數? 或 者 換 個 角 度 說 : 函 數 f 之 Fourier 級 數 是 否 收 斂 到 函 數 f? 這 個 問 題 就 成 為 整 個 數 學 分 析 發 展 的 核 心 為 此 不 同 的 收 斂 概 念 應 運 而 生 : 逐 點 收 斂 一 致 收 斂 絕 對 收 斂 p - 收 斂, 甚 至 弱 收 斂 (weak convergence) 等 等 而 對 應 的 就 是 函 數 空 間 (function space) 的 問 題, 這 些 都 大 大 地 豐 盛 了 數 學 的 內 涵 而 且 也 構 成 了 近 代 分 析 的 絕 大 部 分 對 於 這 個 問 題, 第 一 個 突 破 性 的 發 展 是 德 國 數 學 家 G.. Dirichlet (1805 1859), 他 在 Fourier 的 影 響 與 鼓 勵 下 研 究 Fourier 級 數 的 收 斂 性, 這 件 工 作 也 成 為 他 最 負 盛 名 的 成 就 這 件 事 引 導 他 將 函 數 的 概 念 一 般 化, 並 給 出 了 一 個 處 處 不 連 續 的 函 數 1, x [0, 1] Q f(x) = 0, x [0, 1] Q 今 天 我 們 稱 之 為 Dirichlet 函 數, 由 於 他 開 創 性 的 工 作, B. Riemann (1826 1866) 特 別 尊 稱 他 是 Fourier 分 析 真 正 的 奠 基 者
18 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 圖 6. Dirichlet 圖 7. Riemann 真 正 的 不 連 續 函 數 是 經 由 Riemann 在 Fourier 級 數 的 收 斂 性 上 的 工 作 才 進 入 數 學 的 主 流 在 Fourier 的 工 作 中 已 經 表 露 了 有 必 要 讓 積 分 對 不 連 續 函 數 也 有 意 義, 所 以 Riemann 在 1854 年 的 就 職 演 說 中 特 別 提 出 這 個 問 題 我 們 如 何 瞭 解 積 分 b a f(x)dx? 他 的 答 案 就 是 今 天 我 們 仍 然 沿 用 的 Riemann 積 分 Riemann 使 可 積 性 的 概 念 明 確 化, 用 的 是 我 們 現 在 稱 做 Riemann 積 分 的 定 義, 這 個 定 義 在 20 世 紀 推 廣 至 更 一 般 的 ebesgue 積 分 繼 Riemann 之 後, 德 國 數 學 家 Cantor 等 等 不 少 第 一 流 的 數 學 家 對 此 問 題 都 有 重 要 的 貢 獻 1876 年 Paul du Bois Reymond (1831 1889) 造 出 了 連 續 的 週 期 函 數 其 Fourier 級 數 在 某 些 點 發 散 蘇 聯 數 學 家 A. Kolmogorov (1903 1987) 更 造 出 了 一 個 可 積 函 數 其 Fourier 級 數 到 處 發 散 所 以 怎 樣 的 函 數 才 可 能 收 斂 呢? 這 個 問 題 在 1966 年 由 瑞 典 數 學 家. Carleson 解 決 他 證 明 2 - 函 數 ( 平 方 可 積 函 數 ) 是 對 的, 後 來 美 國 數 學 家 R. Hunt 利 用 插 值 法 推 廣 到 p (1 < p) 函 數 都 是 對 的 5. Fourier 積 分 與 變 換 如 果 只 有 Fourier 級 數, 那 麼 Fourier 就 不 值 得 稱 為 Fourier 他 進 一 步 考 慮 週 期 2, 意 思 是 無 窮 大 的 週 期 或 非 週 期 函 數 藉 由 Riemann 和 與 Riemann-ebesgue 引 理, 得 到 所 謂 的 Fourier 積 分 公 式 f(x) = 1 π dξ 0 f(y) cosξ(x y)dy (5.1)
數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 19 讀 者 可 以 驗 證 (5.1) 是 量 綱 平 衡, 要 提 醒 的 是 圓 周 率 π 無 法 丟 掉 可 以 稱 這 項 是 演 化 過 程 ( ) 所 留 下 來 的 DNA 無 論 是 2π 或 2 週 期 函 數, 基 本 上 都 是 考 慮 在 圓 上 的 函 數, 如 今 變 成 (, ), 必 定 有 π 以 便 留 下 圓 的 基 因 圖 8. Fourier 變 換 由 (5.1) 我 們 可 以 進 一 步 得 到 Fourier 變 換 f(ξ) = f(x)e iξx dx, f(x) = 1 2π f(ξ)e iξx dξ (5.2) 實 際 上 由 (5.1) 可 以 衍 生 其 他 不 同 的 Fourier 變 換 之 定 義, 但 不 管 是 哪 一 種 定 義, 最 終 Fourier 變 換 與 逆 變 換 合 併 在 一 起 時 π 一 定 要 出 現 Fourier 積 分 是 研 究 一 條 無 窮 長 的 線 上 的 熱 傳 導 問 題 所 發 展 出 來, 頻 率 與 週 期 的 關 係 是 基 本 頻 率 = 1 週 期 如 果 一 個 波 需 要 無 限 長 的 時 間 才 能 完 成 一 個 週 期, 那 麼 它 的 頻 率 將 非 常 接 近 0, 所 以 當 週 期 接 近 無 限 大 時, 頻 率 之 間 沒 有 間 隙, 而 頻 譜 就 成 為 連 續 的, 因 此 當 週 期 是 無 限 大 時, 所 有 的 頻 率 都 會 出 現 Fourier 變 換 比 Fourier 級 數 更 豐 富 應 用 更 廣, 甚 至 有 許 多 Fourier 分 析 的 書 乾 脆 直 接 從 這 裡 開 始 Fourier 變 換 已 經 是 現 代 數 學 分 析 的 核 心, 是 解 偏 微 分 方 程 還 有 其 他 分 析 不 可 或 缺 的 工 具, 甚 至 近 代 物 理 或 科 技 許 多 領 域 都 會 用 到, 在 量 子 力 學 中 物 質 波 是 透 過 Fourier 分 析 而 具 體 表 現 值 得 一 提 的 Heisenberg 測 不 準 ( 不 確 定 性 ) 原 理 是 可 以 利 用 Fourier 變 換 來 證 明 的, 這 是 Hermann Weyl (1885 1955) 的 傑 作 證 明 的 方 法 是 Cauchy-Schwarz 不 等 式 而 且 連 帶 地, 當 等 式 成 立 時, 就 是 最 穩 定 的 情 形 是 基 態 (ground state), 正 是 Gaussian ( 高 斯 函 數 )
20 數 學 傳 播 35 卷 3 期 民 100 年 9 月 圖 9. Heisenberg 圖 10. Weyl 6. 效 法 Fourier 熱 的 解 析 理 論 是 記 載 了 Fourier 與 Fourier 積 分 之 誕 生 的 重 要 文 獻, 在 數 學 史 與 科 學 史 都 公 認 是 一 部 劃 世 代 的 經 典 著 作 Fourier 在 這 部 名 著 中 所 發 展 的 方 法 與 解 微 分 方 程 的 強 而 有 力 的 工 具, 還 有 留 下 來 待 解 的 問 題, 除 了 極 大 的 推 動 19 世 紀 以 後 數 學 的 發 展 之 外, 也 更 豐 富 了 數 學 與 科 學 的 生 命 Fourier 的 研 究 成 果 是 典 型 數 學 美 的 表 現, 而 Fourier 分 析 猶 如 一 首 數 學 的 長 詩 他 證 明 了, 所 有 的 聲 音 ( 複 雜 的 或 簡 單 的 ) 都 可 以 用 數 學 的 方 式 加 以 描 述, 由 於 Fourier 的 研 究, 使 得 音 樂 的 樂 章 也 能 表 示 成 數 學 的 形 式 現 代 的 音 樂 愛 好 者 顯 然 應 該 把 Fourier 的 貢 獻 看 作 與 貝 多 芬 一 樣 的 偉 大 Fourier 的 理 論 和 方 法 幾 乎 滲 透 到 近 代 物 理 的 所 有 部 門 1826 年 歐 姆 (Georg Simon Ohm, 1787 1854) 利 用 熱 傳 導 聯 想 到 電 傳 導, 用 熱 效 應 的 辦 法 對 電 進 行 實 驗 研 究, 從 而 得 出 著 名 的 電 傳 導 公 式, 即 歐 姆 定 律 高 斯 (1781 1840) 與 Poisson(1777 1855) 也 把 熱 的 解 析 理 論 裡 面 的 方 法 應 用 到 電 學, 並 得 到 豐 碩 的 成 果 著 名 物 理 學 家 J. C. Maxwell (1831-1879) 曾 把 熱 的 解 析 理 論 稱 為 一 首 偉 大 的 數 學 的 詩, 而 物 理 學 家 ord Kelvin (1824 1907) 不 但 稱 之 為 數 學 的 詩, 而 且 宣 稱 他 自 己 在 數 學 物 理 的 全 部 生 涯 都 受 到 這 部 著 作 的 影 響 隨 著 數 學 的 形 式 化 公 理 化 抽 象 化 與 一 般 化 而 漸 漸 失 去 活 力, 由 於 沒 有 創 新 的 觀 點 沒 有 新 的 目 標, 數 學 可 能 很 快 在 其 邏 輯 證 明 的 嚴 格 性 下 枯 竭, 一 旦 實 質 性 的 東 西 消 失, 數 學 的 發 展 便 停 滯 不 少 有 遠 見 的 數 學 家 不 禁 要 問 說 : 我 們 是 否 該 回 到 Fourier?
參 考 文 獻 數 學 的 詩 篇 Fourier 分 析 21 1. J. C. Taylor, Hidden Unity in Natural s aw, Cambridge University Press, (2001) ( 中 譯 本 : 自 然 規 律 中 蘊 蓄 的 統 一 性 ; 北 京 理 工 大 學 出 版 社 ( 中 國 ), 2003 ) 2. James W. Brown and Ruel V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, 6th Edition, McGraw-Hill (2001). 3. H. Dym and H. P. Mckean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, New York, (1972). 4. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and its Applications, Brooks/Cole Publishing Company (1992). 5. Joseph Fourier, The Analytical Theory of Heat (Dover Phoenix Editions) (1787). 6. Enriwue A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Problems. Academic Press, Inc. (1995). 7. Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, Princeton ectures in Analysis, Princeton University Press (2003). 8. Elias M. Stein and Guido Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1971). 9. Robert S. Strichartz, A guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific (2003). 10. A. Zygmund, Trigonometric Series, Volumes I and II. Cambridge University Press, 2nd Edition, 1959, reprinted 1993. 11. 跨 國 語 言 交 流 實 驗 學 院 ( 著 ), 葉 偉 文 ( 譯 ), 數 學 嗆 聲 班 ( 基 礎 班 ) ( 進 階 班 ), 台 北 : 天 下 文 化 (2007) 12. 林 琦 焜, 從 三 角 求 和 公 式 到 Fourier 級 數, 數 學 傳 播 ( 中 央 研 究 院 數 學 所 ), Vol. 103, 11-29(2002) 13. 林 琦 焜, 從 量 綱 看 世 界, 數 學 傳 播 ( 中 央 研 究 院 數 學 所 ), Vol. 131, 13-27 (2009) 本 文 作 者 任 教 國 立 交 通 大 學 應 用 數 學 系 更 正 啟 事 本 刊 第 35 卷 第 2 期 (138 號 ) 複 分 析 五 講 第 五 講 作 者 張 德 健 教 授 來 函 更 正 錯 誤 如 下 : 原 文 88 頁 第 1 行 f ( Hf 2 + A op Hf ) ( ) 改 為 f H 2 f + A op Hf 89 頁 參 考 文 獻 1, 2, 3, V. Ahlfors 改 為. V. Ahlfors 89 頁 參 考 文 獻 2, 359-36? 改 為 359-364