简 介 算 术 几 何 学 陈 江 ( 桂 林 市 七 星 区 朝 阳 路 信 息 产 业 园 同 兴 大 楼 3 室 544) 辞 海 中 说 : 数 学 研 究 现 实 世 界 的 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的 科 学. 现 实 世 界 又 称 为 现 实 宇 宙. 华 罗 庚 数 学 的 用 场 与 发 展 : 恩 格 斯 说 : 纯 数 学 的 对 象 是 现 实 世 界 的 空 间 形 式 和 数 量 关 系. 数 学 是 从 物 理 模 型 抽 象 出 来 的, 它 包 括 数 与 形 两 方 面 的 内 容. [] 吴 文 俊 数 学 的 概 况 及 其 发 展 : 数 学 的 研 究 对 象 是 现 实 世 界 中 的 数 量 关 系 与 空 间 形 式. 数 与 形, 这 两 个 基 本 概 念 是 整 个 数 学 的 两 大 柱 石. 整 个 数 学 就 是 围 绕 着 这 两 个 概 念 的 提 炼 演 变 与 发 展 而 发 展 着 的. []5 简 单 讲, 纯 数 学 或 数 学 科 学 的 对 象 是 现 实 宇 宙 ( 现 实 世 界 ) 的 形 和 数. 事 实 上, 公 理 化 的 数 学 有 三 种 : 一 种 是 以 古 希 腊 欧 几 里 得 为 代 表 的 有 形 无 数 的 几 何 学 ; 另 一 种 是 以 西 方 的 康 托 尔 为 代 表 的 有 数 无 形 的 算 术 的 集 论 ; 还 有 一 种 是 以 历 史 的 中 国 人 为 代 表 的 数 形 统 一 或 相 结 合 的 算 术 几 何 学 ( 简 称 算 术 几 何 ). 算 术 几 何 学 在 文 言 经 典 中 早 有 记 载. 如, 说 文 解 字 载 : 一 : 惟 初 太 极 [ 笔 者 按 : 理 论 思 维 初 始 其 对 象 太 极 ( 最 大 者, 即 整 个 宇 宙 的 几 何 图 形, 表 为 图 a ). 惟, 思 也, 见 于 说 文 解 字, 指 思 想 思 维 活 动 ], 道 立 于 一 [ 道, 指 建 立 在 表 宇 宙 只 有 一 个 的 图 a 基 础 上 的 几 何 分 形 理 a... a 7 a 8 a 9 a 9 a 9 a 93... a a a 4 8 4 3 3 3 3 / 3 4 / 4 4 4 4 5 / 5 5 5 5 6 / 6 6 6 6 n / n n n n n n ( 为 图 实 取 其 半 ) ( 为 图 a 7 实 取 其 半 ) ( 为 对 图 a 8 通 分 ) ( 为 求 解 无 穷 小 量 的 形 与 数 辩 证 法 眼 ) ( 为 图 a 9 一 般 化 ) n =,, ( 表 图 a 暴 胀 ) n=,, ( 表 图 a 膨 胀 ) n =,, 论. 老 子 ( 一 章 ): 道, 可 道. 庄 子 缮 性 : 道, 理 也. 说 文 解 字 注 理 : 郑 注 乐 记 曰 : 理 者, 分 也 ], 造 分 天 地, 化 成 万 物. 康 熙 字 典 : 十 : 说 文 十, 数 之 具 也 [ 具, 器 也, 实 物 也. 故 曰, 十 为 载 数 之 物 的 抽 象 图 形 也 ]. 一 为 东 西, 为 南 北, 则 四 方 中 央 [ 连 乎 大 一 统 ( 无 穷 大 ) 之 数 ] 备 矣. 易 [ 即 变 化 或 运 动 ], 数 生 于 [ 图 形 ] 一 [ 说 文 解 字 注 : 一 : 惟 初 大 极, 道 立 于 一. 造 分 天 地, 化 成 万 物. 汉 a 3 图 一 尺 之 捶 日 [ 实 ] 取 其 半 万 世 不 竭 而 无 为 以 终 ( 为 图 a 展 开 )
书 曰, 元 元 本 本, 数 始 于 一. 凡 一 之 属 皆 从 一. 一 之 形 一 有 其 形!, 于 六 书 为 指 事 ],[ 分 化 ] 成 [ 万 物 之 数 ] 于 [ 图 形 ] 十 [ 图 a 3 ]. 若 此, 显 然 从 唯 一 的 一 条 公 理 : 宇 宙 只 有 一 个 ( 图 a ) 出 发, 中 国 人 以 庄 子 天 下 : 一 尺 之 捶 [ 笔 者 按 : 一, 其 数 ; 尺, 其 形. 一 尺 ( 图 a, 即 图 ), 为 形 数 统 一 或 相 结 合 几 何 学 的 图 形 ], 日 取 其 半 [ 对 图 实 取 其 半 即 得 图 a 7. 日 半, 见 说 文 解 字 : 日, 实 也. 又 : 半, 物 中 分 也. ], 万 世 不 竭 [ 图 a 8 ] 而 无 为 以 终 ( 图 a ), 就 演 绎 证 明 了 算 术 几 何 学 之 形 上 完 备 的 大 一 统 ( 连 续 统 ) 算 术 整 数 ( 图 a 及 其 展 开 的 图 a 3 ), 即 以 文 言 而 为 之 的 老 子 ( 三 十 四 章 ): 大 道 氾 兮, 其 可 左 右 或 庄 子 则 阳 : 吾 观 之 本, 其 往 无 穷 之 说, 而 在 人 类 文 明 的 公 理 化 数 形 统 一 或 相 结 合 几 何 学 史 上 首 先 找 到 了 于 形 上 的 位 居 之 所 ( 见 于 图 a 3 ). 详 述 之 则 为 : 对 图 实 取 其 半, 则 得 图 a 7 ; 对 图 a 7 实 取 其 半, 则 得 图 a 8 ; 对 图 a 8 通 分, 则 得 图 a 9 ; 将 图 a 9 一 般 化, 则 得 图 a. 但 是, 在 辩 证 的 整 个 宇 宙 ( 图 a ) 内 部 是 左 右 对 称 的 矢 量, 宇 宙 内 部 运 动 的 数 学 形 式 描 述 只 能 是 行 以 算 术 几 何 方 法 ( 俗 称 数 学 物 理 方 法 ) 的 张 量 运 算, 即 将 图 a 扩 大 ⁿ 倍, 以 描 述 暴 胀 运 动 的 宇 宙, 则 得 图 a ; 接 着 施 以 张 量 运 算, 即 将 图 a 扩 大 倍, 以 描 述 膨 胀 运 动 的 宇 宙, 则 得 图 a. 张 量 运 算 至 此 因 张 之 入 微 而 不 可 再 张, 即 无 为 以 终. 展 开 图 a, 则 得 证 图 a 3 成 立. 关 于 公 理 化, 美 国 的 数 学 史 家 M. 克 莱 因 指 出 : 亚 里 士 多 德 认 为 公 理 或 公 设, 数 目 应 该 愈 少 愈 好, 只 要 它 们 能 用 以 证 明 所 有 结 果. 虽 然 欧 几 里 德 也 采 用 亚 里 士 多 德 之 说, 把 公 理 和 公 设 区 别 开 来, 但 直 到 9 世 纪 末 期 为 止 所 有 数 学 家 都 漠 视 这 一 区 别, 把 公 理 和 公 设 当 作 同 样 是 不 言 自 明 的. 亚 里 士 多 德 认 为 公 理 是 从 观 察 实 物 [ 对 象 ]([ 俗 称 ] 物 理 对 象 ) 得 出 的. 它 们 是 直 接 为 人 们 所 理 解 的 一 般 性 认 识. [3]66 我 们 知 道, 最 简 单 的 数 是 算 术 的 整 数, 最 简 单 的 几 何 图 形 ( 简 称 形 ) 是 线 段. 数 与 形 统 一 或 相 结 合 的 最 简 单 的 形 式 表 现, 是 常 规 的 标 量 态 的 图 a ; 而 图 a 的 向 量 态 ( 即 矢 量 态 ), 可 证 是 也 只 是 非 常 规 的 图. M. 克 莱 因 指 出 : 在 希 腊 人 之 前 的 所 有 文 明 中, 几 何 思 想 肯 定 是 离 不 开 实 物 的. 例 如, 埃 及 人 的 直 线 就 无 非 是 拉 紧 的 绳 或 田 地 的 一 边, 而 矩 形 则 是 田 地 的 边 界. 数 学 研 究 抽 象 概 念, 数 不 能 离 开 感 觉 到 的 对 象 而 独 立 存 在. [3]34 他 还 说 道 : 伽 利 略 和 笛 卡 儿 一 样, 一 下 子 就 剥 掉 了 千 百 种 现 象 和 性 质, 而 集 中 到 物 质 和 运 动 这 两 种 可 以 用 数 学 描 述 的 东 西, 在 一 个 把 运 动 问 题 作 为 最 突 出 最 严 肃 的 问 题 的 世 纪 里, 科 学 家 认 为 运 动 是 一 个 基 本 的 物 理 现 象, 也 许 是 不 足 为 怪 的. [3]3334 又 : 拉 格 朗 日 有 一 次 曾 经 发 牢 骚 说, 牛 顿 是 一 个 最 侥 幸 的 人, 因 为 宇 宙 只 有 一 个 而 牛 顿 已 经 发 现 了 它 的 数 学 规 律. [4]8 又 : 为 什 么 希 腊 人 爱 好 并 强 调 数 学 的 抽 象 概 念 呢? 我 们 不 能 回 答 这 个 问 题, 但 应 指 出 早 期 希 腊 数 学 家 是 哲 学 家, 而 哲 学 家 普 遍 的 对 希 腊 数 学 的 发 展 有 着 决 定 性 的 影 响. [3]37 我 们 知 道, 现 实 宇 宙 ( 现 实 世 界 ) 是 物 质 的, 物 质 是 运 动 的. 辩 证 法 的 哲 学 家 恩 格 斯 说 : 运 动 是 物 质 的 存 在 方 式. 无 论 何 时
何 地, 都 没 有 也 不 可 能 有 没 有 运 动 的 物 质. [5]56 他 还 说 : 运 动 本 身 就 是 矛 盾. [5]7 即 物 质 宇 宙 ( 图 a ) 的 运 动 本 身 就 是 矛 盾 ( 图 ). 关 于 有 数 无 形 的 算 术 的 集 论,M. 克 莱 因 说 : 亚 里 士 多 德 讨 论 了 怎 样 能 把 点 同 线 联 系 起 来 这 个 基 本 问 题. 他 的 主 张 实 质 是 : 点 和 数 是 离 散 量, 必 须 同 几 何 上 的 连 续 量 区 别 开 来. 在 算 术 上 没 有 连 续 集 合 ( 连 续 统 ). [3]6 即 形 与 数 统 一 或 相 结 合 的 算 术 几 何 上 才 有 连 续 量 或 连 续 统 ( 如 图 ). 怎 样 从 具 体 的 物 质 实 践 中 观 察 实 物 对 象 而 得 出 数 与 形 统 一 或 相 结 合 算 术 几 何 学 的 唯 一 的 一 条 公 理 : 宇 宙 只 有 一 个 ( 图 a ) 以 及 怎 样 演 绎 证 明 宇 宙 内 部 矛 盾 ( 图 ) 呢? 恩 格 斯 说 : 注 意. 物 质 本 身 是 纯 粹 的 思 想 创 造 物 和 纯 粹 的 抽 象. [6]33 又 : 确 实 有 人 认 为, 我 们 也 不 知 道 什 么 是 物 质 和 运 动! 当 然 不 知 道, 因 为 抽 象 的 物 质 和 运 动 还 没 有 人 看 到 或 体 验 到 ; 只 有 各 种 不 同 的 现 实 地 存 在 的 实 物 和 运 动 形 式 才 能 看 到 或 体 验 到. 实 物 物 质 无 非 是 各 种 实 物 的 总 和, 而 这 个 概 念 就 是 从 这 一 总 和 中 抽 象 出 来 的 ; 运 动 无 非 是 一 切 可 以 从 感 觉 上 感 知 的 运 动 形 式 的 总 和 ; 象 物 质 和 运 动 这 样 的 名 词 无 非 是 简 称, 我 们 就 用 这 种 简 称, 把 许 多 不 同 的 可 以 从 感 觉 上 感 知 的 事 物, 依 照 其 共 同 的 属 性 把 握 住. 因 此, 要 不 研 究 个 别 的 实 物 和 个 别 的 运 动 形 式, 就 根 本 不 能 认 识 物 质 和 运 动 ; 而 由 于 认 识 个 别 的 实 物 和 个 别 的 运 动 形 式, 我 们 也 才 认 识 物 质 和 运 动 本 身. [6]4 曾 炜 锋 先 生 于 文 献 [7] 指 出 : 可 以 设 想, 远 古 文 明 时 期 的 中 国 人 取 用 一 条 蓍 草 茎 的 抽 象 几 何 图 形 ( 简 称 形 ) 的 线 段 ( 图 a ) 所 表 述 的 个 别 的 实 物, 而 对 其 行 以 具 体 的 操 作 实 验, 即 对 图 a 施 以 一 定 形 式 的 自 我 量 度 ( 运 动 ) 或 对 折, 则 得 图 a. 以 图 a 为 基 础 又 对 折, 则 得 图 a 3. 从 而 在 实 践 中 获 得 了 感 性 经 验 的 认 识, 即 在 图 a 3 中 : () 绝 对 动 的 物 D, 是 而 且 只 能 够 是 整 个 现 实 宇 宙 ( 又 称 现 实 世 界 ) 的 抽 象.( 辞 海 : 数 学 研 究 现 实 世 界 的 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的 科 学. ) () 识 者 则 知, 能 够 同 整 个 现 实 世 界 ( 即 现 实 宇 宙 ) D重 合 相 等 者 DC, 是 而 且 只 能 够 是 整 个 现 实 世 界 于 虚 空 中 的 容 身 处 所. (3) 绝 对 不 动 者 C, 是 而 且 只 能 够 是 整 个 现 实 宇 宙 D 绝 对 运 动 的 场 所 虚 空 ( 没 有 物 质 存 在 ). a C a 4 a 5 动 不 动 a 绝 对 动 D 绝 对 不 动 a 3 D C C 图 实 物 的 形 和 开 始 定 量 在 具 备 了 以 上 实 践 的 感 性 经 验 的 认 识 ( 感 性 认 识 ) 后, 中 国 人 就 经 验 方 法 地 绳 直 图 a 3, 而 得 图 a 4. 在 图 a 4 中, 整 个 现 实 宇 宙 D 显 现 出 唯 一 的 物 质 态, 即 中 国 人 的 实 践 唯 物 论. 毛 泽 东 实 践 论 : 离 开 实 践 的 认 识 是 不 可 能 的. 于 是, 中 国 人 的 认 识 论 便 从 认 识 的 低 级 阶 段 感 性 认 识 的 基 础 上, 开 始 升 华 而 发 展 到 了 认 识 的 高 级 阶 段 理 性 认 识, 从 而 提 出 3
了 唯 一 的 一 个 出 发 点 假 设 或 公 理 : 宇 宙 只 有 一 个, 以 数 值 定 量 地 刻 画 整 个 现 实 宇 宙 ( 图 a 5 ), 探 索 和 求 解 客 观 宇 宙 整 体 的 运 动 ( 绝 对 运 动 ) 整 个 宇 宙 内 部 的 运 动 ( 相 对 性 运 动 ), 及 其 运 动 的 公 理 化 的 形 数 结 合 几 何 形 式 规 律 表 现. 即, 根 据 图 a 5, 探 索 和 求 解 现 实 宇 宙 的 整 体 运 动 绝 对 运 动 ( 图, ) 及 其 运 动 规 律 ; 再 者, 继 以 图 a 5 中 的 实 者, 即 以 图 3 a 行 以 深 入 探 索 和 求 解 整 个 现 实 宇 宙 内 部 的 各 种 运 动 相 对 性 运 动 及 其 运 动 规 律. 对 于 整 个 宇 宙 ( 图 3 a ) 内 部 的 各 种 运 动, 其 数 值 定 量 有 两 种 表 述 是 可 能 的 : a 其 一 是, 在 图 的 物 质 实 践 中, 用 算 术 的 整 数 直 接 命 名 或 标 定 图 a 4 中 唯 一 显 现 出 物 质 态 的 实 者 ( 整 个 现 实 宇 宙 D), 得 图 a 5 中 的 实 者, 即 得 表 整 个 现 实 宇 宙 的 图 3 a, 定 量 的 这 种 表 述 称 为 标 量. 现 在, 我 们 把 整 个 宇 宙 ( 图 3 a ) 当 作 量 度 实 验 对 象, 即 对 整 个 宇 宙 ( 图 3 a ) 施 以 一 定 形 式 的 自 我 量 度 ( 运 动 ) 或 自 相 对 折, 则 得 图 3 a ; 经 验 地 绳 直 图 3 a, 则 得 图 3 a 3, 并 求 得 整 个 宇 宙 的 几 何 图 形 中 心. 定 量 的 另 一 种 表 述 是, 用 两 数 分 别 命 名 或 界 定 线 段 的 两 端 ( 点 ). 先 以 一 数 界 定 线 段 的 一 端 作 为 始 端 ( 点 ), 再 以 另 一 数 界 定 线 段 的 另 一 端 作 为 末 端 ( 点 ), 即 把 标 量 的 图 3 a 3 变 换 为 图 3 a 4, 是 可 能 的. 图 3 a 4 这 样 表 述 定 量 具 有 从 线 段 的 一 端 到 另 一 端 的 方 向 感, 故 称 其 为 向 量 或 矢 量. 数 始 于 一. 算 术 的 整 数 是 数 的 根 基, 而 数 首 先 是 用 于 将 宇 宙 标 量 的 描 述 ( 如 图 3 a 3 ) ( 动 ) ( 动 ) a a 3 a 4 a 5 图 3 对 称 变 换 到 宇 宙 向 量 ( 矢 量 ) 的 描 述 ( 如 图 3 a 4 ). 运 动 是 整 个 宇 宙 的 存 在 方 式. 表 整 个 现 实 宇 宙 的 图 3 a 4 绕 自 身 的 中 心 平 旋 两 个 直 角, 则 得 图 3 a 5 ; 图 3 a 5 绕 自 身 的 中 心 平 旋 两 个 直 角, 则 得 图 3 a 4 ; 这 种 无 休 止 而 永 恒 的 整 体 自 旋, 即 整 个 现 实 宇 宙 于 虚 空 中 的 运 动 ( 绝 对 运 动 ), 但 这 整 个 过 程 却 具 有 形 数 统 一 或 相 结 合 左 右 内 向 的 对 称 ( 图 3 ) [7]():. 换 言 之, 在 向 量 ( 矢 量 ) 的 表 述 上, 整 个 宇 宙 永 不 静 止 的 自 旋 总 是 否 定 常 规 单 向 的 图 3 a 4 或 图 3 a 5, 而 得 证 唯 有 非 常 规 的 图 3 能 够 表 述 图 3 a 之 整 个 宇 宙 的 定 量, 且 把 宇 宙 内 部 原 始 的 左 右 内 向 对 称 即 相 互 矛 盾 对 抗 显 现 出 来. 于 图 3 可 见, 数 的 意 义 首 先 是 理 论 界 定 物 质 宇 宙 存 在 的 边 界. 从 而 得 以 数 值 刻 画 定 量 方 式 继 续 探 索 和 求 解 整 个 宇 宙 内 部 的 各 种 运 动 相 对 性 运 动, 建 立 起 中 国 本 土 的 左 右 内 向 相 互 对 称 而 形 象 化 的 新 相 对 论 相 对 性 论 理 论 ( 图 3, ; 即 图 3 及 其 发 展 ). 即, 整 个 现 实 宇 宙 ( 图 ) 内 部 的 相 对 性 运 动 只 能 够 首 先 是 内 耗 的 排 斥, 其 几 何 形 式 表 现 只 能 够 是 形 数 结 合 的 几 何 分 形 和 张 量 态 [7](): ( 图 ) 及 其 发 展, 必 一 而 贯 之 地 定 量 显 现 出 来. 4
老 子 ( 一 章 ):[ 立 于 一 之 ] 道 [ 按 : 庄 子 缮 性 : 道, 理 也. 说 文 解 字 注 理 : 郑 注 乐 记 曰 : 理 者, 分 也 ], 可 道 [ 可 对 图 3 ( 即 图 ) 中 分 ]; 非 常 道 [ 而 不 是 对 常 规 的 图 3 a 4 或 图 3 a 5 中 分 ]. 列 宁 说 : 统 一 物 [ 笔 者 按 : 宇 宙 统 一 于 物 质. 即 图 3 a ; 亦 即 图 a ] 之 分 为 两 部 分 [ 图 3 ; 即 图 ] 以 及 对 它 矛 盾 着 的 部 分 [ 即 左 右 内 向 对 称 的 图 3 ( 即 图 ) 的 左 侧 或 右 侧 每 取 损 其 半 之 物 质 耗 损 与 动 态 ( 图 3, ; 即 图 3 及 其 发 展 )] 的 认 识, 是 辩 证 法 的 实 质 ( 是 辩 证 法 的 本 质 之 一, 是 它 的 主 要 特 点 或 特 征 之 一, 甚 至 是 它 的 最 主 要 特 点 或 特 征 ). [8] 恩 格 斯 说 : 数 和 形 的 概 念 不 是 从 其 他 任 何 地 方, 而 是 从 现 实 世 界 中 得 来 的. [5]35 小 学 课 本 : 我 们 在 数 物 体 的 时 候, 用 来 表 示 物 体 个 数 的,,3, 叫 做 自 然 数. [9] 如 所 周 知, 物 体 本 身 用 几 何 图 形 ( 简 称 形 ) 表 示, 算 术 整 数 或 自 然 数 是 用 以 定 量 物 体 形 的 个 数 的 ( 如 图 ), 即 纯 数 学 之 始 就 是 形 与 数 相 结 合 的. 数 学 家 华 罗 庚 说 : 对 宇 宙 的 认 识 还 将 有 多 么 大 的 进 展, 我 不 知 道, 但 可 以 说, 每 一 步 都 是 离 不 开 数 学 [ 科 学 ] 这 个 [ 公 理 化 的 形 数 结 合 的 算 术 几 何 形 式 ] 工 具 的. []3 参 考 文 献 [] 华 罗 庚. 数 学 的 用 场 与 发 展 [M] // 现 代 科 学 技 术 简 介 编 辑 组. 现 代 科 学 技 术 简 介. 科 学 出 版 社, 978. [] 吴 文 俊. 数 学 的 概 况 及 其 发 展 [M] // 现 代 科 学 技 术 简 介 编 辑 组. 现 代 科 学 技 术 简 介. 科 学 出 版 社, 978:5. [3] 美 M. 克 莱 因 著. 张 理 京, 张 锦 炎 译. 古 今 数 学 思 想 ( 第 一 册 )[M]. 上 海 : 上 海 科 学 技 术 出 版 社,979. [4] 美 M. 克 莱 因 著. 北 京 大 学 数 学 系 数 学 史 翻 译 组 译. 古 今 数 学 思 想 ( 第 二 册 )[M]. 上 海 : 上 海 科 学 技 术 出 版 社,979. [5] 恩 格 斯. 反 杜 林 论 : 中 译 本 [M]. 北 京 : 人 民 出 版 社, 97. [6] 恩 格 斯. 自 然 辩 证 法 : 中 译 本 [M]. 北 京 : 人 民 出 版 社, 97. [7] 曾 炜 锋. 论 物 动 学 中 公 理 化 的 形 数 结 合 几 何 学 方 法 (); () [ J]. 科 学 之 友,9,(33): 6;,4( 下 旬 ): 8. [8] 列 宁. 谈 谈 辩 证 法 问 题 : 中 译 本 [M]. 北 京 : 人 民 出 版 社, 973:. [9] 人 民 教 育 出 版 社 小 学 数 学 室. 九 年 义 务 教 育 六 年 制 小 学 教 科 书 数 学 ( 第 十 二 册 )[M]. 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,:73. 作 者 简 介 : 陈 江, 男,964 年 生,983 年 大 学 本 科 毕 业, 工 学 学 士, 高 级 工 程 师. Email: cjguilin@qq.com 5