第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 鸡 兔 同 笼 问 题 又 称 为 假 设 问 题, 其 一 般 模 型 是 : 鸡 兔 同 笼, 共 有 头 a 个, 共 有 足 b 只. 问 鸡 兔 各 若 干? 这 个 模 型 的 算 术 解 法 是 : 假 设 a 个 都 是 兔, 则 共 4a 个 足, 比 实 际 的 b 个 足 多 4a b个 足. 为 什 么 多 了 呢? 因 为, 一 只 鸡 当 作 一 只 兔, 即 多 算 4 2只 足, 因 此 (4 a b) (4 2) = 鸡 的 头 数. 同 理, 假 设 a 个 都 是 鸡, 则 共 2a 个 足, 比 实 际 的 b 个 足 少 b 2a个 足. 为 什 么 少 了 呢? 因 为, 一 只 兔 当 作 鸡 即 少 4 2只 足, 因 此 ( b 2 a) (4 2) = 兔 的 头 数. 总 之 : 假 设 与 实 际 结 果 之 差 产 生 不 同 结 果 的 原 因 差 = 与 假 设 相 反 的 量. 用 假 设 法 解 应 用 题, 思 路 就 是 先 选 择 一 种 假 设 的 方 案, 再 根 据 与 实 际 结 果 之 间 比 较 的 差 距 进 行 调 整. 可 以 发 挥 大 家 的 想 象 力, 小 同 学 们 觉 得 有 趣 好 玩. 是 发 展 学 生 数 学 思 维 的 极 好 素 材. 1. 鸡 兔 同 笼 问 题 与 假 设 法 例 1. 在 中 国 古 代 数 学 著 作 孙 子 算 经 里 的 下 卷 问 题 31 是 : 今 有 雉 兔 同 笼, 上 有 三 十 五 头, 下 有 九 十 四 足. 问 雉 兔 各 几 何? 答 曰 : 雉 二 十 三, 兔 一 十 二. 如 何 求 解 呢? 其 实 这 个 问 题, 小 学 生 动 脑 动 手 一 定 会 解. 我 们 可 以 试 算 么! 试 算 的 方 法 : 雉 兔 同 笼, 上 有 三 十 五 头, 无 非 雉 34 兔 1, 雉 33 兔
应 用 问 题 十 讲 2, 雉 32 兔 3,, 雉 1 兔 34, 每 种 都 计 算 足 数, 恰 能 满 足 总 足 数 为 94 的 那 一 组 就 是 解 答. 我 们 开 始! 雉 34 兔 1, 共 有 足 34 2+1 4=72; 雉 33 兔 2, 共 有 足 33 2+2 4=74; 雉 32 兔 3, 共 有 足 32 2+3 4=76; 雉 31 兔 4, 共 有 足 31 2+4 4=78; 雉 30 兔 5, 共 有 足 30 2+5 4=80; 雉 29 兔 6, 共 有 足 29 2+6 4=82; 雉 28 兔 7, 共 有 足 28 2+7 4=84; 雉 27 兔 8, 共 有 足 27 2+8 4=86; 雉 26 兔 9, 共 有 足 26 2+9 4=88; 雉 25 兔 10, 共 有 足 25 2+10 4=90; 雉 24 兔 11, 共 有 足 24 2+11 4=92; 雉 23 兔 12, 共 有 足 23 2+12 4=94; 雉 22 兔 13, 共 有 足 22 2+13 4=96; 雉 21 兔 14, 共 有 足 21 2+14 4=98; 雉 1 兔 34, 共 有 足 1 2+34 4=138. 从 试 算 数 据 的 结 果 可 见, 雉 23 只, 兔 12 只. 试 算 当 然 麻 烦 费 时, 不 过 它 给 我 们 许 多 启 示, 其 实 每 一 次 试 算 都 是 假 设 实 验, 穷 尽 有 限 种 不 同 的 假 设 实 验, 总 有 一 种 会 合 于 解 答! 能 不 能 只 找 一 两 次 的 假 设 就 可 以 简 化 求 解 过 程 呢? 想 一 想! 对 呀! 我 们 可 以 找 最 极 端 的 假 设, 与 题 设 比 较, 找 到 产 生 差 异 的 原 因, 最 后 找 到 解 答. 不 也 可 以 吗! 我 们 不 妨 再 试 一 试. 算 术 解 法 1: 假 设 35 个 头 都 是 雉 ( 鸡 ), 由 于 每 只 雉 2 只 脚, 所 以 共 有 2
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 2 35=70 只 脚. 但 题 设 94 只 脚. 为 什 么 少 了 94-70=24 只 脚 呢? 原 因 是 每 个 兔 子 当 作 雉, 要 少 算 2 只 脚, 因 此 少 了 的 24 只 脚 是 因 为 将 24 2=12 只 兔 子 当 作 雉 的 结 果. 因 此 兔 子 12 只, 雉 35-12=23 只. 综 合 列 式 : 兔 : (94 2 35) (4 2) = 12 ( 只 ). 雉 :35 12 = 23 ( 只 ). 多 么 简 洁 的 解 法! 我 们 假 设 35 个 头 都 是 兔 子 的 也 可 以 吧? 算 术 解 法 2: 假 设 35 个 头 都 是 兔 子 的, 由 于 每 只 兔 4 只 脚, 所 以 共 4 35=140 只 脚. 但 题 设 94 只 脚. 为 什 么 多 了 140-94 = 46 只 脚 呢? 原 因 是 每 个 雉, 当 作 兔 子 要 多 算 2 只 脚, 因 此 多 了 的 46 只 脚 是 因 为 将 46 2= 23 只 雉 当 作 兔 子 的 结 果. 因 此 雉 23 只, 兔 35-23 =12 只. 综 合 列 式 : 雉 : (4 35 94) (4 2) = 23 ( 只 ). 兔 :35 23 = 12 ( 只 ). 殊 途 同 归! 妙! 还 有 更 奇 特 的 想 法 呢! 算 术 解 法 3: 假 设 这 笼 子 中 的 雉 都 是 金 鸡 独 立 的 单 脚 雉, 兔 子 都 是 前 脚 抱 着 大 罗 卜 的 双 脚 兔, 则 共 有 35 个 头,94 2= 47 只 脚, 由 于 每 只 双 脚 兔 比 单 脚 雉 多 一 只 脚, 所 以 有 兔 47-35 =12( 只 ), 雉 35-12 = 23( 只 ). 还 有 更 狠 的 想 法, 你 看 : 算 术 解 法 4:( 学 生 提 出 的 解 法 ). 假 设 每 只 动 物 都 砍 掉 2 条 腿. 则 共 砍 掉 2 35=70 条 腿, 还 剩 94-70 =24 条 腿. 这 些 腿 都 是 兔 子 的 腿, 每 只 兔 还 剩 2 条 腿, 所 以 共 有 兔 子 24 2 = 12( 只 ). 雉 35-12 = 23( 只 ). 正 是 砍 掉 了 雉 的 所 有 腿, 兔 的 只 数 就 水 落 石 出 了! 算 术 解 法 5:( 学 生 别 出 心 裁 的 假 设 ) 每 只 雉 给 它 装 上 一 个 假 头, 变 3
应 用 问 题 十 讲 成 双 头 雉, 每 只 兔 也 装 上 一 个 假 头, 变 成 双 头 兔. 这 时, 头 的 总 数 为 原 来 的 2 倍 :2 35=70, 每 只 双 头 雉 有 2 头 2 足, 每 只 双 头 兔 有 2 头 4 足. 每 只 雉 的 足 数 等 于 头 数, 每 只 兔 的 足 数 比 头 数 多 2( 即 4 2), 于 是 因 总 足 数 94 比 总 头 数 70 多 24, 知 道 兔 的 头 数 是 12( 即 24 2), 列 得 算 式 得 : (94 35 2) (4 2) = 12, 这 就 是 兔 的 头 数. 因 此 雉 为 35-12=23 只. 算 术 解 法 5 与 算 术 解 法 1 列 式 一 样, 但 解 法 的 理 由 设 想 差 异 很 大. 再 如 算 术 解 法 3 综 合 列 式 为 94 2 35 = 12 ( 兔 的 只 数 ), 如 果 不 与 学 生 交 流 列 式 的 理 由, 很 可 能 误 认 为 学 生 是 凑 数 蒙 出 来 的. 我 们 将 题 设 的 日 常 语 言 翻 译 成 代 数 语 言, 可 列 得 方 程 或 方 程 组 : 方 程 解 法 1: 设 兔 x 只, 则 雉 有 35 x 只. 兔 有 脚 4x 只, 雉 共 有 脚 2(35 x) 只. 依 题 意 列 出 方 程 4x+ 2(35 x) = 94, 解 得 x = 12 数 ), 雉 :35 12 = 23 ( 只 ). 这 是 列 成 一 元 一 次 的 方 程 求 解. ( 兔 的 只 方 程 解 法 2: 设 雉 x 只, 共 2x 只 脚, 兔 y 只, 共 4 y 只 脚. 则 列 得 方 程 组 : x+ y = 35 (1) 2x+ 4y = 94 (2) (1) 2 得 2x+ 2y = 70 (3) (2) (3) 得 2y = 24, 因 此 y = 12 ( 只 ). 兔 的 头 数. 这 是 列 成 二 元 一 次 联 立 方 程 组 求 解. 雉 35 12 = 23 ( 只 ), 雉 的 头 数. 须 知, 图 形 也 是 一 种 数 学 语 言, 图 形 法 可 以 数 形 结 合, 体 现 数 学 的 直 观 美! 图 形 解 法 1: AB 代 表 雉 兔 头 数 35. ACDE 代 表 兔 子 的 总 足 数, 4
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 CBFG 代 表 雉 的 总 足 数. ABFGDE 代 表 雉 兔 的 总 足 数 94. 右 上 角 补 上 一 块 长 方 形 GFHD, 构 成 大 长 方 形 ABHE. 其 面 积 为 4 35=140, 因 此 补 上 的 一 块 GFHD 的 面 积 等 于 4 35-94=46. 要 求 雉 的 头 数 CB=GF, 而 FH =4-2=2, 所 以 雉 的 头 数 = 46 (4-2)=23. 兔 的 头 数 =35-23=12. 综 合 列 式 : (4 35 94) (4 2) = 23头 ( 雉 ). 35-23 = 12 头 ( 兔 ). 图 形 解 法 2: 我 们 这 样 考 虑, 既 然 雉 兔 的 总 头 数 为 35, 如 果 能 求 得 雉 兔 头 数 之 比, 自 然 问 题 可 解. 我 们 寻 着 这 一 思 路 进 行 探 索. 设 雉 x 只, 共 2x 只 脚 ; 兔 y 只, 共 4 y 只 脚. 则 列 得 方 程 组 : x+ y = 35 (1) 2x+ 4y = 94 (2) (2) 2x+ 4y 94 24 24 得 : = = 2, 即 平 均 每 头 动 物 2 只 脚. (1) x+ y 35 35 35 从 图 中 可 见 矩 形 ABMP 为 雉 兔 的 总 足 数 94, 与 矩 形 ACDE ( 雉 的 足 数 ) 和 CBFG ( 兔 的 足 数 ) 的 和 相 等, 因 此 得 矩 形 PQDE 的 面 积 = 矩 形 GFMQ 的 面 24 24 积, 于 是 得 4 2 y = 2 2 x, 35 35 46 24 即 y = x. 所 以 x: y = 23:12. 35 35 结 合 x+ y = 35, 易 得 x = 23 ( 雉 的 头 数 ), y = 12 ( 兔 的 头 数 ). 2x+ 4y 94 24 这 里 的 = = 2, 孕 育 着 混 合 物 加 权 平 均 的 思 想! x+ y 35 35 5
应 用 问 题 十 讲 图 形 解 法 3: 我 们 还 可 以 这 样 考 虑, 既 然 雉 兔 的 总 头 数 为 35, 如 果 能 求 得 雉 兔 头 数 之 差, 自 然 问 题 可 转 化 为 和 差 问 题. 我 们 寻 着 这 一 思 路 进 行 探 索. 如 图 设 雉 x 只, 共 2x 只 脚 ( 灰 色 矩 形 ); 兔 y 只, 共 4 y 只 脚 ( 黄 色 矩 形 ). 用 两 个 灰 色 矩 形 与 两 个 黄 色 矩 形 拼 成 矩 形 ABCD, 中 间 空 一 个 矩 形 PQMN. 矩 形 ABCD 的 面 积 为 (4 + 2)( x+ y) = 6x+ 6y= 6( x+ y) = 6 35 = 210. 它 等 于 两 个 灰 色 矩 形 与 两 个 黄 色 矩 形 面 积 之 和 再 加 上 矩 形 PQMN 的 面 积 2( x y). 因 此 210= 2 94+ 2( x y) 所 以, x y = 11. 结 合 x+ y = 35, 立 得 x = 23 ( 雉 的 头 数 ), y = 12 ( 兔 的 头 数 ). 等 量 代 换 法 : 我 们 设 想 一 头 兔 子 换 成 两 只 雉, 总 足 数 不 变, 仍 是 94 只 足. 而 头 数 变 成 35+ 兔 子 头 数. 所 以 总 足 数 为 (35+ 兔 子 头 数 ) 2 应 和 94 相 等. 因 此,(35+ 兔 子 头 数 ) 2= 94, 所 以, 兔 子 头 数 = 12. 雉 的 头 数 =35-12=23. 试 算 的 方 法 回 头 看 : 观 察 试 算 的 数 表, 如 果 开 始 是 雉 34 兔 1, 共 有 足 34 2+1 4=72; 以 后, 每 一 只 雉 换 成 兔 增 加 2 条 腿, 那 么 多 少 只 兔 子 换 成 雉, 增 加 的 腿 数 恰 是 94 72 = 22 呢? 这 是 首 项 为 72, 公 差 为 2 的 等 差 数 列, 已 知 前 n 项 的 和 94, 求 项 数 n =? 的 问 题,94 = 72 + ( n 1) 2, 解 得 n = 12. 即 兔 子 12 只, 进 一 步 求 得 雉 23 只. 这 里 面 与 等 差 数 列 也 存 在 着 内 在 的 联 系. 6
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 中 国 古 算 解 法 : 上 置 35 头, 下 置 94 足, 半 其 足, 得 47. 以 少 减 多, 再 命 之 : 上 3 除 下 4, 上 5 除 下 7; 下 有 1, 除 上 3, 下 有 2, 除 上 5, 即 得. 意 思 是 说, 在 47 对 足 中, 除 去 35 对, 其 中 有 雉 足 也 有 兔 足, 之 所 以 有 余 数, 因 为 兔 数 大 于 雉 数. 显 然 这 余 数 就 是 兔 数. 这 里 所 做 两 次 减 法 : 35 47 12 就 是 原 题 解 法 所 说 上 3 除 下 4, 上 5 除 下 7; 得 12, 即 为 兔 数. 35 12 23 就 是 原 题 解 法 所 说 : 下 有 1, 除 上 3, 下 有 2, 除 上 5, 得 23, 即 为 雉 数. 宋 代 杨 辉 续 古 摘 奇 算 法 (1275) 卷 下 录 此 题 作 为 第 1 题, 并 另 给 解 法 : 倍 头 减 足, 折 半 为 兔, 4 因 只 数, 以 共 足 减 之, 余 皆 雉 足, 折 半 为 雉. 这 里, 第 一 句 话 是 把 兔 子 也 看 成 2 足, 则 35 头 应 有 70 足, 但 题 设 总 足 数 是 94, 因 此 还 有 94 70 = 24 足, 是 12 只 兔 子 所 有. 第 二 句 话 是 说, 若 把 35 个 头 都 看 成 是 兔 子, 应 有 140 足. 但 题 设 总 足 数 是 94, 可 见 35 头 不 全 是 兔 子 的. 其 中 140 94 = 46 是 雉 所 有. 因 此 有 23 只 雉. 说 明 : 本 题 是 后 世 鸡 兔 同 笼 问 题 的 始 祖. 后 来 传 到 日 本, 变 成 鹤 龟 算. 从 解 题 思 想 来 说, 鸡 兔 同 笼 用 的 是 假 设 法. 通 过 我 们 的 解 法 剖 析, 可 见, 鸡 兔 同 笼 问 题 的 思 想 方 法 内 涵 是 十 分 丰 富 的. 古 人 布 筹 施 算, 文 言 叙 述. 细 心 体 会, 其 实 与 我 们 的 算 术 假 设 法 别 无 二 致. 以 下 的 问 题, 一 般 我 们 只 给 出 算 术 或 方 程 的 一 种 解 法, 其 余 的 解 法, 有 兴 趣 的 读 者 可 以 自 己 探 索. 7
应 用 问 题 十 讲 例 2. 鸡 和 兔 同 笼, 小 明 细 心 数 了 数, 发 现 笼 子 里 一 共 有 36 个 头 和 96 条 腿, 那 么 你 能 确 定 笼 子 里 有 多 少 只 鸡, 有 多 少 只 兔 吗? 分 析 : 每 只 鸡 有 1 个 头 和 2 条 腿, 每 只 兔 子 有 1 个 头 和 4 条 腿, 因 此 条 件 中 共 有 36 个 头 就 相 当 于 告 诉 我 们 鸡 和 兔 一 共 有 36 只. 下 面 就 可 以 假 设 笼 子 中 的 36 只 都 是 鸡, 那 么 应 该 有 36 2=72 条 腿, 比 条 件 中 的 96 条 腿 要 少, 原 因 就 是 一 些 假 设 中 的 2 条 腿 的 鸡, 实 际 是 4 条 腿 的 兔, 因 此 把 一 些 鸡 再 换 成 兔, 就 可 以 把 缺 少 的 24 条 腿 补 回 来 了. 答 : 笼 子 里 有 24 只 鸡,12 只 兔. 解 : 假 设 笼 子 中 的 36 只 都 是 鸡, 就 有 腿 36 2=72( 条 ) 比 实 际 腿 的 数 量 少 了 96 72=24( 条 ) 把 一 只 鸡 换 成 兔, 腿 的 数 量 增 加 4 2=2( 条 ) 兔 子 的 数 量 是 24 2=12( 只 ) 鸡 的 数 量 是 36 12=24( 只 ) 说 明 : 假 设 法 是 解 决 鸡 兔 同 笼 问 题 的 重 要 方 法, 假 设 的 情 形 也 是 多 样 的, 请 你 试 一 试 在 假 设 笼 子 中 都 是 兔 子 的 情 形 下, 是 不 是 也 可 以 得 到 相 同 的 结 果 呢? 鸡 兔 同 笼 问 题 还 有 其 他 的 基 本 形 式, 下 面 给 出 三 种 : 1. 鸡 兔 同 笼, 共 有 36 个 头, 兔 子 的 腿 比 鸡 的 腿 多 96 条, 那 么 笼 子 里 有 多 少 只 鸡, 多 少 只 兔? 2. 鸡 兔 同 笼, 鸡 比 兔 多 36 只, 一 共 有 96 条 腿, 那 么 笼 子 里 有 多 少 只 鸡, 多 少 只 兔? 3. 鸡 兔 同 笼, 鸡 比 兔 多 36 只, 兔 子 的 腿 比 鸡 的 腿 多 96 条, 那 么 笼 8
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 子 里 有 多 少 只 鸡, 多 少 只 兔? 这 些 情 形 都 可 以 用 假 设 法 解 决, 请 你 赶 快 试 一 试 吧! 鸡 兔 同 笼 中 的 总 足 数 是 两 数 之 和, 如 果 换 成 两 数 之 差, 应 该 怎 样 去 解 呢? 例 3. 鸡 兔 同 笼, 鸡 与 兔 共 100 只, 鸡 的 脚 数 比 兔 的 脚 数 少 28. 问 鸡 与 兔 各 几 只? 答 : 鸡 62 只, 兔 38 只. 算 术 解 1: 假 设 100 只 鸡 与 兔 都 是 4 只 脚, 则 共 有 4 100=400 只 脚. 也 就 是 4 鸡 数 + 4 兔 数 =400 只 脚, 由 于 已 知 鸡 的 总 脚 数 比 兔 的 总 脚 数 少 28 只 脚, 所 以 兔 子 的 总 脚 数 可 以 换 成 鸡 的 总 脚 数 + 28. 因 此 4 100 = 4 鸡 数 + 2 鸡 数 +28 4 100 28 (4 + 2) = 62 ( 只 ). 所 以 鸡 :( ) 兔 :100-62=38( 只 ). 鸡 :100-38=62( 只 ). 算 术 解 2: 依 题 意, 鸡 足 数 =2 鸡 头 数, 兔 足 数 =4 兔 头 数. 所 以,4 兔 头 数 2 鸡 头 数 =28. 由 兔 头 数 + 鸡 头 数 =100; 得 4 兔 头 数 +4 鸡 头 数 =400; 所 以 6 鸡 头 数 =372, 因 此, 鸡 头 数 = 372 6 = 62. 因 此 兔 头 数 =100-62=38. 鸡 兔 同 笼 问 题, 有 现 成 求 解 公 式. 而 本 题 不 是 给 出 脚 共 多 少 只, 这 时 靠 背 公 式 套 公 式, 就 做 不 出 了. 因 此, 条 件 略 变, 老 题 增 添 了 新 意, 可 促 进 思 维 的 灵 活 性. 方 程 解 : 设 鸡 x 只, 共 2x 只 脚, 兔 y 只, 共 4 y 只 脚. 则 列 得 方 程 组 : x+ y = 100 (1) 4y 2x= 28 (2) 9
应 用 问 题 十 讲 解 得 x = 62 y = 38 图 形 解 法 : 设 兔 x 只, 有 足 4x 只, 鸡 100 x 只, 有 足 2(100 x) 只. 画 图, 鸡 的 脚 数 比 兔 的 脚 数 少 28. 即 由 兔 的 足 数 减 28 只 足, 也 就 是 减 掉 7 只 兔 的 足 数, 剩 下 的 x 7 头 兔 的 总 足 数 4( x 7) 与 100 x 只 鸡 的 总 足 数 2(100 x) 相 等. 因 此 得 方 程 4( x 7) = 2(100 x). 解 得 x = 38( 兔 的 头 数 ),100-38=62( 鸡 的 头 数 ). 例 4. 有 鸡 和 兔 共 118 只, 其 中 兔 子 的 总 腿 数 比 鸡 的 总 腿 数 的 3 倍 还 多 282, 那 么 其 中 有 鸡 多 少 只? 答 : 有 19 只 鸡. 分 析 : 作 为 基 本 鸡 兔 同 笼 问 题 的 变 形, 我 们 依 然 可 以 用 假 设 法 来 解 决 它. 不 同 之 处 是 条 件 中 的 3 倍, 如 何 处 理 好 这 个 倍 数 关 系 是 解 题 的 关 键. 解 1: 假 设 118 只 全 都 是 兔 子, 那 么 兔 子 的 总 腿 数 比 鸡 的 总 腿 数 的 3 倍 多 118 4 0 3=472 比 实 际 的 差 多 出 472 282=190 每 把 一 只 兔 子 换 成 鸡, 兔 子 的 腿 数 减 少 4, 鸡 的 腿 数 增 加 2, 这 个 差 就 会 减 少 4+2 3=10 鸡 的 数 量 是 190 10=19( 只 ). 解 2: 设 鸡 x 只, 兔 y 只. 则 依 题 意 列 得 方 程 : x+ y = 118 4y = 3 2x+ 282 10
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 x = 19 解 得 y = 99 说 明 : 对 于 题 目 条 件 中 的 3 倍, 还 有 这 样 一 种 解 决 方 法 : 假 想 要 用 这 些 鸡 进 行 演 出, 所 以 在 每 只 鸡 身 上 粘 了 4 根 彩 带, 这 样 每 只 演 出 鸡 就 有 1 个 头 和 6 只 脚, 因 此 题 目 条 件 就 变 成 有 鸡 和 兔 共 118 只, 其 中 兔 子 的 总 腿 数 比 演 出 鸡 的 总 腿 数 多 282, 那 么 其 中 有 鸡 多 少 只? 这 时 就 可 以 用 鸡 兔 同 笼 问 题 的 基 本 方 法 和 公 式 来 解 决 了, 鸡 应 该 有 (118 4 282) (6+4)=19 只. 这 里 借 助 想 象 当 中 的 演 出 鸡, 实 现 了 把 原 问 题 向 基 本 问 题 的 转 化, 这 就 是 转 化 的 思 想. 请 你 想 一 想, 下 面 的 问 题 与 鸡 兔 同 笼 是 同 一 类 型 的 问 题 吗? 例 5. 有 次 科 学 测 验 共 20 道 题, 规 定 答 对 1 题 得 5 分, 每 题 答 错 或 不 答 不 但 不 给 分, 还 要 倒 扣 1 分, 小 明 这 次 测 验 共 得 76 分. 问 小 明 这 次 测 验 做 对 了 多 少 题? 答 : 小 明 这 次 测 验 做 对 了 16 题. 分 析 : 答 对 题 与 非 对 题 同 笼 ( 同 一 份 答 卷 ), 题 ( 头 ) 数 共 20. 答 对 题 每 个 5 分 ( 只 脚 ), 非 对 题 每 个 -1 分 ( 只 脚 ). 小 明 这 次 测 验 共 得 76 分.( 共 计 脚 数 76). 问 答 对 的 题 数. 算 术 解 : 假 设 20 道 题 都 答 对, 共 得 5 20=100 分. 而 实 际 得 分 为 76 分, 少 得 100-76=24 分. 因 为 从 一 道 答 对 题 变 为 一 道 非 对 题, 要 扣 掉 5+1=6 分, 所 以 小 明 的 非 对 题 为 24 6=4, 因 此 小 明 作 对 了 20-4=16 个 题. 综 合 列 式 :(5 20 76) (5 + 1) = 4, 所 以 小 明 作 对 了 20-4=16 个 题. 方 程 解 : 设 小 明 作 对 了 x 个 题, 应 得 5x 分, 另 由 20 x 个 非 对 题 应 得 ( 1) (20 x) 分. 依 题 意 列 得 方 程 11
应 用 问 题 十 讲 解 得 x = 16. 即 : 小 明 作 对 了 16 个 题. 5 x+ ( 1) (20 x) = 76, 说 明 : 列 方 程 只 须 将 日 常 语 言 翻 译 成 代 数 式, 具 有 一 般 化 的 特 点, 容 易 掌 握. 例 6. 松 鼠 妈 妈 采 松 子, 晴 天 每 天 可 以 采 20 个, 雨 天 每 天 只 能 采 12 个, 它 连 续 几 天 共 采 了 112 个 松 子, 平 均 每 天 采 14 个. 问, 这 几 天 当 中, 有 多 少 天 是 雨 天? ( 第 1 届 华 杯 赛 决 赛 试 题 7) 答 :6 天. 解 法 1: 首 先 要 知 道 松 鼠 妈 妈 采 了 几 天 松 子 :112 14 = 8 ( 天 ), 假 设 这 8 天 都 是 晴 天, 可 以 采 到 的 松 子 是 : 8 20 = 160( ( 个 ), 实 际 只 采 到 112 个, 共 少 采 松 子 : 160 112 = 48( 个 ). 为 什 么 少 采? 因 为 有 下 雨 天, 每 个 下 雨 天 就 要 少 采 : 20 12 = 8 ( 个 ), 所 以 有 48 8 = 6个 雨 天. 列 出 综 合 式 : [ 20 (112 14) 112] (20 12) = 6( 天 ). 解 法 2: 先 假 设 这 8 天 全 是 下 雨 天, 可 以 列 出 综 合 式 : 112 14 [112 12 (112 14)] (20 12) = 6( 天 ). 解 法 3( 方 程 方 法 ) 设 : 下 雨 天 为 x, 则 晴 天 为 8 x. 根 据 题 意, 12x+ 20 8 x = 112 ( ) 解 方 程 得 : x =6( 天 ). 说 明 : 本 题 实 际 是 鸡 兔 同 笼 问 题. 晴 天 与 雨 天 共 采 松 子 8 天, 用 连 续 几 天 共 采 了 112 个 松 子, 平 均 每 天 采 14 个 隐 藏 起 来 了. 可 以 变 成 : 小 晴 精 灵 与 小 雨 精 灵 共 8 个, 小 晴 精 灵 每 个 20 只 脚, 小 雨 精 灵 每 个 12 只 脚. 问 有 多 少 个 小 晴 精 灵? 有 多 少 个 小 雨 精 灵? 这 不 就 是 我 们 会 解 的 鸡 兔 同 笼 问 题 了 吗! 12
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 例 7. 小 丁 是 个 热 爱 科 学 的 孩 子, 他 刚 刚 在 自 然 课 上 了 解 到 : 蜘 蛛 有 8 条 腿, 蜻 蜓 有 6 条 腿 和 两 对 翅 膀, 蝉 有 6 条 腿 和 一 对 翅 膀. 现 在 有 这 3 种 小 虫 共 18 只, 总 共 有 118 条 腿 和 20 对 翅 膀, 则 这 18 只 小 虫 中 有 蝉 多 少 只? 答 : 有 蝉 6 只. 分 析 : 题 目 中 出 现 了 三 种 小 动 物, 而 鸡 兔 同 笼 问 题 的 笼 子 中 原 来 只 有 两 种 小 动 物, 因 此 首 先 要 思 考 的 就 是 如 何 把 三 种 小 动 物 转 化 为 两 种 小 动 物. 注 意 到 蜻 蜓 和 蝉 都 有 6 条 腿, 因 此 先 从 腿 的 数 量 入 手, 把 蜻 蜓 和 蝉 当 作 同 类 的 昆 虫. 解 1: 假 设 18 只 小 虫 当 中 没 有 蜘 蛛, 也 就 是 每 只 小 虫 都 只 有 6 条 腿, 利 用 鸡 兔 同 笼 问 题 的 方 法 可 得 蜘 蛛 的 数 量 为 (118 18 6) (8 6)=5( 只 ). 蜻 蜓 和 蝉 的 数 量 为 18 5=13( 只 ). 假 设 这 13 只 都 是 蜻 蜓, 那 么 应 有 13 2=26 对 翅 膀, 于 是 可 得 蝉 的 数 量 为 (26 20) (2 1)=6( 只 ). 所 以, 有 蝉 6 只. 解 2: 设 蜘 蛛 x 只, 有 腿 8x 条 ; 蜻 蜓 y 只, 有 腿 6y 条, 翅 膀 2y 对 ; 蝉 z 只, 有 腿 6z 条, 翅 膀 z 对. 则 依 题 意 列 得 方 程 : x+ y+ z = 18 8x+ 6y+ 6z = 118 2y+ z = 20 x = 5 解 得 y = 7 z = 6 说 明 : 在 鸡 兔 同 笼 问 题 中, 如 果 每 只 小 动 物 的 腿 数 ( 或 翅 膀 数 ) 13
应 用 问 题 十 讲 相 同, 那 么 这 两 种 小 动 物 可 以 看 作 同 一 类 来 计 算. 应 用 题 世 界 是 一 个 万 花 筒, 里 面 包 含 着 千 千 万 万 种 有 意 思 的 应 用 题. 把 这 些 题 目 都 做 一 遍 是 不 可 能 的, 那 么 关 键 就 在 于 掌 握 其 中 的 思 想 和 方 法. 方 程 解 法 只 需 要 将 日 常 语 言 翻 译 成 数 学 关 系 式, 找 到 数 量 的 相 等 关 系, 就 可 以 列 得 方 程. 2. 广 义 的 鸡 兔 同 笼 问 题 x + y = a 鸡 兔 同 笼 问 题 列 得 方 程 组 是 形 的 二 元 一 次 方 程 组. 如 果 2x + 4y = b 将 鸡 和 兔 换 成 一 般 的 两 种 物 件, 甲 物 件 有 m 个 足, 乙 物 件 有 n 个 足, 问 x + y = a 题 变 为 解 型 的 二 元 一 次 方 程 组. 进 一 步 的 发 展 系 数 m 和 n mx + ny = b 也 不 必 都 是 整 数. 例 8. 明 程 大 位 算 法 统 宗 将 题 编 为 诗 歌 体, 在 民 间 广 为 流 传 : 一 百 馒 头 一 百 僧, 大 僧 三 个 更 无 争, 小 僧 三 人 分 一 个, 大 小 和 尚 各 几 丁? 即 : 有 100 个 和 尚 吃 100 个 馒 头, 大 和 尚 一 人 吃 3 个, 小 和 尚 3 人 吃 一 个. 问 大 小 和 尚 各 多 少 个? 答 : 大 和 尚 25 人, 小 和 尚 75 人. 解 : 古 法 解 : 明 程 大 位 算 法 统 宗 解 法 : 置 僧 一 百 为 实 ( 即 被 除 数 ), 以 三 一 并 得 四 为 法 ( 即 除 数 ) 除 之, 得 大 僧 二 十 五 个 ;, 理 由 如 下 : 大 和 尚 1 人, 吃 馒 头 3 个 ; 小 和 尚 3 人, 吃 馒 头 1 个 ; 所 以, 大 小 和 尚 共 4 人, 吃 馒 头 4 个. (1) 现 已 知 大 小 和 尚 共 100 人, 吃 馒 头 100 个. (2) 其 中 (2) 的 数 是 (1) 的 数 的 25 倍, 从 (1) 知 大 小 和 尚 4 人 中 有 大 和 尚 1 人, 所 以 大 小 和 尚 100 人 中 有 大 和 尚 25 人. 即 100 (3+ 1) = 25( 大 和 尚 数 );100-25=75( 小 和 尚 数 ). 算 术 解 : 假 定 大 小 和 尚 每 人 都 吃 3 个 馒 头, 则 100 人 要 吃 3 100 14
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 1 8 个 馒 头, 显 然 多 吃 了 200 个 馒 头, 为 什 么? 因 为 一 个 小 和 尚 多 吃 3 = 3 3 8 个 馒 头,200 个 馒 头 是 由 200 = 75 个 小 和 尚 多 吃 的. 即 小 和 尚 75 人, 3 大 和 尚 100-75=25 人. 方 程 解 : 设 大 和 尚 x 人, 小 和 尚 y 人, 则 解 得 x+ y = 100 1 3x+ y = 100 3 x = 25 y = 75 例 9. 鸡 兔 共 有 脚 100 只, 若 将 鸡 换 成 兔, 兔 换 成 鸡, 则 共 有 脚 86 只. 问 : 鸡 兔 各 有 几 只? 答 : 有 鸡 12 只, 兔 19 只. 解 : 设 鸡 x 只, 兔 y 只. 依 题 意 列 得 方 程 组 : 2x+ 4y = 100 4x+ 2y = 86 x = 12 解 得 : y = 19 例 10. 红 星 机 械 厂 十 一 月 份 计 划 生 产 一 批 机 器, 实 际 每 天 比 原 计 划 多 生 产 80 台, 结 果 25 天 就 完 成 了 全 月 计 划. 这 个 厂 十 一 月 份 计 划 生 产 多 少 台 机 器? 答 :12 000 台. 解 : 假 设 十 一 月 份 原 计 划 每 天 生 产 机 器 x 台, 则 十 一 月 份 计 划 生 产 机 器 30x 台. 实 际 每 天 生 产 机 器 x + 80 台,25 天 生 产 25 ( x + 80) 台, 就 完 成 了 全 月 计 划, 即 25 ( x + 80) = 30x, 15
应 用 问 题 十 讲 解 得 x = 400 ( 台 ). 所 以 十 一 月 份 计 划 生 产 机 器 400 30=12000( 台 ). 例 11. 有 黑 白 棋 子 一 堆, 黑 子 个 数 是 白 子 个 数 的 2 倍. 现 在 从 这 堆 棋 子 中 每 次 取 出 黑 子 4 个, 白 子 3 个, 待 到 若 干 次 后, 白 子 已 经 取 尽, 而 黑 子 还 有 16 个. 求 黑 白 棋 子 各 有 多 少 个? 答 : 黑 棋 子 48 个, 白 棋 子 24 个. 解 : 假 设 有 白 子 x 个, 则 有 黑 子 2 x 个. 设 每 次 取 出 黑 子 4 个, 白 子 3 个, 经 m 次 白 子 取 尽, 则 x = 3 m. 此 时 黑 子 2 x 个 取 出 4 m 个, 剩 16 个, 所 以 2x 4m= 16. 以 x = 3m 代 入 得 2 (3 m) 4m= 16. 所 以 m = 8. 因 此 x = 3 8= 24, 即 白 子 共 24 个. 黑 子 共 2 x =48 个. 1 例 12. 两 筐 苹 果 共 110 千 克. 现 取 出 甲 筐 苹 果 的 和 乙 筐 苹 果 的 5 1 共 25 千 克 慰 问 病 号. 问 甲 乙 两 筐 原 有 苹 果 各 多 少 千 克? 4 答 : 甲 筐 原 有 苹 果 50 千 克, 乙 筐 原 有 苹 果 60 千 克. 解 : 设 甲 筐 原 有 苹 果 x 千 克, 乙 筐 原 有 苹 果 y 千 克, 则 依 题 意 列 得 方 程 组 : x+ y = 110 1 1 x+ y = 25 5 4 x = 50 解 得 : y = 60 甲 筐 原 有 苹 果 50 千 克, 乙 筐 原 有 苹 果 60 千 克. 例 13. 蜘 蛛 有 8 条 腿, 蜻 蜓 有 6 条 腿 和 2 对 翅 膀, 蝉 有 6 条 腿 和 1 对 翅 膀. 现 有 这 三 种 小 虫 16 只, 共 有 110 条 腿 和 14 对 翅 膀. 问 : 每 种 16
第 一 讲 鸡 兔 同 笼 模 型 趣 谈 小 虫 各 几 只? 答 : 蜘 蛛 有 7 只, 蜻 蜓 有 5 只, 蝉 有 4 只. 解 : 假 设 蜻 蜓 有 x 只, 蝉 有 y 只. 则 蜘 蛛 有 16 x y 只, 因 此 得 6x+ 6y+ 8(16 x y) = 110 2x+ y = 14 x = 5 解 得 y = 4 因 此 蜘 蛛 有 16 5 4 = 7 ( 只 ). 易 知 蝉 有 4 只, 蜻 蜓 有 5 只. 例 14. 买 一 些 4 分 和 8 分 的 邮 票, 共 用 去 6 元 8 角. 已 知 8 分 的 邮 票 比 4 分 的 邮 票 多 4 张, 那 么 两 种 邮 票 各 买 了 多 少 张? 答 : 买 4 分 邮 票 3 张, 买 8 分 邮 票 7 张. 解 : 设 买 4 分 邮 票 x 张,8 分 邮 票 y 张, 则 买 4 分 邮 票 用 4x 分, 买 8 分 的 邮 票 用 8y 分. 依 题 意 得 解 得 y x= 4 4x+ 8y = 68 x = 3 y = 7 所 以, 买 4 分 邮 票 3 张, 买 8 分 邮 票 7 张. 例 15. 在 中 国 古 代 数 学 著 作 孙 子 算 经 里, 其 中 下 卷 问 题 27: 今 有 兽 六 首 四 足, 禽 四 首 二 足. 上 有 七 十 六 首, 下 有 四 十 六 足. 问 禽 兽 各 几 何? 答 曰 : 八 兽, 七 禽. 解 : 我 们 用 方 程 法 求 解. 设 禽 x 只, 兽 y 只. 则 禽 4x 个 头, 兽 6y 个 头. 禽 2x 只 足, 兽 4y 只 足. 17
应 用 问 题 十 讲 依 题 意 列 得 方 程 组 : 4x+ 6y = 76 (1) 2x+ 4y = 46 (2) 2 (2) (1) 得 2y = 16 除 以 2, 得 y = 8. ( 兽 只 数 ) 以 y = 8 代 入 (2), 得 2x = 46 4 8= 14, 所 以 x = 7.( 禽 只 数 ) 说 明 : 本 题 本 质 上 也 是 鸡 兔 同 笼 型 的 问 题. 古 法 术 曰 : 倍 足 以 减 首 ( 2 (2) (1)), 余, 半 之 ( 除 以 2, 得 ), 即 兽 ( y = 8 ). 以 四 乘 兽, 减 足 ( 以 y = 8 代 入 (2), 得 ), 余, 半 之 ( 除 以 2, 得 ), 即 禽 ( x = 7 ). 可 见, 古 人 实 际 上 是 用 算 筹 来 解 二 元 一 次 联 立 方 程 组 的. 其 中 又 有 消 元 法, 也 有 代 入 法. 古 人 想 象 设 有 6 头 四 足 的 兽 和 4 头 2 足 的 禽, 使 鸡 兔 同 笼 问 题 推 广 到 更 一 般 的 情 况, 是 极 为 难 能 可 贵 的. 例 16. 某 班 共 36 人 都 买 了 铅 笔, 共 买 了 50 支, 有 人 买 了 1 支, 有 人 买 了 2 支, 有 人 买 了 3 支. 如 果 买 1 支 的 人 数 是 其 余 人 数 的 2 倍, 则 买 2 支 铅 笔 的 人 数 是. 答 :10. ( 第 16 届 华 罗 庚 金 杯 少 年 数 学 邀 请 赛 总 决 赛 小 学 组 二 试 试 题 1) 解 : 设 买 1 支 铅 笔 的 人 数 为 x, 则 有 2 x = 36 = 24 3 买 2 支 和 3 支 铅 笔 的 人 数 为 36 24 = 12, 他 们 共 买 铅 笔 数 为 50 24 = 26. 为 求 买 2 支 铅 笔 的 学 生 数, 假 设 买 2 支,3 支 的 学 生 每 人 都 买 3 支, 求 出 买 2 支 的 学 生 数 : ( 12 3 26) (3 2) = 10 也 可 以 设 买 2 支 和 3 支 铅 笔 的 人 数 分 别 为 y 和 z, 则 可 列 出 方 程 : 18