TI 技 术 与 中 学 数 学 TI 计 算 器 的 程 序 设 计 在 教 学 中 的 应 用 谢 辅 炬 高 一 级 广 东 省 佛 山 市 南 海 石 门 中 学 1
TI 计 算 器 的 程 序 设 计 在 教 学 中 的 应 用 内 容 提 要 : 在 新 颁 布 的 高 中 数 学 新 课 程 标 准 提 倡 的 基 本 理 念 中, 明 确 提 出 信 息 技 术 与 数 学 课 程 内 容 的 整 合 手 持 技 术 (handheld technology) 与 课 程 整 合 是 把 以 手 持 技 术 为 中 心 的 各 种 资 源 同 课 程 内 容 结 合 的 一 种 新 型 的 教 学 方 式 信 息 技 术 与 数 学 内 容 的 有 机 整 合, 一 个 突 出 的 例 子 是 在 必 修 课 程 中 设 置 了 算 法 的 内 容, 算 法 是 计 算 机 科 学 的 理 论 核 心, 赋 值 语 句 条 件 语 句 循 环 语 句 等 计 算 机 语 言, 实 际 上 是 数 学 语 言 的 机 器 化, 他 们 是 信 息 技 术 课 程 和 数 学 课 程 的 共 同 部 分 本 文 通 过 TI 图 形 计 算 器 的 程 序 设 计 语 言 与 新 课 标 必 修 3 算 法 和 统 计 三 个 具 体 案 例 的 分 析 来 结 合 说 明 信 息 技 术 与 数 学 课 程 的 整 合 引 言 : 算 法 是 高 中 数 学 的 新 增 内 容, 它 反 映 了 我 国 古 代 数 学 重 视 计 算, 强 调 应 用 的 传 统, 也 反 映 了 现 代 计 算 机 技 术 发 展 的 需 要 算 法 内 容 的 教 育 价 值 主 要 体 现 在 以 下 几 个 方 面 : 1. 有 利 于 培 养 学 生 的 思 维 能 力 算 法 一 方 面 有 具 体 化 程 序 化 机 械 化 的 特 点, 同 时 又 有 抽 象 性 概 括 性 和 精 确 性 算 所 体 现 出 来 的 逻 辑 化 特 点 被 看 成 是 逻 辑 学 即 形 式 逻 辑 和 数 理 逻 辑 之 后 发 展 的 第 三 个 阶 段 2. 有 利 于 培 养 学 生 理 性 精 神 和 实 践 能 力 算 法 即 重 视 算 则, 更 重 视 算 理 对 于 算 法 而 言, 一 步 步 的 程 序 化 步 骤, 即 算 则 固 然 重 要, 但 这 些 步 骤 的 依 据, 即 算 理 有 着 更 基 本 的 作 用 后 者 是 内 容, 前 者 是 后 者 的 表 现 算 法 有 很 丰 富 的 层 次 递 进 的 素 材, 算 法 的 具 体 实 现 又 可 以 和 信 息 技 术 相 联 系, 因 而, 算 法 有 利 于 培 养 学 生 的 理 性 精 神 和 实 践 能 力 3. 有 利 于 学 生 理 解 构 造 性 数 学 算 法 是 一 般 意 义 上 解 决 问 题 策 略 的 具 体 化, 即 有 限 递 归 构 造 和 有 限 非 递 归 构 造, 这 两 点 也 恰 恰 构 成 了 算 法 的 核 心 构 造 性 地 解 决 问 题 不 仅 是 重 要 的 解 决 数 学 问 题 的 方 法, 在 数 学 哲 学 上 也 又 着 重 要 的 意 义 4. 算 法 反 映 了 时 代 的 特 点, 同 时 也 是 中 国 数 学 课 程 内 容 的 新 特 色 中 国 古 代 数 学 以 算 法 为 主 要 特 征, 取 得 了 举 世 公 认 的 伟 大 成 就 现 代 信 息 技 术 的 发 展 给 算 法 焕 发 了 前 所 未 有 的 生 机 和 活 力, 算 法 进 入 中 学 数 学 课 程, 即 反 映 了 时 代 的 要 求, 也 是 中 国 古 代 数 学 思 想 一 个 新 层 次 上 的 复 兴 ( 一 ) 手 持 教 育 技 术 的 在 算 法 教 学 的 应 用 描 述 算 法 可 以 用 不 同 的 方 式, 可 以 用 日 常 语 言 和 数 学 公 式 加 以 描 述, 也 可 以 使 用 程 序 框 图 直 观 地 表 示 算 法 地 整 个 结 构 但 是 用 自 然 语 言 或 程 序 框 图 描 述 的 2
算 法 计 算 机 是 无 法 理 解 的, 我 们 还 需 要 讲 算 法 用 计 算 机 能 够 理 解 的 语 言 表 达 出 来, 通 常 成 为 程 序 设 计 语 言 (programming language) Ti 手 持 教 育 技 术 的 程 序 功 能 强 大 而 且 简 单 易 懂, 方 便 操 作 是 信 息 技 术 与 新 课 程 整 合 的 最 佳 方 式 学 生 在 学 习 算 法 的 时 候 最 大 的 困 惑 就 是, 这 样 就 可 以 解 决 这 个 问 题 吗? 尤 其 是 学 习 循 环 结 构 的 时 候, 我 们 讲 了 寻 找 数 列 中 的 最 小 数 的 算 法, 课 后 部 分 学 生 还 是 非 常 的 疑 惑, 这 样 的 几 句 话 就 可 以 代 表 整 个 过 程 吗? 下 面 的 案 例 是 在 学 生 学 习 完 基 本 语 句 之 后 的 一 个 数 学 实 验 案 例 一 : 二 分 法 3 2 例 : 用 二 分 法 求 函 数 f ( x) = x + x 1 在 区 间 (0,1) 的 近 似 解 二 分 法 这 个 概 念 在 必 修 一 函 数 应 用 一 章 中 出 现, 它 的 理 论 基 础 是 : 若 函 数 y=f(x) 在 闭 区 间 [a,b] 上 的 图 像 是 连 续 曲 线, 并 且 在 区 间 端 点 的 函 数 值 符 号 相 反, 即 f(a) f(b)<0, 则 在 区 间 (a,b) 内, 函 数 y=f(x) 至 少 有 一 个 零 点, 即 相 应 的 方 程 f(x)=0 在 区 间 (a,b) 内 至 少 有 一 个 零 解 二 分 法 是 方 程 求 近 似 解 的 一 种 有 效 的 方 法, 他 的 思 想 是 确 定 有 解 区 间 [a,b], 然 后 取 区 间 的 中 点 d, 然 后 利 用 前 面 的 定 理 判 断 零 点 在 [a,d] 还 是 在 [d,b] 内, 然 后 对 左 右 端 点 a 和 b 重 新 赋 值 如 此 反 复 直 到 新 的 有 解 区 间 的 长 度 小 于 给 定 的 误 差 ξ, 然 后 输 出 近 似 解 是 最 后 区 间 的 中 点 二 分 法 是 算 法 教 学 中 的 一 个 难 点, 它 涉 及 了 循 环 的 语 句 和 变 量 赋 值 语 句 教 学 情 景 师 : 参 数 a 和 b 分 别 代 表 有 解 区 间 的 左 端 点 和 右 端 点,c 表 示 误 差 ξ 那 么 由 二 分 法 的 思 想, 我 们 知 道, 应 该 用 循 环 的 结 构 来 解 决 这 个 问 题, 那 么 应 该 用 for 还 是 用 while 循 环 呢? 还 有 循 环 结 束 的 条 件 是 什 么 呢? 生 甲 : 两 者 应 该 都 可 以 生 乙 : 不, 因 为 循 环 的 次 数 不 清 楚, 所 以 应 该 用 while 循 环 结 束 条 件 是 b-a <c 师 : 好, 那 么 按 照 二 分 法 的 思 想, 进 入 循 环 后, 应 该 是 取 这 个 区 间 的 中 点 即 (a+b/2),, 如 果 这 个 点 的 函 数 值 是 0, 那 么 这 个 就 是 解, 输 出 它 否 则 继 续 找 新 的 区 间 因 为 每 次 都 有 一 个 新 的 区 间 中 点, 那 么 我 们 用 一 个 变 量 d 来 表 示 假 如 f(a)*f(d)<0, 那 么 意 味 着 什 么? 否 则 呢? 生 : 在 区 间 [a,d] 上 有 解, 否 则 在 [c,d] 上 有 解 师 好, 那 么 假 如 f(a)*f(d)<0 的 话, 新 的 有 解 区 间 是 [a,d], 我 们 要 改 变 区 间 的 右 端 点, 即 b:=d, 否 则 改 变 左 端 点 即 a:=d; 然 后 继 续 判 断 新 的 有 解 区 间 的 长 度 是 否 小 于 误 差 通 过 TI 实 验 的 操 作, 同 学 们 加 深 了 对 算 法 的 理 解, 对 于 赋 值 语 句, 循 环 语 句 的 运 用 有 了 很 大 的 提 高 通 过 学 生 的 讨 论, 我 们 写 出 了 下 面 的 程 序, 然 后 在 TI 92 上 得 以 实 现 当 同 学 们 看 到 近 似 解 的 在 不 断 的 逼 近 的 时 候, 那 张 惊 奇 和 兴 奋 的 感 觉 难 以 言 表 程 序 如 下 :(/* */ 表 示 里 面 的 是 注 释 内 容 ) 3
误 差 ξ */ :Binary(a,b,c) /* 参 数 a 和 b 分 别 代 表 有 解 区 间 的 左 端 点 和 右 端 点,c 表 示 :Prgm :ClrIO :While abs(b-a)>c : (a+b)/2 d : If d^3+d^2-1=0 Then : Disp d : ElseIf (a^3+a^2-1)*(d^3+d^2-1)<0 Then : d b : Else : d a : Disp b-a : EndIf : Disp d :EndWhile :Disp (a+b)/2 :EndPrgm 注 : 为 了 让 学 生 感 性 认 识 到 二 分 法 逐 渐 缩 小 有 解 区 间 得 到 近 似 解 的 过 程, 程 序 执 行 过 程 中 在 每 得 到 一 个 新 的 有 解 区 间 就 输 出 这 个 区 间 的 中 点 结 果 : 步 骤 显 示 切 换 至 Windows 窗 口, 然 后 输 入 binary(0,1, 0.001) 练 习 : 求 函 数 y = 3x 3 5x 在 区 间 (0,1) 的 近 似 解, 误 差 为 0.00001 ( 二 ): 在 统 计 中 的 应 用 课 标 指 出 要 让 学 生 了 解 随 机 数 的 意 义, 能 运 用 模 拟 方 法 ( 包 括 计 算 机 产 生 随 机 数 来 进 行 模 拟 ) 估 计 概 率, 初 步 体 会 几 何 概 形 的 意 义 模 拟 是 利 用 模 型 来 研 究 某 些 现 象 的 性 质 的 一 种 方 法, 可 以 节 约 大 量 的 人 力 物 力 18 世 纪 中 期, 著 名 的 布 丰 问 题 就 是 利 用 大 量 的 重 复 实 验 的 所 得 结 果 来 进 行 数 值 计 算 的 方 法 目 前, 计 算 机 模 拟 已 在 生 产 管 理 工 程 技 术 军 事 演 习 科 学 实 验 财 政 经 济 以 及 社 会 科 学 中 得 到 了 广 泛 的 应 用 在 教 学 中, 让 学 生 运 用 TI 图 形 计 算 器 模 拟 来 体 会 频 率 稳 定 于 概 率 的 客 观 规 律, 进 一 步, 可 以 利 用 模 拟 方 法 来 进 行 几 何 概 型 的 学 习 案 例 二 : 通 过 模 拟 体 验 频 率 稳 定 于 概 率 的 客 观 规 律 例 2: 模 拟 抛 掷 4 次 硬 币, 是 否 一 定 是 2 次 正 面 朝 上 和 2 次 反 面 朝 上? 教 学 情 景 这 是 教 材 在 生 活 中 的 概 率 里 面 的 一 个 问 题, 学 生 已 学 习 过 概 率 和 频 率 的 概 念, 对 两 者 之 间 的 关 系 有 了 初 步 的 了 解 大 部 分 同 学 否 定 了 这 个 问 题, 但 是 教 师 4
问 到 底 两 次 正 面 朝 上 的 概 率 是 多 少 的 时 候? 同 学 们 陷 入 了 思 考, 有 的 同 学 说 是 1/4, 有 同 学 说 是 1/2 但 是 大 部 分 同 学 还 是 持 不 确 定 的 态 度 那 么 我 们 怎 么 用 模 拟 的 方 法 来 验 证 呢? 在 老 师 的 引 导 下, 同 学 们 提 出 了 不 同 的 模 拟 方 法 基 本 的 算 法 思 想 如 下 : (1) 用 计 算 机 产 生 随 机 数 的 方 法 产 生 0 和 1 产 生 0 代 表 抛 掷 硬 币 后 正 面 朝 上, 反 之 代 表 正 面 朝 下 (2) 产 生 4 个 随 机 数 算 完 成 一 次 模 拟, 模 拟 完 成 之 后 判 断 这 次 模 拟 中 是 否 有 出 现 两 次 正 面 朝 上 (3) 一 共 进 行 n 次 模 拟, 假 设 n 次 当 中 有 m 次 模 拟 是 有 两 个 硬 币 正 面 朝 上, 则 出 现 两 次 正 面 朝 上 的 频 率 f= n m, 当 n 越 来 越 大 的 时 候, 可 近 似 于 概 率 通 过 模 拟, 同 学 们 得 到 了 不 同 的 答 案 但 是 当 模 拟 次 数 越 大 的 时 候, 汇 集 几 组 实 验 小 组 的 数 据, 同 学 们 兴 奋 地 发 现, 这 些 数 据 都 近 似 于 0.375 教 师 指 出 这 是 一 个 n 重 贝 努 力 概 率 模 型, 由 公 式 可 计 得 出 现 两 次 正 面 朝 上 的 概 率 2 1 2 1 2 p= C4 ( ) ( ) =0.375 通 过 实 验 同 学 们 确 信 了 频 率 具 有 有 稳 定 性 的 特 点 : 即 大 2 2 量 重 复 同 一 实 验, 随 机 事 件 发 生 的 频 率 会 在 某 个 常 数 附 近 摆 动 程 序 如 下 :(/* */ 里 面 表 示 的 是 注 释 内 容 ) :Coin(n) /*n 表 示 一 共 模 拟 多 少 次 */ :Prgm :Clrio :Local i /*i 是 循 环 变 量 */ :0 i :Local h /*h 计 算 模 拟 10 次 当 中 共 有 多 少 次 模 拟 出 现 两 次 正 面 朝 上 */ :0 h :for i,1,10,1 : Local j /*j 计 算 一 次 模 拟 中 出 现 多 少 次 正 面 */ : 0 j : for k,1,4,1 : local var : int (rand()+0.5) var : if var=0 then : j+1 j : endif : endfor : if j=2 then : h+1 h : endif :Endfor :Disp the probability is,h/n 注 : 设 计 程 序 的 时 候 可 以 在 产 生 一 个 随 机 数 的 时 候 输 出 这 个 随 机 数, 这 样 学 生 对 于 程 序 执 行 有 个 感 性 的 认 识 结 果 步 骤 显 示 5
在 Windows 窗 口, 输 入 coin(1000), 1000 表 示 模 拟 1000 次 按 ENTER 观 察 结 果 练 习 二 : 用 模 拟 的 方 法 求 抛 掷 硬 币 5 次 出 现 三 次 正 面 朝 上 的 概 率 案 例 三 : 几 何 概 型 概 率 论 发 展 的 早 期, 人 们 已 经 注 意 到 只 考 虑 那 些 结 果 有 限 个 等 可 能 结 果 的 随 机 试 验 是 不 够 的, 还 必 须 考 虑 到 有 无 限 多 个 实 验 结 果 的 情 况 比 如 一 个 人 到 单 位 的 时 间 可 能 是 8:00~9:00 之 间 的 任 何 一 个 时 刻 ; 往 方 格 中 投 一 粒 芝 麻, 芝 麻 可 能 落 在 方 格 中 的 任 何 一 点 上, 这 些 事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 成 比 例, 则 这 样 的 概 率 模 型 称 为 几 何 概 型 在 几 何 概 型 中, 事 件 A 的 概 率 的 计 算 公 式 如 下 : P (A) = 构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 实 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积 ) 例 : 在 正 方 形 中 随 机 地 撒 一 把 芝 麻, 计 算 落 在 圆 中 的 芝 麻 数 与 落 在 正 方 形 中 的 豆 子 数 之 比 并 以 此 估 计 圆 周 率 的 值 教 学 情 景 教 材 在 几 何 概 型 的 定 义 之 前 先 回 顾 了 概 率 的 模 拟 方 法, 然 后 举 了 向 一 个 由 四 个 小 正 方 形 构 成 的 大 正 方 形 区 域 内 撒 芝 麻, 求 芝 麻 落 在 其 中 一 个 小 正 方 形 内 的 概 率 学 生 很 快 的 说 出 了 是 1/4 但 是 这 道 例 题 的 区 域 不 是 多 边 形, 这 种 规 律 是 否 还 存 在 呢? 教 师 鼓 励 同 学 们 用 TI 图 形 计 算 器 进 行 模 拟 在 同 学 和 老 师 的 探 讨 中, 大 家 写 出 了 下 面 的 算 法 : Y 在 右 图 表 示 的 正 方 形 区 域 ABCD 中, 边 长 为 1; 圆 O 的 D 半 径 r=1 (1) 用 TI 图 形 计 算 器 产 生 两 个 0~1 区 间 的 均 匀 随 机 P(a,b) 数 a1=rand(),b1=rand(); (2) 经 平 移 和 伸 缩 变 化,a=(a1-0.5) 2,b=(b-0.5) O 2, 则 P(a,b) 表 示 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 一 个 随 机 点, 显 然 这 个 点 会 落 在 正 方 形 区 域 ABCD 内 ; C X 2 2 (3) 用 a + b < 1判 断 这 个 P 点 是 否 在 圆 O 内 统 计 落 在 圆 内 的 点 数 为 n, 用 m 表 示 落 在 正 方 形 区 域 ABCD 4n 内 的 点 数, 计 算 π = m 程 序 如 下 : :Simulate(m) :Prgm :ClrIo :local n /*n 表 示 有 多 少 个 点 落 在 圆 内 */ :0 n :for i,1,m,1 A B 6
: Rand() a1 : (a1-0.5) 2 a : Rand() b1 : (b1-0.5) 2 b : If a^2+b^2<1 then : n+1 j : Endif :Disp the probability is,n/m /* 输 出 落 在 圆 内 的 概 率 */ :Disp π =,4 n/m /* 输 出 π 的 近 似 值 */ :EndPrgm 结 果 可 以 发 现, 随 着 实 验 次 数 的 增 加, 得 到 的 π 的 近 似 值 的 精 度 会 越 来 越 高 步 骤 在 Windows 窗 口, 输 入 simulate(1000) 显 示 2 练 习 一 : 求 函 数 y= 1 - x 与 x 轴 和 y 轴 围 成 的 区 域 面 积 结 束 语 : 手 持 教 育 技 术 对 高 中 数 学 的 学 习 产 生 了 深 刻 的 影 响, 手 持 教 育 技 术 对 于 高 中 数 学 课 程 的 整 合 也 是 必 要 的, 作 为 一 名 数 学 教 师 应 该 充 分 学 习 和 掌 握 手 持 教 育 技 术, 在 先 进 的 教 育 教 学 理 念 的 指 导 下 开 展 手 持 教 育 技 术 与 新 课 程 的 整 合 通 过 创 设 知 识 的 发 生 数 学 实 验 合 作 学 习 探 究 学 习 数 学 应 用 等 各 种 情 景 来 实 施 整 合 教 学, 引 导 学 生 在 主 动 参 与 探 究 的 活 动 过 程 中 去 体 验 感 受 建 构 知 识, 提 高 数 学 思 维 的 水 平, 提 高 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力, 转 变 学 习 方 式, 学 会 学 习, 并 且 能 够 自 觉 运 用 数 学 知 识 解 决 问 题 参 考 文 献 [1] 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 解 读 江 苏 教 育 出 版 社 2004.3 [2] 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 数 学 3 北 京 师 范 大 学 出 版 社 2004.9 [3] 普 通 高 中 课 程 标 准 实 验 教 科 书 数 学 3 A 版 人 民 教 育 出 版 社 2004.5 [4] 数 学 学 习 中 的 DIY-TI 技 术 与 数 学 实 验 华 东 师 范 大 学 出 版 社 [5] 章 建 跃 中 学 数 学 课 程 教 材 与 信 息 技 术 整 合 的 思 考 7