http://www.pper.edu.c 基 于 反 函 数 微 分 法 则 的 反 函 积 分 法 的 探 讨 李 裕 信 湖 南 省 长 沙 市 邮 政 局, 湖 南 长 沙 (000) E-mil:l9989@6.com 摘 要 : 本 文 明 确 表 述 了 反 函 数 微 分 法 则 的 逆 定 理, 并 基 于 此 定 理 提 出 一 种 积 分 法, 举 例 说 明 了 其 运 用 方 法 虽 然 这 种 方 法 的 实 质 也 可 视 为 是 一 种 变 量 代 换 法, 但 它 能 在 选 择 代 换 函 数 时 提 供 一 条 线 索 不 失 为 一 种 积 分 法 的 补 遗 使 积 分 法 显 得 更 完 备 关 键 词 : 反 函 数 微 商 法 则, 积 分 法, 反 函 积 分 法 中 图 分 类 号 :O7 文 献 标 识 码 :A 引 言 现 行 的 高 等 数 学 教 科 书 中 所 论 及 的 积 分 方 法 不 外 乎 三 种 : 分 项 积 分 法 分 部 积 分 法 变 量 代 换 法 它 们 都 是 根 据 微 分 法 则 的 逆 定 理 推 出 的 如 分 项 积 分 法 是 根 据 和 的 微 分 公 式 :.( u v) u v. 逆 推 得 到 的 ; 分 部 积 分 法 是 根 据 乘 积 微 分 公 式 ( uv ) u v uv. 逆 推 得 到 的 ; 而 变 量 代 换 法 则 是 根 据 复 合 函 数 微 分 公 式 ϕ (u ( )) ϕ. 逆 推 得 到 的 但 是, 未 本 着 上 述 思 路, 提 出 了 一 个 注 记 见 到 根 据 反 函 数 微 分 基 于 反 函 数 微 分 性 质 的 性 质 逆 推 得 到 的 积 分 定 理 和 积 分 方 法, 作 为 u u 方 法 本 文 对 积 分 法 的. 反 函 数 微 商 法 则 的 逆 定 理 公 式 :. 定 理. 若 函 数 f() 在 所 论 的 变 化 范 围 内 不 为 0,( 即 f() 0); f () () -
http://www.pper.edu.c 单 值 可 微, 反 函 数 () 连 续 可 微,[ ()] 单 值, 则 (), [] 证 明 : 因 为 () f (), 根 据 反 函 数 微 分 法 则.. 可 知 () () 且 有 () 由 定 理 成 立 的 条 件 可 知,() 式 的 两 个 积 分 都 是 确 定 存 在 的 故 定 理 得 证 定 理.可 直 接 用 于 积 分 计 算, 可 见 下 面 的 实 例 : 例 : 求 解 : 令 f () cos, () 例 :.. 求 cos - 解 :.. 令 f () [][] ; 由 定 理.的 () 式 立 即 可 写 出.. : cos f () f() l, ; 而 ().si,.. rcsi si[rcsi ] f () f () cos si c, 取 () si, 则 () rcsi, lc l[c c cos f() ().cos,..[ rcsi c. [ ()] 等 式 两 端 积 分 即 得 () 式, si ] lc si ()] [- cos] f () rcsi si[rcsi ]cos f () si cos [ ()]...() c取 () f () ; [ ()] lc(t sec)... rcsi, 则 cos. 由 公 式 () 可 得 : [ si] c rcsi rcsi c. 公 式 () 也 可 倒 过 来 运 用 即 有 下 面 的 定 理. 定 理.: 可 利 用 f () 且 求 出 [ ()], 也 可 利 用 求 出 () f() 即 : 设 函 数 f () 可 积 分 为 () ; () 的 反 函 数 能 写 为 显 示 (); () 单 值 可 微 ; () 0则 有 f ()...() () 证 明 :() 式 的 左 右 边 互 换 即 为 [ ()], 即 可 利 用 f () f () [ ()] [] 又 由 于 ()f() 及 反 函 数 的 微 商 法 则 () () 求 出 即 f(), () --
http://www.pper.edu.c 且 () 故 f() () 两 边 积 分 即 得 () [ ()] () 式 根 据 假 设 条 件, 可 知 () 式 两 边 的 积 分 均 确 定 存 在, 定 理 证 毕 其 实 将 () 式 左 右 边 互 换, 变 量 与 互 换 ; 将 f() 与 () 互 换 即 可 得 到 () 式 下 面 给 出 运 用 定 理. 的 例 子 : 例 求 解 : 设 f () sec sec sec, 即 f () sec () rct, 则 [ ] (), 令 代 入 ( ) 式 即 得 : t c t c sec t c, 取 () t,. 一 般 形 式 的 反 函 积 分 法 公 式. 定 理. 设 函 数 f () 可 积 分 为 () ; () 的 反 函 数 能 写 为 显 式 且 () 0则 有 [f ()] [ ()] (); () 单 值 可 微 ;...(为 任 意 整 数 )...() 证 明 : 因 为 () f (), () f(), (),.. [ ()] ; 而 [f ()] [] [()] [ ()] 根 据 反 函 数 微 商 法 则 : ()... 故 有.[f ()] [ ()] [ ()] 存 在 的, 故 定 理 得 证 [()] [ ()] [ ()] ()] 两 边 积 分 即 得 ( ) 式 根 据 所 假 定 的 条 件, 两 边 的 积 分 是 确 定 下 面 给 出 运 用 定 理 的 例 子 : 例 求 解 : 令 f () cos,. 5,...() rcsi,. cos 5 () cos si c取 () si, 则. 由 公 式 ( ) 可 得 cos 5 5 5 ( ) c si si si c 5 5 此 例 显 示 了 公 式 () 在 求 某 些 函 数 的 积 分 时 是 十 分 简 便 易 行 的 [ [ ()] ( ) (). 定 理. --
http://www.pper.edu.c 设 函 数 f () 可 积 分 为 () ; () 的 反 函 数 能 写 为 显 式 且 f () 0则 有 : [f ()] [ () ] 下 面 举 一 应 用 () 式 求 积 分 的 实 例 : 例 5. 求 l (); () 单 值 可 微 ;...() e 解 : 原 式 可 写 为, 令 f () 取 () l[l], () e l 而 ; l [ ] l dt () e e e e, 故 由 ( ) 式, 原 式 l [e e ], 记 t e l, 则. t t t t t [][] t dt t t e t t e te e 所 以 原 式 [e t] t e dt te dt [ dt] t t t t t e te e l l [ ] c c.. 9 9 7. 定 理 是 定 理 的 推 广, 它 是 一 般 形 式 的 反 函 积 分 法 公 式 显 然, 公 式 () 是 公 式 () 在 时 的 特 例 ; 而 公 式 () 是 公 式 () 在 时 的 特 例 ( 或 曰 : 公 式 () 是 公 式 () 在 时 的 特 例 ; 而 公 式 () 是 公 式 () 在 - 的 特 例 ). 从 定 理 的 证 明 过 程 可 知, 原 则 上 定 理 中 的, 不 仅 可 为 任 意 正 负 整 数, 也 可 为 正 负 分 数 或 实 数 例 如 当 /m 时, 有 : [f ()] m m [ () ] m...(5) 特 别 是 m 时 f () ()...(6) 公 式 (5)(6) 中 的 () 及 () 的 定 义 与 () 式 中 的 相 同 例 6 求 cos 解 : 将 被 积 函 数 写 为 sec进 而 写 成 t c.( 取 c 0), 故 cos l(t sec t ) c. sec 即 取 f () sec,.. () sec () rct而 () () l(., 由 ( 6) 式 可 得 ) c [] : 还 可 能 写 出 更 多 的 不 同 形 式 的 反 函 积 分 法 公 式, 但 它 们 都 是 公 式 ()() 的 推 论. 几 点 说 明. 定 理 概 括 了 一 族 基 于 反 函 数 微 商 法 则 的 积 分 方 法,() () 式 是 这 种 --
http://www.pper.edu.c 反 函 积 分 法 的 基 本 公 式 : 要 使 这 个 公 式 真 正 有 效, 在 公 式 () () 等 号 两 边 的 积 分, 至 少 有 一 个 能 容 易 求 出 特 别 是 公 式 中 的 () () 均 应 能 写 成 显 式 否 则 无 法 运 用 计 算 证 明, 等 于 整 数 时 计 算 比 较 方 便, 一 般 说 来,f() 是 单 项 的 三 角 函 数 反 三 角 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 时 采 用 反 函 积 分 法 比 较 容 易. 利 用 () 式 右 边 的 积 分 来 求 左 边 的 积 分 的 步 骤 是 : 第 一 步, 将 待 求 积 分 的 被 积 函 数 写 成 [ f ()] 的 形 式, 确 定 之 值. 第 二 步, 求 出 () f (), 并 写 出 它 的 反 函 数 () 第 三 步, 求 出 () 的 导 数 () 第 四 步, 代 入 () 式, 求 出 积 分, 并 代 回 (), 即 得 结 果 这 种 方 法 实 质 上 也 就 是 () 式 从 左 到 右 的 运 用 的 方 法. 利 用 () 式 右 边 的 积 分 来 求 左 边 的 积 分 的 步 骤 是 : 将 () 式 得 变 量 与 互 换 ; 将 f() 与 () 互 换, 则 : 第 一 步, 将 待 求 积 分 的 被 积 函 数 写 成 的 形 式, 确 定 之 值. [f ()] 第 二 步, 求 出 () f (), 并 写 出 它 的 反 函 数 () 第 三 步, 求 出 [ ()]., 第 四 步, 代 入 (), 即 得 积 分 结 果 这 种 方 法 实 质 上 也 就 是 () 式 从 左 到 右 的 运 用 的 方 法. 运 用 反 函 积 分 法 进 行 积 分 时, 常 需 要 同 时 采 用 其 它 积 分 方 法 它 是 在 积 分 时 的 一 种 另 辟 蹊 径 的 向 导 : 虽 然 反 函 积 分 法 并 非 对 所 有 的 积 分 计 算 都 有 实 际 效 用, 但 它 却 可 认 为 是 积 分 方 法 论 的 一 个 补 遗 使 积 分 法 显 得 更 为 完 备 本 文 只 是 提 出 了 这 一 方 法, 至 于 它 的 运 用 技 巧 和 公 式 的 变 形 上, 尚 需 进 一 步 的 研 究.5 公 式 ()() 存 在 一 种 明 显 的 对 称 性, 在 理 论 上 有 一 定 的 意 义 : 事 实 上, 从 公 式 ()() 的 形 式 可 以 发 现,() 式 与 () 式 的 互 换 : ( ) (), 等 效 于 公 式 中 指 数 的 正 负 号 互 换 : ; 也 等 效 于 公 式 等 号 左 右 互 换 及 变 量 与 函 数. Y 的 互 换 : 左 右 ; 这 是 需 要 更 深 入 研 究 的.6 本 文 的 主 旨 是 利 用 公 式 ()() 根 据 反 函 数 求 出 积 分, 是 否 有 可 能 利 用 积 分 求 出 反 函 数 呢 这 也 是 一 个 值 得 研 究 的 问 题, 因 为 并 非 所 有 函 数 的 反 函 数 都 很 易 求 出 -5-
http://www.pper.edu.c 参 考 文 献 [] 李 忠 周 建 莹 编 著 : 复 合 函 数 的 微 商 与 反 函 数 的 微 商, 高 等 数 学 ( 上 册 )[M] 北 京, 北 京 大 学 出 版 社, 00,0-9 [] 同 济 大 学 应 用 数 学 系 : 函 数 的 求 导 法 则, 高 等 数 学 ( 第 五 版 )( 上 册 )[M] 北 京, 高 等 教 育 出 版 社,00 7--6 [] 中 国 矿 业 学 院 数 学 教 研 室 : 不 定 积 分 法 则 不 定 积 分 表, 数 学 手 册 ( 第 二 版 )[M], 北 京, 科 学 出 版 社, 980,95 6 The stu of "iverse fuctio itegrtio" bsed o the iverse fuctio s differetil rule Li Yui Chgsh Post Office, Hu Provice, Chgsh, Chi (000) Abstrct This pper hs eplicitl preseted the coverse theorem of iverse fuctio s differetil rule, d bsed o this theorem proposed oe kid of itegrtio method d give emples epliig its utiliztio. Although the essece of this method c be viewed s kid of substitutio of vrible, it c provide clue for choosig substitutio fuctio. This method c be regrded s ddedum w for itegrtio, mkig the itegrtio method more complete. Kewords: iverse fuctio s differetil rule, itegrl.method, the Iverse fuctio itegrtio CLC umber: 07 Documet Code: A 作 者 简 介 : 李 裕 信, 男,97 年 生, 湖 南 长 沙 人,, 教 授 级 高 级 工 程 师, 退 休 前 长 期 从 事 邮 电 高 等 函 授 教 学 及 计 算 机 中 心 工 作 -6-