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第 3 章 电 路 的 暂 态 分 析 前 面 介 绍 了 直 流 电 路 稳 定 状 态 的 分 析 方 法, 本 章 将 讨 论 电 路 的 暂 态 过 程 储 能 元 件 及 其 特 性 电 路 的 换 路 定 则 RC 和 RL 暂 态 电 路 的 分 析 学 习 中 应 重 点 掌 握 基 本 概 念 初 始 值 的 求 取 方 法 及 电 路 暂 态 过 程 的 三 要 素 分 析 法, 了 解 电 路 暂 态 过 程 中 的 物 理 现 象 及 与 电 路 稳 定 状 态 的 区 别, 暂 态 电 路 与 稳 态 电 路 一 样 满 足 电 路 中 的 基 本 定 律 和 基 本 定 理 3 畅 1 电 路 暂 态 的 基 本 概 念 及 换 路 定 则 3 畅 1 畅 1 电 路 的 稳 态 与 暂 态 在 日 常 生 活 中, 可 以 发 现 : 汽 车 在 静 止 时 速 度 为 0, 处 于 一 种 稳 定 状 态 ; 当 汽 车 起 动 时, 速 度 由 0 逐 渐 增 大, 有 一 个 变 化 过 程 ; 起 动 后, 假 定 汽 车 以 某 一 个 恒 定 的 速 度 正 常 行 驶, 处 于 另 一 种 稳 定 状 态 汽 车 的 速 度 由 一 种 稳 定 状 态 ( 静 止 ) 转 变 到 另 一 种 稳 定 状 态 ( 恒 速 ), 需 要 一 定 的 加 速 过 程 ( 即 需 要 时 间 ) 这 个 加 速 过 程 称 为 暂 态 过 程 在 电 路 中, 当 电 路 中 电 源 电 压 恒 定 不 变 或 随 时 间 作 周 期 性 变 化 时, 电 路 中 各 部 分 的 电 压 电 流 也 是 恒 定 不 变 或 随 时 间 作 周 期 性 变 化 的, 此 时 电 路 所 处 的 工 作 状 态 称 为 稳 定 状 态 当 电 路 处 在 稳 定 状 态 时, 如 果 电 路 某 处 的 通 断 或 电 路 元 件 参 数 的 突 变, 都 会 引 起 电 路 工 作 状 态 发 生 变 化, 这 些 引 起 电 路 工 作 状 态 发 生 变 化 的 条 件 变 更, 统 称 为 电 路 的 换 路 电 路 在 换 路 时, 旧 的 工 作 状 态 被 破 坏, 新 的 工 作 状 态 被 建 立, 电 路 将 从 一 种 稳 定 状 态 变 化 到 另 一 种 新 的 稳 定 状 态 这 个 变 化 过 程 往 往 不 能 瞬 间 完 成, 而 是 需 要 一 定 的 时 间, 这 个 过 程 称 为 过 渡 过 程 过 渡 过 程 一 般 为 时 短 暂, 是 一 个 暂 时 的 工 作 状 态, 所 以 过 渡 过 程 又 称 为 暂 态 过 程 尽 管 暂 态 过 程 较 为 短 暂, 可 能 只 有 几 毫 秒 甚 至 更 短 时 间, 但 其 在 电 路 中 产 生 的 影 响 是 不 能 忽 略 的 电 路 在 暂 态 过 程 中 若 不 采 取 适 当 措 施, 可 能 会 出 现 比 稳 定 状 态 时 大 几 倍 甚 至 几 十 倍 的 电 压 或 电 流, 使 得 电 路 元 件 和 设 备 遭 到 损 坏 暂 态 过 程 分 析 在 近 代 电 工 和 电 子 技 术 等 领 域 中 被 广 泛 应 用 如 在 电 子 技 术 中 常 常 利 用 暂 态 过 程 来 产 生 特 定 的 波 形 或 改 善 变 换 信 号 的 波 形 ; 又 如, 在 电 机 运 行 过 程 中, 为 克 服 瞬 间 电 磁 干 扰, 常 采 用 滤 波 技 术 因 此 学 习 与 研 究 电 路 的 暂 态 过 程 规 律, 具 有 十 分 重 要 的 意 义 3 畅 1 畅 2 储 能 元 件 及 其 特 性 电 路 出 现 暂 态 过 程 是 由 于 电 路 内 部 存 在 储 能 元 件 的 缘 故 在 讨 论 分 析 电 路 的 暂 态 过 程 前, 首 先 介 绍 电 路 中 的 两 个 理 想 储 能 元 件 电 容 元 件 和 电 感 元 件 71

1 畅 电 容 元 件 电 容 器 ( 简 称 电 容 ) 是 电 路 中 的 基 本 元 件 之 一, 在 各 种 电 子 产 品 和 电 力 设 备 中 有 着 广 泛 的 应 用 在 电 子 技 术 中 电 容 器 常 用 于 滤 波 移 相 选 频 等 电 路, 还 能 起 隔 直 旁 路 等 作 用 在 电 力 系 统 中 电 容 器 可 用 来 提 高 系 统 的 功 率 因 数 电 容 器 由 两 个 被 绝 缘 体 隔 开 的 金 属 极 板 组 成 电 容 器 最 基 本 的 特 性 是 能 够 储 存 电 荷 把 电 容 器 的 两 个 极 板 分 别 接 到 电 源 的 正 负 极 上, 如 图 3 畅 1 畅 1( a) 所 示, 此 时, 电 容 器 的 两 极 板 间 便 有 了 电 压, 在 电 场 力 的 作 用 下, 自 由 电 子 定 向 运 动, 使 得 A B 极 板 上 聚 集 起 等 量 异 号 的 电 荷 电 荷 的 移 动 直 到 两 极 板 间 的 电 压 与 外 部 电 源 的 电 压 相 等 为 止 这 时 在 电 容 器 两 极 板 间 的 介 质 中 建 立 了 电 场, 也 就 是 说 电 容 器 储 存 了 一 定 量 的 电 荷 和 电 场 能 量 外 加 电 压 U 越 高, 聚 集 的 电 荷 量 Q 越 多, 产 生 的 电 场 也 越 强, 储 存 的 电 场 能 量 也 越 多 若 忽 略 中 间 介 质 的 漏 电 现 象, 电 容 器 可 用 一 个 理 想 电 容 元 件 C 来 表 示, 符 号 如 图 3 畅 1 畅 1( b) 所 示 教 材 中 提 到 的 电 容 器, 没 作 特 别 说 明 均 指 理 想 电 容 元 件 图 3 畅 1 畅 1 电 容 元 件 电 容 器 的 电 容 量 也 用 C 表 示, 其 大 小 为 极 板 上 聚 集 的 电 荷 量 Q 与 极 板 间 电 压 U 的 比 值, 即 C = Q U (3 畅 1 畅 1) C 值 不 变 的 电 容 器 称 为 固 定 电 容 器 ( 这 里 仅 讨 论 固 定 电 容 器 ),C 值 可 变 的 称 为 可 变 电 容 器 上 式 中,Q 的 国 际 单 位 为 库 [ 仑 ] ( C) ;U 的 国 际 单 位 为 伏 [ 特 ] ( V) ;C 的 国 际 单 位 为 法 [ 拉 ] ( F) 在 实 际 应 用 中, 法 [ 拉 ] 的 单 位 太 大, 常 用 的 单 位 有 微 法 ( μf) 纳 法 ( nf) 皮 法 ( pf) 它 们 之 间 的 互 换 关 系 为 1F =10 6 μf =10 9 nf =10 12 pf 式 (3 畅 1 畅 1) 说 明 电 容 器 中 存 储 电 荷 量 的 多 少 与 加 在 电 容 器 两 端 的 电 压 大 小 成 正 比 当 加 在 电 容 器 两 端 的 电 压 u 随 时 间 变 化, 由 于 任 何 一 个 瞬 时, 极 板 上 聚 集 的 电 荷 量 q 取 决 于 该 瞬 间 电 容 两 端 的 电 压 u, 即 q( t) =Cu(t), 这 时 电 容 两 极 板 间 的 电 荷 q 也 随 之 变 化, 对 于 闭 合 电 路 便 有 了 电 荷 移 动, 产 生 了 电 流, 在 电 压 电 流 取 关 联 参 考 方 向 时, 则 有 i = dq d( Cu) = =C du (3 畅 1 畅 2) 式 (3.1.2) 为 电 容 的 伏 安 关 系 ( 若 电 压 与 电 流 的 参 考 方 向 非 关 联, 则 等 式 右 边 加 - 号, 下 同 ) 72

式 中, du 为 电 压 变 化 率, 说 明 电 容 中 的 电 流 与 其 两 端 电 压 变 化 率 成 正 比 当 电 容 两 端 加 上 随 时 间 变 化 的 电 压 时, 电 容 电 路 中 就 有 了 电 流, 且 电 压 变 化 越 快, 极 板 上 的 电 荷 量 变 化 越 快, 因 此 电 流 du 就 越 大 ; 反 之, 电 流 越 小 若 电 容 两 端 加 的 是 不 随 时 间 变 化 的 直 流 电 压, 则 电 压 变 化 率 =0, 电 流 i =0 因 此, 在 稳 定 直 流 电 路 中, 电 容 电 流 等 于 0, 电 容 器 相 当 于 开 路, 即 电 容 器 有 隔 直 流 的 作 用 电 容 器 中 随 时 间 变 化 的 电 压 与 电 流 的 乘 积 称 为 瞬 时 功 率 p =ui =Cu du (3 畅 1 畅 3) 当 p >0 时, 说 明 电 容 器 从 外 部 电 路 输 入 电 功 率 ( 电 容 器 充 电 ), 即 把 电 能 转 化 成 电 场 能 ; 当 p <0 时, 说 明 电 容 器 向 外 部 电 路 输 出 功 率 ( 电 容 器 放 电 ), 即 把 电 场 能 转 换 成 电 能 电 容 器 中 能 量 的 转 换 是 可 逆 的, 理 想 电 容 元 件 不 消 耗 电 能 设 电 容 器 两 端 初 始 电 压 u =0,( 即 设 电 容 器 中 原 储 存 能 量 为 0), 若 在 (0 ~t) 时 间 内, 电 容 器 两 端 电 压 由 0 升 高 到 U, 则 电 容 器 吸 收 的 电 能 为 W C t U = p = Cudu = 1 2 CU 2 (3 畅 1 畅 4a) 0 0 这 时 电 容 器 将 电 能 转 换 成 电 场 能 ( 储 存 能 量 ); 若 电 容 器 两 端 电 压 在 相 同 时 间 内 由 U 下 降 到 0, 则 电 容 器 释 放 的 电 能 为 t 0 W C = p = Cudu =- 1 2 CU 2 (3 畅 1 畅 4b) 这 时 电 容 器 又 将 储 存 的 电 场 能 转 换 成 电 能 返 还 给 了 电 路 系 统 ( 释 放 能 量 ) 0 U 由 式 (3 畅 1 畅 4a) 式 (3 畅 1 畅 4b) 可 见, 理 想 电 容 元 件 储 存 ( 吸 收 ) 的 电 能 与 释 放 的 电 能 相 等 故 理 想 电 容 元 件 不 消 耗 电 能, 是 一 个 储 存 电 场 能 的 元 件 由 于 电 容 元 件 是 一 个 储 能 元 件, 所 储 存 的 能 量 W C = 1 2 CU 2, 能 量 的 积 累 或 释 放 需 要 时 间, 不 可 能 发 生 突 变, 因 此 电 容 器 两 端 的 电 压 不 可 能 发 生 突 变 实 际 的 电 容 器 不 可 能 是 完 全 理 想 的, 它 多 少 有 一 些 漏 电 现 象, 同 时 介 质 在 交 变 电 压 作 用 下 被 反 复 极 化 要 消 耗 电 能 当 这 些 损 耗 不 能 忽 略 时, 在 电 路 分 析 中, 实 际 电 容 器 可 用 一 个 电 阻 元 件 与 电 容 元 件 的 并 联 组 合 模 型 来 表 示, 如 图 3 畅 1 畅 2 所 示 电 容 器 的 种 类 繁 多, 不 同 类 型 电 容 器 的 性 能 用 途 不 同 选 用 电 容 器 时, 不 仅 应 选 择 电 容 器 的 容 量, 而 且 还 要 正 确 选 择 电 容 器 的 额 定 电 压 ( 一 般 又 称 耐 压 ) 电 容 器 接 到 电 路 中, 必 须 保 证 它 的 额 定 工 作 电 压 大 于 工 作 时 的 最 高 电 压, 否 则 电 容 器 的 介 质 会 被 击 穿 实 际 使 用 电 容 器 时, 当 单 个 电 容 不 能 满 足 实 际 电 路 要 求 时, 可 以 把 几 个 电 容 器 串 联 或 并 联 使 用 图 3.1.2 实 际 电 容 器 的 等 效 模 型 73

电 容 器 串 联 时, 每 个 电 容 器 都 带 有 相 等 的 电 荷 量, 而 各 电 容 器 两 端 的 电 压 是 不 同 的, 如 图 3 畅 1 畅 3 所 示 即 Q =Q 1 =Q 2 =Q 3 (3 畅 1 畅 5) 由 KVL 可 知 U 1 = Q C 1 U 2 = Q C 2 U 3 = Q C 3 U =U 1 +U 2 +U 3 =Q 1 + 1 + 1 = Q C 1 C 2 C 3 C 所 以, 电 容 元 件 串 联 的 等 效 电 容 量 C 与 各 电 容 的 关 系 为 1 C = 1 + 1 + 1 (3 畅 1 畅 6) C 1 C 2 C 3 图 3 畅 1 畅 3 电 容 器 串 联 电 容 器 并 联 时, 每 个 电 容 器 上 有 相 同 的 电 压, 而 各 电 容 器 所 储 存 的 电 荷 量 是 不 同 的, 如 图 3 畅 1 畅 4 所 示 它 们 从 电 源 获 得 的 总 电 荷 量 Q 为 由 C = Q U =Q 1 +Q 2 +Q 3 U 系 为 图 3 畅 1 畅 4 电 容 器 并 联 Q =Q 1 +Q 2 +Q 3 (3 畅 1 畅 7) = C 1 U +C 2 U +C 3 U 可 得, 电 容 元 件 并 联 的 等 效 电 容 量 C 与 各 电 容 的 关 U C =C 1 +C 2 +C 3 (3 畅 1 畅 8) 74

2 畅 电 感 元 件 电 感 元 件 也 是 电 路 中 的 基 本 元 件 之 一 在 电 子 技 术 和 电 力 系 统 中, 常 常 可 以 看 到 用 导 线 绕 制 的 线 圈 如 收 音 机 中 的 高 频 扼 流 圈 日 光 灯 电 路 中 的 镇 流 器 等 在 学 习 电 感 元 件 的 物 理 性 质 之 前, 先 复 习 物 理 学 中 的 电 磁 感 应 现 象 图 3 畅 1 畅 5 所 示 为 电 磁 感 应 实 验 电 路 把 线 圈 的 两 个 接 头 分 别 与 灵 敏 电 流 计 的 两 个 接 线 柱 相 连 接 形 成 闭 合 回 路 将 条 形 磁 铁 插 入 线 圈 ( 或 将 条 形 磁 铁 从 线 圈 中 拔 出 ), 使 穿 过 线 圈 的 磁 通 发 生 变 化, 这 时 电 流 计 的 指 针 会 发 生 偏 转, 说 明 闭 合 回 路 中 有 感 应 电 流 产 生 如 果 条 形 磁 铁 放 在 线 圈 中 不 动, 电 流 计 指 针 为 0, 说 明 闭 合 回 路 中 没 有 感 应 电 流 产 生 若 闭 合 回 路 中 有 感 应 电 流 产 生, 这 个 回 路 中 必 定 有 感 应 电 动 势 存 在, 因 此 可 以 得 出 这 样 的 结 论 : 当 穿 过 线 圈 的 磁 通 量 发 生 变 化 时, 在 线 圈 闭 合 回 路 中 就 会 产 生 感 应 电 动 势 与 感 应 电 流 这 就 是 电 磁 感 应 现 象 同 时, 在 物 理 学 中 也 已 知 道 通 电 导 体 的 周 围 有 磁 场, 只 是 这 个 磁 场 很 小, 一 般 情 况 下 可 以 忽 略 不 计 但 是, 当 电 流 通 过 一 个 线 圈 时 会 在 线 圈 中 产 生 一 个 比 较 集 中 的 磁 场, 这 时 一 定 存 在 磁 场 能 量 储 存 的 影 响 在 物 理 学 中, 磁 通 量 Ф 是 用 来 描 述 磁 场 的 一 个 物 理 量, 现 以 单 匝 线 圈 为 例, 如 图 3 畅 1 畅 6 所 示 当 通 过 该 匝 线 圈 的 磁 通 发 生 变 化 时, 就 会 在 这 线 圈 中 产 生 感 应 电 动 势 e, 且 有 e =- dφ (3 畅 1 畅 9) 图 3 畅 1 畅 5 电 磁 感 应 实 验 图 3 畅 1 畅 6 电 磁 感 应 定 律 示 图 式 (3.1.9) 即 电 磁 感 应 定 律 的 表 达 式, 说 明 感 应 电 动 势 e 的 大 小 等 于 磁 通 量 Ф 的 变 化 率, 其 中 - 号 反 映 感 应 电 动 势 e 的 方 向 总 是 阻 碍 磁 通 量 Ф 变 化 的 方 向 磁 通 量 Ф 与 感 应 电 动 势 e( 及 感 应 电 流 i ) 的 方 向 符 合 右 手 螺 旋 定 则 如 线 圈 有 N 匝, 则 线 圈 的 感 应 电 动 势 为 单 匝 线 圈 感 应 电 动 势 的 N 倍, 即 e =-N dφ =- dψ 式 中, Ψ=NΦ, 称 为 磁 链, 即 与 每 一 匝 线 圈 相 链 的 磁 通 总 和 (3 畅 1 畅 10) 磁 链 与 磁 通 量 通 常 是 由 通 过 线 圈 的 电 流 i 产 生 的, 当 线 圈 中 无 铁 磁 材 料 时, 磁 链 Ψ 与 电 流 i 成 正 比, 其 比 例 系 数 为 常 数, 定 义 为 线 圈 的 电 感 L L 为 常 数 的 电 感 又 称 为 线 性 电 感, 本 章 讨 论 的 均 为 线 性 电 感, 即 75

L = Ψ i 或 Ψ =Li (3 畅 1 畅 11) 在 国 际 单 位 制 中,L 的 单 位 为 亨 [ 利 ] (H), 若 亨 [ 利 ] 的 单 位 太 大, 还 可 用 毫 亨 ( mh) 与 微 亨 ( μh) 表 示 它 们 之 间 的 互 换 关 系 为 1H =10 3 mh =10 6 μh 当 通 过 一 个 线 圈 的 电 流 i 随 时 间 变 化 时, 由 这 个 变 化 的 电 流 i 产 生 的 磁 通 量 Φ 也 是 随 时 间 变 化 的, 由 电 磁 感 应 定 律 可 知, 当 通 过 线 圈 的 磁 通 量 变 化 时, 在 线 圈 中 会 产 生 感 应 电 动 势 e, 如 图 3 畅 1 畅 7(a) 所 示 由 于 这 个 感 应 电 动 势 是 由 通 过 线 圈 自 身 的 电 流 产 生 的, 所 以 又 称 自 感 电 动 势, 用 e L 表 示 自 感 电 动 势 e L 的 大 小 为 将 式 (3 畅 1 畅 11) 代 入, 得 e L =-N dφ e L =-L di =- dψ (3 畅 1 畅 12) 图 3 畅 1 畅 7 电 感 元 件 及 其 符 号 式 (3 畅 1 畅 12) 中 的 - 号 说 明 自 感 电 动 势 e 总 是 企 图 阻 止 电 流 i 的 变 化, 也 就 是 说 自 感 电 动 势 具 有 阻 碍 电 流 变 化 的 性 质 忽 略 线 圈 电 阻 的 电 感 称 为 理 想 电 感 ( 简 称 电 感 ), 在 电 路 中 用 图 3 畅 1 畅 7 ( b) 所 示 的 符 号 表 示 理 想 电 感 元 件 所 以 由 KVL 得 u +e L u =-e L =0 =L di (3 畅 1 畅 13) 式 (3.1.13) 为 电 感 的 伏 安 关 系, 说 明 理 想 电 感 线 圈 两 端 的 电 压 u 与 流 过 线 圈 的 电 流 变 化 率 成 正 比, 其 大 小 正 好 与 感 应 电 动 势 相 等 76

当 线 圈 中 通 过 不 随 时 间 变 化 的 直 流 电 流 时, 由 式 (3 畅 1 畅 13) 可 见,u =0, 因 此 理 想 电 感 元 件 在 直 流 电 路 中 可 视 为 短 路 理 想 电 感 元 件 的 瞬 时 功 率 为 p =ui =Li di (3 畅 1 畅 14) 式 (3.1.14) 说 明, 当 p >0 时, 电 感 元 件 从 外 部 电 路 输 入 电 功 率, 把 电 能 转 换 成 磁 场 能 ; 当 p <0 时, 电 感 元 件 向 外 部 电 路 输 出 电 功 率, 把 磁 场 能 又 转 换 成 了 电 能 式 (3 畅 1 畅 13) 和 式 (3 畅 1 畅 14) 中, 如 电 压 与 电 流 的 参 考 方 向 非 关 联, 则 等 式 右 边 加 - 号 设 电 感 元 件 中 的 初 始 电 流 i L =0( 即 设 电 感 中 原 储 存 磁 场 能 量 为 0), 若 在 (0 ~t) 时 间 内, 电 流 i 由 0 增 加 到 I 值, 电 感 元 件 吸 收 的 电 能 为 W L t I = p = Lidi = 1 2 LI 2 (3 畅 1 畅 15a) 0 0 这 些 电 能 都 转 换 成 了 磁 场 能 若 在 相 同 时 间 内, 电 感 中 的 电 流 i 由 I 下 降 到 0, 则 t 0 W L = p = Lidi =- 1 2 LI 2 (3 畅 1 畅 15b) 这 时 电 感 元 件 释 放 能 量, 将 原 储 存 的 磁 场 能 量 转 换 成 电 能 又 返 还 给 电 路 系 统 0 I 由 式 (3 畅 1 畅 15a) 式 (3 畅 1 畅 15b) 可 见, 电 感 元 件 吸 收 的 电 能 与 放 出 的 电 能 相 等, 说 明 理 想 电 感 元 件 不 消 耗 电 能, 是 一 个 储 存 磁 场 能 的 元 件 实 际 电 感 线 圈 总 有 一 定 的 电 阻 当 导 线 电 阻 不 能 忽 略 时, 在 分 析 电 路 时, 电 感 线 圈 可 用 一 个 电 阻 元 件 与 电 感 元 件 的 串 联 组 合 模 型 表 示, 如 图 3 畅 1 畅 8 所 示 L 为 两 个 没 有 相 互 感 应 的 理 想 电 感 元 件 L 1 和 L 2, 串 联 后 的 等 效 电 感 并 联 后 的 等 效 电 感 为 3 畅 1 畅 3 产 生 暂 态 过 程 的 原 因 L =L 1 +L 2 (3 畅 1 畅 16a) L = L 1 L 2 L 1 +L 2 (3 畅 1 畅 16b) 图 3 畅 1 畅 8 实 际 电 感 器 的 等 效 模 型 电 感 元 件 与 电 容 元 件 是 储 存 磁 场 能 量 和 电 场 能 量 的 理 想 电 路 元 件, 由 于 它 们 所 储 存 的 能 量 不 能 突 变, 所 以 含 有 电 感 元 件 与 电 容 元 件 的 电 路 在 换 路 时 必 然 会 产 生 暂 态 过 程 电 路 暂 态 过 程 产 生 的 原 因 是 由 于 电 路 中 储 能 元 件 ( 电 感 与 电 容 ) 中 储 存 的 能 量 不 能 突 变 造 成 的 如 前 所 述, 电 感 元 件 两 端 的 自 感 电 动 势 e L =-L di, 如 果 电 感 元 件 中 的 电 流 能 够 发 生 突 di 变, 即 在 极 短 的 时 间 内 ( 0), 电 流 发 生 突 变 ( di 0), 那 么 将 趋 向 于 无 穷 大, 即 自 感 电 动 势 必 77

然 无 穷 大, 这 显 然 是 不 可 能 的 同 理, 在 包 含 电 容 的 电 路 中, 电 容 两 端 的 电 压 不 能 发 生 突 变 因 为 电 容 中 的 电 流 i =C du, 如 果 电 压 u 能 发 生 突 变, 则 电 流 i 为 无 穷 大, 这 显 然 也 是 不 可 能 的 1 从 能 量 的 角 度 分 析, 电 感 元 件 中 的 磁 场 能 为 W L = 1 2 LI 2, 电 容 元 件 中 的 电 场 能 为 W C = 2 CU 2, 如 果 电 感 元 件 中 的 电 流 或 电 容 元 件 两 端 的 电 压 能 突 变, 则 能 量 也 必 然 随 之 突 变, 而 功 率 p = dw 必 然 为 无 穷 大, 这 显 然 是 不 可 能 的 因 此, 可 以 得 出 如 下 两 个 重 要 结 论 : (1) 电 感 元 件 中 的 电 流 不 能 突 变 (2) 电 容 元 件 两 端 的 电 压 不 能 突 变 3 畅 1 畅 4 换 路 定 则 电 路 中 含 有 电 容 元 件 或 电 感 元 件, 当 电 路 的 工 作 条 件 发 生 变 化 时, 必 定 有 一 个 暂 态 过 程 由 于 电 容 两 端 的 电 压 不 能 突 变, 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, 即 在 换 路 的 瞬 间 (t =0) 电 容 元 件 上 的 电 压 u C ( t) 电 感 元 件 中 的 电 流 i L ( t) 都 应 保 持 原 值 其 数 学 表 达 式 为 u C (0 +) =u C (0 -) i L (0 + ) =i L (0 - ) (3 畅 1 畅 17) 式 (3.1.17) 称 为 电 路 的 换 路 定 则 式 中,t =0 - 代 表 电 路 换 路 前 的 终 了 瞬 间,t =0 + 代 表 电 路 换 路 后 的 初 始 瞬 间,t =0 表 示 电 路 正 在 换 路 瞬 间 0-0 0 + 实 质 上 是 三 点 合 一, 但 有 区 别 这 里 约 定 : 换 路 瞬 间 是 不 花 费 时 间 的 初 始 值 是 指 t =0 + 时 刻 的 值 注 意 : 换 路 定 则 仅 适 用 于 换 路 瞬 间 电 容 上 的 电 压 和 电 感 中 的 电 流, 可 以 用 它 来 确 定 t =0 时 电 感 元 件 中 的 电 流 或 电 容 元 件 两 端 电 压 的 初 始 值 再 根 据 已 求 得 的 i L (0 +) 和 u C (0 +) 求 电 路 中 的 其 他 电 压 和 电 流 的 初 始 值 例 3 畅 1 畅 1 确 定 图 3 畅 1 畅 9 所 示 电 路 中 各 个 电 压 和 电 流 的 初 始 值 ( 设 换 路 前 电 路 处 于 稳 态 ) 已 知 U =6 V,R =3 Ω,L =10 mh 解 开 关 S 闭 合 前 i L (0 -) =0 开 关 S 闭 合 瞬 间, 根 据 换 路 定 则 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, 有 i L (0 + ) =i L (0 - ) =0 因 电 阻 与 电 感 串 联, 所 以 t =0 时, 电 阻 两 端 的 电 压 为 电 感 两 端 的 电 压, 由 KVL 得 所 以 u R (0 +) =Ri L (0 +) =0 u L (0 +) +u R (0 +) -U =0 图 3 畅 1 畅 9 例 3 畅 1 畅 1 电 路 78 u L (0 +) =U -u R (0 +) =(6-0) V =6 V

例 3 畅 1 畅 2 确 定 图 3 畅 1 畅 10 所 示 电 路 中 各 个 电 压 和 电 流 的 初 始 值 ( 设 换 路 前 电 路 处 于 稳 态 ) 已 知 U =12 V, R =4 Ω, C = 10 μf 解 开 关 S 闭 合 前 u C (0 -) =0 开 关 S 闭 合 瞬 间, 根 据 换 路 定 则, 电 容 两 端 的 电 压 不 能 突 变, 则 u C (0 + ) =u C (0 - ) =0 因 电 阻 与 电 容 串 联, 所 以 t =0 时, 电 阻 两 端 的 电 压 为 图 3.1.10 例 3.1.2 电 路 u R (0 +) =U -u C (0 +) =(12-0) V =12 V 电 路 中 的 电 流 为 i(0 +) = u R (0 + ) R = 12 4 A =3 A 例 3 畅 1 畅 3 确 定 图 3 畅 1 畅 11 所 示 电 路 中 各 个 电 压 和 电 流 的 初 始 值 ( 设 换 路 前 电 路 处 于 稳 态 ) 已 知 U =10 V,R 1 =2 Ω,R 2 =3 Ω,R 3 =6 Ω 图 3 畅 1 畅 11 例 3 畅 1 畅 3 电 路 解 开 关 S 闭 合 前, 电 路 处 于 稳 态, 理 想 电 感 元 件 相 当 于 短 路,u L (0 - ) =0; 理 想 电 容 元 件 相 当 于 开 路,i C (0 - ) =0 所 以 i L (0 - ) = U = 10 R 1 +R 2 2 +3 A =2 A u C (0 -) =u R2 (0 -) =R 2 i L (0 -) =3 2 V =6 V 开 关 S 闭 合 瞬 间, 根 据 换 路 定 则, 有 u C (0 + ) =u C (0 - ) =6 V i L (0 + ) =i L (0 - ) =2 A 所 以, 其 他 各 变 量 的 初 始 值 为 u C (0 +) i C (0 + ) =- R 3 =- 6 6 A =-1 A i(0 + ) = U = 10 R 1 2 A =5 A 79

i S (0 +) =i(0 +) -i L(0 +) -i C (0 +) =[5-2 -( -1)] A =4 A u L (0 +) =-u R2 (0 +) =-R 2 i L (0 +) =-3 2 V =-6 V 由 上 述 例 题 的 计 算 结 果 可 见, 虽 然 电 容 元 件 上 的 电 压 不 能 突 变, 但 其 电 流 i C 是 可 以 突 变 的 ; 虽 然 电 感 元 件 中 的 电 流 不 能 突 变, 但 其 两 端 电 压 u L 是 可 以 突 变 的 ; 对 电 阻 元 件 而 言, 其 两 端 电 压 u 和 电 流 i 都 可 突 变 因 此 在 计 算 t =0 + 时 的 电 压 或 其 中 电 流 初 始 值 时, 可 先 根 据 t =0 - 时 的 电 路 结 构 ( 电 路 处 于 还 没 变 化 时 的 稳 定 状 态 ) 计 算 出 电 容 电 压 u C (0 -) 或 电 感 电 流 i L (0 -), 因 为 它 们 是 不 能 突 变 的, 所 以 u C (0 +) =u C (0 -) i L (0 +) =i L (0 -) 而 其 余 的 电 压 或 电 流 是 可 以 突 变 的, 它 们 的 初 始 值 可 以 根 据 t =0 + 时 的 电 路 结 构 ( 电 路 处 于 已 改 变 后 的 过 渡 状 态 ) 及 i L (0 +) 和 u C (0 + ) 求 出, 而 与 t =0 - 时 的 值 无 关 3 畅 2 RC 电 路 的 暂 态 分 析 3 畅 2 畅 1 RC 放 电 电 路 图 3 畅 2 畅 1 所 示 是 RC 串 联 电 路 开 关 S 原 在 1 位 置, 电 路 处 于 稳 定 状 态, 电 流 i(0 -) =0, 电 容 元 件 两 端 电 压 u C (0 -) =U 在 t =0 时, 将 开 关 S 扳 到 2 位 置, 使 RC 电 路 脱 离 电 源, 即 输 入 电 压 为 0 由 于 电 容 原 来 已 储 有 能 量 为 1 2 CU 2, 它 的 电 压 初 始 值 u C (0 -) =U, 于 是 电 容 元 件 经 过 电 阻 R 开 始 放 电 根 据 KVL, 列 写 出 电 路 换 路 后 的 回 路 电 压 方 程 u R +u C =0 因 为 u R =Ri, i =C du C 图 3 畅 2 畅 1 RC 放 电 电 路 所 以 RC du C +u C =0 (3 畅 2 畅 1) 这 是 一 个 一 阶 线 性 齐 次 常 系 数 微 分 方 程, 由 一 阶 微 分 方 程 描 述 的 电 路 称 为 一 阶 电 路, 其 解 为 u C =u C +u C 其 中 u C 是 稳 态 分 量, 表 示 电 路 达 到 稳 定 状 态 时 电 容 上 的 电 压, 其 值 为 u C =0;u C 是 暂 态 分 量, 其 形 式 为 u C =Ae pt, 将 其 代 入 式 (3 畅 2 畅 1) 可 得 RC du C +u C =0 即 RCAe pt p +Ae pt =0 整 理 后 可 得 该 微 分 方 程 的 特 征 方 程 为 80 Ae pt ( RCp +1) =0 RCp +1 =0

其 特 征 根 为 p =- 1 RC 根 据 换 路 定 则, 在 t =0 + 时,u C (0 +) =u C (0 -) =U, 可 定 出 积 分 常 数 A 由 u C (0 + ) =u C (0 + ) + u C (0 + ) =0 + Ae pt t =0 =U 得 A =U 所 以, 齐 次 微 分 方 程 RC du C +u C =0 的 解 为 u C =u C +u C =Ue pt =Ue - t RC =Ue -t 啋 ( t 0) (3 畅 2 畅 2) 用 电 路 理 论 的 术 语 讲, 此 为 零 输 入 响 应 u C 随 时 间 的 变 化 曲 线 如 图 3 畅 2 畅 2 所 示 图 3 畅 2 畅 2 RC 放 电 电 路 参 数 曲 线 式 (3.2.2) 中 啋 =RC (3 畅 2 畅 3) R 是 换 路 后 从 电 容 C 两 端 往 外 看 的 等 效 电 阻, 单 位 为 欧 [ 姆 ](Ω),C 的 单 位 为 法 [ 拉 ] (F), 啋 的 单 位 为 秒 (s) 因 为 它 具 有 时 间 的 量 纲, 所 以 称 它 为 RC 放 电 电 路 的 时 间 常 数, 同 一 个 电 路 中 时 间 常 数 是 相 同 的 电 容 放 电 的 快 慢 取 决 于 电 路 的 时 间 常 数 电 容 电 压 u C 随 时 间 的 变 化 数 值 见 表 3 畅 2 畅 1 表 3 畅 2 畅 1 电 容 电 压 u C 随 时 间 t 的 变 化 数 值 t 0 啋 2 啋 3 啋 4 啋 5 啋 u C =Ue - t 啋 U 0 畅 386U 0 畅 125U 0 畅 050U 0 畅 018U 0 畅 007U 0 理 论 上 讲, 电 路 要 经 过 t = 时 间 才 能 达 到 另 一 个 稳 定 状 态, 但 是 由 于 指 数 曲 线 开 始 变 化 很 快,t = 啋 时, 电 容 电 压 已 衰 减 为 初 始 值 的 36 畅 8%, 而 后 逐 渐 变 化 缓 慢, 经 过 3 啋 ~5 啋 时 间 后,u C 0, 在 工 程 上 可 以 认 为 暂 态 过 程 基 本 结 束, 电 路 进 入 了 另 一 个 稳 态 在 RC 电 路 的 放 电 过 程 中, 电 路 中 的 放 电 电 流 为 i =C du C =- U R e -1 RC t =- U R e -1 t 啋 (t 0) (3 畅 2 畅 4) 81

式 中, i(0 + ) =- U 为 放 电 的 初 始 电 流, - 表 示 放 电 电 流 实 际 方 向 与 图 2 畅 2 畅 1 中 的 参 考 方 向 R 相 反 电 阻 上 的 电 压 为 u R =Ri =-Ue -1 RC t =-Ue -1 t 啋 (t 0) (3 畅 2 畅 5) i u R 随 时 间 变 化 的 曲 线 如 图 3 畅 2 畅 2 所 示 通 过 以 上 分 析 可 知,RC 放 电 电 路 有 以 下 特 点 :u C u R i 均 按 指 数 规 律 衰 减 衰 减 的 速 度 完 全 由 电 路 的 时 间 常 数 啋 =RC 决 定, 也 就 是 由 电 路 的 参 数 决 定 时 间 常 数 啋 越 大 ( 即 C 大 或 R 大 ), 衰 减 的 速 度 越 慢, 即 暂 态 过 程 越 长 因 为 在 一 定 的 初 始 电 压 下, 电 容 C 越 大, 说 明 其 储 存 的 电 荷 越 多, 或 者 说 储 存 的 电 场 能 量 W C 越 大, 要 释 放 完 这 些 能 量 所 需 的 时 间 越 长 电 阻 R 越 大, 则 放 电 电 流 i = u 越 小, 释 放 完 所 储 能 量 所 需 的 时 间 当 然 也 越 长 R 例 3 畅 2 畅 1 在 图 3 畅 2 畅 3 所 示 电 路 中, 已 知 C =10 μf,r 1 =20 kω,r 2 =100 kω,u =120 V, 换 路 前 开 关 S 闭 合, 电 路 处 于 稳 态 在 t =0 时 刻, 将 开 关 S 断 开, 求 :(1) 电 容 两 端 电 压 u C ( t); (2) t = 啋 和 t =5 啋 时 电 容 两 端 电 压 u C 图 3 畅 2 畅 3 例 3 畅 2 畅 1 电 路 解 (1) 开 关 S 在 t =0 时 刻 断 开, 这 时 电 容 C 原 来 所 储 存 的 电 能 通 过 电 阻 R 2 放 电, 由 前 面 的 分 析 可 知 根 据 换 路 定 则 所 以 (2) 电 路 的 时 间 常 数 开 关 S 断 开 后, 当 t = 啋 时 82 u C =Ae - t RC (t 0) u C (0 +) =u C (0 -) = R 2 U R 1 +R 2 = 100 20 +100 120 V =100 V A =u C (0 +) =100, u C (t) =100e - t RC 啋 =R 2 C =(100 10 3 (t 0) 10 10-6 ) s =1 s u C ( 啋 ) =100e - 啋 RC =100e -1 V =36 畅 8 V

当 t =5 啋 时 u C (5 啋 ) =100e -5 啋 RC =100e -5 V =0 畅 7 V 由 解 得 的 结 果 可 见, 电 容 充 电 后 脱 离 电 源, 在 一 段 时 间 内 仍 具 有 一 定 的 电 压, 但 经 过 5 啋 时 间 后 已 接 近 0 由 于 电 容 的 储 能 功 能 及 换 路 后 电 压 不 能 突 变 的 特 点, 对 于 电 力 系 统 中 用 的 大 容 量 电 容 器, 在 断 电 后 要 有 一 段 放 电 时 间, 使 其 充 分 放 电 完 毕, 再 行 检 修 或 其 他 操 作, 以 保 证 人 身 和 设 备 安 全 3 畅 2 畅 2 RC 充 电 电 路 图 3 畅 2 畅 4(a) 所 示 是 RC 充 电 电 路 电 容 C 中 初 始 储 能 为 0, 即 u C (0 -) =0 在 t =0 时 刻, 将 开 关 S 从 2 扳 到 1, 电 容 器 开 始 充 电 图 3 畅 2 畅 4 RC 充 电 电 路 根 据 KVL, 列 写 出 电 路 换 路 后 的 回 路 电 压 方 程 u R +u C =U 因 为 u R =Ri, i =C du C 所 以 RC duc +u C =U (3 畅 2 畅 6) 这 是 一 个 一 阶 线 性 非 齐 次 常 系 数 微 分 方 程, 由 微 分 方 程 解 的 结 构 理 论 可 知, 同 样 其 解 u C 为 两 部 分 线 性 叠 加,u C =u C +u C 其 中 u C 是 稳 态 分 量, 表 示 电 路 达 到 稳 定 状 态 时 电 容 上 的 电 压, 其 大 小 为 u C =u C ( ) =U;u C 是 暂 态 分 量, 即 对 应 齐 次 方 程 的 通 解, 其 形 式 为 u C =Be pt 由 3 畅 2 畅 1 小 节 可 知, 根 据 换 路 定 则, 在 t =0 + 时,u C (0 + ) =u C (0 - ) =0, 可 定 出 积 分 常 数 B 由 u C (0 + ) =u C (0 + ) +u C (0 + ) =U + Be pt t =0 =0 得 B =-U 所 以, 非 齐 次 微 分 方 程 RC duc +u C =U 的 解 为 u C =u C +u C =U -Ue pt =U(1 -e pt ) =U(1 -e - t 啋 ) (t 0) (3 畅 2 畅 7) 83

用 电 路 理 论 的 术 语 讲, 此 为 零 状 态 响 应 式 中, 啋 =RC =-1 /p 为 充 电 电 路 的 时 间 常 数 在 RC 电 路 的 充 电 过 程 中, 电 路 中 的 充 电 电 流 为 i =C du C = U R e -1 RC t = U R e -1 t 啋 (t 0) (3 畅 2 畅 8) 式 中, i(0 + ) = U 是 充 电 的 初 始 电 流, 因 换 路 瞬 间,u(0 + ) =0, 所 以 i(0 + ) = U 为 最 大 值 R R 电 阻 上 的 电 压 为 u R =Ri =Ue -1 i u R 随 时 间 变 化 的 曲 线 如 图 3 畅 2 畅 4( b) 所 示 RC t =Ue -1 t 啋 (t 0) (3 畅 2 畅 9) RC 充 电 电 路 有 以 下 特 点 : u C 由 初 始 值 0 随 时 间 按 指 数 规 律 逐 渐 增 长, 最 终 趋 于 稳 态 值 U; U 充 电 电 流 i 在 t =0 时 发 生 突 变, 由 零 跳 变 到 R, 然 后 按 指 数 规 律 衰 减 而 趋 于 0 电 容 充 电 的 快 慢 取 决 于 电 路 的 时 间 常 数 啋 =RC, 时 间 常 数 啋 越 大, 充 电 越 慢, 反 之 越 快 理 论 上, 需 经 过 无 穷 大 时 间 才 能 达 到 稳 态, 但 工 程 上 认 为 经 过 t =(3 ~5) 啋 后, 电 路 已 达 稳 定, 充 电 基 本 结 束 例 3 畅 2 畅 2 在 图 3 畅 2 畅 5 所 示 电 路 中, 开 关 S 闭 合 前, 电 容 C 未 储 能, 已 知 U =10 V, R =1 MΩ,C =10 μf 试 求 :(1) 电 路 的 时 间 常 数 啋 ;(2) 开 关 S 闭 合 10 s 时, 电 容 两 端 的 电 压 u C 解 (1) 求 时 间 常 数 啋 啋 =RC =10 6 10 10-6 s =10 s 图 3 畅 2 畅 5 例 3 畅 2 畅 2 电 路 (2) 开 关 S 闭 合 后, 电 源 对 电 容 C 充 电, 这 是 一 个 求 零 状 态 响 应 的 问 题, 由 式 (3 畅 2 畅 7) 知, 电 容 两 端 的 电 压 变 化 规 律 为 t =10 s 时 u C =U(1 -e - t 啋 ) =10(1 -e -t 10 ) (t 0) 3 畅 2 畅 3 RC 暂 态 电 路 的 应 用 u C (10) =10(1 -e -10 10 ) V =10(1-0 畅 368) V =6 畅 32 V 由 RC 串 联 电 路 组 成 的 电 容 充 放 电 电 路 可 以 选 取 不 同 的 电 路 时 间 常 数 及 电 路 结 构, 使 输 出 电 压 波 形 与 输 入 电 压 波 形 之 间 形 成 特 定 的 关 系, 下 面 介 绍 两 种 应 用 电 路 1 畅 微 分 电 路 在 脉 冲 技 术 中, 常 用 尖 脉 冲 作 为 触 发 信 号 微 分 电 路 可 以 把 方 波 变 为 尖 脉 冲 微 分 电 路 如 图 3 畅 2 畅 6( a) 所 示 在 t =0 时, 将 开 关 S 合 到 位 置 a, 使 电 路 与 电 源 接 通, 电 容 充 电 ; 在 t =t p 时, 将 开 关 S 合 到 b 位 置 上, 电 容 放 电, 这 样, 在 输 入 端 实 际 得 到 的 是 如 图 3 畅 2 畅 6( b) 所 示 的 一 个 矩 形 脉 冲 电 压 在 实 际 电 路 中, 不 是 利 用 开 关, 而 是 在 输 入 端 直 接 输 入 一 个 矩 形 脉 冲 84

电 压, 矩 形 脉 冲 电 压 的 幅 度 为 U, 脉 冲 宽 度 为 t p, 如 果 是 周 期 性 的, 则 脉 冲 周 期 为 T 实 际 微 分 电 路 如 图 3 畅 2 畅 6( b) 所 示 下 面 分 析 微 分 电 路 工 作 原 理 图 3 畅 2 畅 6 微 分 电 路 在 0 ~t p 这 段 时 间 内, 输 入 矩 形 脉 冲 电 压 的 幅 度 为 U, 对 电 容 器 充 电 ; 在 t p ~t 2 这 段 时 间 内, 输 入 矩 形 脉 冲 电 压 的 幅 度 为 0, 电 容 器 通 过 电 阻 放 电 矩 形 脉 冲 电 压 对 RC 电 路 的 作 用, 就 是 使 RC 电 路 不 断 充 电 放 电 要 组 成 RC 微 分 电 路, 必 须 满 足 两 个 条 件 : (1) 取 电 阻 两 端 的 电 压 为 输 出 电 压 (2) RC 充 放 电 电 路 的 时 间 常 数 啋 远 小 于 矩 形 脉 冲 宽 度 t p 因 为 电 阻 与 电 容 串 联, 因 此 电 阻 两 端 电 压 也 按 指 数 规 律 变 化, 当 矩 形 脉 冲 电 压 到 来 瞬 间, 由 于 电 容 两 端 的 电 压 不 能 突 变,u C (0 +) =u C (0 -) =0, 所 以 输 出 电 压 u o =u R =U 由 于 啋 <t p, 则 t 在 到 达 t p 之 前, 电 容 器 充 电 过 程 很 快 结 束, 即 电 容 器 两 端 电 压 u C ( ) =U, 而 电 阻 两 端 电 压 u R 很 快 下 降 到 0 在 t =t p 这 一 时 刻, 电 容 器 要 通 过 电 阻 放 电, 同 样 由 于 啋 很 小, 在 下 一 个 脉 冲 电 压 到 来 之 前, 电 容 器 的 放 电 已 结 束, 所 以 输 出 电 压 为 两 个 极 性 相 反 的 尖 脉 冲, 如 图 3 畅 2 畅 7 所 示 图 3 畅 2 畅 7 微 分 电 路 的 输 入 电 压 和 输 出 电 压 波 形 85

输 入 电 压 与 输 出 电 压 之 间 的 关 系, 数 学 推 导 如 下 因 为 u o =u R =Ri 所 以 i =C du C u o =RC du C (3 畅 2 畅 10) 根 据 KVL 有 u i =u C +u o, 由 于 时 间 常 数 啋 >t p, 即 电 容 充 放 电 很 快, 除 了 在 充 放 电 的 瞬 间 外, 输 出 电 压 u o 近 似 为 0, 即 u i u C, 代 入 式 (3 畅 2 畅 10) 可 得 u o RC du i 由 此 可 见, 输 出 电 压 u o 近 似 与 输 入 电 压 u i 对 时 间 的 导 数 成 正 比, 但 人 们 习 惯 上 称 之 微 分 电 路, 我 们 沿 袭 这 种 叫 法 改 变 电 路 参 数 RC, 也 就 改 变 了 时 间 常 数 啋 输 出 电 压 u o 的 波 形 与 电 路 的 时 间 常 数 啋 及 脉 冲 宽 度 t p 的 大 小 有 关 改 变 啋 和 t p 的 比 值, 电 容 元 件 充 放 电 的 快 慢 就 不 同, 输 出 电 压 的 波 形 也 就 不 同, 如 图 3 畅 2 畅 8 所 示 当 啋 <t p 时, 输 出 电 压 u o 波 形 如 图 3 畅 2 畅 8 ( a) 所 示, 为 一 个 尖 脉 冲 ; 当 啋 t p 时, 波 形 如 图 3 畅 2 畅 8( b) 所 示 ; 当 啋 >t p 时, 电 容 器 充 放 电 很 慢, 这 时 输 出 电 压 u o 接 近 输 入 电 压 u i 的 波 形, 如 图 3 畅 2 畅 8( c) 所 示, 它 常 用 于 多 级 放 大 电 路 的 阻 容 耦 合 电 路 中 2 畅 积 分 电 路 在 脉 冲 技 术 中 常 需 要 将 矩 形 脉 冲 信 号 变 为 锯 齿 波 信 号, 这 种 变 换 可 用 积 分 电 路 完 成 积 分 电 路 也 是 RC 串 联 电 路, 但 条 件 正 好 与 微 分 电 路 相 反, 组 成 积 分 电 路 的 条 件 为 : (1) 取 电 容 两 端 的 电 压 为 输 出 电 压 (2) RC 充 放 电 电 路 的 时 间 常 数 啋 远 大 于 矩 形 脉 冲 宽 度 t p 积 分 电 路 如 图 3 畅 2 畅 9 所 示 当 矩 形 脉 冲 电 压 由 0 跳 变 到 U 时, 电 容 器 开 始 充 电 ; 由 于 时 间 常 数 啋 很 大, 电 容 器 两 端 电 压 u C 在 0 ~t 1 这 段 时 间 内 缓 慢 增 长,u C 还 没 达 到 U 时, 矩 形 脉 冲 电 压 已 由 U 跳 变 到 0, 电 容 器 (3 畅 2 畅 11) 图 3 畅 2 畅 8 不 同 时 间 常 数 啋 时 输 出 电 压 u o 的 波 形 86

通 过 电 阻 缓 慢 放 电,u C 逐 渐 下 降, 在 输 出 端 得 到 一 个 近 似 锯 齿 波 电 压, 如 图 3 畅 2 畅 10 所 示 时 间 常 数 啋 越 大, 充 放 电 越 缓 慢, 所 得 的 三 角 波 电 压 的 线 性 也 就 越 好 图 3 畅 2 畅 9 积 分 电 路 图 3 畅 2 畅 10 锯 齿 波 电 压 波 形 3 畅 3 RL 电 路 的 暂 态 分 析 3 畅 3 畅 1 RL 电 路 的 短 接 图 3 畅 3 畅 1 所 示 电 路 是 RL 串 联 电 路 开 关 S 原 合 在 位 置 1 上, 且 已 处 于 稳 定 状 态, 电 感 中 有 电 流 在 t =0 时 刻, 将 开 关 从 位 置 1 合 到 位 置 2 上, 使 电 路 脱 离 电 源,RL 电 路 被 短 接, 此 时, 由 于 电 感 元 件 中 已 储 有 能 量, 其 中 电 流 的 初 始 值 i L (0 + ) =i L (0 - ) = U R =I 0, 它 要 通 过 电 阻 R 把 能 量 释 放 出 来, 逐 渐 衰 减 到 0 与 研 究 电 容 放 电 电 路 一 样, 首 先 根 据 KVL, 列 写 出 换 路 以 后 的 电 压 回 路 方 程 u R +u L =0 因 为 u R =Ri L, u L =L dil 图 3 畅 3 畅 1 RL 电 路 的 短 接 所 以 L R di L +i L =0 (3 畅 3 畅 1) 此 方 程 与 电 容 放 电 时 的 电 路 方 程 式 (3 畅 2 畅 1 ) 形 式 相 同, 解 法 也 一 样, 只 是 其 变 量 为 电 流 i L, 结 果 得 i L =I 0 e -R L t =I 0 e -t 啋 ( t 0) (3 畅 3 畅 2) 此 解 同 样 称 为 电 路 的 零 输 入 响 应 式 中, 时 间 常 数 啋 = L R,L 的 单 位 取 亨 [ 利 ](H),R 的 单 位 取 欧 87

[ 姆 ]( Ω), 啋 的 单 位 为 秒 (s) 电 流 i L 随 时 间 变 化 曲 线 如 图 3 畅 3 畅 2( a) 所 示 图 3 畅 3 畅 2 RL 串 联 电 路 短 接 时 i L u L 及 u R 的 变 化 曲 线 可 见, 电 感 线 圈 在 短 接 时, 其 电 流 也 是 按 指 数 规 律 衰 减 衰 减 的 快 慢 由 时 间 常 数 啋 = L R 决 定 时 间 常 数 啋 越 大,i L 衰 减 的 越 慢, 反 之 则 越 快 时 间 常 数 啋 与 自 感 系 数 L 成 正 比, 与 电 阻 R 成 反 比, 其 物 理 意 义 是 : 在 电 流 I 0 一 定 时,L 越 大, 储 能 越 多, 释 放 完 所 储 能 量 需 要 的 时 间 就 越 长, 即 暂 态 过 程 越 长 ;R 越 大, 电 流 的 初 始 功 率 损 耗 I 2 0 R 就 大, 能 量 释 放 越 快, 暂 态 过 程 就 越 短 由 式 (3 畅 3 畅 2) 可 得 出 t 0 时 电 阻 元 件 和 电 感 元 件 上 的 电 压 分 别 为 u R =Ri L =RI 0 e - t 啋 (t 0) (3 畅 3 畅 3) u L =L di L =-RI 0 e - t 啋 (t 0) (3 畅 3 畅 4) 它 们 随 时 间 变 化 曲 线 如 图 3 畅 3 畅 2( b) 所 示 实 际 线 圈 的 电 路 模 型 就 可 以 用 RL 串 联 电 路 表 示, 在 3 畅 1 畅 2 节 中 已 述 如 果 在 图 3 畅 3 畅 1 电 路 中, 开 关 S 将 线 圈 与 电 源 直 接 断 开 而 不 是 短 接, 这 时 电 路 的 情 况 又 是 如 何 呢? 当 电 源 与 线 圈 断 开 的 瞬 间, 由 于 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, 而 在 断 开 的 瞬 间 电 流 要 立 刻 下 降 到 0, 这 时 电 流 的 变 化 率 di 很 大, 当 线 圈 的 自 感 系 数 L 较 大 时, 线 圈 中 的 自 感 电 动 势 就 很 大, 这 个 自 感 电 动 势 将 击 穿 开 关 两 触 点 之 间 的 空 气 形 成 电 弧 以 延 缓 电 流 的 中 断, 此 时 不 仅 开 关 触 点 会 被 电 弧 烧 坏, 对 人 身 也 会 带 来 伤 害 因 此 在 具 有 大 电 感 的 电 路 中, 不 能 随 便 拉 闸 断 电, 并 应 采 取 一 些 防 止 拉 闸 时 产 生 电 弧 的 措 施, 主 要 有 以 下 几 种 : (1) 在 RL 电 路 与 电 源 断 开 的 同 时 接 通 一 个 低 值 的 泄 放 电 阻 R, 如 图 3 畅 3 畅 3 所 示 通 常 R <R, 这 样 在 线 圈 两 端 就 不 会 出 现 过 电 压, 同 时 也 便 于 加 速 线 圈 的 放 电 过 程 (2) 将 R 改 成 二 极 管, 极 性 如 图 3 畅 3 畅 4 所 示, 利 用 二 极 管 单 向 导 电 性 的 特 点, 在 开 关 S 合 上 时, 二 极 管 处 于 截 止 状 态, 电 流 由 电 源 流 向 线 圈 ; 在 开 关 S 断 开 时, 二 极 管 处 于 导 通 状 态, 电 感 线 圈 中 的 电 流 通 过 二 极 管 构 成 放 电 回 路, 形 成 线 圈 的 放 电 过 程 例 3 畅 3 畅 1 图 3 畅 3 畅 5 所 示 电 路, 已 知 电 源 电 压 U =6 V, R =6 Ω, 电 压 表 的 内 阻 R V = 2 畅 5 kω, 试 求 开 关 S 断 开 瞬 间 电 压 表 两 端 的 电 压 ( 换 路 前 电 路 处 于 稳 态 ) 解 电 路 换 路 前 88

图 3 畅 3 畅 3 与 线 圈 连 接 泄 放 电 阻 图 3 畅 3 畅 4 与 线 圈 连 接 二 极 管 i L U R =1 A 由 于 在 换 路 瞬 间, 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, 即 i L (0 +) =i L (0 -) =1 A 所 以, 开 关 断 开 瞬 间, 电 压 表 两 端 的 电 压 u V (0 +) =-R V i L (0 +) =-2 500 V 这 样 一 个 高 压 将 使 电 压 表 损 坏, 所 以 直 流 电 压 表 不 宜 固 定 连 接 在 电 感 线 圈 两 端 图 3 畅 3 畅 5 例 3 畅 3 畅 1 电 路 例 3 畅 3 畅 2 发 电 机 中 用 来 产 生 磁 场 的 线 圈 通 常 电 感 较 大, 线 圈 有 一 定 的 电 阻, 因 此 它 实 际 是 一 个 RL 串 联 电 路, 如 图 3 畅 3 畅 6 所 示, 其 中 可 变 电 阻 R f 是 用 来 调 整 电 流 的 当 将 电 源 开 关 断 开 时, 为 了 不 让 电 弧 烧 坏 开 关 触 点, 在 开 关 从 1 断 开 时, 合 上 2, 接 通 R 泄 放 电 阻 已 知 电 源 电 压 U =220 V,L =5 H,R f =40 Ω,R =60 Ω, 如 果 要 使 线 圈 两 端 电 压 不 超 过 电 源 电 压, 则 R 应 选 多 大? 解 电 路 换 路 前, 线 圈 中 的 电 流 为 i L = U R f +R = 220 40 +60 A =2 畅 2 A 图 3 畅 3 畅 6 在 t =0 时, 将 开 关 从 1 合 到 2 位 置, 由 于 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, 即 i L (0 +) =i L (0 -) =2 畅 2 A 此 时 线 圈 两 端 的 电 压 u R L 为 R f 和 R 上 的 电 压 降 之 和, 其 绝 对 值 为 所 以 u RL (0 +) =( R f +R ) i L (0 +) =(40 +R ) 2 畅 2 <220 V R <60 Ω 例 3 畅 3 畅 2 电 路 讨 论 : 考 虑 可 变 电 阻 R f 调 节 至 最 小 值 R f =0 时, 电 流 i L = U R =220 60 A =11 3 A 为 最 大 值, 同 样 89

要 满 足 u R L <220 V, 可 得 R <66 Ω, 所 得 结 论 基 本 一 致, 但 从 电 流 最 大 考 虑 更 加 合 理 3 畅 3 畅 2 RL 电 路 接 通 直 流 电 源 如 图 3 畅 3 畅 7 所 示 的 RL 串 联 电 路, 假 设 在 开 关 合 上 前, 线 圈 中 未 储 有 能 量 ; 在 t =0 时, 将 开 关 S 合 上, 与 直 流 电 源 接 通 由 于 电 感 中 的 电 流 不 能 突 变, i L (0 +) =i L (0 -) =0, 所 以 电 流 将 从 0 开 始 逐 渐 增 长 由 于 RL 电 路 也 是 一 阶 线 性 电 路, 接 通 直 流 电 源 的 电 路 方 程 与 RC 充 电 电 路 的 电 路 方 程 式 (3 畅 2 畅 6) 相 似, 运 用 KVL, 并 用 i L 作 为 方 程 的 变 量, 参 照 3 畅 2 畅 2 小 节 RC 充 电 电 路 的 分 析 求 解 方 法, 不 难 得 到 电 路 方 程 其 解 为 L R di L +i L =U (3 畅 3 畅 5) 图 3 畅 3 畅 7 RL 串 联 电 路 与 直 流 电 源 接 通 i L =i L +i L = U R + -U R ept = U R (1 -ept ) = U R 1 -e -t 啋 (t 0) (3 畅 3 畅 6) 式 (3.3.6) 中,i L 是 稳 态 分 量, 表 示 电 路 达 到 稳 定 状 态 时 电 感 上 的 电 流, 其 大 小 为 i L =i L ( ) = U 是 暂 态 分 量, 即 对 应 齐 次 方 程 的 解, 其 形 式 为 i R ;i L L =- U R e pt 用 电 路 理 论 的 术 语 讲, 此 i L 也 为 零 状 态 响 应 式 中, 啋 = L R =-1 为 RL 电 路 的 时 间 常 数 p 电 感 和 电 阻 上 的 电 压 分 别 为 u L =L dil =Ue -R L t =Ue -t 啋 ( t 0) (3 畅 3 畅 7) u R =Ri L =U(1 -e -R L t ) =U(1 -e -t 啋 ) ( t 0) (3 畅 3 畅 8) 电 流 i L 和 电 压 u L u R 随 时 间 变 化 的 曲 线 如 图 3 畅 3 畅 8 所 示 图 3 畅 3 畅 8 电 流 i L 电 压 u L u R 随 时 间 变 化 的 曲 线 90

3 畅 4 一 阶 线 性 电 路 暂 态 分 析 的 三 要 素 法 只 含 有 同 一 种 储 能 元 件 的 线 性 电 路, 统 称 为 一 阶 线 性 电 路 前 面 分 析 求 解 一 阶 RC 电 路 和 RL 电 路 的 方 法 是 采 取 先 列 写 电 路 方 程, 然 后 进 行 求 解, 这 种 方 法 常 称 为 经 典 法 从 前 面 一 阶 RC 电 路 和 RL 电 路 的 分 析 可 以 发 现, 如 果 电 路 中 的 电 源 都 是 恒 定 的 直 流 电 源, 换 路 后 电 路 中 各 处 的 电 压 电 流 都 是 按 指 数 规 律 变 化, 它 们 从 初 始 值 开 始 逐 渐 增 长 或 衰 减 到 新 的 稳 定 状 态 并 且, 在 同 一 电 路 中, 充 电 或 放 电 的 时 间 常 数 啋 都 是 相 同 的 因 此, 在 分 析 一 阶 线 性 电 路 时, 只 要 找 到 换 路 瞬 间 的 初 始 值 到 达 稳 定 状 态 时 的 稳 态 值 以 及 时 间 常 数, 就 可 以 找 到 电 路 中 电 压 电 流 的 变 化 规 律, 用 公 式 表 示 为 或 f(t) =f( ) +[f(0 + ) -f( )]e -t 啋 (t 0) (3 畅 4 畅 1a) f(t) =f(0 + )e - t 啋 +f( )[1 -e -t 啋 ] (t 0) (3 畅 4 畅 1b) 上 两 式 中 f(t) 为 欲 求 解 的 电 压 或 电 流 变 量 f(0 + ) f( ) 啋 分 别 为 对 应 变 量 的 初 始 值 新 稳 定 值 和 时 间 常 数, 统 称 三 要 素 用 式 (3 畅 4 畅 1) 求 解 一 阶 电 路 的 方 法 称 为 三 要 素 法 或 三 要 素 公 式 法 由 式 (3 畅 4 畅 1a) 和 式 (3 畅 4 畅 1b) 可 知 : (1) 当 f(0 +) =0, 即 初 始 状 态 为 0 时, 为 充 电 电 路 的 暂 态 过 程, 所 求 为 零 状 态 响 应 (2) 当 f( ) =0, 即 无 电 源 存 在 时, 为 放 电 电 路 的 暂 态 过 程, 所 求 为 零 输 入 响 应 (3) 当 f(0 + ) 和 f( ) 都 不 为 0, 即 既 有 初 始 储 能 又 有 电 源 存 在 时, 则 所 求 暂 态 过 程 的 响 应 为 全 响 应 (4) 当 f(0 +) <f( ) 时, 电 路 中 的 电 压 电 流 按 指 数 规 律 增 长 (5) 当 f( ) <f(0 + ) 时, 电 路 中 的 电 压 电 流 按 指 数 规 律 衰 减 一 阶 电 路 变 化 曲 线 示 意 图 如 图 3 畅 4 畅 1 所 示 图 3 畅 4 畅 1 一 阶 电 路 变 化 曲 线 示 意 图 91

请 读 者 分 析 理 解 式 (3 畅 4 畅 1a) 和 式 (3 畅 4 畅 1b) 中 等 式 右 边 各 项 的 物 理 意 义 和 数 学 含 义 运 用 三 要 素 法 求 解 一 阶 电 路 可 以 避 免 列 写 电 路 方 程 和 求 解 微 分 方 程 的 繁 琐 过 程 下 面 举 例 说 明 三 要 素 法 的 应 用 例 3 畅 4 畅 1 应 用 三 要 素 法 求 图 3 畅 4 畅 2 所 示 电 路 在 t 0 时 电 容 两 端 的 电 压 u C 的 变 化 规 律 假 设 电 路 原 处 于 稳 定 状 态 解 这 是 求 零 状 态 响 应 问 题, 用 三 要 素 法 求 解 (1) 求 初 始 值 由 换 路 前 的 稳 定 电 路 求 得 根 据 换 路 定 则, 有 (2) 求 稳 态 值 由 换 路 后 的 稳 定 电 路 求 得 (3) 求 电 路 的 时 间 常 数 啋 u C (0 -) =0 u C (0 + ) =u C (0 - ) =0 u C ( ) = R2 U = 6 18 V =12 V R 1 +R 2 3 +6 电 路 中 的 R 不 止 一 个, 求 解 等 效 电 阻 的 方 法 与 戴 维 宁 定 理 相 似, 根 据 换 路 后 的 电 路, 从 储 能 元 件 两 端 看 进 去, 求 取 除 源 ( 电 压 源 短 路, 电 流 源 开 路 ) 后 电 路 的 等 效 电 阻 R 0 为 时 间 常 数 啋 运 用 三 要 素 公 式 得 R 0 =R 1 R 2 = 3 6 3 +6 啋 =R 0 C =(2 10 3 kω =2 kω 5 10-6 ) s =0 畅 01 s u C ( t) =u C ( ) +[u C (0 +) -u C ( )]e -t 啋 =[12 +(0-12)e - t 0 畅 01 ] V =12(1 -e -100 t ) V (t 0) 图 3 畅 4 畅 2 例 3 畅 4 畅 1 电 路 图 3 畅 4 畅 3 例 3 畅 4 畅 2 电 路 例 3 畅 4 畅 2 在 图 3 畅 4 畅 3 所 示 电 路 中, 已 知 U =9 V,R 1 =3 kω,r 2 =6 kω,c =10 μf, 开 关 S 闭 合 前, 电 路 已 处 于 稳 态, 在 t =0 时 刻 将 开 关 S 闭 合 试 用 三 要 素 法 求 电 容 电 压 u C 的 变 化 规 律, 并 画 出 u C 随 时 间 变 化 的 曲 线 解 该 电 路 在 换 路 前 电 容 已 充 电, 电 容 器 中 已 储 有 能 量, 且 u C (0 -) =9 V 换 路 后, 电 容 92

所 在 的 电 路 部 分 依 然 存 在 电 源, 所 以 是 求 全 响 应 问 题 根 据 换 路 定 则, 有 由 换 路 后 的 稳 定 电 路 求 得 时 间 常 数 应 用 三 要 素 公 式 得 u C ( t) 变 化 曲 线 如 图 3 畅 4 畅 4 所 示 u C (0 + ) =u C (0 - ) =9 V u C ( ) = R2 U = 6 9 V =6 V R 1 +R 2 3 +6 啋 =R 0 C =(R 1 R 2 )C = 3 6 3 +6 103 10 10-6 u C (t) =u C ( ) +[ u C (0 + ) -u C ( )] e - t 啋 s =0 畅 02 s =[6 +(9-6) e - t 0 畅 02 ] V =(6 +3e -50 t ) V (t 0) 图 3 畅 4 畅 4 u C (t) 变 化 曲 线 图 3 畅 4 畅 5 例 3 畅 4 畅 3 电 路 例 3 畅 4 畅 3 在 图 3 畅 4 畅 5 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =3 Ω,R 2 =2 Ω,R 3 =2 Ω,L =20 mh,u =20 V, 开 关 S 闭 合 前 电 路 处 于 稳 态 试 用 三 要 素 法 求 开 关 S 闭 合 后 电 感 中 的 电 流 i L, 并 画 出 其 变 化 曲 线 解 显 然, 本 题 是 一 个 求 全 响 应 的 问 题, 可 以 用 三 要 素 法 求 解 根 据 换 路 定 则, 由 换 路 前 的 稳 定 电 路, 可 求 得 换 路 后 i L 的 初 始 值 换 路 后, 电 路 处 于 稳 定 状 态 时,i L 的 稳 定 值 为 该 电 路 的 时 间 常 数 啋 i L (0 +) =i L (0 -) = U = 20 R 1 +R 2 3 +2 A =4 A U i L ( ) = R 1 +(R 2 R 3 ) R 3 = 20 R 2 +R 3 3 +1 2 2 +2 A =2 畅 5 A 啋 = L R = L = (R 1 R 3 ) +R 2-3 20 10 3 2 3 +2 +2 s = 1 160 s 93

应 用 三 要 素 公 式 得 i L ( t) =i L ( ) +[i L (0 + ) -i L ( )]e -t 啋 i L (t) 变 化 曲 线 如 图 3 畅 4 畅 6 所 示 =[2 畅 5 +(4-2 畅 5)e -160 t ] A =(2 畅 5 +1 畅 5e -160 t ) A ( t 0) 图 3 畅 4 畅 6 i L (t) 变 化 曲 线 倡 3 畅 5 LC 振 荡 电 路 前 面 分 析 讨 论 了 一 阶 RC 电 路 和 一 阶 RL 电 路, 如 果 一 个 电 路 中 同 时 存 在 电 容 C 和 电 感 L 两 种 储 能 元 件, 则 这 样 的 RLC 电 路 方 程 一 般 为 二 阶 微 分 方 程, 因 此,RLC 电 路 也 称 为 二 阶 电 路, 求 解 方 法 一 般 采 用 经 典 法 二 阶 电 路 的 暂 态 过 程 相 对 于 一 阶 电 路 而 言 要 复 杂 得 多, 本 书 不 作 进 一 步 讨 论, 对 此 感 兴 趣 的 读 者 可 参 阅 其 他 有 关 的 电 路 分 析 教 材 下 面 简 要 介 绍 二 阶 电 路 的 一 种 特 殊 情 况, 即 LC 振 荡 电 路 3 畅 5 畅 1 LC 振 荡 电 路 LC 振 荡 电 路 由 两 种 储 能 元 件 ( L 和 C) 组 合 而 成 在 图 3 畅 5 畅 1 所 示 电 路 中, 先 将 开 关 S 置 于 1 位 置, 电 源 给 电 容 器 充 电, 直 到 电 容 器 两 端 的 电 压 等 于 电 源 电 压 为 止, 即 u C =U 这 时 电 容 器 的 极 板 上 带 有 电 荷 量 Q, 两 极 板 间 建 立 了 电 场, 储 有 电 场 能 W C = 1 2 CU 2 C 然 后, 将 开 关 S 置 于 2 的 位 置, 使 电 容 器 通 过 电 感 线 圈 放 电 在 电 感 线 圈 和 电 容 器 之 间, 将 发 生 电 场 能 与 磁 场 能 的 相 互 转 换, 若 忽 略 电 感 线 圈 中 的 电 阻, 在 理 想 情 况 图 3 畅 5 畅 1 LC 振 荡 电 路 下, 电 路 中 电 场 能 与 磁 场 能 的 相 互 转 换 永 不 停 止, 任 何 瞬 间 总 能 量 不 变, 即 1 2 Cu2 C + 1 2 Li2 L = 1 2 CU 2 C m = 1 2 LI 2 Lm (3 畅 5 畅 1) 电 路 中 发 生 的 这 种 电 磁 振 荡, 与 单 摆 的 机 械 振 荡 相 似 振 荡 电 路 的 种 类 很 多, 图 3 畅 5 畅 1 所 示 电 路 为 由 电 容 器 和 电 感 线 圈 组 成 的 振 荡 电 路, 是 一 种 最 简 单 的 振 荡 电 路, 称 为 LC 振 荡 电 路 94

3 畅 5 畅 2 自 由 振 荡 的 物 理 过 程 在 图 3 畅 5 畅 1 所 示 电 路 中, 只 要 在 开 始 时 刻 供 给 振 荡 电 路 一 定 能 量, 以 后 就 不 用 再 向 电 路 提 供 能 量 电 路 中 的 电 场 能 与 磁 场 能 反 复 转 换 的 现 象 称 为 自 由 振 荡 首 先 研 究 无 损 耗 情 况 下, 电 路 中 自 由 振 荡 的 电 流 电 压 和 能 量 的 变 化 情 况 当 开 关 S 由 1 位 置 扳 到 2 位 置 的 瞬 间, 设 此 时 为 t 0 时 刻, 电 容 器 还 没 放 电, 电 路 中 电 流 为 0, 电 容 器 两 极 板 间 带 有 等 量 异 号 的 电 荷 Q, 两 极 板 间 电 压 为 U Cm 电 容 器 中 所 储 存 的 电 场 能 是 电 路 中 的 全 部 能 量 这 时 电 场 能 为 最 大 值 W C = 1 2 CU 2 Cm, 如 图 3 畅 5 畅 2( a) 所 示 在 t 0 ~t 1 时 间 里, 电 容 器 对 电 感 线 圈 放 电 由 于 通 过 线 圈 的 电 流 不 能 发 生 突 变, 因 此 电 流 i L 从 0 逐 渐 增 加 到 最 大 值 I Lm, 而 电 容 器 在 不 停 地 放 电, 电 荷 逐 渐 减 少, 直 到 电 荷 全 部 放 完, 这 时 电 95

图 3 畅 5 畅 2 LC 振 荡 的 物 理 过 程 容 器 两 极 板 间 的 电 压 u C 由 最 大 值 U C m 下 降 到 0, 即 电 容 器 的 电 场 能 量 由 最 大 值 逐 渐 减 小 到 0 同 时, 电 感 线 圈 中 的 磁 场 能 量 由 0 逐 渐 增 加 到 最 大 值 W L = 1 2 LI 2 L m, 电 场 能 全 部 转 换 为 磁 场 能, 即 W L =W C, 如 图 3 畅 5 畅 2(b) 所 示 在 t 1 ~t 2 时 间 内, 由 于 电 流 的 变 化 在 电 感 线 圈 中 产 生 自 感 电 动 势, 阻 碍 电 流 减 小, 因 而 这 个 自 感 电 动 势 将 使 电 流 沿 原 方 向 继 续 流 动, 使 电 容 器 反 方 向 充 电, 电 容 器 上 电 压 又 逐 渐 增 大, 充 电 电 流 逐 渐 减 小 到 0 这 时 电 容 器 极 板 上 储 存 的 电 荷 量 又 达 到 最 大, 只 是 所 带 电 荷 的 极 性 与 原 来 相 反, 这 时 磁 场 能 又 全 部 转 化 为 电 场 能 储 存 在 电 容 器 中, 如 图 3 畅 5 畅 2( c) 所 示 在 t 2 ~ t 3 时 间 内, 电 容 器 又 开 始 放 电, 与 t 0 ~t 1 情 况 相 似, 只 是 放 电 电 流 的 方 向 与 原 来 电 流 的 方 向 相 反, 如 图 3 畅 5 畅 2(d) 所 示 以 后 的 时 间 里, 电 路 又 重 复 前 面 的 过 程 如 果 振 荡 电 路 中 没 有 任 何 损 耗 ( 理 想 情 况 R =0), 电 磁 振 荡 将 永 远 进 行 下 去, 成 为 一 个 正 弦 波 的 自 由 等 幅 振 荡, 如 图 3 畅 5 畅 3 所 示 在 自 由 振 荡 的 一 个 周 期 内, 电 场 能 与 磁 场 能 进 行 两 次 转 换, 电 场 能 与 磁 场 能 的 变 化 曲 线 如 图 3 畅 5 畅 4 所 示 如 果 电 路 中 没 有 能 量 损 耗, 那 么 任 一 时 刻 t 的 电 场 能 与 磁 场 能 瞬 时 值 之 和 都 等 于 起 始 时 刻 从 外 界 获 得 的 能 量 图 3 畅 5 畅 3 自 由 振 荡 曲 线 96 图 3 畅 5 畅 4 自 由 振 荡 时 的 能 量 转 换 曲 线

3 畅 5 畅 3 振 荡 频 率 与 临 界 电 阻 1 畅 振 荡 频 率 理 论 与 实 验 都 可 以 证 明,LC 振 荡 电 路 中 的 振 荡 电 流 与 电 压 的 振 荡 角 频 率 为 ω 0 = 1 LC (3 畅 5 畅 2) 振 荡 频 率 为 f 0 = 1 2 婜 LC (3 畅 5 畅 3) 振 荡 频 率 由 电 路 的 参 数 L C 决 定 2 畅 临 界 电 阻 如 果 振 荡 电 路 中 没 有 能 量 损 耗, 电 场 能 最 大 值 与 磁 场 能 最 大 值 相 等, 即 W L =W C, 1 2 CU 2 C m = 1 2 LI 2 Lm 由 此 可 得 2 I 2 Lm = C L U 2 C m = U 2 Cm L C = UC m L C 令 ρ = L C 则 I Lm = UC m ρ, 或 ρ = UC m I Lm 式 中, ρ 称 为 振 荡 电 路 的 特 性 阻 抗, 单 位 是 欧 [ 姆 ] ( Ω) ρ 越 大, 则 I Lm 越 小, 振 荡 电 流 的 振 幅 就 越 小 ; 反 之,ρ 越 小, 则 I Lm 越 大, 振 荡 电 流 的 振 幅 就 越 大 实 际 振 荡 电 路 中 总 有 电 阻 存 在, 可 以 证 明 : 如 果 电 路 的 电 阻 R 较 大, 当 R >2ρ 时, 电 容 器 中 储 存 的 电 场 能 有 相 当 一 部 分 在 电 流 流 过 电 阻 时 变 为 热 能 消 耗, 另 一 部 分 则 转 化 成 电 感 线 圈 中 的 磁 场 能 在 磁 场 能 转 化 成 电 场 能 的 过 程 中, 全 部 能 量 都 消 耗 在 电 阻 上, 电 路 无 法 振 荡, 这 种 现 象 称 为 过 阻 尼 如 果 电 路 的 电 阻 R 较 小, 当 0 <R <2ρ 时, 磁 场 能 不 会 一 次 耗 尽, 可 以 把 一 部 分 磁 场 能 量 转 化 为 电 场 能 量, 使 电 容 器 充 电, 从 而 使 电 路 产 生 振 荡 但 振 荡 电 流 的 振 幅 将 不 断 减 小, 直 到 最 后 停 止 振 荡, 这 种 振 荡 称 为 阻 尼 振 荡, 如 图 3 畅 5 畅 5 所 示 这 里, 把 R 0 =2ρ, 即 R 0 = L 称 为 临 界 电 阻 C 如 果 电 路 的 电 阻 为 0, 即 R =0 时, 电 路 中 不 存 在 能 量 消 耗, 电 路 靠 初 始 储 能 在 电 容 器 和 电 感 97

图 3 畅 5 畅 5 阻 尼 振 荡 曲 线 线 圈 之 间 将 进 行 无 阻 尼 等 幅 振 荡 振 荡 曲 线 如 图 3 畅 5 畅 3 所 示 在 无 线 电 技 术 中, 常 常 需 要 等 幅 振 荡, 考 虑 到 电 路 实 际 存 在 的 电 阻, 就 需 要 周 期 性 地 把 电 源 的 能 量 补 充 到 振 荡 电 路 中 去, 以 补 偿 振 荡 过 程 中 的 能 量 损 耗, 以 维 持 等 幅 振 荡 习 题 3 3 畅 1 图 3 畅 0 畅 1 所 示 的 各 电 路 原 都 处 于 稳 定 状 态, 若 突 然 将 开 关 S 闭 合 或 断 开, 求 换 路 瞬 间 各 储 能 元 件 中 的 电 压 或 电 流 的 初 始 值 及 电 路 最 后 到 达 稳 定 状 态 时 的 稳 态 值 98 图 3 畅 0 畅 1 习 题 3 畅 1 图

3 畅 2 在 图 3 畅 0 畅 2 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =3 kω,r 2 =4 kω,r 3 =6 kω,u =90 V,C =10 μf, 开 关 S 原 闭 合, 电 路 处 于 稳 态, 求 开 关 S 断 开 后 u C i C 的 变 化 规 律 3 畅 3 在 图 3 畅 0 畅 3 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =R 2 =300 Ω,C =4 μf,u =6 V, 开 关 S 在 t =0 时 刻 合 上, 试 求 电 容 两 端 电 压 u C 的 变 化 规 律 并 画 出 u C 的 变 化 曲 线 图 3 畅 0 畅 2 习 题 3 畅 2 图 图 3 畅 0 畅 3 习 题 3 畅 3 图 3 畅 4 图 3 畅 0 畅 4 所 示 电 路 已 稳 定, 在 t =0 时, 将 开 关 S 合 上, 试 用 三 要 素 法 求 电 容 电 压 u C 的 变 化 规 律 并 画 出 u C 的 变 化 曲 线 3 畅 5 在 图 3 畅 0 畅 5 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =8 kω,r 2 =4 kω,r 3 =4 kω,c =10 μf,u =12 V, 当 t =0 时 开 关 S 闭 合, 求 u C 和 i C 的 变 化 规 律 并 画 出 它 们 的 变 化 曲 线 图 3 畅 0 畅 4 习 题 3 畅 4 图 图 3 畅 0 畅 5 习 题 3 畅 5 图 3 畅 6 在 图 3 畅 0 畅 6 所 示 电 路 中, 已 知 U 1 =20 V,U 2 =10 V,R 1 =5 kω,r 2 =10 kω,r =15 kω,c =1 μf, 开 关 S 原 处 于 a 位 置, 在 t =0 时 刻 将 开 关 S 扳 到 b, 试 用 三 要 素 法 求 电 容 两 端 电 压 u C 的 变 化 规 律, 并 作 出 u C 的 变 化 曲 线 3 畅 7 在 图 3 畅 0 畅 7 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =R 2 =10 Ω,U =2 V,L =100 mh, 在 t =0 时 刻 将 开 关 S 合 上, 求 i L 随 时 间 的 变 化 规 律 3 畅 8 在 图 3 畅 0 畅 8 所 示 电 路 中, 已 知 U =10 V,R 1 =R 2 =200 Ω,R 3 =100 Ω,C =5 μf, 开 关 S 在 t =0 时 刻 合 上, 求 t =1 ms 时 u C 为 多 少? 3 畅 9 在 图 3 畅 0 畅 9 所 示 电 路 中, 已 知 U =12 V,R 1 =200 Ω,R 2 =50 Ω,L =0 畅 5 H, 原 电 路 处 于 稳 定 状 态, 在 t =0 时 刻, 将 开 关 S 打 开, 求 i L 随 时 间 的 变 化 规 律, 并 求 电 阻 两 端 电 压 U R1 的 变 化 规 律 99

图 3 畅 0 畅 6 习 题 3 畅 6 图 图 3 畅 0 畅 7 习 题 3 畅 7 图 图 3 畅 0 畅 8 习 题 3 畅 8 图 图 3 畅 0 畅 9 习 题 3 畅 9 图 3 畅 10 在 图 3 畅 0 畅 10 所 示 电 路 中, 已 知 R 1 =1 Ω,R 2 =R 3 =2 Ω,L =2 H,U 1 =4 V,U 2 =4 V, 开 关 原 在 a 位 置, 电 路 处 于 稳 定 状 态, 在 t =0 时 刻 将 开 关 打 到 b, 试 用 三 要 素 法 求 i L 的 变 化 规 律 并 画 出 i L 的 变 化 曲 线 图 3 畅 0 畅 10 习 题 3 畅 10 图 100