前 言 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 指 出 : 现 代 信 息 技 术 的 广 泛 应 用 正 在 对 数 学 课 程 内 容 数 学 教 学 数 学 学 习 等 产 生 深 刻 的 影 响 高 中 数 学 课 程 应 提 倡 利 用 信 息 技 术 来 呈 现 以 往

前 言 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 指 出 : 现 代 信 息 技 术 的 广 泛 应 用 正 在 对 数 学 课 程 内 容 数 学 教 学 数 学 学 习 等 产 生 深 刻 的 影 响 高 中 数 学 课 程 应 提 倡 利 用 信 息 技 术 来 呈 现 以 往 教 学 中 难 以 呈 现 的 课 程 内 容, 在 保 证 笔 算 训 练 的 前 提 下, 尽 可 能 使 用 科 学 型 计 算 器 各 种 数 学 教 育 技 术 平 台, 加 强 数 学 教 学 与 信 息 技 术 的 结 合. 鼓 励 学 生 运 用 计 算 机 计 算 器 等 进 行 探 索 和 发 现 随 着 信 息 技 术 的 迅 猛 发 展, 图 形 计 算 器 在 教 育 教 学 中 的 作 用 已 经 充 分 显 现 出 来, 全 国 各 地 都 有 部 分 学 校 已 加 入 到 利 用 图 形 计 算 器 探 究 课 堂 教 学 的 行 列, 师 生 们 对 图 形 计 算 器 的 研 究 也 已 逐 步 深 入 广 州 市 教 育 局 教 学 研 究 室 数 学 科 与 广 州 市 中 学 数 学 教 学 研 究 会 积 极 组 织 中 学 数 学 教 师 参 加 图 形 计 算 器 的 研 究, 并 申 报 了 由 中 国 教 育 学 会 中 学 数 学 教 学 专 业 委 员 会 组 织 的 十 二 五 教 育 科 研 规 划 课 题 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 解 题 教 学 整 合 研 究 的 子 课 题 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 解 题 教 学 整 合 研 究, 为 了 使 课 题 研 究 有 序 进 行, 按 照 课 题 研 究 计 划 于 0 学 年 上 学 期 开 展 了 课 题 组 的 论 文 征 集 活 动, 根 据 征 文 要 求, 经 过 严 格 认 真 公 正 的 筛 选, 评 出 一 等 奖 篇, 二 等 奖 4 篇 在 这 6 篇 获 奖 论 文 中, 有 4 篇 是 解 题 教 学 方 面 的 论 文, 篇 是 教 材 教 学 研 究 方 面 的 论 文, 篇 是 有 关 图 形 计 算 器 进 课 堂 方 面 的 论 文 广 州 市 第 二 中 学 邓 军 民 老 师 的 论 文 利 用 CASIO 图 形 计 算 器 探 索 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题, 列 举 了 5 道 文 科 高 考 题, 涉 及 到 集 合 的 运 算 不 等 式 问 题 回 归 分 析 函 数 与 导 数 等 知 识, 体 现 了 图 形 计 算 器 在 数 学 解 题 上 的 面 广 路 宽 ; 广 州 市 第 六 中 学 江 玉 军 老 师 的 论 文 CASIO 图 形 计 算 器 在 解 函 数 综 合 性 问 题 中 的 应 用, 通 过 对 函 数 图 像 的 观 察, 借 助 图 形 计 算 器, 能 促 进 学 生 对 函 数 性 质 的 精 细 研 究, 能 开 拓 学 生 的 思 维, 帮 助 学 生 选 择 适 宜 的 解 题 方 法, 避 免 方 向 性 错 误 ; 广 州 市 第 四 中 学 刘 运 科 老 师 的 论 文 手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用, 利 用 图 形 计 算 器 通 过 实 例 探 究 了 三 类 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 的 求 法, 体 现 了 CASIO 图 形 计 算 器 的 强 大 功 能 ; 广 东 华 侨 中 学 刘 颖 莹 老 师 的 论 文 图 形 计 算 器 在 储 蓄 和 贷 款 的 应 用 初 探, 以 人 们 日 常 的 储 蓄 与 贷 款 问 题 着 手, 利 用 图 形 计 算 器 的 计 算 功 能, 使 数 学 问 题 生 活 化 ; 广 州 市 铁 一 中 学 王 彪 老 师 的 论 文 图 形 计 算 器 支 撑 下 必 修 教 学 的 研 究, 就 教 材 必 修 阐 述 了 图 形 计 算 器 是 数 学 学 习 的 有 力 工 具 ; 广 州 市 玉 岩 中 学 向 良 辉 老 师 的 论 文 浅 谈 图 形 计 算 器 进 课 堂 让 课 堂 更 具 实 效, 论 证 了 图 形 计 算 器 进 入 课 堂 的 可 行 性 与 积 极 意 义 随 着 教 育 部 关 于 发 布 教 育 行 业 标 准 < 高 中 理 科 教 学 仪 器 配 备 标 准 > 的 通 知 (JY/T0406-00) ( 教 基 二 00 号 ) 精 神 的 贯 彻 与 落 实, 学 校 按 要 求 配 置 图 形 计 算 器 只 是 一 个 时 间 问 题, 到 那 时 利 用 图 形 计 算 器 辅 助 教 学 将 成 为 一 个 常 态 曾 辛 金 0 年 4 月 - -

目 录 一 0 年 广 州 市 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 解 题 教 学 整 合 研 究 课 题 组 征 文 评 选 结 果 3 二 0 年 广 州 市 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 解 题 教 学 整 合 研 究 课 题 组 征 文 汇 编 4 利 用 CASIO 图 形 计 算 器 探 究 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题 4 CASIO 图 形 计 算 器 在 解 函 数 综 合 性 问 题 中 的 应 用 9 3 手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用 4 图 像 计 算 机 支 撑 下 的 必 修 教 学 研 究 8 5 浅 谈 图 形 计 算 器 进 课 堂 4 6 图 形 计 算 器 在 储 蓄 和 贷 款 的 应 用 初 探 7 - -

0 年 广 州 市 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 解 题 教 学 整 合 研 究 课 题 组 征 文 评 选 结 果 一 等 奖 ( 名 ) 广 州 市 第 二 中 学 邓 军 民 利 用 CASIO 图 形 计 算 器 探 究 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题 广 州 市 第 六 中 学 江 玉 军 CASIO 图 形 计 算 器 在 解 函 数 综 合 性 问 题 中 的 应 用 二 等 奖 (4 名 ) 广 州 市 第 四 中 学 刘 运 科 手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用 广 州 市 铁 一 中 学 王 彪 图 像 计 算 机 支 撑 下 的 必 修 教 学 研 究 广 州 市 玉 岩 中 学 向 良 辉 浅 谈 图 形 计 算 器 进 课 堂 广 东 华 侨 中 学 刘 颖 莹 图 形 计 算 器 在 储 蓄 和 贷 款 的 应 用 初 探 - 3 -

利 用 CASIO 图 形 计 算 器 探 究 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题 广 州 市 萝 岗 区 科 学 城 水 西 路 广 州 二 中 数 学 科 (50530) 邓 军 民 (Email:gzdjm@qq.com) 0 年 的 广 东 高 考 数 学 试 题 充 分 贯 彻 了 考 试 大 纲 和 考 试 说 明 的 基 本 精 神, 立 足 现 行 高 中 数 学 教 材, 注 重 基 础 知 识, 强 化 思 想 方 法, 重 视 新 增 内 容, 优 化 数 学 双 基 虽 然 相 比 00 年 广 东 试 题 在 难 度 上 有 所 提 高, 但 试 题 没 有 大 起 大 落, 有 利 于 高 校 选 拔 人 才, 有 利 于 高 中 数 学 教 学, 稳 中 有 新, 稳 中 有 进. 笔 者 利 用 Casio 图 形 计 算 器 ( 机 型 : f CG 0 ), 探 究 一 下 0 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题, 以 进 一 步 挖 掘 今 年 考 题 的 价 值. 一 集 合 的 运 算 例.(0 年 广 东 文 数 第 题 ) 已 知 集 合 ( ) 为 实 数, 且 + y = }, 则 A B的 元 素 个 数 为 ( ) A.4 B.3 C. D. 作 图 探 究 按 如 下 步 骤 操 作 : S 按 5 开 启 图 形 函 数 窗 口 ; S 按 ee, 以 参 数 形 式 输 入 圆 的 方 程, 再 按 l; S3 按 eq, 以 普 通 方 程 的 形 式 输 入 直 线 方 程, 再 按 l; S4 按 u 作 图, 显 示 结 果 如 右 图 所 以 此 题 答 案 为 C. 简 要 评 注 理 解 两 个 集 合 的 并 集 与 交 集 的 含 义, 会 求 两 个 简 单 集 合 的 并 集 与 交 集, 这 是 高 考 所 要 求 的, 在 求 解 的 过 程 当 中, 要 注 意 分 析 集 合 的 元 素 是 什 么, 譬 如 此 题, 集 合 的 元 素 是 点, 最 后 问 题 转 化 为 求 两 个 图 像 的 交 点 问 题, 也 就 是 探 究 直 线 和 圆 的 位 置 关 系, 渗 透 了 数 形 结 合 的 数 学 思 想 方 法. 二 不 等 式 问 题 A= {, y y 为 实 数, 且 y } 例. (0 年 广 东 文 数 第 5 题 ) 不 等 式 > 0的 解 集 是 ( ) B = { y, y + =, ( ) A. (,) B(, + ) C. (,) (, + ) D. 作 图 探 究 按 如 下 步 骤 操 作 : (, ) (, + ) S 按 5, 开 启 图 形 函 数 窗 口 ; S 输 入 函 数 解 析 式, 再 按 l; S3 按 u 作 图, 显 示 结 果 如 右 图 所 以 此 题 答 案 为 D. - 4 -

简 要 评 注 会 解 一 元 二 次 不 等 式, 这 是 高 考 明 确 规 定 的 一 个 基 本 要 求, 这 类 考 题 在 广 东 文 科 卷 中, 一 般 是 中 等 难 度 或 偏 易 三 个 二 次 问 题 一 直 是 高 考 数 学 命 题 的 重 点 内 容, 画 图 像 数 形 结 合 来 处 理 这 一 类 问 题 是 解 题 的 基 本 思 想 和 通 法 0 例 3. (0 年 广 东 文 数 第 6 题 ) 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 Oy 上 的 区 域 D 由 不 等 式 组 y 给 定, y 若 M ( y, ) 为 D 上 的 动 点, 点 A 的 坐 标 为 (,), 则 z = OM OA的 最 大 值 为 ( ) A.3 B.4 C.3 D. 4 作 图 探 究 按 如 下 步 骤 操 作 : S 按 5, 开 启 图 形 函 数 窗 口 ; S 按 LpNNqd, 完 成 相 交 设 置 ; S3 输 入 题 中 给 定 的 不 等 式 组, 按 u 作 图 ; S4 按 iqqql, 把 图 片 保 存 为 图 片 ; S5 按 Lp, 把 背 景 设 为 图 片, 再 退 出 设 置 ; S6 按 p6 进 入 动 态 函 数 窗 口, 输 入 y= + z ; S7 按 rw, 把 动 态 设 定 设 置 好, 再 按 eq, 把 动 态 速 度 设 置 好, 再 按 l 回 到 动 态 变 量 窗 口, 再 按 l 进 入 执 行 状 态 ; S8 不 断 地 按 l, 可 见 z 的 最 小 值 是 0, 最 大 值 是 4 显 示 结 果 如 下 图 所 以 此 题 答 案 为 B. - 5 -

简 要 评 注 了 解 二 元 一 次 不 等 式 的 几 何 意 义, 能 用 平 面 区 域 表 示 二 元 一 次 不 等 式 组, 会 从 实 际 情 境 中 抽 象 出 一 些 简 单 的 二 元 线 性 规 划 问 题, 并 能 加 以 解 决. 这 是 高 考 对 线 性 规 划 的 要 求. 这 种 问 题 同 时 也 体 现 了 数 形 结 合 数 学 思 想 的 重 要 性. 近 几 年 广 东 高 考 在 这 个 知 识 点 考 察 的 力 度 比 较 大, 但 是 题 目 难 度 都 不 大 三 回 归 分 析 例 4. (0 年 广 东 文 数 第 3 题 ) 为 了 解 篮 球 爱 好 者 小 李 的 投 篮 命 中 率 与 打 篮 球 时 间 之 间 的 关 系, 下 表 记 录 了 小 李 某 月 号 到 5 号 每 天 打 时 间 ( 单 位 : 小 时 ) 与 当 于 投 篮 命 中 率 y 之 间 的 关 系 : 时 间 3 4 5 命 中 率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小 李 这 5 天 的 平 均 投 篮 命 中 率 为, 用 线 性 回 归 分 析 的 方 法, 预 测 小 李 该 月 6 号 打 6 小 时 篮 球 的 投 篮 命 中 率 为. 作 图 探 究 按 如 下 步 骤 操 作 : S 按 p, 开 启 统 计 窗 口, 录 入 数 据 ; S 按 qu 把 图 的 类 型 设 置 为 散 点 图 Scatter, 确 认 横 纵 坐 标, 再 按 l; S3 按 q 绘 出 散 点 图 ; S4 按 qww 显 示 回 归 结 果 ; S5 按 u, 绘 出 拟 合 函 数 的 图 像 ; S6 按 Lyq, 输 入 = 6, 再 按 l, 则 输 出 y = 0.53 显 示 结 果 如 下 图 所 以 用 线 性 回 归 分 析 的 方 法, 预 测 小 李 该 月 6 号 打 6 小 时 篮 球 的 投 篮 命 中 率 为 0.53. 简 要 评 注 会 作 两 个 有 关 联 变 量 的 数 据 的 散 点 图, 会 利 用 散 点 图 认 识 变 量 间 的 相 关 关 系. 了 解 最 小 二 乘 法 的 思 想, 能 根 据 给 出 的 线 性 回 归 方 程 系 数 公 式 建 立 线 性 回 归 方 程. 这 个 知 识 点 从 007 年 开 始, 一 直 是 广 东 高 考 数 学 的 重 点 和 热 点. - 6 -

四 函 数 与 导 数 例 5. (0 年 广 东 文 数 第 9 题 ) 设 a > 0, 讨 论 函 数 f ( ) = l + a( a) ( a) 的 单 调 性. 作 图 探 究 f ( ) = a a a ( ) ( ) + ( 0 > ), 令 g ( ) = a( a ) ( a ) + ( > 0) 按 如 下 步 骤 操 作 : S 按 p6 进 入 动 态 函 数 窗 口, 输 入 g ( ) 解 析 式 ; S 按 rw, 把 动 态 设 定 设 置 好, 再 按 eq, 把 动 态 速 度 设 置 好, 再 按 l 回 到 动 态 变 量 窗 口, 再 按 l 进 入 执 行 状 态 ; S3 不 断 地 按 l, 可 见 a 的 变 化 对 g ( ) 函 数 值 正 负 符 号 的 影 响 显 示 结 果 如 下 图 由 以 上 图 像 可 知, 只 要 考 虑 g ( ) 图 像 与 轴 交 点 个 数 问 题 即 可 严 谨 地 分 类 讨 论, 所 以 有 如 下 解 法 : () 当 a = 时, f ( ) = >0, f ( ) 在 (0,+ ) 是 增 函 数 ; a () 当 时, 设 f ( ) = a ( a ) ( a ) + ( > 0), 当 0 时, 即 3 a < 时, a( a) >0, f ( ) 0, 即 f ( ) 0, f ( ) 在 (0,+ ) 是 增 函 数 ; 当 >0 时, 即 0< a < 或 a >, 令 3 f ( ) =0 得, a 3a 4a+ a+ 3a 4a+ =, =, a( a) a( a) - 7 -

当 0< a < 时, a( a) >0,0< <, 由 f ( ) >0 得,0< < 或 >, 3 由 f ( ) <0 得, < <, a 3a 4a+ a+ 3a 4a+ f ( ) 的 增 区 间 为 (0, ),(,+ ), a( a) a( a) a 3a 4a+ a+ 3a 4a+ 减 区 间 为 (, ); a( a) a( a) 当 a > 时, a( a) <0, <0<, 由 f ( ) >0 得,0< <, 由 f ( ) <0 得, >, a 3a 4a+ a 3a 4a+ f ( ) 的 增 区 间 为 (0, ), 减 区 间 为 (,+ ), a( a) a( a) 综 上 所 述 : 当 0< a < a 3a 4a+ a+ 3a 4a+ 时, f ( ) 的 增 区 间 为 (0, ) (,+ ), 3 a( a) a( a) 当 3 a 时, f ( ) 的 增 区 间 为 (0,+ ); a 3a 4a+ a+ 3a 4a+ 减 区 间 为 (, ); a( a) a( a) 当 a a 3a 4a+ a 3a 4a+ > 时, f ( ) 的 增 区 间 为 (0, ), 减 区 间 为 (,+ ). a( a) a( a) 简 要 评 注 分 类 讨 论 是 一 种 逻 辑 方 法, 是 一 种 重 要 的 数 学 思 想, 同 时 也 是 一 种 重 要 的 解 题 策 略, 它 体 现 了 化 整 为 零 积 零 为 整 的 思 想 与 归 类 整 理 的 方 法. 凡 涉 及 要 分 类 讨 论 的 问 题, 一 般 都 具 有 较 强 的 逻 辑 性 综 合 性 条 理 性 探 索 性, 对 解 题 能 力 的 要 求 极 高. 此 题 是 在 探 索 函 数 单 调 性 的 基 础 之 上, 对 参 数 的 取 值 范 围 进 行 分 类 讨 论, 所 以 要 牢 牢 抓 住 导 函 数 看 符 号, 原 函 数 看 单 调 性 的 函 数 单 调 区 间 的 求 解 策 略. 通 过 利 用 Casio 图 形 计 算 器 对 0 年 的 广 东 高 考 文 科 数 学 部 分 试 题 的 研 究, 我 们 发 现 今 年 的 考 题 显 得 更 为 基 础 生 动 有 趣, 更 具 直 观 性. 如 果 我 们 在 教 学 中 要 充 分 发 挥 现 代 信 息 技 术 的 优 势, 为 学 生 在 学 习 数 学 的 道 路 上 提 供 丰 富 多 彩 的 教 育 环 境 和 努 力 学 习 的 工 具, 优 化 我 们 的 数 学 教 学 模 式, 这 将 充 分 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣, 培 养 学 生 的 参 与 意 识. 利 用 类 似 于 Casio 图 形 计 算 器 的 手 持 技 术 辅 助 教 学, 更 有 利 于 突 破 教 学 难 点, 培 养 学 生 抽 象 思 维 空 间 想 象 能 力, 更 有 利 于 提 高 我 们 的 课 堂 效 率. - 8 -

CASIO 图 形 计 算 器 在 解 函 数 综 合 性 问 题 中 的 应 用 广 州 市 第 六 中 学 江 玉 军 一 通 过 对 函 数 图 象 的 观 察 和 反 思, 促 进 对 函 数 性 质 的 理 解 例.(0 年 山 东 高 考 ) 函 数 y= si 的 图 象 大 致 是 ( ) 在 CASIO 图 形 计 算 器 中 画 出 函 数 f()= si 的 图 象 ( 如 图 ), 可 知 本 题 应 当 选 C. 再 反 思 为 什 么 它 的 图 象 是 这 个 样 子 呢? 为 什 么 选 项 A B D 都 是 错 的 呢? 图 图 f = cos, 可 以 首 先 f(0)=0, 即 函 数 f() 的 图 象 应 当 经 过 原 点, 故 选 项 A 错 误 ; 其 次 ( ) 判 断 f ( ) 存 在 周 期 性, 且 f ( ) >0 和 f ( ) <0 的 解 集 也 存 在 周 期 性, 即 函 数 f() 会 周 期 性 地 递 增 或 递 减 故 选 项 B D 均 错, 只 能 选 A 最 后, 反 思 此 类 函 数 图 象 问 题 的 解 法, 本 质 上 就 是 考 察 函 数 的 性 质, 应 当 从 函 数 的 定 义 域 值 域 特 殊 点 处 的 函 数 值 单 调 性 周 期 性 奇 偶 性 等 基 本 性 质 出 发, 作 出 判 断 练 习 : 你 能 画 出 函 数 y = cos 的 图 象, 并 说 出 该 函 数 所 具 有 的 一 些 性 质 吗? 解 : 图 象 如 图, 性 质 : 偶 函 数, 图 象 随 的 增 大 呈 现 越 来 越 密 的 周 期 性 练 习 :(0 新 课 标 全 国 卷 ) 函 数 y = 的 图 象 与 函 数 y = siπ ( 4) 的 图 象 所 有 交 点 的 横 坐 标 之 和 等 于 ( ) A. B.4 C.6 D.8 解 : 如 图 3, 共 有 8 个 交 点, 这 8 个 交 点 两 两 关 于 点 (,0) 对 称, 所 以 其 横 坐 标 之 和 为 8. 图 3-9 -

二 通 过 对 函 数 图 象 的 观 察, 选 择 适 宜 的 解 题 方 法 一 道 函 数 综 合 性 问 题 往 往 有 多 种 解 题 方 法, 但 这 些 解 题 方 法 的 复 杂 程 度 可 能 有 巨 大 的 差 异 因 此, 根 据 函 数 解 析 式 的 特 点 等 条 件, 选 择 适 宜 的 解 题 方 法 是 非 常 有 必 要 的 这 是 函 数 综 合 性 问 题 的 教 学 难 点, 是 影 响 教 学 效 果 的 首 要 因 素 CASIO 图 形 计 算 器 能 画 出 带 参 数 的 函 数 的 图 象, 通 过 观 察 参 数 对 函 数 图 象 的 影 响, 可 以 帮 助 我 们 选 择 适 宜 的 解 题 方 法 a 例.(0 皖 南 八 校 联 考 ) 已 知 f()= +3+,g()= +. () 当 a= 时, 求 y=f() 和 y=g() 的 公 共 点 个 数 ; () 当 a 为 何 值 时,y=f() 和 y=g() 的 公 共 点 个 数 恰 为 两 个 分 析 : 不 妨 将 此 问 题 一 般 化, 研 究 当 a 为 何 值 时,y=f() 和 y=g() 的 公 共 点 个 数 分 别 为 或 3 个 a 首 先 用 CASIO 图 形 计 算 器 画 出 F()=f()-g()= ++- 的 图 象 ( 如 图 4), 观 察 可 以 发 现 : 该 函 数 存 在 断 点, 且 参 数 a 取 不 同 值 时, 函 数 图 象 的 单 调 性 存 在 着 很 多 种 变 化 因 此, 若 对 a 进 行 分 类 讨 论, 研 究 F() 的 单 调 性 将 会 非 常 繁 杂, 此 路 不 通 图 4 再 回 过 头 来 想 一 想, 本 题 本 质 上 是 研 究 方 程 f()=g() 的 解 的 个 数 的 问 题, 此 类 问 题 最 常 规 的 方 法 当 然 是 转 化 成 研 究 F()=f()-g() 的 零 点 个 数 的 问 题, 即 研 究 曲 线 F()=f()-g() 与 直 线 y=0 的 交 点 的 问 题 但 F()=f()-g() 过 于 复 杂, 我 们 可 以 将 f()=g() 先 作 恰 当 的 变 形, 转 化 成 较 简 单 的 函 数 a +3+= + a + + = ( + + )( ) = a ( ) ( ) 3 a = + 这 样 一 变 形, 问 题 就 转 化 成 了 研 究 较 简 单 的 曲 线 y= 3 +- 与 直 线 y=a 的 公 共 点 的 个 数 的 问 题, 难 度 大 大 降 低 了 其 详 细 解 答 过 程 如 下 : a 解 : +3+= + 3 a = + ( ) ( ( ) 3 令 F()= + ), 则 F = 3 +. - 0 -

( ) 0 令 F =, 解 得 =- 或 3.F(-)=, F 5 3 = 7. F() 的 大 致 图 象 如 图 5. - _ 图 5 5 当 a 或 a < 时,f() 与 g() 只 有 个 公 共 点 ; 当 a = 7 5 共 点 ; 当 < a < 时,f() 与 g() 有 3 个 公 共 点 7 5 7 时,f() 与 g() 有 个 公 练 习 3:(0 临 沂 模 拟 ) 函 数 f()= + - - 的 零 点 的 个 数 为 解 : 本 题 可 转 化 为 求 函 数 y= 与 y=- - 的 图 象 的 交 点 个 数 如 图 6, 共 有 个 交 点 图 6 图 7 图 6 图 7 练 习 4:(0 西 安 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( ) =, 如 果 关 于 的 方 程 f ( ) k + 解, 求 实 数 k 的 取 值 范 围 解 析 : 如 果 转 化 为 求 函 数 F( ) = 有 四 个 不 同 的 实 数 = k 的 零 点, 则 需 进 行 较 复 杂 的 分 类 讨 论 故 将 等 式 变 形 : + = k k = ( ) + +, 则 原 问 题 转 化 成 求 y=k 与 y = ( + ) 的 交 点 问 题, 再 注 意 到 =0 是 方 程 f ( ) = k 的 一 个 解, 故 只 需 y=k 与 y = ( + ) 有 3 个 交 点 即 可 由 图 7 可 知,k> 综 上 所 述, 通 过 使 用 图 形 计 算 器, 能 促 进 学 生 对 函 数 性 质 的 精 细 研 究 ; 能 开 拓 学 生 的 思 维, 帮 助 学 生 选 择 适 宜 的 解 题 方 法, 避 免 方 向 性 错 误 图 形 计 算 器 在 解 函 数 综 合 性 问 题 的 过 程 中 起 到 了 放 大 镜 和 望 远 镜 的 作 用 当 然, 教 师 在 指 导 学 生 使 用 图 形 计 算 器 时, 要 引 导 学 生 多 问 几 个 为 什 么, 多 反 思, 将 感 性 认 识 上 升 到 理 论 高 度 - -

手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用 广 州 市 第 四 中 学 刘 运 科 摘 要 : 手 持 技 术 在 数 学 教 学 中 应 用 广 泛, 本 文 以 实 例 形 式, 呈 现 了 手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用, 并 分 析 了 应 用 手 持 技 术 的 注 意 事 项. 关 键 词 : 手 持 技 术, 应 用, 探 究, 线 性 递 推 数 列, 通 项 公 式. 引 言 注 重 信 息 技 术 与 数 学 课 程 的 整 合 已 成 为 课 标 的 一 个 基 本 理 念 [], 课 标 提 倡 实 现 信 息 技 术 与 课 程 内 容 的 有 机 整 合, 鼓 励 学 生 运 用 计 算 机 计 算 器 等 进 行 探 索 和 发 现. 手 持 技 术 是 一 种 重 要 的 信 息 技 术. 手 持 技 术 是 指 可 以 在 掌 上 操 作 运 行 的 信 息 技 术. 对 于 中 学 数 学 而 言, 手 持 技 术 主 要 指 图 形 计 算 器 以 及 相 关 的 软 件 和 附 属 设 备. 图 形 计 算 器 是 一 种 集 数 值 计 算 函 数 图 象 显 示 编 程 数 据 分 析 等 功 能 于 一 身 的 掌 上 计 算 器. 在 00 年 教 育 部 颁 布 的 高 中 理 科 教 学 仪 器 配 备 标 准 中, 图 形 计 算 器 成 为 必 配 仪 器. 递 推 数 列 是 高 考 的 一 个 热 点, 其 题 型 多 样, 求 通 项 公 式 的 方 法 灵 活, 对 学 生 的 观 察 分 析 归 纳 猜 想 推 理 论 证 等 综 合 能 力 要 求 较 高. 求 递 推 数 列 通 项 公 式 也 是 教 学 的 一 个 难 点. 在 日 常 的 教 学 中, 一 般 教 师 会 讲 授 常 见 的 求 递 推 数 列 通 项 公 式 的 方 法, 如 : 累 加 法 ( 逐 差 相 加 法 ) 累 乘 法 ( 逐 商 相 乘 法 ) 构 造 辅 助 数 列 法 ( 待 定 系 数 法 取 倒 数 法 取 对 数 法 ) 特 征 根 法 不 动 点 法 数 学 归 纳 法 等. 由 于 这 些 方 法 难 度 较 大, 一 般 学 生 难 以 理 解, 往 往 靠 机 械 记 忆, 最 终 对 递 推 数 列 敬 而 远 之. 应 用 手 持 技 术, 学 生 可 以 获 得 递 推 数 列 的 若 干 项 及 数 列 的 图 象, 从 而 确 定 思 维 方 向, 探 究 求 通 项 公 式 的 方 法, 加 深 对 方 法 的 理 解. 本 文 将 呈 现 手 持 技 术 在 探 究 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 中 的 应 用 的 三 个 实 例, 并 对 应 用 手 持 技 术 的 注 意 事 项 加 以 分 析. 本 文 用 到 的 计 算 器 是 卡 西 欧 (Casio) 图 形 计 算 器 f-cg0.. 实 例 () 实 例 一 : 利 用 手 持 技 术, 探 究 a = ka +b + 型 递 推 数 列 通 项 公 式 题 已 知 数 列 { } ( ) a 满 足 : a = a = a + N, 求 + 第 一 步, 指 导 学 生 输 入 初 始 条 件 和 递 推 公 式 ;, { } a 的 通 项 公 式. 第 二 步, 利 用 表 功 能, 得 到 数 列 前 0 项 的 数 值 表 ; - -

a 3 3 7 4 5 5 3 6 63 7 7 8 55 9 5 0 03 第 三 步, 利 用 点 状 图 连 续 图, 作 出 数 列 的 图 象, 并 调 整 好 横 纵 坐 标 的 取 值 范 围 ; 第 四 步, 观 察 数 据 特 点, 猜 想 a =. 是 否 如 此 呢? 可 输 入 b =, 对 比 a b 各 项 数 值, 对 比 两 个 数 列 的 图 象, 发 现 猜 想 正 确 ; 第 五 步, 教 师 引 导 学 生, 共 同 得 出 构 造 等 比 数 列 法 ( 待 定 系 数 法 ), 教 师 规 范 化 解 题 步 骤 与 格 式 ( 略 ); 第 六 步, 观 察 相 邻 两 项 的 数 值, 不 难 发 现 a a = +, 这 个 发 现 能 否 提 供 另 外 的 一 个 解 题 思 路 呢? - 3 -

a a + a 3 4 3 7 8 4 5 6 5 3 3 6 63 64 7 7 8 8 55 56 9 5 5 0 03 第 七 步, 教 师 引 导 学 生, 共 同 得 出 累 加 法 ( 逐 差 相 加 法 ), 教 师 规 范 化 解 题 步 骤 与 格 式 ( 略 ); 第 八 步, 将 题 目 改 为 : 已 知 数 列 { } ( ) a 满 足 : a = a = 3a + N, 求, { } + 第 九 步, 学 生 独 立 用 两 种 方 法 解 决 此 题, 教 师 巡 堂, 个 别 提 点 ; 第 十 步, 师 生 共 同 总 结 a = ka +b + 型 递 推 数 列 通 项 公 式 的 解 法. () 实 例 二 : 利 用 手 持 技 术, 探 究 a = Aa + B 型 递 推 数 列 通 项 公 式 题 已 知 数 列 { } + + a 满 足 : a = a = 3 a = 3a a N, 求 第 一 步, 指 导 学 生 输 入 初 始 条 件 和 递 推 公 式 ; a + + ( ),, { } a 的 通 项 公 式 ; a 的 通 项 公 式. 第 二 步, 利 用 表 功 能, 得 到 数 列 前 0 项 的 数 值 表 ; a 3 3 7 4 5 5 3 6 63 7 7 8 55 9 5 0 03-4 -

第 三 步, 观 察 发 现, 题 与 题 结 果 相 同. 能 否 将 题 转 化 为 题? 或 者, 题 是 否 与 题 有 一 样 的 解 法? 第 四 步, 尝 试 第 一 种 方 向 : 由 a = 3a a变 形 为 a a = a a, + + + + + 从 而 a+ a = a a = = a a =, 即 a a = +, a = a + +, 果 然 与 题 一 样. 第 五 步, 尝 试 第 二 种 方 向 : a+ a+ 由 a+ = 3a+ a 变 形 为 a+ a+ = a+ a = ( a+ a), a a + =, 从 而 构 造 出 等 比 数 列 { a a } +, 可 得 a a = +, 接 下 来 的 方 法 仿 照 题, 可 用 累 加 法 ( 逐 差 相 加 法 ) 第 六 步, 师 生 共 同 探 究 上 述 第 四 步 和 第 五 步 的 一 般 变 形 原 理 : 待 定 系 数 法, 设 a+ = Aa+ + Ba可 变 形 为 a+ sa+ = t a+ sa, s+ t = A 其 中, s t 由 方 程 确 定. st = B ( ) 第 七 步, 教 师 规 范 化 解 题 步 骤 与 格 式 ( 略 ); 第 八 步, 教 师 讲 授 特 征 根 法 [] ( 略 ), 指 出 特 征 根 法 与 上 述 第 六 步 的 联 系. (3) 实 例 三 : 利 用 手 持 技 术, 探 究 双 数 列 问 题 [3] 题 3 0 年 天 津 高 考 理 科 数 学 第 0 题 数 列 { a } { b } 3 + ( ) * ba + a + b a = 0, b = ( N ), 满 足 : + + + 且 a =, a = 4. (Ⅰ) 求 a, a, a 的 值 ; (Ⅱ) 设 c = a + a N, 证 明 { c } 是 等 比 数 列 3 4 5 + ( ) 4 Sk 7 (Ⅲ) 设 Sk = a + a4 + + ak( k N ), 证 明 : < ( N ). a 6 第 一 步, 输 入 初 始 条 件 和 递 推 公 式 ; k= k 第 二 步, 利 用 表 功 能, 得 到 数 列 前 0 项 的 数 值 表 ; - 5 -

a b 4 3-3 4-5 5 4 6 6 7-5 8-7 9 6 0 8 第 三 步, 利 用 点 状 图 连 续 图, 作 出 数 列 的 图 象, 并 调 整 好 横 纵 坐 标 的 取 值 范 围 ; 第 四 步, 观 察 数 据 特 点, 可 发 现 : b 的 值 按 的 奇 偶 分 别 等 于,; a 的 值 则 两 正 两 负 地 跳 跃, 且 整 体 呈 绝 对 值 增 大 的 趋 势. 既 然 b 的 值 与 的 奇 偶 性 有 关, 猜 想 a 的 通 项 公 式 也 与 的 奇 偶 性 有 关. 第 五 步, 尝 试 解 题, 分 为 奇 数 和 偶 数 两 种 情 况 讨 论 : a a + a b a a a = =, 即 a + a + a = 0, a b b a + + + = = a+ a + + b + 由 上 可 得 4a + a + a = + 0... a + a + a = 0... + 3 + +, 即 a + a + a = 0. a + a + a = 0...3 + + +-3 得 a + 4a + a = 0, 即 a + a = a + a, + 3 + c ( ) + 3 + + 即 c + =, 问 题 得 以 突 破. 余 下 解 题 过 程 从 略. - 6 -

3. 应 用 手 持 技 术 的 注 意 事 项 分 析 () 应 用 手 持 技 术, 求 线 性 递 推 数 列 通 项 公 式 的 一 般 步 骤 是 : 第 一 步, 输 入 初 始 值 及 递 推 关 系 ; 第 二 步, 得 到 前 若 干 项 的 值 及 数 列 的 图 象 ; 第 三 步, 根 据 第 二 步 发 现 的 规 律 与 性 质, 确 定 解 题 的 方 向 ; 第 四 步, 尝 试 解 题 ; 第 五 步, 解 题 ; 第 六 步, 反 思 总 结. () 选 题 的 难 度 本 文 的 实 例 一 实 例 二 是 新 授 课, 选 取 了 一 个 极 简 单 的 数 列. 这 样 有 利 于 学 生 迅 速 发 现 数 列 的 规 律, 进 行 合 理 的 猜 想 ; 反 之, 若 选 取 较 为 复 杂 的 数 列, 利 用 手 持 技 术 也 难 以 发 现 规 律, 则 不 利 于 教 学 的 开 展. 而 实 例 三 则 作 为 数 学 学 习 优 秀 生 的 自 主 探 究 题 目, 难 度 比 实 例 一 实 例 二 要 大 很 多, 更 具 有 挑 战 性. 应 用 手 持 技 术 帮 助 学 生 发 现 规 律 分 析 问 题 解 决 问 题, 这 对 于 激 发 学 生 求 知 欲 发 展 自 主 探 究 能 力 完 善 知 识 结 构 大 有 帮 助. (3) 应 用 手 持 技 术 的 时 机 问 题 上 面 三 个 实 例 中, 手 持 技 术 是 在 解 题 前 期 使 用 的. 实 际 上, 手 持 技 术 也 可 以 在 解 题 完 成 之 后 的 反 思 总 结 中 使 用. 例 如, 题 目 解 决 后, 可 以 尝 试 改 变 初 始 值, 或 者 尝 试 改 变 递 推 式 中 某 些 数 值, 看 看 会 得 到 怎 样 的 结 果, 并 加 以 分 析, 有 利 于 更 加 深 刻 理 解 题 目. (4) 手 持 技 术 的 作 用 与 教 学 重 心 问 题 手 持 技 术 主 要 起 到 快 捷 计 算, 提 供 直 观 图 象, 辅 助 提 供 思 维 方 向 的 作 用. 在 教 学 中, 常 规 的 观 察 分 析 归 纳 猜 想 推 理 论 证 等 综 合 能 力 仍 然 是 教 学 的 重 心 ; 切 不 可 过 多 依 赖 手 持 技 术, 而 忽 略 数 学 的 本 质, 本 末 倒 置. (5) 应 用 手 持 技 术 度 的 问 题 手 持 技 术 可 用, 但 不 可 滥 用. 在 日 常 的 教 学 中, 并 非 所 有 的 课 堂 都 要 进 行 探 究 活 动, 在 探 究 活 动 中, 手 持 技 术 也 未 必 是 最 合 适 的 技 术. 合 理 适 度 地 使 用 手 持 技 术, 对 于 学 生 形 成 主 动 的 探 究 的 学 习 方 式 有 促 进 作 用. (6) 手 持 技 术 的 优 势 与 局 限 性 手 持 技 术 的 优 势 : 快 捷 直 观 方 便. 具 体 来 说 就 是 : 计 算 快 捷, 图 形 直 观, 手 持 方 便. 手 持 技 术 的 局 限 性 : 某 些 设 计 存 在 缺 陷 ; 相 比 于 电 脑 手 机 等 电 子 产 品, 缺 乏 吸 引 力. 相 信 随 着 科 技 的 提 升, 开 发 者 能 够 逐 渐 使 之 完 善. 4. 参 考 文 献 [] 教 育 部. 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 稿 )[M]. 北 京 : 人 民 教 育 出 版 社,003 [] 余 元 希, 田 万 海, 毛 宏 德. 初 等 代 数 研 究 ( 下 册 )[M]. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,988 [3] 任 志 鸿. 十 年 高 考 分 类 解 析 与 应 试 策 略 数 学 [M]. 海 口 : 南 方 出 版 社,0-7 -

图 形 计 算 器 支 撑 下 必 修 教 学 的 研 究 广 州 市 铁 一 中 学 王 彪 摘 要 : 函 数 是 中 学 数 学 极 为 重 要 的 内 容, 贯 穿 高 中 数 学 的 始 终. 学 好 函 数 知 识 对 高 中 数 学 的 学 习 至 关 重 要. 图 形 计 算 器 是 数 学 学 习 的 有 力 工 具, 在 函 数 学 习 中 有 很 重 要 的 作 用, 可 以 很 好 地 呈 现 函 数 知 识 的 形 成 过 程, 展 现 函 数 知 识 的 内 涵, 有 利 于 学 生 加 深 对 函 数 知 识 的 理 解, 挖 掘 函 数 知 识 蕴 含 的 重 要 思 想 方 法, 领 悟 数 学 的 本 质 ; 有 利 于 学 生 掌 握 函 数 知 识 的 重 点, 突 破 函 数 知 识 的 难 点, 构 建 完 整 的 函 数 知 识 体 系 ; 有 利 于 学 生 用 函 数 知 识 解 决 实 际 应 用 问 题, 逐 步 培 养 科 学 研 究 的 态 度 和 意 识. 主 题 词 图 形 计 算 器 函 数 必 修 函 数 是 中 学 数 学 极 为 重 要 的 内 容, 贯 穿 高 中 数 学 的 始 终. 数 式 方 程 不 等 式 数 列 极 限 导 数 与 微 分 等 内 容 都 是 以 函 数 为 中 心, 同 时 渗 透 到 三 角 立 体 几 何 解 析 几 何, 更 有 内 容 丰 富 的 函 数 实 际 应 用 性 问 题, 跨 学 科 的 综 合 应 用 是 函 数 的 鲜 明 特 征. 所 以, 学 好 函 数 知 识 是 学 好 整 个 高 中 数 学 的 关 键. 但 由 于 函 数 是 学 生 所 接 触 到 的 第 一 个 研 究 变 数 之 间 关 系 的 数 学 基 本 概 念, 从 而 学 生 无 法 很 好 的 基 于 自 身 的 知 识 背 景 来 建 构 这 一 抽 象 的 概 念, 并 得 到 深 刻 的 理 解. 函 数 图 象 是 函 数 关 系 的 一 种 直 观 形 象 的 表 示, 函 数 图 象 对 函 数 的 概 念 与 性 质 的 理 解 起 着 至 关 重 要 的 作 用, 但 由 于 作 图 很 麻 烦 不 方 便, 甚 至 不 可 能 作 出, 从 而 学 生 很 难 达 到 对 函 数 知 识 的 深 刻 理 解. 图 形 计 算 器 的 出 现 可 以 很 好 地 学 习 函 数 知 识. 一 利 用 图 形 计 算 器 有 利 于 加 深 对 函 数 知 识 的 理 解, 挖 掘 函 数 知 识 蕴 含 的 重 要 思 想 方 法, 领 悟 数 学 的 本 质 教 材 的 编 写 有 其 严 密 的 逻 辑 体 系. 函 数 知 识 的 编 写 遵 循 着 由 简 单 到 复 杂, 由 特 殊 到 一 般 再 到 特 殊 的 认 知 规 律. 在 传 统 教 学 中 限 于 技 术 手 段, 往 往 不 能 很 好 地 呈 现 函 数 知 识 的 形 成 过 程, 展 现 函 数 知 识 的 内 涵, 挖 掘 函 数 知 识 蕴 含 的 重 要 思 想 方 法, 领 悟 数 学 的 本 质, 虽 然 学 生 通 过 一 段 时 间 的 学 习 能 解 决 一 些 问 题, 但 对 函 数 知 识 的 认 识 往 往 是 一 知 半 解 残 缺 不 全. 现 在 利 用 图 形 计 算 器 等 信 息 技 术 手 段, 由 静 到 动, 微 观 到 宏 观 地 展 现 知 识 的 形 成 过 程, 有 利 于 学 生 构 建 完 整 的 知 识 体 系. 如 指 数 函 数 的 学 习 中, 只 用 描 点 法 作 出 y =, y = ( ) 两 个 图 象, 然 后 直 接 给 出 指 数 函 数 y = a 的 性 质. 这 有 些 强 加 于 人 的 感 觉, 例 如, 学 生 对 为 什 么 要 把 底 数 a 分 为 0 < a < 和 a > 两 种 情 况 加 以 讨 论 不 一 定 理 解, 学 习 过 程 比 较 被 动. 而 引 导 学 生 用 图 形 计 算 器 完 成 函 数 y = 的 对 应 值 表, 作 出 图 象, 并 在 信 息 技 术 环 境 下 动 态 观 察 图 象, 形 成 对 指 数 函 数 性 质 的 感 性 认 识, 再 让 学 生 自 由 选 择 a 的 值, 并 用 图 形 计 算 器 在 同 一 坐 标 系 - 8 -

内 作 图 象. 在 此 过 程 中, 学 生 可 清 楚 地 看 到 底 数 a 如 何 影 响 并 决 定 着 函 数 y = a 的 性 质. 由 于 函 数 的 图 象 随 着 0 < a < 和 a > 自 然 聚 集 ( 如 图 ), 学 生 可 以 清 楚 地 看 到 a = 这 条 分 界 线, 而 函 数 的 定 义 域 值 域 单 调 性 特 殊 点 ( 0, ) 等 更 是 一 目 了 然. 然 后 再 通 过 a 的 连 续 变 化 来 演 示 函 数 图 象 的 变 化 规 律, 从 而 让 学 生 更 直 观 更 清 楚 地 看 到 函 数 y = a 的 性 质. 这 样 呈 现 内 容, 对 学 生 发 现 和 认 识 为 什 么 以 a = 为 分 界 点 过 点 (0,) 为 什 么 要 作 为 性 质 之 一 为 什 么 不 讨 论 a = 0 和 a < 0 的 情 形 ( 如 图, 图 3) 等, 都 营 造 了 很 好 的 环 境, 使 教 学 的 开 放 性 探 索 式 学 习 等 成 为 可 能. 显 然, 如 果 没 有 信 息 技 术, 上 述 过 程 很 难 实 现. 图 图 图 3 利 用 信 息 技 术 构 建 的 高 中 数 学 教 学 改 变 传 统 教 学 中 学 生 围 着 老 师 转 的 教 学 模 式, 学 生 从 以 往 的 听 众 变 成 了 积 极 的 参 与 者, 真 正 成 为 课 堂 的 主 体. 把 原 来 的 数 学 学 习 过 程 转 变 成 为 自 己 学 习 数 学 的 过 程, 使 学 生 体 会 到 知 识 产 生 的 过 程, 从 而 对 数 学 有 更 深 刻 的 认 识, 产 生 更 深 刻 的 求 知 欲, 也 进 一 步 激 发 了 学 生 学 习 数 学 的 积 极 性. 二 利 用 图 形 计 算 器 有 利 于 掌 握 函 数 知 识 的 重 点, 突 破 函 数 知 识 的 难 点, 构 建 完 整 的 函 数 知 识 体 系 函 数 的 概 念 函 数 的 性 质 基 本 初 等 函 数 是 函 数 知 识 的 重 点, 是 函 数 知 识 的 支 撑, 这 些 内 容 的 理 解 掌 握, 对 函 数 知 识 的 学 习 至 关 重 要. 函 数 的 概 念 反 函 数 复 合 函 数 是 函 数 知 识 的 难 点, 对 难 点 知 识 的 突 破, - 9 -

有 利 于 构 建 完 整 的 知 识 体 系. 在 传 统 教 学 中, 对 重 点 知 识 的 教 学 往 往 不 直 观 不 具 体, 不 是 水 到 渠 成, 总 有 强 加 于 人 的 感 觉, 揭 示 不 深 刻, 不 利 于 知 识 的 理 解 掌 握 ; 对 难 点 知 识 的 教 学 往 往 说 不 清 道 不 明, 蜻 蜓 点 水, 浅 尝 辄 止, 不 能 有 效 突 破. 利 用 图 形 计 算 器 可 以 直 观 形 象 地 揭 示 知 识 间 的 联 系, 有 利 于 掌 握 重 点 突 破 难 点. 以 往 研 究 复 合 函 数 的 性 质, 特 别 是 复 合 函 数 单 调 性 的 判 断, 总 是 直 接 给 出 结 论 同 则 增, 异 则 减, 学 生 只 知 其 然, 而 不 知 其 所 以 然, 往 往 疑 惑 不 解. 教 师 指 定 或 由 学 生 自 选 简 单 的 复 合 函 数 进 行 作 图 和 研 究. 例 如 :y =cos[si()], 设 t=si(),y = cos(t), 则 如 图 4. 学 生 可 以 研 究 :y =cos[si()] 的. 定 义 域 值 域 ;. 单 调 性 奇 偶 性 ; 3. 最 大 最 小 值 等 等. 图 4 还 可 以 用 图 形 计 算 器 直 接 作 出 图 像 进 行 检 验 ( 如 图 5). 使 复 合 函 数 问 题 变 得 直 观 易 懂. 对 复 合 函 数 的 有 关 知 识 从 疑 惑 不 解 到 理 解 洞 悉, 由 不 确 定 到 确 定, 由 含 糊 到 明 确. 图 5 利 用 信 息 技 术 构 建 的 高 中 数 学 为 学 生 营 造 了 一 个 探 索 数 学, 体 验 数 学 的 环 境, 大 家 可 以 做 实 验, 互 相 讨 论, 积 极 思 维, 互 相 协 作, 大 胆 猜 想, 踊 跃 发 表 自 己 的 观 点, 参 与 感 比 较 强, 在 实 验 中 学 习, 数 学 课 也 不 枯 燥 了. 信 息 技 术 给 我 们 带 来 了 生 动 形 象 的 数 学, 以 其 图 像 的 快 捷 性 和 直 观 性 为 进 一 步 探 索 数 学 提 供 了 必 要 的 条 件. 有 利 于 逐 步 培 养 学 生 科 学 研 究 的 态 度 和 意 识. 三 利 用 图 形 计 算 器 有 利 于 解 决 函 数 型 实 际 应 用 问 题, 逐 步 培 养 科 学 研 究 的 态 度 和 意 识 - 0 -

利 用 数 学 知 识 来 解 决 实 际 问 题 的 一 般 方 法, 是 把 实 际 问 题 加 以 抽 象 概 括, 得 出 关 于 实 际 问 题 的 数 学 描 述, 建 立 相 应 的 数 学 模 型, 利 用 这 些 模 型 来 研 究 实 际 问 题. 其 基 本 步 骤 是 : 实 际 应 用 问 题 的 解 决 关 键 在 于 数 学 模 型 的 建 立, 函 数 模 型 的 建 立 步 骤 是 : 确 定 变 量, 收 集 数 据 ; 根 据 收 集 的 数 据 画 出 散 点 图 ; 根 据 散 点 图 选 择 恰 当 的 函 数 ; 建 立 函 数 关 系 式. 也 就 是 对 变 量 进 行 回 归 分 析, 得 出 回 归 方 程, 并 进 行 相 关 性 检 验. 这 一 过 程 需 要 大 量 的 运 算, 甚 至 无 法 用 纸 和 笔 来 解 决, 使 我 们 对 问 题 的 解 决 变 得 厌 倦 甚 至 放 弃. 而 利 用 图 形 计 算 器 的 函 数 拟 合 功 能, 使 得 对 一 些 采 集 的 实 验 数 据 进 行 分 析, 建 立 适 当 的 数 学 模 型 变 得 轻 松 容 易. 如 : 以 下 是 某 地 区 不 同 身 高 的 未 成 年 男 性 的 体 重 平 均 值 表 : 身 cm 高 60 70 80 90 00 0 体 重 kg 6.3 7.90 9.99.5 5.0 7.50 身 cm 高 0 30 40 50 60 70 体 重 kg 0.9 6.86 3. 38.85 47.5 55.05 () 根 据 上 表 中 各 组 对 应 的 数 据, 能 否 找 到 一 种 函 数, 使 它 比 较 近 似 的 反 应 该 地 区 未 成 年 男 性 体 重 y 关 于 身 高 的 函 数 关 系, 试 写 出 这 个 函 数 关 系 式. () 若 体 重 超 过 相 同 身 高 男 性 平 均 值 的. 倍 为 偏 胖, 低 于 0.8 为 偏 瘦, 那 么 该 地 区 某 校 一 男 生 身 高 75cm, 体 重 78kg, 他 的 体 重 是 否 正 常? 这 个 问 题 的 解 决, 只 要 在 图 形 计 算 器 中 输 入 数 据 画 出 散 点 图, 根 据 散 点 图 引 导 学 生 用 学 过 的 函 数 y = a + b, y = a l + b, y = a b 进 行 拟 合, 学 生 发 现 用 y = a b 拟 合 较 好 ( 如 图 6, 图 7, 图 8). - -

图 6 图 7 图 8 追 问 : 为 什 么 不 可 以 用 y = a + b + c 来 拟 合 呢? 这 些 点 的 走 向 趋 势 也 很 符 合 二 次 函 数 图 像 的 走 势 啊? 老 师 和 同 学 们 一 起 共 同 进 行 研 究, 用 y = a + b + c 来 拟 合, 利 用 图 形 计 算 器 算 得 a = 0.0037, b = 0.430, c = 9.6973. 所 以, 该 地 区 未 成 年 男 性 体 重 关 于 身 高 的 函 数 关 系 式 可 以 选 为 y ( ) = 0.0037 0.430 +9. 6973. 作 出 y ( ) 和 y ( ) 的 图 像 ( 如 图 9), 从 拟 合 的 图 像 上 看, 两 者 都 拟 合 得 较 好, 但 究 竟 哪 一 种 函 数 要 更 接 近 实 际 一 些 呢? 图 9 师 生 生 生 展 开 热 烈 的 讨 论, 最 后 认 为, 可 以 利 用 y ( ) 和 y ( ) 的 函 数 值 与 实 际 值 C 的 差 的 绝 对 值 来 比 较 两 者 接 近 程 度, 利 用 图 形 计 算 器 可 以 方 便 地 算 出 y ( ) B 的 对 应 数 值 (C 列 的 值 ), y ( A) B 的 对 应 数 值 ( D 列 的 值 )( 如 图 0) A 图 0 - -

显 然, C 列 的 误 差 比 D 列 的 误 差 要 小, 由 此 可 见, 函 数 y ( ) 的 拟 合 效 果 要 好, 所 以, 函 数 解 析 式 为 y ( ) =.004. 00 易 判 断 问 题 () 中 的 男 生 体 型 偏 胖., 能 较 好 地 反 映 该 地 区 未 成 年 男 性 体 重 与 身 高 的 关 系. 利 用 所 得 函 数 关 系 式 容 传 统 应 用 题 由 于 受 信 息 技 术 条 件 的 约 束, 背 景 不 丰 富, 远 离 时 代, 和 学 生 的 实 际 结 合 得 不 紧 密, 大 量 数 据 需 要 人 为 加 工, 题 目 还 常 常 有 明 显 的 解 题 途 径 的 暗 示 ( 如 上 例 的 教 材 解 法 ), 所 以 学 生 难 以 通 过 解 这 些 题, 提 高 自 己 数 学 建 模 的 能 力, 领 会 问 题 解 决 的 思 想. 由 于 有 图 形 计 算 器 和 计 算 机 这 些 信 息 技 术 工 具, 就 使 得 运 算 繁 杂 作 图 困 难 数 据 处 理 难 度 大 的 问 题, 特 别 是 一 些 具 有 真 实 背 景 的 实 际 问 题 的 解 决 成 为 可 能. 借 助 图 形 计 算 器, 将 实 验 尝 试 模 拟 猜 想 检 验 调 控 运 算 推 理 证 明 等 作 为 数 学 学 习 的 重 要 方 式, 更 加 重 视 学 生 的 亲 身 实 践 活 动, 促 进 高 层 次 数 学 思 维, 提 高 数 学 思 考 力 度. 让 学 生 看 到 他 们 以 往 只 能 想 象 的 数 学, 做 他 们 以 往 不 可 能 做 的 数 学, 使 学 生 感 受 到 实 实 在 在 的 数 学. 总 之, 图 形 计 算 器 是 数 学 学 习 的 有 力 工 具, 恰 当 地 使 用 图 形 计 算 器, 可 以 有 效 地 学 习 函 数 知 识, 进 而 学 好 高 中 数 学 知 识. - 3 -

浅 谈 图 形 计 算 器 进 课 堂 让 课 堂 更 具 实 效 广 州 市 玉 岩 中 学 向 良 辉 一 背 景 随 着 教 育 改 革 的 深 入, 人 们 逐 渐 认 识 到 掌 握 现 代 教 育 技 术, 改 变 教 学 模 式 的 重 要 性, 目 前 多 媒 体 教 学 技 术, 为 更 多 的 教 育 工 作 者 接 受 并 掌 握, 经 过 多 年 的 探 索 与 实 践, 取 得 了 一 些 的 成 果, 但 在 很 多 方 面, 也 存 在 着 一 些 困 难, 主 要 问 题 在 于 现 在 很 多 的 数 学 应 用 软 件 课 件 都 是 教 师 进 行 有 效 教 学 的 一 种 辅 助 手 段, 难 以 形 成 一 种 互 动 性 生 成 性 的 课 堂, 很 大 程 度 上 还 是 以 教 师 为 中 心 教 案 为 线 索 的 一 种 教 学 模 式, 而 图 形 计 算 器 能 够 让 这 种 现 象 得 到 改 变 国 务 院 颁 布 的 国 家 中 长 期 教 育 改 革 和 发 展 规 划 纲 要 指 出 : 信 息 技 术 对 教 育 发 展 具 有 革 命 性 影 响, 必 须 予 以 高 度 重 视 强 调 强 化 信 息 技 术 应 用 提 高 教 师 应 用 信 息 技 术 水 平, 更 新 教 学 观 念, 改 进 教 学 方 法, 提 高 教 学 效 果 鼓 励 学 生 利 用 信 息 手 段 主 动 学 习 自 主 学 习, 增 强 运 用 信 息 技 术 分 析 解 决 问 题 的 能 力 教 育 部 颁 布 的 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 也 指 出 : 现 代 信 息 技 术 的 广 泛 应 用 正 在 对 数 学 课 程 内 容 数 学 教 学 数 学 学 习 等 产 生 深 刻 的 影 响 提 倡 利 用 信 息 技 术 来 呈 现 以 住 教 学 中 难 以 呈 现 的 课 程 内 容, 尽 可 能 使 用 科 学 计 算 器 各 种 数 学 教 育 技 术 平 台 加 强 数 学 教 学 与 信 息 技 术 的 结 合 鼓 励 学 生 运 用 计 算 机 计 算 器 进 行 探 索 和 发 现 而 做 到 每 个 学 生 人 手 一 部 电 脑 却 不 是 很 现 实, 这 就 造 成 学 生 的 参 与 性 不 强 这 就 需 要 一 种 能 够 让 学 生 参 与 性 强 的 仪 器 且 价 格 不 是 太 高 较 容 易 普 及, 从 而 改 变 以 传 授 和 灌 输 为 主 要 方 式 的 课 堂 教 学 模 式, 实 现 以 学 生 为 主 体 的 课 堂 教 学 图 形 计 算 器 被 喻 为 移 动 的 数 学 实 验 室, 它 的 特 点 是 手 持 便 携 图 文 并 茂 能 动 会 变 形 象 直 观 即 时 反 馈, 在 教 师 的 指 导 下, 许 多 内 容 的 学 习 可 以 采 用 亲 自 动 手 操 作 观 察 分 析 比 较 发 现 猜 想 与 同 伴 开 展 交 流 的 学 习 方 式, 也 真 正 实 现 数 学 学 习 与 现 代 信 息 技 术 的 有 效 整 合 图 形 计 算 器 具 有 以 下 功 能 :. 代 数 运 算 功 能, 它 几 乎 囊 括 了 中 学 ( 甚 至 大 学 ) 所 需 要 的 各 种 代 数 运 算 ;. 图 形 图 象 功 能 不 仅 能 作 出 由 函 数 表 达 式 确 定 的 图 象, 而 且 还 可 以 作 出 由 参 数 方 程 极 坐 标 方 程 确 定 的 曲 线 ; 3. 统 计 功 能 可 以 根 据 给 出 的 样 本 数 据 进 行 各 种 分 析, 获 得 各 种 统 计 量, 绘 制 拟 合 函 数 的 图 象, 时 行 预 测 分 析 ; 4. 编 程 功 能 能 使 用 类 BASIC 语 言 编 制 各 种 程 序, 满 足 高 中 算 法 学 习 的 需 要 ; 5. 几 何 功 能 不 仅 能 满 足 平 面 几 何 学 习 的 各 种 需 要, 还 能 进 行 图 形 的 各 种 变 换, 能 够 跟 踪 对 象 形 成 轨 迹, 能 够 根 据 几 何 约 束 条 件 绘 制 点 的 轨 迹 等, 并 能 进 行 各 种 度 量 二 可 行 性 布 鲁 纳 的 认 知 结 构 学 习 理 论 提 倡 发 现 学 习, 即 让 学 习 者 自 己 去 发 现 教 材 的 结 构 结 论 和 规 律, 并 认 为 发 现 学 习 有 助 于 开 发 学 习 者 的 智 慧 潜 力, 有 利 于 调 动 学 习 者 的 内 部 动 机, 有 利 于 学 习 者 学 会 探 索 的 方 法 图 形 计 算 器 整 合 到 中 学 数 学 课 堂 教 学, 倡 导 的 就 是 自 主 探 究 自 主 发 现 自 主 质 疑, 学 生 自 己 提 出 解 - 4 -

决 问 题 的 探 索 模 型 与 步 骤, 探 究 作 为 解 决 问 题 的 最 优 方 法 和 策 略, 在 不 断 的 体 验 问 题 解 决 的 喜 悦 中, 学 习 者 的 学 习 内 部 动 机 与 兴 趣 得 到 不 断 的 正 强 化 三 意 义 结 合 高 中 数 学 新 课 程 标 准, 将 图 形 计 算 器 技 术 整 合 到 日 常 的 教 学 实 践 中, 探 索 教 与 学 的 新 方 式, 提 高 教 学 质 量 和 教 学 效 率 创 建 师 生 交 互 式 共 同 学 习 的 新 环 境 ; 切 实 培 养 学 生 的 动 手 能 力 探 究 能 力 与 创 新 精 神 传 统 的 多 媒 体 教 学 具 有 视 听 合 一 的 功 能, 而 图 形 计 算 器 全 新 的 人 机 交 互 方 式 对 课 堂 教 学 中 的 教 与 学 产 生 很 多 积 极 的 意 义. 图 形 计 算 器 促 进 教 师 教 学 能 力 的 提 升 数 学 的 教 学 过 程 就 是 在 教 师 与 学 生 在 相 互 的 配 合 下, 对 数 学 问 题 的 解 决 方 法 进 行 探 究, 并 不 断 地 加 以 改 进, 为 了 完 成 好 这 个 过 程, 教 师 就 要 考 虑 如 何 选 择 教 学 手 段 如 何 呈 现 教 学 内 容 如 何 设 计 数 学 问 题 如 何 引 导 提 问 等 等, 而 图 形 计 算 器 整 合 到 课 堂 教 学 中 来, 教 师 势 必 对 这 些 问 题 进 行 再 思 考, 有 了 图 形 计 算 器 这 个 新 元 素, 教 师 就 能 采 取 新 的 教 学 工 具, 重 新 设 计 教 学 内 容, 改 变 传 统 的 教 学 模 式, 大 大 提 高 课 堂 教 学 效 率, 同 时 也 促 进 了 教 师 教 学 能 力 的 提 升, 顺 应 了 课 程 改 革 对 新 教 师 要 求 例 如 算 法 案 例 秦 九 韶 算 法 这 一 节, 笔 者 听 过 一 些 公 开 课, 自 己 原 来 也 上 过, 总 觉 得 没 有 新 意, 学 生 对 于 为 什 么 要 将 关 于 的 多 项 式 中 的 提 出 来, 不 清 楚 其 内 部 原 因, 教 师 在 教 学 时, 也 只 是 告 诉 学 生 要 将 提 出 来, 上 次 在 教 这 一 节 时, 突 然 想, 能 不 能 让 学 生 确 切 地 知 道 计 算 机 在 运 算 时, 乘 法 与 加 法 这 两 种 运 算 在 速 度 上 的 差 异 呢, 于 是 自 己 动 了 一 段 程 序, 输 入 图 形 计 算 器, 把 乘 法 与 加 法 分 别 运 行 30 万 次, 并 且 把 运 算 的 时 间 显 示 出 来, 结 果 显 示, 乘 法 所 用 的 时 间 远 远 大 于 加 法 所 用 的 时 间, 这 样 学 生 就 知 道 了, 要 提 高 程 序 的 运 行 效 率, 就 必 须 尽 量 减 少 乘 法 的 次 数, 于 是 很 自 然 地 提 出 了 一 个 探 究 活 动, 怎 样 减 少 乘 法 的 次 数, 于 是 学 生 进 行 小 组 讨 论, 在 讨 论 的 过 程 中 发 现, 不 断 地 把 提 出 来, 就 能 不 断 地 把 乘 法 的 次 数 减 少, 一 到 进 行 下 去, 就 把 一 个 次 多 项 式 的 问 题 转 化 为 个 一 次 问 题 进 行 处 理 了, 这 就 得 出 了 秦 九 韶 算 法, 学 生 在 讨 论 探 究 的 过 程 中, 发 现 了 知 识, 提 高 了 对 数 学 的 学 习 兴 趣, 获 得 了 一 种 成 就 感, 原 来 知 识 就 是 这 样 产 生 的, 同 时 也 掌 握 了 一 种 优 化 策 略, 培 养 了 学 生 的 辩 证 思 维 能 力 又 如 用 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 是 普 通 高 中 数 学 课 程 标 准 ( 实 验 ) 新 增 的 内 容 之 一 从 对 标 准 的 理 解 以 及 教 学 过 程 的 角 度 来 看, 增 加 这 部 分 的 主 要 目 的 有 两 个 : 一 是 加 强 函 数 与 方 程 的 联 系, 突 出 函 数 的 应 用, 通 过 研 究 函 数 的 某 些 性 质, 把 函 数 的 零 点 与 方 程 的 解 等 同 起 来 ; 二 是 二 分 法 这 部 分 内 容 较 好 地 体 现 了 算 法 的 思 想, 其 有 效 快 速 规 范 的 求 解 过 程, 可 以 为 后 面 学 习 算 法 内 容 做 下 必 要 的 铺 垫, 提 供 具 体 的 素 材, 在 整 个 高 中 数 学 体 系 中 还 起 着 承 前 启 后 的 作 用 在 用 二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 的 教 学 过 中, 根 据 课 标 的 要 求 要 完 成 的 教 学 目 标 是 : 学 生 根 据 具 体 函 数 的 图 象, 能 够 借 助 计 算 器 用 二 分 法 求 相 应 方 程 的 近 似 解, 了 解 这 种 方 法 是 求 方 程 近 似 解 的 常 用 方 法 那 么 什 么 是 二 分 法? 二 分 法 具 体 来 讲 就 是 : 对 于 在 区 间 [a,b] 上 连 续 不 断 且 f( a) f( b ) < 0 的 函 数 y=f(), 通 过 不 断 的 把 函 数 的 零 点 所 在 的 区 间 一 分 为 二, 使 区 间 的 两 个 端 点 逐 步 逼 近 零 点, 进 而 得 到 零 点 近 似 值, 这 个 零 点 就 是 所 求 方 程 的 近 似 解 笔 者 在 这 个 知 识 点 的 教 学 过 程 中 发 现, 根 据 教 材 编 排 内 容, 要 完 成 教 学 目 标, 有 两 点 是 必 需 要 解 决 好 的 一 是 解 决 作 图 问 题 因 为 利 用 二 分 法 求 方 程 近 似 解 问 题, 方 程 一 般 是 超 越 方 程, 作 图 很 定 是 不 容 易 二 是 借 助 计 算 器 验 算 过 程 数 据 较 多, 也 是 花 费 大 量 的 时 间 然 而 这 两 个 问 题 在 实 际 操 作 过 程 是 很 枯 燥 的, 学 生 学 习 的 兴 趣 不 是 很 高, 这 就 需 要 我 们 教 师 设 计 好 教 学 过 程, 既 要 完 成 教 学 目 标, 又 要 让 学 生 学 的 有 兴 趣 虽 然 很 多 教 师 上 这 个 内 容 时 采 用 的 是 几 何 画 板 画 出 图 形 演 示 给 学 生, 但 学 生 的 参 与 性 还 是 不 强, 有 没 有 更 好 的 方 法 解 决 这 个 问 题 呢? 笔 者 在 教 学 中 利 用 卡 西 欧 图 形 计 算 器 就 很 好 的 解 决 了 这 个 问 题, 因 为 图 形 计 算 器 在 代 数 解 析 几 何 以 及 统 计 学 方 面 有 很 强 大 的 功 能 我 们 可 以 利 用 手 持 图 形 计 算 器 作 图 和 简 化 验 算 过 程, 学 生 的 参 与 性 也 强. 图 形 计 算 器 对 学 生 学 习 活 动 的 影 响 - 5 -

() 图 形 计 算 器 成 为 学 生 感 悟 数 学 的 工 具 ; 学 生 可 以 利 用 图 形 计 算 器 主 动 地 参 与 到 知 识 的 构 建 中, 在 直 观 中 感 悟, 激 起 他 们 更 大 的 求 知 欲, 通 过 图 形 计 算 器 创 设 问 题 情 境, 鼓 励 学 生 自 主 质 疑 发 现 问 题 大 胆 假 设, 让 学 生 由 机 械 接 受 向 主 动 探 究 发 展 以 函 数 y = Asi( ω+ φ) 的 图 象 为 例, 让 学 生 在 图 形 计 算 器 上 做 实 验, 先 探 索 φ 对 y = si( + φ) 的 π 3 图 象 的 影 响, 在 图 形 计 算 器 上 同 时 作 出 的 图 象, 通 过 观 察 可 以 发 现 y = si +, y = si + 3 4 象 可 以 看 作 是 y = si 的 图 象 分 别 向 左 平 移 π 3π, 3 4 π 的 图 个 单 位 长 度 而 得 到, π 3π π 3π y = si, y = si 的 图 象 可 以 看 作 是 y = si 的 图 象 分 别 向 右 平 移, 个 单 位 长 度 而 3 4 3 4 得 到, 当 φ 取 其 它 值 时, 也 有 类 似 的 情 况, 因 此 y = si( + φ) 的 图 象 可 以 看 作 是 y = si 的 图 象 向 左 ( φ >0 时 ) 平 移 或 向 右 (φ <0 时 ) 平 移 φ 个 单 位 长 度 而 得 到, 再 探 索 ωω ( > 0) 对 y = si( ω+ φ) 的 图 象 的 影 响 及 探 索 A(A>0) 对 y = Asi( ω+ φ) 的 影 响, 从 而 得 到 y = Asi( ω + φ) 与 y = si 的 图 象 的 关 系 学 生 利 用 图 形 计 算 器 主 动 参 与 知 识 本 身 的 建 构, 学 生 在 直 观 中 领 悟, 激 起 了 他 们 更 大 的 求 知 欲, 通 过 图 形 计 算 器 创 设 质 疑 情 境, 鼓 励 学 生 自 主 质 疑, 去 发 现 问 题, 大 胆 发 问, 让 学 生 由 机 械 接 受 向 主 动 探 索 发 展, 使 学 生 看 到 自 己 的 创 新 成 果, 体 验 到 创 新 的 乐 趣, 进 一 步 激 发 创 新 探 究 意 识 () 图 形 计 算 器 有 利 于 激 发 学 生 的 学 习 热 情 ; 面 对 新 的 问 题 情 境, 学 生 总 是 好 奇 的, 他 们 对 新 颖 的 事 物, 没 有 见 过 的 事 物 都 感 兴 趣, 在 过 去 的 课 堂 教 学 中, 学 生 封 闭 在 枯 燥 的 教 材 与 课 堂 中, 由 于 自 身 知 识 的 局 限 与 工 具 的 不 足, 难 以 对 这 些 问 题 获 得 一 种 即 时 的 反 馈, 而 图 形 计 算 器 整 合 到 课 堂 教 学 中, 利 用 图 形 计 算 器 的 图 文 并 茂 形 象 直 观 能 动 会 变 的 特 点, 学 生 只 需 经 过 简 单 的 操 作, 就 可 以 马 上 体 验 问 题 解 决 后 的 喜 悦 与 成 功 的 兴 奋, 从 而 激 发 学 生 的 学 习 热 情 以 函 数 为 例, 函 数 通 常 是 以 解 析 式 表 达 的, 而 图 形 计 算 器 的 使 用 可 以 用 更 为 直 观 的 方 式 表 达, 只 要 一 按 键, 屏 幕 上 函 数 的 图 形 解 析 式 便 可 很 快 切 换, 并 且 还 能 对 图 象 进 行 多 方 面 的 分 析, 使 学 生 从 多 方 面 多 角 度 理 解 函 数 的 本 质, 也 培 养 了 学 生 的 数 形 结 合 的 能 力 (3) 图 形 计 算 器 能 够 为 学 生 创 设 一 个 主 动 学 习 的 情 境 数 学 的 学 习 并 不 是 一 个 被 动 的 接 受 过 程, 而 是 学 习 者 的 主 动 建 构 过 程, 是 知 识 在 学 习 者 的 头 脑 中 积 累 与 重 新 构 架 的 认 知 过 程, 为 此 我 们 的 教 学 就 应 当 为 学 生 提 供 一 个 主 动 学 习 主 动 构 建 和 探 索 的 环 境, 而 图 形 计 算 器 的 使 用 给 学 生 提 供 了 这 种 平 台, 比 如 在 必 修 3 的 算 法 初 步 教 学 中, 学 生 学 习 了 这 些 基 本 算 法 语 句 后, 就 可 以 自 己 动 手 编 制 一 些 程 序, 来 检 测 验 证 问 题 的 解 决 是 否 正 确 与 完 善, 通 过 不 断 的 尝 试, 学 生 可 以 获 得 第 一 手 的 资 料, 比 教 师 在 课 堂 上 的 任 何 讲 解 更 具 实 效 (4) 图 形 计 算 器 提 升 学 生 的 创 新 能 力 利 用 图 形 计 算 器 进 行 数 字 信 息 处 理 以 及 大 量 的 探 索 性 数 据 分 析 观 察 实 验 函 数 的 形 表 达 数 值 表 达 与 代 数 表 达, 使 学 生 可 以 超 越 了 常 规 解 决 问 题 的 方 法, 使 得 一 些 现 代 数 学 的 内 容 能 够 及 时 地 渗 透 到 中 学 数 学 内 容 体 系 之 中, 解 决 许 多 复 杂 的 数 学 问 题, 利 于 培 养 学 生 的 创 新 精 神 和 能 力, 促 进 学 生 成 长 为 信 息 时 代 需 要 的 新 型 人 才 图 形 计 算 器 进 入 课 堂, 是 一 种 教 育 思 想 的 创 新, 是 教 学 形 式 的 创 新, 是 教 学 方 式 的 创 新, 也 更 是 一 种 学 习 形 式 的 创 新, 是 学 习 方 式 的 创 新, 图 形 计 算 器 与 高 中 数 学 教 学 有 机 的 整 合, 必 然 会 带 来 课 堂 教 学 效 率 的 全 面 提 升 为 学 校 教 育 人 才 培 养 开 拓 一 条 全 新 之 路 - 6 -

图 形 计 算 器 在 储 蓄 和 贷 款 的 应 用 初 探 广 东 华 侨 中 学 刘 颖 莹 摘 要 :CASIO f-cg0 图 形 计 算 器 的 介 入 为 解 题 教 学 提 供 新 的 研 究 手 段, 也 为 学 生 自 主 深 入 探 究 提 供 有 力 支 持 本 文 阐 述 了 图 形 计 算 器 在 生 活 中 的 储 蓄 和 贷 款 问 题 的 应 用 关 键 词 : 图 形 计 算 器 储 蓄 贷 款 在 现 代 化 经 济 中, 数 学 知 识 与 思 想 方 法 应 用 在 经 济 领 域 的 各 个 方 面 人 教 A 版 的 中 学 数 学 课 本 的 练 习 题 及 探 究 与 发 现 栏 目 也 增 加 了 不 少 数 学 知 识 在 实 际 生 活 中 的 应 用 的 问 题 但 由 于 受 到 知 识 方 法 以 及 教 学 手 段 的 限 制, 在 教 学 中, 这 部 分 内 容 大 多 数 是 以 阅 读 为 主, 一 些 学 习 能 力 强 的 学 生 也 没 能 够 深 入 探 索 研 究 CASIO f-cg0 图 形 计 算 器 作 为 一 种 认 知 工 具, 功 能 齐 全 使 用 方 便, 它 的 介 入 为 解 题 教 学 提 供 新 的 研 究 手 段, 也 为 学 生 自 主 深 入 探 究 提 供 有 力 支 持 下 面 就 通 过 CASIO 图 形 计 算 器 在 生 活 中 的 储 蓄 和 贷 款 问 题 的 应 用 上 的 尝 试, 谈 谈 自 己 的 感 受 一 储 蓄 存 款 储 蓄 的 利 息 有 单 利 和 复 利 两 种 计 法 假 设 每 期 存 入 金 额 元, 每 期 的 利 率 为 I%, 存 了 期 ; 若 按 单 利 计 息, 本 利 和 = 本 金 + 本 金 ⅹ 利 息 率 ⅹ 存 款 期 限, 即 : I%( + ) + I%( + + 3 + + ) = + ; 若 按 复 利 计 息, 则 本 利 和 为 : ( + I%)( ( + I%) ) ( + I%) + ( + I%) + + ( + I%) = ; ( + I%) 图 形 计 算 器 的 单 利 与 复 利 计 算 原 理 与 上 述 相 同, 利 用 它, 可 以 使 学 生 从 繁 琐 的 计 算 中 解 放 出 来, 不 仅 能 迅 速 解 决 问 题, 还 可 以 对 问 题 做 更 进 一 步 的 探 究, 促 进 学 生 思 维 发 展, 提 高 应 用 意 识 和 能 力 例 : 零 存 整 取 的 年 利 率 为 3.%, 若 每 月 初 存 000 元, 如 果 按 复 利 计 算, 利 息 按 月 计, 则 三 年 后 的 本 利 和 为 多 少? 能 拿 到 多 少 利 息?( 精 确 到 0.0) 3.% 解 析 : 月 利 率 为 0.583%, 此 时, 第 一 个 月 存 的 000 元, 总 共 存 了 3 = 36 个 月, 则 本 利 和 为 000( + 0.583%) 元, 第 二 个 月 的 000 元 总 共 存 了 36-=35 个 月, 则 本 利 35 和 为 000( + 0.583%) 元, 以 此 类 推, 最 后 一 个 月 的 000 元 的 本 利 和 为 000( + 0.583%), 此 时 三 年 的 本 利 和 约 为 36 000( + 0.583%)[ ( + 0.583%) ] 36 ( + 0.583%) 37773.5; 利 用 图 形 计 算 器 则 不 需 要 计 算 月 利 率, 具 体 操 作 如 下 : () 在 主 菜 单 (p) 窗 口, 按 G 键, 进 入 金 融 窗 口 ; 再 按 w, 选 择 复 利 ; () 按 L 键, 再 按 p 键, 进 入 SET UP( 设 置 ) 窗 口, 然 后 在 Paymet 项 中 选 择 期 末, 按 l 键 回 到 复 利 窗 口 ; (3) 在 显 示 窗 口 中, 输 入 数 据, 如 图 - 和 图 -: - 7 -

图 - 图 - (4) 按 y 键, 计 算 终 值 ( 图 -3); 图 -3 此 时 三 年 本 利 和 约 为 37773.5 元, 利 息 为 37773.5 000 36 = 773.5元 例 :008 年 月 的 银 行 活 期 利 率 为 0.7%, 一 年 定 期 利 率 为 4.4% 小 明 在 008 年 月 0 日 到 银 行 存 了 万 元 一 年 定 期, 到 期 自 动 转 存 ( 在 每 年 到 期 时 将 本 息 续 存 一 年 期 定 期 储 蓄 ) 0 年 7 月 日, 小 明 去 银 行 取 出 全 部 本 息 假 定 一 个 月 是 30 天, 利 率 不 变, 活 期 储 蓄 按 单 利 计 算, 小 明 最 终 能 拿 到 多 少 利 息?( 精 确 到 0.0) 解 析 : 由 题 意, 存 款 按 两 个 时 段 分 别 计 息, 第 一 个 时 段 是 从 008 年 月 0 日 到 0 年 月 0 日, 万 元 存 了 三 个 一 年 定 期, 按 复 利 计 算, 利 用 图 形 计 算 器 计 算 本 利 和, 输 入 数 据 : =3, I%=4.4,PV=-0000,PMT=0,P/Y=,C/Y=, 按 y 键, 计 算 终 值, 得 到 三 年 后 的 本 利 和 约 为 94.3 元 ( 图 -); 图 - 第 二 个 时 段 是 从 0 年 月 日 到 0 年 7 月 日, 因 为 不 满 一 年, 所 以 这 段 时 间 的 存 款 属 于 活 期 储 蓄, 因 此 按 单 利 计 算, 此 时, 需 要 计 算 天 数, 输 入 图 - 数 据, 按 q 键, 得 到 天 数 为 60 天 ( 图 -3); 图 - 图 -3-8 -

接 着, 进 入 单 利 窗 口, 输 入 数 据, 如 图 -4, 然 后 按 w 键, 得 到 最 终 的 本 利 和 约 为 330.7 元 ( 图 -5); 图 -4 图 -5 因 此, 小 明 最 终 能 拿 到 利 息 330.7-0000=330.7 元 二 贷 款 购 房 中 的 数 学 在 现 代 经 济 生 活 中, 还 常 常 遇 到 购 房 贷 款 的 问 题 贷 款 的 还 款 方 式 有 等 额 本 金 法 和 等 额 本 息 法 假 设 需 要 贷 款 P 元, 贷 款 每 期 利 率 为 I%, 贷 款 期 限 为 期, 每 期 还 款 元, 若 还 款 方 式 为 等 额 本 息 法, 则 + + I + + I + + + I = P + I ( %) ( %) ( %) ( %) 图 形 计 算 器 可 以 计 算 还 款 方 式 为 等 额 本 息 法 的 贷 款 下 面 案 例 改 编 自 人 教 A 版 必 修 5 第 63 页 的 探 究 与 发 现 案 例 : 某 地 一 位 居 民 为 改 善 住 房 条 件, 决 定 购 买 一 套 商 品 房 这 位 居 民 收 集 了 一 些 住 房 信 息, 然 后 在 下 表 中 列 出 了 他 的 家 庭 经 济 状 况 和 可 供 选 择 的 方 案, 准 备 向 专 家 咨 询 对 两 套 房 子 的 面 积, 这 位 居 民 均 可 接 受 家 庭 经 济 状 况 家 庭 每 年 总 收 入 为 3.6 万 元 现 有 存 款 6 万 元, 但 是 必 须 留 -3 万 元 以 备 急 用. 买 商 品 房 一 套 面 积 为 80 平 方 米 的 住 宅, 售 价 为 万 元 预 选 方 案. 买 二 手 房 一 套 面 积 为 0 平 方 米 左 右 的 二 手 房, 售 价 为 4. 万 元, 要 求 首 付 4 万 元 购 房 还 需 要 贷 款 这 位 居 民 选 择 了 一 家 银 行 申 请 购 房 贷 款 该 银 行 的 贷 款 评 估 员 根 据 表 格 中 的 信 息, 向 他 提 供 了 下 列 信 息 和 建 议 : 申 请 商 业 贷 款, 年 利 率 为 5.04% 购 房 的 首 期 付 款 应 不 低 于 实 际 购 房 总 额 0%, 贷 款 额 应 不 高 于 实 际 购 房 总 额 的 80% 还 款 方 式 为 等 额 本 息 还 款 () 若 这 位 居 民 希 望 每 年 还 贷 总 额 不 超 过 年 收 入 的 35%, 贷 款 0 年, 则 根 据 以 上 信 息, 应 该 选 择 方 案 还 是 方 案? 并 计 算 所 选 方 案 的 贷 款 利 息 是 多 少 解 法 一 : 假 设 每 年 还 贷 总 额 为 年 收 入 的 35%, 即 每 年 还 贷 36000ⅹ0.35=600 元, 对 于 方 案, 需 向 银 行 贷 款 ⅹ0.8=9.6 万 元, 在 图 形 计 算 器 输 入 数 据 :=0, I%=5.04,PV=96000,FV=0, P/Y=,C/Y=, 按 r 键, 计 算 单 期 额, 得 到 每 年 至 少 还 款 456.60 元 ( 图 3-); - 9 -

图 3- 图 3- 对 于 方 案, 需 向 银 行 贷 款 4.-4=0. 万 元, 在 图 形 计 算 器 输 入 数 据 :=0, I%=5.04, PV=0000,FV=0,P/Y=,C/Y=, 按 r 键, 计 算 单 期 额, 得 到 每 年 至 少 还 款 335.4 元 ( 图 3-), 因 为 方 案 的 每 年 还 款 数 456.60<600, 所 以 应 选 择 方 案 解 法 二 : 每 年 还 贷 不 超 过 600 元, 在 图 形 计 算 器 输 入 数 据 :=0, I%=5.04,PMT=-600,FV=0, P/Y=,C/Y=, 按 e 键, 计 算 现 值, 得 到 最 多 可 贷 款 约 为 9705.4 元 ( 如 右 图 ) 而 方 案 需 要 贷 款 96000 元, 方 案 需 贷 款 0000 元, 因 为 96000<9705.4, 所 以 应 选 择 方 案 ; 计 算 方 案 的 利 息, 在 图 3- 的 窗 口 中 按 r 键, 输 入 如 下 数 据 ( 图 3-3), 接 着 按 r 键, 得 到 所 还 利 息 和 约 为 8566.0 元 ( 图 3-4): 图 3-3 图 3-4 () 若 这 位 居 民 希 望 每 年 还 贷 总 额 不 超 过 年 收 入 的 5%, 则 两 个 方 案 中 的 贷 款 分 别 需 要 至 少 多 少 年 才 能 还 清? 解 析 : 由 题 意 得, 每 年 还 贷 不 超 过 36000ⅹ0.5=9000 元 方 案 : 在 图 形 计 算 器 输 入 数 据 : I%=5.04,PV=96000,PMT=-9000,FV=0,P/Y=,C/Y=, 按 q 键, 得 到 至 少 需 要 6 年 才 能 还 清 贷 款 ( 图 3-5); 图 3-5 图 3-6 - 30 -

方 案 : 在 图 形 计 算 器 输 入 数 据 : I%=5.04,PV=0000,PMT=-9000,FV=0,P/Y=,C/Y=, 按 q 键, 得 到 至 少 需 要 8 年 才 能 还 清 贷 款 ( 图 3-6); 上 述 案 例 只 是 购 房 贷 款 问 题 的 冰 山 一 角, 而 且 数 据 是 题 目 拟 定 好 的 其 实 可 以 作 为 一 个 研 究 性 学 习 的 课 题, 结 合 实 际 生 活, 收 集 数 据, 分 析 问 题 图 形 计 算 器 为 学 有 余 力 的 学 生 提 供 了 发 挥 的 空 间 在 图 形 计 算 器 的 支 持 下, 问 题 解 决 的 方 法 和 策 略 更 具 灵 活 性 和 多 样 性 解 题 不 再 是 简 单 的 解 决 问 题, 它 使 问 题 成 为 了 一 个 可 探 究 的 课 题, 使 学 生 在 实 验 中 学 数 学 理 解 数 学 解 题 教 学 也 不 再 限 定 于 纸 笔 教 学, 教 学 手 段 得 以 更 新, 教 育 观 念 也 得 以 改 变 参 考 文 献 : [] 刘 学 美. 等 比 数 列 求 和 方 法 在 储 蓄 和 贷 款 中 的 应 用. 数 学 学 习 与 研 究,0.5. [] 黄 富 春. 研 究 性 学 习 课 题 : 数 列 在 分 期 付 款 中 的 应 用 分 期 付 款 中 还 款 方 式 的 选 择. 数 学 教 学 通 讯, 第 4 期. [3] 佚 名. 数 列 计 算 方 法 在 储 蓄 和 贷 款 中 的 应 用. 中 国 科 教 期 刊 学 会 http://www.ccclw.c/w/html/?445.html. [4] 罗 增 儒. 数 学 解 题 学 引 论. 西 安 : 陕 西 师 范 大 学 出 版 社,00. - 3 -