第二章 : 光的电磁理论 -1 定态光波与复振幅描述 1.1 波动概述 1. 定态光波的概念 1.3 复振幅描述 1.4 平面波和球面波的复振幅描述 1.5 强度的复振幅描述 1
1. 波动概述 1678 年,Hugens 提出光的波动学说 181 年,T.Young 在光通过双孔的实验中, 首次观察到了光的干涉现象 188 年,Malus 观察到了光的偏振现象, 说明光是横波 1817 年,Fresnel 用波动理论分析光的衍射 1865 年,Mawell 提出电磁波理论, 断言光是电磁波 1887 年,Hert 证实光是电磁波 光的电磁波模型
光是交变电磁波 波长 ~5nm, 频率 ~1 14 H 从传播的角度看, 是波动, 是振动的传播 用速度 方向 振幅等参数描述 从物理量分布的角度看, 是交变的空间场 用电场强度 磁场强度等物理量描述 时间 空间是描述波的重要参量 3
B E E B k k λ: 波长 ;( 介质中波长 = 真空中波长 /n); ν = c/λ : 频率 ;(ω = πν 圆频率, 角频率 ) k: 波矢 ;( 传播方向 ); k = π λ = ω c E 的振动方向 : 偏振光强 :I = S = n E cμ E 4
波的周期性 时间周期性 : 波场中任一点的物理量, 随时间做周期变化, 具有时间上的周期性 时间周期 :T ;ν=1/t: 时间频率, 单位时间内变化 ( 振动 ) 的次数 E( t, ) T t
空间周期性 : 某一时刻, 波场物理量的分布, 随空间作周期性变化, 具有空间上的周期性 ~ 1 / 波长 λ: 空间周期 ; : 空间频率, 单位空间长度内物理量的变化次数, 波数 E( t, ) 波场具有空间 时间两重周期性
振动与波的表达式 取定原点 ( 初始的时刻和空间位置 ) 原点的振动 E( t, ) Acos( t ) t v 任一点的振动比原点滞后 / E( t, ) E( t t, ) 任一点的振动 E( t, ) Acos[ ( t ) ] Acos[ ( t ) ] v v Acos( t ) k Acos( t k )
k / v π 时间内的频率, 圆频率 ( 角频率 ) π 长度内的波数, 角波数 ( 圆波数 ), 波矢 φ P, t = ωt k φ 波的相位, 与时间和空间相关 U( P, t) A( P)cos[ ( P, t)] 振动取决于相位, 所以振动的传播就是相位的传播!!
光波是电磁波 ( 矢量波 ) 电场分量 磁场分量 波的传播方向即波矢等物理量, 都是矢量 n 波矢 k n 传播方向的单位矢量 电场分量的振幅 磁场分量的振幅 波长 频率等物理量是标量
光的传播 Er (, t) E( r r, t t) 光的传播, 是振动的传播, 就是将光波场中物理量 ( 电场强度 磁场强度 ) 从空间的一点传播到另一点
E( r, t) E ( P)cos[ t k ] 波场的量值由相位决定 物理量的传播其实就是相位的传播, 在传播的过程中, 相位保持不变 E( r r, t t) E( r, t) ( t t) k( ) t k k t v k d t dt k 光波相位传播的速度, 相速度
波的几何描述 波面 (wave surface): 等相位面波线 (wave ra): 能量传播的方向 球面波 平面波 1
. 定态光波 光波的特点 : i) 波长短 (1nm 量级 ), 频率高 (1TH) ii) 发射源是微观客体 一次发光时间 ( 一个波列 ): 1-8 s 一个波列包含 :1 6 个周期 可看做定态波 13
定态 (stationar state) 波场 : i) 空间各点的扰动是同频率的简谐振动 ; ii) 波场中各点扰动的振幅不随时间变化, 扰动在空间形成一个稳定的振幅分布 满足上述要求的光波应当充满全空间, 是无限长的单色波列 但当波列的持续时间比其扰动周期长得多时, 可将其当作无限长波列处理 任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波的叠加 定态光波不一定是简谐波, 其空间各点的振幅可以不同 14
定态标量波的数学描述 : 电磁波都是矢量波, 应该用矢量表达式描述 但对符合上述条件的定态光波, 在一个取定的平面内描述定态光波的振动通常用标量表达式描述 U ( P, t) A( P)cos[ t ( P)] A(P) (P) 振幅的空间分布 相位的空间分布 均与时间 t 无关 波面 : 波场空间中相位相同的曲面构成光波的等相位面, 即波面或波阵面 可根据波面的形状将光波分类 ( P) Const. 15
平面波 : 波面是平面 (a) 振幅为常数 (b) 空间位相为直角坐标的线性函数 ( P) kr k k k k r k 波面 kr Const. 满足上式的点构成与波矢垂直的一系列平面
r 1 k r
波矢的方向角表示 在数学中常用方向余弦表示矢量方向, 即用矢量与坐标轴间的夹角表示 在光学中习惯上采用波矢与平面间的夹角表示矢量的方向 X Y 3 1 k k(cose cos e cos e ) Z k k(sin e sin e sin e ) 1 3 18
波场中一点 (,, ) 处的相位为 (,, ) kr k k(sin1e sine sin 3e) r e e e (,, ) 通常取一平面在 = 处, 则该平面上的相位分布为 (,,) k( sin sin sin k( sin 1 3) sin 1 ) XOY 平面 Z
球面波 : 波面是球面 (a) 振幅 A ( P) a / r (b) 空间位相 ( P) kr ( P) kr Const. 波面为球面, 振幅沿传播方向衰减 从点源发出或向点源汇聚
发散或汇聚的球面波 S S'
3. 复振幅描述 用复指数的实部或虚部表示余弦或正弦函数, 用复数来描述光波的振动 复振幅 (comple amplitude) 描述 U ( P, t) A( P)cos[ t ( P)] 指数取负号 U ( P, t) A( P)e U ( P, t) A( P)e U( P)e i[ t ( P)] i[ t( P)] it i ( ) ( )e ( P 复振幅 : U P A P ) 1. 包含定态波场中的振幅空间分布和位相空间分布 ;. 模量为振幅的空间分布, 辐角为位相的空间分布
平面波 (plane wave) 复振幅描述 : U ( P, t) Acos[ t k r ] U ( P) Ae kr i[ ] 球面波 (spherical wave) 复振幅描述 : a U ( P, t) cos[ t kr ] r 强度的复振幅描述 a U( P) e r i[ kr ] I P U P U P * ( ) ( ) ( ) 3
作业 : p.147-148: 1, 3, 5, 6 4
- 波前.1 波前的概念. 傍轴条件和远场条件 ( 轴上物点 ).3 傍轴条件和远场条件 ( 轴外物点 ).4 高斯光束 5
1. 波前 (wave front) 的概念 冲击波的波前 波前 : 波场中的任一曲面 更多地指一个平面, 如记录介质 感光底片 接收屏幕等 ; 共轭波 (conjugate wave): 在某一波前上互为复数共轭的两列波 6
例 : 一列平面波, 传播方向平行于 - 面, 与 轴成倾角 θ, 求波前 = 面上的复振幅分布. 三个波矢分量 :k = ksinθ, k =, k = kcosθ U,, = Ae i(k sinθ+cosθ +φ ) 在波前 = 上 : r e U,, = Ae i(ksinθ+φ ) O k k(sine cos e ) ( ) k r ksin 7
上述平面波在波前上的共轭波 : U,, = Ae i(ksinθ+φ ) = Ae i(ksin θ φ ) - 平面内倾角 -θ 的平面波 8
例 : 轴上物点在此 = 平面上产生的复振幅分布 XOY 平面 XOY平面 发散的球面波 S(,, ) S O P(,,) Z P(,,) O S(,, ) S Z 汇聚的球面波 r ( ) ( ) ( ) 9
(,, ) 发出的球面波在 (,,) 平面的振动为 A A U (,,) e e r i( kr ) i( k ) (,,- ) 出发出的球面波在 (,,) 平面上的振动亦为 A i( kr ) A i( k ) U (,,) e e r 发散的球面波 S(,, ) S XOY 平面 P(,,) O Z 3
(,, ) 汇聚的球面波在 (,,) 平面的振动为 * A U (,,) e i( k ) (,,- ) 汇聚的球面波在 (,,) 平面上的振动亦为 * A U (,,) e XOY 平面 i( k ) 汇聚的球面波 P(,,) O S(,, ) S Z 31
例 3: 轴外物点在此 = 平面上产生的复振幅分布 XOY 平面 XOY 平面 S(,, ) S O P(,,) Z P(,,) O S(,, ) S Z r ( ) ( ) ( ) A U (,,) e ( ) ( ) i( k ( ) ( ) ) * A U (,,) e ( ) ( ) i( k ( ) ( ) ) 3
关于共轭波 不是在波场中处处共轭, 而仅仅是在波场中某一面 ( 通常是接收屏平面 ) 上点点共轭 平面波的共轭波, U A( P)ep[ ik( sin sin )] 1 ( 1, ) * U A P ik 1 ( )ep{ [ sin( ) sin( )]} (, ) 1 由于上述角度是波矢与平面间的夹角, 所以不能认为两列波的方向相反
在 = 平面上 U A( P)ep[ ik( sin sin )] 1 * U A P ik 1 如果 θ = ( )ep{ [ sin( ) sin( )]} U A( P)ep[ ik sin 1] * U A( P)ep[ ik sin( )] 1 1 1
] ) ( ) ( ) ( ep[ ~ ik r A U ] ) ( ) ( ) ( ep[ ~ * ik r A U ),, ( 球面波发出 ),, ( 汇聚从向
. 傍轴 (paraial) 条件和远场 (far field) 条件 ( 轴上物点 ) 接收屏上的振幅分布 AP ( ) a a 1 1 ( ) a O r r ' 近轴条件, 傍轴条件 ρ O' 在接收屏上, 振幅为常数 AP ( ) a ' 36
球面波的相位 ( P) kr k 满足傍轴条件时 如果 远场条件 k k 1 ( ) 忽略 4 k k k 3 6 k ( P) k 3 k 可忽略 k 相位为 ( P) k 可作为平面波处理 37
1. 两条件相互独立, 究竟哪个的限制更强于具体情况 ( 波长 ) 有关 在光波波段, 往往是远场条件蕴含傍轴条件. 当两条件同时满足时 : 即正入射的平面波 a U ( ', ') e ik 38
3. 傍轴条件和远场条件 ( 轴外物点 ) X 轴外物点 Q, 发出球面波 Q(, ) 到达接收屏上场点 P X O r r r P(, ) Y Y O P 39
4 ) ( ) ( r r r Q 到 O 的距离物点场点都满足近轴条件时, 有 r r
41 ) ( ) ( r r 1 ) ( ) ( r 或者 r r
屏上的复振幅为 a U ( ', ') ep[ ik( r )]ep[ k ] 振幅具有平面波的特点 远场条件为 物点 场点 a ep[ ik( r )]ep[ k ] / / 4
如果物点 Q 再满足远场条件的话, 有 a U ( ', ') ep[ ik( r )]ep[ k ] 或者, 如果场点 P 再满足远场条件的话, 有 U ( ', ') a ep[ ik( r )]ep[ k ] 振幅和相位都变为平面波 入射平面波的波矢为 cos sin 1 沿着 QO 方向 cos sin 傍轴条件 远场条件可看着球面波向平面波的转化 43
4. 高斯光束 (Gaussian beam) 光学谐振腔 (optical resonant cavit) 内能够稳定存在的一种光场, 其复振幅描述为 : A U (,, ) ep[ ]ep{ ik[ ] i ( )} 其中 : ( ) ( ) r( ) ( ) (1 ) 4 4 r( ) (1 ) ω : 束腰 (beam waist) 1/ 44
Gaussian beam Air beam Hermite-Gaussian mode Laguerre-Gaussian mode 调研报告 : 9. Gaussian beam and Air beam 1. Hermite-Gaussian mode and Laguerre-Gaussian mode 45
作业 : p.159-16: 1, 思考题 : 1 请举例说明无线电波和光波的异同之处 波动光学的傍轴条件和几何光学的傍轴条件相同吗? 请说明理由 46