賭 國 風 雲 黃 文 璋 1. 天 性 好 賭 ùö ùö 考 古 的 證 據 顯 示, 賭 博 的 歷 史 源 遠 流 長, 幾 乎 自 人 類 文 明 之 始 就 有 了 中 外 歷 史 小 說 及 電 影 裡, 也 常 有 賭 的 情 節, 賭 似 乎 是 與 生 活 分 不 開 的 賭 還 不 一 定 是 賭 錢 如 金 庸 (1996a) 射 鵰 英 雄 傳 中 ( 第 十 九 二 十 及 二 十 二 回 ), 愛 賭 的 老 頑 童 周 伯 通, 與 西 毒 歐 陽 鋒 賭 是 否 真 能 把 海 上 鯊 魚 盡 數 殲 滅, 一 時 輸 了, 只 好 遵 守 諾 言, 跳 到 海 裡 結 果 周 伯 通 後 來 找 到 一 隻 未 死 的 鯊 魚, 且 為 了 扳 回 勝 局, 與 那 隻 鯊 魚 在 大 海 中 共 存 了 好 一 些 日 子 另 外, 在 金 庸 (1996b) 天 龍 八 部 第 八 回 中, 黃 眉 僧 為 了 救 段 譽, 要 挑 戰 四 大 惡 人 之 首 的 段 延 慶 圍 棋, 又 為 了 爭 取 先 手, 要 段 延 慶 猜 他 七 十 歲 後, 兩 隻 腳 的 足 趾, 是 奇 或 偶? 連 這 個 也 可 以 賭, 真 是 匪 夷 所 思, 而 賭 注 是 下 棋 的 先 手 你 想 知 道 究 竟 誰 賭 贏 嗎? 結 局 也 很 奇 特, 建 議 讀 者 不 妨 去 查 看 原 書 宋 書 羊 玄 保 傳, 說 他 善 奕, 品 第 三, 太 祖 與 賭 郡, 戲 勝, 以 補 宣 城 太 守 下 圍 棋 贏 了 皇 帝 可 當 太 守, 這 種 賭 還 真 不 錯 有 趣 的 賭 尚 有 很 多 如 有 一 首 曲 名 為 瀟 灑 走 一 回 的 歌, 其 中 有 句 歌 詞 我 拿 青 春 賭 明 天 電 影 裡 不 論 是 以 賭 為 主 題, 或 有 賭 的 情 節, 更 是 不 勝 枚 舉 本 文 題 目 亦 為 一 部 電 影 的 片 名, 由 莎 朗 史 東 (Sharon Stone) 及 勞 勃 狄 尼 洛 (Robert De Niro) 主 演, 英 文 片 名 Casino(1995) 即 為 賭 場 的 代 名 美 國 有 兩 大 著 名 的 賭 城 其 一 在 西 部, 即 距 洛 杉 磯 (Los Angeles) 約 四 小 時 車 程 的 拉 斯 維 加 斯 (Las Vegas), 在 內 華 達 (Nevada) 州 其 二 在 東 部, 即 距 紐 約 (New York) 市 約 四 小 時 車 程 的 大 西 洋 城 (Atlantic City), 在 紐 澤 西 (New Jersey) 州 蘇 珊 莎 蘭 登 (Susan Sarandon) 與 畢 蘭 卡 斯 特 (Burt Lancaster) 兩 位 曾 主 演 一 部 片 名 就 叫 大 西 洋 城 (1980) 的 電 影, 當 然 是 以 該 城 為 背 景 另 外, 讓 尼 可 拉 斯 凱 吉 (Nicolas Cage) 獲 奧 斯 卡 金 像 獎 最 佳 男 主 角 (1995) 的 遠 離 賭 城 (Leaving Las Vegas), 那 個 賭 城 不 是 別 的, 就 是 拉 斯 維 加 斯 在 此 二 大 賭 城 的 吃 與 住 都 很 便 宜 許 多 賭 場 還 有 精 彩 的 45
46 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 表 演, 有 些 賭 場 還 每 小 時 發 遊 客 1 美 元, 可 連 發 7 小 時 一 個 目 的, 都 是 吸 引 遊 客 流 連 忘 返, 持 續 地 賭 開 賭 場 當 然 是 為 了 賺 錢, 利 用 機 率 來 設 計 出 一 些 讓 賭 場 立 於 不 敗 之 地 的 賭 戲 至 於 若 你 具 備 特 異 功 能, 賭 場 卻 不 會 有 好 的 風 度 如 在 雨 人 (Rain Man) 那 部 奧 斯 卡 金 像 獎 最 佳 影 片 (1988) 中, 達 斯 汀 霍 夫 曼 (Dustin Hoffman, 這 部 電 影 也 讓 他 贏 得 奧 斯 卡 金 像 獎 最 佳 男 主 角 ) 演 一 位 患 有 自 閉 症 但 很 會 記 牌 的 人, 與 演 他 弟 弟 的 湯 姆 克 魯 斯 (Tom Cruise), 聯 手 玩 二 十 一 點 ( 即 Blackjack), ( 合 法 地 ) 贏 了 八 萬 多 美 元, 賭 場 便 請 他 們 離 開, 不 准 他 們 再 玩 了 除 了 那 些 聲 光 十 色 的 賭 場, 我 們 周 圍 隨 時 都 有 各 種 賭 在 進 行 如 合 法 發 行 的 各 種 彩 券 樂 透 獎 (lottery) 賽 馬 運 動 比 賽 場 外 下 注 等 至 於 地 下 賭 場, 及 種 種 小 規 模 的 賭 更 是 不 知 有 多 少, 好 賭 是 人 的 天 性 每 個 人 都 希 望 能 一 夜 致 富 ( 民 國 88 年 7 月 3 日 中 國 時 報 第 13 版 指 出, 威 力 球 彩 券 由 於 獎 金 超 高 而 吸 引 大 批 民 眾 購 買, 其 歷 年 來 最 高 獎 額 是 西 元 1998 年 開 出 的 兩 億 九 千 五 百 七 十 萬 美 元 ) 平 生 著 作 極 多, 筆 名 牛 哥 的 李 費 蒙, 其 第 一 部 作 品, 書 名 就 叫 賭 國 仇 城 十 賭 九 輸, 賭 為 萬 惡 之 源, 我 們 完 全 支 持 少 賭 為 妙 南 方 朔 (1999) 一 文 對 賭 博 在 中 國 的 歷 史, 做 了 很 好 的 回 顧 在 論 語 陽 貨 篇, 子 曰 飽 食 終 日, 無 所 用 心, 難 矣 哉! 不 有 博 奕 者 乎? 為 之 猶 賢 乎 已! 又 在 孟 子 離 婁 篇 下, 孟 子 曰 世 俗 所 謂 不 孝 者 五 : 惰 其 四 肢, 不 顧 父 母 之 養, 一 不 孝 也 ; 博 奕, 好 飲 酒, 不 顧 父 母 之 養, 二 不 孝 也 ; 博 是 一 種 兩 人 對 局 的 勝 負 遊 戲, 奕 即 圍 棋 遊 戲 裡 要 加 上 彩 金 才 夠 刺 激 因 此 博 奕 不 被 視 為 正 途 孔 子 時 代 尚 以 為 博 奕 雖 不 好, 但 比 飽 食 終 日 無 所 用 心 者 好 些, 孟 子 時 代 就 視 博 奕 為 不 孝 的 一 種 到 東 漢 末 年, 韋 曜 寫 過 一 篇 戒 博 奕 論, 勸 世 人 不 要 玩 博 奕 可 見 很 早 以 前 博 奕 已 成 為 賭 博 之 同 義 詞, 且 被 認 為 是 一 該 戒 掉 的 遊 戲 民 國 88 年 6 月 15 日, 立 法 院 審 查 公 益 彩 券 發 行 條 例, 結 果 挾 帶 過 關 所 謂 博 奕 條 款, 即 為 舉 辦 國 際 認 可 的 競 技 活 動, 得 申 請 主 管 機 關 核 准 發 行 特 種 公 益 彩 券, 舉 國 譁 然 既 然 少 賭 為 妙, 那 為 什 麼 還 要 討 論 賭 呢? 此 一 方 面 為 了 獲 知 贏 的 策 略, 賭 戲 在 機 率 論 早 期 的 發 展 中, 曾 扮 演 重 要 角 色 以 今 日 而 言, 了 解 賭 局 輸 贏 的 機 率, 當 有 助 於 為 少 賭 找 到 理 論 依 據 另 一 方 面, 賭 與 冒 險 關 係 密 切 具 冒 險 性 格 的 人, 天 生 多 半 有 好 賭 的 基 因 人 類 文 明 的 進 步, 當 然 有 賴 多 數 孜 孜 不 倦, 腳 踏 實 地 的 人 但 少 數 冒 險 家, 一 旦 成 功, 常 可 大 幅 提 昇 文 明 的 進 步 歷 史 上 張 騫 通 西 域, 哥 倫 布 (Columbus, 1451-1506) 發 現 美 洲, 愛 迪 生 (Edison, 1847-1931) 的 致 力 於 發 明, 都 屬 頗 有 冒 險 精 神 者 即 使 不 見 得 志 在 提 昇 人 類 文 明, 社 會 上 仍 可 接 受 一 些 願 意 冒 險 對 自 我 挑 戰 的 人, 如 攀 登 喜 馬 拉 雅 山 之 類 的 在 他 們 冒 險 前, 算 算 成 功 機 率, 將 可 做 為 要 花 多 大 功 夫 以 事 先 準 備 的 參 考 許 信 良 脫 離 民 進 黨 以 選 總 統, 有 人 說 他 是 天 生 的 賭 徒, 此 次 的 豪 賭, 賭 注 是 自 己 的 政 治 前 途 旁 人 也 許 覺 得 不 值, 但 對 許 信 良 來 說, 他 必 是 覺 得 划 得 來 所 以 即 使 是 少 賭, 但 了 解 賭 的 內 涵, 對 我 們 做 各 種 決 策, 將 為 一 重 要 的 依 據
賭 國 風 雲 47 附 帶 一 提, 在 舊 約 聖 經 出 埃 及 記 第 二 十 章, 載 有 十 誡 在 諸 多 不 可 的 規 定 中, 卻 無 不 可 賭 博 事 實 上 聖 經 裡 有 不 少 拈 鬮 的 事 蹟 如 在 利 未 記 第 十 六 章, 為 那 兩 隻 羊 拈 鬮, 一 鬮 歸 與 耶 和 華, 一 鬮 歸 與 阿 撒 瀉 勒 即 使 是 獻 給 上 帝 的 羊, 也 並 非 挑 較 肥 大 者, 而 是 拈 鬮, 讓 上 帝 也 碰 運 氣 又 在 民 數 記 第 二 十 六 章, 耶 和 華 曉 諭 摩 西 說..., 還 要 拈 鬮 分 地 連 上 帝 都 提 議 拈 鬮 至 於 耶 穌 被 釘 死 在 十 字 架 上 後, 兵 丁 也 是 以 拈 鬮 來 分 他 的 裡 衣 ( 見 新 約 聖 經 約 翰 福 音 第 十 九 章 ) 在 英 文 裡 鬮 為 lot, 如 果 查 大 英 百 科 全 書 (Encyclopedia Britannica, 1984), 在 Lottery 項 下 有 : History of lotteries. The practice of determining the distribution of property by lot is traceable to ancient times. Dozens of references can be found in the Bible to the practice. In one example from the Old Testament (Num. 26:55-56), God instructed Moses to take a census of the people of Israel and to divide the land among them by lot. 拈 鬮 (lot) 就 發 展 成 今 日 的 樂 透 獎 (lottery) 通 過 抽 籤 搖 彩, 憑 機 會 以 分 配 獎 金, 自 西 元 1530 年 義 大 利 的 佛 羅 倫 斯 (Florence) 設 立 第 一 個 公 開 發 行 彩 券 的 機 構, 今 日 樂 透 獎 以 各 種 不 同 的 方 式, 風 行 於 世 界 許 多 國 家 又 gamble( 賭 博 ) 是 由 game( 遊 戲 比 賽 ) 演 變 來 的 所 以 對 gamble 似 也 不 須 太 排 斥, 不 妨 當 作 賭 戲 只 要 不 著 迷, 賭 不 過 是 一 種 遊 戲, 一 充 滿 樂 趣 的 遊 戲 至 於 casino 則 起 源 於 casa, 為 渡 假 娛 樂 小 屋 2. 致 勝 策 略 在 面 臨 各 種 挑 戰 時, 致 勝 策 略 是 大 家 所 追 求 的 有 人 認 為 退 此 一 步 即 無 死 所, 有 人 認 為 退 一 步 海 闊 天 空 到 底 該 不 該 退, 要 視 不 同 的 情 況 而 定, 大 原 則 是 要 致 勝, 而 非 堅 持 到 底 退 還 是 進 在 天 龍 八 部 中, 那 困 住 多 少 圍 棋 高 手 的 珍 瓏 棋 局 是 如 何 被 解 出 的? 乃 是 由 棋 藝 低 淺 的 虛 竹, 閉 了 眼 睛, 亂 下 一 子, 殺 了 自 己 的 一 大 塊 白 棋 後, 而 天 地 一 寬, 終 於 破 解 ( 見 三 十 一 回 ) 任 何 人 所 想 的, 總 是 如 何 脫 困 求 生, 從 沒 有 人 故 意 往 死 路 上 去 想 但 結 果 死 路 卻 導 致 豁 然 開 朗, 終 於 勝 利 要 致 勝, 便 不 能 拘 泥 於 某 種 形 式, 所 謂 隨 機 應 變 是 也 又 有 些 賽 局 並 無 必 勝 策 略, 此 時 致 勝 策 略 便 是 尋 求 最 大 的 獲 勝 機 率 我 們 先 給 兩 個 簡 單 的 例 子 讀 者 在 看 解 答 之 前, 不 妨 直 觀 上 先 猜 測 答 案 究 竟 為 何? 例 1. 在 越 戰 獵 鹿 人 (The Deer Hunter, 1978) 那 部 電 影 裡, 有 一 描 述 虐 待 戰 俘 的 方 法 在 一 可 裝 6 發 子 彈 的 左 輪 手 槍 (revolver) 裡, 只 放 一 顆 子 彈, 隨 機 地 一 轉 後, 要 二 戰 俘 輪 流 用 手 槍 向 自 己 的 頭 部 發 射, 直 到 有 一 名 戰 俘 中 槍, 另 一 名 戰 俘 才 逃 過 一 劫 這 就 是 所 謂 俄 羅 斯 輪 盤 (Russian roulette) 的 遊 戲 你 認 為 先 發 射 者 是 否 較 不 利 呢? 解 : 事 實 上 若 子 彈 的 位 置 在 1, 3, 5, 則 先 發 射 者 會 死 亡, 若 子 彈 在 2, 4, 6 的 位 置, 則 後 發 射 者 會 死 亡 子 彈 一 放 定 後, 就 確 定 了 何 者 會 死 亡 而 放 在 1, 3, 5 及 2, 4, 6 的 位 置 之 機 率 各 為 1/2 所 以 先 發 射 或 後 發 射, 死 亡 的 機 率 皆 為 1/2
48 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 此 問 題 尚 有 不 少 推 廣, 可 參 考 Sandell (1997) 例 2. A, B 二 人 組 一 隊 與 C 下 棋 賽 法 如 下 : A, B 輪 流 與 C 下, 若 在 三 局 中 C 連 勝 二 局, 則 C 贏, 否 則 C 輸, 但 C 可 挑 選 先 與 A 下 或 先 與 B 下 若 已 知 A 的 棋 技 較 B 為 佳, C 該 如 何 選 擇 呢? 解 : 乍 看 之 下, C 若 先 與 B 下, 則 與 A 只 要 下 一 局, 似 乎 較 有 利 另 一 方 面 由 於 要 連 勝 兩 局, 第 二 局 非 勝 不 可, 故 似 乎 又 該 選 擇 與 B 下 第 二 局, 因 此 先 與 A 下 似 乎 較 有 利, 我 們 來 推 導 看 看 設 C 勝 A 的 機 率 為 a, 勝 B 的 機 率 為 b, 且 設 a < b C 要 連 勝 兩 局, 則 必 須 是 勝 勝 勝, 勝 勝 敗, 或 敗 勝 勝 故 先 與 A 下, 贏 的 機 率 為 aba + ab(1 a) + (1 a)ba = ab(1 a) 若 先 與 B 下, 贏 的 機 率 為 bab+ba(1 b)+(1 b)ab = ab(2 b) 而 因 a < b, 故 先 與 A 下 贏 的 機 率 較 大 底 下 為 一 尋 找 最 佳 策 略 的 例 子 ( 取 自 Rawsthorne(1989)) 由 此 例 可 看 出, 所 謂 最 佳 往 往 須 先 做 些 限 制, 否 則 是 不 會 存 在 最 佳 策 略 的 例 3. 有 一 賭 徒, 身 上 一 文 不 名 賭 場 老 闆 好 心 地 讓 他 玩 100 回 每 回 他 可 選 擇 下 述 二 賭 法 之 一 : (1) 無 條 件 地 獲 得 1 元, (2) 先 取 一 整 數 n 2, 然 後 有 2/(n + 1) 之 機 率 獲 得 n 元, 有 (n 1)/(n+1) 之 機 率 失 去 1 元 選 擇 賭 法 (2) 之 先 決 條 件 是 他 身 上 至 少 要 有 1 元 若 此 賭 徒 希 望 玩 100 回 後, 可 獲 得 至 少 200 元, 則 其 最 佳 策 略 ( 即 達 到 目 的 的 機 率 要 最 大 ) 為 何? 並 問 對 採 用 該 策 略, 其 成 功 之 機 率 為 何? 解 : 首 先 看 賭 徒 若 每 次 皆 採 賭 法 (1), 則 可 穩 獲 100 元, 但 他 顯 然 並 不 滿 意 不 論 採 賭 法 (1) 或 賭 法 (2), 每 次 之 期 望 值 皆 為 1 元 (n 2/(n + 1) 1 (n 1)/(n + 1) = 1) 玩 100 次 後 之 所 得, 以 W 元 表 之, 則 W 之 期 望 值 為 100 賭 徒 是 想 得 到 至 少 是 期 望 值 二 倍 的 錢 才 滿 足, 野 心 不 小 賭 徒 可 採 如 下 策 略 : 在 奇 數 回 採 賭 法 (1), 在 偶 數 回 ( 如 第 k 次 ) 採 賭 法 (2), 並 取 n = 99 + k 繼 續 採 此 策 略, 直 到 一 旦 贏 一 偶 數 回, 自 此 起 便 皆 採 賭 法 (1) 可 看 出 只 要 贏 一 偶 數 回, 則 100 回 後 之 總 所 得 恰 為 200 元, 但 若 一 次 偶 數 回 皆 未 贏, 則 最 後 之 總 所 得 為 0 元 而 50 次 偶 數 回 皆 輸 的 機 率 為 100 102 102 104 196 198 198 200 = 100 200 = 1 2. 故 採 用 此 策 略, 有 1/2 之 機 率, W = 200, 有 1/2 之 機 率 W = 0 ( 期 望 值 仍 為 100) 因 不 論 採 用 那 一 策 略, W 0 必 成 立 ( 為 什 麼?), 且 E(W) = 100 必 成 立, 故 W 200 之 機 率 不 可 能 超 過 1/2, 否 則 E(W) > 100 故 W 200 之 機 率 要 等 於 1/2, 唯 一 的 可 能 是 W = 200 及 W = 0 之 機 率 各 為 1/2 讀 者 不 難 理 解, 若 欲 望 增 大 ( 將 200 元 的 底 限 提 高 ), 則 達 到 目 的 之 機 率 必 然 降 低, 因 所 得 之 期 望 值 總 是 維 持 100 元 在 Rawsthorne (1989) 一 文 中, 亦 如 下 證 明 前 述 策 略 為 唯 一 的 最 佳 策 略 可 惜 其 證 明 有 誤 在 習 題 中, 我 們 會 讓 讀 者 以 較 少 的
賭 國 風 雲 49 回 數, 來 了 解 最 佳 策 略 是 不 唯 一 的 底 下 為 了 簡 潔, 將 元 皆 略 去 因 已 指 出 W = 200 或 W = 0 為 最 佳 策 略 下, 唯 一 可 能 的 結 局, 故 99 回 結 束 後, 累 積 所 得 必 為 1 或 199, 且 在 第 100 回, 賭 徒 必 須 分 別 選 賭 法 (2) 且 n = 199, 或 賭 法 (1) 若 1 與 199 為 99 回 結 束 後, 僅 可 能 的 累 積 所 得, 則 98 回 結 束 後, 累 積 所 得 必 為 0 或 198, 且 在 第 99 回, 賭 徒 須 選 賭 法 (1) 一 般 而 言, 若 0 與 100+k 為 第 k 回 結 束 後, 僅 可 能 的 累 積 所 得, 且 k 為 偶 數, 則 在 此 回 之 前 的 累 積 所 得, 必 須 是 1 或 99 + k, 且 在 第 k 回 賭 徒 須 分 別 選 賭 法 (2) 且 n = 99 + k 或 賭 法 (1) 同 理, 若 1 與 100 + k 為 第 k 回 結 束 後, 僅 可 能 的 累 積 所 得, 且 k 為 奇 數, 則 在 此 回 之 前 的 累 積 所 得, 必 須 是 0 或 99+k, 且 在 第 k 回 賭 徒 須 選 賭 法 (1) 即 得 證 前 述 策 略 之 唯 一 性 奮 勇 爭 先 不 一 定 都 是 好 的, 有 時 不 妨 讓 一 步, 見 下 例 例 4. 設 有 A, B, C 三 人 決 鬥, 每 人 每 次 可 發 射 一 槍, 由 於 A 的 技 術 最 差, 讓 A 先 發 射, B 的 技 術 次 之, 因 此 B 第 二 位 發 射 C 則 為 一 死 亡 射 手, 命 中 率 百 分 之 百, 他 第 三 位 發 射 如 此 依 序 發 射, 直 至 只 餘 一 人 存 活 每 次 輪 到 某 位 發 射, 他 可 選 擇 向 一 位 對 手 開 槍, 或 對 空 發 射 ( 因 此 不 會 傷 及 任 何 人 ) 死 亡 射 手 則 不 允 許 對 空 發 射 問 A 之 最 佳 策 略 為 何? 解 : 令 A, B, C 三 人 每 次 發 射 射 中 ( 假 設 射 中 後 便 令 對 手 致 命 ) 對 手 之 機 率 分 別 為 p 1, p 2 及 1, 0 < p 1 < p 2 < 1 A 先 發 射, 可 選 擇 對 空 對 C, 或 對 B 發 射 等 三 種 策 略 底 下 我 們 分 別 計 算 在 三 種 策 略 下, A 獲 勝 之 機 率 ( 一 ) 對 空 發 射 我 們 列 出 使 A 贏 之 各 可 能 的 後 續 如 下 : (i) B 射 中 C, A 射 中 B (ii) B 射 中 C, A 未 射 中 B, B 未 射 中 A 循 環 r 次 (r 1), A 射 中 B (iii) B 未 射 中 C, C 射 中 B, A 射 中 C 令 P 1 表 若 採 策 略 ( 一 ), A 贏 之 機 率 則 P 1 =p 2 p 1 + p 2 ((1 p 1 )(1 p 2 )) r p 1 r=1 +(1 p 2 )p 1 =p 1 + p 1p 2 (1 p 1 )(1 p 2 ) 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) = p 1(1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 ). 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) ( 二 ) A 射 向 C 採 用 此 策 略, 在 A 射 出 後, 有 兩 種 使 A 贏 之 可 能 性 其 一 為 A 未 射 中 C, 則 此 後 便 如 同 ( 一 ) 之 發 展 其 二 為 A 射 中 C, 則 後 續 之 發 展 為 : B 未 射 中 A, A 未 射 中 B, B 未 射 中 A 循 環 r 次 (r 0), A 射 中 B 令 P 2 表 採 策 略 ( 二 ), A 贏 之 機 率 則 P 2 =(1 p 1 )P(A 贏 A 第 一 發 未 射 中 ) + p 1 (1 p 2 )((1 p 1 ) r=0 (1 p 2 )) r p 1 =(1 p 1 ) p 1(1 (1 p 1 )(1 p 1 ) 2 ) 1 (1 p 1 )(1 p 2 )
50 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 p 2 1 + (1 p 2) 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) = p 1(1 p 1 )(1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 ) 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) p 2 1 + (1 p 2) 1 (1 p 1 )(1 p 2 ). ( 三 ) A 射 向 B 在 A 射 出 後 有 兩 種 可 能 性 其 一 為 A 射 中 B, 則 A 隨 即 被 C 射 中, 因 此 A 不 可 能 贏 其 二 為 A 未 射 中 B, 則 A 要 贏, 此 後 便 如 同 ( 一 ) 之 發 展 令 P 3 表 採 策 略 ( 三 ), A 贏 之 機 率 則 P 3 = (1 p 1 )P(A 贏 A 第 一 發 未 射 中 ) = (1 p 1 )P 1. 因 1 p 1 < 1, 故 不 論 p 1, p 2 之 值 為 何, 策 略 ( 三 ) 劣 於 策 略 ( 一 ) 所 以 A 不 可 能 採 取 策 略 ( 三 ) 而 策 略 ( 一 ) 與 策 略 ( 二 ) 何 者 較 佳, 就 看 P 1 與 P 2 何 者 較 大 而 P 1 P 2 = p2 1 (p 2 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 ). 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 故 P 1 > P 2, 若 且 唯 若 p 2 > (1 p 1 )(1 p 2 ) 2. (1) 因 1 p 1 < 1, 經 由 解 p 2 > (1 p 2 ) 2, 得 不 論 p 1 之 值 為 何, 當 p 2 > (3 5)/2. = 0.382, 則 A 採 策 略 ( 一 ) 較 好 而 因 1 p 1 > 1 p 2, 經 由 解 p 2 < (1 p 2 ) 3, 得 p 2 約 小 於 0.318 時, A 採 策 略 ( 二 ) 較 好 可 以 這 麼 講, 當 p 2 較 大 時, A 放 棄 先 手, 讓 B 先 解 決 C, 再 與 B 拼 命 但 若 p 2 較 小, 則 C 不 易 被 B 射 中, 此 時 A 要 協 助 B 先 對 付 C 至 於 0.318 < p 2 < 0.382 ( 這 是 一 不 太 大 的 區 間 ) 時 就 要 檢 驗 (1) 式 是 否 成 立, 以 決 定 是 否 採 策 略 ( 一 ) 在 歷 史 上, 當 三 國 鼎 立, 且 是 一 弱 二 強 時, 最 弱 者 通 常 是 慫 恿 次 強 者 挑 釁 最 強 者, 而 最 弱 者 最 好 是 先 袖 手 旁 觀, 待 次 強 者 打 敗 最 強 者 後, 最 弱 者 再 與 次 強 者 一 拼 ; 若 是 二 弱 一 強, 那 二 弱 就 要 先 聯 手 打 強 者, 最 弱 者 此 時 絕 不 能 置 身 事 外, 否 則 次 弱 者 被 最 強 者 消 滅 後, 最 弱 者 立 即 不 保 這 是 最 弱 者 在 夾 縫 中 生 存 之 道 前 述 決 鬥 問 題 還 可 做 不 同 的 假 設, 可 參 考 Gardner (1972/73) 3. 破 產 問 題 賭 博 雖 帶 給 人 們 很 大 的 娛 樂 效 果, 如 果 賭 到 破 產 則 是 一 件 令 人 傷 感 的 事 本 節 我 們 來 看 幾 個 跟 破 產 有 關 的 問 題 底 下 考 慮 一 賭 博 的 模 式 在 隨 機 過 程 (Stochastic processes) 裡 的 馬 可 夫 過 程 (Markov processes) 中, 常 稱 此 為 古 典 破 產 問 題 (classical ruin problem), 也 屬 於 隨 機 漫 步 (random walk) 中 的 問 題 設 每 次 之 賭 注 為 1 元, 贏 與 輸 之 機 率 分 別 為 p 及 q, p+q = 1 又 設 一 開 始 有 r 元, 0 r n, 若 全 輸 光 或 賭 資 達 到 n 元 便 停 止 不 玩 了 我 們 假 設 ( 證 明 見 黃 文 璋 (1995) 第 二 章 ) 最 後 必 定 是 輸 光 或 達 到 n 元 令 u r 表 輸 光 ( 即 破 產 ) 之 機 率, v r = 1 u r 則 表 達 到 目 標 之 機 率, n = 則 表 賭 博 之 對 手 ( 如 莊 家 ) 有 無 限 的 資 金 則 由 假 設 可 得 下 述
賭 國 風 雲 51 方 程 組 : u 1 = q + pu 2, (2) u i = qu i 1 + pu i+1, 2 i n 2, u n 1 = qu n 2. 而 u 0 = 1, u n = 0 為 二 邊 界 條 件 (2) 為 一 差 分 方 程 組 (difference equations), 若 p q, 可 如 下 求 解 先 將 (2) 改 寫 為 u i u i 1 = q p (u i 1 u i 2 ), i=2, 3,..., n. (3) 再 將 (3) 式 由 i = 2 至 i = j, 左 右 分 別 乘 起 來 並 消 去 共 同 項 得 u j u j 1 = ( q p )j 1 (u 1 1), j =1, 2,..., n. (4) 將 (4) 式 由 j = 1 至 j = r, 左 右 分 別 相 加 得 u r 1= 1 (q p )r 1 q (u 1 1), r=1, 2,..., n. p (5) 利 用 u n = 0, 由 上 式 可 得 u 1 1 = (1 q/p)(1 (q/p) n ) 1, 代 入 (5) 式 即 求 出 p q 時 u r = (q/p)n (q/p) r, r=1, 2,..., n 1. (q/p) n 1 (6) 若 p = q, (4) 式 成 為 u j u j 1 =u 1 1, j =1, 2,..., n. (7) 由 此 得 u r 1=r(u 1 1), r=1, 2,..., n. (8) 利 用 u n = 0, 解 出 當 p = q 時, u r = n r, r=1, 2,..., n 1. (9) n 至 於 v r, 由 u r + v r = 1 立 即 可 求 出 來 另 外, 若 n =, 則 u r 之 解 為 1, 若 q p, u r = (q/p) r, 若 q < p. (10) 若 p = q, 由 v r = 1 u r = r/n, 可 知 若 一 賭 徒 帶 了 r = 999 元 去 賭, 則 有 0.999 之 機 率 在 輸 光 全 部 錢 之 前 贏 得 1 元 若 p = 0.4, q = 0.6, 此 賭 局 雖 對 賭 徒 不 利, 但 此 時 在 輸 光 全 部 錢 之 前 贏 得 1 元 之 機 率 近 似 2/3: 1 (3/2)1,000 (3/2) 999 (3/2) 1,000 1 = 1 ( 3 2 1) (3/2) 999 (3/2) 1,000 1. = 1 ( 3 2 1) 1 3/2 = 2 3. 一 般 而 言, 一 賭 徒 若 一 開 始 之 賭 資 r 夠 大, 則 在 破 產 前 要 贏 到 一 不 算 大 的 錢 n r 之 機 率 並 不 小 稍 後 我 們 會 做 一 些 比 較, 底 下 先 看 一 有 趣 的 例 子 某 人 每 年 都 去 一 趟 摩 納 哥 (Monaco, 位 於 法 國 東 南 海 岸 之 一 小 國 ) 的 蒙 地 卡 羅 (Monte Carlo, 俗 稱 賭 城 ) 渡 假 幾 天, 當 然 賭 是 免 不 了 的 幾 年 下 來 他 總 是 可 贏 到 足 夠 的 錢 來 支 付 旅 費 及 一 切 開 銷, 個 中 原 因 他 無 法 猜 透, 以 為 冥 冥 中 有 股 奇 妙 的 力 量 在 幫 他 事 實 上 此 並 非 一 太 令 人 驚 訝 的 現 象 假 設 p = q = 1/2, 且 他 帶 的 錢 約 為 旅 費 的 9 倍, 則 每 年 在 破 產 前 要 贏 到 旅 費 的 機 率 約 為 9/10 連
52 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 續 10 年 要 贏 到 旅 費 之 機 率 為 (9/10) 10, 此 值 約 為 0.3486 並 不 算 太 小 而 且 因 每 年 達 到 目 標 的 機 率 9/10 很 大, 若 偶 爾 那 一 年 沒 達 到 目 標, 可 能 會 只 當 做 運 氣 不 好, 而 不 會 太 在 意 (10 年 中 至 少 贏 9 次 的 機 率 約 為 0.7361) 要 知 通 常 人 們 有 了 先 入 為 主 的 印 象 後, 往 往 找 證 據 支 持 該 印 象, 而 有 意 無 意 地 忽 略 對 該 印 象 不 利 的 證 據 由 上 述 討 論 知, 富 者 要 愈 富 是 較 容 易 的 只 是 通 常 少 有 人 覺 得 自 己 已 是 富 者, 儘 管 資 金 充 裕 (r 不 小 ), 但 由 於 野 心 也 很 大 (n 更 大 ), 因 此 破 產 的 可 能 性 未 能 減 小 我 們 再 看 若 改 變 賭 注 的 大 小 會 如 何? 若 將 每 次 賭 注 1 元 改 為 每 次 1/2 元, 此 與 一 開 始 有 2r 元, 輸 光 或 贏 至 2n 元 便 停 止, p 及 q 維 持 不 變, 是 等 價 的 則 破 產 的 機 率 u r 為 ( 利 用 (6) 及 (9)) u r = (q/p) 2n (q/p) 2r (q/p) 2n 1 = u r (q/p) n +(q/p) r (q/p) n +1 > u r, 若 q > p, < u r, 若 q < p, u r, 若 q = p. (11) 即 若 p = q, 改 變 賭 注 不 影 響 破 產 之 機 率 ; 若 q > p, 賭 注 減 半 破 產 機 率 變 大 ; 若 q < p, 賭 注 減 半 破 產 之 機 率 變 小 賭 注 若 加 倍 情 形 則 反 過 來 一 般 而 言, 在 r 與 n 不 變 之 下, 若 賭 局 對 賭 徒 有 利 (p > q), 則 賭 注 愈 小 對 賭 徒 愈 有 利, 反 之 若 賭 局 對 賭 徒 不 利 (p < q), 則 賭 注 愈 大 對 賭 徒 愈 有 利 例 如, 由 表 1 ( 此 表 取 自 Feller (1968) p.347), 可 看 出 設 p = 0.45 < q = 0.55, 且 r = 90, n = 100, 若 每 次 賭 1 元, 則 破 產 機 率 約 為 0.866; 若 每 次 賭 10 元 ( 等 價 於 r = 9, n = 10), 則 破 產 機 率 降 至 約 0.210 此 現 象 可 解 釋 歷 史 上, 兩 軍 作 戰 時, 居 劣 勢 的 一 方 往 往 採 孤 注 一 擲 的 策 略, 要 與 對 方 拼 命, 而 居 優 勢 的 一 方 則 往 往 是 用 蠶 食 的 方 法 在 史 記 項 羽 本 記 裡, 楚 漢 久 相 持 未 決, 項 王 謂 漢 王 ( 劉 邦 ) 曰 天 下 匈 匈 數 歲 者, 徒 以 吾 兩 人 耳, 願 與 漢 王 挑 戰 決 雌 雄, 毋 徒 苦 天 下 之 民 父 子 為 也 漢 王 笑 謝 曰 吾 寧 鬥 智 不 能 鬥 力 其 時 項 羽 已 漸 居 下 風, 劉 邦 是 不 會 願 意 與 其 決 死 戰 的 p q r n u r D r 0.5 0.5 9 10 0.1 9 0.5 0.5 90 100 0.1 900 0.5 0.5 900 1,000 0.1 90,000 0.5 0.5 950 1,000 0.05 47,500 0.5 0.5 8, 000 10,000 0.2 16,000,000 0.45 0.55 9 10 0.210 11 0.45 0.55 90 100 0.866 765.6 0.45 0.55 99 100 0.182 171.8 0.4 0.6 90 100 0.983 441.3 0.4 0.6 99 100 0.333 161.7 表 1. 在 不 同 p, q, r, n 下 之 破 產 機 率 當 天 下 大 亂, 群 雄 並 起, 逐 鹿 中 原, 其 中 卻 只 有 一 能 成 而 為 王, 其 餘 皆 敗 而 為 寇 此 時 須 得 設 法 減 小 為 寇 ( 破 產 ) 的 機 率 我 們 也 可 以 選 舉 來 說 明 佔 優 勢 的 政 黨, 往 往 易 在 小 選 區 中 獲 勝 ( 如 村 里 ), 小 政 黨 在 小 選 區 是 難 有 機 會 的 但 在 大 選 區 中 ( 如 縣 市, 甚 至 全 國 ), 小 政 黨 有 時 就 有 機 會 獲 勝 了 讀 者 不 妨 想 想 台 灣 的 選 舉 現 況 除 了 破 產 及 贏 錢 的 機 率, 我 們 對 一 賽 局 會 持 續 多 久 之 期 望 值 也 很 有 興 趣 也 就 是 我 們 想 知 道 平 均 可 玩 多 少 次? 令 A r 表 一 開 始 有 r 元, 至 此 賽 局 結 束 所 需 玩 之 次 數 則 D r = E(A r ) 為 有 限 ( 證 明 見 Feller (1968)
賭 國 風 雲 53 Chapter XIV.4), 並 滿 足 下 述 非 齊 性 差 分 方 程 式 D r =q(d r 1 +1)+p(D r+1 +1) =qd r 1 +pd r+1 +1, 1 r n 1, (12) 且 有 邊 界 值 D 0 = D n = 0. (13) 其 解 為 先 找 出 齊 性 方 程 式 的 解, 再 找 一 特 別 解, 兩 者 相 加 要 滿 足 邊 界 值 計 算 過 程 省 去 了, 解 為 r D r = n (q/p) r 1, p q, q p q p (q/p) n 1 r(n r), p = q. (14) 此 期 望 值 較 我 們 想 像 中 的 大 例 如, 若 某 人 有 r = 1 元, 而 n = 1, 000, 且 p = q, 則 D 1 = 999, 雖 破 產 機 率 高 達 0.999, 但 在 破 產 前, 卻 可 玩 不 少 次 其 他 例 子 見 表 1 另 外 lim D, 若 q p, r = n r, 若 q > p. q p (15) 輪 盤 賭 (roulette) 流 行 於 賭 場 中 的 歷 史 已 很 久 Isaac (1995) p.57 對 它 如 下 地 描 述 : Roulette is perhaps the most glamorous and romantic of casino games. 在 美 國 此 遊 戲 大 致 是 這 樣 子 : 在 一 輪 盤 上 有 38 格, 其 中 有 36 格 為 數 字 1 至 36 (18 個 紅 色 18 個 黑 色 ), 另 外 兩 格 為 綠 色, 一 個 為 0, 一 個 為 00 主 持 人 轉 動 輪 子, 凹 槽 裡 的 球 也 跟 著 轉 動, 最 後 停 在 某 一 格 有 各 種 賭 法, 如 賭 紅 色 或 黑 色, 奇 數 或 偶 數, 某 一 數 字, 或 某 一 群 數 字 ( 如 1-18, 19-36, 1-12, 13-24, 25-36 等 ) 獲 勝 的 期 望 值 很 容 易 求, 如 P( 紅 )=P( 黑 )=P( 奇 數 )=P( 偶 數 ). = 0.47368, = 18 38 P(1) = 1 38. = 0.02631. 賭 紅 黑 奇 偶 之 賠 率 皆 為 1 賠 1, 賭 任 一 數 字 之 賠 率 為 35 賠 1 莊 家 贏 就 是 靠 0 及 00 二 格 如 果 賭 注 是 1 元, 賭 紅 色 之 期 望 淨 所 得 為 1 18 38 1 20 38 = 2 38 賭 任 一 數 字 之 期 望 淨 所 得 為 35 二 者 相 同 1 38 1 37 38 = 2 38. = 0.05263,. = 0.05263, 有 經 驗 的 賭 徒 在 下 賭 之 前, 常 會 先 在 場 邊 觀 察 一 陣 子 如 果 連 續 好 多 回 黑 色 都 未 出 現, 由 於 好 賭 者 多 半 也 懂 點 機 率, 則 依 據 大 數 法 則 (Law of Large Numbers), 他 認 為 黑 色 應 會 快 出 現 了, 於 是 押 了 一 大 筆 錢 在 黑 色, 結 果 黑 色 仍 未 出 現 不 服 氣 再 押 黑 色, 仍 輸 了 事 實 上 每 次 的 旋 轉 為 獨 立, 輪 盤 並 無 記 憶 大 數 法 則 只 是 說, 如 果 轉 動 的 次 數 夠 多, 黑 色 出 現 的 相 對 頻 率 接 近 18/38 的 機 率 很 大 所 以 我 們 確 知 黑 色 總 是 會 出 現 的, 但 大 數 法 則 並 未 告 訴 我 們 何 時 黑 色 會 出 現, 當 然 更 沒 告 訴 我 們 下 一 次 的 旋 轉, 黑 色 是 否 較 易 出 現 誤 解 機 率 的 含 義 是 破 產 的 開 始 設 以 X 1, X 2,...,X n 分 別 表 各 次 之 淨 所 得, 且 以
54 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 S n = X 1 + X 2 + + X n 表 至 第 n 次 之 累 積 淨 所 得 大 數 法 則 指 出 當 n 很 大 時, S n 接 近 2 的 機 率 很 接 近 1. n 38 由 此 可 看 出, 當 n 很 大 時, S n 不 但 是 負 的, 且 絕 對 值 很 大 的 機 會 很 大 換 句 話 說, 對 前 述 輪 盤 賭, 大 數 法 則 告 訴 我 們, 只 要 持 續 地 賭, 再 多 的 錢 都 輸 光 的 機 會 很 大 4. 公 正 賭 局 一 賭 局 ( 或 賽 局 ) 若 賭 徒 淨 所 得 之 期 望 值 為 0, 便 稱 此 為 一 公 正 的 賭 局 (fair game) 不 公 正 的 賭 局 有 兩 種 情 況, 依 淨 所 得 之 期 望 值 為 正 或 為 負, 而 稱 為 有 利 (favorable) 或 不 利 (unfavorable) 必 須 一 提 的 是, 若 淨 所 得 之 變 異 數 為 無 限 大 時, 公 正 的 賭 局 就 絕 對 是 一 誤 用 的 名 詞, 見 Feller (1968), Chapter X 之 說 明 丟 一 公 正 的 骰 子, 出 現 幾 點 就 給 你 多 少 元 因 點 數 的 期 望 值 為 3.5, 所 以 如 果 每 玩 一 次 要 先 付 3.5 元, 則 此 為 一 公 正 的 賭 局 吃 角 子 老 虎 (slot machine), 這 是 賭 場 裡 常 可 見 到 的 一 種 機 器, 簡 單 好 玩 從 那 一 排 一 排 的 機 器 中, 挑 一 台 坐 到 其 面 前, 即 使 還 沒 開 始 投 錢, 左 鄰 右 舍 嘩 啦 嘩 啦 錢 掉 下 來 的 聲 音, 帶 給 你 很 大 的 聽 覺 享 受, 彷 彿 那 些 錢 是 你 的 再 加 上 不 少 人 一 直 任 掉 下 來 的 錢 堆 在 面 前, 每 次 從 其 中 挑 幾 個 丟, 全 輸 光 再 去 換 零 錢 由 於 每 個 人 面 前 都 是 錢, 看 起 來 似 乎 都 已 贏 了 不 少 錢 ( 起 身 去 換 錢 的 過 程 當 然 少 有 人 留 意 到 ), 視 覺 上 的 享 受 也 不 小 美 國 賭 場 吃 角 子 老 虎 的 最 小 賭 注 是 0.25 元 ( 即 一 quarter) 曾 有 人 算 過 ( 見 Weaver (1982) 一 書 p.158), 每 丟 一 單 位 的 錢, 期 望 的 回 收 是 5, 888/8, 000 = 0.736 看 起 來 並 不 太 壞 因 賭 客 會 想, 賭 場 也 有 經 營 成 本, 而 且 這 是 給 人 如 此 刺 激 的 娛 樂 所 以 一 單 位 的 錢 還 可 拿 回 0.736 已 算 不 錯 了 假 設 一 分 鐘 平 均 玩 12 次, 且 每 次 只 丟 最 少 的 0.25 美 元, 則 一 小 時 下 來, 平 均 要 輸 47.52 美 元 如 果 輸 錢 後 想 扳 回, 提 高 賭 注, 每 次 1 元, 則 平 均 1 小 時 要 輸 190.08 美 元 可 不 要 小 看 那 一 台 機 器, 的 確 是 吃 角 子 老 虎 二 十 一 點 算 是 對 賭 客 較 不 吃 虧 的 賭 戲 它 有 兩 條 規 則 對 賭 客 算 是 較 有 利 : (i) 平 點 算 和 局 ; (ii) 莊 家 不 到 17 點 必 須 補 牌, 達 到 17 點 後 則 不 能 補 牌, 不 可 參 考 牌 桌 上 賭 客 的 牌 而 做 決 定 如 果 牌 桌 上 除 莊 家 外 有 4 位 賭 客, 點 數 分 別 為 13, 14, 15, 16, 而 莊 家 把 底 牌 翻 開 後 共 16 點, 則 他 必 須 補 牌 但 顯 然 他 爆 掉 的 機 會 很 大 另 外, 如 果 牌 桌 上 其 他 4 位 賭 客 的 牌, 點 數 分 別 為 17, 19, 20, 21, 而 莊 家 把 底 牌 翻 開 後 共 17 點, 則 卻 不 能 補 牌 由 於 一 次 有 多 副 牌 混 在 一 起, 要 記 牌 並 不 容 易, 賭 場 如 果 發 現 有 記 牌 者 (card counter), 會 將 其 請 出 賭 場 ( 像 雨 人 那 部 電 影 中 一 樣 ) 但 沈 著 應 付, 二 十 一 點 是 兼 具 娛 樂 價 值, 又 不 致 輸 太 多 錢 的 賭 戲 一 般 而 言, 賭 場 裡 可 以 說 很 難 存 在 公 正 的 賭 局 去 賭 場 下 賭 的 人, 追 求 的 是 刺 激, 或 大 贏 的 喜 悅 各 國 政 府 發 行 彩 券 當 然 也 不 會 是 公 正 的 彩 券 上 常 寫 有 類 似 一 券 在 手 希 望
賭 國 風 雲 55 無 窮 的 話 一 般 人 花 小 錢, 沒 中 就 算 了, 損 失 也 不 大, 但 若 中 了, 很 可 能 是 筆 極 大 的 錢, 往 後 生 活 可 整 個 改 變 保 險, 在 某 種 意 義 下 可 看 成 賭 局 不 難 理 解 也 不 會 是 公 正 的 賭 局 但 買 保 險 者 往 往 有 其 他 層 面 的 考 慮, 此 賭 局 雖 不 公 正, 他 們 是 不 會 介 意 的 撇 開 這 些, 底 下 我 們 給 一 關 於 公 正 賭 局 的 有 趣 例 子 例 5. 錢 包 詭 論 (Wallet Paradox) 考 慮 下 述 賭 局 : A, B 二 人 皆 將 錢 包 放 在 桌 上, 誰 的 錢 包 裡 錢 較 少, 便 獲 得 兩 個 錢 包 裡 所 有 的 錢 至 於 若 錢 一 樣 多, 則 各 自 拿 回 自 己 的 錢 A, B 二 人 都 這 樣 想 : 我 如 果 輸 是 輸 掉 原 有 的 錢, 但 贏 的 話, 則 得 到 較 原 有 的 更 多 的 錢 所 以 這 是 對 我 有 利 的 賭 局 兩 人 均 認 為 對 自 己 有 利, 竟 有 這 種 賭 局? 這 是 此 賭 局 被 稱 為 詭 論 的 原 因 事 實 上 若 輸 的 話, 通 常 是 錢 包 中 有 較 多 的 錢 對 樂 觀 者 而 言, 只 看 到 贏 是 得 到 較 多 的 錢, 對 悲 觀 者 而 言, 他 會 看 到 輸 是 輸 較 多 的 錢 所 以 不 能 由 這 種 心 理 上 的 感 覺 來 說 有 利 或 不 利 我 們 試 以 機 率 的 方 法 來 解 此 問 題 令 X 及 Y 分 別 表 A, B 二 人 錢 包 中 所 有 的 錢, 且 令 W A = W A (X, Y ) 及 W B = W B (X, Y ) 分 別 表 A 及 B 之 淨 所 得 則 X, 若 X > Y, W A (X, Y ) = Y, 若 X < Y, 0, 若 X = Y, 而 W B (X, Y ) = W A (X, Y ) 當 E(W A ) = 0, 則 此 為 一 公 正 的 賭 局 若 不 知 X, Y 之 分 佈, 就 無 法 求 E(W A ) 所 以 對 X, Y 之 分 佈 要 做 些 假 設 最 自 然 的 假 設 是 X, Y 為 獨 立 有 共 同 分 佈, 且 取 值 在 [a, b] 或 [a, ), 其 中 0 a < b < 在 此 假 設 下, (X, Y ) 及 (Y, X) 之 分 佈 相 同 為 了 簡 便, 假 設 (X, Y ) 為 連 續 型 的 隨 機 變 數, 其 機 率 密 度 函 數 為 f 則 E(W A ) = = b b a a b b a a b b W A (x, y)f(x, y)dydx W A (y, x)f(y, x)dydx = W B (x, y)f(x, y)dydx a a = E(W B ). 其 中 用 到 變 數 代 換 (x, y) (y, x) 至 於 第 三 個 等 號 為 何 成 立, 留 給 讀 者 自 行 思 考 若 區 間 是 [a, ) 結 果 也 相 同 上 述 結 果, 再 加 上 因 W B = W A, 因 此 E(W B ) = E(W A ), 即 得 E(W A ) = 0 故 得 證 此 為 一 公 正 的 賭 局 舉 個 例 子 來 看 設 X, Y 皆 在 區 間 [0, 1] 上 均 勻 分 佈 (uniformly distributed) 則 給 定 X = x, 若 Y (x, 1], 則 A 會 贏 Y 元 ; 若 Y [0, x), 則 A 會 輸 x 元 因 此 故 E(W A X =x)= E(W A ) = = 1 0 1 0 1 x ydy x 0 xdy = 1 3x2. (16) 2 E(W A X = x)dx 1 3x 2 dx = 0. 2 有 趣 的 是, 由 (16) 式, E(W A X = 1) = 1, 且 E(W A X = 0) = 1/2 也 就 是 說,
56 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 若 錢 包 裡 有 1 元, 則 要 準 備 失 去 ; 而 若 錢 包 裡 沒 錢, 則 可 期 望 贏 1/2 元 ( 錢 包 裡 會 有 的 錢 之 期 望 值 ) 但 若 錢 包 裡 有 1/2 元 ( 期 望 值 ), 則 E(W A X = 1/2) = 1/8, 即 期 望 淨 所 得 為 正 至 於 為 什 麼 為 正, 相 信 不 難 想 通 附 帶 一 提, 若 僅 是 E(X) = E(Y ), 則 此 並 不 一 定 為 公 正 的 賭 局 反 例 見 Merryfield (1997) 再 看 一 個 公 正 賭 局 的 例 子 例 6. 下 述 賭 法 曾 困 擾 許 多 賭 徒 多 年 : 丟 一 公 正 的 銅 板, 正 面 出 現 則 賭 徒 贏, 否 則 莊 家 贏 賭 徒 採 用 的 策 略 是 每 次 賭 注 加 倍, 直 到 贏 一 次 便 停 止 假 設 第 一 次 的 賭 注 為 a 元, 由 於 銅 板 每 次 均 出 現 反 面 的 機 率 為 0, 即 至 少 出 現 一 次 正 面 的 機 率 為 1 則 賭 徒 最 後 必 ( 機 率 為 1) 帶 著 a 元 離 開 事 實 上, 若 第 一 次 正 面 是 在 第 n 次 丟 擲 銅 板 才 出 現, 則 前 n 1 次 共 輸 的 錢 數 為 a + 2a + 4a + + 2 n 2 a = (2 n 1 1)a, 而 第 n 次 的 賭 注 為 2 n 1 a 元, 所 以 淨 所 得 是 a 元 當 然 我 們 看 到 上 述 討 論 中 有 一 陷 阱, 即 賭 徒 須 有 無 限 的 時 間 及 無 限 的 資 金 才 能 採 用 此 策 略 例 如, 設 賭 徒 一 開 始 有 2 m 1 元, 且 a = 1 又 設 賭 局 不 允 許 欠 債 易 見 此 時 若 賭 徒 首 m 次 賭 局 皆 輸, 便 輸 光 了 此 情 況 發 生 的 機 率 為 2 m 而 若 首 m 次 中 出 現 一 次 正 面 ( 此 機 率 為 1 2 m ), 便 淨 贏 1 元 故 他 淨 所 得 之 期 望 值 為 1 P( 贏 ) (2 m 1)P( 輸 ) = 1 (1 2 m ) (2 m 1)2 m = 0. 故 雖 贏 錢 的 機 率 為 正, 且 當 m 很 大 時 此 機 率 不 小 (1 2 m ), 但 淨 所 得 之 期 望 值 卻 為 0 仍 是 一 公 正 的 賭 局 這 類 例 子 很 多 譬 如 說, 有 人 賭 之 前 先 給 自 己 訂 個 規 矩 : 如 果 淨 所 得 達 到 10,000 元 便 停 止 不 玩 了 採 用 此 策 略 不 是 都 贏 著 錢 離 開? 不 可 能 的 任 務 竟 然 如 此 輕 易 完 成? 隨 機 過 程 裡 有 一 主 題 叫 平 賭 過 程, 其 英 文 名 稱 martingale, 乃 源 自 於 例 6 中, 賭 注 加 倍 直 到 贏 一 次 便 立 即 停 止 之 源 於 法 國 的 一 種 賭 博 策 略 在 平 賭 過 程 的 討 論 中, 會 證 明 在 資 金 或 時 間 非 無 限 的 情 況 下, 而 且 不 能 未 卜 先 知 ( 即 策 略 只 能 與 至 目 前 的 結 果 有 關 ), 則 沒 有 一 賭 博 系 統, 能 將 公 正 的 賭 局, 轉 換 成 有 利 的 賭 局 我 們 再 看 另 一 著 名 的 詭 論 例 7. 聖 彼 得 堡 詭 論 (The St. Peters -burg Paradox) 聖 彼 得 堡 詭 論 可 說 是 機 率 裡 相 當 有 名 且 最 饒 富 趣 味 的 一 個 謎 題 (puzzle) 及 詭 論 這 是 Daniel Bernoulli (1700-1782) 所 提 出 的, 他 是 James Bernoulli (1654-1705, 大 數 法 則 之 首 位 證 明 者 ) 的 姪 兒 一 次 聖 彼 得 堡 賭 局 (St. Petersburg game), 是 這 樣 的 : 投 擲 一 公 正 的 銅 板, 直 至 出 現 一 正 面 才 停 止, 若 停 止 是 在 第 r 次 發 生, 可 得 2 r 元 則 因 第 r 次 停 止 的 機 率 為 2 r, 故 每 次 賭 局 所 得 之 期 望 值 為 r=1 2 r 2 r = 所 以 不 論 每 次 之 賭 注 多 大, 只 要 是 一 有 限 值, 對 賭 徒 均 有 利 只 是 若 賭 注 愈 大, 便 要 賭 愈 多 次 才 有 可 能 得 到 正 的 淨 所 得 因 此 每 次 之 賭 注 須 為 無 限 大, 才 是 一 公 正 的 賭 局 但 是
賭 國 風 雲 57 否 有 人 願 意 付 無 限 多 的 錢 來 參 與 此 賭 局? 這 是 此 問 題 成 為 一 詭 論 的 原 因 以 A, B 分 別 表 賭 徒 及 莊 家 不 論 A 付 B 多 少 錢, B 一 定 不 願 讓 A 玩 但 此 賭 局 是 否 真 值 無 限 多 元 呢? 由 於 此 賭 局 是 在 第 r 次 停 止 的 機 率 為 2 r, 而 有 沒 有 人 願 意 先 付 100 萬 元 以 玩 此 賭 局 呢? 答 案 很 可 能 是 否 定 的 此 因 如 此 一 來, 前 19 次 投 擲 都 不 能 出 現 正 面 才 可 能 贏 錢 (524, 288 = 2 19 < 1, 000, 000 < 2 20 = 1, 048, 576) 而 此 機 率 為 2 19. = 1.907 10 6, 小 於 五 十 萬 分 之 一, 非 常 小 但 對 B 來 說, 即 使 A 付 100 萬 元, 他 還 不 願 讓 A 玩 呢? 這 樣 想 好 了, 設 有 人 提 議 丟 個 公 正 的 銅 板, 若 出 現 正 面 則 給 你 200 元 則 顯 然 付 100 元 玩 此 賭 局 是 合 理 的 因 100 元 你 出 的 起, 而 若 你 贏 了, 也 相 信 莊 家 付 的 起 200 元 至 於 對 聖 彼 得 堡 賭 局, 雖 然 100 萬 元 比 起 合 理 該 付 的 錢 非 常 地 少, 但 一 方 面, 對 多 數 人 來 說, 100 萬 元 並 不 是 小 數 目 ; 另 一 方 面, 所 謂 期 望 值 是 無 限 大, 但 莊 家 是 否 有 無 限 多 的 錢 來 支 付 呢? 事 實 上 莊 家 就 是 沒 有 無 限 多 的 錢, 而 若 任 何 人 有 無 限 多 的 錢, 又 何 必 來 賭? 假 設 莊 家 B 只 有 2 m 的 錢, 且 若 銅 板 在 第 m 次 以 後 才 出 現 正 面, 則 B 皆 付 A 2 m 元 在 此 比 較 實 際 的 假 設 下, A 之 期 望 所 得 為 m 2 r 2 r + 2 r 2 m r=1 r=m+1 = m + ( 1 2 + 1 2 + ) 2 = m + 1. 即 此 賭 局 值 m + 1 元, A 可 付 m + 1 元 以 玩 此 賭 局 例 如, 若 B 有 65, 536 = 2 16 元, 則 A 付 B 17 元 ; 若 B 有 43 億 元 左 右 (2 32 = 4, 294, 967, 296), 則 A 付 B 33 元 以 玩 此 賭 局 如 此 一 來 A 應 願 意 玩 了 其 次 我 們 來 看, 在 聖 彼 得 堡 詭 論 中, 若 將 第 r 次 停 止 可 得 2 r 元 改 為 可 得 1.95 r 元 會 如 何? 即 倍 數 稍 小 於 2 乍 看 之 下 可 能 以 為 結 果 差 不 多, 還 是 要 付 無 限 多 的 錢 且 也 還 是 公 正 賭 局 會 這 樣 想 是 誤 以 為 前 幾 次 投 擲 便 會 出 現 正 面, 所 以 1.95 r 與 2 r 的 差 異 不 大 1.95/2 是 很 接 近 1(= 0.975), 但 0.975 r 隨 著 r 之 增 大, 愈 來 愈 小 對 此 賭 局, A 之 期 望 所 得 為 2 r 1.95 r r=1 = 0.975 r = 0.975 r=1 1 0.975 = 39. 換 句 話 說, 此 時 A 只 願 付 39 元 以 玩 此 賭 局 至 於 若 將 1.95 改 為 1.8, 則 A 只 願 付 9 元 了 指 數 的 威 力 是 不 容 忽 視 的 如 何 將 公 正 賭 局 的 定 義 稍 作 修 改, 以 使 聖 彼 得 堡 賭 局, 能 在 一 適 當 的 賭 注 下, 而 成 為 公 正 的 賭 局, 可 參 考 Feller (1968) p.251-253 5. 風 險 評 估 整 個 人 類 的 歷 史, 整 個 人 的 一 生, 可 說 是 充 滿 著 賭 局 在 三 國 演 義 第 九 十 五 回, 司 馬 懿 引 大 軍 攻 向 西 城 的 孔 明 時 孔 明 身 邊 並 無 大 將, 只 有 一 班 文 官 及 兩 千 五 百 守 軍 於 是 使 出 空 城 計, 所 謂 武 侯 彈 琴 退 仲 達, 仲 達
58 數 學 傳 播 26 卷 3 期 民 91 年 9 月 為 司 馬 懿 的 字 司 馬 懿 退 兵 後, 孔 明 說 此 人 料 吾 平 生 謹 慎, 必 不 弄 險, 見 如 此 模 樣, 疑 有 伏 兵, 所 以 退 去 吾 非 行 險, 蓋 因 不 得 已 而 用 之 孔 明 可 說 了 贏 了 此 賭 局 股 票 的 買 賣, 任 何 財 務 的 投 資, 一 新 政 策 的 推 出, 都 是 在 進 行 一 賭 局 賭 贏 賭 輸 有 時 影 響 深 遠, 因 此 事 先 的 風 險 評 估 (risk assessment) 很 重 要 風 險 評 估 的 主 要 依 據, 自 然 是 機 率 及 統 計 的 各 種 理 論 與 方 法 有 些 人 以 為 風 險 是 可 以 被 控 制 的 例 如, 在 輪 盤 賭 中, 如 果 我 們 掌 握 充 分 的 資 訊, 則 結 合 物 理 數 學 及 計 算 機 專 家, 應 可 準 確 地 預 測 球 會 停 在 那 一 格 問 題 是 不 用 說 輪 盤 的 那 些 機 械 結 構 不 易 完 全 了 解, 各 種 數 據 ( 包 含 起 始 的 旋 轉 力 ) 也 難 以 精 確 地 量 測 所 以 即 使 預 測 的 方 程 式 為 正 確, 但 若 起 始 條 件 (initial conditions) 有 些 偏 差, 很 可 能 得 到 偏 差 很 大 的 預 測 值 因 此 我 們 僅 能 善 用 機 率 統 計, 對 各 種 風 險 給 出 隨 機 模 式, 並 做 出 統 計 上 最 好 的 預 測 習 題 1. 在 例 2 中, 若 比 賽 改 為 三 戰 兩 勝 制, 則 C 要 先 與 A 或 先 與 B 下? 若 改 為 下 n 局, n 3, C 連 勝 兩 局 則 贏, 此 時 C 該 先 與 誰 下? 2. 在 例 3 中, (i) 分 別 對 玩 6 回, 及 8 回, 求 不 同 最 佳 策 略 數 ; (ii) 在 玩 的 回 數 固 定 下, 不 同 的 最 佳 策 略 數 有 何 相 同 處? 3. 在 例 4 中, (i) 若 A 採 策 略 ( 一 ), 分 別 求 此 時 B 及 C 贏 之 機 率 ; (ii) 若 A 採 策 略 ( 二 ), 分 別 求 此 時 B 及 C 贏 之 機 率 4. 在 例 4 中, 若 改 為 0 < p 1 < p 2 < p 3 < 1, 其 中 p 3 表 C 之 命 中 率, 此 時 結 果 有 何 不 同? 5. 設 修 改 聖 彼 得 堡 賭 局 為 最 多 只 能 投 擲 銅 板 N 次, 且 若 第 1 次 至 第 N 次 投 擲 皆 得 反 面, 便 一 無 所 得 問 賭 注 為 何, 才 為 一 公 正 賭 局? 6. 試 求 在 聖 彼 得 堡 賭 局 中, 若 將 第 r 次 停 止 可 得 2 r 元 改 為 可 得 a r 元, 其 中 1 a < 2, 此 時 每 次 之 賭 注 為 何, 才 是 一 公 正 賭 局? 7. 下 述 三 種 選 擇 你 的 優 先 順 序 為 何, 並 說 明 其 原 因 : (i) 保 證 獲 得 一 千 元, ((ii) 有 千 分 之 一 的 機 會 獲 得 一 百 萬 元, (iii) 有 十 萬 分 之 一 的 機 會 獲 得 一 億 元 參 考 文 獻 1. 金 庸, 射 鵰 英 雄 傳, 第 三 版, 遠 流 出 版 社, 台 北, 1996 年 2. 金 庸, 天 龍 八 部, 第 三 版, 遠 流 出 版 社, 台 北, 1996 年 3. 南 方 朔, 博 奕 不 離 人 性 不 如 從 管 理 角 度 著 眼, 新 新 聞 周 報, 第 642 期, 1999 年 6 月 24 日 6 月 30 日, 96-97 4. 黃 文 璋, 隨 機 過 程, 華 泰 書 局, 台 北, 1995 年 5. W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol.1, 3rd ed, John Wiley & Sons, New York, 1968. 6. M. J. Gardner, Strategy for life a guide to decision making, Mathematical Spectrum 5, 1972/73, 54-58. 7. R. Isaac, The Pleasures of Probability, Springer Verlag, New York, 1995. 8. K. G. Merryfield, N. Viet and S. Watson, The wallet paradox, The American Mathematical Monthly 104, 1997, 647-649. 9. D. Rawsthorne, How to gamble if you must (Problems and Solutions E 3219), The American Mathematical Monthly 96, 1989, 163-164.
賭 國 風 雲 59 10. D. Sandell, Fair Russian roulette, The Mathematical Scientist 22, 1997, 52-57. 11. W. Weaver, Lady Luck: The Theory of Probability, Dover Publications, Inc., New York, 1982. 本 文 作 者 任 教 於 國 立 高 雄 大 學 應 用 數 學 系