有 趣 的 數 學 理 論 數 學 的 分 類 與 功 用 一 般 將 數 學 分 成 代 數 (algebra) 幾 何 (geometry) 分 析 (analysis) 統 計 (statistics) 及 離 散 數 學 (discrete mathematics) 五 大 類, 而 離 散 數 學 已 經 擴 展 成 計 算 機 科 學 然 而 以 上 之 分 類 並 非 全 無 交 集, 如 解 析 幾 何 既 是 幾 何 也 是 代 數 ; 而 邏 輯 學 (Logics) 是 計 算 機 科 學 的 一 種, 也 是 分 析 學 的 一 種 學 習 數 學 的 功 用 在 於 使 人 類 能 夠 變 得 更 聰 明, 思 考 更 加 合 理, 對 問 題 的 定 義 能 了 解 更 清 楚, 並 且 能 夠 善 用 圖 形 與 符 號 分 析 問 題 以 下 為 幾 個 例 子 Eg. 老 農 夫 過 世 留 下 五 頭 牛, 遺 囑 要 將 五 頭 牛 分 給 兩 個 兒 子 : 老 大 得 二 分 之 一, 老 二 得 三 分 之 一, 而 經 過 計 算 5 1/2=2.5: 老 大 分 得 2.5 頭 牛,5 1/3=1.6666: 老 二 分 得 1.6666 頭 牛 結 果 兩 個 兒 子 便 打 算 宰 殺 牛 隻 以 完 成 父 親 的 心 願 此 時 有 個 聰 明 的 鄰 居 帶 來 自 己 的 一 頭 牛, 於 是 (5+1) 1/2=3: 老 大 分 得 三 頭 活 牛,(5+1) 1/3=2: 老 二 分 得 二 頭 活 牛 最 後 剩 下 一 頭 牛 鄰 居 再 帶 回 去 這 故 事 代 表 什 麼 數 學 意 義? ( 解 ): 1/2+1/3=5/6 < 1, 採 用 老 農 夫 遺 囑 的 方 法 絕 對 無 法 完 美 分 配 遺 產 而 (5+1)/6 = 1, 必 須 用 聰 明 鄰 居 的 方 法 : 再 加 一 頭 牛 進 來, 才 可 以 完 美 地 分 配 Eg. 桃 花 眼 的 定 義 一 般 命 理 書 籍 的 定 義 : 水 汪 汪 的 眼 睛, 眼 波 流 露 妖 嬈 風 情 此 種 定 義 十 分 抽 象, 不 清 不 楚! 符 合 數 學 的 定 義 : 笑 的 時 候, 眼 睛 的 上 緣 與 下 緣 的 曲 率 半 徑 中 心 都 位 在 眼 睛 的 下 方 此 種 定 義 十 分 清 楚! Hall 結 婚 定 理 (Hall s Marriage Theorem) 與 其 應 用 此 定 理 由 英 國 數 學 家 Philip Hall 提 出 令 V 與 W 為 兩 個 分 開 的 族 群, 但 V 至 W 之 間 有 連 線, 令 V 的 任 一 個 部 份 集 合 的 元 素 個 數 為 S, 而 其 連 線 至 W 的 對 應 的 個 數 為 R(S) 如 果 S R(S), 則 V 的 每 一 個 元 素 都 可 在 W 中 找 到 一 個 專 屬 於 自 己 的 對 應
Eg. 某 婚 友 社 想 要 撮 合 3 個 男 生 : 周 杰 倫 (a) 劉 德 華 (b) 蘇 友 朋 (c) 與 4 個 女 生 : 林 志 玲 (r) 侯 佩 岑 (s) 林 嘉 綺 (t) 白 歆 惠 (u) 如 果 周 杰 倫 喜 歡 林 志 玲 與 侯 佩 岑, 劉 德 華 喜 歡 侯 佩 岑 與 白 歆 惠, 蘇 友 朋 喜 歡 林 志 玲 林 嘉 綺 與 白 歆 惠, 那 麼 是 否 每 個 男 生 都 可 以 配 到 心 愛 的 女 人? S 4 =2<4= R(S 4 ) ( 解 ): 如 果 S 1 ={a,b,c}, 則 R(S 1 )={r,s,t,u}, 於 是 S 1 =3<4= R(S 1 ) 如 果 S 2 ={a,b}, 則 R(S 2 )={r,s,u}, 於 是 S 2 =2<3= R(S 2 ) 如 果 S 3 ={a,c}, 則 R(S 3 )={r,s,t,u}, 於 是 S 3 =2<4= R(S 3 ) 如 果 S 4 ={b,c}, 則 R(S 4 )= {r,s,t,u}, 於 是 每 個 男 生 都 可 以 配 到 心 愛 的 女 人! Eg. 某 婚 友 社 想 要 撮 合 女 F4:Amy(A) Fanny(B) Tiffany(C) Stacy(D) 與 5 個 男 生 J 1 -J 5 結 果 女 F4 個 自 挑 選 喜 歡 的 對 象 如 下 圖 令 S={A,B,D}, 則 R(S)={J 2,J 5 }, 於 是 S =3>2= R(S), 因 此 女 F4 無 法 每 個 人 都 配 到 自 己 心 愛 的 男 人
Eg. 某 婚 友 社 想 要 撮 合 3 個 男 生 : 金 城 武 (a) 彭 政 閔 (b) 張 家 浩 (c) 與 4 個 女 生 : 柯 以 柔 (r) 許 純 美 (s) 蔡 淑 臻 (t) 如 花 (u) 如 果 金 城 武 喜 歡 柯 以 柔 與 蔡 淑 臻, 彭 政 閔 只 喜 歡 蔡 淑 臻, 張 家 浩 喜 歡 柯 以 柔 與 蔡 淑 臻, 那 麼 是 否 每 個 男 生 都 可 以 配 到 心 愛 的 女 人? ( 解 ): 如 果 S={a,b,c}, 則 R(S)={r,t}, 於 是 S =3>2= R(S) 無 法 每 個 男 生 都 可 以 配 到 心 愛 的 女 人! 例 如 金 城 武 娶 柯 以 柔 而 彭 政 閔 娶 蔡 淑 臻, 則 張 家 浩 就 娶 不 到 心 愛 的 女 人 同 樣 地, 如 果 張 家 浩 娶 柯 以 柔 而 彭 政 閔 娶 蔡 淑 臻, 則 金 城 武 就 娶 不 到 心 愛 的 女 人 邏 輯 學 與 集 合 論 邏 輯 學 可 訓 練 人 的 思 考 趨 於 理 智, 並 且 特 別 重 視 因 果 律 與 矛 盾 律, 可 以 使 人 更 加 了 解 事 件 的 因 果 關 係, 使 人 的 推 理 不 會 產 生 矛 盾 現 象 Eg. 因 為 林 志 玲 很 漂 亮, 所 以 有 些 男 生 喜 歡 她 與 因 為 沒 有 男 生 喜 歡 林 志 玲, 所 以 這 表 示 她 不 漂 亮, 這 兩 句 話 邏 輯 相 等 (p q 與 q p 邏 輯 相 等 ) Eg. 如 果 因 為 林 志 玲 很 漂 亮, 所 以 男 生 都 喜 歡 她 與 林 志 玲 很 醜, 否 則 就 會 有 男 生 喜 歡 她, 這 兩 句 話 邏 輯 相 等 (p q 與 p q 邏 輯 相 等 ) Eg. 如 果 白 歆 惠 與 隋 棠 都 是 美 女 不 正 確, 即 表 示 白 歆 惠 很 醜 或 是 隋 棠 很 醜 (De Morgan s First Law: ( p q)= p q) Eg. 如 果 白 歆 惠 很 醜 或 是 隋 棠 很 醜 不 正 確, 即 表 示 白 歆 惠 與 隋 棠 都 是 美 女 (De Morgan s Second Law: ( p q)= p q)
Eg. 歌 星 鄭 怡 的 歌 : 苦 苦 的 一 杯 酒, 淡 淡 地 沒 有 滋 味, 歌 星 余 天 的 歌 : 有 一 位 陌 生 的 女 孩, 我 們 時 常 見 面, 以 上 二 者 歌 詞 皆 有 矛 盾 之 處 Eg. 聖 經 中 的 故 事 : 上 帝 創 造 亞 當 與 夏 娃, 生 下 該 隱 與 他 的 兄 弟, 該 隱 因 故 殺 死 他 的 兄 弟 亞 伯 後, 便 被 上 帝 懲 罰, 將 該 隱 流 放 至 外 地, 於 是 該 隱 便 在 外 地 娶 妻 生 子 ( 矛 盾 之 處 ): 聖 經 中 記 載 上 帝 只 創 造 了 亞 當 與 夏 娃 二 人, 所 以 當 亞 伯 死 後, 全 世 界 應 只 有 三 個 人 ( 亞 當 夏 娃 與 該 隱 ) 存 在, 因 此 不 知 聖 經 中 該 隱 娶 的 女 子 是 那 裏 來 的? Eg. 1990 年 代 初, 藝 人 白 冰 冰 ( 本 名 白 月 娥 ) 控 告 某 廠 商 生 產 白 冰 冰 礦 泉 水 冒 用 其 名 號, 同 年 歌 星 林 強 ( 藝 名 ) 亦 控 告 香 港 商 人 林 強 ( 本 名 ) 生 產 林 強 運 動 飲 料 冒 用 其 名 號, 結 果 我 國 法 官 判 決 上 述 兩 件 案 子 一 勝 訴 一 敗 訴 ( 矛 盾 之 處 ): 上 述 兩 件 案 子 為 同 類 型 案 件, 法 官 應 該 引 用 相 同 法 律 條 文 判 決, 但 是 竟 然 有 不 同 判 決 結 果, 可 見 得 我 國 法 律 教 育 對 學 生 之 邏 輯 訓 練 有 問 題! Eg. (a)2004 年 11 月 1 日 木 柵 動 物 園 的 無 尾 熊 哈 雷 得 鼻 咽 癌 而 被 安 樂 死, 有 民 意 代 表 要 求 動 物 園 園 長 應 該 下 台 負 責 (b) 2004 年 11 月 4 日 精 神 病 患 陳 和 跳 入 木 柵 動 物 園 的 獅 欄 內 向 獅 子 傳 教 而 被 獅 子 咬 傷, 結 果 獅 子 被 注 射 麻 醉 針 劑 ( 因 果 分 析 ):(a) 事 件 並 無 因 果 關 係, 因 此 動 物 園 園 長 不 必 下 台, 但 是 如 果 是 因 為 動 物 園 管 理 不 善 導 致 動 物 死 亡, 則 相 關 人 員 應 該 負 責 (b) 事 件 是 因 為 人 跑 進 獅 子 區 內 逗 弄 獅 子 才 被 咬 傷, 並 非 獅 子 跑 出 獸 欄 亂 咬 人, 因 此 獅 子 無 罪, 而 動 物 園 的 處 理 方 式 有 問 題, 應 該 用 水 柱 將 獅 子 驅 離 後 再 將 精 神 病 患 逮 捕 帶 出 來 Eg. 前 世 今 生 六 道 輪 迴 及 其 相 關 之 宗 教 理 論 ( 矛 盾 之 處 ): 如 果 根 據 前 世 今 生 理 論, 每 個 人 都 有 前 世 且 前 世 都 是 人, 則 全 世 界 的 人 口 數 目 自 古 至 今 應 該 都 差 不 多, 但 現 在 21 世 紀 全 世 界 的 人 口 已 突 破 60 億, 比 20 世 紀 初 期 的 人 口 多 了 好 幾 倍, 因 此 不 知 多 出 來 的 人 口 是 什 麼 東 西 投 胎 來 的? 根 據 六 道 輪 迴 理 論, 人 做 壞 事 則 下 輩 子 會 投 胎 變 成 畜 牲, 則 全 世 界 的 人 口 數 目 自 古 至 今 應 該 遞 減, 這 顯 然 與 已 知 事 實 矛 盾 又 如 果 這 些 多 出 來 的 人 口 是 由 畜 牲 轉 世 而 來, 且 畜 牲 修 行 則 下 輩 子 投 胎 可 變 成 人, 則 吾 人 應 該 常 看 到 許 多 吃 素 的 老 虎 獅 子, 也 應 該 會 常 看 到 有 小 狗 唸 大 悲 咒, 貓 咪 唸 金 剛 經 等 情 況
Eg. 今 日 我 以 為 榮, 明 日 以 我 為 榮 ( 矛 盾 之 處 ): 如 果 前 者 成 立, 則 後 者 通 常 不 會 發 生, 反 之 亦 然
Exercise 職 棒 兄 弟 象 棒 球 隊 2003 年 開 賽 之 初 戰 績 不 佳, 如 果 有 大 學 體 育 類 研 究 所 研 究 生 認 為 這 與 木 柵 動 物 園 大 象 林 旺 過 世 有 關, 準 備 用 此 當 作 碩 士 或 博 士 論 文 來 探 討, 那 麼 這 樣 的 研 究 有 何 問 題? 或 是 應 該 如 何 研 究 這 個 問 題? 許 多 邏 輯 學 理 論 可 以 用 集 合 理 論 的 數 學 符 號 來 表 示, 以 下 為 著 名 的 例 子 Eg. 羅 素 詭 論 : 某 犯 人 被 判 死 刑 即 將 執 行, 臨 死 前 法 官 對 犯 人 說 : 如 果 你 所 交 待 的 遺 言 是 實 話 則 可 免 死, 如 果 是 謊 話 則 非 死 不 可! 於 是 聰 明 的 犯 人 便 說 : 我 將 被 處 決 因 此 這 位 犯 人 便 僥 倖 存 活 這 故 事 代 表 什 麼 數 學 意 義? ( 解 ): 如 果 我 將 被 處 決 是 實 話, 則 依 照 法 官 的 命 令, 犯 人 可 以 免 死 ; 如 果 我 將 被 處 決 是 謊 話, 則 表 示 犯 人 不 會 被 處 決 無 論 是 以 上 那 種 情 況, 這 犯 人 都 不 會 死 羅 素 詭 論 以 集 合 理 論 的 數 學 符 號 來 表 示 為 : S = { x x S} Eg. 戰 國 時 代 公 孫 龍 之 白 馬 非 馬 理 論 ( 解 ): 以 集 合 理 論 的 數 學 符 號 來 表 示, 白 馬 非 馬 理 論 為 : { 白 馬 } { 馬 }, 表 示 所 有 白 馬 的 集 合 比 較 小, 被 包 含 在 所 有 馬 的 集 合 中 所 以 白 馬 不 能 代 表 所 有 的 馬 Eg. 邏 輯 學 : 若 a 則 b 與 若 非 b 則 非 a 為 同 義 語 句, 例 如 若 是 正 三 角 形 則 一 定 是 等 腰 三 角 形 與 若 不 是 等 腰 三 角 形 則 一 定 不 是 正 三 角 形 為 同 義 語 句 這 可 以 用 集 合 理 論 : A={ 正 三 角 形 } B={ 等 腰 三 角 形 } 與 B c ={ 非 等 腰 三 角 形 } A c ={ 非 正 三 角 形 } 為 等 效 之 同 義 語 句 Exercise 美 女 主 播 侯 岑 自 從 發 生 緋 聞 被 狗 仔 隊 偷 拍 後, 便 找 命 理 大 師 叮 噹 居 士 算 命, 叮 噹 居 士 鐵 口 直 斷 侯 岑 未 來 會 嫁 給 一 位 鼻 子 尖 尖, 鬍 子 翹 翹, 手 裏 拿 著 一 根 釣 竿 的 人, 此 事 經 過 橘 子 日 報 報 導 後, 於 是 全 台 灣 的 釣 竿 缺 貨, 棒 球 隊 球 員 比 賽 全 都 改 拿 釣 竿 上 場 打 擊, 所 有 整 型 外 科 醫 師 也 生 意 興 隆 以 上 的 故 事 如 果 是 真 的, 那 麼 從 數 學 邏 輯 關 係 探 討, 代 表 什 麼 意 義? 試 申 論 之
叮 噹 居 士 與 明 太 祖 朱 元 璋 分 析 學 的 基 礎 極 限 與 微 積 分 概 述 極 限 是 數 學 上, 描 述 無 窮 大 ( 多 ) 無 窮 小 ( 少 ) 的 運 算 或 紀 錄 後, 所 趨 近 的 數 值 而 其 主 要 的 應 用, 便 是 微 積 分 Eg. 數 學 上 有 一 個 與 極 限 有 關 的 著 名 詭 辯 : 龜 兔 賽 跑 時, 假 設 兔 子 的 速 度 是 烏 龜 的 10 倍, 當 烏 龜 領 先 兔 子 1 公 尺 時, 兔 子 追 了 1 公 尺, 烏 龜 則 可 跑 0.1 公 尺 ; 若 兔 子 再 追 0.1 公 尺 時, 則 烏 龜 又 跑 0.01 公 尺 ; 如 果 兔 子 再 追 0.01 公 尺 時, 則 烏 龜 又 跑 0.001 公 尺 ; 如 此 一 直 下 去, 則 兔 子 永 遠 追 不 上 烏 龜 ( 解 ): 其 實 這 詭 辯 是 錯 的, 理 由 如 下 : 假 設 兔 子 跑 1 公 尺 的 時 間 要 1 秒 鐘, 則 跑 0.1 公 尺 要 0.1 杪, 若 要 跑 0.01 公 尺 則 需 要 0.01 杪 ; 依 此 類 推, 兔 子 跑 1 公 尺 +0.1 公 尺 +0.01 公 尺 +0.001 公 尺 + 所 需 時 間 為 1+0.1+0.01+0.001+0.0001+ =1/(1-0.1)=10/9( 秒 ) 因 此, 事 實 上 兔 子 只 要 10/9 秒 的 時 間 即 可 追 上 烏 龜 以 上 說 明 一 件 事 實 : 無 限 多 項 的 級 數 和, 有 可 能 是 一 個 有 限 值 微 積 分 最 早 是 用 來 分 析 力 學 中 的 位 移 速 度 與 加 速 度 之 關 係, 後 來 又 擴 展 到 分 析 電 磁 學 及 電 磁 波 等 現 象 ; 同 時, 亦 出 現 了 商 用 微 積 分 等 應 用 如 以 微 積 分 研 究 如 何 投 資 可 獲 得 最 大 利 潤 等 微 分 之 例 : 假 設 物 體 移 動 的 距 離 ( 位 移 ) S(t) 是 時 間 的 函 數, 而 速 度 即 為 位 移 對 時 間 的 一 次 導 函 數, 而 加 速 度 即 為 位 移 對 時 間 的 二 次 導 函 數 : 2 2 a(t)=dv(t)/dt=ds(t)/dt 利 用 函 數 微 分 等 於 零 的 特 性, 吾 人 可 以 計 算 出 函 數 的 極 大 極 小 值 積 分 : 如 果 dy/dx=g(x), 則 y= g(x)+c
最 佳 化 (Optimization) 理 論 現 代 數 學 的 主 要 應 用 之 一, 便 是 求 問 題 的 最 佳 化 之 解 最 佳 化 通 常 是 求 目 標 函 數 的 極 大 或 極 小 值, 除 了 簡 單 的 微 積 分 理 論 可 以 計 算 極 大 或 極 小 值 之 外, 還 有 變 分 學 (Calculus of variation) 線 性 規 畫 與 非 線 性 規 畫 (Linear programming and nonlinear programming) Lagrange 法 蒙 地 卡 羅 法 (Monte Carlo Method) 模 擬 退 火 法 (Simulated annealing method) 基 因 演 算 法 (Genetic method) 圖 形 理 論 (Graph theory) 平 行 處 理 (Parallel processing) 等 數 學 方 法 可 以 求 得 問 題 的 最 佳 化 之 解 Eg. 某 種 藥 品 每 天 吃 x 公 克, 則 體 力 可 增 加 x %, 但 是 其 副 作 用 是 肝 臟 功 能 會 降 低 x 2 %, 則 每 天 應 該 吃 多 少 最 好? ( 解 ): 吾 人 設 定 : 對 身 體 有 益 為 正 號, 對 身 體 有 害 為 負 號 則 上 述 題 目 可 轉 化 成 函 數 2 f ( x) = x x f '( x) = 1 2x = 0 x = 0.5 所 以 用 簡 單 的 微 積 分 理 論 可 知 : 每 天 吃 0.5 公 克 最 好 Eg. 棒 球 比 賽 中, 上 壘 率 高 的 排 第 一 棒, 打 擊 率 高 的 排 第 三 棒, 長 打 率 高 的 排 第 四 棒, 這 可 由 蒙 地 卡 羅 法 驗 證 此 種 排 棒 方 式 得 分 之 機 率 期 望 值 最 高 ( 註 ): 蒙 地 卡 羅 法 : 以 電 腦 模 擬 所 有 可 能 發 生 情 況, 然 後 分 析 計 算 所 有 可 能 的 結 果 的 機 率 代 表 作 Eg. 文 言 文 毋 忘 汝 比 電 視 廣 告 中 林 志 玲 的 白 話 文 喔! 才 不 會 忘 記 你 的 要 符 合 最 佳 化 理 論 因 為 文 言 文 是 以 最 少 的 中 文 字 表 達 最 多 的 意 思, 適 合 現 今 電 腦 化 社 會, 可 減 少 中 文 輸 入 時 間, 節 省 簡 訊 費 用 而 在 司 馬 遷 的 史 記 仲 尼 弟 子 列 傳 記 載 : 故 子 貢 一 出, 存 魯 亂 齊 破 吳 彊 晉 而 霸 越 子 貢 一 使, 使 勢 相 破, 十 年 之 中, 五 國 各 有 變, 只 用 了 幾 個 動 詞, 即 將 孔 子 的 學 生 子 貢 之 功 勞 一 一 點 出, 堪 稱 是 文 言 文 字 數 最 佳 化 之 平 行 處 理 與 管 線 (Pipeline) 理 論 電 腦 科 學 中 最 重 要 的 理 論, 平 行 處 理 是 指 將 無 先 後 順 序 的 事 情 同 時 來 做, 可 節 省 時 間, 管 線 理 論 是 指 將 有 後 順 序 的 事 情 排 好 依 序 來 做, 可 增 加 效 率 並 節 省 時 間
Eg. 大 掃 除 時, 部 份 人 掃 地, 同 時 另 外 部 份 人 擦 窗 戶 比 先 掃 地, 然 後 再 擦 窗 戶 好, 因 為 所 花 時 間 較 少, 符 合 最 佳 化 理 論 與 平 行 處 理 理 論, 且 掃 地 與 擦 窗 戶 兩 者 並 無 先 後 關 係 性 但 是 吾 人 無 法 一 邊 睡 覺 一 邊 吃 飯, 因 為 睡 覺 行 為 具 有 排 他 性 ; 吾 人 也 無 法 同 時 掃 地 與 拖 地, 因 為 掃 地 與 拖 地 有 時 間 先 後 關 係 性 Eg. 父 親 開 車 送 小 孩 上 學, 然 後 直 接 到 公 司 上 班 比 父 親 先 送 小 孩 上 學, 然 後 回 家 開 車 再 到 公 司 上 班 好, 因 為 所 花 時 間 少, 符 合 最 佳 化 理 論 與 管 線 理 論 Eg. 洗 完 澡 後, 洗 澡 水 用 來 澆 花 比 洗 完 澡 後 將 洗 澡 水 放 掉, 然 後 用 自 來 水 澆 花 好, 因 為 用 水 量 少, 符 合 最 佳 化 理 論 與 管 線 理 論 但 是 洗 完 澡 後, 將 洗 澡 水 用 來 泡 速 食 麵 吃 雖 然 符 合 上 述 理 論, 可 是 並 不 衛 生 機 率 論 與 統 計 學 機 率 論 是 指 對 於 大 量 數 目 的 偶 然 現 象, 探 討 其 出 現 某 種 結 果 的 比 率 而 機 率 探 討 的 是 數 目 很 多 的 群 體 現 象, 而 非 少 數 或 單 一 個 體 Eg. 某 種 癌 症 的 治 癒 率 是 50%, 是 表 示 有 一 大 群 此 種 癌 症 的 患 者, 約 有 一 半 人 可 以 治 癒 如 果 某 醫 生 只 治 療 兩 個 此 種 癌 症 的 病 人, 第 一 個 患 者 不 治 死 亡, 並 不 表 示 第 二 個 一 定 會 痊 癒 機 率 的 大 小 與 樣 本 空 間 的 選 取 有 關, 不 同 的 選 取 方 式, 會 導 致 不 同 的 結 果 Eg. 比 較 車 禍 與 飛 機 空 難 何 者 較 可 怕? ( 解 ): 以 每 年 發 生 的 次 數 來 看, 車 禍 發 生 的 機 率 遠 大 於 空 難 如 果 以 發 生 之 後 的 死 亡 人 數 來 看, 空 難 死 亡 的 機 率 遠 大 於 車 禍 因 此 兩 者 的 可 怕 情 況 難 以 比 較 統 計 學 是 用 機 率 的 觀 念, 來 反 推 大 量 ( 或 全 體 ) 數 目 的 某 些 特 性 一 般 而 言, 統 計 結 果 須 滿 足 以 下 幾 個 條 件 才 正 確 :(a) 隨 機 取 樣,(b) 取 樣 數 目 要 多,(c) 統 計 過 程 不 能 改 變 原 先 全 體 之 特 性 統 計 學 一 般 常 用 在 預 測 事 情 最 可 能 之 結 果, 例 如 選 舉 的 民 意 調 查 收 視 率 調 查 等 Eg. 1948 年 美 國 總 統 大 選, 當 時 美 國 的 民 意 調 查 顯 示 共 和 黨 候 選 人 杜 威 的 支 持 率 遙 遙 領 先 民 主 黨 候 選 人 杜 魯 門, 可 是 開 票 結 果 卻 是 杜 魯 門 當 選, 後 來 經 過 分 析 才 知 道 原 來 是 當 時 美 國 只 有 富 裕 的 家 庭 才 會 裝 設 電 話, 因 此 當 年 使 用 電 話 訪 問 來 做 民 意 調 查 只 能 看 出 有 錢 人 的 投 票 傾 向 較 支 持 杜 威 Eg. 虹 頻 道 播 放 由 陽 婆 婆 主 演 的 搞 笑 三 級 片 金 瓶 梅 歪 傳, 收 視 率 為 20%
民 頻 道 播 放 由 董 月 花 主 演 的 感 人 肺 腑 連 續 劇 長 瘤 的 媳 婦, 收 視 率 為 18% 華 頻 道 播 放 由 小 叮 噹 主 演 的 兒 童 賀 歲 片 哆 啦 A 夢 之 飛 貓 在 天, 收 視 率 只 有 6% 如 果 上 述 統 計 的 誤 差 皆 為 正 負 5%, 那 麼 是 否 實 際 收 看 金 瓶 梅 歪 傳 的 人 會 比 看 長 瘤 的 媳 婦 或 看 飛 貓 在 天 的 人 多? ( 解 ): 金 瓶 梅 歪 傳 實 際 收 視 率 為 15-25% 之 間, 長 瘤 的 媳 婦 實 際 收 視 率 為 13-23% 之 間, 飛 貓 在 天 的 實 際 收 視 率 為 1-11% 之 間, 所 以 實 際 收 看 金 瓶 梅 歪 傳 不 一 定 比 長 瘤 的 媳 婦 的 人 多, 但 一 定 高 於 飛 貓 在 天 一 般 而 言, 運 用 統 計 學 所 得 到 之 結 論 並 非 絕 對 準 確, 可 以 有 少 數 例 外 ; 而 用 純 粹 用 數 理 邏 輯 所 推 導 的 結 論 則 絕 對 正 確 另 外 統 計 學 所 得 到 結 論 不 一 定 為 因 果 相 關 ( 或 邏 輯 相 關 ), 有 時 只 是 表 示 統 計 相 關 而 一 般 算 命 理 論 大 多 來 自 古 代 人 的 統 計 結 論, 但 是 缺 乏 實 際 數 據, 而 且 大 多 是 統 計 相 關 的 結 論 而 非 因 果 相 關 Eg. (a) 肥 胖 的 人 較 易 得 心 臟 病 因 果 相 關 : 說 明 肥 胖 是 導 致 心 臟 病 的 原 因 之 一, 而 且 並 非 所 有 肥 胖 的 人 都 會 得 心 臟 病 (b) 冰 淇 淋 銷 路 好 的 時 候, 游 泳 溺 斃 的 人 也 較 多 統 計 相 關 但 非 因 果 相 關 : 說 明 冰 淇 淋 銷 路 好 並 非 導 致 游 泳 溺 斃 的 原 因, 只 是 二 者 都 常 在 天 氣 熱 的 時 候 發 生 Eg. 處 女 座 的 人 做 事 較 龜 毛 處 女 座 並 非 導 致 龜 毛 的 原 因, 所 以 並 非 因 果 相 關, 而 是 統 計 相 關 此 命 題 說 明 可 能 有 很 多 個 處 女 座 人 士 很 龜 毛, 但 是 究 竟 有 多 百 分 比 的 處 女 座 人 士 很 龜 毛? 從 古 至 今 並 未 有 確 切 的 統 計 數 據 留 下 來 Exercise 根 據 古 代 麻 衣 相 法 柳 莊 相 法 命 相 鐵 關 刀 冰 鑑 等 命 理 書 籍, 以 及 現 代 人 瀟 湘 居 士 一 善 居 士 飛 雲 山 人 等 命 相 大 師 之 大 作, 認 為 : 鷹 勾 鼻 者, 個 性 奸 詐, 城 府 甚 深, 居 心 叵 測 ; 善 於 理 財 但 是 十 分 自 私, 見 不 得 別 人 比 自 己 好 ; 而 45 歲 及 49 歲 時 事 業 易 破 敗 已 知 港 星 劉 德 華 就 是 這 種 鼻 子, 如 果 你 是 位 統 計 學 家, 該 如 何 正 確 地 分 析 或 論 斷 劉 德 華 之 命 理? 機 率 與 資 訊 理 論 (Information Theory) 資 訊 理 論 是 以 機 率 來 分 析 事 件 或 新 聞 重 要 性 ( 資 訊 量 ) 的 方 式 它 有 幾 個 基 本 原 則 : (a) 機 率 越 小 者, 資 訊 量 越 大 Eg. 總 統 自 殺 與 今 天 下 雨 新 聞 重 要 性 比 較 ( 解 ): 總 統 自 殺 之 機 率 很 低, 所 以 一 旦 發 生 總 統 自 殺 的 事 件 將 會 是 大 新 聞 ; 而 今 天 下 雨 之 機 率 較 高, 除 非 久 旱 不 雨, 否 則 今 天 下 雨 不 太 容 易 成 為 大
新 聞 Eg. 為 什 麼 狗 咬 人 不 是 新 聞, 人 咬 狗 才 是 新 聞? ( 解 ): 因 為 狗 咬 人 之 機 率 較 高, 所 以 新 聞 性 較 低 ; 而 人 咬 狗 之 機 率 較 低, 因 此 新 聞 性 較 高 (b) 週 期 性 出 現 的 事 件 較 不 規 則 出 現 的 事 件 之 重 要 性 為 小 Eg. 記 載 每 天 例 行 性 活 動 的 流 水 帳 日 記 : 早 晨 起 來, 刷 牙 洗 臉 吃 飯,, 晚 上 睡 覺 毫 無 看 頭 ; 而 記 載 : 今 天 我 夢 寐 以 求 的 帥 哥 請 我 吃 牛 排 之 類 的 日 記 教 易 引 人 偷 看 (c) 事 件 發 生 期 間 較 短 者 資 訊 量 較 大 Eg. 只 演 一 天 的 單 元 劇 與 連 演 30 天 的 連 續 劇 比 較, 前 者 如 一 天 沒 看, 則 對 劇 情 一 無 所 知 ; 但 是 後 者 如 一 天 沒 看, 則 仍 然 能 猜 到 劇 情 走 向 Eg. 霹 靂 布 袋 戲 如 演 無 限 多 集, 則 將 會 變 成 可 看 可 不 看, 可 有 可 無 的 劇 集 a lim = 0, a N 而 霹 靂 定 律 如 下 : x x (a) 永 不 死 亡 或 死 後 必 定 復 活 的 角 色 : 素 還 真 一 頁 書 秦 假 仙 等 (b) 剛 出 場 時 天 下 無 敵, 然 後 武 功 逐 漸 退 化, 最 後 被 新 角 色 輕 鬆 殺 死 的 角 色 : 魔 魁 鬼 隱 經 天 子 等, 這 些 角 色 佔 霹 靂 布 袋 戲 劇 集 中 的 絕 大 多 數 Eg. 921 大 地 震 死 亡 數 千 人 與 台 灣 一 年 死 於 車 禍 者 數 千 人 新 聞 重 要 性 比 較 ( 解 ): 因 為 前 者 發 生 時 間 較 短 ( 地 震 時 間 不 會 超 過 幾 分 鐘 ), 而 後 者 時 間 為 一 年, 所 以 前 者 新 聞 重 要 性 較 高 況 且 發 生 大 地 震 的 機 率 較 小, 而 發 生 車 禍 的 機 率 較 大 Exercise 如 果 你 是 壹 週 刊 的 狗 仔 隊 記 者, 那 麼 依 據 數 學 中 之 資 訊 理 論, 以 下 各 感 情 事 件 的 報 導 價 值 排 行 榜 為 何? (a) 小 叮 噹 的 主 人 大 雄 與 Shizuka( 靜 香 ) (b) 立 法 委 員 鄭 鎮 與 天 上 掉 下 來 的 禮 物 王 嬋 (c) 大 學 學 生 情 侶 詹 霖 與 陳 琦 群 論 (Group Theory) 與 對 稱 觀 念 群 論 是 一 種 數 學, 應 用 很 廣 泛, 可 以 分 析 對 稱 的 現 象 尤 其 在 化 學 應 用 上, 群 論 常 用 來 探 討 原 子 分 子 間 的 對 稱 結 構
Eg. 水 (H 2 O) 是 平 面 彎 曲 形 的 分 子, 通 過 氧 原 子 而 將 H-O-H 角 度 平 分 的 直 線, 就 是 一 個 轉 180 度 旋 轉 運 算 的 旋 轉 軸 同 時, 分 子 還 有 一 些 對 稱 平 面, 其 中 有 一 個 是 包 含 旋 轉 軸, 而 與 分 子 平 面 垂 直 的 平 面, 另 一 個 是 包 含 三 個 原 子 也 包 含 旋 轉 軸 的 平 面 加 上 保 留 原 來 分 子 形 狀 的 對 稱 運 算, 總 共 就 有 四 個 對 稱 運 算 Eg. 氨 (NH 3 ) 的 對 稱 性 質 就 不 一 樣 它 的 旋 轉 軸, 通 過 氮 原 子 與 三 個 氫 原 子 所 形 成 之 平 面 的 中 心, 只 能 轉 120 度, 另 外 也 有 好 幾 個 對 稱 平 面 在 一 個 分 子 裏 的 對 稱 運 算, 會 形 成 一 個 完 整 的 群 中 國 的 對 聯 文 學, 亦 是 充 滿 群 論 對 稱 運 算 的 觀 念 撰 寫 對 聯 時, 只 要 把 握 上 下 聯 之 間 名 詞 對 名 詞 動 詞 對 動 詞 形 容 詞 對 形 容 詞 副 詞 對 副 詞 介 系 詞 對 介 系 詞 的 基 本 概 念 即 可 而 對 稱 語 句 交 換 後, 在 文 字 意 義 上 仍 然 通 順 Eg. 螞 蟻 樹 下 馬 倚 樹, 雞 冠 花 前 雞 觀 花 ( 解 ): 此 對 聯 充 滿 諧 音 的 趣 味 螞 蟻 樹 對 雞 冠 花 : 名 詞 對 名 詞 馬 對 雞 : 名 詞 對 名 詞 樹 對 花 : 名 詞 對 名 詞 下 對 前 : 介 系 詞 對 介 系 詞 倚 對 觀 : 動 詞 對 動 詞 對 稱 語 句 交 換 後 : 雞 冠 花 前 馬 倚 樹, 螞 蟻 樹 下 雞 觀 花 仍 然 十 分 通 順, 但 是 意 義 不 同 Eg. 軟 溫 新 剝 雞 頭 肉, 潤 滑 方 凝 塞 上 脂 ( 解 ): 傳 說 此 對 聯 分 別 是 唐 明 皇 與 安 祿 山 稱 贊 楊 貴 妃 之 上 圍 的 語 句 軟 溫 對 潤 滑 : 形 容 詞 對 形 容 詞 新 對 方 ( 才 ) : 形 容 詞 對 形 容 詞 剝 對 凝 ( 結 ) : 動 詞 對 動 詞 雞 頭 對 塞 上 : 名 詞 對 名 詞 肉 對 脂 ( 肪 ) : 名 詞 對 名 詞 對 稱 語 句 交 換 後 : 潤 滑 新 剝 雞 頭 肉, 軟 溫 方 凝 塞 上 脂 亦 然 十 分 通 順 Eg. 廟 小 妖 風 大, 池 淺 王 八 多 ( 解 ): 傳 說 此 對 聯 為 毛 澤 東 所 作, 常 用 來 罵 人 廟 對 池 : 名 詞 對 名 詞 妖 風 對 王 八 : 名 詞 對 名 詞
小 對 淺 : 形 容 詞 對 形 容 詞 打 對 多 : 形 容 詞 對 形 容 詞 對 稱 語 句 交 換 後 : 池 淺 妖 風 大, 廟 小 王 八 多 仍 然 十 分 通 順, 只 是 意 思 不 太 合 理 Eg. 明 察 秋 毫 工 技 院, 暗 藏 春 色 私 娼 寮 ( 解 ): 此 對 聯 充 滿 諧 音 的 趣 味, 傳 說 是 早 年 台 大 電 機 系 楊 姓 教 授 與 成 大 電 機 系 黃 姓 教 授 所 作 工 技 院 是 工 業 技 術 研 究 院 的 簡 稱, 現 在 一 般 簡 稱 為 工 研 院, 而 上 聯 的 工 技 院, 其 諧 音 為 公 妓 院, 即 公 立 的 妓 院, 正 好 對 上 下 聯 的 私 娼 寮, 故 此 對 聯 一 出, 即 遭 到 工 研 院 人 士 的 抗 議 Exercise 大 雄 的 爸 爸 恰 好 大 年 初 一 過 生 日, 於 是 大 雄 便 寫 了 春 聯 : 天 增 歲 月 爹 增 壽, 春 滿 乾 坤 娘 滿 門 貼 在 大 門 口, 結 果 大 雄 被 媽 媽 痛 打 了 一 頓 依 照 數 學 中 的 群 論 (Group Theory) 之 對 稱 觀 念, 大 雄 寫 的 春 聯 是 否 有 問 題? 試 申 論 之 貓 福 齊 天 True Doraemon Exercise 分 析 霹 靂 布 袋 戲 主 角 素 還 真 之 出 場 詩 號 : 半 神 半 聖 亦 半 仙, 全 儒 全 道 是 全 賢, 腦 中 真 書 藏 萬 卷, 掌 握 文 武 半 邊 天 與 小 叮 噹 ( 哆 啦 A 夢 ) 之 詩 號 : 半 神 半 聖 亦 半 貓, 英 明 英 勇 是 英 豪, 腹 中 妙 袋 藏 萬 寶, 吃 遍 天 下 銅 鑼 燒, 以 上 何 者 不 含 對 稱 語 句? 中 國 古 代 的 數 學 中 國 古 代 的 數 學 十 分 發 達, 春 秋 時 代 的 孔 子 以 禮 樂 射 御 書 數 教 導 學 生, 其 中 學 生 子 貢 因 為 數 學 成 績 優 異, 加 上 口 才 很 好, 於 是 成 為 春 秋 末 期 時 代 的 大 商 人 以 下 為 中 國 古 代 的 數 學 教 材 之 例 : Eg. 蘇 武 牧 羊 北 海 邊, 不 知 過 了 幾 多 年, 分 明 記 得 天 邊 月, 二 百 三 十 五 番 圓 ( 解 ): 235 12=19 餘 數 7 已 知 農 曆 每 19 年 閏 月 7 次, 所 以 蘇 武 牧 羊 共 19 年 這 是 古 人 教 小 孩 子 算 術 除 法 的 詩
Eg. 巍 巍 寶 塔 共 七 層, 紅 光 點 點 倍 加 增, 共 燈 三 百 八 十 一, 試 問 尖 頭 幾 展 燈 ( 解 ): a 1 +2a 1 +4a 1 +8a 1 +16a 1 +32a 1 +64a 1 =a 1 (1-2 7 )/(1-2)=381, a 1 =3 這 是 古 人 教 小 孩 子 等 比 級 數 和 之 公 式 的 詩 Eg. 中 國 剩 餘 定 理 : 韓 信 點 兵, 三 個 三 個 一 數 餘 二, 五 個 五 個 一 數 餘 三, 七 個 七 個 一 數 餘 四, 問 韓 信 至 少 有 多 少 兵 古 人 以 詩 : 三 人 同 行 七 十 稀, 五 樹 梅 花 廿 一 枝, 七 子 團 圓 正 半 月, 除 百 零 五 便 得 知 說 明 韓 信 點 兵 問 題 的 解 法 : 找 一 個 5 與 7 的 倍 數 而 除 以 3 會 餘 1 的 數, 這 個 數 是 70( 三 人 同 行 七 十 稀 ) 再 找 一 個 3 與 7 的 倍 數 而 除 以 5 會 餘 1 的 數, 這 個 數 是 21( 五 樹 梅 花 廿 一 枝 ) 再 找 一 個 3 與 5 的 倍 數 而 除 以 7 會 餘 1 的 數, 這 個 數 是 15( 七 子 團 圓 正 半 月 ) 然 後 算 出 70 2+21 3+15 4=263 最 後 將 263 除 以 3 5 7 的 最 小 公 倍 數 105:263 105=2 餘 53 這 餘 數 53 便 是 答 案 ( 除 百 零 五 便 得 知 ), 因 此 韓 信 至 少 有 53 個 兵 西 方 數 學 的 進 展 (a) 負 數 虛 數 及 無 理 數 的 意 義 在 十 六 世 紀 時 確 認 (b) 十 七 世 紀 時, 已 知 道 n 次 多 項 方 程 式 有 n 個 根 ( 不 一 定 全 相 異 ) (c) 十 九 世 紀 時, 已 知 用 近 似 方 法 求 方 程 式 的 根, 而 這 種 方 法 後 來 發 展 成 數 值 分 析 學 解 析 幾 何 學 的 發 明 笛 卡 兒 (R. Descartes) 使 用 座 標 系 統, 將 平 面 或 空 間 中 的 點 予 以 明 確 定 位, 在 此 情 形 下, 一 個 代 數 方 程 式 可 以 表 示 一 個 曲 線 或 曲 面, 反 之 亦 然 於 是 許 多 幾 何 上 的 問 題, 便 可 由 代 數 方 法 來 完 成 同 樣 地, 許 多 抽 象 的 代 數 問 題 也 有 了 具 體 的 意 義 ax + by = c Eg. 求 解 代 數 問 題 : dx + ey = f 幾 何 問 題 : dx+ey ax+by 方 程 式 的 根 代 表 各 線 之 交 點
非 歐 幾 何 學 與 歐 氏 幾 何 學 a ± c = b ± c, a c = b c 公 理 (axiom) 的 意 義 : 不 必 證 明, 在 一 切 科 學 中 皆 成 立 的 真 理, 例 如 等 量 公 理 : 公 設 (Postulate): 不 必 證 明, 但 只 在 某 種 學 科 中 被 認 定 成 立 的 真 理, 例 如 相 對 論 中, 光 速 為 一 宇 宙 常 數 ; 或 歐 氏 幾 何 學 中 有 五 項 基 本 公 設 歐 氏 幾 何 學 中 的 第 五 公 設 : 過 一 直 線 外 一 點, 恰 有 一 平 行 線 運 用 平 行 公 設, 吾 人 可 以 証 明 三 角 形 之 三 內 角 和 為 180 o P 平 行 線 直 線 ( 證 明 ) 通 過 p 點, 作 一 平 行 線 平 行 於 三 角 形 之 底 邊, 則 θ 4 = θ1, θ 5 = θ 3 以 上 證 明 過 程 告 訴 我 們 一 件 事 : 若 平 行 公 設 不 成 立, 則 三 角 形 三 內 角 和 不 一 定 會 是 180 o θ + θ + θ = θ + θ + θ = 180 1 2 P 3 4 5 6 (a) 羅 巴 切 夫 斯 基 (Lobatchevsky) 的 非 歐 幾 何 學 : 將 歐 氏 幾 何 學 中 的 第 五 公 設 改 成 : 過 線 外 一 點 p, 有 無 限 多 條 平 行 線 用 此 公 設, 可 証 明 出 三 角 形 之 內 角 和 小 於 180 ; 若 是 三 角 形 趨 近 無 限 小, 則 其 內 角 和 趨 於 180 (b) 黎 曼 (Riemann) 的 非 歐 幾 何 學 : 將 上 述 之 第 五 公 設 改 成 : 過 線 外 一 點, 沒 有 任 何 平 行 線 存 在 用 此 公 設 可 證 明 出 三 角 形 之 內 角 和 大 於 180 ; 若 是 三 角 形 趨 於 無 限 大, 則 其 內 角 和 趨 於 180 而 以 上 兩 種 非 歐 幾 何 學, 均 將 歐 氏 幾 何 學 視 做 其 極 限 之 情 況
非 歐 幾 何 對 人 類 思 想 的 啟 發 : 任 何 一 套 理 論, 只 要 能 自 圓 其 說, 在 邏 輯 上 不 發 生 自 相 矛 盾 的 現 象, 即 可 視 作 對 的 而 可 以 同 時 存 在 兩 套 或 以 上 不 同 的 學 說 以 解 釋 自 然 現 象, 如 中 醫 與 西 醫 古 典 力 學 與 量 子 力 學 等 非 歐 幾 何 的 應 用 : 來 自 遙 遠 某 恆 星 的 星 光, 到 達 地 球 時 可 視 作 平 行 光 將 望 遠 鏡 對 準 某 遙 遠 恆 星, 經 過 一 天 後, 再 度 對 準 同 一 顆 恆 星, 則 所 經 過 的 時 問 便 是 地 球 自 轉 一 週 的 時 問 公 轉 地 球 幾 位 著 名 數 學 家 的 貢 獻 (a) 希 臘 的 歐 幾 里 得 在 公 元 前 300 年 左 右, 寫 下 幾 何 學 原 理 一 書, 將 古 代 有 關 幾 何 學 的 知 識 加 以 整 理, 運 用 嚴 密 的 邏 輯 推 理 和 數 學 計 算 方 法, 演 譯 出 許 多 定 理, 全 書 共 有 476 個 命 題 (b) 公 元 573 年, 中 國 的 祖 沖 之 算 出 圓 周 率 的 範 圍 是 :3.1415926<π<3.1415927 且 π 355/113 or 22/7, 並 且 求 解 出 二 次 及 三 次 方 程 式 的 根 電 腦 發 明 後,1958 年 法 國 人 算 出 π 值 至 小 數 點 後 三 十 一 萬 位,1973 年 則 算 到 小 數 點 後 一 百 萬 位, 而 日 本 人 金 田 康 正 更 算 到 小 數 點 後 二 億 零 一 百 五 十 二 萬 六 千 位 而 現 代 人 類 所 以 要 算 圓 周 率 π, 主 要 是 檢 驗 電 腦 計 算 之 精 確 度 及 所 撰 寫 程 式 之 優 劣 註 : 計 算 π 的 幾 種 方 法 :
1 1 1 1 1 1 1 π = 4(1 + + + + L) 3 5 7 9 11 13 15 2 1 1 1 π = 6(1 + + + +L) 2 2 2 2 3 4 (c) 公 元 1594 年, 英 國 的 奈 普 爾 (J. Napier) 導 出 三 角 學 中 積 化 和 差 之 公 式 : 2 Sin(A)*Sin(B) = Cos(A - B)*Cos(A + B) 於 是 啟 發 他 找 出 將 乘 法 變 成 加 減 法 的 運 算 方 法 二 年 後, 他 製 出 世 上 第 一 份 對 數 表, 後 來 他 又 與 牛 津 大 學 教 授 布 里 斯 格 ( H. Briggs) 發 明 了 以 10 為 基 底 的 對 數 表, 並 於 1617 年 出 版 西 方 早 期 的 計 算 工 具 : 對 數 尺 a b a+ b a b 利 用 公 式 A = 10, B = 10 A B = 10, A B = 10, 因 此 只 要 利 用 對 數 尺 知 道 a b a+b 及 a-b 之 值, 即 可 得 到 A B 和 A B 的 大 小 如 此 可 以 節 省 許 多 計 算 時 間, 因 為 計 算 加 減 法 要 比 計 算 乘 除 法 容 易 的 多 而 對 數 尺 與 算 盤 一 樣, 是 電 子 計 算 器 ( 機 ) 發 明 前 的 一 種 有 用 的 計 算 工 具 (d)1637 年, 法 國 哲 學 家 兼 數 學 家 笛 卡 兒 提 出 解 析 幾 何 之 觀 念, 而 同 一 時 期 數 學 家 費 爾 馬 (P. Fermat) 也 提 出 同 一 套 想 法, 即 引 進 座 標 系 統, 則 一 個 方 程 式 可 以 代 表 一 條 曲 線, 於 是 便 將 代 數 和 幾 何 學 連 貫 起 來 (e)1676 年, 牛 頓 與 萊 布 尼 茲 (G. W. Leibniz) 兩 人 在 通 信 中, 均 提 出 了 微 積 分 的 部 分 理 論 ; 而 微 積 分 著 作 正 式 出 版 之 時 間, 萊 布 尼 茲 則 比 牛 頓 早 了 三 年