第六章数据分析(排列组合、概率和数据描述)

考纲. 排列组合第六章数据分析 ( 排列组合概率和数据描述 ) () 加法原理乘法原理 () 排列与排列数 () 组合与组合数. 概率 () 事件及其简单运算 () 加法公式 () 乘法公式 () 古典概型 () 贝努里概型. 数据描述一排列组合㈠知识要点 () 平均值 () 方差与标准差 () 数据的图表表示 ( 直方图, 饼图, 数表 ). 两个基本原理 () 分类计数原理 ( 加法原理 ) 如果完成一件事有类办法, 只要选择其中一类办法中的任何一种方法, 就可以完成这件事 ; 若第一类办法中有 m 种不同的方法, 第二类办法中有 m 种不同的方法第类办法中有 m 种不同的办法, 那么完成这件事共有 N = m+ m + + m 种不同的方法. () 分步计数原理 ( 乘法原理 ) 如果完成一件事, 必须依次连续地完成个步骤, 这件事才能完成 ; 若完成第一个步骤有 m 种不同的方法, 完成第二个步骤有 m 种不同的方法完成第个步骤有 m 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N = m m m 种不同的方法. 注意分类计数原理和分步计数原理, 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题, 它们的区别在于 : 分类计数原理针对的是分类问题, 其中各种方法相互独立, 每一种方法只属于某一类, 用其中任何一种方法都可以做完这件事 ; 分步计数原理针对的是分步问题, 各个步骤中的方法相互依存, 某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤, 只有各个步骤都完成才算做完这件事应用这两种原理解题时应注意 :() 分清要完成的事情是什么 ;() 是分类完成还是分步完成, 类间互相独立, 步间互相联系 ;() 有无特殊条件的限制.. 排列与组合 () 排列定义从个不同元素中, 任意取出 m( m ) 个元素, 按照一定顺序排成一列, 称为从个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 注意排列的定义包括两个方面 : 从不同元素中取出元素, 按一定的顺序排列 ; 两个排列相同的

条件 : 元素完全相同 ; 元素的排列顺序也相同. () 排列数定义从个不同元素中取出 m( m ) 个元素的所有排列的种数, 称为从个不同元素中取出 m 个不同元素的 P m 排列数, 记作, 当 m = 时, 称为全排列. P 注意排列和排列数的区别 : 一个排列是指 : 从个不同元素中, 任取 m 个元素按照一定的顺序排成一列, 不是数 ; 排列数是指从个不同元素中, 任取 m( m ) 个元素的所有排列的个数, 是一个 m 数. 所以, 符号 P 只表示排列数, 而不表示具体的排列. () 组合的定义 m( m ) 从个不同元素中, 任意取出个元素并为一组, 叫做从个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 注意不同元素 ; 只取不排无序性 ; 相同组合 : 元素相同. () 组合数的定义 m( m ) 从个不同元素中, 取出个元素所有组合的个数, 称为从个不同元素中取出 m 个不同元素 m 的组合数, 记作 C. () 排列与组合的计算公式和常用性质 ( )( ) ( ) m 排列数公式 : P = m+ =! ( m) 说明 :) 公式特征 : 第一个因数是, 后面每一个因数比它前面一个少, 最后一个因数是 m+, 共有 m 个因数 ; ) 全排列 : 当 = m时, 即个不同元素全部取出的一个排列, 则 ( )( ) P = =! (! 称为的阶乘 ). 0 ) 规定 P =, 0! =. ( )( ) ( + )! ( ) ( ) m m m P 组合数公式 : C = = =. m m m! m! m! m k m k 性质 :) P = P P k m k 0 ) C =, 特别地,C = C =. m m C ( )! = x= y + =. x y 若 C C 或 x y m m m ) C C C +. 常用的组合恒等式

0 ) C + C + C + + C = ; 0 ) C + C + C + = ; ) C + C + C + =. ㈡经典例题精解例 6. 如右图所示, 从甲地到乙地有条路可通, 从乙到丙地有条路可通, 从甲地到丁地有条路可通, 从丁地到丙地有条路可通, 则从甲地到丙地不同的路共有 ( ) (A) 条 (B) 条 (C) 条 (D) 条 (E) 以上均不正确答案 C 解析从甲地到丙地不同的路可以分为两类 : 第一类 : 从甲地经乙地到丙地第步从甲地到乙地, 有条路 ; 第步从乙地到丙地, 有条路由乘法原理, 从甲地经乙地到丙地共有 = 6条路第二类 : 从甲地经丁地到丙地第步从甲地到丁地, 有条路 ; 第步从丁地到丙地, 有条路由乘法原理, 从甲地经丁地到丙地共有 = 8条路最后, 由加法原理, 从甲地到丙地不同的路共有 6+8 = 条路故此题应选 C 注意如果分类就采用加法原理, 如果分步就采用乘法原理. 例 6. A,B,C,D,E 人并排站成一排, 如 A,B 必相邻, 且 B 在 A 右边, 那么不同排法有 ( ). (A) 种 (B) 60 种 (C) 90 种 (D)0 种 (E)0 种答案 A 解析将特殊元素 A,B 按 B 在 A 的右边捆绑, 将其看成一个大元素, 与另外三个元素全排列, 则有 P = 种排法, 由于 A,B 不能交换, 故不再松绑, 选 A. 解题提示解相邻问题, 采用捆绑法 : 对于某几个元素要求相邻的问题, 可先将相邻的元素捆绑起来看作一个元素与其他元素排列, 然后再在相邻元素之间排列事实上, 这种方法就是将相邻的某几个元素优先考虑, 让这些特殊元素合成一个元素, 与普通元素排列后, 再松绑例 6. 计划展出 0 幅不同的画, 包括幅水彩画幅油画和幅国画, 将它们排成一行陈列, 要求同一品

种的画必须连在一起, 并且水彩画不放在两端, 那么不同的陈列方式有 ( ) 种. (A) PP (B) PPP (C) PPP (D) PPP (E) PPP 答案 D 解析这是一个相邻问题, 我们用捆绑法先把种品种的画各看成整体捆绑, 而水彩画不能放在头尾, 故只能放在中间, 又油画与国画有为 PPP, 故选 D. 例 6. 7 人站成一行, 如果甲乙两人不相邻, 则不同的排法种数是 ( ). P 种放法, 再考虑油画与国画本身又可以全排列, 故排列的方法 (A)0 种 (B) 600 种 (C) 0 种 (D) 800 种 (E)900 种答案 B P 解析先让甲乙之外的人排成一行, 有种排法, 再让甲乙两人在每两人之间及两端的 6 个间隙中插入, 有 P 6 种方法, 故共有 PP 6 = 600 种排法, 选 B. 解题提示解不相邻问题, 采用插空的方法 : 对于某几个元素不相邻的排列问题, 可先将其它元素排列好, 然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入. 例 6. 从,,,,000 这 000 个自然数中, 取出 0 个互不相邻的自然数, 有多少种方法? 解析这是不相邻的问题, 用插空法可以考虑, 把取出的这 0 个互不相邻的数看成女生, 其余的数看成男生. 因为任意相邻名男学生之间最多站名女学生, 队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站 0 名女学生, 于是, 这就是 99 个位置中任选 0 个位置的组合问题, 故共有 C 99 种方法. 注意利用插空法, 也可以减少元素, 从而简化问题. 例 6.6 一排 6 张椅子上坐人, 每两人之间至少有一张空椅子, 求共有多少种不同的坐法? 解析两人之间至少有一张空椅子, 也就是两两不相邻, 是不相邻的问题, 用插空法先把个没有差异的空椅子摆好, 则有个空, 从中选个空让个人去坐, 有种, 选中位置后三个人可以全排列, C 有种, 则坐法共有 CP = 种 P 例 6.7 满足 x + x + x + x = 的正整数解的组数有多少? 解析 x + x + x + x = 的正整数解的组数就可建立组合模型将个完全相同的球排成一列, 在它们之间形成个空隙中任选三个插入块隔板, 把球分成个组. 每一种方法所得球的数目依次为 x, x, x, x, 显然 x+ x + x + x, 故 ( =,,, x x x x ) 是方程的一组解. 反之, 方程的任何一组解

( y, y, y, y ), 对应着唯一的一种在个球之间插入隔板的方式, 故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 C. 评注若求 x+ x + x+ x = A ( ) ( ) ( ) ) ( 非负整数解的个数, 即转化为 x + + x + + x + + + x + = A+ 中 + 的正整数解, 个数为. x i C A+ 解题提示对于较复杂的排列问题, 采用构造隔板法, 这种问题模型要求满足条件相当严格, 必须具备以下个条件 : 所要分的物品规格必须完全相同. 所要分的物品必须分完, 决不允许有剩余. 参与分物品的每个成员至少分到个, 决不允许出现分不到物品的成员. 例 6.8 某校准备组建一个 8 人的足球队, 这 8 人由高一年级 0 个班的学生组成, 每个班级至少人, 名额分配方案共有种. 解析构造一个隔板模型, 如上图所示, 取 8 枚棋子排成一列, 在相邻的每两枚棋子形成的 7 个间隙中选取 9 个插入隔板, 将 8 枚棋子分隔成 0 个区间, 第 ( 0) i i 个区间的棋子数对应第 i 个班级学生的名额, 因此名额分配方案的种数与隔板插人数相等, 因隔板插人数为, 故名额分配方案有 C = 0 ( 种 ). 例 6.9 从 0 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置土, 则共有多少种不同的排法? 解析方法一 :( 从特殊位置考虑 ) PP 9 9 = 6080 ; 6 方法二 :( 从特殊元素考虑 ) 若选这个女演员有 P 9 种 ; 若不选她有 P 9 种, 则共有 6 P + P = 6080 ; 9 9 6 方法三 :( 间接法 ) P P =6080. 0 9 评注解含有特殊元素, 特殊位置时, 采用特殊优先安排的策略. 例 6.0 马路上有编号为,,,,9 的 9 只路灯. 为节约用电, 现要求把其中的三只灯关掉, 但不能同 9 C 7 9 7

时关掉相邻的两只或三只, 也不能关掉两端的路灯, 则满足条件的关灯方法共有种. 解析关掉一只灯的方法有 7 种, 关第二只第三只灯时要分类讨论, 情况较为复杂. 换一个角度, 从反面人手考虑. 因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列, 于是问题转化为在 6 只亮灯中插入只暗灯, 且任何两只暗灯不相邻暗灯不在两端, 即从 6 只亮灯所形成的个间隙中选个插入只暗灯, 其方法有 C = 0( 种 ). 故满足条件的关灯的方法共有 0 种. 例 6. 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号, 现有面红旗和面白旗, 把这面旗都挂上去, 可表示不同信号的种数是. 解析法一 : 面旗全排列有故共有不同的信号种数是 ( ) p 种挂法, 由于面红旗与面白旗的分别全排列均只能作一次挂法, p p p = 0 ( 种 ). 法二 : 此题也可以用组合来解, 只需个位置中确定个, 即 C = 0. 评注定序问题, 采用除法策略 : 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素与其它元素一同进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素的全排列数, 这其实就是局部有序问题, 利用除法来消序定序问题的本质是组合问题例 6. 不同的钢笔支, 分堆, 一堆 6 支, 另外两堆各支, 有多少种分法? 若再将它们分给个人, 有几种分法? 6 解析 () 若堆有序号, 则有 C C C, 但考虑有两堆都是支, 无须区别, 故共有 6 C C C P = 种分法 ; 6 6 90 C C C P P = C C 6 6 6 6 () 即将分成的堆再分给个人有 ( ) 种注意在处理分堆问题时, 有时几堆中元素个数相等, 这时也要用除法例 6. 甲乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛, 双方先由 l 号队员比赛, 负者被淘汰, 胜者再与负方号队员比赛直到有一方队员全被淘汰为止, 另一方获胜, 形成一种比赛过程, 那么所有可能出现的比赛过程共有多少种? 解析设甲队队员为为 a, a,, a, 乙队队员为 b, b,, b, 下标表示事先安排好的出场顺序, 7 若以依次被淘汰的队员为顺序, 比赛过程可类比为这个字母互相穿插的一个排列, 最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员. 如 aabbabbbabbaaa, 所表示的是个位置中取 7 个位置安排甲队队员, 6 7 6 7 7 7 其余位置安排乙队队员, 故比赛过程的总数为 C =. 6

例 6. 名医生和 6 名护士被分配到所学校为学生体检, 每校分配名医生和名护士, 不同的分配方法共有 ( ). (A) 90 种 (B)80 种 (C) 70 种 (D) 0 种 (E) 00 种答案 D 解析方法一 : 先分组后分配 : 第一步, 将名医生分成组, 每组一人只有一种分法. 第二步, 将 6 名护士分成组, 每组人有 ( CCC ) P 6 种分法. 第三步, 将医生组及护士组进行搭配, 使每组有名医生名护士, 有 P 种搭配方法. P 第四步, 将所得的组分配到所不同的学校有种分配法. 故共有不同的分配方法 :( ) C C C P P P =0( 种 ). 故选 D. 6 6 方法二 : 第一步, 先将 6 名护士分配到所不同学校, 每所学校名, 则有 CCC ( 种 ) 分法. 第二步, 再将名医生分配到所不同的学校, 每所学校人, 有 P 种分法. 故共有 CCC P = 0( 种 ). 故选 D. 6 评注分配问题属于排列和组合并用的综合题目, 一般处理思路是先选 ( 组合 ) 后排 ( 排列 ). 例 6. 7 名学生争夺项冠军, 每项冠军只有一人. 获得冠军的可能的种数有 ( ). 7 (A) 7 (B) (C) (D) (E) 答案 A P 7 P 7 7 7 P 7 解析因同一学生可同时夺得几项冠军, 故学生可重复排列. 将 7 名学生看作 7 家店, 项冠军看作个客, 每个客有 7 种住宿法, 由乘法原理得 7 种, 选 A. 解题提示对于可重复排列问题, 采用分房法 : 要注意区分两类元素, 一类元素可以重复, 另一类不能重复, 把不能重复的元素看作人, 能重复的元素看作房, 再利用乘法原理直接求解. 例 6.6 从到 00 的自然数中, 每次取出不同的两个数, 使它们的和大于 00 则不同的取法有 ( ). (A) 0 种 (B) 00 种 (C)7 种 (D) 00 种 (E) 00 种答案 D 解析此题数字较多, 情况也不一样, 需要分拆摸索其规律, 为了方便, 两个加数中以较小的数为被加数, 因为 +00 =0>00, 为被加数的有种 ; 同理, 为被加数的有种 ; ;9 为被加数有 9 种 ; 0 为被加数的有 0 种, 但为被加数只有 9 种 ; 为被加数只有 8 种 ; ;99 为被加数的只有种,

( ) ( ) 故不同的取法共有 : + + + 0 + 9 + 8 + + = 00 ( 种 ), 选 D. 例 6.7 将数字,,, 填人标号为,,, 的个方格里, 每格填一个数, 则每个方格的标号与所填数字均不同的填法有多少种? 解析考察排列的定义, 由于附加条件较多, 解法较为困难, 可用试验法逐步解决. 第一方格内可填或或, 如填, 则第二方格内可填或或. 若第二方格内放, 则第三方格只能填, 第四方格填. 若第二方格填, 则第三方格应填, 第四方格应填. 同理, 若第二方格填, 则第三第四方格应分别填,, 因而, 第一方格放共有种方法, 同理, 第一格放或也各有种, 所以共有 9 种方法, 这里用到了试验的技巧. 例 6.8 用,,, x 等个数字组成四位数, 所有这些四位数中的数字的总和为 88, 求 x. 解析若 x 不为 0, 在每一个数位上,,, x, 出现的机会是均等的. 由于一共可以得到 P = 个四位数, 所以每一个数字在每一个数位上出现 6 次, 于是得到 ( x) + + + = 88, 解得 x = ; 若 x 为 0, 则有 CP = 个四位数, 则所有数字的和为 8 ( + + ) 88, 所以 x 不能为 0. 8 例 6.9 男运动员 6 名, 女运动员名, 其中男女队长各人, 选派人外出比赛, 在下列情形下各有多少种选派方法?() 队长至少有人参加 ;() 既要有队长, 又要有女运动员, 解析 () 方法一 : 设 A={ 选派人有男队长参加的 },B={ 选派人有女队长参加的 }, 则原题即求 ( A B), 而 A B = A + B A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ) = C = ( B), ( A B) = C, 故 ( A B) C9 C8 9 8 而 ( A) C C ( B) C C ( A B) ( ), = = 96. 方法二 : 设 A={ 选派人有个队长参加的 },B={ 选派人有个队长参加的 }, 则原题即求 (AUB), =, =, = = 0, 8 8 ( ) ( ) ( ) 因此 A B = A + B = C C + C C =. 8 8 96 评注 A B 即选派人既要有个队长参加又要有个队长参加这件事, 这是不可能事件. () 设 A={ 选派人有队长参加的 },B={ 选派人有女运动员参加的 }, 则原题即求 ( A B), 又 ( B) = ( I) ( A B) = ( I) ( A B) ( I) ( A) ( B) ( A B) C C C C A = + = + =. 即有 9 种选派方法. 0 8 6 9 8

评注 A B 即选派人, 既无队长又无女运动员参加. 注意从以上可以看出, 用集合与对应思想分析处理排列组合问题, 实质上就是将同一问题中满足不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系, 而将各限制条件之间的关系转化为集合与集合之间的运算关系, 通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数, 这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有一个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理, 这可大大简化复杂的分类过程, 从而降低了问题的难度. 例 6.0 用种不同的颜色给下图中标的各部分涂色, 每部分只涂一种颜色, 相邻部分涂不同颜色, 则不同的涂色方法有多少种? 解析先给号区域涂色有种方法, 再给号涂色有种方法, 接着给号涂色方法有种, 由于号与不相邻, 因此号有种涂法, 根据分步计数原理, 不同的涂色方法有 =0 种. 评注对于区域涂色问题, 最基本的方法是根据分布计数原理, 对各个区域分布涂色. 例 6. 如下图所示, 一个地区分为个行政区域, 现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有种颜色可供选择, 则不同的方法共有多少种? 解析依题意至少要用种颜色 () 当用三种颜色时, 区域与必须同色, 区域与必须同色, 故有种 ; P () 当用四种颜色时, 若区域与同色, 则区域与不同色, 有种 ; 若区域与同色, 则区域 P 与不同色, 有 P 种, 故用四种颜色时共有 P 种. 由加法原理可知满足题意的着色方法共有 P + P = + = 7. 例 6. 如下图,6 个扇形区域 A,B,C,D,E,F, 现给这 6 个区域着色, 要求同一区域涂同一种颜色, 相邻的两个区域不得使用同一种颜色, 现有种不同的颜色可用, 求方法数. 解析 () 当相间区域 A,C,E 着同一种颜色时, 有种着色方法, 此时,B,D,F 各有种着色方法, 此时,B,D,F 各有种着色方法故有 = 08 种方法. 9

() 当相间区域 A,C,E 着两不同的颜色时, 有 CP 种着色方法, 此时 B,D,F 有种着色方法. 故共有 CP = 种着色方法. 0 () 当相间区域 A,C,E 着三种不同的颜色时, 有种着色方法, 此时 B,D,F 各有种着色方法. 此时共有 P = 9种方法. 解决. 故总计有 08++9=7 种方法. P 说明本题根据相间区使用颜色的种类分类 ; 关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来例 6. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色, 将一个正方体的 6 个面涂色, 每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色, 则不同的涂色方案共有多少种? 进行讨论. 分析显然, 至少需要种颜色, 由于有多种不同情况, 仍应考虑利用加法原理分类乘法原理分步解析根据共用多少种不同的颜色分类讨论 : () 用六种颜色, 确定某种颜色所涂面为下底面, 则上底颜色可有种选择, 在上下底已涂好后, 再确定其余种颜色中的某一种所涂面为左侧面, 则其余个面有! 种涂色方案, 根据乘法原理得 =! = 0. () 共用五种颜色, 选定五种颜色有 C = 种方法, 必有两面同色 ( 必为相对面 ), 确定为上下底面, 6 6 其颜色可有种选择, 再确定一种颜色为左侧面, 此时的方法数取决于右侧面的颜色, 有种选择 ( 前后面可通过翻转交换 ), 所以 = C6 = 90. () 共用四种颜色, 仿上分析可得 : () 共用三种颜色, C6 0 = =. 综上, 总共有 0+90+90+0=0. 二概率㈠知识要点. 随机实验与随机事件 () 随机现象, 随机实验 C6C 90 = =. 在一定条件下, 可能出现的结果不止一个, 而在事前无法准确地知道其中哪一个结果出现, 具有这种特点的现象叫做随机现象 ; 把对随机现象的观察测量叫做实验, 若实验满足以下条件 :

实验可在相同条件下重复进行 ; 实验的结果具有很多可能性 ; 实验前不能确切知道会出现何种结果, 只知道所有可能的结果. 这样的实验叫做随机实验, 简称实验, 通常记为 E () 样本空间样本点随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为 Ω. 样本空间的元素, 即 E 的每个结果, 称为样本点, 记为 e i. () 随机事件随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件, 常记为 A,B,C, 注意三种事件都是在一定条件下发生的, 当条件改变时, 事件的性质也可以发生变化. () 基本事件必然事件不可能事件由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件, 基本事件也叫样本点. 样本空间包含所有样本点, 在每次试验中总是要发生的, 称为必然事件. 每次试验中一定不发生的事件, 称为不可能事件, 记为. 注意一次试验中可能出现的每一个结果 ( 事件 A) 称为一个基本事件.. 事件的关系及运算 () 事件的包含 ( 子事件 ) 若事件 A 发生, 必然导致事件 B 发生, 则称事件 A 是事件 B 的子事件, 记作 A B 或 B A. 如下左图 () 事件的相等 ( 等事件 ) 若 A B 且 B A, 则称事件 A 与 B 相等, 记作 A=B. () 事件的和 ( 和事件 ) 如下中图事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件, 称为 A 与 B 的和事件, 记作 A B 或 A + B. () 事件的积 ( 积事件 ) 事件 A 与事件 B 同时发生的事件, 称为 A 与 B 的积事件, 记作 A B 或 AB. 如下右图 () 事件的差 ( 差事件 )

事件 A 发生而 B 不发生的事件, 称为 A 与 B 的差事件, 记作 A B. 如下页左图. (6) 互斥事件 ( 或不相容事件 ) 若事件 A 与 B 不同时发生, 即 AB =, 则称 A 与 B 是互斥事件. 如下中图. (7) 对立事件 ( 或逆事件 ) 若 A B=Ω且 AB =, 则称 A 与 B 是对立事件, 记 B = A, 如下右图. 注意对立事件一定是互斥事件, 但互斥事件不一定是对立事件. (8) 独立事件 : 如果事件 B 的发生并不受事件 A 是否已经发生的影响, 则称事件 A 与 B 相互独立. (9) 事件的运算律交换律 : A B = B A; AB = BA ; 结合律 :( A B) C = A ( B C) ;( A B) C = A ( B C) ; 分配律 :( A B) C = ( AC) ( BC) ; A ( BC) = ( A B)( A C) ; 德摩根律 : A A = A A ; A A = A A.. 随机事件的概率 () 概率的定义在确定的条件下, 重复做次实验, 记 m 是次实验中事件 A 发生的次数, 当实验次数很大时, 如 m 果频率稳定在某一数值 p 的附近摆动, 而且一般说来随着实验次数的增多, 这种摆动幅度越来越小, 则称数值 p 为随机事件 A 的概率, 记作 P A = p, 这是概率的统计意义. () 概率的性质 ( ) ( ) 概率的基本性质 : 0 P A ; ( ) ( ) P Ω = ; P = 0 ; P A B P A P B P AB) 概率的加法公式 : 设 A B 为任意两个事件, 则 ( ) = ( ) + ( ) ( P A B P A P B); 推论 : 互斥事件概率的加法公式, 设 AB =, 则 ( ) = ( ) + (

推论 : 设有有限个两两互斥的事件 A, A,, A, 则 P Ai = P Ai i= i= 差事件概率公式 : P( B A) = P( B) P( BA) ;. 古典概型推论 : 若 A B P( B A) P B P A ( ), 则 = ( ) ( ), P( A) P( B) 对立事件概率公式 : P( A) = P( A) 6 独立事件概率的乘法公式 : 若事件 A B 相互独立, 则 P( AB) P( A) P( B) () 古典概型的定义随机实验 E 具有以下特征 : 样本空间的元素 ( 即基本事件 ) 只有有限个 ; 每个基本事件出现的可能性是相等的, 称 E 为古典概型实验 () 古典概型的计算公式 =. 在古典概型的情况下, 如果样本空间包含的基本事件的总数为, 事件 A 包含了其中 m 个基本事件, m m 则称为事件 A 的概率, 记作 P( A) =. 注意计算古典概率时, 首先要弄清随机试验是什么, 即判断有限性和等可能性是否满足, 其次要弄清样本空间是怎样构成的, 构成样本空间的每个基本事件出现一定要是等可能的. 忽略了这一点, 就会导致错误的结果. 古典概型研究的对象大致可分为三类问题 : 摸球 ; 分房 ; 随机取数 ( 电话号码 ) 问题. 这几类问题的解决方法将在典型例题或练习题中给出.. 独立性一般地, 如果事件 A, A,, A 相互独立, 那么这个事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的 ( ) ( ) ( ) ( ) 积, P A A A = P A P A P A, 但反之不一定成立注意独立与互斥的区别 : 两事件 A,B 独立, 则常有 AB, 即 A 与 B 非互斥, 事实上, 若 A 与 B 互斥, 则 P(AB)=0. 而当 P(A)>0,P(B)>0 时,P(A)P(B)>O, 可知 P(AB) P(A)P(B). 因此两事件互斥并不能得出这两个事件就独立的结论. 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系, 但互斥的两个事件是一次试验中的两个事件, 相互独立的两个事件是在两次试验中得到的, 注意区别. () 独立重复实验在相同条件下, 将某试验重复进行次, 且每次试验中任何一事件的概率不受其他次试验结果的影响, 此种试验称为次独立重复试验. () 贝努里概型如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在次独立重复试验中这个事恰好发生 k 次的概率 :

k k k ( ) ( 0,,,, ) P k = C p q k =, 其中 q = p. k = 时, 即在次独立重复试验中事件 A 全部发生, 概率为 ( ) ( P = C p = p 0 = C p ( p ) = ( p p) 注意次独立重复试验的特征 : 试验的次数不止一次, 而是多次, 次数 ; 每次试验的条件是一样的, 是重复性的试验序列 ; k = 0 时, 即在次独立重复试验中事件 A 没有发生, 概率为 ( ) k k k P ( ) 0 0 P k = C p q 即是二项式 p+ ( k k k ( ) = P k C p q p) 0 的分布称为二项分布或叫做贝努里 (Beroulli) 概型. ; ) 的展开式中第 k+l 项的值, 也称为是二项分布公式. 概率每次试验的结果只有 A 与 A 两种 ( 即事件 A 要么发生, 要么不发生 ), 每次试验相互独立, 实验的结果互不影响, 即各次实验中发生的概率保持不变. ㈡经典例题精解例 6. 口袋中有 6 个红球和个黄球, 红球与黄球的形状无差异, 分别按以下三种情况 : ) 有放回 ;) 不放回 ;) 一次取样, 从口袋中取球, 求两球全红的概率 ; 解析这是古典概型中的摸球问题事件 A={ 两球全红 } ) 当有放回时, 样本空间数 Ω = 8 8= 6,A 的个数 6 6 6, 则 P A ) 当不放回时, 样本空间数 Ω = 8 7 6,A 的个数 C C ) 当一次取出时, 样本空间数 Ω = C 8 = = ( ) A A = = =, 则 P( A),A 的个数 A 6 0 A Ω = C6, 则 P( A) = = ; 8 A Ω 9 = = ; 6 A Ω = = ; 8 例 6. 将人等可能分配到 6 个房间中, 求 :A: 在前个房间各恰有一人 ;B: 有个房间恰各有人, 求 A,B 事件的概率. 解析这是古典概型中的分房问题分房问题中样本空间数 Ω = 6. 事件 A 的排列数为 P, 可知 A = ; 则 P( A) P 事件 B 的排列数为 CP, 可知 = C P ; 则 P B 6 A P = = ; 6 Ω B 6 ( ) B CP 6 = =. 6 Ω

例 6.6 排球比赛的规则是局胜制,A,B 两队每局比赛获胜的概率分别为 () 前两局中 B 队以 :0 领先, 求最后 A,B 队各自获胜的概率 ; ()B 队以 : 获胜的概率. 解析 () 设最后 A 获胜的概率为, 最后 B 获胜的概率为 P. 所以, P 和. P 8 = C = 7 ; 9 P = + + =. 7 () 设 B 队以 : 获胜的概率为 P, 所以 P = C 8 = 8 例 6.7 某人对一目标进行射击, 每次命中率都是 0., 若使至少命中次的概率不小于 0.7, 至少应射击几次? 解析设要使至少命中次的概率不小于 0.7, 应射击次. 记事件 A={ 射击一次, 击中目标 }, 则 P(A)=0.. 因为, 射击次相当于次独立重复试验, 所以, 事件 A 至少发生次的概率为 ( ) P = P 0 0.7 =. lg 由题意, 令 0.7 0.7, 所以, 所以.8, 所以, 的最小值为要使至 lg 少命中次的概率不小于 0.7, 至少应射击次例 6.8 如下右图所示, 用 A,B,C,D 四类不同的元件连接成系统 N, 当元件 A 正常工作时元件 B,C 都正常工作, 或当元件 A 正常工作且元件 D 正常工作时, 系统 N 正常工作. 已知元件 A,B,C,D 正常工作的概率依次为,,,. () 求元件 A 不正常工作的概率 ; () 求元件 A,B,C 都正常工作的概率 ; () 求系统 N 正常工作的概率. 解析 () 由题意可知元件 A 正常工作的概率 P(A) =, 不正常工作是正常工作的对立事件, 为 A, 则它不正常工作的概率 P( A )= P( A) =. () 元件 A,B,C 都正常工作, 即三个的积事件 ABC, 则积的概率 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= =. 8 () 系统 N 正常工作可分为两类, 一是 A,B,C 都正常工作, 二是 A,D 正常工作但 B,C 不都正常工作, 由 () 知前者概率为 8..

后者的概率为 P( ABCD) + P( ABCD) + P( ABCD) = + + = 7 0 7 7 所以系统 N 正常工作的概率是 + =. 8 0 0 例 6.9( 取数问题 ) 从 O,,,9 共 0 个数字中随机地不放回的接连取个数字, 并按其出现的先后次序排成一列, 求下列事件的概率 :() 个数排成一个偶数 ;() 个数排成一个四位数 ;() 个数排成一个四位偶数, 解析这是古典盖型中的随机取样问题. 令 A={ 个数排成一个偶数 },B={ 个数排成一个四位数 }, C={ 个数排成一个四位偶数 }. 首先有样本空间数 = P = Ω 0 0 9 8 7 有 A A = C P = 9 8 7, 故 P( A) = = 0.; 9 B = P P = 0 9 8 7-9 8 7, 故 P(B) = = 0.9; B 0 9 C = C P C P = 9 8 7-8 7, 故 P(C) = = 0.6. C 9 8 Ω 例 6.0 某种电路开关闭合后, 会出现红灯或绿灯闪动, 已知开关第一次闭合后, 出现红灯和出现绿灯的概率都是. 从开关第二次闭合起, 若前次出现红灯, 则下一次出现红灯的概率是, 出现绿灯的概率是 ; 若前次出现绿灯, 则下一次出现红灯的概率是, 出现绿灯的概率是问 :() 第二次闭合后出现红灯的概率是多少?() 三次发光中, 出现一次红灯两次绿灯的概率是多少? 解析 () 出现红灯有两类 : 如果第一次出现红灯, 则接着又出现红灯的概率是 ; 如果第一次出现绿灯, 则接着出现红灯的概率为. 综上所述, 由加法原理第二次出现红灯的概率为十 7 =. () 由题意, 三次发光中, 出现一次红灯两次绿灯的情况共有三种方式 : 当出现绿绿红时的概率为 = ; 当出现绿红绿时的概率为 = ; 当出现红绿绿时的概率为 =. 所以三次发光中, 出现一次红灯两次绿灯的概率为 + + = 7. 6 Ω Ω

三数据描述㈠知识要点. 基本概念 () 算术平均值 ( 平均数 ) 众数中位数 x + x + x + + x 有个数 x, x, x,, x, 称 i= 为这个数的算术平均值 ( 也称平均数 ), 记做 x = xi. 这几个数中出现次数最多的数称之为众数. 这几个数按从小到大的顺序依次排列, 当为奇数时, 则处在最中间的那个数是这几个数的中位数 ; 当为偶数时, 则处在最中间的两个数的平均数是这几个数的中位数. () 方差标准差设一组样本数据 x, x, x,, x, 其平均数为 x, 则称 ( ) ( ) ( ) ( = + + + = ) i x 为这个样本的方差. = s x x x x x x x 将样本方差的算术平方根叫做这组数据的标准差 ( 也称均方差 ), 记作 s, 即 ( ) ( ) ( ) s = x x + x x + + x x 标准差是方差的一个派生概念, 它的优点是单位和样本的数据单位保持一致, 给计算和研究带来方便. () 方差和标准差的意义方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数. 方差越大, 说明数据的波动越大, 越不稳定. 方差描述了一组数据波动的大小, 方差越小, 数据波动越小越整齐越稳定. 方差用来比较平均数相同的两组数据波动的大小, 也用它描述数据的离散程度.. 数据的图表表示 () 直方图在数据统计中, 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数, 频数与数据总数的比称为频率. 在直角坐标系中, 把横轴分成若干个小组, 每一段对应一个组距, 然后以组距形成的线段为底, 以该组的频率组距为高作矩形, 这样得出的若干个矩形构成的图为频率直方图, 简称为直方图. 在直方图中, 众数是最高矩形底边中点的横坐标 ; 中位数左边和右边的直方图的面积相等 ; 平均数是直方图的重心, 它等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和 () 饼图某产品成本结构 :A( 工资成本 ) B( 原料成本 ) C( 运输成本 ) 分别占 8% 0% % 可用饼图来表示, 如下左图所示 7 i

() 数表全体正整数组成一个三角形数表, 如上右图所示, 如何求第 ( ) 行从左到右的第个数? 第 ( ) ( ) 前面有 ( ) 6 个数, 第 ( ) 行从左到右的第个数是 + =. 例 6. 甲乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件, 现在从中各抽取 0 个, 它们的尺寸分别为 ( 单位 :mm): 甲 0. 0. 0. 9. 9.9 0. 9.7 0.0 9.9 0. 乙 0. 0.0 0.0 9.9 0. 0.0 9.8 9.9 0. 0.0 () 画出甲乙两组数据的频率分布直方图就生产的稳定性而言, 甲机床与乙机床的波动哪个更小?( 不用计算, 可通过观察直方图直接回答结论 ) () 分别计算甲乙两组数据的平均值与标准差如果图纸上的设计尺寸为 0 mm, 从计算看, 用哪台机床加工这种零件较合适? 解 () 甲乙两组数据的频率分布直方图分别如下图中甲乙所示. 行从频率分布直方图可以判断, 乙机床的稳定性好于甲机床的稳定性. () 甲乙两组数据的平均值分别记为 x, x, 则 x =0, x =0. 甲乙两组数据的方差分别为 s = 0.8, s = 0.0, 则甲乙两组数据的标准差分别为 s = 0.8 = 0.77, s = 0.0 = 0.0 因为 x = x =0, s > s 所以可估计乙比甲稳定, 用乙较合适. 练习题 8

. 安排名歌手的演出顺序时, 要求某名歌手不第一个出场, 另一名歌手不最后一个出场, 不同排法的总数是 ( ). A. B.6 C.70 D.76 E.78.6 个同学站一队, 要求甲必须站在乙前, 乙必须站在丙前的不同站法有 ( ) 种. A.0 B. C.8 D.6 E.0.A B C D E 五支篮球队相互进行循环赛, 现已知队赛过场,B 队赛过场,C 队赛过场,D 队赛过场, 则此时 E 队赛过 ( ) 场. A. B. C. D. E. 不确定. 某班元旦联欢会原定的个学生节目已排成节目单, 开演前又增加了两个教师节目, 如果将这两个教师节目插入原节目单中, 那么不同插法的种数为 ( ). A. B.0 C.0 D. E.6. 从 7 人中选派人到 0 个不同的交通岗的个中参加交通协管工作, 则不同的选派方法有 ( ). (A) CPP (B) PC P (C) C C (D) CP (E) 以上都不对 7 0 7 0 6. 停车场上有一排 7 个停车位, 现有辆汽车需要停放, 若要使三个空位连在一起, 则停放方法数为 ( ). 0 7 7 0 (A) (B) (C) (D) P P (E) P 7 P 7 P 7. 种不同商品在货架上排成一排, 其中 A,B 两种必须连排, 而 C,D 两种不能连排, 则不同的排法共有 ( ). (A) 种 (B) 0 种 (C) 种 (D) 8 种 (E) 0 种 8.6 张同排连号的电影票, 分给名教师与名学生, 若要求师生相间而坐, 则不同的分法有 ( ). (A) P P (B) P P 7 P (C) P P (D) P P (E) 以上都不对 9. 某人射出 8 发子弹, 命中发, 若命中的发中仅有发是连在一起的, 那么该人射出的 8 发, 按命中与不命中报告结果, 不同的结果有 ( ). (A) 70 种 (B) 80 种 (C) 种 (D) 0 种 (E) 0 种 0. 目前, 京城市私家汽车牌照的格式为京 AQ 口一口口口, 前格是英文字母 ( 除字母 I,Q 外 ), 后格为 O~9 这 0 个数字中的个数字 ( 数字允许重复 ), 则任意遇到一辆私家车, 牌照的后面格中有且仅有个连续 8 的概率是多少?( ) (A)0.009 (B)0.0 (C)0.0 (D)0.08 (E)O. 0. 从 {,,,,,0) 中任选个不同的数, 使这三个数成等差数列, 这样的等差数列最多有 ( ). (A) 90 个 (B) 80 个 (C) 00 个 (D)0 个 (E)0 个. 男女学生共有 8 人, 从男生中选取人, 且从女生中选取人, 共有 0 种不同的选法, 其中女生有 ( ). (A) 人或人 (B) 人或人 (C) 人 (D) 人 (E) 人. 兰州某车队有装有 A,B,C,D,E,F 6 种货物的卡车各一辆, 把这些货物运到西安, 要求装 A 种货物 B 种货物与 E 种货物的车, 到达西安的顺序必须是 A,B,E( 可以不相邻, 且先发的车先到 ), 则这 6 辆车发车的顺序有几种不同的方案?( ) (A) 80 (B)0 (C) 0 (D) 60 (E) 00. 用 O,,,, 这个数字组成无重复数字的五位数, 其中恰有一个偶数夹茌两个奇数之间的五位数的个数是 ( ). (A) 8 (B) 6 (C) 8 (D) (E) 0. 某药品研究所研制了种消炎药 a, a, a, a, a, 种退烧药 b, b, b, b, 现从中取出两种消炎药和一种 9

退烧药同时使用进行疗效实验, 但又知 a, a, 两种药必须同时使用, 且 a, b两种药不能同时使用, 则不同的实验方案有 ( ). (A) 7 种 (B)6 种 (C)6 种 (D) 种 (E) 0 种 6. 某池塘有 A,B,C 三只小船,A 船可乘人,B 船可乘人,C 船可乘人, 今天个成人和个儿童分乘这些船只, 为安全起见, 儿童必须由成人陪同方能乘船, 他们分乘这些船只的方法共有 ( ). (A)0 种 (B) 8 种 (C) 7 种 (D) 7 种 (E) 0 种 7. 下面是一组容量为 00 的样本数据的频率分布直方图. 根据样本的频率分布直方图求出样本的众数中位数平均数的估计值分别为 ( ). A. 66, 60.7, 69. B.66, 69., 60.7 C.70, 69., 60.7 D. 70, 60.7, 60.7 E.70, 69., 69. 8. 在一个不透明的布袋中装有个白球和个黄球, 它们除颜色不同外, 其余均相同. 若从中随机摸出一个球, 摸到黄球的概率是, 则 =( ). A. B. C.6 D.7 E.8 9. 用某种兽药治牛病, 治愈率为 9%, 用这种药治头病牛, 至少有头被治愈的概率是 ( ). A.0. 9 B.0.9 C.0.97 D.0.99 E. 以上均不对 0. 在某地的奥运火炬传递活动中, 有编号为,,,,8 的 8 名火炬手. 若从中任选人, 则选出的火炬手的编号能组成公差为的等差数列的概率为 ( ). A. B. C. D. 68 06 08 E. 以上均不对.- 个袋中装有 6 个球, 其中个白球个红球. 从袋中随机取球两次, 每次取一个球. 考虑两种情况 : () 第一次取球后, 观察颜色后放回袋中. () 第一次取球后, 观察颜色后不放回袋中. 则两只球都是白球的概率为 ( ). A., B., C., D., E., 9 9 9 9 9. 甲乙两人参加某电视台举办的智力闯关游戏, 按照规则, 甲先从 6 道备选题中一次性抽取道题独立作答, 然后由乙回答剩余道题. 每人答对道题就停止答题, 即闯关成功. 已知在 6 道备选题中甲能答对其中道题, 乙答对每道题的概率都是, 则甲乙两人至少有一人闯关成功的概率是 ( ). 0

A. 7 B. 8 C. 6 D. E. 8. 甲乙丙依次轮流投掷一枚均匀的硬币, 若先投出正面者为胜, 则甲乙丙获胜的概率分别为 ( ). A.,, B.,, C.,, D.,, E. 以上均不对 8 8 8 8 8 8 7 7 7.. 从,,,, 中随机取出个数 ( 允许重复 ) 组成一个三位数, 则共有 9 种不同取法. () 取出的三位数的各位数字之和等于 9;() 取出的三位数的各位数字之和等于 7.. 设有个元件, 每个元件正常工作的概率是率小于., 且各元件是否正常工作是独立的, 则系统工作正常的概 () 系统装配方式为 () 系统装配方式为 6.N=. () 名考生被所大学提前录取, 每所大学至少要录取一名, 则不同的录取方法有 N 种. () 设集合 A={,,,},B={,,6}, 从两个集合中各取一个元素作为点的坐标, 那么可确定的不同点的个数为 N. 7. 世博会安排名志愿者赴北欧五个国家的展馆服务, 有 78 种不同的安排方法. () 要求甲志愿者不去丹麦展馆服务 () 要求乙志愿者不去瑞典展馆服务 8. 若王先生驾车从家到单位必须经过三个有红绿灯的十字路口, 则他没有遇到红灯的概率为 0.. () 他在每一个路口遇到红灯的概率都是 0. () 他在每一个路口遇到红灯的事件相互独立 9. m = 0. () 有 0 张元邮票和 0 张元邮票, 用这些邮票能组成不同邮资有 m 种 ; () 从,,,,,6,7,8,9 中任意选出三个数, 使它们的和为偶数, 则共有 m 种不同的选法. 0. 两批货物各 0 件, 在运输过程中每批会损坏志件, 设第一批货物中有件次品, 第二批中有件次品, 全部到达后, 从未损坏的货物中任取件, 该产品是正品的概率约为 0. 8. () k = ;() k =.. 某三位数恰有两个数字相同的概率为 6. () 由 0 以内的质数组成的可重复数字的三位数 ; () 由 0 以内的合数组成的可重复数字的三位数.. 袋中有个球, 其中白球个, 黑球个. 甲乙两人依次从袋中各取一球, 记 A={ 甲取到白球 },B={ 乙取到白球 }, 能确定 p = p.

() 若取后放回, 此时记 p P( A), p P( B) = = ; () 若取后不放回, 此时记 p P( A), p P( B). = C 99. = =. () 方程 x + x + x + x = 有组正整数解 ; 00 () 方程 x + x + x + x = 有组非负正整数解. 00 参考答案.E.A.B.A.D 6.C 7.C 8.D 9.D 0.D.B.A.B.C.D 6.D 7.E 8.E 9.D 0.B.C.E.D.A.B 6.E 7.C 8.C 9.E 0.D.E.D.A

第六章 数据分析(排列组合、概率和数据描述)

第六章数据分析(排列组合、概率和数据描述)