排列组合 - PDF 免费下载

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 基本概念与知识点排列组合加法原理如果完成一件事有类办法, 只要选择其中一类办法中的任何一种方法, 就可以完成这件事 ; 若第一类办法中有种不同的方法, 第二类办法中有种不同的方法第类办法中有种不同的办法, 那么完成这件事共有 N + + + 种不同的方法乘法原理如果完成一件事, 必须依次连续地完成个步骤, 这件事才能完成 ; 若完成第一个步骤有种不同的方法, 完成第二个步骤有种不同的方法完成第个步骤有种不同的方法, 那么完成这件事共有种不同的方法排列 N () 排列的定义 : 从个不同元素中, 任意取出 ( ) 个元素, 按照一定顺序排成一列, 称为从个不同元素中取出个元素的一个排列 () 排列数 : 从个不同元素中取出个元素 ( ) 的所有排列的种数, 称为从个不同元素中取出个不同元素的排列数, 记作 P 当时, 称为全排列 () 排列种数公式 : 规定 P 0! P ( )( ) ( + ) ( )! P ( )( )! k k P P P ( k ) 组合 k () 组合的定义 : 从个不同元素中, 任意取出 ( ) 个元素并为一组, 叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 () 组合数 : 从个不同元素中, 取出 ( ) 个元素的所有组合的个数, 称为从个不同 P

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 元素中, 取出个不同元素的一个组合数, 记作规定 : 0 ( ) ( + ) ( )! P!( )!! 中所反映出的排列与组合数的关系, 也可以表示为 P P () 组合数的性质 : + + () 常用组合恒等式 : 0 + + + + 0 + + + + ( 为偶数 ) + + + + ( 为奇数 ) 由两恒等式说明, 式中奇数项和与偶数项和的值相等均为 + + + + + + + ( ) 0 + + + + + + + + 元素可重复的排列从个不同元素中, 每次取出个元素, 其中允许元素重复出现, 再按照一定的顺序排成一列, 那么第一, 第二, 第位上选取的方法都是个, 所以从个不同元素中, 每次取出个可重复元素的排列种数是个 P N 个元素中若有个相同元素, 则这个元素的全排列的种数是 P 总结与归纳排列组合是 MB 数学的重点和难点之一, 也是进一步学习概率的基础, 事实上, 许多概率问题也归结为排列组合问题, 这一类问题不仅内容抽象, 解法灵活, 而且解题过程极易出现重复和遗漏的错误, 这些错误甚至不容易检查出来, 所以解题时要注意不断积累经验, 总结解题规律, 掌握若干技巧

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 解答排列组合的问题, 首先必须认真审题, 明确是属于排列问题还是组合问题, 或者属于排列与组合的混合问题其次, 要抓住问题的本质特征, 灵活运用基本原理和公式进行分析解答, 同时, 还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧, 使一些看似复杂的问题迎刃而解, 下面介绍几种常用的解题技巧一特殊元素 ( 位置 ) 用优先法把有限制条件的元素 ( 位置 ) 称为特殊元素 ( 位置 ), 对于这类问题一般采取特殊元素 ( 位置 ) 优先安排的方法对于带有特殊元素的排列组合问题, 一般应先考虑元素, 再考虑其他元素例人站成一横排, 其中甲不站左端也不站右端, 有多少种不同站法? 分析 : 解有限制条件的元素 ( 位置 ) 这类问题常采取特殊元素 ( 位置 ) 优先安排的方法解法 :( 元素分析法 ) 因为甲不能站左右两端, 故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上, 有种站法 ; 第二步再让其余的人站在其他个位置上, 有种站法, 故站法共有 : 80( 种 ) 解法 :( 位置分析法 ) 因为左右两端不站甲, 故第一步先从甲以外的个人中任选两人站在左右两端, 有种, 故站法共有 : ( 种 ) 种 ; 第二步再让剩余的个人 ( 含甲 ) 站在中间个位置, 有 80 例用 0,,,, 这五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有 ( ) 个 B0 个 0 个 D0 个分析 : 由于该三位数为偶数, 故末尾数字必为偶数, 又因为 0 不能排在首位, 故 0 就是其中的特殊元素, 应优先安排按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分为两类 :0 排在末尾时, 有个, 0 不排在末尾时, 则有 + 0 个, 选 B 二相邻问题用捆绑法个, 由分类计数原理, 共有偶数对于要求某几个元素必须排在一起的问题, 可用捆绑法 : 即将这几个元素看作一个整体, 视为一个元素, 与其他元素进行排列, 然后相邻元素内部再进行排列例个男生和个女生排成一排, 个女生必须排在一起, 有多少种不同排法? 解 : 把个女生视为一个元素, 与个男生进行排列, 共有 0 行排列, 有种, 所以排法共有 : ( 种 ) 种, 然后女生内部再进例 7 人站成一排照相, 要求甲, 乙, 丙三人相邻, 分别有多少种不同的排法? 分析 : 把甲, 乙, 丙三人捆绑起来看成一个元素, 与其他的人共个元素作全排列, 有种排法, 而甲, 乙, 丙三人之间又有种排法, 根据分步计数原理, 共有

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 700 种排法三相离问题用插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题, 可以先将其他元素排好, 然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中例 7 人排成一排, 甲乙丙人互不相邻有多少种排法? 解 : 先将其余人排成一排, 有种, 再往人之间及两端的个空位中让甲乙 0 丙插入, 有种, 所以排法共有 : ( 种 ) 四定序问题用除法对于在排列中, 当某些元素次序一定时, 可用此法解题方法是 : 先将个元素进行全排列有种, ( ) 个元素的全排列有种, 由于要求个元素次序一定, 因此只能取其中的某一种排法, 可以利用除法起到调序的作用, 即若个元素排成一列, 其中个元素次序一定, 则有种排列方法例由数字 0 组成没有重复数字的六位数, 其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个? 解 : 不考虑限制条件, 组成的六位数有以所求的六位数有 : 00 ( 个 ) 五分排问题用直排法种, 其中个位与十位上的数字一定, 所对于把几个元素分成若干排的排列问题, 若没有其他特殊要求, 可采取统一成一排的方法求解种? 例 7 9 个人坐成三排, 第一排人, 第二排人, 第三排人, 则不同的坐法共有多少解 :9 个人可以在三排中随意就坐, 无其他限制条件, 所以三排可以看作一排来处理, 9 不同的坐标共有 9 种六复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题, 可以采用转化思想, 从问题的反面去考虑, 先求出无限制条件的方法种数, 然后去掉不符合条件的方法种数在应用此法时要注意做到不

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 重不漏例 8 四面体的顶点和各棱中点共有 0 个点, 取其中个不共面的点, 则不同的取法共有 ( ) 0 种 B 7 种种 D 种解 : 从 0 个点中任取个点有 0 种取法, 其中点共面的情况有三类图 () 图 () 图 () 第一类, 取出的个点位于四面体的同一个面内, 有 0 种 ; 第二类, 取任一条棱上的个点及该棱对棱的中点, 这点共面, 有种 ; 第三类, 由中位线构成的平行四边形 ( 其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱 ), 它的个点共面, 有种以上三类情况不合要求应减掉, 所以不同的取法共有 : ( 种 ) 例 9 马路上有只路灯, 为节约用电又不影响正常的照明, 可把其中的三只路灯关掉, 但不能同时关掉相邻的两只或三只, 也不能关掉两端的路灯, 那么满足条件的关灯方法共有多少种? 分析 : 关第一只灯的方法有 0 种, 关第二只第三只灯时要分类讨论, 情况较复杂若换一个角度, 从反面入手考虑, 因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件亮灯与暗灯的排列, 于是问题就转化为等价的在 9 只亮灯产生的 8 个空档中插入只暗灯问题, 故所求方法种数为 8 七多元问题用分类法按题目条件, 把符合条件的排列组合问题分成互不重复的若干类, 分别计算, 最后计算总数 x + by + c 0 例 0 已知直线中的,b,c 是取自集合 {-,-,-,0,,,} 中的个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角, 求符合这些条件的直线的条数解 : 设倾斜角为 θ, 由 θ 为锐角, 得 tθ > 0, 即,b 异号 b () 若 c0,,b 各有种取法, 排除个重复 ( x y 0, x y 0, x y 0 ), 故有 : -7( 条 ) () 若, 有种取法,b 有种取法, 而同时 c 还有种取法, 且其中任意两 c 0 条直线均不相同, 故这样的直线有 : ( 条 )

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 从而符合要求的直线共有 :7+( 条 ) 八排列组合综合问题用先选后排的策略处理排列组合综合性问题一般是先选元素, 后排列例将名教师分派到所中学任教, 每所中学至少名教师, 则不同的分派方案共有多少种? 解 : 可分两步进行 : 第一步先将名教师分为三组 (,,),(,,),(,,), 共有 : ( 种 ), 第二步将这三组教师分派到种中学任教有种方法由分步计数原理得不同的分派方案共有 : ( 种 ) 因此共有种方案少种? 符合题意, 因此把这种排法除去, 故有 00 97 0 种例个不同的小球放入编号为,,, 的四个盒子, 恰好有一个空盒的放法有多分析 : 因有一个空盒, 故必有一个盒子放个球, 第一步先选 : 从个小球中选出个小球的方法有种, 从个盒子中选个盒子的方法有种, 第二步排列, 把选出的个小球看成一个元素与其余的个小球共个元素, 对选出的个盒子作全排列有种排法, 故所求的放法共有九隔板模型法种常用于解决整数分解型排列组合的问题例有 0 个三好学生名额, 分配到个班, 每班至少个名额, 共有多少种不同的分配方案? 解 : 个班, 可用个隔板, 将 0 个名额并排成一排, 名额之间有 9 个空, 将个隔板插入 9 个空, 每一种插法, 对应一种分配方案, 故方案有 : 9 ( 种 ) 例方程 +b+c+d 有多少组正整数解? 分析 : 建立隔板模型法 : 将个完全相同的球排成一列, 在它们之间形成的个间隙中任意插入块隔板, 把球分成堆, 而每一种分法所得堆球的各堆球的数目, 即为的一组正整数解, 故原方程的正整数的组数共有组十总体淘汰法对于含有否定字眼的问题, 还可以从总体中把不符合要求的除去, 此时, 应注意既不能多减也不能少减例 00 件产品中有件是次品, 从中任取三件, 其中不全是正品的选法有多少种? 分析 : 从 00 件产品中选件产品的选法有 00 种, 选好后发现件产品都是正品的选法不

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 十一小团体问题先整体后局部法对于小团体排列问题, 与相邻问题相似, 可先将小团体看作一个元素与其它元素排列, 最后再进行小团体内部的排列例 7 个人站成一排照相, 要求甲乙之间恰好相隔人的站法有多少种? 分析 : 甲乙及间隔的人组成一个小团体, 这人可从其余人中任选出来, 有同选法, 这个小团体与其余人共个元素全排列有种不同排法, 中间的人也有 90 种十二合理分类与准确分布法种方法, 它的内部甲乙人有种不种不同排法, 因而符合要求的不同站法共有解含有约束条件的排列组合问题, 应按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到分类标准明确, 分步层次清晰, 不重不漏例 7 将列火车停放在条不同的轨道上, 其中列车不停在第一轨道上,b 不停在第二条轨道上, 那么不同的停放方法有多少种? 分析 : 由题意, 可先安排列车, 并按其进行分类讨论 :⑴ 若列车在第二轨道上, 则剩下辆列车可自由停放, 有种方法,⑵ 若列车停第三或第四或第五轨道上, 则根据分布计数原理有种停法, 再用分类计数原理, 不同的停放方法共有 + 78 种例 8 某帆船上有 0 名水手, 他们分别在船左右两侧, 每侧人, 其中有名水手只会划左侧浆, 名只会划右侧浆, 问这些水手不同的安排方法共有的种数为多少? 分析 : 根据题意, 可根据选的水手中含有这三名特殊水手的情况分类 :⑴ 若被选出的名水手中仅有名只会右手侧的水手, 有 7 右手侧的水手和只会左手侧的水手各名, 有 7 种选法 ;⑵ 若被选出的名水手中有只会种选法 ;⑶ 若被选出的名水手中有只会右手侧的水手名和只会左手侧的水手名, 有 7 种选法 ;⑷ 若被选出的名水手中仅有只会左手侧的水手名, 有 7 种选法 ;⑸ 若被选出的名水手中有只会左手侧的水手名, 有 7 种选法, 根据分类计数原理, 不同的选法有 7 + 7 + 7 + 7 + 7 700 种二项式定理二项式定理是多项式乘幂定理的最简单的形式, 主要研究 ( + b) 的各元素 b 与其展开式中各项系数指数之间的关系, 以及展开式本身所具有的性质, 我们可以用排列与组合的方法, 真接推导出展开式的任何一项或整体

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 0 k k k ( + b) + b + + b + + b + b () k k k 其中第 k 项 T b 称为通项可以作为公式来使用 + k+ 式 () 是一个恒等式, 即对任何,b 的取值, 等式恒成立在式 () 中, 若令 b 则得到 + 0 + + + () 0 称为展开式中的二项式系数, 式 () 是个重要公式, 即二项式系数之和等于二项式系数还有如下性质 : () 距首末等距离的两项的二项式系数相等, 或称二项式系数具对称性 ; () 二项式系数的奇数项和等于偶数项和 ; () 为偶数时中项值最大 ; 为奇数时双中项等值且最大 x b 8 例 : ( ) 的展开式中的第六项是 x x () ()- 解 : ( + b ) 故 T 选 D x ( )( ) x 展开式中等 x 内容要点 : 一条件概率的概念 k + 项 T k + 8 x k k b ± 概率学初步在解决许多概率问题时, 往往需要在有某些附加信息 ( 条件 ) 下求事件的概率如在事件发生的条件下, 求事件 B 发生的条件概率, 记作 B ) 定义设, B 是两个事件, 且 ) > 0, 则称 B) P ( B ) ) 为在事件发生的条件下, 事件 B 的条件概率相应地, 把 B) 称为无条件概率一般地, P ( B ) B) 注 : 用维恩图表达 () 式若事件已发生, 则为使 B 也发生, 试验结果必须是既在中又在 B 中的样本点, 即此点必属于 B 因已知已发生, 故成为计算条件概率 B ) 新的样本空间计算条件概率有两种方法 : ) 在缩减的样本空间中求事件 B 的概率, 就得到 B ) ; b) 在样本空间 S 中, 先求事件 P (B) 和 P (), 再按定义计算 B ) () 二乘法公式由条件概率的定义立即得到 : B) ) B ) ( ) > 0) ()

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 注意到 B B, 及, B 的对称性可得到 : B) B) B) ( B) > 0) () () 和 () 式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率三全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式它使一个复杂事件的概率计算问题, 可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题定理设,,,, 是一个完备事件组, 且 P ( ) > 0, i,,, 则对任一事件 B, 有 P B) ) B ) + + ) B ) + i ( 注 : 全概率公式可用于计算较复杂事件的概率, 公式指出 : 在复杂情况下直接计算 P (B) 不易时, 可根据具体情况构造一组完备事件 }, 使事件 B 发生的概率是各事件 { i i ( i,, ) 发生条件下引起事件 B 发生的概率的总和四贝叶斯公式利用全概率公式, 可通过综合分析一事件发生的不同原因情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题, 即, 一事件已经发生, 要考察该事件发生的各种原因情况或途径的可能性例如, 有三个放有不同数量和颜色的球的箱子, 现从任一箱中任意摸出一球, 发现是红球, 求该球是取自号箱的概率或问 : 该球取自哪号箱的可能性最大? 定理设,,,, 是一完备事件组, 则对任一事件 B, B) > 0, 有 i B) i ) B i ) i B), i,,, B) ) B ) j j j 贝叶斯公式注 : 公式中, P ) 和 i B) 分别称为原因的验前概率和验后概率 )( i,, ) 是 ( i 在没有进一步信息 ( 不知道事件 B 是否发生 ) 的情况下诸事件发生的概率当获得新的信息 ( 知道 B 发生 ), 人们对诸事件发生的概率 B) 有了新的估计贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化特别地, 若取, 并记, 则, 于是公式成为 i B) ) B ) B) B) ) B ) + ) B ) 例 : 从原点出发的质点向 x 轴的正向移动一个和两个坐标单位的概率分别是点移动个坐标单位到达点 x 的概率是 ( ) 9 0 7 B D E 7 7 9 7 7 解 : 分三种情况讨论 i 和则该质

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 () 每次移动一个单位共三次到达点 x, 其概率为 () 先移动一个单位, 后移动二个点位到达点 x, 其概率为 9 () 先移动二个单位, 后移动一个点位到达点 x, 其概率为 9 8 0 所求概率为 + + 7 9 9 7 8 7 等可能性事件的概率重点难点 : 本节的重点是正确理解等可能性事件概率的定义, 能比较正确地计算等可能性事件的概率 ; 难点是根据问题的试验方式选取合适的基本事件空间 ; 解题的关键是确定基本事件出现的等可能性及相关随机事件包含的基本事件个数等可能性事件的概率 : 在概率论中, 又称为古典概率它要求所研究的问题必须具有如下两个基本特征 :() 随机试验下基本事件空间的元素只有有限个 ;() 每次试验中各个基本事件出现的可能性相同宏观上讲, 等可能性事件概率的计算步骤为 : () 以基本事件出现的等可能性为基础构建基本事件空间 ; () 求出基本事件空间中的基本事件总数 ; () 确定事件所包含的基本事件数 ; () 代入公式事件包含的基本事件数 rd ( ) p ( ) 试验中基本事件总数 rd ( I ) 进行计算特别值得注意的是 : 基本事件出现的等可能性必须努力从试验背景所蕴藏的均匀性对称性等方面进行确定, 它是解题正确性的重要保证等可能性事件概率的计算方法 : 一是直接确定基本事件空间的基本事件总数和事件包含的基本事件数, 然后根据公式计算 ; 二是斟酌题设情形, 先按前法求出有关事件的概率, 然后运用概率的基本性质, 间接地算出 p() 通常, 前者称为直接法, 后者则称为间接法无论是直接法, 还是间接法, 解题的关键都在于确定和的数值一般来说, 当基本事件总数较少时, 可用直接法将基本事件空间和事件包含的基本事件一一列举出来, 以确定和 ; 当基本事件总数较多或难于直接列举时, 可利用排列组合等数学知识, 通过相应地计算以确定和思路方法 : 例一袋中装有大小相同的个黑球和 b 个白球, 从中逐一将它们取出, 求第 k 次取出的球恰为黑球的概率 ( k +b) 解題分析 : 本题旨在训练运用公式求相关事件的概率 ; 难点在于构建与第 k 次取出的球恰为黑球这一事件相对应的基本事件与基本事件空间 ; 解题的关键在于对第 k 次取出的球恰为黑球的认识和处理题设将袋中球逐一取出, 应理解为依次取出, 每次一个, 全部取完为止, 其中第 k 次取出黑球仅是逐一取球中的某一次因此, 若以全部取出球的先后顺

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 序为基础, 将球按同色球有无区别对待, 构建基本事件空间, 不难发现可获得两种解法 ; 而从前 k 次取球为独立的一段及每次取球对球的机会均等性两方面考虑构建基本事件空间, 则又可获得两种解法解法一 : 设事件第 k 次取出的球恰为黑球, 将袋中每个球均视为有区别, 依次对球进行编号, 不妨黑球为,,, 号 ; 白球为 +,+,,+b 号以全部取得球确定的编号顺序为一基本事件, 则其基本事件总数相当于 +b 个数的全排列即 (+b)!; 而事件包含的基本事件数为 (+b-)! 因此 ( + b )! p ( ) ( + b )! + b 解法二 : 视同色球间无区别, 则此时相当于将 +b 个格子分成两类基本事件可看成 +b 个格子中有个为黑球所占居, 其中个位置是任意的, 从而基本事件总数为 + b, 事件则可认为在 +b 个格子中除第 k 个位置必放一个黑球外, 其余在余下的 +b- 个格子中有任意的 - 个位置放黑球, 因此事件包含的基本事件数为 + b 于是 p ( ) + b + b + b 解法三 : 由于题设关心的是第 k 次取出的球恰为黑球, 因此只需考虑前 k 次的取球, 而无需考虑后面 +b-k 次的取球对于前 k 次又可将依次从 +b 个球任取 k 个放在 k 个位置 k k 作为一基本事件, 此时基本事件总数为 + b ; 而事件包含的基本事件数则为 + b 于 k + b 是 p ( ) k + b + b 解法四 : 由于每一个球都有同样的可能性被第 k 次取到, 而只有当个黑球之一出现时才有事件发生因此, 以第 k 次取得的效果为基本事件, 此时基本事件总数为 +b, 而事件包含的基本事件数为于是 p( ) + b 解题分析 : 本题给出的四种解法, 分别来自于基本事件及基本事件空间的不同构建, 这一点需要读者在学习过程中努力掌握构建了恰当且比较简洁的基本事件空间, 能很快且准确地确定对应事件的概率本题的结果亦表明, 取得黑球的概率与取球的先后顺序无关, 这个结论与我们日常生活中的经验是一致的例如 : 体育比赛中进行的抽签对各队的机会均等, 与抽签的先后次序无关例从双不同尺码的鞋子中任取只, 求只鞋子中至少有只配成一双的概率分析 : 本题旨在训练用直接法和间接法求只鞋子中至少有只配成一双的概率 ; 难点在于配成一双的认识和处理 ; 解题的关键在于对至少的处理解法一 : 设事件为只鞋子中至少有只配成一双显然, 基本事件总数为从 0 只鞋子中任取只的组合数即 0 0 将事件理解为恰好配成一双与恰好配成二双的和事件, 此时事件包含的基本事件数为 + 0 于是

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 p ( ) 解法二 : 设事件为只鞋子中至少有只配成一双, 则其对立事件子中没有只配成一双显然, 基本事件总数为 0 0 为只鞋而包含的基本事件数理解为先从双中取出双, 然后在每一双中取出一只构成的组合数即 80 80 8 所以 p ( ) 0 于是 p ( ) p ( ) 例一袋中装有大小相同的个白球和 b 个黑球, () 从中任取 + 个球 ( N,, b), 试求所取出的球恰有个白球和个黑球的概率 ; () 从中依次无放回地取出球, 求球依次为黑白黑的概率 ; () 从中依次无放回地将球取出, 直至留在袋中的球均为同一种颜色为止, 求最后留在袋中均为白球的概率分析 : 本题旨在针对不同的取球方式, 构建恰当的基本事件空间, 熟练地计算和相关事件的概率 ; 难点在于对取球方式的分类处理, 明确其对应的基本事件 ; 解题的关键在于分清取球的先后次序, 合理运用排列组合方法确定对应事件包含的基本事件数解 :( ) 设事件为取得的 + 个球中恰有个白球和个黑球由题意, 取出的 + 个球的一个组合为一个基本事件此时基本事件总数为 + + b 事件包含的基本事件数则相当于从个白球中取出个白球与 b 个黑球中取出个黑球的组合数即 b 是 p ( ) + + b b 于 () 设事件 B 为取出的球依次为黑白黑则以取出的球的一个排列为基本事件, 其基本事件总数为 + b 二位置为白球的排列数即 b 于是 ; 而事件 B 包含的基本事件数相当于第一三位置为黑球, 第 b p( B) b ( b ) ( + b)( + b )( + + b b ) () 设事件为袋中留下的均为白球此时事件相当于取出 b 个黑球,i 个白球 (i0,,,,-) 的和事件, 它与事件第 +b 次取出白球为等价事件于是由例可得 p( ) + b 解题分析 : 本题 () 亦可用下节的互斥事件有一个发生的概率加法公式进行计算, 此

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 处就避而不谈了例例例是概率论中的理想化模型, 只需将球鞋子换为产品中的正 ( 次 ) 品, 扑克牌中的红桃黑桃, 自然数中的奇数与偶数等对象, 就可于获得许多不同形式的问题因此次类问题在概率论中也常称为摸球问题或抽签问题下面略举几例, 供读者类比研究 : () 一批灯泡 00 只, 其中有只坏的, 现从中任取只检查求 : 只都是好的的概率 ; 只中有只坏的的概率 () 在分别标有,,,7, 的张相同卡片中, 任意取出张, 求 : 所得两数构成可约分数的概率 ; 所得两数之和为偶数的概率 () 一个班级有个男生和个女生, 将全班学生任意分成人数相等的两组, 求 : 每组中男女生人数相等的概率例将球一个接一个随机地放入个格子中, 并指定其中一个格子 ; 当这个指定格子空着时, 放球就继续, 否则放球就停止, 求在第 k 次球放到此格子里的概率解題分析 : 本题旨在用直接法求事件的概率 ; 难点是前 k- 次放球的随机性 ; 解题的关键在于第 k 次后放球停止即只放了 k 个球解 : 因为每个球随机地放入每一个格子且只放了 k 个球, 所以基本事件总数为 k 又当第 k 次球被放入指定格子时, 前 k- 次球可在其余 - 个格子中任意放置, 因此事件第 k 次把球放入指定格子中所包含的基本事件数为 (-) k- 于是 p ( ) ( ) k k 解题分析 : 本题只注重于放球与不放球这一行为, 相当于等待问题, 无须考虑球与球之间的差别类似的问题有 : 一个人有把钥匙, 其中只有一把能打开某扇门由于该人事先不知哪一把能打开门, 所以他随机地用这些钥匙去试开, 试完后又放回, 求该人恰好第 k 次把门打开的概率例现有个球, 每个都能以同样的概率落入 N 个格子 (N ) 的每一个格子中, N 试求下列事件的概率 : () 某指定的个格子中各有一个球 ; () B 恰有个格子, 其中各有一球 ; () 某指定格子中恰有 ( ) 个球分析 : 本题旨在进一步熟练用直接法求事件的概率 ; 解题的难点与关键在于挖掘每个球均以同样概率落入每一个格子中的含义 : 即每球落入任意一个格子是等可能的, 此时每球有 N 种不同的去向 N 解 : 因为个球中的每一个球均以同样的概率落入每一个格子, 所以基本事件总数为 () 个球落入个事先指定的格子中, 相当于个球的全排列即事件包含的基本事件数为! 于是 p ( ) N N () 对于事件 B: 个格子可自 N 个格子中任意选取, 有 N 种选法, 从而事件 B 包含的基本事件数为 N!

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 N! N! 于是 p ( B ) N N () 事件中的个球, 可从个球中任意选取, 有种选法, 其余的 - 个球可以任意落入另外 N- 个格子中去, 有 ( N ) 种去向因此事件包含的基本事件数为 ( N p ( ) ) ( N ) N 于是 ( ) ( ) N 解题分析 : 由结论 ( ) 可知, 当和 N 固定时,p() 随的变化而变化若记 p()p, 由二项式定理有 N 0 P 0 ( ) N ( ) N 此等式的概率意义是显二易见的 : 因为对于某个指定格子而言, 落入格子中的球数不外是 0,,,,, 但这 + 种情形的和事件应为必然事件, 所以其概率亦为 N 个球落入 N 个格子, 是又一种理想意义下的概率模型, 常常称为入格问题 ; 其研究思路可用来描述许多貌异质同的问题如 : () 生日问题 : 个人在一年 ( 或一周或一月 ) 中的生日分布相当于个球放入 N( 或 N7 或 N) 个格子的不同排列 ( 假定一年有天即不考虑闰年闰月的情形 ) () 性别问题 : 个人的性别分布相当于将个球放入 N 个格子中 () 掷骰子问题 : 抛掷颗骰子, 观察点子数相当于把个球放入 N 个格子中 () 寄信问题 : 将封信投入 N 只邮箱相当于个球放入 N 个格子中 () 旅客到站问题 : 一列列车中有位旅客在 N 个站下车是等可能的情形相当于个球放入 N 个格子中 () 住房分配问题 : 个人进入 N 个房间, 此时相当于将人当球房间当格子 (7) 印刷错误问题 : 个印刷错误在一本具有 N 页的书中的一切可能分布, 相当于个球放入 N 个格子中的一切可能分布 ( 必须小于每一页的字数 ) (8) 意外事件问题 : 个意外事件在一周中的分布, 相当于将个球放入 N7 个格子中例从 0 至 9 十个数字中任取一个, 假定每个数字都以同样的概率被取中, 取后放回先后取出个数试求下列各事件的概率 : () 个数字全不相同 ; ()B 不含 0 和 ; () 0 恰好出现四次 ; () D 取到的最大数恰好为 ; () E 0 至少出现两次分析 : 本题旨在训练返回抽样中概率的计算 ; 解题的难点与关键在于基本事件及公式 p ( ) 中的确定解 : 由题设可知, 每一个事件均具有相同的基本事件空间, 而所有的基本事件相当于 0 个相异元素允许重复的元排列, 故基本事件总数为 0 () 对于事件 : 由取出数字的互不相同性和先后次序可知它相当于 0 个相异元素

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 中每次取个相异元素的排列, 即事件包含的基本事件数为 0 于是 p ( ) 0 0 0 () 对于事件 B: 由于不含 0 和, 所以它相当于从余下的 8 个相异元素中允许重复地取出个数的排列, 即 B 包含的基本事件数为 8 于是 8 p ( B ) 0 0 法为 () 对于事件 : 由于 0 恰好出现四次, 因此次取数中有任意次取到 0, 其取种, 而余下的次为每次在剩下的 9 个数字中任取一个, 共有 9 种取法, 于是事件 9 包含的基本事件数为 9 由此 p( ) 0 00 0 () 对于事件 D: 取到的最大数恰好为, 可有下列两种思路确定其解题途径 : 思路一 : 将事件 D 看成取到最大数恰有次次次这些互斥事件的和事件, 而取到最大数恰有 k 次包含的基本事件数为 k k k k k k k 为因此 p( D ) 0 00 0 k, 于是事件 D 包含的基本事件数思路二 : 将事件 D 看成最大数不大于的重复排列中剔除最大数小于的重复排列, 此时事件 D 包含的基本事件数为 - 于是 p ( D ) 0 00 0 () 事件 E 可看成事件 0 至多出现一次的对立事件因此 9 + p ( E ) 0 9 0 解题分析 : 例是一种比较典型的返回抽样问题, 在概率论中常称为随机取数问题, 其解题思想方法, 对于同类问题具有指导作用不过, 在解题过程亦不能把它作为现成模式套用, 即使同是随机取数问题, 也须斟酌题意, 灵活处理例如下列几个问题, 表面看结构相仿, 但仔细分析后可知, 其本质上还是有很大差别的 () 从 0 至 9 这十个数字中, 不放回地任取个, 求由完全不同数字组成五位数的概率 () 从 0 至 9 这十个数字中, 有放回地任取个, 求由完全不同数字组成五位奇数的概率 () 某城市电话号码都是 7 位数码 ( 每个数码可从 0 至 9 十个数字中任取 ), 如果从这个城市的电话号码簿中任指一个电话号码, 求开始两位都不超过且第三位为的概率例 7 甲有 + 枚硬币, 乙有枚硬币, 双方抛掷之后进行比较求甲抛出的正面比乙抛出正面多的概率分析 : 本题旨在强化事件等可能性的认识, 非公式的直接运用 ; 难点是每个人抛出的正面与抛出的反面的机会均等 ; 解题的关键是理清事件间的关系

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 解 : 设事件为甲抛出的正面比乙抛出的正面多显然事件 B 为甲抛出的反面比乙抛出的反面多 B, 所以 p ( ) p ( B ) 又由于每人抛出正面与抛出反面的机会均等, 因此 p( ) 例 8 甲乙两人街头约会, 约定谁先到后须等待 0 分钟, 这时若另一个人还没有来就可离开现在甲是点半到达的, 假设乙在点至点內到达, 且在点至点之间何时到达是等可能的, 求甲乙能见面的概率分析 : 本题旨在认识连续变量下等可能事件概率的计算方法 ; 难点在于等待 0 分钟在点至点时间段上的处理, 即如何将连续变量下的概率转化为非连续变量下概率的计算 ; 解题的关键是构建恰当的基本事件及判定其等可能性解 : 设事件为乙在点至点 0 分间到达 ; 事件 B 为乙在点 0 分至点 0 分间到达 ; 事件为乙在点 0 分至点间到达 ; 由题设知, 以上三个事件的发生是等可能的且三个事件彼此之间是互斥事件并包含了题设的各种可能显然, 发生时甲乙不能见面, 只有在 B 发生时甲乙才能见面因此, 甲乙见面的概率为解题分析 : 本题中, 虽然乙在点至点间任何时刻到达的可能性相同, 却不能以乙到达的可能时刻作为一基本事件 ; 由于那样, 该试验下的所有可能结果即基本事件总数就不是有限个了, 同样甲乙两人能见面所包含的基本事件数也不是有限的, 因此就无法用公式 p ( ) 计算对应事件的概率了当然, 如本题的解法那样, 对试验的可能结果进行归并处理, 从而构建等价的基本事件即设法转化为古典概型问题还是可解的, 不过在构建等价的基本事件时要注意其彼此间的互斥性及出现的等可能性将连续型随机问题通过归并处理转化为古典概型问题从而实现对问题概率的计算固然是一种比较好的数学思路, 但由于在实践中很难做到这一点因此, 人们通过研究概括出连续型等可能性事件发生的概率计算公式 : p ( ) 的测度 I 的测度其中 :I 为基本事件空间, 测度通常指线段的长度平面图形的面积立体图形的体积等读者可从下述问题的解法中了解到上述公式的应用 : 甲乙两人街头约会, 约定谁先到后等待 0 分钟, 这时若另一人还没有来就可离开 ; 若甲乙两人都是点至点到达且何时到达是等可能的, 求甲乙能见面的概率解 : 设 x y 分别表示甲乙到达的时刻, 则两人到达的时间的一切可能结果对应边长为 0 的正方形内所有点两人能见面的充要条件是 x-y 0 所以事件两人能见面对应图中阴影部分里的一切点因此由上述公式可得

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 的面积 0 0 p ( ) I 的面积 0 9 第三节互斥事件有一个发生的概率重点难点 : 本节的重点是进一步理清互斥事件对立事件的概念, 能比较熟练地运用互斥事件有一个发生的概率公式 ( 即概率的加法公式 ) 计算有关事件的概率 ; 难点在于将一个事件分解为几个互斥事件的和或积 ; 解题的关键是正确认识同时至少至多等词语的含义, 熟练运用集合观点分析处理事件间的关系两个互斥事件 B 中至少有一个发生的概率公式 : +B))+B) 此公式揭示了互斥事件的和事件的概率等于各自概率的和这一性质 ; 该性质可由概率的统计定义即频率的性质自然推出现简介如下 : 假设在次随机试验中 B +B 发生的次数分别为 B +B, 由于与 B 互斥, 所以 +B + B ; 从而对应的频率有下列关系 : + B + B B + 即互斥事件和事件发生的频率等于互斥事件各自发生的频率和在数学概括下即得上述概率性质 ; 互斥事件和事件发生的概率公式常称为概率的加法公式上述结论亦可推广到有限多个互斥事件的情形, 即若彼此互斥, 则 + + + ) )+ )+ + ) 对立事件的概率 : 由于对立事件为互斥事件的极端情形即 + 为必然事件, 所以 )+ )+ ) 或 ) ) 和事件发生的概率公式 : 当 B 非彼此互斥事件时, 其和事件发生的概率亦有相应的加法公式 ; 现列举如下 : +B))+B)-B) 事实上, 此公式由集合的文氏图可十分容易地得到思路方法 : 例判别下列问题下的各对事件的互斥性与对立性 : 从 000 只灯泡中任取只检验 ( 其中有 0 只次品, 其余为正品 ) 取得 () 恰有只次品和恰有只次品 ; () 至少有只次品和全是次品 ; () 至少有只正品和至少有只次品 ; () 至少有只次品和全是正品分析 : 本题旨在强化对互斥事件与对立事件概念的认识 ; 解题的难点与关键是理清问题中相关词语的含义与事件间的相互关系解 :( ) 由于题设试验下的基本事件相当于从 000 只灯泡中任取只的一个组合, 它可能全是正品, 亦可能是其它情形, 现在恰有只次品和恰有只次品仅是其中的两

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 种情形且在一次试验下是不可能同时出现的, 因此它们是互斥事件但非对立事件 () 由 () 知, 至少有只次品包含了全是次品的情况, 在一次试验中是可以同时发生的, 因此它们不是互斥事件更不是对立事件 () 由 () 知, 至少有只正品是恰有只正品恰有只正品恰有只正品的和事件 ; 类似地, 至少有只次品是恰有只次品恰有只次品恰有只次品的和事件于是, 它们在同一次试验中是可以同时发生的, 因此它们既不是互斥事件也不是对立事件 () 由 () 知, 两事件不可能同时发生且其和事件构成必然事件因此它们不仅是互斥事件更是对立事件解题分析 : 本题表明, 在明确的基本事件空间下正确运用集合观念能很好地处理各事件间的关系例从 0 至 9 十个数字中, 任取四个数字组成没有重复数字的四位数码, 求组成的四位数码为大于 8 的四位数的概率分析 : 本题旨在认识如何用概率的加法公式求事件的概率 ; 解题的难点与关键是认识大于一词的含义并由此将题设事件分成若干互斥事件的和解 : 由题设知, 其基本事件相当于从 0 个不同元素中取个不同元素的排列且每一基本事件的出现是等可能的因此对应的基本事件总数为 0 设事件为组成的四位数大于 8, 事件为千位数字大于的四位数, 事件为千位为, 百位大于的四位数, 事件为千位为百位为, 十位大于的四位数, 事件为千位为百位为十位为, 个位大于 8 的四位数显然两两互斥且 + + + 由于 9 ) 0 7 ) 0 0 8 ) ) 0 0 0 00 所以 ) + + + ) )+ )+ )+ ) + + + 0 0 00 0 00 解题分析 : 该题以四位数的千百十个位为切入点将一个复杂事件分解为若干互斥事件的和, 体现了数学中重要的分类讨论与化难为易的思想切入点与基本事件出现的等可能性的确定是解决此类问题的关键若将题中四位数码改成四位数是否可同法解之? 为什么? 例向假设的三个相邻的军火库随机地投掷一枚炸弹, 炸中第一个军火库的概率为 00, 炸中第二个军火库的概率为 0, 炸中第三个军火库的概率为 0, 求炸毁军火库的概率分析 : 本题旨在进一步熟悉互斥事件下概率加法公式的运用 ; 解题的关键是互一枚炸弹最多只能炸中一个军火库

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 解 : 设事件为炸毁军火库, 事件 i 为炸中第 I 个军火库 (i,,) 显然彼此互斥且 + + 由于 )00 )0 )0 所以 ) + + ) )+ )+ ) 00+0+0 0 即炸毁军火库的概率为 0 概率例若 x i (i,,,) 能以同样的概率取得 0 和两数, 求事件 x +x +x +x 的分析 : 本题旨在熟练概率加法公式的运用 ; 解题的难点与关键是抓住将题设事件分解为若干互斥事件的和解 : 由于 x i 可随机地取得 0 和, 所以问题对应的基本事件为从 0 中有放回地取出四个元素的可重复排列即基本事件总数为若记事件为 x +x +x +x, 事件为 x +x +x +x, 事件为 x +x +x +x, 事件为 x +x +x +x ; 则彼此互斥且 + + 由于 ) 8 ) ) 于是 ) )+ )+ ) + + 8 解题分析 : 本题还可从事件的对立角度分析确定其解题途径现简解如下 : 事件 B 为 x +x +x +x, 事件 B 为 x +x +x +x 0, 则 B 与 B 互斥且 B + B 而 ) B ) + B ) + 于是 ) ) 将两种解法试加比较后可知, 运用对立事件的概率公式有时可简化概率的计算另外, 本题还可作为有放回摸球同时抛掷几枚硬币骰子等等可能性事件概率的数量刻划读者可自行设计一些问题, 用同法尝试解之例现有某电子元件 0 个, 其中一级品个, 二级品个, 若从中任取个, 求至少有一个二级品的概率分析 : 本题中的基本事件相当于从 0 不同元素中取个不同元素的组合 ; 其中至少取得一个二级品可理解为恰有一个二级品恰有二个二级品恰有三个二级品中之一发生, 因此可用加法案公式解之当然也可作为没有二级品的对立事件, 利用对立事件的概率公式求解 ; 比较后可知, 后者较简单解 : 设事件为至少取得一个二级品, 则事件为没有取得二级品

华慧教育 : 让天下没有难学的学问电话 :00-8077-0 QQ:887 而 P ( ) 0 于是 ) ) 07 0 例袋中装有红球和白球共 0 个, 从中任取个, 求袋中有几个红球时, 取得的球均为同色球的概率最小分析 : 这是一道以函数为基础的概率题可通过假设红球个数, 确定出球为同色球的概率, 然后再用函数方法求其最小值并获得问题的解决解 : 设袋中装有 x 个红球,(0-x) 个白球 ( 其中 :x N) 且事件为取得的球为同色, 事件为取得的球均为红色, 事件为取得的球均为白色, 显然互斥且 +, 由于 x ) 0 x( x )( x ) 0 9 8 0 ) x 0 (0 x)(9 x)(8 x) 0 9 8 所以 ) )+ ) x( x )( x ) + (0 x)(9 x)(8 x) 0 9 8 + ( x 0x) 0 + [( x ) ] 0 因此, 当 x 时,) 最小且 P i () 98 解题分析 : 此题表明, 解答有关概率问题不仅需要坚实的排列组合知识, 而且还需具备函数等其它数学知识 ; 只有在掌握了正确的思维方法之后, 才能客观地有效地解决问题