关 于 十 进 制 当 谈 论 进 制 的 时 候, 很 自 然 就 会 想 到 十 进 制, 即 : 逢 十 进 一, 借 一 当 十 几 个 问 题 : (1) 为 什 么 要 采 用 十 进 制? (2) 能 否 用 其 他 进 制 来 表 示 自 然 界 中 的 各 种 信 息? (3) 当

附 录 I: 关 于 二 进 制 二 进 制 为 数 字 计 算 机 的 基 本 进 制, 对 二 进 制 的 理 解 程 度 将 很 大 程 度 地 影 响 对 计 算 机 的 理 解

关 于 十 进 制 当 谈 论 进 制 的 时 候, 很 自 然 就 会 想 到 十 进 制, 即 : 逢 十 进 一, 借 一 当 十 几 个 问 题 : (1) 为 什 么 要 采 用 十 进 制? (2) 能 否 用 其 他 进 制 来 表 示 自 然 界 中 的 各 种 信 息? (3) 当 我 们 用 其 他 进 制 表 示 信 息 的 时 候 和 十 进 制 的 表 示 是 否 有 不 同? 不 同 在 哪 里?

十 进 制 有 几 个 基 本 元 素 : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, 所 有 的 十 进 制 数 由 这 十 个 基 本 元 素 组 合 而 成 例 如 :1256 123 90765 0.0345 等 用 一 个 通 用 的 公 式 来 表 示 则 如 下 所 示 : M i r a i i 关 于 十 进 制 a i r 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

关 于 十 进 制 M a i r i i 3 2 1 1256 110 210 510 6 10 0 其 中 6 是 个 位 ;5 是 十 位 ;2 是 百 位 ;1 是 千 位

关 于 二 进 制 我 们 现 在 的 问 题 是 : 如 果 将 公 式 中 的 M 改 变 为 改 变 为 其 结 果 会 怎 么 样 呢? 例 如 :M=1010110, 我 们 用 公 式 展 开 如 下 : 6 5 4 3 2 1 1010110 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 M 1010110 64 16 4 2 86 2 0

关 于 二 进 制 通 过 这 样 一 个 例 子, 得 到 以 下 几 个 答 案 :

其 实 十 进 制 和 二 进 制 其 实 是 等 价 的 那 么 我 们 推 想 一 下 : 八 进 制 呢? 十 六 进 制 呢? 与 十 进 制 是 否 等 价 呢? 关 于 二 进 制

关 于 二 进 制 二 进 制 的 一 个 主 要 特 点 : 只 有 二 个 基 本 元 素 (0,1) 用 一 个 具 有 两 个 状 态 的 事 物 即 可 以 表 达 一 位 二 进 制 例 如 : 白 天 / 黑 夜, 可 以 用 1 代 表 白 天, 0 代 表 黑 夜 ; 对 于 灯 的 亮 / 灭, 可 以 用 1 代 表 灯 亮, 0 代 表 灯 灭 ; 对 于 动 物 的 性 别 雌 / 雄, 可 以 用 1 代 表 雌 性, 0 代 表 雄 性 ; 1 0 1 0 1 0 0 1 图 I-2 方 波 表 示 二 进 制 信 息

关 于 二 进 制 (2) 二 进 制 是 最 简 单 的 进 制, 没 有 比 二 进 制 更 简 单 的 进 制 了 无 论 是 十 进 制 二 进 制 八 进 制 十 六 进 制 其 实 都 可 以 表 示 自 然 界 中 的 各 种 数 字 信 息, 但 是 二 进 制 只 有 两 个 元 素 (0,1), 其 他 进 制 均 多 于 二 个 元 素 : 八 进 制 有 8 个 元 素 (0~7), 十 进 制 有 十 个 元 素 (0~9), 三 进 制 有 三 个 元 素 (0,1,2), 而 元 素 越 少, 所 需 要 物 理 表 示 的 基 本 元 素 越 少, 所 以, 二 进 制 是 一 种 最 好 表 示 的 进 制

关 于 二 进 制 (3)1847 年 英 国 的 数 学 家 G.Bool 发 现 了 布 尔 代 数, 通 过 布 尔 代 数 可 以 分 析 和 解 决 逻 辑 学 上 的 一 些 运 算, 即 可 以 用 逻 辑 运 算 来 研 究 思 维 逻 辑 这 是 一 个 创 举, 但 该 发 现 实 际 上 到 了 20 世 纪 30~40 年 代 才 得 到 了 充 分 的 运 用, 而 运 用 最 广 泛 的 既 是 在 计 算 机 领 域 布 尔 代 数 即 运 用 二 进 制 进 行 逻 辑 运 算 所 以, 二 进 制 可 以 进 行 除 了 算 术 运 算 外, 还 可 以 进 行 逻 辑 运 算, 采 用 二 进 制 是 计 算 机 中 的 最 佳 选 择

数 制 之 间 的 转 换 ( 二 进 制 --> 十 进 制 ) 假 设 一 个 二 进 制 数 :1011010.1011B 这 是 一 个 带 小 数 的 二 进 制, 其 所 代 表 的 十 进 制 数 为 : 10-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (90.6875) 0.0625 0.125 0 0.5 0 2 0 8 16 0 64 2 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 1011010.10 11B

数 制 之 间 的 转 换 ( 十 进 制 --> 二 进 制 ) 整 数 部 分 :(90) 10 先 转 换 为 二 进 制 数 除 数 被 除 数 余 数 备 注 2 90 2 45 0 二 进 制 整 数 第 0 位 2 22 1 二 进 制 整 数 第 1 位 2 11 0 二 进 制 整 数 第 2 位 2 5 1 二 进 制 整 数 第 3 位 2 2 1 二 进 制 整 数 第 4 位 2 1 0 二 进 制 整 数 第 5 位 2 0 1 二 进 制 整 数 第 6 位 得 到 的 二 进 制 整 数 为 :1011010B

数 制 之 间 的 转 换 ( 十 进 制 --> 二 进 制 ) 小 数 部 分 :(0.6875)10 转 换 为 二 进 制 数 乘 数 被 乘 数 整 数 部 分 备 注 2 0.6875 1 2 0.375 0 二 进 制 小 数 第 0 位 2 0.75 1 二 进 制 小 数 第 1 位 2 0.5 1 二 进 制 小 数 第 2 位 2 0.0 0 二 进 制 小 数 第 3 位 得 到 小 数 部 分 为 :0.1011B (90.6875)10=(1011010.1011) 2

数 制 之 间 的 转 换 ( 二 进 制 --> 八 进 制 ) 八 进 制 数 二 进 制 数 八 进 制 数 二 进 制 数 0 000 4 100 1 001 5 101 2 010 6 110 3 011 7 111

数 制 之 间 的 转 换 ( 二 进 制 --> 八 进 制 ) 例 2.1 将 (1011010.1011) 2 转 换 为 八 进 制 数 答 案 : 将 (1011010.1011) 2 数 也 按 照 整 数 和 小 数 部 分 分 别 处 理, 整 数 部 分 从 左 向 右 每 3 位 一 组 进 行 分 割, 小 数 部 分 按 照 从 右 向 左 的 顺 序 每 3 位 一 组 进 行 分 割, 不 够 3 位 的 填 充 0, 则 (1011010.1011) 2 可 以 表 示 为 : (001,011,010).(101,100) 每 3 位 用 对 应 的 8 进 制 数 代 替, 则 得 到 (132.54) 8

八 进 制 --> 十 进 制 将 (132.54) 8 按 照 公 式 I-1 展 开 为 十 进 制 数, 90.6875 0.0625 0.625 2 24 64 0.015625 4 0.125 5 1 2 8 3 64 1 8 4 8 5 8 2 8 3 8 1 (132.54) 2 1 0 1 2 8

例 2.2 将 (132.54) 8 转 换 为 二 进 制 数 八 进 制 --> 二 进 制 答 案 : 将 八 进 制 数 中 的 每 一 位 用 二 进 制 数 替 代 即 可, 则 得 到 : (001,011,010.101,100) 2 =(1011010.1011) 2

二 进 制 与 十 六 进 制 二 进 制 与 十 六 进 制 二 进 制 的 基 本 元 素 只 有 两 个 (0 1); 十 六 进 制 的 基 本 元 素 有 16 个 (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F) 所 以 二 进 制 和 十 六 进 制 之 间 存 在 着 必 然 的 联 系 : 一 位 八 进 制 数 可 以 用 四 位 二 进 制 数 来 表 示 (16=2 4 )

二 进 制 与 十 六 进 制 八 进 制 数 二 进 制 数 八 进 制 数 二 进 制 数 0 0000 8 1000 1 0001 9 1001 2 0010 A 1010 3 0011 B 1011 4 0100 C 1100 5 0101 D 1101 6 0110 E 1110 7 0111 F 1111

二 进 制 --> 十 六 进 制 例 3.1 将 (1011010.1011) 2 转 换 为 十 六 进 制 数 答 案 : 将 (1011010.1011) 2 数 也 按 照 整 数 和 小 数 部 分 分 别 处 理, 整 数 部 分 从 左 向 右 每 4 位 一 组 进 行 分 割, 小 数 部 分 按 照 从 右 向 左 的 顺 序 每 4 位 一 组 进 行 分 割, 不 够 4 位 的 填 充 0, 则 (1011010.1011) 2 可 以 表 示 为 : (0101,1010).(1011) 每 4 位 用 对 应 的 十 六 进 制 数 代 替, 则 得 到 (5A.B) 16

十 六 进 制 --> 十 进 制 (5A.B) 16 516 1 (90.6875) A16 10 0 B16 1 516 101110.0625 80 10 0.6875

十 六 进 制 --> 二 进 制 例 3.2 将 (5A.B) 16 转 换 为 二 进 制 数 答 案 : 将 八 进 制 数 中 的 每 一 位 用 表 中 的 二 进 制 数 替 代 即 可, 则 得 到 : (0101,1010.1011) 2 =(1011010.1011) 2

人 类 更 善 于 读 十 六 进 制 十 六 进 制 和 二 进 制 表 示 同 一 个 数 时, 十 六 进 制 需 要 的 位 数 显 然 少 于 二 进 制 需 要 的 位 数 所 以, 对 于 人 类 来 讲, 读 十 六 进 制 数 比 读 二 进 制 数 要 方 便 这 是 引 入 十 六 进 制 数 的 一 个 重 要 原 因 相 对 于 八 进 制 而 言, 十 六 进 制 数 需 要 的 位 数 将 更 少, 所 以 在 计 算 机 中, 我 们 更 多 地 采 用 十 六 进 制 数 十 六 进 制 数 中 有 几 个 符 号 :A B C D E F, 分 别 相 当 于 十 进 制 10 11 12 13 14 15, 为 什 么 采 用 英 文 符 号 表 示 呢? 因 为 10 11 等 数 已 经 是 2 位 数 了, 即 已 经 出 现 了 多 位 数, 不 是 单 位 数 了 但 十 六 进 制 的 基 本 元 素 必 须 是 单 位 数, 为 了 方 便 表 示 引 入 了 英 文 符 号 的 表 示

二 进 制 的 正 负 数 表 示 涉 及 到 数, 必 然 要 考 虑 到 正 负 数, 不 涉 及 到 机 器 计 算 的 时 候, 可 以 用 + 表 示 正 数 ; - 表 示 负 数 例 如 :(+101011) 2 ;(-101101) 2 在 计 算 机 中 如 何 表 示 正 负 数 呢? 如 果 也 用 + - 符 号 表 示, 则 需 要 在 计 算 机 中 设 计 + - 号 的 表 达 方 式, 这 可 能 有 点 儿 难 度 即 使 能 表 示, 也 可 能 带 来 系 统 的 复 杂 度 增 加 因 为 只 有 两 种 可 能 : + -, 我 们 很 自 然 就 想 到 能 否 用 0 1 两 种 状 态 来 表 示? 如 果 可 能, 则 机 器 表 示 就 变 得 很 简 单 了 基 于 这 样 一 种 想 法, 科 学 家 们 将 二 进 制 前 面 添 加 一 位, 用 1 代 表 正 数 ; 0 代 表 负 数 例 如 : (110101010) 2 最 高 位 为 1, 则 该 二 进 制 数 为 负 数 和 (-10101010) 2 的 表 示 方 法 相 同

二 进 制 运 算 包 括 两 个 部 分 : 算 数 运 算 逻 辑 运 算 ; 在 此 我 们 只 介 绍 二 进 制 的 算 术 运 算 二 进 制 的 运 算

十 进 制 的 运 算 规 则 谈 到 算 术 运 算, 立 刻 想 到 了 一 系 列 的 运 算 规 则, 例 如 : 1+2=3; 4+5=9; 6-3=3; 5*8=40; 10/2=5 而 二 进 制 的 运 算 规 则 也 包 含 加 减 乘 除 等 四 则 运 算 的 基 本 规 则, 但 相 对 于 十 进 制 而 言, 二 进 制 的 运 算 规 则 要 简 单 的 多

二 进 制 加 法 运 算 二 进 制 的 加 法 运 算 规 则 很 简 单, 只 有 四 条 : 0+0=0; 1+0=1; 0+1=1; 1+1=10;( 和 中 的 1 是 进 位 位 ) 最 后 一 条 1+1=10, 其 中 结 果 中 的 1 为 进 位 位, 第 0 位 上 的 结 果 为 0

二 进 制 加 法 运 算 例 5.1 计 算 (10110101) 2 与 (10010101) 2 的 加 法 和 10110101 10010101 101001010 二 进 制 数 的 加 法 运 算 规 则 和 十 进 制 数 的 加 法 运 算 规 则 一 致, 计 算 方 法 也 相 同

另 一 个 例 子 参 与 加 法 运 算 的 两 个 二 进 制 数 都 是 正 数 ( 即 最 高 位 都 为 0, 代 表 正 数 ) 将 最 高 位 的 符 号 位 也 参 加 到 加 法 运 算 中 而 得 到 的 一 个 结 果 为 了 看 起 来 方 便 我 们 将 其 转 换 为 十 进 制 : (01111111) 2 =(+127) 10 和 (00000010) 2 =(+2) 10, 则 和 应 该 为 (+129) 10, 而 计 算 的 结 果 (100000001) 2 按 照 公 式 展 开 得 到 的 结 果 为 (129) 10, 但 问 题 是 最 高 位 是 1, 按 照 上 节 所 讲 的 内 容, 应 该 为 负 数, 即 是 十 进 制 的 (-1) 10, 这 似 乎 就 有 点 儿 矛 盾 了 如 果 不 考 虑 符 号 问 题, 计 算 结 果 正 确 ; 01111111 00000010 100000001 如 果 考 虑 符 号 问 题, 计 算 结 果 错 误 那 么 符 号 似 乎 就 不 能 参 与 加 法 计 算

补 码 其 实 补 码 的 概 念 在 数 学 上 有 其 原 型, 称 之 为 补 数 补 数 的 特 点 为 : (1) 一 个 整 数 与 其 补 数 相 加, 和 为 模 ; (2) 对 一 个 整 数 的 补 码 再 求 补 码, 等 于 该 整 数 自 身 ; (3) 补 码 的 正 零 与 负 零 表 示 方 法 相 同 典 型 的 例 子 为 时 钟 的 运 算 时 钟 的 计 量 范 围 是 0~11, 当 时 钟 运 行 到 12 时, 自 动 归 为 0 即 12 和 0 在 时 钟 上 是 一 个 点, 称 12 为 时 钟 的 模, 即 时 钟 运 行 中 存 在 一 个 最 大 的 数, 该 数 为 12 模 实 质 上 是 计 量 器 产 生 溢 出 的 量, 它 的 值 在 计 量 器 上 表 示 不 出 来, 计 量 器 上 只 能 表 示 出 模 的 余 数 任 何 有 模 的 计 量 器, 均 可 化 减 法 为 加 法 运 算

补 码 例 如 : 假 设 当 前 时 针 指 向 10 点, 而 准 确 时 间 是 6 点, 调 整 时 间 可 有 以 下 两 种 拨 法 : 一 种 是 逆 时 针 拨 4 小 时, 即 :10-4=6; 另 一 种 是 顺 时 针 拨 8 小 时 :10+8=12+6=6 在 以 12 为 模 的 系 统 中, 加 8 和 减 4 效 果 是 一 样 的, 因 此 凡 是 减 4 运 算, 都 可 以 用 加 8 来 代 替 对 模 12 而 言,8 和 4 互 为 补 数 实 际 上 以 12 模 的 系 统 中,11 和 1,10 和 2,9 和 3, 7 和 5,6 和 6 都 有 这 个 特 性 共 同 的 特 点 是 两 者 相 加 等 于 模

二 进 制 存 在 模 吗? 对 于 计 算 机 而 言, 利 用 二 进 制 完 成 计 算 任 务, 但 考 虑 到 用 物 理 的 方 式 实 现 的 二 进 制 位 数 总 是 有 限 的 那 么 有 限 位 的 二 进 制 数 其 所 能 表 示 的 数 据 范 围 是 有 限 的 例 如 : 8 位 二 进 制 位, 如 果 不 考 虑 符 号 位, 则 其 所 能 表 示 的 数 据 范 围 为 : 0~255; 16 位 二 进 制 数 所 能 表 示 的 数 据 范 围 为 :0~65535; 假 设 计 算 机 中 所 有 的 二 进 制 数 都 是 有 限 位 数, 则 每 一 个 二 进 制 数 都 存 在 一 个 模, 二 进 制 位 数 不 同, 其 模 值 不 同

二 进 制 与 计 算 机 位 数 计 算 机 中 参 与 运 算 的 二 进 制 的 位 数, 常 常 选 择 8 或 8 的 倍 数, 例 如 :8 位 16 位 32 位 64 位 等 8 位 二 进 制 位 组 成 一 个 字 节 多 个 字 节 组 成 的 称 之 为 字 计 算 机 选 择 8 位 二 进 制 位 作 为 基 本 运 算 单 位, 称 为 8 位 机 选 择 16 位 二 进 制 位 作 为 基 本 运 算 单 位 称 为 16 位 机 以 此 类 推

原 码 反 码 为 了 方 便 计 算 二 进 制 补 码, 引 入 原 码 和 反 码 的 概 念 (1) 原 码 : 在 数 值 前 直 接 加 一 符 号 位 的 表 示 法 例 如 : 符 号 位 数 值 位 [+7] 原 = 0 0000111 B [- 7] 原 = 1 0000111 B (2) 反 码 : 正 数 的 反 码 与 原 码 相 同 负 数 的 反 码, 符 号 位 为 1, 数 值 部 分 按 位 取 反 例 如 : 符 号 位 数 值 位 [+7] 反 = 0 0000111 B [- 7] 反 = 1 1111000 B

补 码 二 进 制 补 码 运 算 的 规 则 为 : (1) 正 数 的 补 码 是 其 本 身 ; (2) 负 数 的 补 码 为 其 数 值 部 分 按 位 取 反, 在 最 低 位 加 1 例 5.2 分 别 求 数 x=(+23) 10 和 y=(-35) 10 的 补 码 解 :(1) 先 分 别 将 两 个 数 用 二 进 制 表 示 则 x 的 二 进 制 原 码 为 :00010111B;y 的 二 进 制 原 码 为 :-00100011B 则 两 个 数 的 原 码 跟 别 为 :[x] 原 = 0 0010111B 和 [y] 原 = 1 0100011B (2) 因 为 正 数 的 补 码 为 其 本 身 不 变, 则 为 [x] 补 =0 0010111B; 而 负 数 的 补 码 分 为 两 步 运 算 为 : (a) 先 保 留 符 号 位 不 变, 其 后 的 7 位 数 值 位 按 位 取 反, 得 到 [y] 反 =1 1011100B; (b) 将 反 码 的 数 值 位 +1, 得 到 y 的 补 码 为 :[y] 补 =1 1011101B

补 码 运 算 例 5.3 计 算 x+y 因 为 x 为 正 数,y 为 负 数, 实 际 上 x+y 为 减 法 运 算, 但 我 们 现 在 不 采 用 减 法 运 算, 仍 采 用 加 法 运 算 具 体 算 法 为 : 设 z=x+y z x y 23-35 ( 23) 10 (-35) 10 (1) 先 分 别 将 x 和 y 的 二 进 制 数 转 化 为 补 码, 进 行 加 法 运 算, 则 得 到 [z] 补, 运 算 结 果 如 下 : [ z] [ x] [ y] 00010111B 11011101B 补 补 补 按 照 加 法 的 运 算 规 则 : + 00010111 11011101 11110100 然 后 再 +1, 得 到 [z] 补 =11110101B

补 码 运 算 (2) 得 到 的 [z] 补 符 号 位 为 1, 显 然 为 负 数, 即 此 时 看 到 的 数 是 一 个 负 数 的 补 码, 因 此 需 要 将 其 还 原 为 原 码 才 是 真 正 得 到 的 运 算 结 果 还 原 的 方 法 与 求 补 码 的 方 法 一 致 : 正 数 的 补 码 是 其 本 身, 负 数 的 补 码 为 数 值 位 按 位 取 反 加 1, 符 号 位 不 变 则 : [ [z] 补 ] 反 =[111001B] 反 =0001010B [z] 原 =[ [z] 补 ] 反 +1=0001011B 因 为 [z] 补 =11110101B 的 符 号 位 为 1, 显 然 运 算 结 果 为 负 数, 具 体 数 值 为 :0001011B; 将 其 转 化 为 十 进 制, 则 结 果 为 (-11) 10, 与 减 法 的 运 算 结 果 相 同

补 码 运 算 总 结 (1) 通 过 引 入 补 码, 可 以 将 减 法 运 算 变 为 加 法 运 算 ; (2) 补 码 运 算 中 参 与 运 算 的 数 必 须 都 是 补 码 ; (3) 补 码 运 算 得 到 的 运 算 结 果 也 是 以 补 码 形 式 存 在 ; (4) 需 要 将 补 码 运 算 的 结 果 转 换 为 原 码 才 是 最 终 的 运 算 结 果 ; (5) 原 码 转 化 为 补 码 与 补 码 转 换 为 原 码 的 规 则 相 同 ; (6) 最 关 键 的 一 点, 在 补 码 运 算 中, 没 有 单 独 考 虑 运 算 符 号, 而 是 按 照 加 法 的 规 则 将 符 号 位 也 参 与 到 加 法 运 算 中, 得 到 的 结 果 是 正 确 的 补 码 的 引 入 需 要 有 一 个 前 提, 必 须 存 在 一 个 模, 即 二 进 制 位 数 必 须 是 有 限 位

补 码 运 算 总 结 补 码 的 引 入 解 决 了 两 个 关 键 问 题 : (1) 将 减 法 运 算 变 成 了 加 法 运 算 ; (2) 符 号 位 参 与 到 运 算 中 从 本 节 中 知 道 : 所 有 的 运 算 都 可 以 简 化 为 四 则 运 算 ; 四 则 运 算 中 的 乘 法 运 算 是 加 法 运 算 的 变 体 ; 除 法 运 算 是 减 法 运 算 的 变 体 ; 而 引 入 补 码 之 后, 可 以 将 减 法 变 成 加 法, 那 么 所 有 的 运 算 简 化 为 加 法 运 算 ; 而 二 进 制 的 加 法 运 算 规 则 只 有 四 条, 可 以 用 组 合 逻 辑 和 时 序 逻 辑 电 路 实 现 为 加 法 器, 则 计 算 机 中 只 要 实 现 一 个 加 法 器 既 可 以 解 决 算 数 运 算 的 问 题, 所 有 的 问 题 瞬 间 变 得 极 其 简 单

假 设 [x]=127,[y]=2, 则 [z]=[x]+[y]=127+2=129 加 法 运 算 存 在 的 问 题 [x] 原 =01111111B,[y] 原 =00000010B, 因 为 都 是 正 数, 原 反 补 码 相 同, 则 [x] 补 =01111111B,[y] 补 =00000010B, 则 运 算 的 结 果 为 : [z] 补 =[x] 补 +[y] 补 =10000001B 从 [z] 补 的 结 果 上 看, 显 然 是 一 个 负 数, 两 个 正 数 相 加, 其 结 果 为 一 个 负 数, 显 然 不 符 合 数 学 规 则 那 问 题 出 在 哪 里 呢?

加 法 运 算 存 在 的 问 题 此 处 所 举 的 例 子 采 用 了 8 位 二 进 制 数 ; 其 中 最 高 位 为 符 号 位, 不 表 示 数 值, 只 有 7 位 二 进 制 数 表 示 具 体 数 值, 即 其 所 能 表 示 的 范 围 0~127(2 7-1) 即 8 位 带 符 号 数 所 能 表 示 的 最 大 正 数 为 +127, 而 运 算 的 结 果 为 129, 即 超 出 了 一 个 8 位 有 符 号 数 所 能 表 示 的 范 围, 所 以 出 现 了 错 误, 这 种 错 误 为 溢 出

溢 出 的 存 在 二 进 制 位 数 有 限, 即 存 在 一 个 模, 减 法 可 以 变 为 加 法 ; 但 同 时 因 为 位 数 有 限, 有 限 位 数 所 表 示 的 数 据 范 围 有 限, 就 存 在 溢 出 问 题 所 以, 如 果 利 用 二 进 制 进 行 计 算, 必 须 同 时 解 决 两 个 问 题 之 间 的 矛 盾 只 要 位 数 有 限, 溢 出 问 题 即 存 在, 如 果 计 算 机 可 以 判 别 溢 出, 则 可 通 过 位 数 扩 展 实 现 正 确 计 算 问 题 这 需 要 解 决 两 个 问 题 : (1) 溢 出 判 断 ; (2) 位 数 扩 展

溢 出 判 断 符 号 扩 展 (1) 溢 出 判 断 两 个 符 号 相 反 的 数 相 加, 实 际 进 行 的 是 减 法 运 算, 不 会 出 现 溢 出 问 题 只 有 同 号 数 相 加 才 会 出 现 溢 出 (2) 位 数 扩 展 对 于 正 数 的 位 数 扩 展, 高 位 补 0 即 可, 例 如 :01101101 可 以 扩 展 为 :00000000 01101101, 符 号 位 为 16 位 的 最 高 位 (D15 位 ), 为 正 数 而 对 于 负 数, 例 如 :10110101, 符 号 位 为 D7 位, 该 数 为 负 数 此 时 如 果 按 照 高 位 补 零 的 原 则, 则 变 为 :00000000 10110101, 符 号 位 为 D15 位, 该 数 变 成 了 正 数, 这 显 然 是 错 的 为 此, 数 学 家 给 我 们 提 供 了 一 个 方 法, 按 符 号 位 进 行 扩 展 例 如 : 上 例 中 的 负 数 可 以 扩 展 为 :11111111 10110101

二 进 制 小 数 表 示 二 进 制 小 数 表 示 定 点 小 数 浮 点 小 数

定 点 数 表 示 方 法 根 据 二 进 制 的 表 示 方 式, 知 道 十 二 进 制 实 数 的 计 算 : 小 数 点 对 齐, 小 数 和 小 数 相 加, 整 数 和 整 数 相 加, 小 数 会 向 整 数 部 分 有 进 位 ; 减 法 的 道 理 类 似 二 进 制 的 加 减 运 算 和 十 进 制 运 算 一 致 也 就 是 说 : 就 运 算 而 言, 小 数 部 分 整 数 部 分 可 以 分 别 计 算, 小 数 部 分 向 整 数 部 分 有 一 个 进 位 所 以, 我 们 可 以 设 想 小 数 部 分 和 整 数 部 分 可 以 分 开 例 如 : 如 果 对 于 一 个 整 数 8 位 小 数 部 分 8 位 的 二 进 制 数 可 以 表 示 如 下 : 11010101.10001011 和 01101010.11100111 则 进 行 加 法 计 算 时, 小 数 部 分 先 加 法 运 算, 然 后 再 进 行 整 数 加 法 运 算, 再 加 上 小 数 部 分 的 进 位 位 所 以, 如 果 我 们 分 别 知 道 两 个 小 数 存 放 的 位 置, 又 分 别 知 道 两 个 整 数 存 放 的 地 址, 则 不 需 要 保 存 小 数 点, 既 可 以 实 现 二 进 制 实 数 运 算 我 们 将 这 种 存 储 方 式 称 为 : 定 点 数 具 体 表 示 方 式 如 图 I-3 所 示 :. 图 I-3 定 点 二 进 制 数 表 示 定 点 数 表 示 分 别 表 示 整 数 部 分 和 小 数 部 分, 小 数 点 不 用 二 进 制 表 示 定 点 数 的 小 数 部 分 的 原 码 反 码 补 码, 及 加 减 乘 除 运 算 和 二 进 制 整 数 部 分 的 计 算 相 同

* 浮 点 数 (IEEE754) IEEE 754 标 准

背 景 在 IEEE 标 准 754 之 前, 业 界 并 没 有 一 个 统 一 的 浮 点 数 标 准, 相 反, 很 多 计 算 机 制 造 商 都 设 计 自 己 的 浮 点 数 规 则, 以 及 运 算 细 节 那 时, 实 现 的 速 度 和 简 易 性 比 数 字 的 精 确 性 更 受 重 视 直 到 1985 年 Intel 打 算 为 其 的 8086 微 处 理 器 引 进 一 种 浮 点 数 协 处 理 器 的 时 候, 聪 明 地 意 识 到, 作 为 设 计 芯 片 者 的 电 子 工 程 师 和 固 体 物 理 学 家 们, 也 许 并 不 能 通 过 数 值 分 析 来 选 择 最 合 理 的 浮 点 数 二 进 制 格 式 Intel 在 请 加 州 大 学 伯 克 利 分 校 的 William Kahan 教 授 来 为 8087 FPU 设 计 浮 点 数 格 式 ; 而 这 个 家 伙 又 找 来 两 个 专 家 来 协 助 他, 于 是 就 有 了 KCS 组 合 (Kahn, Coonan, and Stone) 他 们 共 同 完 成 了 Intel 的 浮 点 数 格 式 设 计, 而 且 完 成 地 如 此 出 色, 以 致 于 IEEE 组 织 决 定 采 用 一 个 非 常 接 近 KCS 的 方 案 作 为 IEEE 的 标 准 浮 点 格 式 目 前, 几 乎 所 有 计 算 机 都 支 持 该 标 准, 大 大 改 善 了 科 学 应 用 程 序 的 可 移 植 性

表 示 形 式 浮 点 数 也 是 一 串 0 和 1 构 成 的 位 序 列 (bit sequence) IEEE 标 准 从 逻 辑 上 用 三 元 组 {S,E,M} 表 示 一 个 数 N, E(exponent) 表 示 N 的 指 数 位, 位 于 S 和 M 之 间 的 若 干 位 对 应 值 e 值 也 可 正 可 负 M(mantissa) 表 示 N 的 尾 数 位, 恰 好, 它 位 于 N 末 尾 M 也 叫 有 效 数 字 位 (sinificand) 系 数 位 (coefficient), 甚 至 被 称 作 小 数 S(sign) 表 示 N 的 符 号 位 对 应 值 s 满 足 :n>0 时,s=0; n<0 时,s=1 n,s,e,m 分 别 为 N,S,E,M 对 应 的 实 际 数 值, 而 N,S,E,M 仅 仅 是 一 串 二 进 制 位

浮 点 数 格 式 IEEE 标 准 754 规 定 了 三 种 浮 点 数 格 式 : 单 精 度 双 精 度 扩 展 精 度 前 两 者 正 好 对 应 C 语 言 里 头 的 float double 或 者 FORTRAN 里 头 的 real double 精 度 类 型 单 精 度 :N 共 32 位, 其 中 S 占 1 位,E 占 8 位,M 占 23 位 双 精 度 :N 共 64 位, 其 中 S 占 1 位,E 占 11 位,M 占 52 位

浮 点 数 格 式 M 虽 然 是 23 位 或 者 52 位, 但 它 们 只 是 表 示 小 数 点 之 后 的 二 进 制 位 数, 假 定 M 为 010110011..., 在 二 进 制 数 值 上 其 实 是.010110011... 标 准 规 定 小 数 点 左 边 还 有 一 个 隐 含 位, 这 个 隐 含 位 绝 大 多 数 情 况 下 是 1 那 什 么 情 况 下 是 0 呢? 答 案 是 N 对 应 的 n 非 常 小 的 时 候, 比 如 小 于 2-126 (32 位 单 精 度 浮 点 数 ) 隐 含 位 算 是 赚 来 了 一 位 精 度, 于 是 M 对 应 的 m 最 后 结 果 可 能 是 "m=1.010110011... 或 者 m=0.010110011...

规 格 化 (normalized) 非 规 格 化 (denormalized) 1 规 格 化 : 当 E 的 二 进 制 位 不 全 为 0, 也 不 全 为 1 时,N 为 规 格 化 形 式 此 时 e 被 解 释 为 表 示 偏 置 (biased) 形 式 的 整 数 e 值 计 算 公 式 : E 表 示 E 的 二 进 制 序 列 表 示 的 整 数 值, 例 如 E 为 "10000100", 则 E =132,e=132-127=5 k 则 表 示 E 的 位 数, 对 单 精 度 来 说,k=8, 则 bias=127, 对 双 精 度 来 说,k=11, 则 bias=1023

规 格 化 (normalized) 非 规 格 化 (denormalized) 2. 非 规 格 化 : 当 E 的 二 进 制 位 全 部 为 0 时,N 为 非 规 格 化 形 式 此 时 e,m 的 计 算 都 非 常 简 单 此 时 小 数 点 左 侧 的 隐 含 位 为 0 为 什 么 e 会 等 于 (1-bias) 而 不 是 (-bias), 这 主 要 是 为 规 格 化 数 值 非 规 格 化 数 值 之 间 的 平 滑 过 渡 设 计 的 有 了 非 规 格 化 形 式, 我 们 就 可 以 表 示 0 了 把 符 号 位 S 值 1, 其 余 所 有 位 均 置 0 后, 我 们 得 到 了 -0.0; 同 理, 把 所 有 位 均 置 0, 则 得 到 +0.0 非 规 格 化 数 还 有 其 他 用 途, 比 如 表 示 非 常 接 近 0 的 小 数, 而 且 这 些 小 数 均 匀 地 接 近 0, 称 为 逐 渐 下 溢 (gradually underflow) 属 性

3 特 殊 数 值 : 规 格 化 (normalized) 非 规 格 化 (denormalized) 当 E 的 二 进 制 位 全 为 1 时 为 特 殊 数 值 此 时, 若 M 的 二 进 制 位 全 为 0, 则 n 表 示 无 穷 大, 若 S 为 1 则 为 负 无 穷 大, 若 S 为 0 则 为 正 无 穷 大 ; 若 M 的 二 进 制 位 不 全 为 0 时, 表 示 NaN(Not a Number), 表 示 这 不 是 一 个 合 法 实 数 或 无 穷, 或 者 该 数 未 经 初 始 化

范 例 我 们 假 定 N 是 一 个 8 位 浮 点 数, 其 中, S 占 1 位, E 占 4 位, M 占 3 位

范 例 分 析 看 N 列, 二 进 制 位 表 示 是 均 匀 递 增 的, 且 增 量 都 是 一 个 最 小 二 进 制 位 观 察 最 大 的 非 规 格 数, 发 现 恰 好 就 是 M 全 为 1, E 全 为 0 的 情 况 于 是 我 们 求 出 最 大 的 非 规 格 数 为 : 公 式 中,h 为 M 的 位 数 ( 如 范 例 中 为 3) 注 意, 公 式 等 号 右 边 的 第 一 项 同 时 又 是 最 小 规 格 数 的 值 ( 如 范 例 中 为 8/512 ); 第 二 项 则 正 是 最 小 非 规 格 数 的 值 ( 如 范 例 中 为 1/512) 即 该 浮 点 数 能 表 示 的 最 小 正 数 看 m 列, 规 格 化 数 都 是 1+ x 的 形 式, 这 个 1 正 是 隐 含 位 1; 而 非 规 格 化 数 隐 含 位 为 0, 所 以 没 有 "1+" 看 n 列, 非 规 格 化 数 从 上 到 下 的 增 量 都 是 1/512, 且 过 渡 到 规 格 化 数 时, 增 量 是 平 滑 的, 依 旧 是 1/512 这 正 是 非 规 格 化 数 中 e 等 于 (1-bias) 而 不 是 (-bias) 的 缘 故, 也 是 巧 妙 设 计 的 结 果 再 继 续 往 下 看, 发 现 增 量 值 逐 渐 增 大 可 见, 浮 点 数 的 取 值 范 围 不 是 均 匀 的

浮 点 数 加 减 运 算 设 两 个 浮 点 数 X=M x *2 E x,y=m y *2 E y 实 现 X±Y 要 用 如 下 5 步 完 成 : 对 阶 操 作 : 小 阶 向 大 阶 看 齐 ; 进 行 尾 数 加 减 运 算 ; 规 格 化 处 理 : 尾 数 进 行 运 算 的 结 果 必 须 变 成 规 格 化 的 浮 点 数, 对 于 双 符 号 位 ( 就 是 使 用 00 表 示 正 数,11 表 示 负 数,01 表 示 上 溢 出,10 表 示 下 溢 出 ) 的 补 码 尾 数 来 说, 就 必 须 是 001 或 110 的 形 式, 若 不 符 合 上 述 形 式 要 进 行 左 规 或 右 规 处 理 舍 入 操 作 : 在 执 行 对 阶 或 右 规 操 作 时 常 用 0 舍 1 入 法 将 右 移 出 去 的 尾 数 数 值 进 行 舍 入, 以 确 保 精 度 判 结 果 的 正 确 性 : 即 检 查 阶 码 是 否 溢 出 若 阶 码 下 溢 ( 移 码 表 示 是 00 0), 要 置 结 果 为 机 器 0; 若 阶 码 上 溢 ( 超 过 了 阶 码 表 示 的 最 大 值 ) 置 溢 出 标 志

浮 点 数 加 减 法 实 例 例 题 : 假 定 X=0.0110011*2 11,Y=0.1101101*2-10 ( 此 处 的 数 均 为 二 进 制 ), 计 算 X+Y; 首 先, 我 们 要 把 这 两 个 数 变 成 2 进 制 表 示, 对 于 浮 点 数 来 说, 阶 码 通 常 用 移 码 表 示, 而 尾 数 通 常 用 补 码 表 示 要 注 意 的 是 -10 的 移 码 是 00110 [X] 浮 : 0 1 010 1100110 [Y] 浮 : 0 0 110 1101101 符 号 位 阶 码 尾 数 (1) 求 阶 差 : ΔE = 1010-0110 =0100; (2) 对 阶 :Y 的 阶 码 小,Y 的 尾 数 右 移 4 位 [Y] 浮 变 为 0 1 010 0000110 1101 暂 时 保 存 (3) 尾 数 相 加, 采 用 双 符 号 位 的 补 码 运 算 00 1100110 +00 0000110 00 1101100 (4) 规 格 化 : 满 足 规 格 化 要 求 (5) 舍 入 处 理, 采 用 0 舍 1 入 法 处 理 故 最 终 运 算 结 果 的 浮 点 数 格 式 为 : 0 1 010 1101101 即 X+Y=+0. 1101101*2 10

浮 点 数 乘 除 法 运 算 (1) 阶 码 运 算 : 阶 码 求 和 ( 乘 法 ) 或 阶 码 求 差 ( 除 法 ) 即 [Ex+Ey] 移 = [Ex] 移 + [Ey ] 补 [Ex-Ey] 移 = [Ex] 移 + [-Ey] 补 (2) 浮 点 数 的 尾 数 处 理 : 浮 点 数 中 尾 数 乘 除 法 运 算 结 果 要 进 行 舍 入 处 理 例 题 :X=0.0110011*2 11,Y=0.1101101*2-10 求 X*Y 解 : [X] 浮 : 0 1010 1100110 [Y] 浮 : 0 0110 1101101 1) 阶 码 相 加 [Ex+Ey] 移 =[Ex] 移 +[Ey] 补 =1010+1110=1000 1 000 为 移 码 表 示 的 0 2) 原 码 尾 数 相 乘 的 结 果 为 :0 10101101101110 3) 规 格 化 处 理 : 已 满 足 规 格 化 要 求, 不 需 左 规, 尾 数 不 变, 阶 码 不 变 4) 舍 入 处 理 : 按 舍 入 规 则, 加 1 进 行 修 正 所 以 X Y= 0.1010111*2 0

二 进 制 编 码 计 算 机 只 能 处 理 二 进 制 信 息, 如 果 要 处 理 自 然 界 中 的 其 他 信 息, 必 须 想 办 法 将 其 转 换 为 二 进 制 信 息, 计 算 机 才 能 处 理 例 如 : 要 想 计 算 机 存 储 音 乐, 需 要 将 声 音 信 息 用 二 进 制 方 式 表 示 ; 要 显 示 图 像 信 息, 必 须 将 图 像 用 二 进 制 方 式 表 示 ; 要 想 显 示 汉 字, 必 须 将 汉 字 用 二 进 制 方 式 表 示 ; 将 信 息 用 二 进 制 方 式 表 达 出 来 称 为 : 二 进 制 编 码 到 目 前 为 止, 编 码 方 式 的 种 类 非 常 繁 多, 例 如 : 对 图 像 信 息 的 编 码 就 包 括 BMP 格 式 GIF 格 式 TIF 格 式 JPG 格 式 等 这 中 间 有 些 编 码 是 有 压 缩 的, 有 些 是 无 压 缩 的 所 以, 了 解 计 算 机 的 二 进 制 编 码 是 使 用 计 算 机 处 理 信 息 的 必 要 组 成 部 分 但 计 算 机 编 码 过 多, 我 们 没 有 办 法 一 一 介 绍 到, 此 处 仅 介 绍 两 种 编 码 方 式 : BCD 码 和 ASCII 编 码, 让 读 者 通 过 这 两 种 编 码 初 步 了 解 编 码 的 基 本 思 路

BCD 码 (Binary-Coded Decimal) 二 进 码 十 进 数 (Binary-Coded Decimal), 简 称 BCD 码, 是 一 种 十 进 制 的 数 字 编 码 形 式 这 种 编 码 下 的 每 个 十 进 制 数 字 用 一 串 单 独 的 二 进 制 比 特 来 存 储 表 示 常 见 的 有 4 位 表 示 1 个 十 进 制 数 字, 称 为 压 缩 的 BCD 码 (compressed or packed); 或 者 8 位 表 示 1 个 十 进 制 数 字, 称 为 未 压 缩 的 BCD 码 (uncompressed or zoned) 这 种 编 码 技 术, 最 常 用 于 会 计 系 统 的 设 计 里, 因 为 会 计 制 度 经 常 需 要 对 很 长 的 数 字 符 串 作 准 确 的 计 算 相 对 于 一 般 的 浮 点 式 记 数 法, 采 用 BCD 码, 既 可 保 存 数 值 的 精 确 度, 又 可 免 却 使 计 算 机 作 浮 点 运 算 时 所 耗 费 的 时 间 此 外, 对 于 其 他 需 要 高 精 确 度 的 计 算,BCD 编 码 亦 很 常 用

BCD 码 BCD 码 分 为 非 压 缩 BCD 码 和 压 缩 BCD 码 两 种, 对 于 压 缩 BCD 码 是 用 4 位 二 进 制 码 表 示 ; 而 非 压 缩 BCD 是 用 8 位 二 进 制 数 表 示 例 如 : 如 果 表 示 一 个 两 位 十 进 制 数 (56) 10, 则 压 缩 BCD 码 可 以 表 示 为 :0101,0110B; 如 果 用 非 压 缩 BCD 码 则 表 示 为 :0000,0101B, 00000110B, 压 缩 及 非 压 缩 BCD 码 如 表 I-4 所 示

BCD 码 表 十 进 制 数 压 缩 BCD 码 非 压 缩 BCD 码 十 进 制 数 压 缩 BCD 码 非 压 缩 BCD 码 0 0000 0000,0000 6 0110 0000,0110 1 0001 0000,0001 7 0111 0000,0111 2 0010 0000,0010 8 1000 0000,1000 3 0011 0000,0011 9 1001 0000,1001 4 0100 0000,0100 其 他 舍 弃 舍 弃 5 0101 0000,0101

ASCII 编 码 (American Standard Code for Information Interchange) 在 计 算 机 中, 所 有 的 数 据 在 存 储 和 运 算 时 都 要 使 用 二 进 制 数 表 示 ( 因 为 计 算 机 用 高 电 平 和 低 电 平 分 别 表 示 1 和 0), 例 如, 像 a b c d 这 样 的 52 个 字 母 ( 包 括 大 写 ) 以 及 0 1 等 数 字 还 有 一 些 常 用 的 符 号 ( 例 如 * # @ 等 ) 在 计 算 机 中 存 储 时 也 要 使 用 二 进 制 数 来 表 示, 而 具 体 用 哪 些 二 进 制 数 字 表 示 哪 个 符 号, 当 然 每 个 人 都 可 以 约 定 自 己 的 一 套 ( 这 就 叫 编 码 ), 而 大 家 如 果 要 想 互 相 通 信 而 不 造 成 混 乱, 那 么 大 家 就 必 须 使 用 相 同 的 编 码 规 则, 于 是 美 国 有 关 的 标 准 化 组 织 就 出 台 了 ASCII 编 码, 统 一 规 定 了 上 述 常 用 符 号 用 哪 些 二 进 制 数 来 表 示

ASCII 编 码 美 国 标 准 信 息 交 换 代 码 是 由 美 国 国 家 标 准 学 会 (American National Standard Institute, ANSI ) 制 定 的, 标 准 的 单 字 节 字 符 编 码 方 案, 用 于 基 于 文 本 的 数 据 起 始 于 50 年 代 后 期, 在 1967 年 定 案 它 最 初 是 美 国 国 家 标 准, 供 不 同 计 算 机 在 相 互 通 信 时 用 作 共 同 遵 守 的 西 文 字 符 编 码 标 准, 它 已 被 国 际 标 准 化 组 织 (International Organization for Standardization, ISO) 定 为 国 际 标 准, 称 为 ISO 646 标 准 适 用 于 所 有 拉 丁 文 字 字 母

D D D 3 2 1D0 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 NUL DEL SP 0 @ P p 0001 SOH DC1! 1 A Q a q 0010 STX DC2 " 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 BEL ETB 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K [ k { 1100 FF FS, < L \ l 1101 CR GS - = M ] m } 1110 SO RS. > N ^ n ~ 1111 SI US /? O _ o DEL

二 进 制 总 结 二 进 制 是 一 种 最 简 单 的 进 制, 只 有 0 1 两 种 元 素, 在 物 理 上 很 容 易 用 数 字 电 路 来 实 现 ; 二 进 制 不 仅 可 以 用 于 数 学 运 算, 同 时 还 可 以 进 行 逻 辑 运 算, 因 此 二 进 制 被 历 史 性 地 选 择 成 为 了 计 算 机 的 基 本 进 制 计 算 机 中 无 论 是 数 据 程 序 地 址 等 信 息 均 采 用 二 进 制 的 方 式 表 示 所 以 学 习 和 掌 握 二 进 制 的 基 本 特 性 成 为 了 学 习 计 算 机 必 不 可 少 的 关 键 因 素 通 用 数 字 电 子 计 算 机, 其 中 的 通 用 一 词 说 明 了 计 算 机 可 以 在 不 改 变 硬 件 设 计 的 前 提 下, 通 过 改 变 软 件 来 改 变 计 算 机 的 功 能 ; 数 字 电 子 一 词, 说 明 了 计 算 机 的 硬 件 部 分 是 用 数 字 电 子 技 术 来 实 现 的, 虽 然 现 在 有 较 高 的 超 大 规 模 集 成 电 路, 但 其 基 本 原 理 依 然 是 数 字 电 子 ; 计 算 一 词 说 明 计 算 机 是 用 来 进 行 计 算 的, 而 计 算 无 外 乎 算 术 运 算 和 逻 辑 运 算

二 进 制 总 结 那 么, 我 们 可 能 要 关 心 以 下 几 个 问 题 : (1) 数 字 电 路 如 何 实 现 计 算? (2) 软 件 是 什 么? (3) 软 件 如 何 表 示? (4) 表 示 出 来 的 软 件 计 算 机 如 何 识 别? (5) 计 算 机 中 的 软 件 如 何 自 动 工 作? (6) 软 件 如 何 能 够 改 变 计 算 机 的 功 能? 或 者 换 句 话 讲 : 软 件 如 何 控 制 硬 件? 所 有 这 些 问 题, 将 在 本 书 中 进 行 一 一 解 答 请 读 者 参 看 以 后 的 内 容