第 十 届 小 机 灵 杯 数 学 竞 赛 0 年 辅 导 资 料 五 年 级 综 合 练 习 ⑹ 第 题 在 一 位 正 整 数 中, 任 取 一 个 质 数 和 一 个 合 数 相 乘, 所 有 乘 积 的 总 和 是 在 一 位 正 整 数 中, 质 数 有 3 5, 合 数 有 4 6 8 9 ; 在 一 位 正 整 数 中, 任 取 一 个 质 数 和 一 个 合 数 相 乘, 所 有 乘 积 的 总 和 是 3 5 4 6 8 9 459 第 题 两 个 正 整 数 的 最 大 公 约 数 是, 最 小 公 倍 数 是 40, 这 两 个 数 的 差 最 小 是 因 为 两 个 正 整 数 的 最 大 公 约 数 是 ; 所 以 设 这 两 个 正 整 数 为 a 和 b ( a b 均 为 正 整 数, 且 a b 互 质 ); 这 两 个 正 整 数 的 最 小 公 倍 数 a,b ab 40 ; a a a 4 ab 0 ; 或 ( a b 不 互 质, 舍 去 ) 或 ; b 0 b 0 b 5 4 48 这 两 个 正 整 数 为 或 ; 0 40 5 60 这 两 个 数 的 差 是 40 8 或 60 48 ; 这 两 个 数 的 差 最 小 是 第 3 题 98 66 004 除 以 3 的 余 数 是 98 3, 66 3 48,004 3 3; 3 4, 4 3 3 3 ; 98 66 004 除 以 3 的 余 数 是 3
第 4 题 一 个 正 整 数 与 40 的 积 是 一 个 完 全 平 方 数, 那 么 这 个 数 最 小 是 一 个 完 全 平 方 数 分 解 质 因 数 后 各 个 质 因 数 的 指 数 均 是 偶 数 ; 将 40 分 解 质 因 数 : 40 3 5 ; 这 个 数 最 小 是 3 5 30 第 5 题 在 一 列 自 然 数,, 3, 4, 5, 中, 有 一 个 自 然 数, 与 它 相 邻 的 左 右 两 个 自 然 数 的 乘 积 比 它 的 8 倍 还 要 大 8, 这 个 自 然 数 是 ( 方 法 一 ) 因 为 这 个 自 然 数 与 它 相 邻 的 左 右 两 个 自 然 数 的 乘 积 比 它 的 8 倍 还 要 大 8 ; 又 因 为 这 个 自 然 数 左 边 的 数 要 比 这 个 自 然 数 小 ; 所 以 这 个 自 然 数 右 边 的 数 大 于 8 ; 所 以 这 个 自 然 数 大 于 等 于 8 ; 因 为 9 8, 8 0 9 8 8; 所 以 这 个 自 然 数 是 9 ( 方 法 二 ) 设 这 个 自 然 数 是 n ; 由 题 意, 得 8n 8 n n, 8 n n n 因 为 n 0; 所 以 8 n, n 9 ; 所 以 这 个 自 然 数 是 9 ; 第 6 题 一 只 黑 色 口 袋 里 有 四 种 颜 色 的 球, 每 种 颜 色 的 球 有 足 够 多 个, 它 们 的 形 状 大 小 都 相 同, 只 是 颜 色 不 同 一 次 至 少 取 出 个, 才 能 保 证 其 中 至 少 有 5 个 球 颜 色 相 同 由 最 不 利 原 则, 先 四 种 颜 色 的 球 各 取 4 个, 再 任 意 取 个 球 ; 即 一 次 至 少 取 出 4 4 个, 才 能 保 证 其 中 至 少 有 5 个 球 颜 色 相 同
第 题 一 个 农 夫 看 见 池 塘 里 有 一 群 鹅, 他 自 言 自 语 地 说 : 我 如 果 有 这 些 鹅, 再 加 上 这 些 鹅, 然 后 加 上 这 些 鹅 的 一 半, 又 加 上 这 些 鹅 一 半 的 一 半, 最 后 再 加 上 我 家 里 的 5 只, 就 正 好 是 93 只 鹅, 池 塘 里 有 鹅 只 池 塘 里 有 鹅 93 5 3 只
第 8 题 写 出 一 个 自 然 数 A, 把 A 的 十 位 数 字 与 百 位 数 字 相 加, 再 乘 以 个 位 数 字, 把 所 得 的 积 的 个 位 数 字 续 写 在 A 的 末 尾, 称 作 一 次 操 作 如 果 开 始 时 A 894, 对 894 进 行 一 次 操 作 得 到 8948, 再 对 8948 进 行 一 次 操 作 得 到 89484, 如 此 进 行 下 去, 直 到 得 出 一 个 894 位 数 为 止, 这 个 894 位 数 的 各 位 数 字 之 和 是 894, 9 8 4 68, 续 写 的 数 字 是 8 ; 8948, 4 9 8 04, 续 写 的 数 字 是 4 ; 89484, 8 4 4 48, 续 写 的 数 字 是 8 ; 894848, 4 8 8 96, 续 写 的 数 字 是 6 ; 8948486, 8 4 6, 续 写 的 数 字 是 ; 8948486, 6 8 8, 续 写 的 数 字 是 8 ; 89484868, 6 8 64, 续 写 的 数 字 是 4 ; 894848684, 8 4 40, 续 写 的 数 字 是 0 ; 8948486840, 此 时 个 位 数 字 是 0 ; 把 A 的 十 位 数 字 与 百 位 数 字 相 加, 再 乘 以 个 位 数 字, 把 所 得 的 积 的 个 位 数 字 续 写 在 A 的 末 尾 ; 而 无 论 十 位 数 字 与 百 位 数 字 是 多 少, 只 要 个 位 数 字 是 0, 续 写 的 数 字 均 是 0 ; 故 从 894848684 之 后 续 写 的 数 字 均 是 0 ; 这 个 894 位 数 的 各 位 数 字 之 和 是 8 9 4 8 4 8 6 8 4 0 63 若 干 个 0相 加
第 9 题 把 00 拆 成 两 个 自 然 数 的 和, 其 中 一 个 是 的 倍 数, 另 一 个 是 3 的 倍 数, 那 么 这 两 个 自 然 数 的 差 是 ( 方 法 一 ) 因 为 把 00 拆 成 两 个 自 然 数 的 和, 其 中 一 个 是 的 倍 数, 另 一 个 是 3 的 倍 数 ; 所 以 设 这 两 个 自 然 数 分 别 是 x 3y ( x y 为 自 然 数 ); x 3y 00; 当 y 0 时, x 00 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 时, x 8 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 时, x 4 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 3 时, x 6 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 4 时, x 48 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 5 时, x 5, 符 合 题 意 ; 当 y 6 时, x 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 时, x 9 不 是 自 然 数, 不 符 合 题 意 ; 当 y 8 时, x 0, 均 不 符 合 题 意 ; x 5 不 定 方 程 x 3y 00的 自 然 数 解 为 ; y 5 所 以 这 两 个 自 然 数 分 别 是 5 35 5 3 65; 这 两 个 自 然 数 的 差 是 65 35 30 ( 方 法 二 ) 把 00 拆 成 两 个 自 然 数 的 和, 其 中 一 个 是 的 倍 数, 另 一 个 是 3 的 倍 数 ; 相 当 于 把 00 拆 成 若 干 个 和 若 干 个 3 的 和 ; 因 为 3 0, 所 以 相 同 个 数 的 3 的 和 是 0 的 倍 数 ; 所 以 00 减 去 相 同 个 数 的 和 3 剩 下 的 数 是 0 的 倍 数 ; 既 是 0 的 倍 数 又 是 的 倍 数 是 40 的 倍 数 ; 既 是 0 的 倍 数 又 是 3 的 倍 数 是 60 的 倍 数 ; 所 以 以 00 减 去 相 同 个 数 的 和 3 剩 下 的 数 是 0 ; 所 以 和 3 的 个 数 相 同 ; 和 3 各 有 00 3 5 个 ; 所 以 这 两 个 自 然 数 分 别 是 5 35 5 3 65; 这 两 个 自 然 数 的 差 是 65 35 30
第 0 题 两 个 正 整 数 相 除, 商 是, 余 数 是 5, 如 果 被 除 数 除 数 都 扩 大 到 原 来 的 4 倍, 那 么 被 除 数 除 数 商 余 数 的 和 等 于 039 原 来 的 被 除 数 是, 除 数 是 被 除 数 除 数 都 扩 大 到 原 来 的 4 倍 时, 商 与 原 来 的 相 同, 余 数 扩 大 到 原 来 的 4 倍, 即 商 是, 余 数 是 0 ; 被 除 数 除 数 都 扩 大 到 原 来 的 4 倍 时, 被 除 数 是 除 数 的 倍 多 0 ; 被 除 数 除 数 都 扩 大 到 原 来 的 4 倍 时, 被 除 数 除 数 的 和 等 于 039 0 0 ; 被 除 数 除 数 都 扩 大 到 原 来 的 4 倍 时, 除 数 是 0 0 4 ; 原 来 的 除 数 是 4 4 3; 原 来 的 被 除 数 是 3 5 第 题 A 箱 里 只 有 伍 角 的 硬 币,B 箱 里 只 有 贰 角 的 硬 币, A 箱 里 的 钱 数 比 B 箱 的 钱 数 多.50 元,B 箱 里 的 硬 币 比 A 箱 里 的 硬 币 多 4 个 A 箱 和 B 箱 里 共 有 个 硬 币 ( 方 法 一 ) 假 设 A 箱 里 的 硬 币 增 加 4 个, 则 A 箱 里 的 硬 币 与 B 箱 里 的 硬 币 一 样 多 ; 此 时 A 箱 里 的 钱 数 比 B 箱 的 钱 数 多.5 0.5 4 3.5元 ; 因 为 每 个 伍 角 的 硬 币 比 每 个 贰 角 的 硬 币 多 0.3 元 ; 所 以 B 箱 里 有 3.5 0.3 45 个 硬 币 ; 所 以 A 箱 里 有 45 4 个 ; A 箱 和 B 箱 里 共 有 45 66 个 硬 币 ( 方 法 二 ) 假 设 B 箱 里 的 硬 币 减 少 4 个, 则 B 箱 里 的 硬 币 与 A 箱 里 的 硬 币 一 样 多 ; 此 时 A 箱 里 的 钱 数 比 B 箱 的 钱 数 多.5 0. 4 6.3 元 ; 因 为 每 个 伍 角 的 硬 币 比 每 个 贰 角 的 硬 币 多 0.3 元 ; 所 以 A 箱 里 有 6.3 0.3 个 硬 币 ; 所 以 A 箱 里 有 4 45 个 ; A 箱 和 B 箱 里 共 有 45 66 个 硬 币
第 题 若 六 位 数 ababab 恰 有 3 个 正 约 数, 小 于 50 的 这 样 的 两 位 数 ab 有 个 ababab ab 00 ab 3 3 3 ; ababab 恰 有 3 个 正 约 数 ; 把 3 写 成 4 个 或 4 个 以 上 的 大 于 的 自 然 数 相 乘 的 形 式 : 3 4或 3 ; ⑴ 当 3 4时 ; ababab ab p p p p 3 3 3 3 3 4 ( p, p, p 3, p 4 为 互 不 相 同 的 质 数 ); ab 是 3 3 3 ; 其 中 满 足 ab 是 小 于 50 的 这 样 的 两 位 数 有 49; ⑵ 当 3 时 ; ababab ab p p p p p 3 3 3 3 4 5( p, p, p 3, p 4, p 5 为 互 不 相 同 的 质 数 ); ab 是 不 同 于 3 3 3 的 质 数 ; 其 中 满 足 ab 是 小 于 50 的 这 样 的 两 位 数 有,,9, 3, 9, 3, 4, 43, 4 ; 综 上 所 述, 满 足 题 意 的 ab 有 0 个 第 3 题 一 个 小 公 司 有 位 职 工, 这 位 职 工 的 月 平 均 工 资 是 850 元 已 知 职 工 中 最 高 工 资 是 最 低 工 资 的.5 倍, 那 么 最 低 工 资 的 职 工 的 工 资 最 多 是 元 因 为 职 工 中 最 高 工 资 是 最 低 工 资 的.5 倍 ; 所 以 每 位 职 工 的 工 资 是 最 低 工 资 的 ~.5 倍 ; 要 使 最 低 工 资 的 职 工 的 工 资 最 多 ; 则 这 位 职 工 中 有 6 人 拿 最 低 工 资, 有 人 拿 最 高 工 资 ; 所 以 最 低 工 资 的 职 工 的 工 资 最 多 是 850 6.5 660 元
第 4 题 一 个 长 0 厘 米, 宽 6 厘 米, 高 4 厘 米 的 长 方 体 被 切 割 成 36 个 小 长 方 体 ( 如 图 所 示 ), 这 36 个 小 长 方 体 的 表 面 积 之 和 是 平 方 厘 米 外 面 的 面 计 算 次, 切 割 的 面 计 算 次 ; 这 36 个 小 长 方 体 的 表 面 积 之 和 是 0 6 0 4 6 4 3 9平 方 厘 米 第 5 题 连 续 写 出 从 开 始 的 正 整 数, 写 到 第 09 位 时, 得 到 一 个 09 位 数, 这 个 多 位 数 除 以 3 的 余 数 是 因 为 ~99 有 99 9 89 个 数 字,~999 有 999 3 9 99 989 个 数 字 ; 所 以 最 后 一 个 数 字 是 三 位 数 中 的 某 一 个 ; 09 9 99 3 05 ; 3 04050 3 0 4 0 5 0 3 04 05 0 05 05 0 06 05 0 06 05 0 03 05 0 0 0 mod 3 ; 这 个 多 位 数 除 以 3 的 余 数 是
第 6 题 如 图, 边 长 为 的 正 方 形 ABCD 和 边 长 为 5 的 正 方 形 EFGC 并 排 放 在 一 起, O 和 O 分 别 是 两 个 正 方 形 的 中 心 ( 正 方 形 对 角 线 的 交 点 ), 则 阴 影 部 分 的 面 积 是 D C G O P O E F A B ( 方 法 一 ) D C G O P O E F A H B I 分 别 过 点 O O 作 OH AB, OI S OBH BH OH 65. ; S OBI BI OI 5 5 565. ; AB, 分 别 交 AB 和 AB 的 延 长 线 于 H I ; SOO IH OH OI HI 5 6 4; 阴 影 部 分 的 面 积 是 S S S S 4 6. 5 5. 65. 5 ( 方 法 二 ) OO B OO IH OBH OBI
D C G O P O E F A B 分 别 连 接 CO CO ; 因 为 OBC OCB 45 ; 所 以 OB // CO ; ( 小 学 中 数 学 竞 赛 中, 等 积 变 换 常 用 的 一 个 结 论 : 几 个 正 方 形 并 排, 这 几 个 正 方 形 的 对 角 线 平 行 ) 所 以 OOB 与 CO B 同 底 等 高 ; 所 以 阴 影 部 分 的 面 积 是 S S S 4 a 4 4. 5 OOB COB square ABCD square ABCD 第 题 四 对 夫 妇, 分 为 四 组 进 行 围 棋 比 赛, 设 A B C D 为 男 士, E F G H 为 女 士, 如 果 比 赛 的 对 决 有 下 面 描 述 : B 对 H ; A 对 C 的 妻 子 ; E 对 F 的 丈 夫 ; D 对 A 的 妻 子 ; F 对 H 的 丈 夫 那 么 B 的 妻 子 是 因 为 B 对 H, F 对 H 的 丈 夫 ; A 对 C 的 妻 子 ; D 对 A 的 妻 子 ; 所 以 D 的 妻 子 是 H ; 因 为 F 对 H 的 丈 夫, H 是 D 的 妻 子 ; 所 以 F 对 D ; 因 为 D 对 A 的 妻 子 ; 所 以 A 的 妻 子 是 F ; 因 为 E 对 F 的 丈 夫 ; 所 以 E 对 A ; 因 为 A 对 C 的 妻 子 ; 所 以 C 的 妻 子 是 E ; 所 以 B 的 妻 子 是 G
第 8 题 用 一 些 棱 长 是 的 小 正 方 体 堆 成 一 个 立 体, 从 上 往 下 看 这 个 立 体, 如 图, 从 前 往 后 看 ( 即 从 正 面 ) 这 个 立 体, 如 图, 这 个 立 体 的 表 面 积 最 少 是 图 ( 从 上 往 下 看 ) 图 ( 从 前 往 后 看 ) 由 图, 上 下 表 面 积 各 是 8 ; 由 图, 前 后 表 面 积 各 是 8 ; 由 图 和, 左 右 表 面 积 最 少 各 是 6 ; 这 个 立 体 的 表 面 积 最 少 是 8 8 6 44 堆 的 方 法 如 图 所 示 ( 从 上 往 下 看 ) ( 从 上 往 下 看 ) ( 从 上 往 下 看 ) 方 格 中 的 数 表 示 竖 直 方 向 有 几 块
第 9 题 甲 乙 两 个 景 点 相 距 5 千 米, 一 艘 观 光 游 船 从 甲 景 点 出 发, 抵 达 乙 景 点 后 立 即 返 回, 共 用 3 小 时 已 知 第 三 小 时 比 第 一 小 时 少 行 千 米, 那 么 这 条 河 的 水 流 速 度 为 每 小 时 千 米 因 为 一 共 用 时 3 小 时 ; 逆 流 航 行 的 时 间 要 大 于 顺 流 航 行 的 时 间 ; 所 以 逆 流 航 行 的 时 间 大 于 3 5. 小 时 ; 所 以 抵 达 乙 景 点 的 时 间 不 可 能 在 第 三 小 时 若 抵 达 乙 景 点 的 时 间 在 第 二 小 时 内 ; 则 第 一 小 时 均 为 顺 流 航 行 ; 顺 流 速 度 比 逆 流 速 度 快 千 米 / 小 时 ; 水 速 为 6 千 米 / 时 ; 顺 流 速 度 是 6 8千 米 / 小 时 ; 则 第 一 小 时 行 驶 8 8 千 米 5 千 米, 不 符 题 意 所 以 抵 达 乙 景 点 的 时 间 在 第 一 小 时 内 ; 则 第 二 小 时 与 第 三 小 时 均 为 逆 流 航 行 ; 而 第 三 小 时 比 第 一 小 时 少 行 千 米 ; 则 第 二 小 时 比 第 一 小 时 少 行 千 米 ; 因 为 三 个 小 时 一 共 航 行 5 30 千 米 ; 所 以 第 一 小 时 航 行 8 千 米, 第 二 小 时 航 行 6 千 米 ; 第 三 小 时 航 行 6 千 米 ; 所 以 逆 水 速 度 为 6 6千 米 / 小 时 第 一 小 时 中, 逆 流 航 行 5 6 6 3 千 米, 逆 流 航 行 3 6 0.5小 时 ; 第 一 小 时 中, 顺 流 航 行 05. 05. 小 时 ; 顺 流 速 度 是 5 0. 5 30 千 米 / 小 时 ; 所 以 水 速 是 30 6 千 米 / 小 时
第 0 题 一 列 数 是 按 以 下 条 件 确 定 的 : 第 一 个 数 是, 第 二 个 数 是 6, 第 三 个 数 是 4, 以 后 每 一 个 数 是 前 面 所 有 数 和 的 3 倍, 则 第 六 个 数 是, 从 这 列 数 的 第 个 数 开 始, 每 个 数 都 大 于 009 ( 方 法 一 ) 因 为 第 一 个 数 是, 第 二 个 数 是 6, 第 三 个 数 是 4 ; 又 因 为 从 第 四 个 数 起, 以 后 每 一 个 数 是 前 面 所 有 数 和 的 3 倍 ; 所 以 第 四 个 数 是 6 4 3 96; 第 五 个 数 是 6 4 96 3 384 ; 第 六 个 数 是 6 4 96 384 3 536 ; 第 七 个 数 是 6 4 96 384 536 3 644 ; 因 为 从 第 二 项 开 始, 这 个 数 列 中 的 每 一 个 数 都 比 前 面 的 数 大, 即 这 个 数 列 是 递 增 数 列 ; 所 以 从 这 列 数 的 第 七 个 数 开 始, 每 个 数 都 大 于 009 ( 方 法 二 ) 从 第 二 个 数 起 每 个 数 是 前 面 所 有 的 数 和 的 3 倍 ; 设 a n 表 示 第 n 个 数, S n 表 示 前 n 个 数 的 和 ; 当 n 时, a 3, S S a 4S ; 因 为 S a ; n n Sn n n n n 所 以 数 列 S 是 以 为 首 相, 4 为 公 比 的 等 比 数 列 ; n 所 以 S n 4 4 ; n n 3 n 当 n 时, an Sn Sn 4 4 4 ; 8 3 6 第 六 个 数 a6 4 536 ; 8 3 当 4 n 8036 an 009 时, 4 n, n ; 8 3 所 以 从 这 列 数 的 第 七 个 数 开 始, 每 个 数 都 大 于 009 n