品质源于责任 数量关系一点通 排列组合去重复 华图在线数资组董玉 时间是世界上一切成就的土壤
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众所周知, 重复计数是排列组合问题的主要错误之一, 而此类问题具有隐蔽性, 不易被发现 本文就排列组合中几种常见的重复性错误加以剖析, 以期来提升大家解决问题的能力 排列组合问题中一个最核心的要素是不重不漏, 那如何才能避免重复计数呢, 这就需要我们了解重复产生的原因 常见的容易产生重复的情况主要有三类 : 第一, 分步引起重复计算 ; 第二, 平均分组易重复计算 ; 第三, 环形排列易重复计算, 这里我们先介绍前两类 : 一. 分步引起重复计算 例 从 5 名男生 5 名女生中选出 4 人, 去参加培训, 在选出的 4 人中至少有 名男生 名女生的情况数有多少种? 错解 先在 5 名男生中选择 名, 有种, 再在 5 名女生中选择 名, 有种, 然后在剩余的 8 人中再选出 人, 有种, 根据分步计数原理共有 C 5 C C C = 5! 5! 8 700 种 剖析 : 假设甲 乙为 名男生, 丙 丁为 名女生, 根据上述选法, 其中有一种取法可以是 先选甲, 再选丙, 再选乙和丁, 另外一种取法是 先选乙, 再选丁, 再选甲和丙 显然这两种取法是同一种结果, 但上述解法却将其当成两种情况, 导致重复 究其原因是本题使用了分步计数原理, 而分步本身就包含顺序 ( 有先有后 ), 与排列相关 但是本题中无论是选择两名男生还是两名女生, 只是一个组合, 跟顺序没有关系, 因此出现了重复计数 正解 分成三类: 3 () 男 3 女, 有 C! C = 种 5 5 50 () 男 女, 有 C 种 5! C 5 = 00 3 (3)3 男 女, 有 C! C = 种 5 5 50 共 50+00+50=00 种 类似的题目在公考中屡见不鲜, 下面就通过两道题目对比理解 : C 5 C 8 时间是世界上一切成就的土壤 - -
例 (06 联考 ) 在九宫格内依次填入数字 9, 现从中任取两个数, 要求取出的两个数既不在同一行也不在同一列, 共有多少种不同取法? A.9 B.8 C.36 D.45 答案 B 解析 第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 第二步, 先从 9 个数字中任选 个数, 有 选第二个数有 C 4 种情况, 去掉一行一列后, 再 种情况 而本题要求任意取出两个数, 属于随机取数 ( 即取出 CC 9 4 的两个数没有先后顺序 ), 故共有 8 ( 种 ) 不同取法 A = 因此, 选择 B 选项 例 (06 河南 ) 在 7 7 的队列中, 先随机给一个队员戴上红绶带, 再给另一个队员戴上蓝绶带, 要求戴两种颜色绶带的这两位队员不在同一行也不在同一列 问有多少种戴法? A.048 B.374 C.764 D.858 答案 C 解析 第一步, 本题考查排列组合, 属于基础排列组合 第二步, 根据 7 7 的队列知, 共有 7 7=49( 人 ), 则选出一人戴红绶带有 C 49 =49( 种 ) 情况 C 9 时间是世界上一切成就的土壤 - 3 -
第三步, 要使所选出 人不在同一行也不在同一列, 可知戴蓝绶带人选有 6 6 =36( 人 ), 故从中选出一人戴蓝绶带共有 =36( 种 ) 情况 总的戴法为 49 36 =764( 种 ) 情况 因此, 选择 C 选项 观察例 和例, 我们会发现, 例 要求 任取两个数, 所以采用分步计算后需要剔除重复 ; 而例 要求 先给一个队员戴上红绶带, 再给另一个队员戴上蓝绶带 有先后顺序, 直接相乘即可 通过两道例题, 我们可以总结如下 : 如果按照顺序选取 ( 或有先后顺序 ), 则无重复 ; 如果随机选取 ( 即无顺序 ), M 则有重复, 需要剔除重复, 剔除的方式是如果选取 M 个数, 就除以 二. 平均分组易重复计算 例 将 6 个人平均分成 3 组, 每组 人, 有多少种分组方式? 错解 分 3 步 : 首先在 6 人中任取 人, 作为一组有种 ; 之后在余下 4 人中再取 人, 有 C C C!! =90 6 4 种 C 4 种 ; 最后剩下 人作为一组, 据分步计数原理知共有 剖析 : 将 6 人分别看为甲 乙 丙 丁 戊 己, 假设第 种取法是 先取甲乙, 再取丙丁, 最后取戊己, 分成 3 组, 第 种取法是 先取丙丁, 再取甲乙, 最后取戊己, 分成 3 组, 可见 种取法是同一种分组方式, 出现了重复计数 正解 首先在 6 人中任取 人, 作为一组有 种 ; 之后在余下 4 人中再 3 取 人, 有种 ; 最后剩下 人作为一组, 再除以平均分组的重复次数, 所 C 4 C6! C4! C 以共有 = 5种 3 A 3 下面通过几道公考题目加深理解 : 例 3 (05 四川 ) 将 0 名运动员平均分成两组进行对抗赛, 问有多少种不同的分法? A.0 B.6 时间是世界上一切成就的土壤 - 4 - C 36 C 6 C 6 A M A 3
C.40 D.5 答案 B 解析 第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 5 第二步, 由平均分成两组知, 第一组先选出 5 人有 =5( 种 ) 种分法, 5 剩下 5 人自动成为第二组 由于没有先后顺序区别, 所以有 =6( 种 ) A 因此, 选择 B 选项 在解决平均分组类问题时, 如果分成 N 组, 需要除以 来剔除重复 例 4 (08 浙江 ) 某班共有 8 名战士, 现在从中挑出 4 人平均分成两个 战斗小组分别参加射击和格斗考核, 问共有多少种不同的方案? A.0 B.40 C.630 D.840 答案 B 解析 第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 4 第二步, 先从 8 名战士中挑出 4 人, 有 C ( 种 ); 再从这 4 名战士中选 8 = 70 择 人参加射击考核, 有 C = ( 种 ); 最后剩余的两名战士参加格斗考核, 有 C = ( 种 ); 分步用乘法, 共有 70 6 =40( 种 ) 因此, 选择 B 选项 4 6 究其实质本题有两个过程, 第一, 先分成 个 人小组, 第二, 分组之后去 C8! C6 参加两个不同的小组, 故需再乘以 A, 即! A A 例 5 (07 江苏 ) 某单位组织志愿者参加公益活动, 有 8 名员工报名, 其中 名超过 50 岁 现将他们分成 3 组, 人数为 3 3, 要求 名超过 50 岁 的员工不在同组, 则不同分组的方案共有 : 时间是世界上一切成就的土壤 - 5 - C 0 N A N
A.0 种 B.50 种 C.60 种 D.0 种 答案 D 解析 第一步, 本题考查排列组合问题, 属于基础排列组合 第二步, 根据要求 名超过 50 岁的员工不在同组, 有以下 种情况 : 分别在 个三人组, 有 C! C! C = ( 种 ) 情况 ; 6 4 90 3 分别在 个三人组, 个二人组, 有 C! C! C! C = 6 4 0 ( 种 ) 情况 第三步, 不同分组的方案共有 90+0=0( 种 ) 因此, 选择 D 选项 例 5 是平均分组中较难的综合题目, 但你只要明白了平均分组本质及原理, 本题也会迎刃而解 要想学习更多的秒杀技巧, 可以关注华图教育 时间是世界上一切成就的土壤 - 6 -