数字信号处理 周治国 2015.11
第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器 脉冲响应不变变换法
1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法 一 从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通 带通 带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换 IIR 数字滤波器设计 二 直接设计 IIR 数字滤波器 1 IIR 数字低通滤波器的频域直接设计方法 2 IIR 数字低通滤波器的时域直接设计方法 (1) 零 极点位置累试法 ( 点阻滤波器 ) (2) 幅度平方函数法 (1) 帕德逼近法 (2) 波形形成滤波器设计 三 IIR 数字滤波器的优化设计方法 1 最小均方误差方法 2 最小 p 误差方法 3 最小平方逆设计法 4 线性规划设计方法
模拟原型滤波器数字化设计方法 原理 (Prnple) 首先按一定指标设计出满足要求的模拟原型滤波器, 再将其通过某种方式数字化 转换方法 (Converson methods) 将微分方程转换为差分方程 脉冲响应不变变换法 双线性变换法 匹配 Z 变换 要求 (Requrement) 1 s- 平面的左半平面应映射至 z- 平面的单位圆内, 即系统稳定性要在转换中能够保持 ; 2 保形要求 ( 频率选择能力 )
1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法 一 从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通 带通 带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换 IIR 数字滤波器设计 二 直接设计 IIR 数字滤波器 1 IIR 数字低通滤波器的频域直接设计方法 2 IIR 数字低通滤波器的时域直接设计方法 (1) 零 极点位置累试法 ( 点阻滤波器 ) (2) 幅度平方函数法 (1) 帕德逼近法 (2) 波形形成滤波器设计 三 IIR 数字滤波器的优化设计方法 1 最小均方误差方法 2 最小 p 误差方法 3 最小平方逆设计法 4 线性规划设计方法
脉冲响应不变法 -- 变换原理 h (t) H () t W h(n)=h (n) H()--H(e jw ) n W 2/ h 1 (n)=h (n 1 ) H 1 ( 1 ) --H(e jw1 ) n W 2/ 1 me domn Frequeny domn
脉冲响应不变法 -- 变换原理 h (t) ) h () t h () t hn ( ) Hz ( ) hnz ( )? H () s Hˆ () s Hz ( ) n n ) h () t h(n)=h (n) t n n ) ) H s Lh t h n e sn () () ( ) n ) n ( ) () ( ) () 1 1 s lnz n s ln z Hz H s hnz H s ) 1 2 H () s H s j m H () s m 1 j 2 He ( ) Hz ( ) j H j j m H ze m j 1 1 He ( ) H j H j 结论 : 由 H (s) 和 H(z) 之间不是单值映射频率变换坐标是线性的
脉冲响应不变法 模拟滤波器数字化 H () s N s A s 1 N N st h () t Ae ut () hn ( ) h ( n) Ae un ( ) 1 1 N N 1 n n s s n n n n 1 1 n0 N s 1 N Hz ( ) hnz ( ) A( e ) z un ( ) A e z A N 1 s z e N 1 ( e z ) lm s 1 1 e z A 1 1 e s 并联, 部分分式 z 1 A A Az ss e z z e s 1 s 1 sn 此处把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来
1 增益过高 ( -1 ) 优缺点 He j 1 1 ( ) H j H j -1 H(e jω ) H (j) hn ( ) h ( n) Hz ( ) N 1 1s s 1 j He ( ) H j j m m A 2 j He ( ) H j, z
2 混叠效应 H (j) -/ / H ˆ( j) -/ / - j He ( ) 阻带性能降低
IIR 滤波器设计 1 课本 P194 如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件 : () 在 ω 0.2π的通带范围内幅度变化不大于 1 db, (b) 在 0.3 π ω π的阻带范围内幅度衰减不小于 15 db, 试用脉冲响应不变变换法, 设计相应的数字巴特沃斯低通滤波器, (1) 确定滤波器的阶数 N (2) 确定滤波器的系统函数 H( z) j (3) 确定滤波器的频率响应 He ( ω ) (4) 给出滤波器的任意一种结构实现形式
解 :(1) 由已知条件列出对模拟滤波器的衰减要求 20lg H( jωp) 1dB 20lg H( jωs) 15dB jω ω He ( ) = H( j ) = H( jω), ω π ω =Ω, = 1 ωp ωs Ω p = = 0.2 π, Ω s = = 0.3 π, 20lg H( j0.2 π) 1dB 20lg H( j0.3 π) 15dB 2 2 1 A ( Ω ) = H( jω ) = 2N Ω 1+ Ω Ω 20lg H( jω ) = 10lg 1+ Ω 2 N 0.2π 10lg 1+ 1dB Ω 2N 0.3π 10lg 1+ 15dB Ω 2 N 2 N 0.2π 0.1 1+ = 10 ( ) Ω 取等号 2N 0.3π 1.5 1 + = 10 ( b) Ω 解出 : N = 5.89, Ω = 0.7047取 N = 6 代入 ( ), Ω = 0.7032 代入 ( b), Ω = 0.7080
(2) 由巴特沃斯滤波器极点公式得到 1 2k 1 jπ[ + ] 2 2N s =Ω e, k = 1,2, L, N k s = 0.18± j0.70; s = 0.50± j0.50; s = 0.70± j0.18 1,2 3,4 5,6 K H() s = ; K = 0.12 ( H () 1) 2 2 2 s = s= 0 ( s + 0.36s+ 0.49)( s + 0.99s+ 0.49)( s + 1.36s+ 0.49) 或直接由表 5-1 H H () s = s 展成部分分式 6 5 Ω 6 2 4 3 3 4 2 5 6 s s s s + 3.863Ω s + 7.464Ω + 9.141Ω + 7.464Ω + 3.863Ω +Ω A B C D () s = + + + s ( 0.18+ j0.70) s ( 0.18 j0.70) s ( 0.50+ j0.50) s ( 0.50 j0.50) E F + + s ( 0.70 j0.18) s ( 0.70 j0.18) + 解得 : A= ; B = ; C = ; D = ; E = ; F = 1 s s 1 z = e z z e 由 s 1 1 H( z) = s
IIR 滤波器设计 2-- 往年真题 如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件 : () 在 ω π /8的通带范围内幅度变化不大于 3 db, (b) 在 π /2 ω π的阻带范围内幅度衰减不小于 20 db, 试用脉冲响应不变变换法, 设计相应的数字巴特沃斯低通滤波器, (1) 确定滤波器的阶数 N (2) 确定滤波器的系统函数 H( z) j (3) 确定滤波器的频率响应 He ( ω ) (4) 给出滤波器的直接 I型结构实现形式 03A(05-06)
提示 : (1) 所有小数均计算到小数点后两位 (2) 假设取样间隔 = 1 (3) 双线性变换的频率变换关系为 : Ω= 2 tg( ω 2) (4) 模拟巴特沃斯低通滤波器 H () s 的极点为 : jπ[1 2 + (2k 1)/(2 N)] sk e, k 1,2,, N (4) 模拟巴特沃斯低通滤波器平方函数为 : A =Ω = ( Ω ) = 1[1 + ( ΩΩ) ] 2 2N L
解 :(1) 由已知条件列出对模拟 滤波器的衰减要求 20lg H( jω) 3dB 20lg H( jωs) 20dB jω ω He ( ) = H( j ) = H( jω), ω =Ω, = 1 ω π ωs π Ω = =, Ω s = = 8 2 π 20lg H( j ) 3dB 8 π 20lg H( j ) 20dB 2 ( Ω ) = ( 2 Ω ) = 1 Ω 1+ Ω 2 A H j 2N Ω 20lg H ( jω ) = 10lg 1+ Ω 2 N π /8 10lg 1+ 3dB Ω 2 N π /2 10lg 1+ 20dB Ω 2 N π /8 + = Ω 取等号 2N π /2 + = Ω Ω = π /8= 0.39 0.3 1 10 ( ) b 2 1 10 ( ) 解出 : N = 1.66, 取 N = 2 2 N
(2) 由巴特沃斯滤波器 极点公式得到 1,2 1 2k 1 jπ [ + ] 2 2N s =Ω e, k = 1,2 k 3 π jπ 4 s1 = e 8 = 0.39( 0.707 + j0.707) 5 jπ π 4 s2 = e 8 = 0.39( 0.707 j0.707) s = 0.28( 1 ± j) 由表 5-1 H () s = s 2 0.15 + 0.55s+ 0.15 (3) 展成部分分式 0.15 H() s = 2 s + 0.55s+ 0.15 A B = + s ( 0.28+ j0.28) s ( 0.28 j0.28) A= 0.28 j 解得 B = 0.28 j 0.28j 0.28 j H() s = + s ( 0.28+ j0.28) s ( 0.28 j0.28) 由 1 1 = 1 s k 1 s k s sk e z z e 0.28j 0.28 j H( z) = + 1 e z 1 e z ( 0.28+ j0.28) 1 ( 0.28 j0.28) 1 此处修订了符号错误把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来 z
0.28j 0.28 j H( z) = + ( 0.28+ j0.28) 1 ( 0.28 j0.28) 1 1 e z 1 e z ( 0.28 j0.28) 1 ( 0.28+ j0.28) 1 0.28 j(1 e z ) + 0.28 j(1 e z ) = 1 ( e + e ) z + e e z ( 0.28 j0.28) ( 0.28+ j0.28) 1 ( 0.28+ j0.28) ( 0.28 j0.28) 2 0.28 j0.28 j0.28 1 0.28 je ( e e ) z = j j 1 e ( e + e ) z + e z 0.28 0.28 0.28 1 0.56 2 0.28 je g( 2 j)sn(0.28) g z = 1 e g2os(0.28) g z + e z 0.28 1 0.28 1 0.56 2 0.28gjg0.76 g( 2 j)0.77 g z = 1 0.76g20.64 g z + 0.57z 1 0.33z = 1 2 1 0.97z + 0.57z 1 1 2 此处修订了符号错误把课本 (5-23) 和 (5-43)(5-46) 统一起来
1 0.33z H( z) = 1 0.97z + 0.57z 1 2 (5) 频率响应 He jω ( ) = H ( z ) j ω (6) 滤波器结构直接 I, II z= e x(n) 0.97-0.57 z -1 z -1 z -1 0.33 y(n)