第 章電阻電路分析 此章, 介紹基礎電路分析之基本觀念與定律 學習目標 歐姆定律 ( OHM S LAW) 定義最簡單之被動元件 : 電阻器 克希荷夫定律 (KICHHOFF S LAWS) 基本電路守恆定律 - 克希荷夫電流定律 (KCL) 與克希荷夫電壓定律 (KVL) 學習分析最簡單之電路 單迴路 - 分壓器 (VOLTAGE DIVIDE) 單節點對 分流器 (CUENT DIVIDE) 串聯 / 並聯電阻組合 簡化複雜電路之技巧 WYE(Y) DELTA(Δ) 轉換 化簡一般非串並聯連接電阻之技巧 含相依電源之電路
i(t) v(t). 歐姆定律 (OHM s Law) 電阻器為被動元件, 其特性可由跨其兩端之電壓與通過電流之代數關係來說明 v ( t) F( i( t)) 電阻器之一般模式 線性電阻器 OHM s Law v ( t) i( t) (Ω) 常數,, 稱為元件之電阻, 單位為 Ohm 從因次之觀點 Ohms 所推求之單位為 Volt/Amp 因為方程式為代數 (algebraic) 可省略時間相關 (time dependence) 電導 標準 Ohm之 0的倍率 MΩ kω Mega Ohm(0 Kilo Ohm(0 3 6 Ω) Volt 通常出現 ma 電阻單位為 kω OHM slaw 可寫成 i v Ω) 定義 G 為元件之電導, 寫為 i Gv 電導之單位 Siemens
部份實際之電阻器 符號 3
v i 注意被動符號之慣例 Circuit epresent ation i 兩個特殊電阻 v 0 Short Circuit 0 G i 0 Open Circuit G 0 線性近似 線性範圍 v 實際 v-i 關係 4
v i OHM S LAW 問題求解提示 i Gv 歐姆定理 ( OHM' s Law) Given current and resistance Find the voltage 注意, 使用被動符號之慣例 V I I A 5Ω V 0[ V ] Given Current and Voltage Find esistance 0[ V ] I 4[ A] 5Ω V I Given Voltage and esistance Compute Current V I [ V ] 3Ω I 4[ A] 求解電流之方向, 使用被動符號之慣例 Table Keeping Units Straight Voltage Current esistance Volts Amps Ohms Volts ma kω mv A mω mv ma Ω 5
Ω 已知電壓與電導參考方向符合, 被動符號之慣例 i (t ) Gv(t ) OHM S LAW v ( t) i( t) 4[ V ] (Ω) i( t) i( t) [ A] 單位? 電導為 SIEMENS, 電壓為 VOLTS, 電流為 AMPEES i ( t) 8[ A] v( t ) i( t ) 6
電阻器與電功率 (power) 電阻器為吸收能量之被動元件. 結合 Ohm s law 與功率之表示式, 可以推求幾個有用之表示式 P v v vi Given i,or P, i P, i Given v P i, vi i i, v i i Gv i (Power) (Ohm' s Law) Given v, v, P vi Given i v P, i P, P v 單位 例 : 40 kω, i ma v 基本策略是以 SI 單位表示全部已知之變數 ( 40* 0 P 80 V i 3 ( 40* 0 60* 0 Ω )* ( * 0 3 Ω )* ( * 0-3 (W) 3 3 A ) A ) 如果不是已知, 可以選擇電壓與電流之參考方向, 其他可由被動符號之慣例求得 7
( 範例.) 求解電流與電阻器吸收之功率 6mA P VI I V P ((V ))(6( 7 (mw) ma )) 8
( 範例.) 0.6[ ma] I V 6[ V ] 0kΩ P VS V S 6[ V ] V S (0 0 3 Ω)(3.6 0 3 W ) 9
( 範例.3) P? V I 3 0.5 0 [ A] I VS VS 0(V) 6 G 50 0 [ S ] S P I I G P ( 3 ) 0.5 0 ( A ) - 0.5 0 (W) 5(mW) 6 50 0 ( S ) 0
( 範例.4) P V S I 80( mw ) V S 4( ma ) 5(V) 5 kω P I 3 80 0 ( 3 4 0 A) (W )
V - P 60W HALOGEN 燈泡 燈泡之電阻 經過燈泡之電流 由電池供給 min V/I.4 Ohms I P/V 5A q current Q5*60[C] 樣本問題 認知此類問題 : 此為 Ohm s Law 之應用已知功率與電壓. 求解電阻 ( esistance), 電流 (Current) 與電荷 (Charge) P V 可能用得上之關係 V VI I I
. 克希荷夫電流定律 (KICHHOFF CUENT LAW) 電機工程中, 基本守恆定理之一 電荷無法創造, 亦無法毀損 (CHAGE CANNOT BE CEATED NO DESTOYED) 3
節點 (NODES), 分支 (BANCHES), 迴路 (LOOPS) 一個節點可連接許多元件. 但, 其不擁有任何電荷. 所有流進節點之電流必須相等於流出節點之電流 ( 電荷之守恆定理 ) NODE: 兩個或以上之元件連接處 ( 例, node ) LOOP: 封閉路徑, 在某一節點從未經過兩次 ( 例, 藍線路徑 ) 紅線路徑並非 loop NODE BANCH: 兩節點間連接之元件 ( 例, 元件 4) 4
克希荷夫電流定律 (KCL) 流進節點之電流和必須相等於流出節點之電流和 5A A current flowing 5A into a node is equivalent to the negative flowing out of the node 電流流出一個節點之代數和為零 電流流入一個節點之代數和為零 5
一個 Node 為兩個或以上之元件連接處, 其可為視覺所需, 伸展或緊縮, 不過, 其仍僅是一個 Node. 6
節點為電路之一部份, 該處並無累積電荷... 或, 我們亦可集合節點, 而形成超節點 (SUPENODE) 離開 node : 離開 node 3: i i i 6 i i 4 4 i 0 5 i 7 0 加 & 3: i i i5 i6 i7 0 電流流出節點 與 3 之代數和為零 我們可將 NODES 與 3 整個包圍在內, 並將之視為超節點 (SUPENODE) 7
問題求解提示 : KCL 可求解未知之電流 b 電流流進節點之代數和為零 c 5A I X a? 5 A I ( 3A) X 0 3A I X A d I I I I ab cb bd be A, 3A 4A? NODES: a,b,c,d,e BANCHES: a-b,c-b,d-b,e-b I be c a -3A A b 4A d I be? 4 A [ ( 3A)] ( A) e 0 8
( 範例.5) 寫出全部之 KCL 方程式 ( EQUATIONS) i () t i () t i () t 0 3 i () t i () t i () t 0 4 6 i () t i () t i () t 0 3 5 8 第五個方程式為前面 4 個方程式之和, 因此其為多餘方程式 9
( 範例.6) 求解未知電流 KCL 僅與電路之連接架構 ( 拓樸 ) 有關, 而與相連接之元件種類無關 0
( 範例.7) 寫出電路全部之 KCL 方程式 ( EQUATIONS) 最後之方程式與前 3 式線性相依 出現相依電源並不影響 KCL 之應用, KCL 僅與電路之拓樸有關
( 範例.8) 離開超節點 ( 塗色區域 ) 之電流和 I4 40mA 30mA 0mA 60mA 電流 I5 在超節點內, 在上述求解中, 其並無作用 0 0 I4 70mA
此問題測試 KCL 與電流之慣例, 以求解電流 電流流出節點之代數和為零 0 A I X ( 5A) (3A) 0A 0 5A F I EF B I x 3A D I DE 0A E I EG 4A C G I x -8A On BD current flows from B to D I EF 6A OnEF current flows from to E I EF F 4 A 0A 0 3
克希荷夫電壓定律 (KICHHOFF VOLTAGE LAW) 電機工程中, 基本守恆定理之一 此為能量守恆定理 能量無法創造, 亦無法毀損 ENEGY CANNOT BE CEATE NO DESTOYED 4
克希荷夫電壓定律 (KVL) 一個正電荷, 當它移動到較高電位之處, 其獲得能量, 而當它移動到較低電位之處, 其釋放 ( 或損失 ) 能量 ΔW q q q a c q( V ) B VA V A V ab V cd b d B V B LOSES GAINS ΔW qv ab ΔW qv cd ΔW qv AB q V A V AB V CA B V B ΔW qv CA V BC V C ΔW qv BC 如果電荷回到先前之初始點, 其淨獲得能量必定為零 ( 守恆網路 ) q( V V V ) AB BC CD KVL: 圍繞任何迴路之電壓降代數和必為零 A V B ( V ) A B 電壓升為負的電壓降 5 0
( 範例.9) 求解問題提示 : KVL 有用於求解電壓 - 尋求含未知電壓之迴路 此迴路不須為實際路徑 V be V S V V V 3 0 V 8V V V 例 :V,V 3 求解電壓 V 為已知 be V V V 30[ V be 3 ] 0 LOOP abcdefa 6
( 範例.0) 背景 : 當討論 KCL 時並非所有 KCL 方程式均是獨立 (INDEPENDENT).KVL 亦是如此 線性獨立方程式之數目 於電路定義 N 節點數 B 分支數 N B ( N ) 線性獨立 KCL 方程式線性獨立 KVL 方程式 例 : 若某電路 N 6, B 7. 則僅有 個獨立 KVL 方程式 第三個方程式為其他兩個之和! 7
求解電壓 V, ( 範例.) ( 範例.) ae V ec 有相依電源之處理情形亦同先前 8
.3 單迴路電路 a b 3 c 6 branches 6 nodes loop 4 f 6 e 5 d ALL ELEMENTS IN SEIES ONLY ONE CUENT 分壓 : 最簡易情形 使用 KVL 於此迴路 9
基本分壓 (VOLTAGE DIVIDE) 之摘要 v v( t) ( 範例.3) EXAMPLE:V S 9V, 90kΩ, 30kΩ 聲音控制 5kΩ V? ; P? 30
等效電路之觀念 v S i - i v S - 電路連接與實際佈局之差異 i v S 兩電路是等效的 SEIES COMBINATION OF ESISTOS 上述, 電阻均為串接 3
v v 多重電源 (MULTIPLE SOUCES) v - - - v 3 v 5 v - KVL i(t) - v v v v v v 3 4 5 集合所有電源於一側 v 4 v v eq - 0 ( v ) v v3 v4 v5 v v v v ( ) eq 3 v
多重電阻 (MULTIPLE ESISTOS ( 範例.5) 使用 KVL 於此迴路 使用 KVL 於此迴路 LOOP FOV bd Vbd 0 [ k Ω ] I 0 ( KVL) Vbd 0V 於 30k Ω 之功率 P I ( 0 4 A) (30*0 3 Ω) 0.3mW v i i i 33
V V S VOLTAGE DIVIDE V O S - ( 範例.6) V O "INVESE" DIVIDE V V S O 分壓之反求解 計算 V S 分壓之反求解 0 0 V S 458.3 500kΩ 0 34
.4 單節點對電路 (SINGLE NODE-PAI CICUITS) V EXAMPLE OF SINGLE NODE-PAI V 此元件不動作 ( 短路 ) 35
基本分流器 p 分流 應用 KCL i( t) v( t) p v( t) i( t ) I (5) ma 4 I I I 4 (5) 5 36
( 範例.7) 求解 I, I, VO 80 k * I 4 V 37
( 範例.8) 汽車音響與電路模型 5mA 5mA 每個喇叭之功率 學習評量 E.0 分流 I 0 (6) 0 40 I ma KCL: I 6 I 0 功率 : I 電阻單位以 kω, 電流單位以 ma 所以, 功率單位以 mw 使用分流 40 I (6) 4mA 0 40 P 44* 40mW 5.76W 38
多重電源 (MULTIPLE SOUCES) 等效電源 i O ( t) v( t) v( t) i ( t O ) p 定義 並聯電阻 p 39
多重電阻 (MULTIPLE ESISTOS) v( t ) PiO( t v( t ) ik( t ) k ) i K ( t ) p k i O ( t ) 40
( 範例.9) 求解電流 I L 合併電源 合併電阻 ma 注意, 負號 4
B I 9mA 6k 3k C 6k 3k I I 3 ma ma 9 9 [ ] 3 I I A I 6k C B 3k 6k I B 3k A 9mA I 6k 3k C 3k A I 9mA 6k 以不同面向, 呈現相同電路 4
B I 6k C I 6k 9mA 3k 3k A B 重繪電路, 有時對電路之了解有幫助 I 9mA 6k A I 3k 6k 3k C 43
44 k k 4 k 3 0mA 求解電源供給之功率 k p k k k k p 3 4 3 6 3 4 ) (0 P p* ma W P A P 3 4.800 ] [ ) *(0*0 *0 3 3 3 Ω V _
.5-.7 電阻串並聯組合 (SEIES PAALLEL ESISTO COMBINATIONS) 串聯 (SEIES) 並聯 (PAALLEL) G p ( 電導 ) G G... G N G N / N 45
( 範例.0) (0K,K) 串聯 練習電阻合併 3 k SEIES 6k 3k 6 k k 4k 5kΩ 3k k 46
範例 SEIES-PAALLEL 組合 9k 若電阻有相同電流經過, 為串聯 8 k 9k 6k 若電阻有兩個共同之節點, 為並聯 6 k 6k 0k 47
( 範例.) 反串 - 並聯組合 已知結果, 求解適當之組合 V 僅 並定為 600mV ( 當 I 0.Ω 電阻是可行的 3A) 需.6V 0. Ω 3A 0.Ω 0. Ω V 並定為 600mV( 當 I 9A) 僅 0.Ω 電阻器是可用的.6V 需 0. 0667Ω 9A 48
( 範例.) 電阻容忍度之效應 標稱電阻值 :.7kΩ 電阻器容忍度 : 0% 求解電流與功率之範圍? 0 標稱電流 : I 3. 704 ma ( 0).7 標稱功率 : _ P 37. 04 mw.7 最小值 : 最大值 : I I min max 0 3.367 ma..7 0 4.5mA 0.9.7 最小值 (VI min 最大值 : 4.5mW ) :33.67 mw 49
4k k k 首先, 簡化成單迴路電路 ( 範例.4) 其次 : 應用 KVL, KCL OHM S 6k 6k 6k I 3 OHM'S : OHM'S : I Va 6k V b 3k * I KCL : 3 I I I3 I4 I 4 Vb 4k * I4 3 0 I V k V a 3 () 3 9 KCL : I 5 OHM'S : V I4 I3 C 3k * I 0 5 50
( 範例.5) I 3mA 3V 由後向前追蹤 (backtracking) 之範例 V xz 6V.5mA ma.5ma V O 36V 3V 0.5mA V b I 3 6k * I Vb 3k 4 V a I I I 3 4 k * I V V V V I xz 5 a V xz 4k b I I I 5 O k * I Vxz 4k * 6 I 5
Y Δ TANSFOMA TIONS( 轉換 ) IF INSTEAD OF THIS 型 Y 型 5
53 Δ Y b a ab ) ( 3 ab 3 3 ) ( b a 3 3 ) ( c b 3 3 ) ( a c Δ Y
54 Δ Y a a c c b b a 3 c a c c b b a b a c c b b a Y c b a Δ 3 3 3 3 3
( 範例.6) 求 I S k 6k k 6k 8k ( 3k 9k ) ( k 6 k ) 0k EQ 6 k V I S 0k.mA 也可以這樣算 55
.8 含相依電源之電路 (CICUITS WITH DEPENDENT SOUCES) V I I D D D V βv γv βi DEPENDENT VAIABLE α D I X 其他相依電源 X X X CONTOLLING VAIABLE ( β : 純量 ) ( γ : Siemens) ( β : 純量 ) 另外一種敘述 V VD αi X, α ma 假設電流單位 : ma 求解 V O KVL: V A ( 範例.7) KVL k * I V 3k * I V 5k * I A I ma V O 5k * I A 0V 56 0
( 範例.8) 求解 V O 替換 I0 可得 V * / 6k 5V 4k V 4k k S 60 3 O S () V 57
( 範例.9) KVL 應用於此迴路 求解 V O 相依電源為電壓控制電壓源 58
( 範例.30) KCL 求解 G v v O i ( t) ( t) KVL KVL KCL g v vo(t) (t) m g L 0 59