Department of Science and Engineering Computing School of Mathematics School Peking University October 9, 2007

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框架 1 2 3 4 5 6

One dimensional Equatino: 一个例子 @u @t = u @2 x 2 [0; 1]; t 2 (0; +1); @x2 u(0; t) = u(1; t) = 0 u(x; 0) = u 0 (x) = sin x 精确解 u(x; t) = e 2t sin x

三种格式 Euler Forward, O( t; x 2 ) u n+1 i u n i t Euler backward, O( t; x 2 ) u n+1 i u n i t Crank-Nicolson, O( t 2 ; x 2 ) = un i+1 2un i + un i 1 x 2 = un+1 i+1 2un+1 + u n+1 i i 1 x 2 u n+1 i u n i t = u n i+1 2un + i un i 1 2 x 2 + u n+1 i+1 2un+1 + u n+1 i i 1 2 x 2

差分格式的稳定性 定义 D = t x 2 Euler Forward, 要求 D 1 2 Euler Backward, Unconditionally stable Crank-Nicolson, Unconditionally stable

两种不 consisitent 的格式 Dufort-Frankel scheme, Unconditionally stable u n+1 u n 1 i i 2 t = un i+1 un+1 + u n 1 i i + u n i 1 x 2 Leap-frog scheme, Unconditionally stable u n+1 u n 1 i i 2 t = un i+1 2un i + un i 1 x 2

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一维 加上适当的初边值条件 @u @t + @u = 0; x 2 [0; 1]; t > 0 @x 周期初值函数 + 周期边界条件 = 简单情况

Euler-Forward/Center-Dierence Scheme EF/CD 绝对不稳定 u n+1 i u n i t + un i+1 un i 1 2 x = 0

Euler-Forward/Upwind-Dierence Scheme EF/CD 条件稳定 : t x 1 精度 : O( t; x) u n+1 i u n i t = un i un i 1 x

Lax-Friedrichs Scheme Lax-Friedrichs u n+1 j 1 2 u n j+1 + un j 1 t Tadmor's correction, 引入 C = t x = un j+1 un j 1 2 x u n+1 j = 1 2 un j+1 + un C j 1 u n j+1 u n j 1 + 1 C2 u 0 j 1 u 0 j+1 2 4 where u 0 j = MinMod u n j+1 u n j ; un j u n j 1 MinMod[x; y] 1 [sgn(x) + sgn(y)] Min[jxj; jyj] 2

Second-Order Upwind Scheme EF/UD2 u n+1 j+1 = un C u n u n j j j 1 + 1 2 C(C 1) un 2u n j j 1 + un j 2 再次提示 C t x 另外, 上面公式的推导要用到 u t + u x = 0 ) u tt = @u t @t = @u x @t = @u t @x = u x @x = u xx For stability, we require that C 2.

Lax-Wendro Scheme (2nd order) EF/LW u n+1 j+1 = un j C 2 2 C 2 un j+1 u n j 1 + u n j+1 2u n j + un j 1 For stability we require that C 1.

Adams-Bashforth/Center Dierencing Scheme(AB/CD) 2nd AB/CD 3rd AB/CD u n+1 j u n j t u n+1 j u n j t + 23 12 xu n j + 3 2 xu n j 1 2 un 1 j = 0 16 12 un 1 j + 5 12 xu n 2 j = 0 定义 : x u n j = un j+1 un j 1 2 x

Burgers Burgers : 非线性 假设周期边界条件, 初值 8 < u(x; 0) = : @u @t + u@u @x = 0 1; x 1 3 1; 1 3 < x 1 3 1; x > 1 3

the entropy solution 上面问题的熵解 8 >< u(x; 0) = >: 1; x + t 1 x ( t 1=3) 2 (t 1=3) ( t 1=3) 1; t 1 3 < x t 1 3 1 1; t 3 < t < 1 3 1; x > 1 3 3 可以看解的动画演示 burgers.gif.

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double MPI_Wtime(void) 返回当前墙钟时间, 单位是秒 double MPI_Wtick(void) 该函数给出 MPI_Wtime 函数的时钟精度, 以秒为单位 和 time.h 中的计时函数 time_t clock(void) 的差别不大, 可参看我的博客

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I int MPI_Bcast(void *buffer, int count, MPI_Datatype datatype, int root, MPI_Comm comm) 广播 通信器 comm 中进程号为 root 的进程 ( 称为根进程 ) 将自己 buer 中的内容发送给通信器中所有的其他进程 int MPI_Gather(void *sendbuf, int sendcnt, MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf, int recvcnt, MPI_Datatype recvtype, int root, MPI_Comm comm) 收集相同长度的数据块 以 root 为根进程, 所有进程 ( 包括根进程自己 ) 将 sendbuf 中的数据块发送给根进程, 根进程将这些数据块按进程号的顺序依次放到 recvbuf 中 参数 recvbuf, recvcnt 和 recvtype 仅对根进程有意义

II int MPI_Allgather(void *sendbuf, int sendcnt, MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf, int recvcnt, MPI_Datatype recvtype, int root, MPI_Comm comm) 收集相同长度的数据块 相当于一个进程做了 MPI_Gather 后, 把 recvbuf 中的数据散发其他所有进程 int MPI_Gatherv(void *sendbuf, int sendcnt, MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf, int *recvcnts, int *displs, MPI_Datatype recvtype, int root, MPI_Comm comm)

III 收集不同长度的数据块 与 MPI_Gather 类似, 但允许每个进程发送的数据块长度不同, 并且根进程可以任意排放数据块在 recvbuf 中位置 数据 recvcnts 和 displs 的元素个数等于进程数, 用于置顶从每个进程接收的数据块长度和它们在 recvbuf 中的位移, 都以 recvtype 为单位 int MPI_Allgatherv(void *sendbuf, int sendcnt, MPI_Datatype sendtype, void * recvbuf, int *recvcnts, int *displs, MPI_Datatype recvtype, MPI_Comm comm) 不同长度的数据块全收集 相当于先在某个进程上进行 MPI_Gatherv, 然后再广播

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I 1 求解二维 Poisson 方程 @ 2 @ 2 u(x; @x 2 @y 2 y) = f (x; y); (x; y) 2 = (0; 1) (0; 1) u(x; y) = 0; (x; y) 2 @ 自己取定函数 f (x; y), 使得函数有精确解 使用均匀网格, 使用二阶中心差分 N = N x = N y 表示在 x 和 y 方向的差分点的个数, 看你的机器上的 N 可以取道多大 比较计算时间和误差 编写并行程序, 比较时间和结果的差别, 数值验证收敛的阶 练习使用 AztecOO 的不同解法, 比较不同解法的快慢

II 2 讲义 10 中有这样一种情况 n 个进程, 进程 P i 需要向进程 P i+1 发送数据 第一个进程仅仅给第二个进程发送数据, 最后一个进程仅仅接收数据, 这种情况可以用 MPI_Sendrecv 函数来实现吗? 如果能请给出一个例子 当然可以增加一个最后一个进程向第一个进程发送消息, 这样每个进程都需要 Send 和 Recv 这里想知道的是第一个进程仅仅用 Send, 最后一个进程仅仅 Recv, 中间的进程用 Sendrecv, 这样的程序会出错吗? 3 研究讲义 10 中给出的并行 Thomas 算法的代码, 写出简洁高效率的代码 要求求解 Ly = q 和 Ux = y 的过程并行处理 4 使用讲义 10 中给出的四阶隐式格式离散一维 Poisson 方程, 验证数值收敛的阶数

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Parallel Scientic Computing in C++ and MPI, Chapter 7. 网上列出的例子