青蛙跳 - 黑白棋互換之探究 摘要 本研究主要是探討黑白棋在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法和移動總步數 利用將黑白棋互換的每一個步驟表列出來, 從中獲得其規則為黑白相間, 數量遞加至 n, 而每邊各 n 個的移動總步數為 n (n+2); 每邊各 n 個和 n-1 個 ( 相差一個 ) 的移動總步數為 n²+n-1 壹 研究動機 上電腦課時, 老師介紹了公母青蛙互換位置的小遊戲, 大家在短短的十分鐘中, 真是讓同學們玩得不亦樂乎 課後老師希望我們能增加青蛙的數量並以黑白棋來代替公母青蛙, 增加遊戲的難度, 同時達到隨手可玩的方便性 隨著黑白棋的數量慢慢增加, 移動的方式也變得複雜起來但似乎又存在著某種規則, 這不禁引起了我們的研究興趣, 於是我們就開始研究這個有趣的問題了, 希望能從中找出移動的規則和移動的步數 貳 研究目的 一 探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法 二 探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數 1
三 探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法 四 探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數 紙 筆 電腦 叁 研究研究設備及器材 肆 研究過程研究過程和方法 一 探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法 為了讓移動的方式更容易表示, 我們做以下的規定 : 1. 黑棋放左邊, 白棋放右邊, 黑白棋中間有一空格 2. 以中間空格為基準點, 往黑棋方向分別代表 黑 2 黑 3 3. 以中間空格為基準點, 往白棋方向分別代表白 1 白 2 白 3 4. 起使點均以左 1 開始 如 : 黑 3 黑 2 白 3 1. 當 n=1 時原 1 2 3 棋子的移動方式為 : 白 1 2. 當 n=2 時 原 1 2 3 4 5 6 7 8 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 白 1 白 2 黑 2 2
在這個過程中, 我們發現有一個移動原則是需要注意的, 那就是同類棋子應盡量避免相鄰同類棋子應盡量避免相鄰 如 : 此步驟就是不好的移動方式, 需要加以避免 3. 當 n=3 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 黑 2 黑 3 白 2 白 3 黑 3 4. 當 n=4 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 4 5. 當 n=5 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 4
27 28 29 30 31 32 33 34 35 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 白 4 白 5 黑 5 6. 當 n=6 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 5
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 5 白 6 黑 6 討論 : 在探討此遊戲的最少次數過程記錄中可以發現以下幾種現象 : 1. 此遊戲雖然沒有限制行子的方向, 但為了找到最少次數, 左邊的黑棋只能往右行子 ; 右邊的白棋向左行子 2. 同色的棋子若互跳則無法進行下去 3. 當右邊的白棋向左進行時, 若左方尚有黑棋, 應避免白棋有連子的狀況產生 ; 反之亦然 4. 能跳則跳動, 不能跳或跳動會增加次數則移動, 然後更換另一方棋子依照此原則重複進行之 5. 不同顏色的棋子會出現二次比鄰交錯狀況 6. 由盤面狀態得知, 每邊棋數為偶數時會呈現一次組內左右對稱的情況, 每邊棋數為奇數則否 6
我們將棋子的移動方式整理如下 : n 1 2 3 4 5 6 移動方式 白 1 黑 2 白 3 白 3 白 4 白 3 白 4 黑 2 白 2 白 3 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 白 3 白 4 黑 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 白 4 白 5 黑 5 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 白 6 黑 4 黑 5 黑 6 白 5 白 6 黑 6 由上表可以將每邊 n 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 當 n 為奇數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 7
黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 二 探討黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或 跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數 我們先將 n=1~6 的情形, 整理如下 : n 值 1 2 3 4 5 6 總步數 3 8 15 24 35 48 我們並沒有從數字之間看出什麼規則, 因此我們加上棋子的移動方式, 將移動的總步數分解 成各細項, 因此可以得到, n 值 1 2 3 4 5 6 總步數 3 =1+1+1 8 =1+2+2+2+ 1 15 =1+2+3+3+ 3+2+1 24 =1+2+3+4+ 4+4+3+2+1 35 =1+2+3+4+ 5+5+5+4+3 +2+1 48 =1+2+3+4+ 5+6+6+6+5 +4+3+2+1 因此, 我們可以看出黑白棋各有 n 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數為 1+2+3+4++(n-1)+n+n+n+(n-1)+(n-2)++3+2+1 =(1+2+3++n) 2+n =(1+n) n 2 2+n =(1+n) n+n =n²+2n =n (n+2) 或 =(n+1)²-1 三 探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的最佳走法 1. 當 n=2 時原 1 2 3 4 5 棋子的移動方式為 : 白 1 黑 2 白 1 8
2. 當 n=3 時 原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 2 3. 當 n=4 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 黑 2 黑 3 黑 4 白 1 白 2 白 3 黑 3 黑 4 白 3 4. 當 n=5 時 原 1 9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 4 5. 當 n=6 時原 1 2 3 4 5 6 7 8 10
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 棋子的移動方式為 : 白 1 白 2 黑 2 黑 3 白 1 白 2 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 1 白 2 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 5 黑 6 白 5 11
我們將棋子的移動方式整理如下 : n 2 3 4 5 6 移動方式 白 1 黑 2 白 1 白 3 白 3 白 4 黑 2 黑 3 白 3 黑 4 白 3 黑 3 黑 4 白 3 12 黑 4 黑 5 白 3 白 4 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 白 2 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 4 由上表可以將黑白期各有 n 個和 n-1 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n-1 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-1 黑 n 白 n-1 當 n 為奇數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 3 黑 4 黑 5 黑 6 白 3 白 4 白 5 黑 5 黑 6 白 5
白 2 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n-1 黑 n-1 黑 n 白 n-1 四 探討黑白棋各有 n 個和 n-1 個排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移 動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數 我們先將 n=2~6 的情形, 整理如下 : n 值 2 3 4 5 6 總步數 5 11 19 29 41 我們並沒有從數字之間看出什麼規則, 因此我們加上棋子的移動方式, 將移動的總步數分解 成各細項, 因此可以得到, n 值 2 3 4 5 6 總步數 5 =1+1+2+1 =(1+2+1)+1 11 =1+2+3+2+2+ 1 =(1+2+3+2+1) +2 19 =1+2+3+3+4+ 3+2+1 =(1+2+3+4+3 +2+1)+3 29 =1+2+3+4+5+ 4+4+3+2+1 =(1+2+3+4+5 +4+3+2+1)+4 41 =1+2+3+4+5+ 5+6+5+4+3+2 +1 =(1+2+3+4+5 +6+5+4+3+2+ 1)+5 因此, 我們可以看出黑白棋各有 n 個和 n-1 個 ( 相差 1 個 ) 排在同一直線的兩側, 中央空置一格, 每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進, 黑白棋互換的移動總步數為 1+2+3+4++(n-1)+n+(n-1)+(n-2)++3+2+1+(n-1) =(1+2+3++n)+(1+2+3++n-1)+(n-1) =(1+n) n 2+(1+n-1) (n-1) 2+(n-1) 2 2 n + n n n = + +(n-1) 2 2 =n²+n-1 伍 研究結果 經過上面的研究之後, 我們所探討的兩個研究目的, 可以得到如下的結果 : 一 在黑白棋每邊 n 個棋子互換的移動最佳走法上 : 當 n 為偶數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n 13
黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 當 n 為奇數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n 黑 n-2 黑 n-1 黑 n 白 n-1 白 n 黑 n 二 在黑白棋每邊 n 個棋子互換的移動總步數上 : 黑白棋互換的移動總步數 =n (n+2)=(n+1)²-1 三 在黑白期各有 n 個和 n-1 個棋子的移動方式整理如下 : 當 n 為偶數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 黑 4 黑 5 黑 n-1 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 14
白 4 白 5 白 n 黑 n-1 黑 n 白 n-1 當 n 為奇數時 白 3 白 4 黑 4 黑 5 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 2 黑 3 黑 4 黑 5 黑 n 白 2 白 3 白 4 白 5 白 n-1 黑 4 黑 5 黑 n 白 4 白 5 白 n-1 黑 n-1 黑 n 白 n-1 四 在黑白棋每邊各有 n 個和 n-1 個 ( 相差 1 個 ) 棋子互換的移動總步數上 : 黑白棋互換的移動總步數 = n²+n-1 陸 討論與結論 經過上面的研究之後, 我們所探討的黑白棋走法與總步數上均得到很好的結果 在過程中, 我們利用將黑白棋互換的每一個步驟表列出來, 從中獲得其規則為黑白相間, 數量遞加至 n, 而每邊各 n 個的移動總步數為 n (n+2); 每邊各 n 個和 n-1 個 ( 相差一個 ) 的移動總步數為 n²+n-1 未來的研究, 我們也許可以從黑白棋的間隔數下手, 探討不同的的間隔數時, 走法會有怎樣的不同 柒 參考參考資料 1. 跳青蛙遊戲 http://www.gagameme.com/tw/game/jump-frogs.html 2. 南一書局 ( 民 106) 國民小學數學第十二冊 ( 六下 ) 台南市 南一出版社 15