IIR DF 设计 Prt 数字信号处理面向专业 : 自动化系授课教师 : 刘剑毅 Buttrworth 模拟低通滤波器设计 幅度平方函数 : H( ) 为滤波器的阶数 为通带截止频率 当 称 H ( ) /时 H( 0) 0lg 3dB H ( ) 为 Buttrworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 ) 该型滤波器函数特点 : H( ) 0 H( ) ( ) / 3 H db 3dB 不变性 < 通带内有最大平坦的幅度特性, 单调减小 > 过渡带及阻带内快速单调减小当 t ( 阻带截止频率 ) 时, 衰减 为阻带最小衰减 ) 幅度平方函数的极点分布 : H H H 其极点为 : ( ),,..., ( ) ( ) ( ) /,,..., 解上述复数方程, 可得 : π 可见,Buttrworth 滤波器是一个全极点滤波器, 其极点分布规律如下 : 极点在 平面呈象限对称, 分布在 Buttrworth 圆上, 共 点 极点间的角度间隔为 π / rd 极点不落在虚轴上 为奇数, 实轴上有极点, 为偶数, 实轴上无极点 3) 求滤波器的系统函数 : 取左半开平面极点, 得,,..., π 令根据 H () ( ) ( ) ( ) 0 0 H H H 所以, 得系统函数最终为 K 0 ( ) H (), 可以解得 ( ) K 0
4) 滤波器设计的完整步骤 : 根据技术指标 求出滤波器阶数 : H( ) 由 0lg H( ) 0. 得 : 0 0. 0 0. 同理 : 0 0. 0 令 λ 0. 0 0. 0 lg 则 : lgλ 由下式求出系统的所有极点 : 0. ( ) 0. 由式 0 或 0 π,,..., 求出 3dB 截止频率参数 获得最终的系统函数 : H () ( ) 或者由, 直接查表得归一化系统函数 : H H() H 去归一化, 得 : n ( ) () n 例 : 设计一个 Buttrworth 模拟低通滤波器, 已知模拟技术指标为 : 0. π rd / db 0.3 π rd / 5dB 解 : ) 确定滤波器参数 λ /.5 0. 0 0.09 0. 0 lg / lg λ 5.884 取 6 0. ( ) 0 0.703 rd / Hn b) 求出极点 ( 左半平面 ),,...,6 π 6 ) 构造系统函数 H() 6 ( ) 或者 b ) 由 6, 直接查表得 () 3.8637 7.464 9.46 7.464 3.8637 3 4 5 6 ) 去归一化 0.09 H() Hn 6 5 4 3.76 3.69 3.79.85 0. 0.09 3 Chbyhv 低通滤波器设计 幅度平方函数 : H ( ) ε C ( ) 0< ε <, 表示通带波纹大小, ε 越大, 波纹越大 : 截止频率, 不一定为 3dB 带宽 : 滤波器的阶数 C ( ) x : 阶 Chbyhv 多项式
C ( x) h h x o( o x) x > ( ) x 等波纹幅度特性单调增加 ) 该型滤波器特点 : H ( ) C ε ( ) / H ε < 通带内 : 在 和 / ε 间等波纹起伏 > 通带外 : 迅速单调下降趋向 0 Chbyhv 滤波器也是一个全极点滤波器 )Chbyhv 滤波器的三个参量 : : 通带截止频率, ε : 表征通带内波纹大小 H( ) mx 0lg 0lg ε H ( ) 0. ε 0 h 0 0. ε h min : 滤波器阶数, 等于通带内最大最小值的总数, 这里直接给出其计算公式 : 由通带衰减决定 为阻带截止频率 阻带衰减越大所需阶数越高 3) 幅度平方函数的极点分布 : / H ( ) H ( ) H ( ) σ,,..., σ ( ) ( ) b ε C 令上式分母为 0, 展开 Chbyhv 多项式, 求解方程, 可推得极点的实 虚部满足下述椭圆方程 : 并可以解得实 虚部分别为 : π σ in ( ) b π o ( ),,..., 其中 γ γ b γ γ γ ε ε 4) 求滤波器的系统函数 : 取左半开平面上的极点 : π π in ( ) bo ( ) 设系统函数为 : H () 利用关系式 H ( ) H ( ) K ε K,,..., ( ) 0 0, 可以推出增益常数
5) 滤波器设计完整步骤 : 根据技术指标, 求出滤波器 h ( ) h λ 0. ε 0 阶数 及其他参数 : 其中 : 0. 0 0. λ 0 求出最终的系统函数 : H() ε 其中极点由下式求出 : γ ε ε γ γ b γ γ π π in ( ) bo ( ),,..., 或者由 和, 直接查表得 H () H() H 去归一化 n n ( ) 例 3: 设计一个 Chbyhv 模拟低通滤波器, 已知模拟滤波器的技术指标 : 0.65 rd /.09 rd / db 5dB 解 : ) 确定参数 0.65 rd / 0. ε 0 0.5088 h h 0 0. ε 3.04 取 4 b) 求左半平面极点 γ 4.70 ε ε γ γ 0.3646 b γ γ.0644 π π in ( ) bo ( ) 0.0907 ± 0.6390,4 0.89 ± 0.647,3 ) 构造系统函数 4 H() 3 ε 4 ( ) 0.0438 ( 0.4378 0.80)( 0.84 0.466) 或者 : b ) 由 4, 直接查表得 db Hn 0.756 () 0.756 0.746.4539 0.958 ) 去归一化 H() H n 0.0438 3 4 ( 04378 0.80)( 0.84 0.466)
三 基于模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器 设计思想 : 平面 模拟系统 H ( ) ( ) H 平面 数字系统 H() 的频率响应要能模仿 H () 的频率响应, 即 平面的虚轴映射到 平面的单位圆 设计方法 : 冲激响应不变法 双线性变换法 阶跃响应不变法 因果稳定的 H () 映射到因果稳定的 H(), 即 平面的左半平面 R[] < 0 映射到 平面的单位圆内 < 冲激响应不变法 Id 用数字滤波器的单位冲激响应 hn ( ) 去模仿模拟滤波器的单位冲激响应 h t hn ( ) h( t ) T 抽样周期 t nt () Imlmnttion H () h () t h ( nt) h() n H() H () A 部分分式化 t () [ ( )] () 查拉式变换表 nt T n ( ) ( ) ( ) A ( ) u( n) 时域采样 n T n n ( ) h( n) A ( ) Z 变换定义 n n 0 h t L H A u t hn h nt A unt H T A ( ) n 0 n A T H () 系数相同 : A A H( ) T 极点 : 平面 平面 稳定性不变 : 平面 R[ ] < 0 平面 T < A T Anlyi 时域采样将造成频域的周期延拓, 因此 DF 的频响是 AF 频响的周期延拓 由于实际系统不可能严格带限, 因此本方法都会带来混迭失真, 只是程度不同 阻带衰减越快, 混迭失真越小 由右图公式, 这种延拓还会造成频响增益降为原来的 / T 当 T 很小时,DF 增益将很大, 易溢出, 需修正
修正方法 : 令 : hn ( ) Th( nt) H( ) TA T ( ω ω π 则 : H ) H T ω H ω < π T ot 模拟及数字频率间的转换问题 : 对于模拟信号 : CTFT: 对于数字信号 : DTFT: X ( ) ( ) t X xt dt n ( ω) x( n) ω n 令 t nt, 其中 T 抽样周期, 则 nt ωn ω T Conluion 优点 : h(n) 完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 h () t 时域逼近良好 缺点 : 会带来频域的混迭失真问题, 因此该方法仅适用于带限的低通 带通两种选频滤波器设计 例 4: 设模拟滤波器的系统函数为 H() 4 3 3 试用冲激响应不变法, 设计 IIR 数字滤波器解 : 按照公式, 可得数字滤波器的系统函数 : T T H( ) T 3T A T 3T T ( ) H() T 3T 4T ( ) 设 T, 则 TA H () 0.38 H( ) 0.477 0.083 T 从而可得模拟滤波器的频率响应 : ω H ( ) H ( ) ω ω 0.38 ω 0.477 0.083 ω H( ) H( ) (3 ) 4 及数字滤波器的频率响应 : 绘出两者曲线, 可观察到非理想带限 延拓 混叠 及数字频率的周期性等特点 例 5: 设计一个 Buttrworth 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB 采用冲激响应不变设计法 解 : ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd db ω 0.3 π rd 5dB ) 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω / T 0. π rd/ db ω / T 0.3 π rd/ 5dB
3) 由例 的计算结果可知, 符合指标要求的 Buttrworth 模拟低通原型滤波器为 : 0.09 H() 6 5 4 3.76 3.69 3.79.85 0. 0.09 4) 将 () A H 展成部分分式形式 : H () 利用冲激响应不变法的公式, 可得 Buttrworth 数字滤波器 : TA H( ) T 0.870.4466.48.454 0.97 0.6949.069 0.3699.8558 0.6304 0.997 0.570 双线性变换法 )Motivtion 在冲激响应不变法中, 采用时域的模仿逼近方式, 其缺点是会产生频域的混叠失真 ; 迫切希望提出一种直接在频域模仿逼近的方法, 即使 DF 的频响与 AF 的频响直接相似 )Id Id: 利用正切函数的映射特性, 引入一个中间模拟频 率 : 实现 平面到 平面的映射 ; : π, π tg T T T :[, ] 平面与 平面间的映射关系 : 由 ω,, ω T 可得 : T T 实现 平面到 平面的映射 :, 其中 3)Formultion tg T T in T o T T T T T T T T T T T T T T T T T 4) 优缺点 优点 : 避免了频率响应的混迭现象 由 tg T, ω T tg ω, 可得模拟频率与数字频率间转换关系 : 因此, 平面与 平面实现了单值映射 > 0 ω > 0 < 0 ω < 0 ω π tg ω
缺点 : 从上图也可看到, 与 ω 之间存在严重的非线性关系, 这将会给 DF 的频响带来畸变 一个例子 : 5)Imrovmnt 引入一个变换常数项, 称为预畸变系数, 从而使得 AF 某一频率与 DF 的某一频率间产生对应关系, 补偿畸变的影响 模拟频率与数字频率间的转换公式更新为 : tg ω 系统函数变换公式更新为 : 系数 的选择 ) 对于低通滤波器, 利用低频段正切函数的属性 : tn(x) x, 选 :, 从而 T tg T T ) 对于其他类型滤波器, 为使 AF 与 DF 在某一特定 频率上严格相对应, 因为 tg ω, 所以选 tg ω, 从而 ω 实现对应, 可以较 准确地控制截止频率位置 6)Imlmnttion 对已完成设计的 AF 系统函数, 进行变量替换即可 : H( ) H( ) H 为避免 高次项展开的问题, 可将 AF 系统函数先因式分解成级联的低阶子系统 : H () H () H () H () m H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) 其中 : H ( ) H ( ) i,,..., m i i m 或者进一步将因式乘积形式部分分式化为并联的低阶子系统形式 : H () H () H () H () m H( ) H ( ) H ( ) H ( ) 其中 : H H i m ( ) ( ) i,,..., i m 例 6: 设计 Buttrworth 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB 采用双线性变换设计法 解 : ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd db ω 0.3 π rd 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω tg 0.65 rd / db T ω tg.09 rd / 5dB T
3) 由例 的计算结果可知, 符合指标要求的 Buttrworth 模拟低通原型滤波器为 : H () 0.09 6 5 4 3.76 3.69 3.79.85 0. 0.09 4) 对 H () 因式分解, 并变量替换, 实现 Buttrworth 数字低通滤波器 : H( ) H ( ) T (.68 0.705 ) (.00 0.358 ) ( 0.9044 0.55 ) 例 7: 用双线性变换法设计 Chbyhv 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0.π rd 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率 0.3π 到 π 之间的阻带内, 衰减大于 5dB ) 由数字滤波器的技术指标 : ω 0. π rd ω 0.3 π rd db 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T ω tg 0.65 rd / db T ω tg.09 rd / 5dB T 3) 由例 3 的计算结果可知, 符合指标要求的 Chbyhv 模拟低通原型滤波器为 : H () 0.0438 ( 0.4378 0.80)( 0.84 0.466) 4) 上式已完成因式分解, 直接变量替换, 实现 Chbyhv 数字低通滤波器 : H( ) H ( ) T 0.00836 ( ) 4 (.4996 0.848 ) (.5548 0.6493 )