投稿類別 : 數學類 篇名 : 黑白棋 棋子移動軌跡探討 作者 : 蕭家勝 台南市黎明高中 高一仁班蘇敬舜 台南市黎明高中 高一信班陳昭旭 台南市黎明高中 高一和班 指導老師 : 魏溏月
壹 前言 黑白棋 棋子移動軌跡探討 一 研究動機 : 網路上, 發現有一個和黑白棋相關的小遊戲, 它名叫 機靈金幣 是個把兩種不同顏色金幣放置於側, 經過移動後變成黑白相間的遊戲, 但遊戲的所含內容過少, 只有兩個題目, 於是我們懷著一個追根究柢的精神, 決定依照這個小遊戲的規則繼續研究下去並延伸至無限 和同學們一同走上研究之路 二 研究目的 : ( 一 ) (n 黑,n 白 ) 棋子放於兩側, 一次移動二個棋子, 移動後變成黑白相間, 討論是否有解? 移動的最少次數, 並觀察最少移動次數的特徵 ( 二 ) (n 黑,n 白 ) 的棋子放於兩側, 一次移動二個棋子, 移動後變成黑白相間, 探討從 (3,3) (4,4) 延伸到 (n,n) 的移動規律 ( 三 ) 討論 (n 黑,n+1 白 ) 棋子放於兩側, 一次移動二個棋子, 移動後變成黑白相間, 討論是否有解? 移動的最少次數? 與 (n 黑,n 白 ) 移動做分析比較 三 研究流程圖 貳 正文 一 遊戲規則說明 : 如圖 ( 一 ), 長方形盒子中, 放著三 枚金幣和三枚銀幣, 一次必須移動 兩相鄰硬幣, 共有三次機會 移動 成金 銀幣相間的形式 圖 ( 一 ): 遊戲說明 (http://www.smallcampus.net/htmlcontent.php?cha nnel=maths_games&show_date=2001-09-01) 1
二 名詞定義 : ( 一 ) 為了研究方便, 如圖 ( 二 ) 以下圖形我們稱之為 (4,4), 代表起始位置為四黑棋 四白棋分別至於兩側 為了觀察棋子實際的移動情形以及相對位置, 我們將每一 顆棋子編號, 並用表格做位置分隔 圖 ( 二 ): 基本圖形 (4,4)< 自行繪製 > ( 二 ) (n,n) 的圖形為起始位置為 (n 黑棋,n 白棋 ) 分別至於兩側 ( 三 ) 如圖 ( 三 ) 此圖形我們稱之為 (3,4), 代表起始位置為 ( 三黑, 四白 ) 以下的研究, 我們都將黑棋的起始位置置於左側, 白棋的起始位置置於右側 圖 ( 三 ): 進階圖形 (3,4)< 自行繪製 > ( 四 ) (n,n+1) 的圖形代表起始位置為 (n 黑,n+1 白 ) 分別置於兩側 ( 五 ) 移動次數最佳化為 (n,n) 的圖形為起始位置為 (n 黑棋,n 白棋 ) 分別至於兩側, 一次移動二個棋子, 移動最少次數後變成黑白相間 三 主題研究 ( 一 ) 遊戲的一開始為三枚金幣及三枚銀幣 (3,3), 並限定只能移動三次要移動成金銀 幣相間 進階關卡為四枚金幣及四枚銀幣 (4,4), 並限定只能移動 4 次要移動成 金銀幣相間 我們在一開始的闖關中常常再多移動一次就可以成功 1. 因此我們大膽的假設 (3,3) 最少的移動次數為 3 次 (4,4) 最少移動的次數為 4 次 (n,n) 最少移動的次數為 n 次 2. 在移動中因為往左移動或是往右移動具有對稱性, 因此之後的研究我們只記錄整理往右移動的方式 3. 我們將 (3,3) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 四 ), 我們將 (4,4) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 五 ), 我們將 (5,5) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 六 ), 我們將 (6,6) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 七 ), 我們 2
將 (7,7) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 八 ), 我們將 (7,7) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 八 ), 我們將 (8,8) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 九 ) 圖 ( 四 ): (3,3) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 五 ): (4,4) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 六 ): (5,5) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 七 ): (6,6) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 八 ): (7,7) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 3
圖 ( 九 ): (8,8) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 4. 我們比較 (3,3)(4,4)(5,5)(6,6)(7,7)(8,8) 移動最佳化的移動過程, 作比較 如圖表 ( 十 ) 基本 圖形 (3,3) 移動 方向 不動之不動之移動過程移動結果棋子棋子數 B3B2 W3B3 B1W1 W2 B1 W1 B2 W3 B3 W2 1 (4,4) 向 B 3 B 2 W 1 W 2 W 4 B 3 B 4 W 2 B 1 W 4 B 3 W 3 B 4 W1 B2 B1 W 3 2 右 (5,5) 移 B4B3 W3W4 B1W1 W5B4 W3 B5 W4 B2 W5 B4 W2B2 W1 B5 W3 B3 B2 W2 2 (6,6) B 5 B 4 W 2 W 3 B 3 B 2 B 2 W 4 W 6 B 5 B 6 W 2 W 3 B 2 W 4 B 1 W 1 B 3 W 6 B 5 W 5 B 6 W 2 B1 W 1 W 5 3 (7,7) B 6 B 5 W 4 W 5 B 3 B 2 W 3 B 3 B 1 W 1 W 7 B 5 B 7 W 4 B 4 W 5 B 4 W 3 B 3 W 7 B 5 W 2 B 1 W 1 B 2 W 6 B 7 W 4 B 6 B4 W2 W6 3 (8,8) B 7 B 6 W 5 W 6 B 3 B 2 W 1 W 2 W 4 B 3 B 4 W 1 W 8 B 7 B 8 W 5 W 6 B 5 W 8 B 7 W 2 B 1 W 4 B 3 W 3 B 4 W 1 B 2 W 7 B 8 W 5 B 6 B5 B1 W3 W7 4 圖 ( 十 ): (n,n) 移動次數最佳化動過程比較表 4
四 研究結果 黑白棋 棋子移動軌跡探討 ( 一 ) 在 (n,n) 一次移動兩個棋子變成黑白相間的研究中 : 1. 移動最少的次數為 n 次 2. 起手的第一步皆為 B n 1Bn 2, 或是 W W n 1 n 2,(3,3) 不合,n>3 3. 移動的順序分別為右移, 左移, 右移, 交遞移動 移動時會交替補位, 第 一步驟所移開的空格, 第二步驟的棋子會補上 第二步驟所移開的空格, 第三步驟 會補上 以此類推 4. 移動的第一步皆以 2 黑 ( 右移 ),2 白 ( 左移 ),2 黑 ( 右移 ),2 白 ( 左移 ) 交遞 移動, 直到以交界為中心 : 左右兩邊黑白兩色的棋子數量相等或是相差為 1 時, 再開 始 1 黑 1 白 ( 右移 ),1 白 1 黑 ( 左移 ) 交遞移動 5. 在移動的過程中, 若移動同色 例 :2 黑 ( 右移 ),2 白 ( 左移 ) 有 m 次, 則移動到 最後結果不動的棋子會有 m 個 6. 起手的第一步 B n 1Bn 2, 或是 W W n 1 n 2 移動到最終結果的次數都相同, 只是移動的方 向相反 7. 當 n 為奇數時, 不動的棋子有 n 1 n 個 ; 當 n 為偶數時, 不動的棋子有個 2 2 8. 所有 (n,n) 的圖形皆以 {(3,3) (4,4) (5,5) (6,6) } 四種移動為基本圖形做為延伸 : (1)( 7,7) 經移動兩步後出現基本圖形 (3,3), 中間 (3,3) 移動完成後, 補位完成最後 兩步 ( 如圖十一 ) 基本圖形 (3,3) 圖 ( 十一 ):(7,7) 移動次數最佳化分解圖 5
(2)( 8,8) 經移動兩步後出現基本圖形 (4,4), 中間 (4,4) 移動完成後, 補位完成最後兩 步 ( 如圖十二 ) 基本圖形 (4,4) 圖 ( 十二 ):(8,8) 移動次數最佳化分解圖 (3)( 10,10) 的移動規律也如同 (7,7) (8,8) (9,9), 經移動兩步後出現基本圖形 (5, 5), 中間 (6,6) 移動完成後, 補位完成最後兩步 9.(n,n) 移動次數最佳化延伸分析 (1) 將 (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) 的延伸分析如下表 ( 十三 ): 基本圖型 延伸圖形 最少移動 3 次 B B 6 5 W 5 W 4 (3,3) W 7 B 5 B 7 W 4 最少移動 2+3+2=7 (3,3) 不動棋子 1 顆 ( W 2 ) (7,7) W 2 + B 4 + W 6 不動棋子為 1+2=3 顆 (4,4) 最少移動 4 次 (8,8) B W 6 W 5 (4,4) W 8 B 7 B 8 W 5 7B 6 最少移動 2+4+2=8 6
不動 棋子 2 顆 ( B 1, W 3 ) B 1, W 3 + B 5 + W 7 不動棋子為 2+2=4 顆 (5,5) 最少移動 5 次 不動棋子 2 顆 ( B 2, W 2 ) (9,9) B B 8 7 W 7 W 6 (5,5) W 9 B 8 B 9 W 6 最少移動 2+5+2=9 B 2, W 2 + B 6 + W 8 不動棋子為 2+2=4 顆 (6,6) 最少移動 6 次 不動 棋子 3 顆 ( B 1, W, 1 W 5 ) (10,10) B B 9 8 W 8 W 7 (6,6) W 10 B 9 B 10 W 7 最少移動 2+6+2=10 B 1, W 1, W 5 + B 7 + W 9 不動棋子為 3+2=5 顆 表 ( 十三 ):(3,3) (4,4) (5,5) (6,6) 的延伸分析表 自行繪製 (2) (11,11) 最少移動方式 B B 10 9 W 9 W 8 (7,7) W B 11 10 B 11 W 8 = B B 10 9 W 9 W 8 { B B 6 5 W 5 W 4 (3,3) W 7 B 5 B 7 W 4 } W B 11 10 B 11 W 8 B 8, W 10 加上原來 (7,7) 的三顆 共 2+2+1=5 顆 不動的棋子為新增的 (3) 所有 (n,n) 的圖形皆以 {(3,3) (4,4) (5,5) (6,6) } 為延伸圖形 最少移動次數皆為 n 次 移動 B n 1Bn 2, W n 2Wn 3 出現前一個延伸圖形 共移動 K 次 ( 黑, 黑 )( 白, 白 ) 後, 就會出現最原始的四個基本圖形 (4) 不動的棋子為 2K+( 基本圖型原本的不動棋子數量 ) 3+4K 不動的棋子有 2K+1 顆 (n,n) 4+4K 不動的棋子有 2K+2 顆 n>6 5+4K 不動的棋子有 2K+2 顆 n 可化為右列四種形式 6+4K 不動的棋子有 2K+3 顆 7
五 延伸討論 ( 一 ) 遊戲的一開始為三枚金幣及三枚銀幣 (3,3), 並限定只能移動三次要移動成金銀幣相間 進階關卡為四枚金幣及四枚銀幣 (4,4), 並限定只能移動 4 次要移動成金銀幣相間 我們開始改變題目, 如果一開始為兩枚金幣及三枚金幣 (2,3) 要移動成金銀幣相間, 移動的方式會一樣嗎? 1. 我們大膽的假設 (n,n+1) 的移動次數方式和 (n,n) 有關連性 2. 我們認為 (n,n+1) 最少移動的次數為 n 次或 n+1 次 3. 在移動中因為往左移動或是往右移動具有對稱性, 因此之後的研究我們只記錄整理往左移動的方式 4. 我們將 (2,3) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 十四 ), 我們將 (3,4) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 十五 ), 我們將 (4,5) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 十六 ), 我們將 (5,6) 移動次數最佳化的移動方式記錄於圖 ( 十七 ) 圖 ( 十四 ): (2,3) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 十五 ): (3,4) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 十六 ): (4,5) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 圖 ( 十七 ): (5,6) 移動次數最佳化 < 自行繪製 > 8
( 二 ) 討論結果 1. 於討論一的 4 個圖形當中,(2,3) 中 W 3 不動,(3,4) 中 W 不動,(4,5) 中 W 4 5 不動, W (5,6) 中 6 不動 2. 以 (4, 5) 為例 : 我們將不動的 W 5 畫出分隔線, 則右側圖形即出現 (4,4) 的圖形, 相說 明如圖 ( 十八 ) 若只需移動為黑白相間則僅需移動 4 步, 若要移動成黑白相間且 相鄰則需移動 5 步 3. (n, n+1 ) 我們將不動的 W n 1畫出分隔線, 則右側圖形即出現 (n,n) 的圖形, 若只 需移動為黑白相間則僅需移動 n 步, 若要移動成黑白相間且相鄰則需移動 n+1 步 右邊出現 (4,4) 的基本圖形, 移動四步之後會呈現黑白相間的狀態, 但是和 W5 的白棋會有空隙, 需要多一步補位 才能形成黑白相間且相鄰 若延伸到 (n,n), 移動 n 步即可成為黑白相間, 但要黑白相鄰則要 n+1 步 圖 ( 十八 ): (4,5) 移動次數最佳化分解圖 < 自行繪製 > 參 結論 一 所有 (n,n) 的圖形皆以 {(3,3) (4,4) (5,5) (6,6) } 為延伸圖形 最少移動次數皆為 n 次 移動 B n 1Bn 2, W n 2Wn 3 出現前一個延伸圖形 共移動 K 次 ( 黑, 黑 )( 白, 白 ) 後, 就會出現最原始的四個基本圖形 二 (n, n+1 ) 我們將不動的 W n 1畫出分隔線, 則右側圖形即出現 (n,n) 的圖形, 若只需 移動為黑白相間則僅需移動 n 步, 若要移動成黑白相間且相鄰則需移動 n+1 步 9
三 移動棋子的移動策略皆為右移, 左移, 右移, 交遞移動 移動時會交替補位, 第一步驟所移開的空格, 第二步驟的棋子會補上 第二步驟所移開的空格, 第三步驟會補上 以此類推 在本次研究棋子移動的解及規律當中, 我們一開始研究時, 只是一直盲目的移動, 想要把題目解出來, 因為沒有做分析及記錄所以完全看不出規律 經過有意義的紀錄和分析之後, 慢慢的找出 (n,n) 移動的規律, 並延伸到 (n,n+1) 的移動規律 在這次的小論文研究中, 讓我們深刻地了解到生活萬物中, 很多圖形都有隱藏在其中的規律, 只要用心觀察 分類 重整, 都可以發現其中的奧妙 肆 引註資料 : 一 數學遊戲 機靈金幣 (http://www.smallcampus.net/htmlcontent.php?channel=maths_games&show_date=2001-09-01) 二 愚公移山?NO! 我是最佳搬運手 http://science.boe.tcc.edu.tw/up47/64 中華民國第 47 屆科展作品專輯 三 蔡國湶 (1999) 點明高中數學 1 數學邏輯 集合 函數 高雄市 : 大學城文化事業有限公司四 蔡國湶 (1999) 點明高中數學 2 數 坐標 數列與級數 高雄市 : 大學城文化事業有限公司 10