清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 FP 为等边三角形时, 其面积为 A. B. C. D. 二 填空题 : 本大题共 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 9. 在复平面上, 若复数 + bi ( br ) 对应的点恰好在实轴上, 则 b =. 0. 若向量 ab, 满足 a b a b,

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 海淀区高三年级第二学期期中练习数学 ( 文科 ) 0. 本试卷共 页,50 分 考试时长 0 分钟 考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 : 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项.. 集合 A { N }, B { N 0}, 则 A B A. {, } B. {,,5} C. {,5,} D. {,,5,}. 等差数列 { a n } 中, a, a a 9, 则 aa 的值为 A. B. 8 C. D.7. 某程序的框图如图所示, 执行该程序, 若输入的 值为 5, 则输出的 y 值为 A. B. C. D.. 已知 a 0, 下列函数中, 在区间 (0, a) 上一定是减函数的是 A. f ( ) a b B. f ( ) a 开始 输入 0 是 y 输出 y 结束 否 C. f ( ) a D. f ( ) log a, 5. 不等式组 y 0, 表示面积为 的直角三角形区域, 则 k 的值为 k y 0 A. 0 B. C. D.. 命题 p : R, sin(π ) cos; y 命题 q : m 0, 双曲线 的离心率为. m m 则下面结论正确的是 A. p 是假命题 B. q 是真命题 C. p q 是假命题 D. p q 是真命题 7. 已知曲线 f ( ) ln 在点 (, f ( )) 处的切线经过点 (0, ), 则 的值为 0 0 A. B. C. e D. 0 e 0 8. 抛物线 y 的焦点为 F, 点 P 为抛物线上的动点, 点 为其准线上的动点, 当 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 FP 为等边三角形时, 其面积为 A. B. C. D. 二 填空题 : 本大题共 小题, 每小题 5 分, 共 0 分. 9. 在复平面上, 若复数 + bi ( br ) 对应的点恰好在实轴上, 则 b =. 0. 若向量 ab, 满足 a b a b, 则 ab 的值为.. 某几何体的三视图如图所示, 则它的体积为.. 在 ABC 中, 若 a, b, cos A, 则 c. a, 0,. 已知函数 f( ) 有三个不同的零点, 则实数 a 的取 a a, 0 主视图俯视图 侧视图 值范围是.. 已知函数 y f ( ), 任取 t R, 定义集合 : At { y y f ( ), 点 P( t, f ( t )), Q(, f ( )) 满足 PQ }. 设, m 分别表示集 t t 合 A t 中元素的最大值和最小值, 记 h t m. 则 () t t () 若函数 f ( ), 则 h() = ; π () 若函数 f ( ) sin, 则 ht () 的最小正周期为. 三 解答题 : 本大题共 小题, 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 5. ( 本小题满分 分 ) 已知函数 f ( ) ( sin cos ). π (Ⅰ) 求 f ( ) 的值和 f( ) 的最小正周期 ; π π (Ⅱ) 求函数在区间 [, ] 上的最大值和最小值. 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理. ( 本小题满分 分 ) 在某大学自主招生考试中, 所有选报 II 类志向的考生全部参加了 数学与逻辑 和 阅读与表达 两个科目的考试, 成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示, 其中 数学与逻辑 科目的成绩为 B 的考生有 0 人. (I) 求该考场考生中 阅读与表达 科目中成绩为 A 的人数 ; (II) 若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分, 分, 分, 分, 分, 求该考场考生 数学与逻辑 科目的平均分 ; (Ⅲ) 已知参加本考场测试的考生中, 恰有两人的两科成绩均为 A. 在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈, 求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 频率 0.75 科目 : 数学与逻辑 频率 0.75 科目 : 阅读与表达 0.50 0.00 0.075 等级 0.50 0.05 等级 7. ( 本小题满分 分 ) 在四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD, ABC 是正三角形, AC 与 BD 的交点 恰好是 AC 中点, 又 CAD 0, PA AB, PN 点 N 在线段 PB 上, 且. NB (Ⅰ) 求证 : BD PC ; (Ⅱ) 求证 : N // 平面 PDC ; (Ⅲ) 设平面 PAB 平面 PCD = l, 试问直线 l 是否与直线 CD 平行, 请说明理由. B N A P C D 8. ( 本小题满分 分 ) 函数 f ( ) k, 其中实数 k 为常数. 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 (I) 当 k 时, 求函数的单调区间 ; (II) 若曲线 y f ( ) 与直线 y k只有一个交点, 求实数 k 的取值范围. 9. ( 本小题满分 分 ) 7 y 已知圆 :( ) y, 若椭圆 C : ( ab0) 的右顶点为圆 a b 的圆心, 离心率为. (I) 求椭圆 C 的方程 ; (II) 已知直线 l : y k, 若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A, B 两点, 与圆 分别交于 G, H 两点 ( 其中点 G 在线段 AB 上 ), 且 AG BH, 求 k 的值. 0. ( 本小题满分 分 ) 设 A(, y ), B(, y ) 为平面直角坐标系上的两点, 其中, y,, y Z. 令 A A B B B A, y yb ya, 若 + y =, 且 y 0, 则称点 B 为点 A的 相关点, 记作 : B ( A). (Ⅰ) 请问 : 点 (0,0) 的 相关点 有几个? 判断这些点是否在同一个圆上, 若在, 写出圆的方程 ; 若不在, 说明理由 ; (Ⅱ) 已知点 H(9,), L(5,), 若点 满足 ( H), L ( ), 求点 的坐标 ; (Ⅲ) 已知 P ( 0, y0) ( 0 Z, y0 Z ) 为一个定点, 点列 { P} 满足 : Pi ( Pi ), 其中 i 0,,,..., n, 求 PP 的最小值. 0 n i A A B B 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 海淀区高三年级第二学期期中练习数学 ( 文 ) 参考答案及评分标准 0. 说明 : 合理答案均可酌情给分, 但不得超过原题分数. 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 0 分 ) 题号 5 7 8 答案 C A A B B D B D 二 填空题 ( 本大题共 小题, 每小题 5 分, 有两空的小题, 第一空 分, 第二空 分, 共 0 分 ) 9. 0 0.... a., 5 三 解答题 ( 本大题共 小题, 共 80 分 ) 5.( 本小题满分 分 ) π 解 :(I) f ( ) ( ) 分 因为 f ( ) ( sin cos ) (sin cos sin cos ) ( sin sin ) 分 sin sin cos sin 分 π = sin( ) 8 分所以 f( ) 的周期为 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 T π π π 9 分 π π π π π π 5π (II) 当 [, ] 时, [, ],( ) [, ] 所以当 时, 函数取得最小值 f ( ) 分当 时, 函数取 得最大值 f ( ) 分. 解 : (I) 因为 数学与逻辑 科目中成绩等级为 B 的考生有 0 人, 所以该考场有 0 0.5 0 人 分 所以该考场考生中 阅读与表达 科目中成绩等级为 A 的人数为 0 ( 0.75 0.75 0.5 0.05) 0 0.075 分 (II) 求该考场考生 数学与逻辑 科目的平均分为 (0 0.) (0 0.) (0 0.75) (0 0.5) 5 (0 0.075).9 0 8 分 (Ⅲ) 因为两科考试中, 共有 人得分等级为 A, 又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 人只有一个科目得分为 A 9 分设这四人为甲, 乙, 丙, 丁, 其中甲, 乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈, 基本事件空间为 { { 甲, 乙 },{ 甲, 丙 },{ 甲, 丁 },{ 乙, 丙 },{ 乙, 丁 },{ 丙, 丁 }}, 一共有 个基本事件 分设 随机抽取两人进行访谈, 这两人的两科成绩等级均为 A 为事件 B, 所以事件 B 中包含 的基本事件有 个, 则 PB ( ). 分 7. 解 :(I) 证明 :(I) 因为 ABC 是正三角形, 是 AC 中点, 所以 B AC, 即 BD AC 分又因为 PA 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, PA BD 分又 PA AC A, 所以 BD 平面 PAC 分 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 又 PC 平面 PAC, 所以 BD PC 5 分 (Ⅱ) 在正三角形 ABC 中, B 分在 ACD, 因为 为 AC 中点, D AC, 所以 AD CD CAD 0, 所以, D, 所以 B : D : 8 分 所以 BN : NP B : D, 所以 N // PD 9 分又 N 平面 PDC, PD 平面 PDC, 所以 N // 平面 PDC 分 (Ⅲ) 假设直线 l // CD, 因为 l 平面 PAB, CD 平面 PAB, 所以 CD // 平面 PAB 分又 CD 平面 ABCD, 平面 PAB 平面 ABCD AB, 所以 CD // AB 分这与 CD 与 AB 不平行, 矛盾所以直线 l 与直线 CD 不平行 分 8. 解 :(I) 因为 f '( ) k 分 当 k 时, f '( ), 令 f '( ) 0, 所以, 7 f '( ), f ( ) 随 的变化情况如下表 : (, ) (,) (, ) f '( ) 0 0 f( ) 分 极大值 极小值 所以 f( ) 的单调递增区间是 (, ),(, ) 单调递减区间是 分 (II) 令 g( ) f ( ) k, 所以 g ( ) 只有一个零点 7 分 因为 g '( ) f '( ) k (,) 当 k 0 时, g( ), 所以 g ( ) 只有一个零点 0 8 分 当 k 0 时, g '( ) k 0 对 R 成立, 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 所以 g ( ) 单调递增, 所以 g ( ) 只有一个零点 9 分 当 k 0 时, 令 g '( ) f '( ) k 0, 解得 k 或 k 0 分所以 g '( ), g( ) 随 的变化情况如下表 : (, k ) k ( k, k) k ( k, ) g'( ) 0 0 g ( ) 极大值 极小值 g ( ) 有且仅有一个零点等价于 g( k) 0 分 9 即 g( k ) k k k 0, 解得 0 k 分综上所述, k 的取值范围 9 是 k 分 9. 解 :(I) 设椭圆的焦距为 c, c 因为 a,, 所以 分 a c 8 所以 b 所以椭圆 C : y 分 (II) 设 A (, y ), B (, y ) y k 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A, B, 则 y 0 所以 ( k ) 0, 则 0, 分 k 所以 AB 8 8( k ) ( k ) 8 分 k k k 点 (,0 ) 到直线 l 的距离 d 0 分 k 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 则 GH 7 k k 分 显然, 若点 H 也在线段 AB 上, 则由对称性可知, 直线 y k 就是 y 轴, 矛盾, 因为 AG BH, 所以 AB GH 分 8( k ) 7 k 所以 ( ) k k 解得 k, 即 k 分 0. 解 : (I) 因为 + y =(, y 为非零整数 ) A G H B 故, y 或,, 所以点 (0,0) 的 相关点 有 8 个 分又因为 ( ) ( y) 5, 即 ( 0) ( y 0) 5 所以这些可能值对应的点在以 (0,0) 为圆心, 5 为半径的圆上 分 (II) 设 (, y ), 因为 ( H), L ( ) 所以有 9 y, 5 y 5 分 9 所以 9 5, 所以 7, y 或 y 所以 (7,) 或 (7,) 7 分 * (III) 当 n, k k N 时, PP 0 n 的最小值为 0 8 分 当 =时, 可知 PP 的最小值为 5 9 分 n 0 当 n= 时, 对于点 P, 按照下面的方法选择 相关点, 可得 P ( 0, y0+) : 故 PP 的最小值为 分 * 当 n k, k, k N, 时, 对于点 P, 经过 k 次变换回到初始点 P0 ( 0, y0), 然后经 过 次变换回到 P ( n, 0 y +) 0, 故 PP 0 n 的最小值为 综上, 当 =时, PP 的最小值为 5 n P0 ( 0, y0) P ( 0 +, y 0 +) P ( 0 +, y 0 +) P ( 0, y 0 +) 0 n n 0 n 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室

清华园教育 0 年高考各区一模试卷整理 * 当 n, k k N 时, PP 0 n 的最小值为 0 * 当 n k, k N 时, PP 0 n 的最小值为 分 0 清华园教育集团 0 年各区高考一模试卷整理 联系电话 :00-79 77 地址 : 北京市海淀区清华科技园科技大厦 A 座 0 室