东南大学学报 第 9 卷第 6 期 1999 年 11 月 JOURALOFSOUTHEASTUIVERSITY Vol9 o6 ov.1999 低模态下弱阻尼 KdV 方程约化形式的数值分析 卢殿臣 田立新 ( 江苏理工大学数理系, 镇江 1013 摘 要 给出低模态下弱阻尼 KdV 方程约化形式的近似惯性流形, 并在五模态下作 数值分析, 有关数值分析结果与非线性谱分析结果相类似. 关键词 周期边界条件 ; 偏微分方程 ; 动力系统 ; 孤立波? 近似惯性流形 分类号 O157.9 非线性科学中重要且引人注目的领域之一, 是对无穷维动力系统时空复杂性的研究. 在这方面的研究正沿着 个方向发展,Temam 及其合作者建立的关于在耗散偏微分方程中存在唯一整体紧吸引子和惯性流形的理论是一个重要方向 [1,] ; 另一个方向是, 借助非线性动力学方法, 斑图动力学得到了显著发展 [3]. 本文用近似惯性流形 (AIM 把两者连在一起, 研究弱阻尼 KdV 方程的长期动力学行为. 因为弱阻尼 KdV 方程中典型算子不是扇形算子且非自共轭, 所以研究它的近似惯性流形比较困难 [4]. 文献 [4] 获得了该类方程的 AIM 的存在性, 本文在此基础上, 研究弱阻尼 KdV 方程的近似惯性流形的约化形式并作数值分析, 数值模拟的结果与文献 [5] 一致. 1 近似惯性流形的约化形式 考虑如下周期边界条件的弱阻尼 KdV 方程 : u t +u xxx - η u xx +γu+uu x = f (1 u(x+π,t= u(x,t x R,t 0 ( u(x,0= u 0 (x H π (3 f H 3 π (f 与 t 无关 η >0,γ >0 (4 设 H = L [0,π],V= H, π Ω =[0,π]. 作带扰动的有相同条件的如下方程 : u t +εu xxxx +A 0 u= R(u x Ω,t 0 (5 其中,A 0 u=u - xxx η u xx+γu,r(u=f-uu x. 当 ε >0 时, 定义 :A ε u=εu xxxx +A 0 u. 则 D(A ε = H 4. 容易求得 π A 0 的特征值 λn =( η n +γ+in 3,n Z,i= 槡 -1; 特征向量 φn(x= (π -1? e inx,n Z. 集合 { φ n} n Z 构成 H 的一组正交基. 对每个固定的 ε >0,A ε 是一个扇形算子且有紧预解式. 如果 f H 3, 那么 π R(u= f-uu x :H 4 π H 3 ( 见文 π [4]. 对于任意给定 α >γ, 用文 [4] 中同样的方法构造围道 Γ, ε 且,α ω0 =ω0(ε. 设 P ε,α = 1 πi Γε,αR(λ,A ε dλ Q ε,α = I-P ε, α 国家自然科学基金 (1960100, 江苏省自然科学基金 (BK97119, 江苏省青年科技基金 (BQ9803 资助. 收稿日期 :1999-05-10. 第一作者 : 男,1960 年生, 学士, 副教授.
76 东南大学学报第 9 卷 其中, 我们假设在实直线 Reλ = a 上没有点谱, 则 σ(a ε 的特征值仅有有限个被 Γ ε 包围,α. 记特征值集为 {λ ε n: n n α }, 那么 P ε,α H 的维数是 n α +1, 且 P ε,α H =span{ φn: n n α }, Q ε,α H =span{ φn: n > n α } 容易证得 : P ε, 面的命题 1 成立 ( 见文 [4]. 命题 1 当 ε >0 时, 在方程 (~ 方程 (5 中存在级数为 δ 5? 的近似惯性流形 ( 定义见文 [4]:M ε = {(p,q p,q 为式 (6 (7 的解 }. 其中 :δ =γ?[ η (+1 +γ], 为约化空间的维数. p t +A ε p+p(p+q(p+q x = f(x (6 A ε q+qpp x =0 (7 定理 方程 (1~ 方程 (4 的近似惯性流形 M, 对应的近似惯性形式是下述常微分方程组, 设 p H p,h p 为 +1 维,q H q : α = Qε, α =1. 设 P 是到 span{φn: n } 上的投影,Q = I-P, 则有下 p t +A 0 p+p(p+q(p+q x = f(x (8 A 0 q+qpp x =0 (9 其中,p=a 0 (t+ (a n (tcosnx+b n (tsinnx, 系数 a 0,,a,b 0,,b 可由 +1 个常 微分方程组解得. 证明由文献 [4] 及命题 1 知 : 方程 (1~ 方程 (4 的近似惯性流形 M, 就是 ε 0 时 M ε 的极限. 令 p= a 0 (t+ a 0 + (a n (tcosnx+b n (tsinnx, 则 pp x =( (a n cosnx+b n sinnx a 0 ( - ( (na n sinnx+nb n cosnx = - (na n sinnx+nb n cosnx + a i cos ix ( a j cos jx Qpp x = Q ( ( jb j cos jx - ( ia i sin ix - ( b j sin jx ( ia i sin ix + ( b j sin jx ( ja i b j (cos(i+jx+cos(i-jx- ia i a j (sin(i+jx-sin(i-jx Q ( ib i cos ix ( j+i,i+j> ia i b j ( cos(i+jx-cos(i-j x ib i b j + ( sin(i+jx+sin(i-j x a i(b i b j -a i a j ib j cos(i+jx+ sin(i+jx,i+j> 设 q= (a n cosnx+b n sinnx, 则 A ε q= ((εn 4 a n -n 3 b + n η n a n +γa n cosnx+ n=+1 n=+1 (εn 4 b n +n 3 a + n η n b n +γb n sinnx, 将 A ε q 及 Qpp x 代入式 (7 得 ε(+1 4 a +1 -(+1 3 b +1 + η (+1 a +1 +γa +1 + +1 a i b +1-i } =0 (10 ε(+1 4 b +1 +(+1 3 a +1 + i(b i b +1-i -a i a +1-i η (+1 b +1 +γb +1 + = 0 ε(+ 4 a + -(+ 3 b + + η (+ a + +γa + + + a i b +-i } =0 i= ε(+ 4 b + +(+ 3 a + i(b i b +-i -a i a +-i + η (+ b + +γb + + = 0 i= + = (11
第 6 期 卢殿臣等 : 低模态下弱阻尼 KdV 方程约化形式的数值分析 77 由上述方程组 (10 和方程组 (11 可解得 a +1,b +1 和 a +,b +. 类似可解得 :a +3,b +3,,a,b, 它们都是 a 1,,a 和 b 1,,b 的函数. 从而得到 q, 而且 p+q= a 0 + p t = a 0t+ (a n cosnx+b n sinnx,(p+q x = (-na n sinnx+nb n cosnx (a nt cosnx+b nt sinnx (1 A ε p=γa 0 + (εn 4 a n -n 3 b + n η n a n +γa n cosnx+ (εn 4 b n +n 3 a + n η n b n +γb n sinnx (13 ( P(p+q(p+q x = a 0 (-na n sinnx+nb n cos nx+ P [ ( a i cos ix ( -ja j sin jx + ( b i sin ix ( -ja j sin jx ] + [ ( a j cos jx ( ib i cos ix + ( b i sin ix ( jb j cos jx ] P = a ( 0 n sinnx+nb n (-na cosnx+p -ja i a { j (sin(i+jx-sin(i-jx + ja j b i (cos(i+jx-cos(i-jx ia j b i + (cos(i+jx+cos(i-jx + jb i b j (sin(i+jx+sin(i-jx ( 所以 P(p+q(p+q x = a 0 (-na n sinnx+nb n cosnx + i+j,i+j a j(b i b j -a i a j jb i cos(i+jx+ sin(i+jx+,i+j i-j, i-j a j(b i b j +a i a j jb i cos(i-jx+ sin(i-jx (14, i-j 将式 (1~(14 代入方程 (6 可得到 +1 个常微分方程组, 并由此解出 a 0,a 1,,a 及 b 0,b 1,,b, 从而得到 p= a 0 + (a n cosnx+b n sinnx. 在上式中令 ε 0, 即可得到本定理所要的结果 ( 见文献 [4]. 五模态下近似惯性流形及数值分析 下面仅讨论 f=0 时五模态下的情形. 定理 3 五模态下方程 (1~ 方程 (4 的近似惯性流形的约化常微分方程为 a 0t +γa 0 =0 a 1t +( η +γa 1 -b 1 +(a 0 b 1 +a 1 b -a b 1 -a 3 b +a b 3 -a 4 b 3 +a 3 b 4?=0 b 1t +( η +γb 1 -(a 0 a 1 +a 1 a +b 1 b +a a 3 +b b 3 +a 3 a 4 +b 3 b 4?=0 a t +(4 η +γa -8b +a 0 b +a 1 b 1 +a 1 b 3 -a 3 b 1 +a b 4 -a 4 b =0 b t +(4 η +γb +8a -a 0 a +(b 1 -a 1?-a 1 a 3 -b 1 b 3 -a a 4 -b b 4 =0
78 东南大学学报第 9 卷 其中,a 3,b 3,a 4,b 4 满足以下关系式 : [(9 η +γ +7 ]a 3 =- 3 (9 η +γ (a 1 b +a b 1 + 81 (a 1a -b 1 b [(9 η +γ +7 ]b 3 = 81 (a 1b +a b 1 + 3 (9 η +γ (a 1 a -b 1 b [(16 η +γ +64 ]a 4 =64(a -b -(16 η +γa b [(16 η +γ +64 ]b 4 =18a b +(16 η +γ(a -b 这时, 五模态下近似惯性流形 M = {(p,q p,q 为式 (15,(16 的解 }, 其中 p= a 0 (t+a 1 (tcosx+b 1 (tsinx+a (tcosx+b (tsinx q= a 3 (tcos3x+b 3 (tsin3x+a 4 (tcos4x+b 4 (tsin4x 证明在定理 中取 +1=5 及 f=0, 则 p= a 0 +a 1 cosx+b 1 sinx+a cosx+b sinx (15 q= a 3 cos3x+b 3 sin3x+a 4 cos4x+b 4 sin4x (16 相应地式 (10,(11 变为 81εa 3-7b 3 +9 η a 3 +γa 3 + 3 a 1b + 3 a b 1 =0 81εb 3 +7a 3 +9 η b 3 +γb 3-3 a 1a + 3 b 1b =0 56εa 4-64b 4 +16 η a 4 +γa 4 +a b =0 56εb 4 +64a 4 +16 η b 4 +γb 4 -a +b =0 所以 [(81ε +9 η +γ +7 ]a 3 =- 3 (81 ε +9 η +γ(a 1 b +a b 1 + 81 (a 1a -b 1 b [(81ε +9 η +γ +7 ]b 3 = 81 (a 1b +a b 1 + 3 (81 ε +9 η +γ(a 1 a -b 1 b [(56ε +16 η +γ +64 ]a 4 =64(a -b -(56ε +16 η +γa b [(56ε +16 η +γ +64 ]b 4 =18a b +(56ε +16 η +γ(a -b 而相应地式 (1~(14 变为 p t = a 0 t+a cosx+b sinx+a cosx+b sinx 1 t 1t t t A ε p=γa 0 +(εa 1 -b + 1 η a 1 +γa 1 cosx+(εb 1 +a + 1 η b 1 +γb 1 sinx+ (16εa -8b +4 η a +γa cosx+(16εb +8a +4 η b +γb sinx P(p+q(p+q x = 1 cosx(a 0b 1 +a 1 b -a b 1 -a 3 b +a b 3 -a 4 b 3 +a 3 b 4-1 sinx(a 0a 1 +a 1 a +b 1 b +a a 3 +b b 3 +a 3 a 4 +b 3 b 4 +cosx(a 0 b + a 1 b 1 +a 1 b 3 -a 3 b 1 +a b 4 -a 4 b +sinx(-a 0 a + 1 b 1-1 a 1 -a 1 a 3 - b 1 b 3 -a a 4 -b b 4 将上述结果代入方程 (6, 并且让 ε 0, 则得定理 3 的结果. 对不同的参数 η, γ:1γ =1, η =05;γ =05, η =1;3γ =00001, η =00005, 以及给定的初始条件 :a 0 (0= a 1 (0= b 1 (0= a (0= b (0=1 可以解得相应的 a 0 (t, a 1 (t,a (t,b 1 (t,b (t, 从而得到 p= a 0 (t+a 1 (tcosx+b 1 (tsinx+a (tcosx+b (tsinx 方程 (1~ 方程 (4 的长期动力学行为, 可以由五模态下的数值结果获得, 其结果 ( 见图 1
第 6 期 卢殿臣等 : 低模态下弱阻尼 KdV 方程约化形式的数值分析 79 ~ 图 3 与文献 [5] 的图 ~ 图 4 是完全类似的. 图 1 γ=1, η =0.5 图 γ=0.5, η =1 图 3 γ=0.0001, η =0.0005
80 东南大学学报第 9 卷 参考文献 1 TemamR.Infinitedimensionalsystemsinmechanicsandphysics.Berlin:Springer,1988 ConstantinP,FoiasC,icolaenkoB,etal.Integralmanifoldsandinertialmanifoldsfordisipativepartialdiferential equations.berlin:springer,1988 3 CrosMC,HohenbergPCPaternformationofequilibrumRevModPhy,1993,65:851~111 4 TianLixin,XuZhenyuanTheresearchoflongtimedynamicsbehaviorinweaklydampedKdVequationApplMath Mech,1997,10:101~108 5 ErcolaniM,McLaughinDW,RoitnerH.AtractorsandtransientsforaperturbedperiodicKdVequations:anonlin earspectralanalysisjonlinearscience,1993,(3:477~579 umericalanalysisunderlowermodel inweaklydampedforcedkdv Equation LuDianchen TianLixin (DepartmentofMathematicsandPhysics,JiangsuUniversityofScienceandTechnology,Zhenjiang1013 Abstract: Inthispapertheauthosresultouttheapproximateinertialmanifoldofinducefromforlower modelsinweaklydampedforcedkdvequationandmakenumericalanalysis.thenumericalresultsfor fivemodelsareassameasthatofnonlinearspectralanalysis. Keywords: periodicboundaryconditions;partialdiferentialequation;dynamicalsystems;soliton?ap proximateinertialmanifold