绝密 启用前 6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 一 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半 ; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题不给中间分 一 选择题 ()D ()D ()C (4)B (5)C (6)A (7)A (8)A (9)D ()B ()A ()B 二 填空题 () 4 (4) 5 (5) 4 (6) 三 解答题 (7)(Ⅰ) 解法一 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD CD 所以 coscdb BD 在 ACD 中, 因为 AD BC, CD 5, BD, 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 ), 则 BD 5 分, CD 5, AC 5, AD CD AC 5 (5 ) 由余弦定理得 cosadc ADCD 5 因为 CDB ADC, 所以 cos ADC cos CDB, 即 4 分 5 (5 ) 5 5 分 5 解得 5 所以 AD 的长为 5 6 分
解法二 : 在 ABC 中, 因为 BD AD, 设 AD 在 BCD 中, 因为 CD 所以 BC 4 5 BC, CD 5, BD,, 则 BD BC 4 5 所以 cos CBD 分 BD 在 ABC 中, 因为 AB, BC 4 5, AC 5, AB BC AC 由余弦定理得 cos CBA 4 分 ABBC 6 4 5 所以 4 5 6 4 5 5 分 解得 5 所以 AD 的长为 5 6 分 (Ⅱ) 解法一 : 由 (Ⅰ) 求得 AB 5, BC 4 5 5 8 分 BC 所以 cos CBD, 从而 sin CBD 分 BD 所以 S ABC AB BC sin CBA 75 5 5 分 4 解法二 : 由 (Ⅰ) 求得 AB 5, BC 4 5 5 8 分 因为 AC 5, 所以 ABC 为等腰三角形 BC 因为 cos CBD, 所以 CBD 分 BD 5 所以 ABC 底边 AB 上的高 h BC 所以 S ABC AB h 5 75 5 分 4 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 )
解法三 : 因为 AD 的长为 5, CD 5 所以 cos CDB= =, 解得 CDB 8 分 BD 5 所以 S ADC ADCDsin 4 5 S BCD BD CDsin 分 75 所以 S ABC S ADC S BCD 分 4 (8) 解 :(Ⅰ) 设区间 75,85 内的频率为, 则区间 55,65, 65,75 内的频率分别为 4 和 分 依题意得 4 9 4, 分 解得 5 所以区间 75,85 内的频率为 5 4 分 (Ⅱ) 从该企业生产的该种产品中随机抽取 件, 相当于进行了 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 Bn, p, 其中 n 由 (Ⅰ) 得, 区间 45,75 内的频率为 +=6, 将频率视为概率得 p 6 5 分 因为 X 的所有可能取值为,,,, 6 分 且 PX ( ) C 6 4 64, PX ( ) C 6 4 88, PX ( ) C 6 4 4, PX ( ) C 6 4 6 所以 X 的分布列为 : X P 64 88 4 6 分 所以 X 的数学期望为 EX 64 88 4 6 8 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 )
( 或直接根据二项分布的均值公式得到 EX np 6 8 ) 分 (9)(Ⅰ) 证明 : 因为 AO 平面 ABCD, BD 平面 ABCD, 所以 AO BD 分 因为 ABCD 是菱形, A D B C 所以 CO BD 分 D C 因为 AO CO O, O A B 所以 BD 平面 ACO 分 因为 BD 平面 BBD D, 所以平面 BBD D 平面 ACO 4 分 (Ⅱ) 解法一 : 因为 AO 平面 ABCD,CO BD, 以 O 为原点,OB,OC, OA 方 向为, y, z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 5 分 因为 AB AA, BAD 6, 所以 OB OD, OA OC, OA AA OA 6 分 则,, B, C,,,,, A,,, A, 所以 BB AA,,, OB OB+ BB,, 设平面 OBB 的法向量为 因为,, OB,,, 7 分 z D n, y, z, OB, A B C, 所以 y z D y C O 令 y, A B 9 分 得 n,, 同理可求得平面 OCB 的法向量为,, 分 理科数学试题答案第 4 页 ( 共 7 页 )
6 所以 cos n, 分 4 因为二面角 B OB C 的平面角为钝角, 所以二面角 B OB C 的余弦值为 4 6 分 解法二 : 由 (Ⅰ) 知平面 ACO 平面 BBD D, 连接 AC 与 BD 交于点 O, 连接 CO, OO, A D H K O B C AA 因为 CC, AA // CC, 所以 CAAC 为平行四边形 A 因为 O, O 分别是 AC, AC 的中点, D O B C OAO C 为平行四边形 且 O C OA 所以 因为平面 ACO 平面 BBD D OO, 过点 C 作 CH OO 于 H, 则 CH 平面 BB DD 过点 H 作 HK OB 于 K, 连接 CK, 则 CK OB 所以 CKH 是二面角 B OB C 的平面角的补角 6 分 在 Rt OCO 中, CH O C OC 7 分 OO 在 OCB 中, 因为 AO AB, 所以 因为 A B CD, A B // CD, OB OA A B 5 所以 B C A D AO OD 因为 B C OC OB, 所以 OCB 为直角三角形 8 分 理科数学试题答案第 5 页 ( 共 7 页 )
CB OC 6 所以 CK 9 分 OB 5 5 所以 KH CK CH 分 5 KH 6 所以 cos CKH 分 CK 4 所以二面角 B OB C 的余弦值为 4 6 分 y ()(Ⅰ) 解法一 : 设椭圆 C 的方程为 ( a b ), a b 因为椭圆的左焦点为 F,, 所以 a b 4 分 设椭圆的右焦点为 F,, 已知点 由椭圆的定义知 BF BF a, B, 在椭圆 C 上, 所以 a 4 分 所以 a, 从而 b 分 y 所以椭圆 C 的方程为 8 4 4 分 y 解法二 : 设椭圆 C 的方程为 ( a b ), a b 因为椭圆的左焦点为 F 因为点,, 所以 a b 4 分 4 B, 在椭圆 C 上, 所以 分 a b 由 解得, a, b 分 y 所以椭圆 C 的方程为 8 4 4 分 (Ⅱ) 解法一 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 E, y ( 不妨设 F, y 设点 ), 则点 理科数学试题答案第 6 页 ( 共 7 页 )
y k, 联立方程组 y 8 4 消去 y 得 8 k 所以 k, 则 y k k k 所以直线 AE 的方程为 y k 因为直线 AE, AF 分别与 y 轴交于点 M, N, 6 分 令 得 k k y, 即点 M, k k 7 分 k 同理可得点 N, k 所以 MN 8 分 k k k k k k 9 分 设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, 分 k 则以 MN 为直径的圆的方程为 y k k k, 即 y y 4 分 k 令 y, 得 4, 即 或 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 理科数学试题答案第 7 页 ( 共 7 页 ) 分 解法二 : 因为椭圆 C 的左端点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 设点 E(, y ), 则点 F(, y) y 所以直线 AE 的方程为 y 6 分
因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, 令 得 y y y, 即点 M, 7 分 y 同理可得点 N, 8 分 所以 MN y y 6y 8 因为点 E(, y ) 在椭圆 C 上, 所以 y 8 4 所以 MN 8 y 9 分 设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, y 分 则以 MN 为直径的圆的方程为 y y 6 y 即 y + y 4 分 y 令 y, 得 4, 即 或 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 理科数学试题答案第 8 页 ( 共 7 页 ) 分 解法三 : 因为椭圆 C 的左顶点为 A, 则点 A 的坐标为, 5 分 y 因为直线 y k ( k ) 与椭圆 交于两点 E, F, 8 4 设点 E cos,sin ( ), 则点 F cos, sin sin 所以直线 AE 的方程为 y 因为直线 AE 与 y 轴交于点 M, 令 得 cos 6 分 sin y cos, sin 即点 M, cos 7 分
sin 同理可得点 N, cos 8 分 所以 MN sin sin 4 cos cos 9 分 sin cos 设 MN 的中点为 P, 则点 P 的坐标为 P, sin cos 则以 MN 为直径的圆的方程为 y sin 分 4 sin, 4cos 即 y 4 sin y 分 令 y, 得 4, 即 或 故以 MN 为直径的圆经过两定点 P,, P, 分 + ()(Ⅰ) 解 : 因为 f ( ) e, + 所以 f ( ) e 分 因为曲线 y f 在点 f, 处的切线斜率为, 所以 f e, 解得 分 (Ⅱ) 证法一 : 因为 f ( ) e +, g + 所以 f g( ) 等价于 当 ln, e ln + 时, + 要证 e ln e ln e ln, 只需证明 e ln( ) 4 分 以下给出三种思路证明 e ln( ) 思路 : 设 h e ln, 则 h e 设 p e, 则 p e 理科数学试题答案第 9 页 ( 共 7 页 )
所以函数 在 +, 上单调递增 6 分 p h e 因为 h e 所以函数 因为 h, h e, h e 在 +, 上有唯一零点, 且,, 所以 e +, 即 ln 当, 时, h ; 当, 时, h 所以当 时, h 取得最小值 h 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 ) 8 分 9 分, 所以 h h = e ln 综上可知, 当 思路 : 先证明 e 时, f g( ) + 设 h e, 则 h 时, h 因为当 分 分 R 5 分 e, 当, 时, h 所以当 时, 函数 h 单调递减, 当 时, 函数 h 单调递增 所以 h h 所以 e ( 当且仅当 时取等号 ) 7 分 所以要证明 e ln( ), 只需证明 ln( ) 8 分 下面证明 ln 设 p ln, 则 p 时, p 当, 当, 时, p
所以当 时, 函数 p 单调递减, 当 时, 函数 p 单调递增 所以 p p 所以 ln ( 当且仅当 时取等号 ) 分 由于取等号的条件不同, 所以 e ln( ) 综上可知, 当 时, f g( ) ( 若考生先放缩 ln, 或 e ln 思路 : 先证明 e ln( ) t 令 t, 转化为证明 e ln t 分 t 因为曲线 y e t 与曲线 y ln t关于直线 y t对称, 设直线 线 y 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 ) 同时放缩, 请参考此思路给分!) 5 分 与曲线 y e t y ln t分别交于点 A B, 点 A B 到直 t的距离分别为 d d, 则 AB d d 其中 d e, d ln 设 h e, 则 h 因为 h e, 所以 e 所以 h 在, 上单调递增, 则 h h 所以 d e 设 p ln, 则 p 因为当 所以当 当 时, 时, 函数 时, 函数 p ; 当 时, p, p ln 单调递减 ; p ln 单调递增
所以 p p 所以 d ln 所以 AB d d 综上可知, 当 证法二 : 因为 f ( ) e 时, f g( ) 分 +, g ln, + 所以 f g( ) 等价于 + 以下给出两种思路证明 e ln 4 分 e ln + + 思路 : 设 h e ln, 则 h e + 设 p e, 则 p 所以函数 ( ) 因为, + p h e + e 在 -, + 上单调递增 6 分 e e e e e, h e e + e 所以 h h e 在 -, + 上有唯一零点 + 所以函数, 所以 e + 因为 h, 即 ln 当, 时, h ; 当, 时, h 所以当 时, h 取得最小值 h 所以 + h h, 且 e, 8 分 9 分 分 e ln 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 )
综上可知, 当 时, f g( ) 分 思路 : 先证明 e ( R ), 且 ln( ) ( ) 5 分 设 F( ) e, 则 F( ) e 因为当 时, F( ) ; 当 时, F( ), 所以 F( ) 在 (,) 上单调递减, 在 (, ) 上单调递增 所以当 时, F( ) 取得最小值 F() 所以 F( ) F(), 即 e ( R ) 7 分 所以 ln( ) ( 当且仅当 时取等号 ) 8 分 + 再证明 e ln 由 e ( R ), 得 e ( 当且仅当 时取等号 ) 9 分 因为,, 且 e 与 ln( ) 不同时取等号, + 所以 e ln e e ln e ( ) (e )( ) 综上可知, 当 时, f g( ) 分 ()(Ⅰ) 证明 : 因为 AD 是 O 的切线, 所以 DAC B ( 弦切角定理 ) 分 因为 DE CA, E A F O B 所以 DAC EDA 分 所以 EDA B 因为 AED DEB ( 公共角 ), D C 所以 AED DEB 分 理科数学试题答案第 页 ( 共 7 页 )
DE 所以 BE AE DE 即 DE AE BE 4 分 (Ⅱ) 解 : 因为 EF 是 O 的切线, EAB 是 O 的割线, 所以 EF EA EB ( 切割线定理 ) 5 分 因为 EF 4, EA, 所以 EB 8, AB EB EA 6 7 分 由 (Ⅰ) 知 DE AE BE, 所以 DE 4 8 分 因为 DE CA, 所以 BAC BED 9 分 BA AC 所以 BE ED BAED 64 所以 AC 分 BE 8 ()(Ⅰ) 解 : 由 sin,,, 可得 sin 分 因为 y, sin y, 分 所以曲线 C 的普通方程为 y y ( 或 y ) 4 分 t, (Ⅱ) 解法一 : 因为直线的参数方程为 ( t 为参数, t R ), y t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 5 5 分 因为曲线 C : y 是以 G, 设点, 为圆心, 为半径的圆, D y, 且点 D 到直线 l : y 5的距离最短, 所以曲线 C 在点 D 处的切线与直线 l : y 5平行 即直线 GD 与 l 的斜率的乘积等于 y, 因为 y, 即 7 分 理科数学试题答案第 4 页 ( 共 7 页 )
解得 或 所以点 D 的坐标为, 或, 9 分 由于点 D 到直线 y 5的距离最短, 所以点 D 的坐标为, 分 t, 解法二 : 因为直线 l 的参数方程为 (t 为参数, t R ), y t 消去 t 得直线 l 的普通方程为 y 5 5 分 因为曲线 C y 是以 G, 为圆心, 为半径的圆,, 因为点 D 在曲线 C 上, 所以可设点 D cos, sin 7 分 所以点 D 到直线 l 的距离为 d cossin 4 因为, 此时 D sin 8 分, 所以当 时, d in 9 分 6,, 所以点 D 的坐标为 理科数学试题答案第 5 页 ( 共 7 页 ), 分 (4)(Ⅰ) 解 : 当 a 时, f 等价于 分 当 时, 不等式化为, 无解 ; 当 时, 不等式化为, 解得 ; 4 当 时, 不等式化为, 解得 分 综上所述, 不等式 f 的解集为, 4 4 分
(Ⅱ) 因为不等式 以下给出两种思路求 f b 的解集为空集, 所以 b f a f 的最大值 思路 : 因为 f a a a 当 a 时, f a a 当 a a < 5 分, a a 时, f a a a a - a + a - - a = a + - a 当 a 时, f a a a a a 所以 f a a 7 分 思路 : 因为 f a a a a a a a a, 当且仅当 a 时取等号 a 所以 f a a 7 分 因为对任意 a,, 不等式 所以 b a a a f b 的解集为空集, 以下给出三种思路求 g a a a 的最大值 思路 : 令 g a a a, 8 分 所以 g a a a a a 当且仅当 a a, 即 a 时等号成立 所以 g a a 理科数学试题答案第 6 页 ( 共 7 页 )
所以 b 的取值范围为 思路 : 令 g a a a, +, 分 因为 a, 所以可设 a cos, 则 ga a a cos sin sin, 4 当且仅当 时等号成立 4 所以 b 的取值范围为 +, 分 思路 : 令 g a a a, ìï 因为 a ï = a,, 设 í 则 ï ïî y= - a, 问题转化为在 求 z = + y 的最大值 + y = (, y ) + y = (, y ) 的条件下, 利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为, 此时 = y= 所以 b 的取值范围为 +, 分 y O 理科数学试题答案第 7 页 ( 共 7 页 )