7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? )

8 数二真题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分. 下面每题给出的四个选项中, 只有一个选项 是符合题目要求的.. 若 lim( e a b), 则 A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b.. 下列函数中, 在 处不可导的是 A. f ( ) sin. B. f ( ) sin. C. f ( ) cos. D. f ( ) cos. a,,,,. 设函数 f ( ) g( ),, 若 f ( ) g( ) 在 R 上连线, 则,, b,. A. a, b. B. a, b. C. a, b. D. a, b. 4. 设函数 f( ) 在 [,] 上二阶可导, 且 f ( ) d, A. 当 f( ) 时, f ( ). B. 当 f( ) 时, f ( ). C. 当 f( ) 时, f ( ). D. 当 f( ) 时, f ( ). ( ) 5. 设 M d, N d, K ( cos ) d, e 则,, 为 A. M N K. B. M K N. C. K M N. D. K N M. 6. d (- y ) dy d (- y ) dy 则 M N K 的大小关系 A. 5. C. 7. B. 5. 6 D. 7. 6

7. 下列矩阵中, 与矩阵 相似的为. A.. C.. B.. D. 8. 设 AB, 为 n 阶矩阵, 记 rx ( ) 为矩阵 X 的秩,( XY?) 表示分块矩阵, 则 A. r( A? AB) r( A). B. r( A? BA) r( A). C. r A B r A r B (? ) ma ( ), ( ). D. (? ) ( T T r A B r A? B ). 二 填空题 :9~4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分. 9. lim [arctan( ) arctan ] =.. 曲线 y ln 在其拐点处的切线方程是.. 5 4 d. cos t. 曲线 在 t 对应点的曲率为. y sin t 4 z z. 设函数 z z(, y) 由方程 ln z e y 确定, 则 (, ). 4. 设 A 为 阶矩阵, a, a, a 为线性无关的向量组, 若 Aa a a a, Aa a a, Aa a a, 则 A 的实特征值为. 三 解答题 :5~ 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 5.( 本题满分 分 ) 求不定积分 e arctan e d 7.( 本题满分 分 )

设平面区域 D 由曲线 d y ddy. t sin t, ( t ) 与 轴围成, 计算二重积分 y cos t, 8.( 本题满分 分 ) 已知常数 k ln. 证明 :( )( ln k ln ). 9.( 本题满分 分 ) 将长为 m 的铁丝分成三段, 依次围成圆 正方形与正三角形, 三个图形的面积之和是否存 在最小值? 若存在, 求出最小值.( 本题满分 分 ) 4 已知曲线 L : y ( ), 点 O (,), 点 A (,). 设 P 是 L 上的动点,S 是直线 OA 与直 9 线 AP 及曲线 L 所围图形的面积. 若 P 运动到点 (.4) 时沿 轴正向的速度是 4, 求此时 S 关 于时间 t 的变化率..( 本题满分 分 ) n n 设数列 n 满足 :, ne e ( n,, )..( 本题满分 分 ) 证明 收敛, 并求 lim. n n 设实二次型 f (,, ) ( ) ( ) ( a ), 其中 a 是参数. () 求 f (,, ) 的解 ; () 求 f (,, ) 的规范形..( 本题满分 分 ) 已知 a 是常数, 且矩阵 A 7 () 求 a ; () 求满足 AP B 的可逆矩阵 P. a a a 可经初等列变换化为矩阵 B. a n 8 考研数学二答案解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 () 答案 选 B. 凯程名师解答 lim( e a b), 左边 = e, e, e a b lim ln( e a b) lim ( a) ( ) o( ) e a b lim, 上式 lim,

b a, 选 B. a b () 答案 选 D. cos 凯程名师解答 对于 D: 由定义得 f () lim lim ; cos f () lim lim, f () f (), 所以不可导. () 答案 选 D. 凯程名师解答 分段点为,, 当 时, f ( ) g( ) a a, 当 时, f( ) g( ) 当, 时, f( ) g( ) b综上知, : a,, f ( ) g( ),, b,. lim ( f ( ) g ( )) a, lim ( f ( ) g ( )), a. lim( f ( ) g ( )), lim( f ( ) g ( )) b, b. 选 D. (4) 答案 选 D 凯程名师解答 对于选项 A: 取 f ( ), f ( ), 但是 f ( ), 对于选项 B: 取 f ( ) ( ), f ( ), 但是 f ( ), 对于选项 C: 取 f ( ), f ( ), 但是 f ( ), 选 D. (5) 答案 选 C. 凯程名师解答 M d d ; N d d d d, e e e e d, d d d d ; e e e e d d, N d M. e

K d K M N ( cos ),. 选 C. (6) 答案 C d (- y ) dy d (- y ) dy D 关于 y 轴对称 原式 ( y) ddy ddy ddy D D D 7 (7) 答案 选 A. d dy ( ) d ( ), 选 C 凯程名师解答 A ~ B, E A ~ E Br( E A) r( E B) 各选项中 : B : r( E B) ; C : r( E B) ; D: r( E B) 选 A. (8) 答案 A 凯程名师解答 设 AB C, 则矩阵 A 的列向量组可以表示 C 的列向量组, 所以 ( A? AB) ( A? O), 即 r( A? AB) r( A? O) r( A), 故答案选 A. 二 填空题 :9~4 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 (9) lim [arctan( ) arctan ] =. 解 : 由拉格朗日中值定理得 : arctan( ) arctan, (, ). 且当 时. 原式 = lim. () 曲线 y ln 在其拐点处的切线方程是. 解 : 定义域 (, ) y, y. y. 令 拐点为 (,). 斜率 k y() 4. 切线方程为 y4.

() 5 4 d. 解 : d d 5 4 5 ( )( ) 5 d ln ln 5 cos t () 曲线 在 t 对应点的曲率为. y sin t 4 dy d / dt dy dy / dt d y d sec t 解 : tan t, d d / dt d d / dt cos t sin t dy d t 4 d y 8,. d t 4 K y ( y ). z z () 设函数 z z(, y) 由方程 ln z e y 确定, 则 z 解 : ln z e y, y 时, z. 方程两边对 求偏导得 : z z z e y. z z 将, y, z 代入得 (, ). 4 (, ). (4) 设 A 为 阶矩阵, a, a, a 为线性无关的向量组, 若 Aa a a a, Aa a a, Aa a a, 则 A 的实特征值为. 解 : 由题可得 A( a, a, a) ( a, a, a).

( a, a, a ) 可逆. A B. AB, 的特征值相等. E B A的实特征值为. 三 解答题 :5~ 小题, 共 94 分. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤, 请将答案 写在答题纸指定位置上. (5) e arctan e d arctan e de arctan e e e e d ( e ) e 4 e e arctan e d e e arctan e 4 de e e arctan e e d( e ) 4 e e arctan e ( e ) e C 4 e arctan (6)( ) tf ( t ) 令 u t 则 t u, dt du e ( e ) e C. 6 e tf ( t) dt ( u) f ( u) ( du) ( u) f ( u) du uf ( u) du 原方程可化为 : f ( t) dt f ( u) du uf ( u) du a

两边对 求导得 f ( ) f ( u) du f ( ) f ( ) a f ( ) f ( u) du a f (). 设 F( ) f ( u) du 则 F( ) f ( ) F( ) F( ) a d d F( ) e [ C e ad] e [ C ae d] e [ C a( ) e ] 将 F() 代入得 : C a F( ) ae a( ) f ( ) ae a () f ( ) d ( ) ( ) ae a d ae a a e a ae e a (7) 原式 y( ) d ( y) ( y y ) d y( ) [( ( ) ( )] y y d 换元 t sin ty( ) cost 原式 = [( t sin t)( cos t) ( cos t) ] d( t sin t) [( sin )( cos ) ( cos ) ] t t t t dt [ ( cos ) sin ( cos ) ( cos ) ] t t t t t dt ( t tcos t tcos t) dt ( cos t) ( cos t cos t cos t) dt

t t sin t t t t t t t t 4 4 4 ( sin cos ) [ sin cos ] sin ( ) (sin t sin t) 5 (8) 讨论 :(Ⅰ) 时, 不等式成立 (Ⅱ) 时只需证 ln k ln 设 f k ( ) ln ln ln k f( ) 设 g( ) ln k, (,) g( ), 故 g ( ) 单调递减, 则 g( ) g() k (ln ) ln 则 f ( ), f ( ) 单调递增, 故 f ( ) f (), 结论成立 (Ⅲ) 只需证 ln k ln 设 f k ( ) ln ln ln k f ( ),( ) 设 g( ) ln k,( ), g( ), g( ) 递减 g( ),, g( ), g( ) 递增 故 g( ) g() k ln (ln ) ln 故 f ( ), f ( ) 单调增加, f ( ) f (), 结论成立 综上, 不等式成立 (9) 设 y z r, r, S r 4

y y 4 a y, a, S a 4 6 z z z z b z, b, S sin 6 y z 令 L(, y, z, ) ( y z ) 4 6 6 L L y y 6 4 y, 即 y 8,, L z z z 6 z L y z 4 ( ) 4 则 ( ), 4 故 y 4 ( ) z 4 ( ) 那么此时的 (, y, z, ) 就是使 S 最小的点 y z S 最小值为 S 4 6 6 4 y 9y 9y () S dy ( y ) 4 4

( y ) 4 S 9 d 4 ( ) 9 4 S( ) 9 d ds( ) d 4 d 4 d (,4) ( ) d dt 9 dt 9 dt 4 4 (4 9 4) 4 9 9 9 = () 证明 : 设 f ( ) e, >, 则有 f ( ) e >, 因此 f( ) >, e, 从而 e e, ; 猜想 n, 现用数学归纳法证明 : n 时,, 成立 ; k e k 假设 n k( k,, ) 时, 有 k, 则 nk 时有 e, 所以 k ; 因此 n, 有下界. k e e ln ln ln ; n n n 又 n n e n n ne 设 g( ) e e, 时, g( ) e e e e, 所以 g ( ) 单调递减, g( ) g(), 即有 e e, n e 因此 n n ln ln, n 单调递减. n e 由单调有界准则可知 lim n 存在. n n 设 lim n n A A A, 则有 Ae e ;

因为 g( ) e e 只有唯一的零点, 所以 A., () 解 :(Ⅰ) 由 f (,, ) 得, a,????? r 系数矩阵 A??????,?? a?? a a 时, ra ( ), 方程组有唯一解 : ; a 时, ra ( ), 方程组有无穷解 : (Ⅱ) a k, k R. ; y, 时, 令 y, 这是一个可逆变换, y a, 因此其规范形为 y y y a 时, ; f (,, ) ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ). 此时规范形为 y y. () 解 :(Ⅰ) A 与 B 等价, 则 r( A) r( B). 又 A?? a?? a r r????,? 7? a? 9?? a? a r r?????? a, 所以 B???? a? a. (Ⅱ) AP B, 即解矩阵方程 AX B :

6 4 4 r ( AB, ) 7 6k 6k 4 6k 4 得 P k k k ; k k k 又 P 可逆, 所以 P, 即 k k. 最终 6k 6k 4 6k 4 P k k k, k k k 其中 k, k, k 为任意常数, 且 k k.