如图, 的顶点 在矩形 的边 上, 点 与点, 不重合, 若 的面积为 3, 则图中阴影部分两个三角形的面积和为. 7. 下列说法中, 正确的个数是 ( ) ⑴ 只用一种图形能够密铺的有三角形 四边形 正六边形 ⑵ 菱形的对角线互相垂直平分 ⑶ 矩形有而平行

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1 各章节核心题系列 四边形综合 3 题 第一部分 : 题型框架 ( 涵盖 5 大题型 ) 一 性质综合二 判定及综合三 中位线四 中点四边形五 剪拼 第二部分 : 经典例题 ( 韩春成长期班学员内部资料 (9)) 一 性质综合. 正方形 矩形 菱形都具有的特征是 ( ). 对角线互相平分. 对角线相等. 对角线互相垂直. 对角线平分一组对角. 给出下面四个命题 : 对角线相等的四边形是矩形 ; 对角线互相垂直的四边形是菱形 ; 3 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 ;4 菱形的对角线的平方和等于边长平方的 4 倍. 其中所有正确的命题有 ( 填入正确命题的序号 ) 3. 如图, 已知四边形 是平行四边形, 下列结论中不正确的是 ( ). 当 时, 它是菱形. 当 时, 它是正方形. 当 90 时, 它是矩形. 当 时, 它是菱形 4. 如图, 菱形 中, 60, 4, 则以 为边长的正方形 的周长为 ( ) 如图, 在矩形 中,, 点 M N 分别在边 上, 连接 M N. 若 M 四边形 MN 是菱形, 则 M 等于 ( )

2 如图, 的顶点 在矩形 的边 上, 点 与点, 不重合, 若 的面积为 3, 则图中阴影部分两个三角形的面积和为. 7. 下列说法中, 正确的个数是 ( ) ⑴ 只用一种图形能够密铺的有三角形 四边形 正六边形 ⑵ 菱形的对角线互相垂直平分 ⑶ 矩形有而平行四边形没有的性质是对角线相等 ⑷ 平移和旋转都不改变图形的大小和形状, 只是位置发生了变化 ⑸ 一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形. 个.3 个.4 个.5 个 8. 如图, 已知平行四边形 中, 45, 于, 于, 相交于 H, 的延长线相交于, 下面结论 : H ; H ;3 H H ;4 ; 其中正确的结论有 ( 填序号 ). H 9. 如图, 在正方形 中, P 是对角线 上的一点, 点 在 的延长线上, 且 P P. ⑴ 求证 : P P ; ⑵ 求证 : P ; ⑶ 把正方形 改为菱形, 其它条件不变 ( 如图 ), 若 58, 则 P 度. P P 图 图

3 0. 在矩形 中, 将点 翻折到对角线 上的点 M 处, 折痕 交 于点. 将点 翻折到对角线 上的点 N 处, 折痕 交 于点. () 求证 : 四边形 为平行四边形 ; () 若四边形 为菱形, 且, 求 的长. M N. 二 判定及综合. 下列说法中, 错误的是 ( ). 邻边相等菱形是正方形. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 四个角都相等的四边形是矩形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 如图, 过矩形 的四个顶点作对角线 的平行线, 分别相交于 H 四点, 则四边形 H 为 ( ) H. 平行四边形. 矩形. 菱形. 正方形 3. 如图, 在平行四边形 中, 为 边上的一点, 连结 且. () 求证 : ; () 若, 求证 : 四边形 是菱形.

4 4. 如图, 在矩形 中, 分别是边 的中点, 连接,. ⑴ 求证 : ; ⑵ 求证 : 四边形 是平行四边形. 5. 在平行四边形 中, 点 分别在 上, 且 =. () 求证 : ; () 若, 求证 : 四边形 为菱形. 6. 直角梯形 中,,, 60,, 分别为 的中点, 联结 () 证明四边形 为平行四边形 () 若, 求 的长. (3) 求证 : 7. 中 ( 大庆地区 03 年中考数学模拟试题 ) 已知 是等边三角形, 点 分别在边 上, 且, 过点 作平行于 的直线与 的延长线交于点, 连结. () 求证 : ; () 若 是 的中点, 判断 的形状, 并说明理由.

5 8. 已知矩形纸片 中,,, 将该纸片叠成一个平面图形, 折痕 不经过 点 ( 是该矩形边界上的点 ), 折叠后点 落在 处, 给出以下判断 : ⑴ 当四边形 为正方形时, ; ⑵ 当 时, 四边形 为正方形 ; ⑶ 当 5 时, 四边形 为等腰梯形 ; ⑷ 当四边形 为等腰梯形时, 5. 其中正确的是 ( 把所有正确结论序号都填在横线上 ). 9. 如图所示, 在 Rt 中, 90 将 Rt 绕点 顺时针方向旋转 60 得到, 点 在 上, 再将 Rt 沿着 所在直线翻转 80 得到 连接 ⑴ 求证 : 四边形 是菱形 ; ⑵ 连接 并延长交 于, 连接, 请问 : 四边形 是什么特殊平行四边形? 为什么? 0. 如图, 在直角梯形 中,,, 点 关于对角线 的对称点 刚好落在腰 上, 连接 交 于点, 的延长线与 的延长线交于点, M, N 分别是, 的中点. ⑴ 求证 : 四边形 MN 是矩形 ; 5 S 梯形 ⑵ 若,, 求矩形 MN 的长和宽. N M

6 . 已知 : 在矩形 中, 0,, 四边形 H 的三个顶点,, H 分别在矩形 边,, 上,. ⑴ 如图, 当四边形 H 为正方形时, 求 的面积 ; ⑵ 如图, 当四边形 H 为菱形, 且 a 时, 求 的面积 ( 用含 的代数式表示 ); ⑶ 在 ⑵ 的条件下, 的面积能否等于? 请说明理由.. 已知 : 如图, 在 中,,, 垂足为点, N 是 M 的平分线, N, 垂足为点. ⑴ 求证 : 四边形 为矩形 ; ⑵ 当 满足什么条件时, 四边形 是一个正方形? 并给出证明. M N

7 3. 已知 : 如图, 在平行四边形 中,, 分别为边, 的中点, 是对角线, 交 的延长线于. 若四边形 是菱形, 则四边形 是什么特殊四边形? 并证明你的结论. 4. 如图 ⑴, Rt 中, 90, 中线 相交于点 O, 点 分别是 O O 的中点. ⑴ 求证 : 四边形 是平行四边形 ; ⑵ 如果把 Rt 变为任意, 如图 ⑵, 通过你的观察, 第 ⑴ 问的结论是否仍然成立?( 不用证明 ); ⑶ 在图 ⑵ 中, 试想 : 如果拖动点, 通过你的观察和探究, 在什么条件下? 四边形 是矩形, 并给出证明 ; ⑷ 在第 ⑶ 问中, 试想 : 如果拖动点, 是否存在四边形 是正方形或菱形? 如果存在, 画出相应的图形 ( 不用证明 ). O 图 O 图 三 中位线 5. 易 ( 无锡市中考 ) 如图, 在 Rt 中, 90, 分别是 的中点, 若 5cm, 则 cm.

8 6. 中 ( 福建龙岩中考 ) 如图, 在 中, 点 分别是 的中点, 若 的周长为 cm, 则 的周长是 cm. 四 中点四边形 7. 下列说法正确的是 ( ) 顺次连接梯形各边中点, 所得的四边形是平行四边形 顺次连接平行四边形各边中点, 所得的四边形是矩形 3 顺次连接对角线相等的四边形各边中点, 所得的四边形是菱形 4 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点, 所得的四边形是矩形 如图, 在四边形 中, 为 上一点, 和 都是等边三角形, 的中点分别为 P Q M N, 试判断四边形 PQMN 为怎样的四边形, 并证明你的结论. N M Q P 五 剪拼 9. 将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开, 得到四张小纸片, 如图 3 所示. 用这四张小纸片一定可拼成一个 ( ). 梯形. 矩形. 菱形. 平行四边形

9 30. 如图, 若将 O 绕点 O 逆时针旋转 80 得到 O, 则 O O. 此时, 我们称 O 与 O 为 8 字全等型. 借助 8 字全等型 我们可以解决一些图形的分割与拼接问题. 例如 : 图 中, 是锐角三角形且, 点 为 中点, 为 上一点且 ( 不与. 重合 ), 沿 将其剪开, 得到的两块图形恰能拼成一个梯形. O 图 图 请分别按下列要求用直线将图 中的 重新进行分割, 画出分割线及拼接后的图形. ⑴ 在图 3 中将 沿分割线剪开, 使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形 ; ⑵ 在图 4 中将 沿分割线剪开, 使得到的三块图形恰能拼成一个矩形, 且其中的两块为直角三角形 ; ⑶ 在图 5 中将 沿分割线剪开, 使得到的三块图形恰能拼成一个矩形, 且其中的一块为锐角三角形. 图 3 图 4 图 5 3. 阅读下列材料 : 将图 的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形, 如图, 再将图 中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.( 要求 : 无缝隙且不重叠 ) 请你参考以上做法解决以下问题 : ⑴ 将图 4 的平行四边形分割成面积相等的八个三角形 ; ⑵ 将图 5 的平行四边形用不同于 ⑴ 的分割方案, 分割成面积相等的八个三角形, 再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形, 类比图, 图 3, 用数字 至 8 标明 图 图 图 3 图 4 图 5

10 参考答案 ( 韩老师提醒你先充分思考再看答案 ) ( 由于录排人员非教师, 如出现错误, 还望积极与韩老师反馈 ) 性质综合. 答案. 孩子没有想到老师会在这里跟你们说话吧! 菱形 矩形 正方形的定义相同 点 不同点必须熟记哦! 马上弄清楚了. 答案 答案 4. 答案 5. 答案 6. 答案 3 7. 答案 ⑴⑵⑷ 8. 答案 答案 ⑴ 证明 : 在正方形 中, P, P P 45. P P, P P. ⑵ 证明 : 由 ⑴ 知 P P, P P. P P, P. P. 又, 80 P 80. 则 P.,. P. ⑶58 0. 答案 () 在矩形 中,,, 所以. M N 由题意可知,, 所以. 所以. 所以四边形 为平行四边形. () 因为四边形 为菱形, 所以. 由题意得 M, N. 所以 M N 两点重合. 故 M 4. 在 Rt 中, 4 3. 判定及综合. 答案. 答案

11 3. 答案 证明:() 在平行四边形 中,,,,, ; (),,,,,,, 又 四边形 是平行四边形, 四边形 是菱形. 4. 答案 ⑴ 四边形 是矩形,, 90 又, 分别是 的中点,, 在 和 中 ⑵ 四边形 是矩形, 四边形 是平行四边形 5. 答案 () 证明 : 四边形 是平行四边形,, 又 () 证明 : 四边形 是平行四边形 四边形 是平行四边形 四边形 是菱形

12 6. 答案 () 略 () 3 (3) SSS 7. 答案 ⑴ 证明 : 是等边三角形,, 60.,, 60, 60. 是等边三角形.. 在 和 中,, 60,,. ⑵ 是直角三角形, 90. 理由 : 连接.,, 四边形 是平行四边形.. 8. 答案 34 是 中点,.., 四边形 是平行四边形., 是 中点,. 四边形 是矩形. 是直角三角形, 90. () () ' 图 () ' 图 在矩形纸片 中,,,. 如图. 四边形 ' 为正方形, 说明 ' 刚好是矩形 的中位线, ', 即点 和点 重合, 即正方形 ' 的对角 线.. 故 正确 ;. 如图, 由 知四边形 为正方形时,, 此时点 与点 重合. 可以沿着 边平移, 当点 与点 不重合时, 四边形 就不是正方形. 故 错误 ; 3 如图, = 5 5,,,

13 与对角线 重合. 易证四边形 ' 是等腰梯形. 故 3 正确 ; 4 四边形 ' 为等腰梯形, 只能是 ', 与 重合, 所以 5. 故 4 正确. 综上所述, 正确的是 34. 故填 : 答案 ⑴ 证明 : Rt 是由 Rt 绕 点旋转 60 得到,, 60, 是等边三角形, 又 Rt 是由 Rt 沿 所在直线翻转 80 得到, 90, 是平角 点 三点共线, 是等边三角形, 四边形 是菱形. ⑵ 四边形 是矩形. 证明 : 由 ⑴ 可知 : 是等边三角形, 于,,,, 四边形 是平行四边形, 而 90, 四边形 是矩形. 0. 答案 () 证明 : 点 关于 对称,,, 又, 是等腰直角三角形, 45,, 45, 是等腰直角三角形, M, N 分别是, 的中点, M, N, 又,,, 四边形 MN 是矩形 ; () 解 : 由 () 可知, 45,, 是等腰直角三角形,, 5 S ( ) ( ), 梯形 即 5 0, 解得 3, 5( 舍去 ), 是等腰直角三角形,, N 是 的中点, N N,

14 N N 3, 矩形 MN 的长和宽分别为,.. 答案 ⑴ 如图, 过点 作 M 于 M. 在正方形 H 中, H 90, H, H 90, H H 90, H, 又 90, H, 同理可证 : M, M, 0, 则 S 0 H 图 M ⑵ 如图, 过点 作 M 于 M. 连接 H., H MH, H, H H, H M. 又 M 90, H, H M. M. M -a -a S ⑶ 的面积不能等于. 若 S, 则 a a 0 此时, 在 0-0 = 64 中, 在 H 中, H H - - = 64- = 60> H 即点 H 已经不在边 上故不可能有 S. 答案 证明:⑴, N 为 外角 M 的平分线 M

15 90 又, N 90 四边形 为矩形 ⑵ 当 时, 为正方形此时 45, 所以当 正方形 3. 答案 矩形, 理由如下 : 四边形 是平行四边形,, 即, 又, 四边形 是平行四边形, 四边形 是菱形,, 又因为 是 中点,, 是直角三角形, 90, 平行四边形 是矩形. 4. 答案 ⑴ 是中线, 是两边的中点. 且. 又 点 分别是 O O 的中点, 且. 且. 是等腰直角三角形时, 四边形 是 四边形 是平行四边形. ⑵ 成立. ⑶ 如图 3, 当 时, 四边形 是矩形. 作 H,, H 是 边的中线. 又 是中线, H 必过点 O. O, 即 H, 又, H. 90. 又 四边形 是平行四边形, 四边形 是矩形. ⑷ 拖动点, 存在四边形 是正方形或菱形, 如图所示.

16 O H O O 中位线 5. 答案 5 6. 答案 6 六 中点四边形 7. 答案 8. 答案 证明: 如图, 连结. PQ 为 的中位线, PQ. MN 同理. MN PQ, 四边形 PQMN 为平行四边形. 在 和 中,,, 60 =, 即... PQ PN 平行四边形 PQMN 为菱形. 剪拼 9. 答案 30.

17 答案 ⑴ 3 ⑵ 3 ⑶ 答案 解 : 如图所示 : ⑴ 图 4 分割正确. ⑵ 图 5 分割正确, 图 5 拼接正确 图 图 图 图 4 图 5