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稳郁
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1 資料的描述 Statistics, Summer 2010, C. J. Chang

2 集中程度的測量當我們將資料收集起來後, 我們會先整理資料, 之後利用一些指標來描述資料, 這些指標主要用於呈現資料的集中性與變異性集中性的指標是指一個代表整體數據的數值, 常見的指標包含了下列五種形式算術平均數加權平均數中位數眾數幾何平均數 2

3 算術平均數算數平均數 (mean) 是計算平均數最常見的型式, 它就是將組中的所有數值總和除以組內的資料個數希臘字母 sigma, 表示連加的意思 x 唸做 x bar, 用來表示平均數 n x x 表示組中每一個數值 n 表示組中數值的個數 3

4 算術平均數的計算步驟列出準備計算的所有數值資料計算所有數值的總和計算所有資料的個數將總和與個數相除即為算術平均數 4

5 算術平均數 (Ex.) 已知微積分課程中, 某些學生的成績為與 84, 試求樣本平均數

6 算術平均數 (Ex.) 已知八家便利商店 2 月和 3 月的營業額 ( 萬元 ) 如下表 1. 試求這八家便利商店在 2 月與 3 月的平均營業額分別為多少? 2. 那一個月份的營業額較好? 2 月月月的平均營業額 : 月的平均營業額 : 月份的營業額比較好 6

7 算術平均數 (Ex.) 假設資管系有 A B 兩班,A 班統計學期中考的平均分數是 72 分,B 班的平均則為 68 分, 已知 A 班學生人數 38 人,B 班 35 人試求資管系同學統計學期中考的平均分數為何? ( 分 ) 已知兩組資料, 其算術平均分別為 X與 Y, 資料個數為 nx與 ny, 則兩者加總後的算術平均數為 nx X ny Y n n X Y 7

8 算術平均數的性質數值資料才有算數平均數組內所有資料都要用於平均數的計算一組資料只有一個算術平均數個別資料與平均數之間差異的總和一定為零平均數就像翹翹板的支點, 也就是平均數左邊的所有數值與平均數的差會等於右邊邊的所有數值與平均數的差算數平均數對於極端值非常敏感, 極值的出現會讓平均數往某一個方向傾斜 8

9 樣本與母體統計量的區別樣本統計量一般會使用羅馬字母 ( 英文 ) 表示, 而母體參數則使用希臘字母 ; 樣本在計算資料個數時, 會使用 n, 而母體則使用 N 參數是指母體的特徵值, 而統計量則為樣本的特徵值 Ex. x n x N x 9

10 加權平均數加權平均數是算術平均數的一個特例 1. 同樣數值不止出現一次 ;2. 個別數值重要性不相等 ;3. 資料已經過分組處理在這些情況下, 我們都會計算加權平均數它的計算方式就是將每一個數字乘以它的次數 ( 權重 ) 後, 將所有乘積相加, 再除以次數的總和 x w wx 1 1 wx wx 2 2 wx 3 3 i w w w w 1 2 n i i 10

11 加權平均數的計算步驟列出準備計算的所有數值資料列出每一個數值出現的次數每一個數值乘以它的次數計算重積的總和計算次數的總和將乘積總和與個次數總和除即為加權平均數 11

12 加權平均數 (Ex.) 已知某公司員工的時薪資狀況為 : 有 8 人每小時 80 元 10 人每小時為 85 元有 7 人每小時為 95 元, 試問員工的平均薪資是多少薪資人數薪資人數總計加權平均數

13 加權平均數 (Ex.) 某學生上學期的修課成績如右表所示, 請計算其學期平均分數? 科目學分數成績國文 3 80 英文 2 68 微積分 3 62 計算機概論 3 88 經濟學 3 70 會計學 3 75 管理學 3 90 藝術與人生 ( 分 ) 13

14 中位數中位數 (median) 是一系列數據的中點, 所有數據中的一半數量會位在這個數據點之上, 另外一半數據則位於這個數據點之下並沒有任何的標準公式可以直接計算中位數 14

15 中位數的計算步驟將所有數值依大小順序排列好找出位於中間的數值, 即為中位數若數值的個數 N 為奇數, 則中間的那一個數值即為中位數, 即第 (N+1)/2 個數值 ; 若個數為偶數, 則中間那兩個數值的平均值為中位數, 即第 N/2 個數值與第 (N/2+1) 數值的平均 15

16 中位數 (Ex.) 已知微積分課程中, 某些學生的成績為與 84, 試求其中位數依大小排序中間的數值即為中位數 16

17 中位數 (Ex.) 請計算下列數據的中位數先按大小順序排列 : 取中間兩個數值求平均 :(4 5)

18 中位數的性質中位數可以用來計算比例尺度區間尺度與順序尺度中位數不受極值影響在特定領域中, 會選擇中位數做為集中性指標, 而不採用平均值, 因為極值的存在會明顯扭曲數據的中心點,Ex. 個人的平均收入 18

19 中位數的推廣 - 四分位數十分位數百分位數與中位數概念類似, 四分位數將資料分成四等份, 第一個四分位數為 Q 1, 表示有 25% 的資料比它小 ; 第三個四分位數為 Q 3, 表示有 75% 的資料比它小 ; 而 Q 2 則為中位數十分位數則是將資料分成十等分 (D 1,D 2,,D 9 ), 而百分位數則是分為一百等分 (P 1,P 2,,P 99 ), 我們用 P 表示 ; 其主要概念都是相似的我們可以利用下列公式找出資料的位置第 p 個百分位數的位置 L p n 100 n 為資料的總個數 p 19

20 四分位數十分位數與百分位數的計算步驟將所有數值依大小順序排列好將待求的分位數轉為百分位數的型態 (Ex. Q 1 P 25 Q 3 P 75 D 1 P 10 D 9 P 90 ) 計算 L p 的值, 找出其所在的位置若 L p 不為整數, 則第 (L p +1) 個數值為我們要找的分位數若 L p 為整數, 則我們取第 L p 個數值與第 (L p +1) 個數值兩者的平均做為我們欲詢找的分位數除了中位數外, 其餘分位數的求解法, 目前並沒有統一的公式 ( 至少有三種以上 ), 但其概念類似且所計算的值亦相當接近, 並不影響我們做後續應用 20

21 四分位數 (Ex.) 以下是 12 位參加甄試同學的口試分數, 試求三個四分位數按大小排列 : Q1 L Q1 (65 75) Q2 L Q2 (78 80) Q3 L Q3 (85 86)

22 四分位數十分位數與百分位數 (Ex.) Q1 L Q Q3 L Q D2 L D2 (27 31) D8 L D2 (51 53) P67 L P

23 眾數眾數 (mode) 是數據集合中出現次數最多的數值沒有任何計算眾數的公式常見的錯誤誤把出現次數視為眾數, 而不是分類選項的標籤眾數為黑色, 而不是 45 頭髮的顏色次數紅色 7 金色 12 黑色 45 棕色 40 23

24 眾數的計算步驟列出整個數據分佈中的所有數值, 但每個數值只列出一次計算每個數值出現的次數找出出現次數最多的數值, 那即為眾數 24

25 眾數 (Ex.) 以下是調查某小學學生到校方式的統計表, 請問眾數為何? 方式搭大眾運輸步行到校家人接送騎腳踏車人數因為家人接送人數最多, 所以眾數是家人接送 25

26 眾數 (Ex.) 某俱樂部的會員年齡資料為 : , 試求眾數年齡人數

27 眾數的性質在所有尺度的資料中, 我們都可以找出眾數眾數同樣不受極大值與極小值影響如果每一個數值的出現次數都相同, 那麼就沒有眾數如果不止一個數值的出現頻率相同, 那麼數據會呈現多峰分佈頭髮的顏色次數紅色 7 金色 12 黑色 45 棕色 45 同時有兩個眾數稱做雙峰分佈 27

28 集中性指標的使用時機我們最常使用的集中性指標為算術平均數中位數眾數算術平均數比中位數有更精確的測量, 中位數則比眾數更精確選用集中性指標的參考原則如果數據是類別資料就使用眾數如果數據中包含極值, 而我們不想扭曲平均數, 則選用中位數如果數據不包含極值也不是類別資料, 就使用平均數 28

29 其它的平均數指標幾何平均數調合平均數 GM n x1 x 2 x n HM x1 x2 x n n 1 29

30 離散程度的重要性集中性指標只描述了資料集中的位置, 它沒有告訴我們資料離散的程度, 因此無法完整地描述資料的特徵, 所以我們還需要離散程度的測量以瞭解資料的離散程度這三組數據平均數皆為 4, 但其離散程度卻是完全不同的狀況 30

31 離散程度的測量離散程度就是不同數值之間差異性的測量更貼切的說法是數值與特定值的差異程度, 這個特定值一般就是指平均數因此, 離散程度是測量數據組中每一個數值與平均數差異程度的一個量數集中程度指標與離散程度指標可共同用來描述數據分佈的特徵, 並說明數據之間的差異常見測量離散程度的方法有全距平均差標準差與變異數 31

32 全距全距 (range) 是最簡單的離散程度測量法, 它是一組資料中最大值與最小值之間的差異, 我們一般可用大寫英文字母 R 表示全距 R 最大值最小值以數據 98, 86, 77, 56, 48 為例全距 R

33 全距的延伸 - 四分位距全距因為僅考慮最大值與最小值, 因此會受到極端值的影響, 為了避免這個缺點, 四分位距可用來做的比較, 以輔助瞭解資料的離散情況四分位距 (inter-quartile range ) 的計算方式為第三個四分位數減去第一個四分位數所得的差值, 在此我們用 IQR 表示四分位距 IQR Q Q

34 四分位距 (Ex.) 假設某城市的 10 個行政區域的年平均收入 ( 萬元 ) 如下所示, 試求其四分位距按大小排列 : Q1 L Q Q3 L Q IQR Q Q

35 平均差平均差是數據與算術平均數差距的絕對值的算術平均數因為各別數值與平均數的差距和一定為 0, 如此無法顯現出離散程度, 因此我們才會取絕對值後計算平均用來測量離散程度平均偏差 MD xi n x 35

36 平均差的計算步驟列出每一個數據, 數值如何排序並不重要計算數據組的算術平均數每一個數值減去算術平均數計算每一個差值的絕對值計算所有差值絕對值的總和並將之除以數據的個數, 此即為平均差 36

37 平均差 (Ex.) 數據 : , 試求平均差 x x x x x x = = = = = = = = = =-3 3 合計平均差 MD

38 變異數與標準差變異數是數據與算術平均數差距平方的算術平均數標準差則為變異數的平方根這裡樣本統計量同樣使用羅馬字母 ( 英文 ) 表示, 而母體參數仍舊使用希臘字母 ( x ) ( x x) s N n ( x ) ( x x) s N n

39 樣本統計量與母體參數的差異上一頁的公式中, 為何樣本的分母為 n 1 而不是 n, 與母體參數的公式並不相同 s 為母體標準差的估計值, 為了怕低估母體的標準差 ( 科學與研究都必須較為保守, 不容出錯 ), 我們將分母減去 1 使得標準差大於實際的大小自由度的概念自由度, 是指我們使用樣本統計量時, 能自由變動的變量數量, 因為樣本平均數已知, 因此在計算樣本標準差時, 自由度為 n 1, 而非 n 當分母用 n 1 時, 我們稱為不偏統計量, 我們一般用樣本估計母體參數都須使用不偏統計量 39

40 變異數與標準差的計算步驟列出每一個數據, 數值如何排序並不重要計算數據組的算術平均數每一個數值減去算術平均數計算每一個差值的平方計算所有差值平方的總和並將之除以 n-1, 此即為變異數再計算變異數的平方根, 則為標準差 40

41 變異數與標準差 (Ex.) 數據 : , 試求樣本變異數與標準差 x x x x ( x x) = = = = = = = = = =-3 9 合計變異數 s 2 標準差 s

42 變異數與標準差 (Ex.) 某公司今年雇用了 5 為實習生, 他們的薪水分別為 : $3536 $3173 $3448 $3121 $3622, 試求母體平均數平均差變異數與標準差 x x x x x x 2 ( x x) 合計平均數變異數 s 平均差 MD 標準差 s

43 母體變異數 (Ex.) 試求母體資料的變異數 : 求母體平均數 : ( ) 求變異數 : [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]

44 樣本變異數 (Ex.) 從母體中抽取 6 個樣本, 試求其變異數 : 求母體平均數 : ( ) 求變異數 : [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]

45 變異數與標準差的性質變異數與標準差是計算偏離平均數的平均距離, 因此我們必須先計算算術平均數變異數與標準差越大, 表示數值分佈越廣, 數值之間的差異越大變異數與標準差對於極端值非常敏感如果 s=0, 就表示數據資料完全沒有變異, 數值會完全相同 45

46 變異數與標準差的異同它們都是離散程度的測量指標, 兩者的計算公式也相當接近標準差是以原始的單位存在, 變異數則以平方單位存在一般標準差在實際解釋上較具有意義 46

47 變異係數雖然標準差與變異數能夠描繪資料的分散程度, 但其數值的計算會受到平均值的影響, 因此我們如果要比較平均值有相當差距的兩組資料, 在離散程度的差異狀況, 單純使用標準差或變異數可能會造成一些偏誤在這這樣的情況下, 變異係數 (coefficient of variation) 會是一個比較適當的衡量指標, 其計算方式為標準差除以平均數 CV 標準差平均數 47

48 變異係數 (Ex.) 假設 A 班的學生其身高平均數為公分, 標準差差 5 公分 ; 其平均體重為 55.6 公斤, 標準差 3.6 公斤請問 A 班同學的身高差異比較大還是體重差異大? 因為兩者平均數不同, 衡量單位也不同, 因此使用變異係數比較 5 CV身高 CV體重所以 A班學生體重的差異較大 48

49 資料描述的視覺化前面我們已經介紹兩類描繪數字的重要指標, 現在我們要將資料的輪廓視覺化, 透過圖形來呈現數據的分佈特徵一幅好的圖形, 必須要能夠提供足夠的訊息, 讓人可一目瞭然你所要表達的意義為何, 因此必須符合一些基本原則減少圖表內無用的內容一個圖表應該只傳遞一個觀點給所有內容貼上標籤, 不要讓人不瞭解內容保持圖表平衡, 標題與標籤應該要置中保持圖形的比例, 適當的寬與高的比為 3 比 4 減少圖表內的字數 49

50 次數分配次數分配表將資料歸類到不同的類別中, 並顯示每一個類別的數量相對次數將每一類別的次數除以總觀測資料的次數, 便能把次數轉化成相對次數分配汽車類型數量相對次數國產車進口車總計

51 長條圖 (bar chart) 常見用於呈現類別資料的是長條圖, 長條圖的水平軸是類別, 垂直軸是類別次數 ; 類別的次數會與長條成正比 60 汽車數量國產車汽車類型進口車 51

52 橫條圖 (bar chart) 橫條圖與長條圖類似, 主要差別在於水平軸是類別次數, 垂直軸是類別 ; 類別的次數會與橫條成正比進口車汽車類國型產車汽車數量 52

53 點圖 (dot plot) 點圖是沿著水平軸把每個觀測值用點呈現, 再用數值標示出來若有相同的觀測值, 在該數值處把點往上疊從點圖可得知每個觀測資料的值, 且點圖可用來同時比較兩組觀測資料一般我們遇到少量資料會選擇點圖, 而針對大量資料我們會選擇直方圖 53

54 圓形圖 (pie chart) 圓形圖是用來呈現每個類別次數比例的統計圖佣金 6% 營運費用 5% 教育費用 29% 獎金 60% 54

55 建構數值資料的次數分配表 (1) 計算全距 R R= 最大值最小值決定類別的組數使用 2 的 k 次方法則我們選擇符合 2 k n, 的最小 k 值做為組數決定組距 i R k 在符合上述公式後, 組距會儘可能挑選方便計算的數字, 如 : 等設定各類別的組限根據組距把所有分組寫出來, 要避免組限重疊情況的產生 ( 每一組包含組下限, 不包含組上限 ) 55

56 建構數值資料的次數分配表 (2) 找出組中點, 以此做為各類別的代表值組中點就是每一組的中間位置, 其計算方式是組上限與組下限相加後除以 2 將資料計錄至類別中, 並計算每一個類別的數量汽車售價 ( 千美元 ) 次數相對次數總計

57 次數分配表 (Ex.) 下表為某公司的 25 位員工, 每天通勤的時間成本 ( 分 ) 試問 a. 你建議分成幾組 b. 組距應該設定多少 c. 第一組的組下限應該設多少 d. 將資料整理成次數分配表, 並計算相對次數 a. 2 5 =32>25 5 b. (48 16)/5=6.4 7 c. 15 d. 時間 ( 分 ) 次數相對次數總計

58 直方圖 (histogram) 直方圖用於描述數值資料的次數分配, 與長條圖類似 ; 直方圖的水平軸是類別, 垂直軸是類別次數 ; 類別的次數用高度表示其之間的主要差異在於, 直方圖用在連續資料, 所以水平軸用連續相鄰的長條表示連續型資料次數銷售價格 ( 以千美元計 ) 58

59 次數多邊形圖 (frequency polygon) 次數多邊形圖與直方圖類似, 它是將各組組中點與相對應次數連接所組成的圖形, 它所能呈現的訊息與直方圖相同, 但圖形看起能更生動次數銷售價格 ( 以千美元計 ) 59

60 累加次數分配累加次數次數分配表累加次數分佈的建立基礎與次數分佈相同, 但其多增加了一列累加次數, 如下表所示汽車售價 ( 千美元 ) 次數累加次數總計 80 60

61 累加次數多邊形圖 (cumulative frequency polygon) 累加次數多邊形圖能夠顯現數據的累加形象, 它以累加次數為基礎, 將各組組中點與相對應累加次數連接起來 80 次數銷售價格 ( 以千美元計 ) 61

62 箱形圖 (box plot) 箱形圖是根據四分位數描繪資料的圖形, 它需要五種統計量, 分別為 : 最小值 Q1 中位數 Q3 最大值次數次數

63 枝葉圖 (stem-and-leaf plot) 枝葉圖是一個同時能呈現資料集中與離散情況的圖, 它保留觀察值較多的資訊, 但因繪製費時, 比較適合資料筆數不多的情況圖形包含兩個部份, 枝的部份列出資料的十位數字, 葉則為個別資料的個位數字 ( 依大小順序排列 ) 枝葉國文成績的枝葉圖 63

64 數據差異於圖形的呈現數據分佈狀況存在許多方面的不同, 在這裡我們探討四個不同的指標, 其分別為集中性變異性偏度與峰度 ; 集中性與變異性已於前面介紹, 這裡僅說明偏度與峰度偏度 (skewness) 是對數據分佈對稱性的測量 ; 當圖形是向右延伸 ( 大數值的一端發生次數較少 ), 我們稱其為正偏 ; 當圖形是向左延伸 ( 小數值的一端發生次數較少 ), 我們稱其為負偏峰度 (kurtosis) 則與數據看起來是扁平或是陡峭有關 ; 低峰度表示圖形較為扁平 ; 高峰度則表示圖形較為抖峭 64

65 平均值與圖形平均值高的圖形會在右邊 65

66 變異性與圖形變異性高的圖形範圍會越廣 66

67 偏度與圖形正偏會向右延伸負偏會向左延伸 67

68 峰度與圖形高峰度圖形較陡峭低峰度圖形較扁平 68

69 偏度與偏度係數偏度型態的判別一般圖形如果左右尾相等稱為對稱分佈, 如果平均數大於中位數則為正偏度分佈, 而中位數大於平均數的狀況則為負偏度分佈 Pearson 偏度係數 sk 3( x 中位數 ) s 統計軟體的偏態係數與峰度係數 n 3 n xi x skewness ( n 1)( n 2) i 1 s n 4 2 nn ( 1) xi x 3( n 1) kurtosis ( n 1)( n 2)( n 3) i 1 s ( n 2)( n 3) Pearson 偏度係數的範圍在 3 至 3 之間, 正負號表示正偏或負偏, 數值則顯現偏度的強弱 ; 若係數恰好等於 0, 表示平均數與中位數相等, 為對稱分佈, 無偏度產生 69

70 偏態係數下表為 15 家公司去年每股盈餘的樣本資料, 試求平均數中位數標準差 Pearson 偏態係數平均數 x n ( ) 中位數標準差 n ( x nx ) [( ) ] sk 1 ( ) ( x 中位數 ) 3 ( ) s

71 列聯表 (contingency table) 列聯表是根據兩個以上識別特徵, 將樣本資料歸類的表格, 它是兩個變數的交叉表格, 也就是一個二維的次數分配表性別是否點餐後甜點男女總計是否總計

72 散佈圖 (scatter diagram) 散佈圖一般用於探討兩個變數之間的關係, 水平軸 (X 軸 ) 是一個變數, 而垂直軸 (Y 軸 ) 是另一個變數 Y 值 X 值 72

73 The end of this chapter. Thank You!

課程目標 1. 數值描述中央集中趨勢 2. 數值描述資料散佈變化情形 3. 數值資料的偏性 4. 資料的相對位置 (Numerical Measures of Relative Standing) 5. 標準差的意義與應用 3 2

敘述統計方法 : 資料描述二 Chapter 3 第三章 Numerical Descriptive Measures 數值量測及資料描述 3 1 課程目標 1. 數值描述中央集中趨勢 2. 數值描述資料散佈變化情形 3. 數值資料的偏性 4. 資料的相對位置 (Numerical Measures of Relative Standing) 5. 標準差的意義與應用 3 2 Numerical Data