338 地球物理学报 (ChineseJ.Geophys.) 59 卷 superpositionofplanewaves.weshowthatthecoherencyexpressionsindissipativemediavary withcoordinatesystems.theexpress

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1 第 59 卷第 9 期 6 年 9 月地球物理学报 CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICS Vol.59,No.9 Sep.,6 王凯明, 鲁来玉, 刘庆华.6. 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示. 地球物理学报,59(9): ,doi:.638/cjg699. WangK M,Lu L Y,Liu Q H.6.Onthespatialcorrelationofseismicnoiseinanatenuating medium. 犆犺犻狀犲狊犲犑. 犌犲狅狆犺狔狊.(inChinese),59(9):337347,doi:.638/cjg699. 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示王凯明, 鲁来玉, 刘庆华中国地震局地球物理研究所, 北京 8 摘要传统基于地震背景噪声互相关的层析成像技术, 主要利用了互相关函数的相位信息, 即利用走时来反演地球介质的速度和各向异性特征. 最近, 开始有研究人员利用互相关函数的振幅信息提取介质的衰减. 主要是将二维弹性情形下, 互相关函数正比于第一类零阶贝塞尔函数 J( 犽狉 ) 这一结论, 通过引入指数衰减系数, 直接推广到衰减介质情形, 令衰减介质中背景噪声互相关函数类比于 J( 犽狉 ) e -α(ω) 狉, 以此来反演介质的衰减系数 α. 然而, 在衰减介质中, 互相关受源的方位平均的影响, 这种简单的推广, 可能无法提取可靠的衰减系数. 本文基于平面波的叠加模型, 研究不同的互相关定义和坐标选择下, 衰减介质中两点间互相关函数的理论表达式. 结果表明, 在平面波叠加模型下, 互相关函数的表达形式随着坐标原点的选择, 并因而随着源分布的变化而变化, 对不同的归一化因子, 表达式也不尽相同. 利用 J( 犽狉 ) e -α(ω) 狉的形式拟合背景噪声的观测数据得到的衰减比实际值偏小. 关键词噪声互相关函数 ; 振幅 ; 衰减 ; 相干 ; 源的分布 doi:.638/cjg699 中图分类号 P35 收稿日期 53,67 收修定稿犗狀狋犺犲狊狆犪狋犻犪犾犮狅狉狉犲犾犪狋犻狅狀狅犳狊犲犻狊犿犻犮狀狅犻狊犲犻狀犪狀犪狋犲狀狌犪狋犻狀犵犿犲犱犻狌犿 WANG KaiMing,LU LaiYu,LIU QingHua 犐狀狊狋犻狋狌狋犲狅犳犌犲狅狆犺狔狊犻犮狊, 犆犺犻狀犪犈犪狉狋犺狇狌犪犽犲犃犱犿犻狀犻狊狋狉犪狋犻狅狀, 犅犲犻犼犻狀犵 8, 犆犺犻狀犪犃犫狊狋狉犪犮狋 Traditionaly,thetomographybasedonthecorrelationofseismicnoiseprimarilyuses thephaseinformationofambientnoisecorrelationfunction(ncf)toextracttheseismicvelocity andanisotropyoftheearthwithtraveltimemeasurementbyperforminginversion.researchers recentlyutilizetheamplitudeof NCFtoextractthe Earth satenuation.intheory,ncfis proportionaltothefirstkindofzeroorderbesselfunctioninadelasticcase,whichisdirectly extendedtothedissipative media byintroducingan exponentialatenuation coeficient.the atenuationofthestructureisthenobtainedbycomparingtheobserveddatafrom NCFtothe Besselfunction multipliedbyadecayingexponentialterm.the NCF,however,isafectedby azimuthaveragingofambientnoisesourcesdistributedinatenuated media.thisempiricaland simpleextensioncannotbeusedtoextractareliabledecaycoeficient.inthispaper,westudythe theoreticalexpressionsof NCFinthefrequencydomain betweentwostationsunderdiferent coordinate systems and accordingly diferent source distributions which are composed of 基金项目国家自然科学基金 (4744) 资助. 作者简介王凯明, 男,99 年生, 博士研究生, 主要从事地震噪声成像理论研究 @qq.com 通讯作者鲁来玉, 男, 研究员, 博士生导师, 主要从事地震波的传播与散射理论, 及地震层析成像等方面的研究. laiyulu@ceaigp.ac.cn

2 338 地球物理学报 (ChineseJ.Geophys.) 59 卷 superpositionofplanewaves.weshowthatthecoherencyexpressionsindissipativemediavary withcoordinatesystems.theexpressionsarediferentfordiferentnormalizedfactors.the atenuationcoeficientobtainedbyfitingthecoherencyj( 犽狉 ) e -α (ω) 狉 withtheobserveddatais smalerthantherealone. 犓犲狔狑狅狉犱狊 Noisecrosscorelationfunction;Amplitude;Atenuation;Coherency;Sourcedistribution 引言传统地震层析成像通常利用地震事件反演地下介质的地震波速度和衰减系数, 进而研究地下结构. 由于地震发生在特定的时间和空间, 这一方法限制了所能研究的区域 (Shapiroand Campilo,4; Sabraetal.,5;Yangetal.,7). 背景噪声广泛地存在于地表, 不受空间和时间的制约 (Prietoet al.,), 利用背景噪声场研究地下结构可以克服地震方法所带来的限制.Aki(957) 指出 : 对于无衰减介质, 相距为狉的台站之间背景噪声空间相关谱 γ(ω, 狉 ) 的方位平均与零阶贝塞尔函数之间满足如下关系 : Reγ(ω, 狉 )]J ( 犽狉 ), () Re 表示取实部,ω 为角频率, 犽为波数. 基于这个关系, 可以利用微动信息估算相速度, 并以此反演介质的速度结构. 近年来, 利用背景噪声场研究地下结构有了很大的发展 (Shapiroetal.,5;Zhengetal.,; Yaoetal.,;Lietal.,4). 基于简正模方法, Lobkis 和 Weaver() 指出扩散场中两个台站记录的互相关与这两个台站之间的格林函数呈正比关系.SánchezSesma 和 Campilo(6),Lu 等 () 以及朱良保和王清东 () 进一步证实了这一结论. 因此, 背景噪声的互相关函数 (NoiseCrosscorrelation Function,NCF) 可以产生稳定的近似格林函数, 进而可以计算台站之间面波的相速度 (Wapenaaret al.,a,b; 刘志坤和黄金莉,). 许多作者利用 NCF 信息进行面波层析成像 (Linetal., 8; 房立华等,9; 唐有彩等,; 鲁来玉等, 4; 范文渊等,5). 先前的这些研究大多关注互相关函数的相位信息, 即利用背景噪声互相关测量地震波的走时, 对互相关函数的振幅信息研究较少. 最近, 研究人员开始关注背景噪声互相关函数的振幅测量 (Linetal., ;Liu and BenZion,3;Weemstraetal., 3,4;Liuetal.,5).Prieto 等 (9) 认为在衰减介质中, 经过方位平均以后, 两个台站之间频率域归一化的互相关 ( 相干 ) 的实部等于零阶贝塞尔函数与指数衰减项的乘积, 即 Reγ(ω, 狉 )]J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉. () 利用 () 式对观测到的相干数据进行拟合, Prieto 等 (9) 利用背景噪声信息计算了美国南加州地区周期为 5~s 的衰减系数 α, 对典型地区和结构的区域化特征进行解释时取得了良好的结果. 但对于衰减项 e -α (ω) 狉的引入, 仅仅是对弹性介质的一个简单推广, 并没有做详尽的讨论 (Prietoet al.,9,;lawrenceandprieto,). 由于振幅测量缺乏相应的理论背景, 无法量化其研究的精度 (Tsai,). 背景噪声互相关的振幅受衰减背景噪声源分布散射等因素影响 (Lawrenceetal.,3), 是否可以从背景噪声相关中提取衰减信息依旧是有争议的. 地球的背景噪声源不是均匀分布的, 随时间和空间而变化. 方位平均可以有效减轻非均匀噪声源分布的效应 (Prietoetal.,9,). 对时间平均的归一化互相关可以减轻背景噪声源的方向性 ( 鲁来玉等,9;Tsaiand Moscheti,;Lawrenceet al.,3). 基于 Yokoi 和 Margaryan(8) 的方法,Nakahara() 认为当衰减很小时, 表达式 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉才是近似正确的.Cupilard 和 Capdevile () 的数值试验表明噪声源的振幅在不同的噪声源分布下存在差异, 衰减效应存在于均匀分布的噪声源的互相关中.Weaver(),Tsai() 认为相干的方位平均可能无法重建可靠的衰减系数. 不难看出这些争论的焦点在于对背景噪声源的分布所做的假设不同. 本文考虑源沿较大半径的圆周均匀分布的模型, 研究衰减介质中, 该模型下空间相干的表达式, 讨论不同的归一化因子造成的可能影响. 最后分析直接采用 () 式反演介质衰减带来的可能结果. 模型假设及相干的定义在弹性介质中, 时域波动方程为

3 9 期王凯明等 : 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示 339 狌狌犮狋, ( 3) 狌表示位移, 犮为相速度, 通常为实数. 对于沿某一方向传播的单色波, 方程具有如下形式的解 : 狌犃 e i( 犽狉 -ω 狋 ), (4) 其中犃为波的振幅, 波数犽 ω/ 犮. 相应的频域波动方程为 ( + 犽 ) 狌. (5) 考虑衰减时, 时域波动方程变为狌狌 + α 狌 +α 狌, (6) 犮狋犮狋 α 为衰减系数. 相应的频域波动方程为即 ( + 犽 +iα 犽 -α ) 狌, (7) + ( 犽 +iα) ] 狌. (8) 令犽犽 +iα, 则有其解为 ( + 犽 ) 狌, (9) 狌犃 e i( 犽狉 -ω 狋 ). () 本文考虑的源的分布模型如图所示, 在半径为犚的圆周上, 平均分布着一系列源. 犪, 犫为两个接收点的位置, 其空间坐标用矢量狉和狉表示. 相对接收位置犪, 犫来说, 犚时, 每一个源激发的波可以看成如 () 式所示的平面波, 因此, 对于单个激发源, 犪, 犫两点接收到的平面波可表示为犙犪犃 e -iω 狋 ( 狉 - 犚 ) 犃 e -iω 狋 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) ( 狉 - 犚 ), () 犙犫犃 e -iω 狋 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) ( 狉 - 犚 ). () 同时, 假定各个源激发的平面波互不相关, 即犃 ( φ ) 犃 ( φ ) 犃 δ( φ -φ ), (3) 这里波矢量犽犽犽 ^ ( 犽 +iα) ^ 犽犽 +iα ^. 犽 ^ 犽为波传播方向的单位矢量, ^- 犽犚 / 犚.φ 为方位角, 表示对时间的整体平均. 对于脉冲源或瞬态源, 计算两个台站之间的互相关函数时, 通常先计算由同一个源激发的互相关函数, 然后再将不同源激发的互相关函数进行叠加, 相关和叠加的顺序不能交换, 因为对于脉冲或者瞬图源的分布与圆周内任意两点犪, 犫的位置坐标 Fig. Sourcedistributionandcoordinates oftwostations 犪 and 犫态源, 两个台站接收到的信号是相干的, 交换相关和叠加顺序将出现非物理的交叉项 (Wapenaaretal., a). 当计算位于背景噪声场中的两个台站的互相关函数时, 由于台站接收到的信号是不同源激发的波场的叠加, 且噪声源的信息无法获得, 因此我们得到的互相关函数是先叠加后相关的结果. 由于噪声源通常是互不相关的, 交换相关和叠加顺序不会引起非物理的交叉项. 但在衰减介质中, 叠加和相关顺序不同, 得到的表达式也不尽相同. 本文将对先叠加后相关和先相关后叠加两种情况来讨论. 对于先叠加后相关的情况, 如图所示, 假定源位于犚处, 狉和狉两点的信号为从犚处激发的波的叠加, 即以犚为半径的整个圆上的源的叠加, 且圆上每一点发出的是平面波, 则台站犪, 犫两点的波场可以表示为犘犪犃 ( φ )e -iω 狋犃 ( φ )e -iω 狋犘犫犃 ( φ )e -iω 狋 ( 狉 - 犚 ) e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) e -α 犽 ^ ( 狉犪, 犫两点之间的互相关可以表示为 ( 狉 - 犚 ), ( 4) - 犚 ) ( 狉 - 犚 ), (5) 犘犪犘犫犃 ( φ )e iω 狋 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) e -i 犽 ( 狉由于积分变量 φ, φ 是相互独立的, 因此有犘犪犘犫利用 (3) 式可得其整体平均为 - 犚 ) π 犃 ( φ )e -iω 狋犃 ( φ ) 犃 ( φ ) 犚 -i 犽犚狉 -i 犽狉 e -α 犽 ^ ( 狉 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) ( 狉 - 犚 ). - 犚 )-α 犽 ^ ( 狉 - 犚 ), (6)

4 34 地球物理学报 (ChineseJ.Geophys.) 59 卷犘犪犘犫犃 ( φ ) 犃 ( φ ) 犚 -i 犽犚狉 -i 犽狉 e -α 犽 ^ ( 狉 - 犚 )-α 犽 ^ ( 狉 - 犚 ) 犃 δ( φ -φ ) 犚 -i 犽犚狉 -i 犽狉 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 )-α ^ ( 犽狉 - 犚 ) 犃 ( 狉 - 狉 ) e -α ^ ( 犽狉 - 犚 )+( 狉 - 犚 )]. (7) 犪, 犫两点各自的自相关分别为犘犪犘犪犃犘犫犘犫犃 e -α 犽 ^ ( 狉 e -α 犽 ^ ( 狉 - 犚 ), ( 8) - 犚 ). (9) 对于三种不同的归一化因子, 可以得到空间相干的三种定义 : ^() 犚犚 ^() 犘犪犘犫, () 犘犪犘犪犘犫犘犫犘犪犘犫犘犪犘犪, ( ) ^(3) 犚犘犪犘犫犘犫犘犫. () 对于先相关后叠加的情况, 由 (),() 式可知, 犪, 犫两点之间的互相关为犙犪犙犫犃犪, 犫两点之间的自相关分别为 e -α ^ 犽 ( 狉 - 犚 )+( 狉 - 犚 )] ( 狉 - 狉 ), (3) 犙犪犙犪犃 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ), (4) 犙犫犙犫犃 e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ). (5) 考虑三种不同的归一化因子, 相干的定义也有三种不同的形式, 分别为 ^() 犆 π 犆 ^() 犆 ^(3) π π 犙犪犙犫, ( 6) 犙犪犙犪犙犫犙犫犙犪犙犫犙犪犙犪犙犪犙犫犙犫犙犫, ( 7). (8) 3 衰减介质中空间相干的表示 3. 先叠加后相关将 (7)(8)(9) 式代入 () 式, 得到犚 ^() π ( 狉 - 狉 ) e -α ^ ( 犽狉 - 犚 )+( 狉 - 犚 )] e -α 犽 ^ ( 狉 - 犚 ) π e -α ^ ( 犽狉如图所示, 坐标系的选择使得台站犪位于坐标原点, 台站犫在犡轴正向位置狉处. 有狉, 狉狉, 犽狉 - 狉犽 cosφ, 犽 ^ 狉 -, 于是 π ^() 犚 π e α (π) -. (π) - e α (3) - 犚 )d φ π ( 狉 - 狉 ) e -α ^ ( 犽狉 + 狉 ) e -α ^ 犽狉. (9) π d φ e -α ^ 犽狉 d φ 由 Abramowitz(97) 中 (9..8) 和 (9.6.6) 式及 Cox(973) 中 (7) 式可知, 零阶贝塞尔函数 J ( 狕 ) 和零阶修正贝塞尔函数 I ( 狕 ) 满足关系 J ( 狕 ) (π) - e i 狕 cosφ, I ( 狕 ) (π) - 狕 cosφ e, 因此有犚 ^() ( J 犽狉 ) I (α 狉 ). (3) 图源的分布及犪, 犫两点的坐标关系, 犪点为坐标原点 Fig. Sourcedistributionandcoordinatesofpoints 犪 and 犫.Point 犪 istakenastheorigin

5 9 期王凯明等 : 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示 34 在时域中计算的互相关函数包含因果性和非因果性两部分, 分别是由单边的因果性和非因果性的源引起的, 表示从犪传向犫及从犫传向犪的波场. 如图 3, 因果部分 ( 由犪传向犫, φ π/,3π/ ]) 和非因果部分 ( 由犫传向犪, φ,π/ ]) 的背景噪声源分别对应于均匀分布在半个圆周上的远场面波源. 将因果性和非因果性的源分开考虑, 对于因果性部分的源则有 3π/ ^() 犚 (+) π 3π/ e -i 犽犱 φ e α π/ ] e α - π / (e α -e -α ) ] (π) - e -i 犽 + π / ( -e -i 犽 ) (π) -. (3) 图 3 因果性噪声源 (a) 和非因果性噪声源 (b) 的示意图. 这里假定犪为虚拟源, 犫为虚拟接收 Fig.3 Schematicdiagramof(a)thecausalsourcesofnoiseand (b)theacausalsourcesofnoise. Itisassumedthat 犪 isvirtualsourceand 犫 isvirtualreceiver 由 Abramowitz(97) 中 (..7) 和 (..) 式可知, 零阶 Struve 函数 H ( 狕 ) 和零阶修正 Struve 函数 L ( 狕 ) 分别满足 H ( 狕 ) (πi) - π / (e i 狕 cosφ - e -i 狕 cosφ ), L ( 狕 ) (π) - π / 狕 cosφ (e -e - 狕 cosφ ), 因此有 ( 见附录 A) ( ^() 犚 (+) J 犽狉 )+ih ( 犽狉 ) I (α 狉 )-L (α 狉 ). (33) 类似的, 对于非因果性部分, 有 ( ^() 犚 (-) J 犽狉 )-ih ( 犽狉 ) I (α 狉 )+L (α 狉 ). (34) 如 Weaver() 指出的,(3) 式意味着在坐标原点, 即犪点的场是完全各向同性的, 如果将坐标原点置于犪, 犫中间, 此时在犪点的场不再是各向同性的. 与完全弹性介质情形不同, 对衰减介质而言, 改变坐标原点的位置, 犪, 犫两点空间相干的表达是不同的. 如图 4 所示, 此时有狉狉 /, 狉 - 狉 /, 犽狉 - 狉犽 cosφ, 犽 ^ 狉 ( 狉 /)cosφ, 犽 ^ 狉 - ( 狉 /)cosφ, 因此 ^() 犚 e -i 犽 (π) - π e -α e α d (π) φ - e α 图 4 源的分布及犪, 犫两点的坐标关系, 犪和犫的中点为坐标原点 Fig.4 Sourcedistributionandcoordinatesofpoints 犪 and 犫. Midpointbetween 犪 and 犫 istakenastheorigin J ( 犽狉 ) I (α 狉 ). (35)

6 34 地球物理学报 (ChineseJ.Geophys.) 59 卷类似前面的讨论, 其因果和非因果部分的表达式分别为 ( (+) J 犽狉 )+ih ( 犽狉 ), (36) I ( α 狉 )-L ( α 狉 ) 犚 ^() ( ^() 犚 (-) J 犽狉 )-ih ( 犽狉 ) I ( α 狉 )-L ( α 狉 ). (37) 对于 () 和 () 式选取不同的归一化因子的情况, 可以进行类似的讨论, 其结果在表和表中给出. 表犜犾犲先叠加后相关中不同坐标系下的犚 ^ 犚 ^ 犻狀犱犻犳犲狉犲狀狋犮狅狅狉犱犻狀犪狋犲狊狔狊狋犲犿狊犚 ^() 犚 ^() 犚 ^(3) J( 犽狉 +iα 狉 ) I(α 狉 ) J ( 犽狉 +iα 狉 ) J ( 犽狉 +iα 狉 ) I(α 狉 ) J( 犽狉 ) I(α 狉 ) J( 犽狉 ) I(α 狉 ) J( 犽狉 ) I(α 狉 ) (35) 和 (36) 式与 Tsai() 中的 (5) 和 (9) 式一致.Tsai() 基于均匀分布的远场面波模型 (Uniform DistributionofFarfieldSurface Waves) 和单边远场面波模型 (OnesideFarfieldSurface Waves) 得出了同样的结果, 这与本文考虑的模型一样, 虽然该模型假定源在半径犚很大的圆周上均匀分布, 由于介质的衰减, 圆周内部各点波场的大小并不是完全相同的. 当采用如图 4 所示的坐标系时, (3) 式的定义表明各向同性的场位于犪, 犫连线的中点. 另一方面, 从源的分布角度考虑, 两种坐标原点的选择, 意味着源相对犪, 犫两点具有不同的方位分布. 其相干表达式的不同表明, 在衰减介质中, 源的分布影响空间相干的表达, 简单采用如 () 式所示的指数衰减形式来反演介质的衰减系数具有潜在的不可靠性. 表先叠加后相关中不同坐标系下的犚 ^ (+) 和犚 ^ (-) 犜犾犲犚 ^ (+) 犪狀犱犚 ^ (-) 犻狀犱犻犳犲狉犲狀狋犮狅狅狉犱犻狀犪狋犲狊狔狊狋犲犿狊犚 ^() (+) 犚 ^() (-) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) I(α 狉 )-L(α 狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) I(α 狉 )+L(α 狉 ) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) I ( α 狉 )-L ( α 狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) I ( α 狉 )-L ( α 狉 ) 犚 ^() (+) 犚 ^() (-) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) I(α 狉 )+L(α 狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) I(α 狉 )-L(α 狉 ) 犚 ^(3) (+) 犚 ^(3) (-) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) I(α 狉 )-L(α 狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) I(α 狉 )+L(α 狉 ) J( 犽狉 )+ih( 犽狉 ) I(α 狉 )-L(α 狉 ) J( 犽狉 )-ih( 犽狉 ) I(α 狉 )+L(α 狉 ) 3. 先相关后叠加对于脉冲源或者瞬态主动源, 相关和叠加的次序是重要的. 为了避免交叉项的产生, 需要对单个激发源, 求取犪, 犫两点的互相关, 然后将所有源的互相关结果叠加. 对于此种情况, 将 (3)(4)(5) 式代入 (6) 式, 可以得到犆 ^() π π e -α ^ 犽 ( 狉 - 犚 )+( 狉 - 犚 ) ] ( 狉 - 狉 ) e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) e -α ^ ( 犽狉 - 犚 ) ( 狉 - 狉 ). (38) 类似前述讨论, 根据图的坐标关系, 容易得出犆 ^() 对于因果性部分有犆 ^() (+) π 3π/ ( 狉 - 狉 π/ e -i 犽 J ( 犽狉 ), (39) ) ( π) - + π / ( -e -i 犽 ) ] ( J 犽狉 )+ih ( 犽狉 )], (4) 非因果性部分有犆 ^() (-) ( J 犽狉 )-ih ( 犽狉 )]. (4) 对于如图 4 的坐标选择, 则有犆 ^() 犆 ^() 犆 ^() J( 犽狉 ), (4) (+) ( J 犽狉 )+ih ( 犽狉 )], (43) (-) ( J 犽狉 )-ih ( 犽狉 )]. (44) 通过类似的计算可以得到 (7) 和 (8) 的表达式, 其结果在表 3 和表 4 中给出. 4 分析与讨论不同的坐标系选择等价于源的不同的方位分布, 表至表 4 的结果表明, 衰减介质中空间相干的

7 9 期王凯明等 : 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示 343 表 3 犜犾犲 3 先相关后叠加中不同坐标系下的犆 ^ 犆 ^ 犻狀犱犻犳犲狉犲狀狋犮狅狅狉犱犻狀犪狋犲狊狔狊狋犲犿狊犆 ^() 犆 ^() ^(3) 犆 J( 犽狉 ) J( 犽狉 +iα 狉 ) J( 犽狉 -iα 狉 ) J( 犽狉 ) J( 犽狉 +iα 狉 ) J( 犽狉 -iα 狉 ) 表达式受源的分布影响. 对于我们关注的背景噪声互相关技术而言, 台站接收到的信号是所有噪声源信号的叠加, 因此利用背景噪声互相关提取衰减时, 我们只需考虑先叠加后相关的情况. 如表所示, 对不同的归一化因子选择, 相干的实部 Re ^ 犚 ] 有 4 种形式, 分别记为狔 (α 狉 ) ReJ ( 犽狉 )/I (α 狉 )], 狔 (α 狉 ) ReJ ( 犽狉 +iα 狉 )], 狔 3(α 狉 ) ReJ ( 犽狉 +iα 狉 )/ I (α 狉 )], 狔 4(α 狉 ) ReJ ( 犽狉 +iα 狉 )/I (α 狉 )]. (45) 表 4 先相关后叠加中不同坐标系下的犆 ^ (+) 和犆 ^ (-), 犽犽 +iα 犜犾犲 4 犆 ^ (+) 犪狀犱犆 ^ (-) 犻狀犱犻犳犲狉犲狀狋犮狅狅狉犱犻狀犪狋犲狊狔狊狋犲犿狊, 犽犽 +iα 犆 ^() (+) 犆 ^() (-) J ( 犽狉 )+ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )-ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )+ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )-ih( 犽狉 )] 犆 ^() (+) 犆 ^() (-) J ( 犽狉 )+ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )-ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )+ih( 犽狉 )] J ( 犽狉 )-ih( 犽狉 )] 犆 ^(3) (+) 犆 ^(3) (-) J ( 犽狉 -iα 狉 )+ih( 犽狉 -iα 狉 )] J ( 犽狉 -iα 狉 )-ih( 犽狉 -iα 狉 )] J ( 犽狉 -iα 狉 )+ih( 犽狉 -iα 狉 )] J ( 犽狉 -iα 狉 )-ih( 犽狉 -iα 狉 )] 假定周期犜 7.5s, 相速度犮 3.8km s -, 衰减系数 α.4km -, 图 5a 5d 分别给出了不同形式的相干表示随犽狉的变化, 图中也给出了 Prieto 等 (9) 给出的空间自相关 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉, 及无衰减对应的空间自相关 J ( 犽狉 ) 随犽狉的变化情况. 由图可以看出, 无论选择哪种归一化因子, 当 α 和犜给定时, 随犽狉的增加,Prieto 等 (9) 给出的相干公式 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉总是衰减最快的, 这意味着对于本文考虑的源的分布模型, 需要一个较大的真实 α 值, 才能使得理论的衰减关系达到 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉的衰减速度. 反过来, 若采用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉对实际数据进行拟合, 得到的衰减系数 α 将小于真实 α 值. 图 5b, 5c 的结果表明 ReJ ( 犽狉 +iα 狉 )] 和 ReJ ( 犽狉 + iα 狉 )/ I (α 狉 )] 的振幅高于无衰减时的空间自相关的振幅 J ( 犽狉 ). 若实际的相干系数如 J ( 犽狉 +iα 狉 ) 和 ReJ ( 犽狉 +iα 狉 )/ I (α 狉 )] 所示, 那么用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉对观测数据进行拟合将得到负的衰减系数, 这显然和实际的物理事实不符,Tsai() 也曾发现过类似情形. 假定介质的品质因子犙不随频率变化 (Kjartanson, 979), 对于弱衰减情形, 衰减系数 α 与频率存在如下关系 : α π 犳. (46) 犙犮令狉 km, 犙 5, 相速度犮 3.8km s -, 利用 (46) 式所示的关系, 将空间相干表示用弹性介质中的相干表示 J ( 犽狉 ) 进行归一, 可以得到不同相干形式下的衰减模型. 图 6 给出了衰减曲线随 α 的变化, 其中 e 指数衰减速度最快. 如前所述, 对于正的衰减系数,J ( 犽狉 +iα 狉 ) 和 J ( 犽狉 +iα 狉 )/I (α 狉 ) 的相干形式给出的曲线随 α 不是衰减的. 造成这种现象的原因和源的分布相关. 犚 ^() 和犚 ^() 是采用图所示坐标系, 选择不同的归一化因子得到的结果. 虽然源在圆周上均匀分布, 但是除了犪点之外, 相对圆周内部的各点, 包括犫点, 源并不是各向同性分布的, 这种特定分布的源造成了这种结果, 此时无法利用互相关技术来提取介质衰减. Prieto 等 (9) 采用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉的相干形式, 利用背景噪声互相关技术研究了美国南加州的地球介质衰减,Prieto 等 (9) 在其文章图 6 中给出的 4 个不同周期的衰减系数和相速度为 : 犜 7.5s, 犮 3.8km s -,α.4/km; 犜 s, 犮 3.5km s -,α.9/km; 犜 5s, 犮 3.34km s -,α.6/km; 犜 s, 犮 3.53km s -, α./km. 我们假定 Prieto 等 (9) 给出的这 4 组参数是介质的实际衰减系数, 记作 α. 按照本文的模型,α 理论上满足 (45) 式中 ^ 犚的 4 种形式. 为

8 344 地球物理学报 (ChineseJ.Geophys.) 59 卷图 5 不同形式的 Re 犚 ^ ] 与 J( 犽狉 )e -α(ω) 狉和 J( 犽狉 ) 的比较 Fig.5 ComparisonofdiferentkindsofRe 犚 ^ ]withj ( 犽狉 )e -α(ω) 狉 andj ( 犽狉 ) 图 6 不同的相干表示给出的衰减模型的比较 Fig.6 Comparisonofatenuationmodelsfrom diferentcoherencyexpressions 了分析这 4 种不同的相干形式, 与实际反演采用的 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉之间的差异, 我们利用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉对 (45) 式所示的几种相干形式进行最小二乘拟合, 即求取如下目标函数的最优解 : min 狉 ] 狔狀 (α 狉 ) (-α 狀狉 )-ln J ( 犽狉 ), ( 47) ln 为求自然对数. 图 7 给出了不同周期下 (47) 式的最小二乘解,α,α,α3,α4 分别表示用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉拟合 (45) 式中的 4 种模型得到的衰减系数. 可以看出, 使用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉对不同的理论相干形式进行拟合时, 得到的衰减系数比假定的理论值偏小. 不同的源的分布对应不同的空间相干表示, 这图 7 用 J( 犽狉 )e -α(ω) 狉的相干表示式拟合 (45) 式所示的不同理论模型得到的衰减系数 α Fig.7 AtenuationcoeficientsbyfitingtheJ ( 犽狉 )e -α(ω) 狉 withthetheoreticalcoherencyshownbyeq.(45) 表明没有一种模型能很好地模拟衰减地球介质中的背景噪声相干模型.Walker() 指出衰减不可避免地引起平面波的非均匀性, 因此其空间相干依赖于归一化因子的选择及源的分布, 从而导致相应的结果依赖参考系的选择. 这意味着, 利用类似的模型来描述地球介质的衰减并不是完美的, 地球背景噪声模型不能完全用分布在二维平面上的源来模拟, 可能需要考虑源的体积分布. 另一方面, 提醒我们在利用噪声互相关技术提取介质衰减时, 需要更加谨慎.

9 9 期王凯明等 : 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示结论假定源在大半径的圆周上均匀分布, 每个源激发互不相关的平面波, 基于这样的模型, 本文研究了衰减介质中, 圆周内部两点之间空间相干的表达式, 并分析了这些表达式在利用背景噪声互相关技术提取介质衰减系数中的应用. 研究表明, 衰减介质中空间相干的表达受源的分布影响, 选择不同的归一化因子, 其结果不尽相同, 目前还没有一种较好的噪声源分布模型能描述实际的衰减地球介质的相干表示. 传统利用 J ( 犽狉 )e -α (ω) 狉的相干形式提取的介质衰减系数比介质实际衰减系数偏小. 附录犃公式 (3) 推导如下 : 3π/ ^() 犚 (+) π 3π/ e -i 犽 - 3π / π/ e α - π 3π / π/ 由周期函数的积分性质, 得通过简单的积分运算可得 ^() 犚 (+) ^() 犚 (+) 3π/ e -i 犽 + ( e -i 犽 - π / e -i 犽 ] e α 3π/ + ( π/ e α - π / e α 狉 ] cosφ ), (A) - 3π/ e -i 犽 + ( e -i 犽 π/ π / e -i 犽 ] - π e α 3π/ + ( e α π/ π / e α 狉 ] cosφ ). (A) ] (π) - e -i 犽 + π / ( -e -i 犽 ) (π) - e α π/ - ( (e α -e -α 狉 cosφ ) ] ), (A3) ) ) (A3) 式即正文中的公式 (3). 由 Abramowitz(97) 中 (..7) 式 H ν ( 狕 ) ( 狕 /) ν πγ ν+ 和 (..) 式 ( ) L ν ( 狕 ) ( 狕 /) ν πγ ν+ 可知, 当 ν 时, ( ) π π H ( 狕 ) (π) - π / sin( 狕 cosθ)dθ (πi) - π/ sin( 狕 cosθ)sin ν θdθ sinh( 狕 cosθ)sin ν θdθ, L ( 狕 ) (π) - π / sinh( 狕 cosθ)dθ (π) - π/ 将 (A4),(A5) 式代入 (A3) 式, 最终可得 (e i 狕 cosθ -e -i 狕 cosθ )dθ,(a4) 狕 (e cosθ -e - 狕 cosθ )dθ. (A5) ( ^() 犚 (+) J 犽狉 )+ih ( 犽狉 ) I (α 狉 )-L (α 狉 ). (A6) (A6) 式即正文中的公式 (33). 犚犲犳犲狉犲狀犮犲狊 AbramowitzM,Segun I A.97. Handbook of mathematical functionswithformulas,graphs,andmathematicaltable.u.s DepartmentofCommerce. AkiK.957.Spaceandtimespectraofstationarystochasticwaves, withspecialreferenceto microtremors. 犅狌犾. 犈犪狉狋犺狇. 犚犲狊. 犐狀狊狋. 犜狅犽狔狅,35: Cox H.973.Spatialcorrelationin arbitrary noisefields with applicationtoambientseanoise. 犑. 犃犮狅狌狊狋. 犛狅犮. 犃犿.,54(5): 893. CupilardP,CapdevileY..Ontheamplitudeofsurfacewaves obtainedbynoisecorrelationandthecapabilitytorecoverthe atenuation:anumericalapproach. 犌犲狅狆犺狔狊. 犑. 犐狀狋.,8(3): Fan W Y,Chen Y S,Tang Y C,etal.5.Crustandupper mantlevelocitystructureoftheeastern Tibetan Plateauand adjacentregionsfrom ambientnoisetomography. 犆犺犻狀犲狊犲犑. 犌犲狅狆犺狔狊.(in Chinese),58(5):568583,doi:.638/ cjg55. FangL H,WuJP,LüZ Y.9.Rayleighwavegroupvelocity tomography from ambient seismic noise in North China. 犆犺犻狀犲狊犲犑. 犌犲狅狆犺狔狊.(inChinese),5(3):66367.

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11 9 期王凯明等 : 由地震背景噪声提取介质衰减 : 衰减介质中的空间相干表示 347 waves. 犆狅犿狆狋犲狊犚犲狀犱狌狊犌犲狅狊犮犻犲狀犮犲,343(89): YokoiT,MargaryanS.8.Consistencyofthespatialautocorelation method with seismic interferometry and its consequence. 犌犲狅狆犺狔狊. 犘狉狅狊狆犲犮狋.,56(3): ZhengY,YangYJ,RitzwolerM H,etal..Crustalstructure ofthenortheastern Tibetanplateau,theOrdosblockandthe Sichuanbasinfromambientnoisetomography. 犈犪狉狋犺狇. 犛犮犻., 3(5):465476,doi:.7/s ZhuLB,WangQ D..Anexpressionofthecrosscorrelation ofambientseismic Noise:aderivationbasedonthesurface wavetheory. 犆犺犻狀犲狊犲犑. 犌犲狅狆犺狔狊.(inChinese),54(7):835 84,doi:.3969/j.issn 附中文参考文献范文渊, 陈永顺, 唐有彩等.5. 青藏高原东部和周边地区地壳速度结构的背景噪声层析成像. 地球物理学报,58(5): ,doi:.638/cjg55. 房立华, 吴建平, 吕作勇.9. 华北地区基于噪声的瑞利面波群速度层析成像. 地球物理学报,5(3): 刘志坤, 黄金莉.. 利用背景噪声互相关研究汶川地震震源区地震波速度变化. 地球物理学报,53(4):853863,doi:. 3969/j.issn 鲁来玉, 何正勤, 丁志峰等.9. 华北科学探测台阵背景噪声特征分析. 地球物理学报,5():56657,doi:.3969/j. issn 鲁来玉, 何正勤, 丁志峰等.4. 基于背景噪声研究云南地区面波速度非均匀性和方位各向异性. 地球物理学报,57(3):8 836,doi:.638/cjg43. 唐有彩, 陈永顺, 杨英杰等.. 华北克拉通中部地区背景噪声成像. 地球物理学报,54(8):,doi:.3969/j.issn 朱良保, 王清东.. 地震背景噪声互相关函数的面波理论表达形式. 地球物理学报,54(7):83584,doi:.3969/j.issn ( 本文编辑何燕 )

殐殐 27 1 Vol.27 No ImagingScienceandPhotochemistry Jan.,2009 檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭殐殐 *O! "# #B) 1,CDE 1, 2, 1 (1., ;2., ) $ %:3 J = 2J4

殐殐 27 1 Vol.27 No ImagingScienceandPhotochemistry Jan.,2009 檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭殐殐 *O! # #B) 1,CDE 1, 2, 1 (1., ;2., ) $ %:3 J = 2J4 殐殐 27 1 Vol.27 No.1 2009 1 ImagingScienceandPhotochemistry Jan.,2009 檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭檭殐殐 *O! "# #B) 1,CDE 1, 2, 1 (1., 200092;2., 200092) $ %:3 J = 2J4 ',V T, _` * C?. + SU L 3 H4 E '.< 4 893?, V 9 P>?.