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1 科 学 出 版 社 wwwaboo

2 高 等 教 育 十 一 五 规 划 教 材 公 共 基 础 课 教 材 系 列 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 刘 春 凤 主 编 纪 楠 阎 少 宏 马 醒 花 副 主 编 杨 爱 民 彭 亚 绵 米 翠 兰 参 编 北 京

3 内 容 简 介 本 书 是 枟 高 等 数 学 枠 ( 上 下 册 ) ( 刘 春 凤 主 编, 科 学 出 版 社, 008 年 ) 的 配 套 学 习 指 导 教 材 本 书 分 上 下 两 册, 上 册 内 容 为 一 元 函 数 微 积 分 和 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 ( 共 七 章 ), 下 册 内 容 为 多 元 函 数 微 积 分 级 数 和 常 微 分 方 程 ( 共 五 章 ) 书 末 附 有 枟 高 等 数 学 枠 考 研 大 纲 Math 唱 ematica 简 介 和 自 测 题 答 案 与 提 示 本 书 结 构 严 谨 逻 辑 清 晰 ; 强 调 方 法 阐 述 力 求 通 俗 易 懂 由 浅 入 深 富 于 启 发 宜 于 自 学 ; 其 中 适 度 嵌 入 了 与 高 等 数 学 相 关 的 数 学 实 验, 旨 在 提 高 读 者 应 用 高 等 数 学 解 决 实 际 问 题 的 能 力 本 书 可 作 为 高 等 工 科 院 校 工 学 经 济 学 等 各 专 业 高 等 数 学 的 辅 导 教 材, 也 可 作 为 相 关 教 师 工 程 技 术 人 员 用 书 和 参 考 书 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) / 刘 春 凤 主 编 北 京 : 科 学 出 版 社, 009 ( 高 等 教 育 十 一 五 规 划 教 材 公 共 基 础 课 教 材 系 列 ) ISBN 978 唱 7 唱 03 唱 0550 唱 3 Ⅰ 畅 高 Ⅱ 畅 刘 Ⅲ 畅 高 等 数 学 高 等 学 校 教 学 参 考 资 料 Ⅳ 畅 O3 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (000) 第 5897 号 责 任 编 辑 : 沈 力 匀 张 斌 / 责 任 校 对 : 赵 燕 责 任 印 制 : 吕 春 珉 / 封 面 设 计 : 耕 者 设 计 工 作 室 出 版 北 京 东 黄 城 根 北 街 6 号 邮 政 编 码 : 0077 ht tp :// w w w sciencep co m 科 学 出 版 社 发 行 各 地 新 华 书 店 经 销 印 刷 倡 009 年 9 月 第 一 版 开 本 : /6 009 年 9 月 第 一 次 印 刷 印 数 : 印 张 : 33 字 数 : 定 价 : 48 畅 00 元 ( 如 有 印 装 质 量 问 题, 我 社 负 责 调 换 枙 枛 ) 销 售 部 电 话 00 唱 编 辑 部 电 话 00 唱 ( H P04) 版 权 所 有, 侵 权 必 究 举 报 电 话 : 00 唱 ; 00 唱 ; 科 学 出 版 社 wwwaboo

4 高 等 教 育 十 一 五 规 划 教 材 编 委 会 主 任 刘 保 相 副 主 任 金 殿 川 编 委 刘 春 凤 万 星 火 肖 继 先 张 春 英 徐 秀 娟 魏 明 军 阎 红 灿 李 丽 红

5 前 言 本 书 是 枟 高 等 数 学 枠 ( 上 下 册 ) ( 刘 春 凤 主 编, 科 学 出 版 社, 008 年 ) 的 配 套 学 习 辅 导 书, 是 依 据 工 科 类 经 济 管 理 类 各 专 业 对 枟 高 等 数 学 枠 课 程 的 教 学 要 求 和 考 研 大 纲 要 求 而 编 写 的 在 主 教 材 枟 高 等 数 学 枠 ( 上 下 册 ) 中, 遵 循 教 育 部 高 等 学 校 非 数 学 类 专 业 数 学 基 础 教 学 指 导 分 委 员 会 修 订 的 工 科 类 本 科 数 学 基 础 课 程 教 学 基 本 要 求, 体 现 新 形 势 下 教 材 改 革 的 精 神 枟 高 等 数 学 枠 ( 上 下 册 ) 主 教 材 期 望 在 加 强 应 用 能 力 培 养 提 高 综 合 分 析 能 力 和 创 新 能 力 方 面 为 学 生 奠 定 良 好 的 数 学 基 础 首 先, 教 材 传 承 高 等 数 学 的 结 构 体 系, 将 现 代 数 学 的 观 点 思 想 符 号 术 语 渗 透 其 中, 结 构 严 谨 逻 辑 清 晰 符 合 认 知 规 律 ; 其 次, 教 材 考 虑 普 通 工 科 院 校 学 生 对 数 学 的 需 求, 本 着 以 应 用 为 目 的, 以 必 需 够 用 为 度 的 原 则, 对 繁 琐 的 理 论 推 导 进 行 了 适 度 的 约 简, 增 加 了 大 量 的 图 形, 对 数 学 的 理 论 和 概 念, 尽 可 能 地 通 过 几 何 直 观, 解 释 其 抽 象 和 深 刻 的 内 涵, 通 俗 易 懂, 宜 教 易 学 ; 再 次, 教 材 对 数 学 概 念 和 理 论, 加 强 了 其 产 生 背 景 和 应 用 范 围 的 介 绍, 注 重 引 导 学 生 品 味 数 学 源 于 现 实 高 于 现 实 的 境 界, 指 引 学 生 体 会 数 学 与 现 实 中 的 客 观 现 象 密 切 的 联 系 例 题 的 选 择 注 意 典 型 适 度 可 拓 展, 阐 述 数 学 方 法 时, 由 浅 入 深, 注 重 启 发 联 想, 引 导 探 究, 力 求 使 读 者 融 会 贯 通 ; 最 后, 教 材 介 绍 了 Mathematica 软 件 在 高 等 数 学 中 的 应 用, 适 度 嵌 入 了 与 高 等 数 学 密 切 相 关 的 数 学 实 验 课 题, 让 学 生 学 习 使 用 Mathematica 软 件 进 行 各 种 运 算 绘 制 图 形 和 完 成 实 验 课 题 该 软 件 的 强 大 功 能 和 丰 富 有 趣 的 内 容 使 高 等 数 学 如 虎 添 翼, 一 方 面 大 大 拓 宽 了 高 等 数 学 的 应 用 范 围 ; 另 一 方 面, 相 对 于 传 统 教 材, 过 去 学 生 由 于 计 算 技 术 的 局 限 只 能 望 洋 兴 叹 的 问 题, 如 今 可 以 通 过 数 学 实 验 轻 松 解 决, 自 然 会 激 发 学 生 用 数 学 的 兴 趣 本 书 密 切 配 合 主 教 材 枟 高 等 数 学 枠 ( 上 下 册 ), 内 容 充 实, 题 型 全 面, 每 章 首 先 给 出 知 识 网 络 图 和 知 识 卡 片 ; 继 之 进 行 典 型 例 题 的 选 讲 主 教 材 习 题 详 解 ; 最 后 给 出 各 章 自 测 题 和 相 关 知 识 的 数 学 实 验 全 书 体 现 了 主 教 材 科 学 简 约 应 用 现 代 的 特 点, 特 别 注 重 培 养 学 生 分 析 问 题 解 决 问 题 的 能 力 本 书 刘 春 凤 任 主 编, 其 中 上 册 由 纪 楠 阎 少 宏 马 醒 花 任 副 主 编, 下 册 由 杨 爱 民 彭 亚 绵 米 翠 兰 任 副 主 编, 刘 春 凤 编 写 了 第 9 章, 杨 爱 民 编 写 了 第 6 章, 阎 少 宏 编 写 了 第 5 8 章, 纪 楠 编 写 了 第 4 7 章, 彭 亚 绵 编 写 了 3 0 章, 马 醒 花 米 翠 兰 编 写 了 ~ 章 的 自 测 题, 全 书 最 后 由 主 编 和 所 有 编 者 修 改 定 稿 在 编 写 过 程 中, 得 到 了 科 学 出 版 社 的 鼎 力 支 持 与 帮 助, 得 到 了 河 北 理 工 大 学 领 导 的 关 心 与 指 导, 特 别 是 河 北 理 工 大 学 刘 保 相 教 授 为 本 书 的 编 写 提 出 了 很 好 的 意 见 和 建 议, 在 此 一 并 表 示 衷 心 的 感 谢 由 于 水 平 有 限, 书 中 谬 误 之 处 恳 请 广 大 读 者 批 评 指 正, 以 期 不 断 完 善 科 学 出 版 社 wwwaboo

6 目 录 前 言 第 章 函 数 畅 知 识 网 络 图 畅 知 识 卡 片 畅 3 习 题 详 解 4 第 章 极 限 与 连 续 9 畅 知 识 网 络 图 9 畅 知 识 卡 片 0 畅 3 典 型 例 题 畅 4 习 题 详 解 8 畅 5 自 测 题 35 畅 6 数 学 实 验 37 第 3 章 导 数 与 微 分 45 3 畅 知 识 网 络 图 45 3 畅 知 识 卡 片 45 3 畅 3 典 型 例 题 48 3 畅 4 习 题 详 解 59 3 畅 5 自 测 题 80 3 畅 6 数 学 实 验 8 第 4 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 86 4 畅 知 识 网 络 图 86 4 畅 知 识 卡 片 86 4 畅 3 典 型 例 题 88 4 畅 4 习 题 详 解 03 4 畅 5 自 测 题 6 4 畅 6 数 学 实 验 8 第 5 章 不 定 积 分 33 5 畅 知 识 网 络 图 33 5 畅 知 识 卡 片 33 5 畅 3 典 型 例 题 36 5 畅 4 习 题 详 解 43 5 畅 5 自 测 题 68 5 畅 6 数 学 实 验 70

7 iv 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 第 6 章 定 积 分 及 其 应 用 75 6 畅 知 识 网 络 图 75 6 畅 知 识 卡 片 75 6 畅 3 典 型 例 题 79 6 畅 4 习 题 详 解 88 6 畅 5 自 测 题 04 6 畅 6 数 学 实 验 05 第 7 章 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 0 7 畅 知 识 网 络 图 0 7 畅 知 识 卡 片 0 7 畅 3 典 型 例 题 3 7 畅 4 习 题 详 解 4 7 畅 5 自 测 题 50 7 畅 6 数 学 实 验 5 科 学 出 版 社 wwwaboo

8 目 录 第 8 章 多 元 函 数 微 分 学 65 8 畅 知 识 网 络 图 65 8 畅 知 识 卡 片 65 8 畅 3 典 型 例 题 74 8 畅 4 习 题 详 解 9 8 畅 5 自 测 题 35 8 畅 6 数 学 实 验 37 第 9 章 重 积 分 33 9 畅 知 识 网 络 图 33 9 畅 知 识 卡 片 33 9 畅 3 典 型 例 题 36 9 畅 4 习 题 详 解 33 9 畅 5 自 测 题 畅 6 数 学 实 验 345 第 0 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 畅 知 识 网 络 图 畅 知 识 卡 片 畅 3 典 型 例 题 畅 4 习 题 详 解 畅 5 自 测 题 40 0 畅 6 数 学 实 验 404 第 章 无 穷 级 数 407 畅 知 识 网 络 图 407 畅 知 识 卡 片 408 畅 3 典 型 例 题 4 畅 4 习 题 详 解 49 畅 5 自 测 题 438 畅 6 数 学 实 验 440 第 章 常 微 分 方 程 447 畅 知 识 网 络 图 447 畅 知 识 卡 片 447 畅 3 典 型 例 题 448 畅 4 习 题 详 解 464

9 iv 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 下 册 ) 畅 5 自 测 题 484 畅 6 数 学 实 验 485 附 录 自 测 题 参 考 答 案 49 附 录 009 年 高 等 数 学 考 研 大 纲 ( 数 学 一 ) 496 主 要 参 考 文 献 50 科 学 出 版 社 wwwaboo

10 第 章 函 数 畅 知 识 网 络 图 畅 知 识 卡 片 畅 常 见 的 实 数 集 与 记 号 自 然 数 集 N {0,,,3,,n,} ; 整 数 集 Z {0, ±, ±, ± 3,, ± n,} ; 有 理 数 集 Q { 有 理 数 }, 其 中 :Q+ { 正 有 理 数 },Q- { 负 有 理 数 } ; 无 理 数 集 W { 无 理 数 } ; 实 数 集 R ( -, ), 其 中 :R+ (0, ),R- ( -,0) ; 二 维 平 面 R ( -, ) ( -, ) {(,y) ( -, ),y ( -, )} ; n 维 空 间 R n R R R (,,,n) k R,k,,,n ; n 维 空 间 R n 中 两 点 距 离 ρ(,y) ( - y ) + ( - y ) + + ( n - yn) 畅 实 数 的 绝 对 值 绝 对 值 的 定 义 a a a 0 - a a < 0

11 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 绝 对 值 的 性 质 () a 0 ; () a a ; (3) a - a ; (4) - a a a 绝 对 值 的 运 算 性 质 () a + b a + b ; () a - b a - b ; (3) ab a b ; (4) a b a b ( b ) 0 ; (5) < ε 骋 - ε < < ε, - a < ε 骋 a - ε < < a + ε; (6) > ε 骋 < - ε 和 > ε 3 畅 邻 域 直 线 上 的 点 邻 域 U( 0,δ) { - 0 < δ} ( 0 - δ,0 + δ) ; 礋 去 心 邻 域 U( 0,δ) { 0 < - 0 < δ} ; 左 邻 域 U - ( 0,δ) ( 0 - δ,0 ) ; 右 邻 域 U + ( 0,δ) ( 0,0 + δ) ; 空 间 的 邻 域 U( P0,δ) {(,y,z) ( - 0 ) + ( y - y0 ) + ( z - z0 ) < δ} 4 畅 充 分 必 要 条 件 充 分 和 必 要 条 件 如 果 命 题 为 若 A 则 B, 那 么 称 A 为 B 的 充 分 条 件, B 为 A 的 必 要 条 件, 记 作 A 痴 B 充 要 条 件 如 果 命 题 若 A 则 B 与 若 B 则 A 同 时 成 立, 那 么 称 A 与 B 互 为 充 分 必 要 条 件, 简 称 充 要 条 件, 记 作 A 骋 B 5 畅 常 用 三 角 公 式 ) 两 角 和 差 公 式 ) 倍 角 公 式 3) 降 幂 公 式 sin( ± y) sin cos y ± cos sin y ; cos( ± y) cos cos y 碢 sin sin y ; tan( ± y) tan ± tan y 碢 tan tan y sin sin cos ; cos cos - sin sin - cos ; 科 学 出 版 社 wwwaboo

12 第 章 函 数 3 4) 积 化 和 差 公 式 cos + cos sin sin y - [cos( + y) - cos( - y)] ; cos cos y [cos( + y) + cos( - y)] ; sin cos y [sin( + y) + sin( - y)] ; cos sin y [sin( + y) - sin( - y)] 6 畅 极 坐 标 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 ( 图 畅 ) rcosθ y rsinθ 0 r < +,0 θ < π ; + y r ; tanθ y θ arctan y 7 畅 奇 ( 偶 ) 函 数 图 畅 f( - ) - f( ) ( 或 f( - ) f( )) 8 畅 有 界 函 数 设 函 数 y f( ) 在 区 间 I 上 有 定 义, 若 愁 M > 0, 使 得 对 橙 I, 均 有 f( ) M, 则 称 函 数 f( ) 在 I 上 有 界 如 果 这 样 的 数 M 不 存 在, 则 称 函 数 f( ) 在 I 上 无 界 9 畅 单 调 函 数 设 函 数 y f( ) 在 区 间 I 上 有 定 义, 若 对 任 意 两 点, I, 当 < 时, 有 f( ) < f( ) ( 或 f( ) > f( )) 则 称 函 数 y f( ) 在 区 间 I 上 单 调 增 加 ( 或 单 调 减 少 ) 0 畅 周 期 函 数 f( ± T) f( ), 则 称 f( ) 为 周 期 函 数, T 称 为 f ( ) 的 周 期

13 4 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 数 畅 基 本 初 等 函 数 下 列 五 种 函 数 : 幂 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 三 角 函 数 反 三 角 函 数 称 为 基 本 初 等 函 畅 复 合 函 数 y f[ φ( )], 为 自 变 量, y 为 因 变 量, u φ( ) 称 为 中 间 变 量 3 畅 初 等 函 数 由 基 本 初 等 函 数 和 常 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 及 有 限 次 复 合 步 骤 所 构 成 并 能 用 一 个 解 析 式 表 示 的 函 数, 称 为 初 等 函 数 畅 3 习 题 详 解 习 题 畅 设 f( ) arccos(lg ), 求 f(0 - ),f(),f(0) 解 f(0 - ) arccos(lg0 - ) arccos( - lg0) arccos( - ) π ; f() arccos(lg) arccos0 π ; f(0) arccos(lg0) arccos 0 畅 畅 设 f( + ), 求 f( ) 解 f( ) - 3 畅 求 下 列 函 数 的 定 义 域 () y ; 解 4-0 痴 ± 且 痴 - 3, 所 以 定 义 域 为 [ - 3, - ) -,, + () y arcsin - 解 - - 所 以 定 义 域 为 -,3 (3) y ; ; 痴 - - 痴 - 3, 解 0, 所 以 定 义 域 为 -,0 0, + 科 学 出 版 社 wwwaboo

14 第 章 函 数 5 (4) y arctan ; 解 0 且 5-0 痴 5, 所 以 定 义 域 为 -,0 (0,5] (5) y + + ( - ) 解 + > 0 痴 > - 且 - 0 痴 0 和, 所 以 定 义 域 为 ( -,0] [, + ) 4 畅 下 列 各 题 所 给 的 两 个 函 数 是 否 相 同, 为 什 么? () f( ),g( ) e ln ; 解 两 个 函 数 不 相 同 ; f( ), R ;g( ) e ln, 0, + ; 两 个 函 数 定 义 域 不 相 同 () f( ) ln,g( ) ln ; 解 两 个 函 数 相 同 ; f( ) ln ln g( ) ; 且 两 个 函 数 定 义 域 相 同, 为 (0, + ) (3) f( ) arccos,g( ) π - arcsin ; 解 两 个 函 数 相 同 ; g( ) - f( ) π - arcsin - arccos 0 ; 且 两 个 函 数 定 义 域 相 同, 为 -, -, > (4) f( ) -,g( ) 0, -, < 解 两 个 函 数 相 同 ; g( ) - f( ) 0 ; 且 两 个 函 数 定 义 域 相 同, 为 R 5 畅 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 () f( ) (e + e - ) ; 解 f( - ) (e- + e ) f( ), 偶 函 数 () f( ) lg - + ; 解 (3) g( ) f( - ) + f( ) lg lg - + lg a - ; lg 0, 奇 函 数

15 6 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 解 f( - ) - a - -, 非 奇 非 偶 函 数 -, < - (4) f( ),, > 解 f( - ) - -, - < -, - -, - >, >, -, < - f( ), 偶 函 数 6 畅 下 列 函 数 中 哪 些 是 周 期 函 数? 如 果 是 周 期 函 数, 指 出 其 周 期 () y sin ; 解 非 周 期 函 数 () y sin + cos ; 解 周 期 函 数, y sin + 4π + cos T 4π (3) y + 4π E, n n + - E, n + < < n + 解 周 期 函 数, T 畅 sin + 8π + cos + π sin + cos 7 畅 证 明 函 数 y ln 在 区 间 (0, + ) 内 单 调 增 加 证 设 橙, (0, + ) 且 <, 则 ln - ln ln 即 ln > ln, 所 以 y ln 在 区 间 (0, + ) 内 单 调 增 加 8 畅 求 下 列 函 数 的 反 函 数, 并 写 出 反 函 数 的 定 义 域 () y - + ; 解 y + 即 () y sin > ln 0, - 痴 y + y - 痴 + y - y 痴 - y + y y - +, ( -, - ) ( -, + ) π 3 π 解 y arcsin - 9 畅 某 公 共 汽 车 运 行 路 线 全 长 0 公 里, 票 价 规 定 如 下 : 乘 坐 4 公 里 以 下 者 收 费 元, 乘 坐 4 ~ 0 公 里 收 费 元,0 公 里 以 上 收 费 3 元, 试 建 立 票 价 与 路 程 的 函 数 关 系 解 设 票 价 为 y, 路 程 为, 则 科 学 出 版 社 wwwaboo

16 第 章 函 数 7 y, 0 < 4, 4 < 0 3, 0 0 畅 如 果 y u,u + v,v cos, 将 y 表 成 的 函 数 解 y + cos, R 畅 如 果 f( ) 3 +,φ( t) lg( + t), 求 f[ φ( t)] 解 f φ( t) 3 lg( + t) + lg( + t),t -, + 畅 下 列 函 数 可 以 看 成 由 哪 些 简 单 函 数 复 合 而 成? () y 3 - ; 解 y u,u 3 - 畅 () y ( + ln ) 5 解 y u 5,u + ln (3) y e e - ; 解 y e u,u e v,v - 畅 (4) y ln ; 解 y u,u ln,v (5) y lg arccos 3 畅 解 y u,u lg v,v arccos t,t 3 畅 3 畅 将 函 数 y 用 分 段 函 数 表 示, 并 绘 出 函 数 图 形 解 y 6 -, 4 +, < 函 数 图 形 如 图 畅 所 示 图 畅

17 8 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 4 畅 设 f( ) 解 f f( ) -, 求 f[ f( )] 畅 求 下 列 函 数 的 定 义 域 () y - e - ; 解 R () y ln(3 - ) - ; - 解 3 - > 0 痴 < 3 且 - > 0 痴 > 痴 < - 和 >, 所 以 定 义 域 为 ( -, - ) (,3) (3) y arccos 解 且 痴 痴 痴 > 0 痴 > 0 痴 < - 和 > 3, 所 以 定 义 域 为 [ - 3, - ) (3,4] 科 学 出 版 社 wwwaboo

18 第 章 极 限 与 连 续 畅 知 识 网 络 图

19 0 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 畅 畅 数 列 极 限 的 定 义 与 性 质 畅 知 识 卡 片 定 义 : 若 对 橙 ε > 0, 总 愁 N > 0, 当 n > N 时, 恒 有 n - a < ε 则 称 常 数 a 是 数 列 { n} 的 极 限, 或 称 数 列 { n} 收 敛 于 a 记 为 n a 或 n a( n ) n 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 局 部 保 号 性 ( 保 序 性 ) 畅 畅 函 数 极 限 的 定 义 与 性 质 自 变 量 趋 于 无 穷 大 时 极 限 的 精 确 刻 划 ( ε - X 语 言 ) : 设 函 数 y f( ) 在 > N( N > 0) 时 有 定 义, A 为 常 数, 若 橙 ε > 0, 愁 X > 0, 当 > X 时, 有 f( ) - A < ε, 则 称 当 时, f( ) 以 A 为 极 限, 记 作 f( ) A 或 f ( ) A( ) 自 变 量 趋 于 有 限 数 时 函 数 极 限 的 精 确 刻 划 ( ε - δ 语 言 ) : 橙 ε > 0, 愁 δ > 0, 0 < - 0 < δ 时, 恒 有 f( ) - A < ε 则 称 当 0 时,f( ) 以 A 为 极 限 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 局 部 保 号 性 ( 保 序 性 ) 畅 畅 3 极 限 的 存 在 准 则 则 0 n n 准 则 Ⅰ 两 边 夹 定 理 礋 若 () 对 于 U( 0,r) ( 或 > X ) 的 一 切, 有 h( ) f( ) g( ) ; ( ) () 0 ( ) h( ) A g( ), 0 ( ) f( ) 存 在, 且 0 ( ) f( ) A 准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 包 含 两 方 面 含 义 : () 单 调 增 有 上 界 的 数 列 必 有 极 限, 即 若 { n}, 且 愁 M R, 使 得 对 橙 n, 有 M, 则 0 n 存 在 () 单 调 减 有 下 界 的 数 列 必 有 极 限, 即 若 { n}, 且 愁 M R, 使 得 对 橙 n, 有 M, 则 0 n 存 在 畅 畅 4 重 要 极 限 科 学 出 版 社 wwwaboo () Δ 0 sin Δ Δ ; () v( ) 0 u( ) ( + v( )) u( ) e u( ) v( ) v( ) 0 u( )

20 第 章 极 限 与 连 续 畅 畅 5 无 穷 小 阶 的 比 较 畅 无 穷 小 阶 的 概 念 如 果 β α 0, 则 称 β 是 比 α 高 阶 的 无 穷 小 记 作 β o(α) ; 如 果 β α, 则 称 β 是 比 α 低 阶 的 无 穷 小 ; 如 果 β α C 0 ( C 为 常 数 ), 则 称 β 与 α 是 同 阶 无 穷 小 ; 如 果 β α, 则 称 β 与 α 是 等 价 无 穷 小, 记 作 β ~ α 如 果 β α k C 0,k > 0, 则 称 β 是 关 于 α 的 k 阶 无 穷 小 β α 畅 等 价 无 穷 小 在 极 限 运 算 中 的 应 用 定 理 畅 设 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中,α ~ α,β ~ β, 且 β 存 在 ( 或 ), 则 α β α 常 用 的 等 价 无 穷 小 ( 0, 或 Δ 0) sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ sin Δ ~ Δ tan Δ ~ Δ arcsin Δ ~ Δ arctan Δ ~ Δ e - ~ e Δ - ~ Δ ln( + ) ~ ln( + Δ) ~ Δ - cos ~ - cos Δ ~ Δ n + - ~ n n + Δ - ~ Δ n + - ~ + Δ - ~ Δ an n + an- n- + + an- k n- k ~ an- k n- k ( n > k,n k) 畅 畅 6 连 续 与 间 断 连 续 定 义 设 函 数 y f( ) 在 点 0 的 某 邻 域 内 有 定 义, 如 果 在 0 处 当 自 变 量 的 改 变 量 Δ - 0 趋 于 零 时, 对 应 的 函 数 改 变 量 Δ y 也 趋 于 零, 即 Δ y [ f( 0 + Δ ) - f( 0 )] 0 Δ 0 Δ 0 则 称 函 数 f( ) 在 点 0 处 连 续, 0 称 为 函 数 f( ) 的 连 续 点

21 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 间 断 点 的 定 义 函 数 f( ) 在 0 处 连 续, 即 0 f( ) f( 0 ) 包 含 三 个 要 点 : () 有 定 义 : 函 数 f( ) 在 点 0 有 定 义, 即 f( 0 ) 存 在 ; () 有 极 限 : 0 f( ) 存 在 ; (3) 极 限 值 等 于 函 数 值 : 0 f( ) f( 0 ) 换 言 之, f( ) 在 0 处 连 续 要 求 上 述 三 点 同 时 满 足 如 果 三 条 中 有 一 条 不 满 足, 则 0 称 为 函 数 f( ) 的 间 断 点 或 不 连 续 点 间 断 点 的 分 类 第 一 类 间 断 点 : f( - 0 ) 和 f( + 0 ) 都 存 在 : () 若 f( - 0 ) f( + 0 ), 称 点 0 为 函 数 f( ) 的 可 去 间 断 点 此 时 0 f( ) 存 在, 但 可 能 0 f( ) A f( 0 ) 或 f( 0 ) 不 存 在 ; () 若 f( - 0 ),f( + 0 ) 都 存 在 有 限 极 限, 但 f( - 0 ) f( + 0 ), 称 点 0 为 函 数 f( ) 的 跳 跃 间 断 点, f( + 0 ) - f( - 0 ) 称 为 跳 跃 度 第 二 类 间 断 点 : 若 f( - 0 ) 及 f( + 0 ) 中 至 少 有 一 个 为, 则 称 点 0 为 函 数 f( ) 的 无 穷 间 断 点 ; 若 f( - 0 ) 及 f( + 0 ) 至 少 有 一 个 不 存 在, 且 不 是, 则 称 点 0 振 荡 间 断 点 为 函 数 f( ) 的 畅 畅 7 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 定 理 畅 ( 最 值 定 理 ) 若 f( ) C 0 [ a,b], 则 必 存 在 M ma{ f( )} 和 I m min{ f( )} I 定 理 畅 3 ( 有 界 性 定 理 ) 闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 在 该 区 间 上 有 界 定 理 畅 4( 介 值 定 理 ) 若 f( ) C 0 [ a,b], 且 f( a) f( b),c 为 介 于 f ( a) 与 f( b) 之 间 的 任 一 实 数, 则 至 少 存 在 一 点 ξ ( a,b), 使 得 f(ξ) C 定 理 畅 5( 零 点 定 理 ) 若 f( ) C 0 [ a,b], 且 f( a) f( b) < 0, 则 至 少 存 在 一 点 ξ ( a,b), 使 f(ξ) 0 畅 即 方 程 f( ) 0 在 ( a,b) 内 至 少 有 一 个 根 ξ,ξ 又 称 为 函 数 y f( ) 的 零 点 题 型 一 利 用 化 简 求 极 限 解 等 畅 3 典 型 例 题 第 一 部 分 极 限 的 求 解 解 题 思 路 化 简 一 般 包 括 因 式 分 解 恒 等 变 形 分 子 分 母 有 理 化 等 价 无 穷 小 代 换 分 例 畅 求 0 - cos cos (996 考 研 题 ) 科 学 出 版 社 wwwaboo

22 第 章 极 限 与 连 续 3 解 原 式 0 - cos + cos ( - cos ) - cos - cos cos 0 - cos cos 0 0 备 注 () 分 子 有 理 化 + 0 () 极 限 的 四 则 运 算 法 则 (3) 等 价 无 穷 小 代 换 ( ) 3 - cos ( + cos ) 例 畅 求 (998 考 研 题 ) 解 原 式 0 ( ) - ( ) ( - + ) 备 注 () 分 子 有 理 化 () 极 限 求 解 的 四 则 运 算 法 则 sin Δ 题 型 二 利 用 两 个 重 要 极 限 Δ 0 型 和 型 求 极 限 Δ 例 畅 3 求 0 tan - sin sin 3 (994 考 研 题 ) 分 析 如 果 函 数 中 出 现 三 角 函 数 时, 一 般 化 为 含 sin,cos 的 形 式 解 原 式 0 0 sin cos - sin sin 3 sin 0 sin 注 亦 可 直 接 用 等 价 无 穷 小 代 换 - cos cos sin 0 cos sin cos sin ln( + 例 畅 4 求 0 (cos ) ) (995 考 研 题 ) 分 析 型 解 原 式 0 ( + cos - ) ln( + ) e cos - 0ln( + ) - 0 e e -

23 4 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 注 用 到 了 等 价 无 穷 小 代 换 题 型 三 利 用 无 穷 小 量 的 关 系 求 极 限 利 用 等 价 无 穷 小 求 极 限 时, 一 定 要 注 意 : 只 有 在 乘 积 或 比 值 中 才 能 使 用 等 价 无 穷 小 代 换, 在 和 差 中 一 般 不 能 用 等 价 代 换 有 时 等 价 代 换 化 简 洛 必 达 法 则 结 合 在 一 起 使 用, 可 以 达 到 事 半 功 倍 的 效 果 例 畅 5 求 ln( ) arcsin 3 - (999 考 研 题 ) 分 析 利 用 等 价 无 穷 小 代 换 解 原 式 例 畅 6 设 α( ) 5 的 ( ) (00 考 研 题 ) sin t t d t,β( ) sin ( + t) t d t, 则 当 0 时,α( ) 是 β( ) 0 A 畅 高 阶 无 穷 小 ; B 低 阶 无 穷 小 ; C 同 阶 但 不 等 价 ; D 等 价 无 穷 小 解 因 为 0 α( ) β( ) 所 以 C 正 确 洛 必 达 法 则 0 sin5 5 5 ( + sin ) sin cos 等 价 代 换 重 要 极 限 5 e 例 畅 7 设 当 0 时,( - cos )ln( + ) 是 比 sin n 高 阶 的 无 穷 小, 而 sin n 是 比 (e - ) 高 阶 的 无 穷 小, 则 正 整 数 n 的 值 为 多 少? (000 考 研 题 ) 解 0 时,( - cos )ln( + ) ~ 4,sin n ~ n+,e - ~, 所 以 n + 3, 即 n 畅 题 型 四 利 用 洛 必 达 法 则 求 极 限 (7 种 未 定 型 ) : 第 4 章 具 体 介 绍 题 型 五 利 用 Talor 公 式 求 极 限 : 第 章 具 体 介 绍 题 型 六 利 用 函 数 极 限 与 数 列 极 限 之 间 的 关 系 求 极 限 效 而 kπ 0 例 畅 8 求 + 分 析 此 题 是 0 sin t d t k π 0 sin t d t (00 考 研 题 ) 型, 但 是 原 式 sin t d t k kπ 0 解 原 式 令 kπ k + 洛 必 达 法 则 sin t d t kπ k + + k π 0 sin sin t d t kπ 科 学 出 版 社 wwwaboo 不 存 在, 所 以 洛 必 达 法 则 失 π

24 第 章 极 限 与 连 续 5 联 想 0 + cos t d t π 例 畅 9 求 n ntan n n (003 考 研 题 ) 解 原 式 令 n + 0 tan 重 要 极 限 e tan e 3 题 型 七 利 用 函 数 极 限 存 在 的 充 要 条 件 求 极 限 解 题 思 路 求 分 段 函 数 在 分 段 点 处 的 极 限 或 求 某 些 特 殊 函 数 在 一 些 点 处 的 极 限 时, 可 用 极 限 存 在 的 充 要 条 件 ( 左 右 极 限 存 在 并 相 等 ) 来 求 解 例 畅 0 求 0 分 析 由 于 + 0 e 解 e + e 4 + e + e 4 + sin + e + e 4 + sin (004 考 研 题 ) +, - 0 e 0, 所 以 可 以 分 别 求 该 函 数 的 左 右 极 限 + sin + e e 4 sin e + 0 e e e e 4 题 型 八 利 用 单 调 有 界 准 则 求 极 限 特 点 :() 出 现 关 系 式 () 可 转 化 出 关 系 式 sin 方 法 :() 利 用 数 学 归 纳 法 : 证 明 有 界 ; 证 明 单 调 () 利 用 不 等 式 n n sin sin n n ( i 0,i,,,n) 例 畅 设 0,n+ 6 + n ( n,, ), 试 证 数 列 { n} 极 限 存 在, 并 求 此 极 限 解 用 数 学 归 纳 法 证 单 调 有 界 因 为 0 > 3, 又 0 > 畅 假 设 n > 3, 则 n+ 6 + n > , 可 得 n > 3, 即 数 列 有 下 界 ( 亦 可 证 明 数 列 n > 0 ) 假 设 n- > n, 则 n 6 + n- > 6 + n n+, 所 以 { n} 单 调 下 降 故 n n 存 在, 设 n a, 则 有 a 6 + a, 解 之 得 a 3 畅 n 例 畅 设 a > 0, > 0,n+ n + a n ( n,,3, )

25 6 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) () 证 n+ n+ - n () 证 n n 存 在 ; () 求 n n n + a n n + a n - n n a n a - n n a > 0, 则 n a( n ), 0,{ n} 单 调 下 降, 所 以 n n 存 在 () 解 设 n n b, 则 b b + a b,b a, 即 n n a 题 型 九 利 用 夹 逼 准 则 求 极 限 单 个 数 列 的 极 限 特 点 : 式 子 和 的 极 限 例 畅 3 设 n 解 因 为 n - n < 数 列 之 和 ( a + a + + an) n 函 数 之 和 3 5 ( n - ) 4 6 ( n), 求 n n 找 一 般 项 n 找 ai 的 最 值 n n +, 所 以 n 3 4 n - n < n n + yn, 则 0 < n < n y n 3 4 n - n n n + n + 0( n ), 由 夹 逼 准 则 可 得 : n n 0 畅 题 型 十 利 用 定 积 分 定 义 求 极 限 般 项 为 ai 题 ) 解 题 思 路 数 列 之 和 的 极 限 n ( a + a + + an) 或 可 转 化 为 数 列 之 和 的 极 限, 一 f i n n 或 用 两 边 夹 准 则 可 转 化 为 f ( a + a + + an) n n 例 畅 4 设 n 解 因 为 ln n n n ln + i 所 以 n ln n 故 n n n n n e ln - n i f i n 的 形 式, 则 有 n i n n f( )d 0 n ( n + )( n + ) ( n + n) ( n,, ), 求 n n n (006 考 研 i 4 e ln + i n i n, ln( + )d ln - 0 科 学 出 版 社 wwwaboo

26 第 章 极 限 与 连 续 7 题 型 十 一 利 用 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 特 点 () 单 个 数 列 极 限 n un 时 () un 中 含 有 n!,a n,n n 时 例 畅 5 求 极 限 n n n 3 n n! (997 考 研 题 ) 解 令 an n n 3 n n!, 作 级 数 n an, 因 为 n an+ an ( n + ) n+ n 3 n+ ( n + )! 3 n n! e n n 3 <, n 所 以 级 数 n an 收 敛, 由 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 可 得 n n 3 n n! 0 畅 第 二 部 分 函 数 连 续 性 题 型 一 讨 论 函 数 间 断 点 的 类 型 ( 根 据 定 义 ) 0 + 例 畅 6 求 函 数 f( ) 的 不 连 续 点 且 判 断 其 类 型 (004 考 研 题 ) sin 解 函 数 的 间 断 点 为 sin 0, 即 kπ, ( k 0, ±, ±, ), 因 为 f( ) f( ), 而 0 - kπ f( ), 所 以 0 是 可 去 间 断 点, kπ, ( k ±, ±, ) 是 无 穷 间 断 点 题 型 二 利 用 函 数 的 连 续 性 求 常 数 例 畅 7 设 函 数 f( ) ln( + a 3 ) - arcsin < e a + - a - sin 4 > 0, 问 a 为 何 值 时, f( ) 在 0 处 连 续 ; 问 a 为 何 值 时, f( ) 在 0 处 为 可 去 间 断 点? (999 考 研 题 ) 解 ln( + a 3 ) f( ) arcsin a arcsin 3 a a f( ) 0 + e a + - a - sin a e a 3 a a -

27 8 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) ae a + - a 0 + ( a e a + ) a + 4 令 f( ) f( ), 有 - 6 a a + 4, 得 a -,a - ; 当 a - 时, f( ) f( ) 6 f(0), 故 f( ) 在 0 处 连 续 ; 当 a - 时, f( ) f( ) f(0), 故 f( ) 在 0 处 为 可 去 间 断 点 畅 4 习 题 详 解 练 习 理 解 习 题 畅 观 察 如 下 数 列 n 一 般 项 的 变 化 趋 势, 并 写 出 它 们 的 极 限 () n 4 n ; () n ( - ) n 3 n ; (3) n 5 + n ; (4) n n + n - ; (5) n n( - ) n 解 () 因 为 n 4 n 的 变 化 趋 势 为 n 越 来 越 接 近 于 0, 所 以 4 n n 0 畅 4 n () 因 为 n ( - ) n 3 n 4, 6, 64, 56,, 显 然, 显 然 n ( - ) n 3 越 来 越 接 近 于 0, 所 以 n n ( - ) n 的 变 化 趋 势 为 - 3,3, - 3 3,3 4,, , , 3 n 0 畅 (3) 因 为 n 5 + n 的 变 化 趋 势 为 5 +,5 + 4,5 + 9,5 + 6,, 显 然 n 5 + n 越 来 越 接 近 于 5, 所 以 n 5 + n 5 畅 (4) 因 为 n n + 的 变 化 趋 势 为 n - 越 来 越 接 近 于, 所 以 n n + n - 畅 n 3,4,5 3,6 4,, ,, 显 然 n n + n - (5) 因 为 n n( - ) n 的 变 化 趋 势 为 -,,- 3,4,,- 9999,0000,, 显 然 n 无 限 增 大, 所 以 n n( - ) n 不 存 在 畅 根 据 数 列 极 限 的 定 义 说 明 下 列 极 限 () n n 0 ; (3) n 3 n + n 3 () n ; (4) n - n ; n + a n ( a R) 科 学 出 版 社 wwwaboo

28 第 章 极 限 与 连 续 9 解 () 因 为 : 当 n 时, n 0, 因 此 n n 0 畅 () n - - n - n, 当 n 时, n 0, 因 此 n - n 畅 (3) n - 3 (4) n - 3n + n - 3 n + a n n, 当 n 时, n 0, 3n + 因 此 n n - 3 a n( n + a + n), 当 n 时, a n( n + a + n) 0, n n + a n 畅 3 畅 设 数 列 n 的 一 般 项 n nπ sin n 问 n n? 求 出 N, 使 当 n > N 时, n 与 其 极 限 之 差 的 绝 对 值 小 于 正 数 ε 当 ε 0 畅 00 时, 求 出 数 N 只 要 正 数 ε 解 n 0, n - 0 n n < ε, 即 n > ε 取 N 当 ε 0 畅 00 时, N n - 0 < 0 畅 00 畅 n > 4 畅 设 n ε ε nπ sin n n n + ( n,, ), 证 明 n n 畅 n, 所 以 对 橙 ε > 0, 要 使 n - 0 < ε,, 则 有 n > N 时, n 与 其 极 限 0 之 差 的 绝 对 值 小 于 000, 即 若 取 ε 0 畅 00, 只 要 n > 000, 就 有 证 ( 即 对 橙 ε > 0, 求 数 N, 使 得 当 n > N 时, 恒 有 n - < ε) ; 因 为 n - ε -, 此 时 取 N n +, 对 橙 ε > 0, 要 使 n - < ε, 只 要 n + < ε, 即 ε -, 当 n > N 时, 有 n - < ε, 所 以 n n 畅 思 考 提 高 n 畅 根 据 数 列 极 限 的 定 义 证 明 : 3 n + () n 0 ; () n 3 n n 证 () 对 橙 ε > 0, 要 使 n - 0 n 3 < ε, 只 需 n 3 > ε, 即 n > 于 是 对 橙 ε > 0, 愁 N n 3 0 畅 () 3 n + n ε 3 ε > 0, 当 n > N 时, 有 n - 0 n 3 < ε 成 立, 即 5 ( n + 3) < 5 n + 3 < 5 n, 要 使 3 n + n < ε, 只

29 0 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 要 n 5 n < ε, 即 n > 5 ε 于 是 对 橙 ε > 0, 愁 N 3 n + n ε > 0, 当 n > N 时, 有 畅 设 数 列 n 有 界, 又 n yn 0, 证 明 n n y n 0 畅 3 n + n 证 因 为 数 列 n 有 界, 故 愁 M > 0, 对 任 意 的 n 均 有 n M ; ε 对 橙 ε > 0, 由 于 n yn 0, 所 以 对 M > 0, 愁 N > 0, 使 得 当 n > n y n - 0 n yn < M ε M ε, 因 此 n n y n 0 畅 3 畅 证 明 : n n ( - ) n ( n,, ) 无 界, 但 n n 证 n n ( - ) n k 当 n k,k N k + k, k+ 0,( k ) 当 n k +,k N, 又 k,( k ), 所 以 n n ( - ) n 无 界, 但 k+ 0,( k ), n n 练 习 理 解 畅 根 据 函 数 极 限 的 定 义 说 明 : () 3 (3 - ) 7 ; (3) 习 题 - 4 ; (4) - () ( + 8) ; < ε 成 立, 即 N 时, 恒 有 解 () , 当 3 时, , 因 此 3 (3 - ) 7 () , 当 时, , 因 此 ( + 8) - 4 (3) 注 意 到 f( ) 在 0 - 点 处 没 有 定 义, 当 - 但 - 时, 有 + -, 从 而 科 学 出 版 社 wwwaboo 当 - 时, , 因 此 (4) 注 意 到 f( ) 在 0 - 点 没 有 定 义, 当 - 但 - 时, 有

30 第 章 极 限 与 连 续 , 从 而 当 - 时, , 因 此 畅 根 据 函 数 极 限 的 定 义 说 明 : + 3 () ; () + sin 0 解 () 当 时, , ; () 当 + 时, sin - 0 0, + sin 0 3 畅 当 时, y - + 3, 问 X 等 于 多 少, 使 当 > X 时, y - < 0 畅 0? 解 要 使 < 0 畅 0 成 立, 只 要 > 4 0 畅 即 可, 取 X0 397, 则 只 要 X X0 就 有 y - < 0 畅 0 4 畅 下 列 极 限 存 在 吗? 若 存 在, 求 出 其 数 值 ; 若 不 存 在, 说 明 理 由 () - ; () 0 ; (3) 0 解 () 存 在, - 0 ; () 存 在, 0 ; (3) 0 不 存 在 因 为 f(0 + 0),f(0-0) - 都 存 在 但 不 相 等 5 畅 观 察 并 写 出 下 列 极 限 值 : () ( - ) ; () ; + 3 (3) ; (4) - 解 () 显 然 时, - 3, 所 以 极 限 存 在 且 ( - ) 3 ; () 显 然 - 但 - 时, , 所 以 极 限 存 在 且 ; (3) 显 然 时, , 所 以 极 限 存 在 且 + 3 ; (4) 显 然 - 时, 0, 所 以 极 限 存 在 且 - 0

31 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 6 畅 设 f( ), < 3 3 -, 3, 做 f( ) 的 图 形, 并 求 f(3-0),f(3 + 0) 解 f(3-0) 3,f(3 + 0) 8 ( 图 畅 ) 图 畅 思 考 提 高 畅 用 函 数 极 限 的 定 义 证 明 畅 证 < ε, 得 > 4 ε +, 于 是 对 橙 ε > 0, 愁 X 4 ε + > 0, 当 > X 时, 畅 用 函 数 极 限 的 定 义 证 明 a sin sin a 证 sin - sin a sin - a cos + a < ε, 所 以 畅 sin - a - a 于 是 对 于 橙 ε > 0, 要 使 sin - sin a < ε, 取 δ ε 即 可 此 时 当 0 < - a < δ 时, 有 sin - sin a < ε 成 立, 则 a sin sin a 练 习 理 解 畅 计 算 下 列 极 限 () ( ) ; () 3 习 题 ; (3) - + ; ( - h) - (4) 4 ; (5) ; (6) h 0 h + 科 学 出 版 社 wwwaboo (7) (9) n + - ; (8) n n n n ; ; (0) n ( n + )( n + )( n + 3) 8 n 3

32 第 章 极 限 与 连 续 3 解 () 原 式 直 接 代 入 4 ; () 原 式 直 接 代 入 0 ; (3) 原 式 ; (4) 原 式 ; (5) 原 式 h 0 ( h - ) - ; (6) 原 式 4 ; (7) 原 式 ; (8) 原 式 n - - n ; (9) 原 式 n n( n + ) n ; (0) 原 式 8 畅 计 算 下 列 极 限 3 + () ; () ( - ) 0 + ; (3) (4) ; (5) e + 0 e - e - + e - 解 () 原 式 ; () 原 式 ; (3) 原 式 ; ; (6) [ ( + ) - ( - ) ] + (4) 原 式 - ( 3 + 8) - ( + ) ( + )( 3 + 8) ; - e - (5) 原 式 e - ; (6) 原 式 + ( + ) + ( - ) 思 考 提 高 (4 + ) 30 (9 + ) 0 畅 计 算 极 限 (6 - ) 50 解 原 式

33 4 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) ln( ) 畅 求 极 限 畅 ln( ) 解 原 式 6 ln + ln ln + ln cos + cos + + cos n - n 3 畅 求 0 cos - 解 因 为 n - - n, 所 以 ln ln ln ln 原 式 0 (cos - ) + (cos - ) + + (cos n - ) cos n 4 畅 求 极 限 解 n( n + ) 3 原 式 畅 求 a,b 使 a + b 解 因 为 a + b ( + )( b - a) + (3 - a) + 要 想 满 足 a + b, 则 必 须 练 习 理 解 畅 计 算 下 列 极 限 () 0 (4) π 习 题 4 sin a ( b 0) ; () tan b cot ; 0 sin π - ; (5) 0 sin 3 ( b - a) + + b + 科 学 出 版 社 wwwaboo 3 - a 0 b - a, 解 之 得 - cos (3) ; 0 sin a 3 b 4 ; (6) n 5 n sin 5 n ( 为 非 零 常 数 ) ;

34 第 章 极 限 与 连 续 5 (7) tan sin ; (8) π tan ; 解 () 原 式 0 () 原 式 0 sin a cos b sin b cos sin 0 cos 0 (3) 原 式 0 sin sin ; (4) 原 式 π sin(π - ) π - (5) 原 式 sin 3 ; 9 ; sin 5 n (6) 原 式 n ; 5 n (7) 原 式 tan ; sin (8) 原 式 π sin cos - ; (9) 原 式 y 0 y tan y ; tan (cos - ) (0) 原 式 0 arcsin 3 畅 计 算 下 列 极 限 arctan (9) ; (0) sin - tan 0 0 arcsin 3 a cosb b ; 0 a b ; tan arcsin cos - arcsin - () - ; () + 3 ; 0 0 (3) 解 + 0 () 原 式 e () 原 式 e (3) 原 式 e (4) 原 式 e ; (4) 0 ( - ) e - ; e 3 ; ( + 3) e ; ( tan cot ) 0 e 3 畅 求 极 限 0 (sin + cos ) 畅 + tan co t

35 6 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 解 ( 提 示 : 属 于 的 形 式 ) 原 式 0 [ + (sin + cos - )] 4 畅 利 用 极 限 存 在 准 则 证 明 : n + n e ( sin + cos - ) 0 e 畅 证 因 为 < + n < + n, 且 n + n, 则 n + n 畅 5 畅 求 n n n n 解 因 为 0 < n n n < 3 n, 且 n 3 n 0, 则 根 据 两 边 夹 定 理 n n n n 0 畅 思 考 提 高 畅 计 算 极 限 0 解 原 式 0 sin - tan - cos sin 0 sin sin cos 畅 设 > 0,n+ n + n ( n,, ), 证 明 : n n 存 在, 并 求 n n n+ 证 显 然 n > 0, 则 n+ n + n, 且 n, 即 { n} 单 调 递 减 且 有 界, 所 以 n n 存 在 设 n n a, 则 a 3 畅 求 极 限 n 解 a + a n n + π + n n + π + + n n + nπ n+ n + n, 所 以, 解 之 得 : a,a - ( 舍 去 ) 所 以 n n 畅 n n + π + n n + π + + n n + nπ > n n + nπ + + n n + nπ n n + nπ 又 n n + π + n n + π + + n n + nπ < n n + π + + n n + π n n + π 注 意 到 n n n + nπ n + π n, 且 n n n 科 学 出 版 社 wwwaboo + π sin n + π n 由 夹 逼 准 则 知 : 原 式 畅 4 畅 求 极 限 n sin π n + + sin π n sin π n + n

36 第 章 极 限 与 连 续 7 解 nsin 又 n nsin nsin n n π n π n + n < sin π n sin π n + n < nsin π n + ; π + n n n sin + n nsin 由 夹 逼 准 则 知 : 原 式 π π n + n π ; π n + π ; n! 5 畅 求 极 限 n n n 解 0 < n! 3 n - n < n n n n n n 由 夹 逼 准 则 可 得 : 原 式 0 n, 而 n n 0 畅 6 畅 求 极 限 n n + n + 3 n 解 + n + 3 n n > n n 3 ; + n + 3 n n < 3 n + 3 n + 3 n n 3 n 3 ; 而 n 3 n 3 3 畅 由 夹 逼 准 则 知 n n + n + 3 n 3 7 畅 设 A ma a,a,,am, 且 ak > 0 k,,,m, 证 明 : n n a n + a n + + a n n A 证 n a n + a n + + a n m > n A n A ; 又 n a n + a n + + a n m < n A + A + + A A n m 注 意 到 n A n m A ; 由 夹 逼 准 则 知 : 原 式 A 练 习 理 解 习 题 5 畅 两 个 无 穷 小 的 商 是 否 一 定 是 无 穷 小? 举 例 说 明 解 两 个 无 穷 小 的 商 不 一 定 是 无 穷 小 量, 例 如 当 0 时, y,y 4 都 为 无 穷 小 量, 但 是 y y 不 是 无 穷 小 畅 当 0 时, 证 明 下 列 各 式 : () arcsin ~ ; () arctan ~ ; (3) ln( + ) ~ 解 () 0 () 0 arcsin arcsin ~ ; arctan arctan ~ ; y 0 y 0 y sin y, y tan y,

37 8 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) (3) 0 ln( + ) ln( + ) ~ y 0 y e y -, 3 畅 当 时, 无 穷 小 - 和 () - 3,() ( - ) 是 否 同 阶? 是 否 等 价? - 3 解 () - - ( - y) 3 y 0 y () - 和 - 3 同 阶, 但 不 等 价 ; - 和 ( - ) - y 0 - ( - y) y 3,, ( - ) 是 等 价 的 无 穷 小 4 畅 当 0 时, - 与 3-4 相 比, 哪 一 个 是 高 阶 无 穷 小 量? - 解 因 为 0, 所 以 - 与 3-4 相 比, 3-4 是 高 阶 无 穷 小 量 畅 利 用 等 价 无 穷 小 的 性 质, 求 下 列 极 限 () 0 (3) 0 (6) 0 + tan3 arctan3 ; () 0 sin( n ) (sin ) m, ( n,m 为 正 整 数 ) ; ; (4) 0 sin a ; (7) 0 - cos 3 解 () 原 式 0 3 ; () 原 式 0 n m 3 (3) 原 式 0 3 ; (4) 原 式 0 (5) 原 式 0 (6) 原 式 0 + sin cos - sin sin 3 sin a tan b + 0 a 0,m < n,m n,m > n 0 tan - sin sin 3 sin - tan arcsin 3 ; sin a + ; (5) 0 ( b 0) ; tan b e - ; (8) 0 + ln( + ) - cos cos sin 0 ; tan b a 0 b + 0 a ; (7) 原 式 0 tan (cos - ) 3 b a b ; ; 科 学 出 版 社 wwwaboo

38 第 章 极 限 与 连 续 9 (8) 原 式 畅 求 下 列 极 限 () sin3 ; () arctan arcsin ; 解 () 根 据 有 界 量 与 无 穷 大 量 的 比 值 为 无 穷 小 量 可 得 (3) + sin 0 sin3 0 ; () 根 据 有 界 量 与 无 穷 小 量 的 乘 积 为 无 穷 小 量 可 得 arctan arcsin 0 畅 (3) 根 据 有 界 量 与 无 穷 小 量 的 乘 积 为 无 穷 小 量 可 得 0 + sin 0 畅 7 畅 求 极 限 0 - tan + sin ( )( + sin - ) 解 ( 提 示 : 分 子 上 不 能 直 接 用 等 价 无 穷 小 代 换 ) 原 式 0 8 畅 计 算 极 限 0 (e sin sin cos - sin cos 3 sin - ) 4 + ( - cos )ln( + ) 0 cos sin 解 原 式 畅 计 算 极 限 - + 解 ( 提 示 : 属 于 的 形 式 ) 原 式 e - + e - 0 畅 0 ( + e sin ) - cos 解 ( 提 示 : 属 于 e sin sin - cos 0 0sin 的 形 式 ) 原 式 e e ( ) e 畅 0 [ + (arcsin ) ] cot 解 ( 提 示 : 属 于 的 形 式 ) 原 式 e cot ( arcsin ) 0 e cos arcsin 0 sin e 思 考 提 高 畅 设 α( ) 3-3 +,β( ) c( - ) n, 确 定 c 及 n, 使 当,α( ) ~ β( ) α( ) 解 要 想,α( ) ~ β( ), 则 需 要 β( ) c( - ) n, 因 为

39 30 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) α( ) β( ) y 0 y y cy n, 则 可 得 c 3,n 畅 畅 确 定 a,b 之 值, 使 当 - 时, f( ) ( a + b) 为 无 穷 小 解 当 - 时, ~ ( - ), 所 以 要 想 f( ) 为 无 穷 小, 必 须 - ( a + b) ~ ( - ), 即 a - 畅 令 - f( ) b 0, 即 b 畅 ( - a ) - (4 + ab) b ( a + b) - (4 - b) b - 0, - - (4 - b) b ( - + b) 3 畅 设 0 当 时,α( ),β( ) 是 无 穷 小, 且 α( ) - β( ) 0, 证 明, 当 0 时, e α( ) - e β( ) 与 α( ) - β( ) 是 等 价 无 穷 小 证 0 α( ) - β( ) 0 α( ) - 0 β( ) 0 0 e α( ) 且 0 e α( ) - e β( ) e 0 - e 0 0, β( ) - e α( ) - β( ) e β( ) e α( ) - β( ) - 0 α( ) - β( ) e β( ) α( ) - β( ) 0 α( ) - β( ) e0, 所 以 e α( ) - e β( ) 与 α( ) - β( ) 是 等 价 无 穷 小 4 畅 当 n 时,sin π n + 与 解 sin π n + sin π n + - nπ n sin π n + π n sin n 当 n 时,sin π n + ~ π n 练 习 理 解 形 略 π 是 否 是 等 价 无 穷 小, 并 说 明 理 由 n π n + + n ~ π n + + n ; n π + + n n π n 习 题 6 畅 研 究 下 列 函 数 的 连 续 性, 并 画 出 函 数 的 图 形 : () f( ) + n +, 0 4-3, < ; () f( ), -, < 或 < - 解 () f( ) 在 0, 上 连 续 图 形 略 科 学 出 版 社 wwwaboo () f( ) 在 -, - -, + 上 连 续, 在 - 处 为 跳 跃 间 断 点 图

40 第 章 极 限 与 连 续 3 畅 下 列 函 数 在 指 出 的 点 处 间 断, 说 明 这 些 间 断 点 属 于 哪 一 类 ; 如 果 是 可 去 间 断 点, 则 补 充 或 改 变 函 数 的 定 义 使 它 连 续 : () y () y -, 3 -, > ; tan, kπ, kπ + π (3) y sin, 0 ; (4) y 解 -,, () 为 第 一 类 的 跳 跃 间 断 点 ; ( k 0, ±, ±, ) ; () 0, kπ + π ( k ±, ±,) 为 可 去 间 断 点, 此 时 补 充 f( ) 函 数 连 续 ; kπ( k 0) 为 第 二 类 间 断 点 ; (3) 0 为 第 二 类 间 断 点 ; (4) 为 可 去 间 断 点, 此 时 补 充 f( ) - 函 数 连 续 ; 为 第 二 类 间 断 点 3 畅 求 函 数 f( ) f( ) 解 f( ) 的 连 续 区 间, 并 求 极 限 0 f( ), - 3 f( ) 和 ( + 3)( - ) ( + 3)( - ), 根 据 初 等 函 数 连 续 性 的 性 质, 可 得 函 数 的 连 续 区 间 为 -, - 3, - 3,,, +, 且 0 f( ), f( ) , f( ) 4 畅 求 下 列 函 数 的 连 续 区 间 () f( ) - 3 ; () f( ) lnarcsin - + 解 () 因 为 f( ) 是 初 等 函 数, 且 其 定 义 域 为 ( -,+ ), 所 以 f( ) 的 连 续 区 间 为 ( -, + ) ; (0,] () 因 为 f( ) 是 初 等 函 数, 且 其 定 义 域 为 (0,], 所 以 f( ) 的 连 续 区 间 为 5 畅 求 下 列 极 限 () 0 e t ; () t - t + ; sin (3) π cos(π - ) ; e - (4) 0 ; (5) 0 ; (6) sin5 0 ; (7) ( ) ; (8) + sinln + - sinln

41 3 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 解 () 函 数 在 0 点 连 续, 直 接 代 入 可 得 ; e - 0 e t () 函 数 在 t - 点 连 续, 直 接 代 入 可 得 t - t + - e- ; (3) 函 数 在 π 4 点 连 续, 直 接 代 入 可 得 π 4 sin cos(π - ) - ; (4) 函 数 在 0 点 不 连 续, 不 能 直 接 代 入, 改 用 等 价 无 穷 小 代 换 可 得 0 ; (5) 函 数 在 0 点 不 连 续, 不 能 直 接 代 入, 则 分 子 有 理 化 可 得 sin5 0 sin5 ( ) 0 5( ) 0 ; (6) 函 数 在 0 点 不 连 续, 不 能 直 接 代 入, 改 用 等 价 无 穷 小 代 换 可 得 ; (7) 直 接 代 入 不 能 得 结 果, 为 - 型, 所 以 分 子 有 理 化 可 得 ( ) ; (8) 原 式 + cos ln + 6 畅 已 知 f( ) + e ln( + ) + ln ln + - ln cos sin ln + cos + + 3e sin ln +, sin + ln + 0 畅 原 式 0, 求 f( ) 的 间 断 点, 并 指 出 其 类 型 解 因 为 f( ) 在 0 处 无 定 义, 所 以 0 是 其 间 断 点, 且 f( ) 0 + 3, 0 - f( ), 所 以 0 是 第 一 类 跳 跃 间 断 点 思 考 提 高 畅 研 究 函 数 f( ) -, - <,,, +, < 3, 在 点, 处 的 连 续 性 解 f( ) f(), 但 f( ) 5, 为 连 续 点, + - 为 跳 跃 间 断 点 科 学 出 版 社 wwwaboo

42 第 章 极 限 与 连 续 33 畅 设 f( ) sin, < 0,, 0, 求 f( ) 的 连 续 区 间 e -, > 0, 解 f( ) f() 的 连 续 区 间 为 -, 畅 已 知 f( ) 解 b - 畅 草 图 4 畅 讨 论 f( ) 解 b, 0 <, a,, - b, <, f( ) 在 处 连 续, + +, < - 在 处 连 续, 求 常 数 a,b 之 值 f( ) - b f( ) b + 3 a, 即 a, -, < 的 连 续 性, 并 指 出 间 断 点 的 类 型 -, f( ) f( ) f(), 是 连 续 点 ; - 而 f( ) f( ) 0, 所 以 - 为 第 一 类 的 跳 跃 间 断 点 畅 设 f( ) n 解 f( ) n n n n n 且 f( ) , 试 指 出 f( ) 的 间 断 点 及 其 类 型, 并 画 出 f( ) 的 ± 是 f( ) 的 跳 跃 间 断 点 6 畅 若 f( ) 解 - a - e -, > -, - -, < f( ) -, f( ) 0 f( ), + - -, - 有 可 去 间 断 点, 求 常 数 a 是 可 去 间 断 点, e - a - 则 必 有 (e - a) 0 a e, 即 为 可 去 间 断 点 应 存 在 而 - 0, 练 习 理 解 习 题 7 畅 用 介 值 ( 零 点 ) 定 理 证 明 以 下 各 题 : () 证 明 方 程 至 少 有 一 个 小 于 的 正 根 ; () 证 明 方 程 cos 在 0, π 内 至 少 有 一 个 实 根

43 34 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 证 () 令 f( ) -, 因 为 f(0),f() -, 则 有 f(0) f() - < 0, 所 以 在 (0,) 内 一 定 存 在 一 个 根, 使 得 f( ) 0 畅 f(0) f π () 令 f( ) - cos, 因 为 f(0) -,f - π < 0, 所 以 在 0, π 畅 证 明 方 程 - sin 至 少 有 一 个 正 根 小 于 3 畅 π π, 则 有 内 一 定 存 在 一 个 根, 使 得 f( ) 0 畅 证 令 f( ) - sin -, 因 为 f(0) -,f(3) - sin, 则 有 f(0) f(3) < 0, 所 以 在 (0,3) 内 一 定 存 在 一 个 根, 使 得 f( ) 0 畅 3 畅 证 明 方 程 asin + b( a > 0,b > 0) 至 少 有 一 个 不 超 过 a + b 的 正 根 证 令 f( ) asin + b -, 因 为 f(0) b > 0,f( a + b) asin( a + b) - a 0, 则 有 f(0) f( a + b) 0, 所 以 在 (0,a + b) 内 一 定 存 在 一 个 根, 使 得 f( ) 0 畅 4 畅 若 函 数 f( ) 在 a,b 上 连 续,a < < < < n < b, 则 在 区 间,n 上 至 少 有 一 点 ξ, 使 得 f ξ f + f + + f n n 证 令 A ma{ f,,f n },B min{ f,,f n }, 因 为 函 数 f( ) 在 a,b 上 连 续, 所 以 有 A f + f + + f n n B, 由 介 值 定 理 可 得 在 区 间,n 上 至 少 有 一 点 ξ, 使 得 f ξ f + f + + f n n 思 考 提 高, + 畅 证 明 方 程 证 方 法 一 令 f( ) 有 分 别 包 含 于 (,),(,3) 内 的 两 个 实 根 , 有 + f( ) +, f( ) -, 所 以 方 程 3 - 于 (,),(,3) 内 的 两 个 实 根 方 法 二 ( 提 示 : 构 造 辅 助 函 数 f( ) +, f( ) 有 分 别 包 含 F( ) ( - )( - 3) + ( - )( - 3) + ( - )( - ) ) 畅 设 f( ),g( ) C[ a,b], 且 f( a) > g( a),f( b) < g( b), 证 明 至 少 存 在 一 点 ζ ( a,b), 使 得 f(ξ) g(ξ) 证 设 F( ) f( ) - g( ), 则 F( ) C[ a,b], 且 F( a) f( a) - g( a) > 0, F( b) f( b) - g( b) < 0, 由 零 点 定 理 知, 至 少 存 在 一 点 ξ ( a,b), 使 得 F(ξ) f(ξ) - g(ξ) 0, 即 f(ξ) g(ξ) 3 畅 设 f( ) 在 0, 上 为 非 负 连 续 函 数, f(0) f() 0, 试 证 : 对 任 一 个 小 于 的 正 数 a, 必 有 0 ξ, 使 得 f ξ f ξ + a 科 学 出 版 社 wwwaboo

44 第 章 极 限 与 连 续 35 证 设 F( ) f + a - f( ), 则 其 在 0, - a 上 连 续 又 F(0) f( a) - f(0) f(a) 0,F - a f() - f - a - f - a 0 畅 当 f( a) 0 时 F(0) 0, 取 ξ 0, 得 f ξ f ξ + a ; 当 f - a 0 时 F - a 0, 取 ξ - a, 得 f ξ f ξ + a ; 当 f( a) 0, 且 f - a 0 时 由 零 点 定 理 知, 至 少 有 一 点 0 < ξ < - a <, 使 得 F ξ 0 成 立 即 总 有 ξ 0,, 使 得 f ξ f ξ + a 畅 5 自 测 题 畅 5 畅 单 项 选 择 题 ( 每 小 题 4 分, 共 40 分 ) 畅 当 0 时,cos + - 是 的 ( ) 无 穷 小 (A) 高 阶 ; (B) 低 阶 ; (C) 同 阶 ; (D) 等 价 ln[arccos + (arctan ) ] 畅 极 限 0 e + sin + ( + cos ) ( ) (A) ln π ; (B) ln π + ; (C) ; (D) 0 3 畅 下 列 极 限 中 正 确 的 是 ( ) (A) + + e ; (B) - e ; (C) + e ; (D) e 4 畅 下 列 各 题 正 确 的 是 ( ) (A) 0 sin ; (C) sin ; (B) (D) sin 0 ; sin3 3 5 畅 0 点 是 函 数 f( ) 的 ( ) e + (A) 振 荡 间 断 点 ; (B) 可 去 间 断 点 ; (C) 跳 跃 间 断 点 ; (D) 无 穷 间 断 点 6 畅 f( ) + 0 e < <, 则 0 f( ) ( ) (A) 0 ; (B) 不 存 在 ; (C) ; (D) 7 畅 当 0 时, 与 等 价 的 无 穷 小 量 是 ( ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) 3

45 36 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 8 畅 设 f( ) cos - < 0 k > 0, 则 k 0 是 0 f( ) 存 在 的 ( ) (A) 充 分 但 非 必 要 条 件 ; (B) 必 要 但 非 充 分 条 件 ; (C) 充 分 必 要 条 件 ; (D) 无 关 条 件 e - e sin 9 畅 极 限 0 的 值 等 于 ( ) - sin (A) 0 ; (B) ; (C) e ; (D) 不 存 在 0 畅 极 限 n n + + n n + n ( ) (A) 0 ; (B) ; (C) ; (D) 畅 5 畅 填 空 题 ( 每 小 题 4 分, 共 0 分 ) 畅 若 k e - 0, 则 k 畅 设 当 0 时, 3 + a - 与 cos - 是 等 价 无 穷 小, 则 常 数 a 3 畅 0 - tan 4 畅 0 ( + ) 3 sin 5 畅 设 + - a - b 0, 则 常 数 a,b 的 值 分 别 为 畅 5 畅 3 计 算 题 ( 每 小 题 8 分, 共 40 分 ) 畅 n n + 4 n n - 畅 0 e 3 3 畅 求 极 限 0 - e ln + - cos e + 4 畅 [ln( + a) - ln ] 5 畅 设 f( ) p + q sin, 问 : () p,q 各 取 何 值 时 f( ) ; () p,q 各 取 何 值 时 f( ) 0 ; (3) p,q 各 取 何 值 时 5 f( ) 科 学 出 版 社 wwwaboo

46 第 章 极 限 与 连 续 37 畅 6 数 学 实 验 : 一 元 函 数 图 形 与 极 限 畅 6 畅 实 验 内 容 () 用 Mathematica 做 函 数 图 形 ; () 用 Mathematica 求 极 限 畅 6 畅 实 验 目 的 () 熟 悉 Mathematica 基 本 绘 图 语 句 ; () 掌 握 函 数 极 限 的 有 关 操 作 命 令 ; (3) 学 会 利 用 Mathematica 软 件 对 函 数 进 行 分 析 研 究 畅 畅 6 畅 3 常 用 Mathematica 绘 图 命 令 畅 画 出 以 显 函 数 形 式 定 义 的 平 面 曲 线 基 本 语 句 Plot[f[],{,min,ma}, 选 项 ] ; Plot[{f[],f[], },{,min,ma}, 选 项 ] ; 功 能 第 句, 画 出 函 数 f[] 从 min 到 ma 间 的 图 形, 选 项 可 缺 省 ( 下 同 ) 畅 第 句, 在 同 一 坐 标 系 下 画 出 函 数 f,f, 的 图 形 实 验 畅 画 出 以 下 函 数 的 图 形 () y ln 其 中 [0 畅,0] Mathematica 语 句 :Plot[Log[],{,0 畅,0}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 ) : 图 畅 () y sin,y cos + π 6, 其 中 [ - 4,6] Mathematica 语 句 :Plot[{Sin[],Cos[ + Pi/6]},{,- 4,6}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 3) :

47 38 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 图 畅 3 (3) y,y 3,y3 -,y4 -,y5, 其 中 [ - 4,4] Mathematica 语 句 : Clear[] ; Plot[{^,^3,,^( - ),^( - )},{,- 4,4}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 4) : 畅 画 出 参 数 方 程 形 式 定 义 的 平 面 曲 线 图 畅 4 基 本 语 句 ParametricPlot[{f,fy},{t,tmin,tma}] ; 功 ParametricPlot[{{f,fy},{f,fy}},{t,t min,t ma}] ; 能 第 句, 画 出 参 数 方 程 (t),y y(t) 的 图 形 畅 第 句, 在 同 一 坐 标 系 下 画 出 用 参 数 方 程 表 示 的 两 幅 函 数 图 形 备 注 f,fy 的 给 出 方 式 : () f (t), fy y(t) () f,fy f() 与 f f(),fy 构 成 反 函 数 的 图 形 关 系 (3) r r(t), f r(t)cos(t), fy r(t)sin(t) 实 验 畅 画 出 以 下 函 数 的 图 形 科 学 出 版 社 wwwaboo

48 第 章 极 限 与 连 续 39 t () 其 中 t [0,π] y sin t Mathematica 语 句 :ParametricPlot[{t,Sin[t]},{t,0,Pi}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 5) : 图 畅 5 () t y t, t y t 和 t 其 中 t [ -,] y t Mathematica 语 句 :ParametricPlot[{{t,t^},{t^,t},{t,t}},{t,-,}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 6) : 图 畅 6 rcos t (3) r 9 cos t 且 其 中 t - π y rsin t 4,π 4 Mathematica 语 句 : r 9Sqrt[Cos[t]] ; ParametricPlot[{r 倡 Cos[t],r 倡 Sin[t]},{t, 唱 Pi/4,Pi/4}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 7) :

49 40 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 图 畅 7 3 畅 Show[tu,tu] 函 数 的 应 用 : 功 能 将 tu 及 tu 两 幅 函 数 图 形 重 叠 在 一 起, 将 两 个 函 数 图 形 一 起 显 示 实 验 畅 3 运 行 以 下 程 序, 并 体 验 Show 函 数 () Mathematica 语 句 : n 5 ; 倡 倡 r 5Cos[n t] + Sin[5n t] ; 倡 倡 tu ParametricPlot[{r Cos[t],r Sin[t]},{t,0,Pi}, AspectRatio 唱 >, A es 唱 > False, PlotStyle 唱 > { RGBColor [, 0, 0 ], T hickness [0 畅 0]}] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 8) : Mathematica 语 句 : n 4 ; r 5Cos[n 倡 t] + Sin[5n 倡 t] ; 图 畅 8 科 学 出 版 社 wwwaboo

50 第 章 极 限 与 连 续 4 tu ParametricPlot[{r 倡 Cos[t],r 倡 Sin[t]},{ t,0,pi},plotstyle 唱 > {RGBColor [0,0,],T hickness[0 畅 0]},AspectRatio 唱 > ] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 9) : 图 畅 9 Mathematica 语 句 : Show[tu,tu,A es 唱 > False] ; 运 行 结 果 ( 图 畅 0) : 图 畅 0 畅 6 畅 4 求 极 限 的 Mathematica 命 令 基 本 语 句 Limit[f[], 唱 > 0] 功 能 求 函 数 f[] 在 0 处 的 极 限 畅 基 本 语 句 Limit[f[], 唱 > 0,Direction 唱 > + ]

51 4 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 功 能 求 函 数 f[] 在 0 处 的 左 极 限 畅 基 本 语 句 Limit[f[], 唱 > 0,Direction 唱 > 唱 ] 功 能 求 函 数 f[] 在 0 处 的 右 极 限 畅 基 本 语 句 Limit[f[], 唱 > Infinity] 功 能 求 函 数 f[] 在 唱 > 无 穷 时 的 极 限 畅 基 本 语 句 Limit[f[], 唱 > 唱 Infinity] 功 实 验 畅 4 求 能 求 函 数 f[] 在 唱 > 负 无 穷 时 的 极 限 畅 π Mathematica 语 句 : Clear[] ; - tan, Limit[ Tan[], 唱 > Pi/,Direction 唱 > ] Limit[ Tan[], 唱 > Pi/,Direction 唱 > 唱 ] Limit[ Tan[], 唱 > Pi/] Limit[Sin[]/, 唱 > 0,Direction 唱 > ] Limit[Sin[]/, 唱 > 0,Direction 唱 > 唱 ] Limit[Sin[]/, 唱 > 0] 运 行 结 果 π + tan, tan, π 0 - sin, 0 + sin 和 0 Infinity 唱 Infinity Infinity 实 验 畅 5 求 e + e 4 Mathematica 语 句 : Clear[] 和 e + e 4 Limit[( + Ep[/])/( + Ep[4/]), - > 0,Direction - > ] Limit[( + Ep[/])/( + Ep[4/]), - > 0,Direction - > - ] 运 行 结 果 : 0 实 验 畅 6 求 + arctan, + ( ) Mathematica 语 句 : Clear[] ; Limit[ArcTan[], - > Infinity] Limit[ArcTan[], - > - Infinity] arctan, - Limit[Sqrt[^ + ] - Sqrt[^ + ], - > - Infinity] Limit[Sqrt[^ + ] - Sqrt[^ + ], - > Infinity] 运 行 结 果 : π - π - sin ( ) 和 科 学 出 版 社 wwwaboo

52 第 章 极 限 与 连 续 43 畅 6 畅 5 实 验 练 习 题 练 习 畅 利 用 Mathematica 语 句 作 下 列 函 数 的 图 形, 以 分 析 函 数 的 性 质 () f( ) ( - )sin, [0,6] ; () f( ) sin, [ - 5,5] ; (3) f ( ) sin,f ( ) sin, [0,π] ; (4) 解 sin t y sin t,t [0,π] () Mathematica 语 句 :Plot[(^ 唱 )Sin[],{,0,6}] 运 行 结 果 ( 图 畅 ) : 图 畅 () Mathematica 语 句 :Plot[Sin[^]/^,{, 唱 5,5}] 运 行 结 果 ( 图 畅 ) : 图 畅 (3) Mathematica 语 句 :Plot[{Sin[],Sin[]},{,0,Pi}] 运 行 结 果 ( 图 畅 3) :

53 44 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 图 畅 3 (4) Mathematica 语 句 :ParametricPlot[{Sin[t],Sin[t]},{t,0,Pi}] 运 行 结 果 ( 图 畅 4) : 图 畅 4 练 习 畅 利 用 Mathematica 语 句 求 下 列 函 数 的 极 限 () n nsin n ; (4) 0 解 果 : 果 :E () n n n + sin n + ( n + ) n+ ; (3) n n ; ( n + ) n n tan - sin - ; (5) 3 ; (6) () Mathematica 语 句 :Limit[n 倡 Sin[/n],n 唱 > Infinity] ; 运 行 结 果 : () Mathematica 语 句 :Limit[n^/(n + ) 倡 Sin[(n + )/n^],n 唱 > Infinity] ; 运 行 结 (3) Mathematica 语 句 :Limit[((n + )/n)^(n + ) n/(n + ),n 唱 > Infinity] ; 运 行 结 (4) Mathematica 语 句 :Limit[( Tan[] 唱 Sin[])/^3, 唱 > 0] ; 运 行 结 果 : (5) Mathematica 语 句 :Limit[(^ 唱 )/(6^ 唱 + ), 唱 > Infinity] ; 运 行 结 果 : 6 (6) Mathematica 语 句 :Limit[/, 唱 > 0,Direction 唱 > + ] ; 运 行 结 果 : 唱 Infinity 科 学 出 版 社 wwwaboo

54 第 3 章 导 数 与 微 分 3 畅 知 识 网 络 图 3 畅 知 识 卡 片 畅 定 义 f ( 0 ) Δ 0 Δ y Δ Δ 0 f( 0 + Δ ) - f( 0 ) Δ, 也 可 记 为 y 0, d y d 0 或 d f( ) d 0 畅 导 数 与 左 右 导 数 的 关 系 函 数 f( ) 在 点 0 处 可 导 骋 左 导 数 f - ( 0 ) 和 右 导 数 f + ( 0 ) 都 存 在 且 相 等

55 46 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 3 畅 导 数 的 四 则 运 算 法 则 u( ) ± v( ) u ( ) ± v ( ) u ± v u ± v u( ) v( ) u ( ) v( ) + u( ) v ( ), 简 记 为 uv u v + uv u( ) u ( ) v( ) - u( ) v ( ) u u v - uv v( ) v( ) v v 4 畅 微 分 的 四 则 运 算 法 则 () d[ u ± v] d u ± d v ; () d uv vd u + ud v ; (3) d u v vd u - ud v v 5 畅 常 见 函 数 的 求 导 公 式 ( C) 0 ; ( μ ) μ μ- ; (sin ) cos ; (cos ) - sin ; (tan ) sec ; (cot ) - csc ; (sec ) sec tan ; (csc ) - csc cot ; ( a ) a ln a ; (e ) e ; (loga ) (arcsin ) (arctan ) 6 畅 高 阶 导 数 求 导 公 式 ln a ; (ln ) ; ; (arccos ) ; (arccot ) - α ( n) α(α - ) (α - n + ) ( α- n) ; e a ( n) a n e a ; (e ) ( n) e ; ln( + ) ( n) n- ( n - )! ( - ) ; ( + ) n (sin k) ( n) k n sin k + n π (cos k) ( n) k n cos k + n π a + ( n) ( - ) n n! ( a + ) n+ ; ; ; ; - + 科 学 出 版 社 wwwaboo

56 第 3 章 导 数 与 微 分 47 a - ( n) n! ( a - ) n+ ; ( uv) ( n) u ( n) v + nu ( n- ) v + n( n - ) u ( n- ) v +! + n( n - ) ( n - k + ) u ( n- k) v ( k) + + uv ( n) k! n C k n u ( n- k) v ( k) k 0 7 畅 反 函 数 求 导 法 则 d y d 或 f ( ) d d y [ f - ( y)] 8 畅 复 合 函 数 求 导 法 则 复 合 函 数 y f φ( ) :φ( ) 在 点 0 可 导, f( u) 在 u0 φ( 0 ) 可 导, 则 d y f φ 0 f u0 φ 0 或 d d y d u d u d ( 链 导 公 式 ) 9 畅 隐 函 数 求 导 将 方 程 F(,y) 0 两 边 同 时 对 求 导, 视 y 为 的 函 数, 然 后 解 出 y 即 可 0 畅 对 数 求 导 法 y f( ) 痴 ln y ln f( ) 两 边 求 导 y y ln f( ) 痴 y y ln f( ) 畅 参 数 方 程 求 导 函 数 φ( t) y ψ( t), 导 数 : d y d ψ ( t)d t φ ( t)d t 二 阶 导 数 : d y d ψ ( t),φ ( t) 0 ; φ ( t) ψ ( t) φ ( t) - ψ ( t) φ ( t) φ ( t) 3 畅 可 微 可 导 与 连 续 的 关 系 : 函 数 f( ) 在 点 0 可 微 骋 f( ) 在 点 0 可 导, 且 A f ( 0 ) ; 函 数 f( ) 在 点 0 可 导 痴 f( ) 在 点 0 连 续 3 畅 微 分 形 式 不 变 性 复 合 函 数 y f[ φ( )] 的 微 分 为 :d y y d f ( u) φ ( )d f ( u)d u ;

57 48 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 无 论 u 是 自 变 量 还 是 中 间 变 量, 总 有 d y 称 为 微 分 形 式 不 变 性 f ( u)d u, 即 微 分 形 式 保 持 不 变, 这 一 性 质 题 型 一 利 用 导 数 定 义 求 导 数 解 题 思 路 利 用 定 义 求 导 数 分 三 步 : 3 畅 3 典 型 例 题 第 一 部 分 导 数 定 义 () 假 设 自 变 量 在 指 定 点 处 取 得 一 个 增 量, 写 出 相 应 的 函 数 增 量 ; () 化 简 函 数 增 量 与 自 变 量 增 量 的 比 ; (3) 求 上 述 增 量 比 的 极 限 : 例 3 畅 设 f( ) 解 f () f( + Δ ) - f( ) f ( ) Δ 0 Δ n n, 求 f () f( ) - f() n n 例 3 畅 设 f ( ) 存 在, 且 0 f() - f( - ) 解 因 为 f() - f( - ) 0 所 以 f () - 畅 f( - ) - f() -, 求 f () - - f( + ( - )) - f() ( - ) ( - ) n- n( n + ) f () - 例 3 畅 3 设 f( ) - a φ( ), 其 中 φ( ) 在 a 处 连 续, 求 f ( a) 分 析 f( ) - a φ( ) 称 为 抽 象 函 数, 即 没 有 给 出 具 体 解 析 式 的 函 数 ; 由 题 设 可 知 f( ) 在 a 处 连 续, 但 连 续 不 一 定 可 导, 所 以 只 能 用 定 义 解 f ( a) a f ( ) - f( a) - a a - a φ( ) - a - a φ( a) - a a φ( ) φ( a) ( φ( ) 在 a 处 连 续 ) 例 3 畅 4 设 所 给 的 函 数 可 导, 证 明 : () 奇 函 数 的 导 函 数 是 偶 函 数 ; 偶 函 数 的 导 函 数 是 奇 函 数 ; () 周 期 函 数 的 导 函 数 仍 是 周 期 函 数 分 析 应 用 定 义 求 解, 并 针 对 函 数 的 性 质 化 简 定 义 极 限 式 证 明 () 设 f( ) 为 奇 函 数, 则 f ( - ) Δ 0 f( - + Δ ) - f( - ) Δ 科 学 出 版 社 wwwaboo [ - f( - Δ )] - [ - f( )] Δ 0 Δ

58 第 3 章 导 数 与 微 分 49 设 f( ) 为 偶 函 数, 则 - Δ 0 f( + ( - Δ )) - f( ) ( - Δ ) f ( - ) Δ 0 f( - + Δ ) - f( - ) Δ - - Δ 0 () 设 f( ) 是 周 期 为 T 的 函 数, 则 f( + ( - Δ )) - f( ) ( - Δ ) f ( + T) Δ 0 f(( + T) + Δ ) - f( + T) Δ f ( ) ; Δ 0 f( - Δ ) - f( ) Δ - f ( ) Δ 0 f( + Δ ) - f( ) Δ f ( ) 例 3 畅 5 设 f( ) 在 [ a,b] 上 连 续, f( a) f( b) 0, 且 f + ( a) f - ( b) > 0, 证 明 f( ) 在 ( a,b) 内 至 少 存 在 一 个 零 点 f + 分 析 零 点 定 理 另 一 种 形 式 证 明 由 题 设 知 f + ( a) 和 f - ( b) 同 号, 不 妨 设 两 者 都 为 正 数 由 于 ( a) a+ f( ) - f( a) - a 同 理 由 于 f - ( b) b- f( ) - f( b) - b a+ f( ) - a > 0, 可 知 存 在 ( a < < b),f( ) > 0 b- f( ) - b > 0, 可 知 存 在 ( < < b),f( ) < 0 畅 由 连 续 函 数 的 零 点 存 在 定 理, 函 数 f( ) 在, 之 间 有 零 点 题 型 二 利 用 导 数 定 义 求 极 限 解 题 思 路 在 已 知 函 数 可 导 的 前 提 下 求 抽 象 函 数 的 极 限, 重 点 是 凑 出 如 下 定 义 式 : f ( ) 变 量? f( + Δ) - f( ) Δ, 其 中 Δ 0 变 量? f( 0 + ah) - f( 0 + bh) 例 3 畅 6 若 f ( 0 ) 存 在, 求 h 0 ( a,b,c 为 常 数 ) ch 解 原 式 h 0 f( 0 + ah) - f( 0 )] - [ f( 0 + bh) - f( 0 ) ch f( 0 + ah) - f( 0 ) h 0 [ - c h c a - b [ af ( 0 ) - bf ( 0 )] f ( 0 ) c 例 3 畅 7 已 知 f 0 -, 求 0 解 如 果 此 函 数 极 限 存 在, 则 它 的 倒 数 为 则 原 极 限 等 于 畅 f( 0 + bh) - f( 0 ) ] h f ( 0 - ) - f( 0 - ) 原 式 - f 0 + f 0 - f 0 畅 f(sin + cos ) 例 3 畅 8 若 f() 0 且 f () 存 在, 求 0 (e - )tan

59 50 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) f(sin + cos ) 分 析 原 式 0, 0 (sin + cos ) 且 f() 0, 联 想 到 凑 导 数 的 定 义 式 解 原 式 0 f(sin + cos ) f( + sin + cos - ) - f() 0 sin + cos - sin + cos - 题 型 三 判 别 函 数 的 可 导 性 解 题 思 路 f () 0 sin + cos - f () () 初 等 函 数 在 定 义 域 上 连 续 且 可 导 ; () 函 数 在 0 不 连 续, 在 0 一 定 不 可 导 ; (3) 用 导 数 定 义 判 别 : f ( ) Δ 0 f( + Δ ) - f( ) Δ : 极 限 存 在 则 可 导, 否 则 不 可 导 f( ) 例 3 畅 9 设 f( ) 在 0 处 连 续, 且 0 存 在, 证 明 : f( ) 在 0 处 可 导 f( ) 证 明 0 存 在, 所 以 0 f( ) 0 ; f( ) 在 0 处 连 续, 所 以 0 f( ) 0 f(0) ; 0 f( ) 0 f( ) - f(0) 即 f( ) 在 0 处 可 导 f (0) ; 例 3 畅 0 若 ( - δ,δ) 时, 恒 有 f( ), 问 f( ) 是 否 在 0 处 可 导 解 由 题 设 可 得 f(0) 0, 且 由 两 边 夹 定 理 0 0 f( ) - f(0) - 0 题 型 四 分 段 函 数 可 导 性 的 判 断 解 题 思 路 分 段 函 数 f( ) f( ) - f(0) - 0 0, 所 以 f( ) 在 0 处 可 导, 且 f (0) 0 畅 g ( ) g ( ) 0 < 0 () 连 续 性 : g ( ),g ( ) 为 初 等 函 数,f( ) 连 续 性 只 需 讨 论 0 处 连 续 性 : 如 果 f( ) 满 足 f( ) f( ) f( ), 则 f( ) 在 0 处 连 续 0 0 () 可 导 性 : g ( ),g ( ) 为 初 等 函 数,f( ) 可 导 性 只 需 讨 论 0 处 可 导 性 : 可 导 一 定 连 续 ; 不 连 续, 一 定 不 可 导 ; 若 在 0 连 续, 可 以 求 解 左 右 导 数 如 下 : 科 学 出 版 社 wwwaboo

60 第 3 章 导 数 与 微 分 5 f - ( 0 ) g ( ), f + ( 0 ) g ( ) 当 g ( ), g ( ) 存 在 且 相 等 时,f( ) 在 0 处 可 导 ; 0 0 直 接 用 左 右 导 数 定 义 : f( 0 + Δ ) - f( 0 ) f ± ( 0 ) 存 在 且 相 等 时 f ( ) 在 Δ 0 ± 0 处 可 导 Δ 例 3 畅 设 f( ) e - e >, 求 f ( ) 解 当 < 时, f ( ) e - + e e - ; 当 > 时, f ( ) 0 ; 函 数 f( ) 在 ± 连 续, 下 面 求 f ( - ) 与 f () : f - ( - ) 0 0,f + ( - ) - ( - ) - ( - ) + f - () - - 因 此, 所 求 导 数 为 f ( ) 例 3 畅 设 f( ) 在, 并 求 出 f ( ) e - 0,f + e - 0, 所 以 f ( - ) 0 ; () + 0 0, 所 以 f () 0 ; - e - < 0 sin, < 0 a, 解 显 然 函 数 在 0 连 续 f - 存 在, 即 (0) cos,f 例 3 畅 3 设 f( ) 和 可 导 性 解 () 由 f 0-0 f , 问 a 取 何 值 时, f ( ) 在 ( -,+ ) 都 存 (0) a a, 故 a 时, f ( ) 在 ( -, + ) 都 0 + f ( ) cos, < 0, 0 - cos < 0 0 cos t d t > cos cos t cos d t 0 + 因 为 f 0-0 f 0 + 0, 所 以 f( ) 在 0 处 连 续 () 下 面 用 定 义 求 解 0 处 的 导 数 : f - (0) 0 -, 试 讨 论 f( ) 在 0 处 的 连 续 性 ( 洛 必 达 法 则 ) - cos cos - 3 ( 洛 必 达 法 则 )

61 5 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) f + sin - cos (0) cos - cos t d t - 0 所 以 f( ) 在 0 处 可 导, 且 f (0) 0 畅 sin - sin 6 cos t d t 题 型 一 利 用 四 则 运 算 法 则 求 导 数 第 二 部 分 导 数 运 算 法 则 解 题 思 路 如 果 f( ),g( ) 在 a 点 可 导, 那 么 f( ) ± g( ),f( ) g( ), f( )/ g( ), g( ) 0 在 a 点 可 导 结 论 可 推 广 到 有 限 个 函 数 的 情 形 例 3 畅 4 设 f( ) ( - )( - ) ( - 99), 求 f (0) 解 f ( ) ( ) [( - )( - ) ( - 99)] + [( - )( - ) ( - 99)] 其 中 [( - )( - ) ( - 99)] 在 0 时 为 0 ; f (0) - 99! 例 3 畅 5 () 设 f( ) 在 0 处 可 导, g( ) 在 0 处 不 可 导, 证 明 c f( ) + c g( ) ( c 0) 在 0 处 也 不 可 导 () 设 f( ) 与 g( ) 在 0 处 都 不 可 导, 能 否 断 定 c f( ) + c g( ) 在 0 处 一 定 可 导 或 一 定 不 可 导? 解 () 记 h( ) c f( ) + c g( ), 当 c 0 时, 如 果 h( ) 在 0 处 可 导, 则 g( ) [ h( ) - c f( )]/ c 在 0 处 也 可 导, 从 而 产 生 矛 盾 () 不 能 断 定 如 g( ) f( ), 当 c - c 时,c f( ) + c g( ) 在 0 处 是 可 导 的 ; 当 c - c 时, c f( ) + c g( ) 在 0 处 不 可 导 例 3 畅 6 证 明 : 双 曲 线 y a 上 任 一 点 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 构 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 恒 为 a 畅 证 明 假 设 ( 0,y0 ) 为 双 曲 线 上 任 意 一 点, 则 0 y0 a, 过 这 一 点 的 切 线 斜 率 为 y 0 - a 0 - y0 0, 切 线 方 程 为 y - y0 - y0 ( - 0 ), 易 得 切 线 与 两 坐 标 轴 的 交 点 为 (0, y0 ) 和 ( 0,0) 切 线 与 两 坐 标 轴 构 成 的 直 角 三 角 形 的 面 积 为 S ( y0 )( 0 ) 0 y0 a 畅 0 例 3 畅 7 曲 线 y 的 切 线 与 轴 和 y 轴 围 成 一 个 图 形 ( 图 3 畅 ), 记 切 点 的 横 坐 标 为 α, 试 求 切 线 方 程 和 这 个 图 形 的 面 积 当 切 点 沿 曲 线 趋 于 无 穷 远 时, 该 面 积 的 变 化 趋 势 如 何? 科 学 出 版 社 wwwaboo 解 由 y 得 y - - 3, 则 切 点 P α, α 处 的 切 线 方 程 为

62 第 3 章 导 数 与 微 分 53 y - α - α 3 - α 切 线 与 轴 和 y 轴 的 交 点 分 别 为 Q 3α,0,R 0, 3 α 于 是, ORQ 的 面 积 S 3α 3 α 9 4 α 当 切 点 按 轴 正 方 向 趋 于 无 穷 远 时, 有 α + S + ; 当 切 点 按 y 轴 正 方 向 趋 于 无 穷 远 时, 有 α 0 S 0 畅 图 3 畅 题 型 二 反 函 数 求 导 法 则 的 应 用 解 题 思 路 f ( ) [ f - ( y)] 例 3 畅 8 求 y arcsin 的 导 数 解 y arcsin, 则 sin y,y - π,π, cos y 0, 则 (arcsin ) (sin y) cos y - 例 3 畅 9 求 函 数 y + ln ( > 0) 的 反 函 数 f - ( y) 的 导 数 解 d y d +, d 由 反 函 数 求 导 法, 有 d y d y d + d d y 题 型 三 复 合 函 数 求 导 法 则 的 应 用 解 题 思 路 y d y f( u),u φ( v),v ψ( ), 则 d 关 键 : 搞 清 复 合 函 数 结 构, 由 外 向 内 逐 层 求 导 例 3 畅 0 设 f( ) 可 导, 求 下 列 函 数 的 导 数 : () f( 3 ) ; () f ln f ( u) φ ( v) ψ ( ) ; (3) f( ) ; (4) arctan f( ) 解 () f( 3 ) f ( 3 )( 3 ) 3-3 f ( 3 ) ; () f ln f ln (3) [ f( ) ] (4) [arctan f( )] ln - ln f ln f( ) [ f( )] f ( ) f( ) ; + [ f( )] [ f( )] ; f ( ) + f ( )

63 54 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 例 3 畅 设 y sin f( d y ), 其 中 f 具 有 二 阶 导 数, 求 d 解 d y d f ( ) cos f( ) ; d y d f ( ) cos f( ) + f ( ) cos f( ) - f ( ) sin f( ) 题 型 四 隐 函 数 求 导 法 则 的 应 用 解 题 思 路 () 直 接 求 导 法 : 设 方 程 F(,y) 0 确 定 了 一 个 一 元 可 导 函 数 y f( ), 则 F(,y) 0 两 边 对 求 导 d d F(,y) 0( 含 导 数 y 的 方 程 ) 两 边 再 对 求 导 d d d d F(,y) 0( 含 导 数 y 的 方 程 ) () 微 分 形 式 不 变 性 : F(,y) 0 两 边 求 微 分, 再 解 出 d y d ; (3) 对 数 求 导 法 : 幂 指 函 数 和 连 乘 连 除 函 数 两 边 取 对 数, 利 用 对 数 性 质 化 简, 再 求 导 d y 例 3 畅 设 y f( + y), 其 中 f 具 有 二 阶 导 数, 且 其 一 阶 导 数 不 等 于, 求 d 解 y f ( + y) + y 痴 y 对 上 式 再 对 求 导 得 y 例 3 畅 3 求 y f ( + y) - f ( + y) y + y f ( + y) + y f ( + y) 3 + y f ( + y) - f ( + y) 的 导 数 f ( + y) - f ( + y) 3 d y d 分 析 本 题 可 以 利 用 复 合 函 数 直 接 求 导, 但 复 杂 易 错, 若 将 其 改 成 隐 函 数 形 式 后 求 导 就 比 较 简 单 解 原 式 变 形 为 y , 两 边 对 求 导 得 9 y 3 - y y 3-3 痴 y 科 学 出 版 社 wwwaboo 7 3 y y 3 - ;

64 第 3 章 导 数 与 微 分 55 将 原 式 代 入 得 y 例 3 畅 4 设 u f[ φ( ) + y ], 其 中,y 满 足 方 程 y + e y 且 f ( ),φ( ) 均 二 阶 可 导, 试 求 : d u d u 及 d d 解 由 y + e y, 得 :y 于 是 有 : + e y,y - e y y ( + e y ) - e y ( + e y ) 3 d u d f [ φ( ) + y ][ φ ( ) + yy ] f [ φ( ) + y ] φ ( ) + y + e y ; d u d f [ φ( ) + y ][ φ ( ) + yy ] + f [ φ( ) + y ][ φ ( ) + ( y ) + yy ] f [ φ( ) + y ] φ ( ) + + f [ φ( ) + y ] φ ( ) + y + e y ( + e y ) - 例 3 畅 5 用 对 数 求 导 法 求 下 列 函 数 的 导 数 : () y 3 + sin ; () y ln ( + ) 解 由 于 (ln y) y y, 所 以 y y(ln y) () ln y ln 3 + sin ; y y(ln y) y ln 3 + sin + ye y ( + e y ) 3 ln 3 + sin ( 3 + sin ) 3 + cos ( 3 + sin ) - ln( 3 + sin ) () ln y lnln( + ) ; y y[ lnln( + ) + (lnln( + )) ] lnln( + ) + 题 型 五 参 数 方 程 求 导 法 则 的 应 用 解 题 思 路 利 用 参 数 方 程 d y d d y d y t t d d t ( + )ln( + ) ln ( + ) φ( t) y ψ( t), 确 定 y 与 的 函 数 关 系, 则 有 公 式 ψ ( t) φ ( t) ; d y d d d t ψ ( t) φ ( t) φ ( t) ψ ( t) φ ( t) - ψ ( t) φ ( t) φ ( t) 3

65 56 高 等 数 学 学 习 辅 导 ( 上 册 ) 其 中 φ ( t),φ ( t),ψ ( t),ψ ( t) 均 存 在, 且 φ ( t) 0 畅 例 3 畅 6 设 t + sin t y t - sin t d y, 求 d 解 因 为 y t - cos t, t + cos t, 所 以 注 求 例 3 畅 7 设 解 d y d d y d d d d y d d d t tan t sec t + cos t d y d 时 也 可 按 照 公 式 进 行 y t t d y d d d 例 3 畅 8 设 d y d y t t d y d d t d tan t + cos t sin t sec5 t - cos t + cos t tan t 从 而 t - ln + t d y, 求 (994 年 数 学 三 ) y t 3 + t d 3 t + t 3 t + + t ; - + t d y d t d d t d y d d t d 3 + t + 3 t t + t 解 方 程 组 两 边 对 t 求 导, 得 故 d y d d y d d y d t d d t d d t d y d d d t d d t t - y + εsin y (0 < ε < ) t + t - d y d t + εcos y d y d t t ( t + )( - εcos y) ; d d t 0 ( t + )( - εcos y) ( t + ) ( - εcos y) - εt ( t + )sin y ( t + ) 3 ( - εcos y) 3 题 型 求 高 阶 导 数 解 题 思 路 求 n 阶 导 数 的 方 法 有 : 第 三 部 分 高 阶 导 数 + t 6 t + 5 t d y 确 定 函 数 y y( ), 求 d d ( t + ) d t d y t d t - εcos y ( - εcos y) - εt( t + )sin y d y d t ( t + ) 3 ( - εcos y) () 直 接 法 : 求 出 函 数 的 前 3 ~ 4 阶 导 数, 分 析 所 得 结 果 的 规 律 性, 写 出 n 阶 导 数 表 达 科 学 出 版 社 wwwaboo

66 第 3 章 导 数 与 微 分 57 式 或 用 数 学 归 纳 法 证 明 畅 () 间 接 法 : 将 给 定 的 函 数 通 过 化 简 或 者 变 量 代 换 转 化 为 熟 知 的 函 数 求 高 阶 导 数 也 可 利 用 泰 勒 公 式 帮 助 寻 求 函 数 在 某 点 处 的 各 阶 导 数 值 (3) 利 用 莱 布 尼 兹 公 式 可 求 u( ) v( ) ( n) 例 3 畅 9 研 究 函 数 f( ), 0, 的 各 阶 导 数 -, < 0 分 析 分 段 函 数 求 高 阶 导 数, 分 段 点 处 用 导 数 定 义 来 求 解 当 > 0 时, f ( ) ; 当 < 0 时, f ( ) - 由 f + (0) Δ 0 + f - (0) Δ 0 - 由 此 得 到 f ( ) f( Δ ) - f(0) Δ f( Δ ) - f(0) Δ, > 0 -, < 0 不 存 在, 0 于 是 当 n > 时, f ( n) ( ) ( Δ ) - 0 Δ 0 + Δ Δ ( Δ ) - 0 Δ 0, 0 不 存 在, 0 例 3 畅 30 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 : n- e ( n) 0, 0, 可 知 f ( ) ( - ) n n+ e 证 明 当 n 时,( n- e ) ( n) (e ) e - e, 命 题 成 立 假 设 n k 时 命 题 都 成 立 则 当 n k + 时, ( n- e ) ( n) ( k e ) ( k) k k- e + k e ( k) k k- e ( k) - ( k- e ) ( k- ) k ( - ) k k ( - ) k k+ e - k ( - ) k k+ e + ( - ) k- 命 题 也 成 立 由 数 学 归 纳 法, 可 知 本 命 题 对 所 有 正 整 数 都 成 立 题 型 一 利 用 求 导 法 则 求 微 分 第 四 部 分 微 分 运 算 解 题 思 路 先 求 导 数 y, 再 求 微 分 d y y d ; 例 3 畅 3 设 f( ) 值 () 求 f( ) 在 0 处 的 微 分 k+ e - ( - ) k- k e e k - ( - ) k+ e k+ ; e a 0 在 0 处 可 导 () 试 确 定 常 数 a,b 的 - b 3 > 0 解 () 因 为 f( ) 在 0 处 求 导, 所 以 f( ) 在 0 处 必 连 续 于 是 由 f f 0-0 f(0) 得 b - 畅 又 因 为