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舒罗
5 years ago
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8 Übung 7 Berechnen Sie jeweils g (dω) und d(g ω) für a) g : 2 2, (x,y) = g(s,t) = st,e t ), ω = xdy und b) g : {(u,v) 2 u 2 +v 2 < 1} 3 {0} gegeben durch (x,y,z) = g(u,v) = (u,v, ) 1 u 2 v 2 xdy dz +ydz dy +zdz dy ω = (x 2 +y 2 +z 2 ) 3 2 Lösung: Zu a): g (dω) = g (d(xdy)) = g (dx dy) = d(st) d(e t ) = (tds+sdt) e t dt = te t ds dt+se t } dt dt {{} = te t ds dt =0 d(g ω) = d ( stde t) = d ( ste t dt ) = te t ds dt+s ( e t +te t) } dt dt {{} = te t ds dt =0 Zu b): g (dω) d(g ω) = 0, da beides 3-Formen auf 2 Mannigfaltigkeiten sind. Übung 8 Sei X ein vollständiger metrischer Raum. Eine Teilmenge A von X wird nirgends dicht genannt, wenn der Abschluss keine nicht-leere offene Menge enthält. Eine Teilmenge von X heißt mager, wenn sie eine abzählbare Vereinigung von nirgends dichten Teilmengen von X ist. Dann wird definiert A := {A X A oder XA ist mager } und { 0, A mager, µ : A, µ(a) = 1, XA mager. Zeigen Sie A ist eine σ-algebra und µ ist ein Maß auf A. Hinweis: Die Begriffe nirgends dicht und mager sind für die Klausur nicht relevant. Lösung: A ist eine σ-algebra: i) Zu zeigen X A: Da nirgends dicht und somit auch mager ist, gilt X mager und somit ist X A. ii) Zu zeigen A A XA A: A A impliziert A mager oder XA mager. A mager impliziert X(XA) = A ist mager und XA mager impliziert XA ist selbst mager. Also ist XA oder X(XA) mager und somit XA A. 3

9 iii) Zu zeigen (A n ) n A n A n A: Sei (A n ) n A: Fall 1: A n mager n, das heißt A n = nirgends dicht. Dann folgt A = n A n = k Bn k mit Bn k n k Bk n. Diese geschachtelten abzählbaren Vereinigungen sind immer noch abzählbar (Argument wir bei der Abzählbarkeit von ) und damit ist A mager und somit A A. Fall 2: n 0 mit XA n0 mager, das heißt XA n0 = alle k. k B k mit B k nirgends dicht für XA = X A n = XA n = XA n XA n0 n n n n 0 = XA n B k = Ã B k n n 0 k k }{{} =:Ã Mit B k ist aber auch Ã B k nirgends dicht, da Ã B k B k. Somit ist XA mager und A A. µ ist ein Maß auf A: i) Zu zeigen µ( ) = 0: Klar, da die leere Menge nirgends dicht und somit mager ist. ii) Zu zeigen µ 0: Klar, da µ nur die Werte 0 und 1 annimmt. ( ) iii) Zu zeigen µ = µ(a n ) : n=1 n=1 Fall 1: A n mager für alle n. Dann ist n A n mager (wie oben) und es folgt: ( ) µ = 0 = n=1 µ(a n ). }{{} =0 Fall 2: Es gibt ein n 0 A mit XA n0 mager. Da die Vereinigung der A n disjunkt ist gilt A n XA n0 für alle n {n 0 } und somit sind all diese A n mager. Genauso wie oben folgt außerdem X n A n mager und n=1 ( ) µ A n = 1 = µ(a n ) +µ(a }{{} n0 ). }{{} n n n 0 =1 =0 4

30 學術論文 10 1980 3 4 二復旦內部圍繞鬥爭目標的紛爭 1966 6 1 5 6 4 6 10 7 14 8 16 18 9 19 bk bl bm bn

30 學術論文 10 1980 3 4 二復旦內部圍繞鬥爭目標的紛爭 1966 6 1 5 6 4 6 10 7 14 8 16 18 9 19 bk bl bm bn 學術論文文革初期復旦大學的樊建政董國強摘要 :1966 年 10 月以後復旦大學校園內圍繞黑材料問題的公開衝突, 根源於 6 月以來復旦師生間圍繞本校如何開展文革運動所出現的紛爭與對立一些激進師生貼出批評黨委的大字報 ; 而校