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1 第 9 卷第 期 17 年 6 月 弹道学报 Jonal o Ballistics Vol. 9 No. Jne 17 约束混凝土靶的准静态柱形空腔膨胀理论 詹昊雯 1, 曹扬悦也 1,, 蒋志刚 1, 宋殿义 1 1, 谭清华 (1. 国防科学技术大学指挥军官基础教育学院, 湖南长沙 17;. 代尔夫特理工大学土木和地球科学学院, 荷兰 68CN) 摘要 : 针对射弹侵彻约束混凝土靶问题, 基于 Hoek 鄄 Bown(H-B) 准则, 建立了径向受弹性约束的有限混凝土介质准静态柱形空腔膨胀模型, 得到了各种响应模式下的扩孔压力和响应模式转换条件, 分析了扩孔过程以及约束效应对扩孔压力和侵彻阻力的影响 结果表明 : 约束混凝土靶的扩孔压力在扩孔过程中不断变化, 约束刚度对响应模式和扩孔压力有显著影响 ; 增大约束刚度可有效提高约束混凝土靶的侵彻阻力, 约束混凝土靶的侵彻阻力可比半无限靶提高 5% 以上 关键词 : 防护结构 ; 约束混凝土 ; 侵彻 ; 空腔膨胀 ;H-B 准则中图分类号 :TH1;TH13. 3 摇摇文献标识码 :A 摇摇文章编号 :1 鄄 99X(17) 鄄 13 鄄 6 Qasi 鄄 static Cylindical Cavity 鄄 expansion Model o Conined 鄄 concete Tagets ZHAN Hao 鄄 wen 1,CAO Yang 鄄 ye 鄄 ye 1,,JIANG Zhi 鄄 gang 1,SONG Dian 鄄 yi 1,TAN Qing 鄄 ha 1 (1. College o Basic dcation,national Univesity o Deense Technology,Changsha 17,China;. CITG,Delt Univesity o Technology,Netheland 68CN) Abstact: Aiming at the poblem o pojectile penetating into conined concete taget, a qasi 鄄 static cylindical cavity 鄄 expansion model o inite concete taget with adially elastic coninement was established based on the Hoek 鄄 Bown ( H - B) citeion. The pesse at cavity wall and the tansition conditions o esponse modes wee obtained. The inlence o cavity expansion pocess and coninement on pesse at cavity wall was also analyzed. The eslts show that the pesse at cavity wall and esistance o penetation constantly vay ding the pocess o cavity expansion,and the coninement stiness has sig 鄄 niicant eect on esponse modes and pesse at cavity wall. It can geatly impove penetation esistance o conined concete to incease coninement stiness. The penetation esistance o conined concete taget is lage than that o semi 鄄 ininite concete taget by 5%. Key wods:potective stcte; conined concete; penetation; cavity expansion; Hoek 鄄 Bown ( H - B) citeion 摇 摇摇由于钢管对核心混凝土的约束作用, 钢管约束 混凝土靶的抗侵彻性能优于普通混凝土靶 [1] 硬 [-] 芯枪弹侵彻试验表明 : 与半无限混凝土靶相比, 钢管约束混凝土靶的侵彻深度可减小 1% ~ %, 且抗多发打击性能优良 但是, 目前关于约束混凝 土抗侵彻问题的理论研究很少, 尚无便于工程应用 的侵彻阻力计算方法 基于空腔膨胀理论计算侵彻阻力是研究混凝土 侵彻问题的常用方法 [5] [6] Foestal 等发展了无限 混凝土介质空腔膨胀理论, 并建立了卵形头刚性弹侵 彻半无限混凝土靶的工程模型 [7-8] Li 和 Chen [9-1] 将 Foestal 模型推广到了任意弹头形状的刚性弹 收稿日期 :16-1- 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ); 国防科学技术大学优秀研究生创新资助 (S51591) 作者简介 : 詹昊雯 (199- ), 女, 硕士研究生, 研究方向为武器效应与防护 鄄 mail:8365@ qq. com 通讯作者 : 曹扬悦也 (1991- ), 女, 博士研究生, 研究方向为计算力学 鄄 mail:cy3yeah@ otlook. com

2 1 弹道学报第 9 卷 [11] 黄民荣等建立了基于 Giith 准则的空腔膨胀模 [1] 型, 得到了侵彻阻力公式 Waen 等基于准静态 球形空腔膨胀模型建立了卵形头刚性弹侵彻含水饱 和混凝土靶的工程模型, 理论计算结果与试验吻合较 [13] 好 曹扬悦也等考虑混凝土 - 岩石类靶粉碎区三 向受压特性, 基于 Hoek 鄄 Bown(H-B) 非线性强度准 则, 建立了刚性弹侵彻半无限混凝土 - 岩石类靶的工 程模型 上述模型均针对半无限靶, 尚未见到基于空 腔膨胀理论的有限尺寸混凝土靶侵彻工程模型 本文采用 H-B 准则描述粉碎区混凝土的强度 特性, 提出了钢管约束混凝土的准静态柱形空腔膨 胀模型, 得到了不同响应模式下的扩孔压力和转换 条件的解析解, 分析了扩孔过程和约束刚度的影响 ; 得到了刚性弹侵彻约束混凝土靶的侵彻阻力计算公 式, 并与文献 [] 硬芯枪弹侵彻试验进行了比较, 考 证了公式的适用性 1 摇准静态有限柱形空腔膨胀模型 1. 1 摇扩孔过程描述与基本方程 设在受径向弹性约束 半径为 的无限长圆柱 形混凝土介质内, 有一同轴柱形空腔从半径为 匀 速缓慢地膨胀至半径 c, 弹性波到达混凝土外边界 之前, 为无限介质空腔膨胀, 空腔外混凝土响应区由 外到内依次为未扰动区 弹性区 裂纹区和粉碎 区 [6] ; 弹性波到达混凝土外边界之后, 即为有限空 腔膨胀, 径向约束对扩孔过程产生影响 根据约束 刚度的大小, 有限空腔膨胀的扩孔过程可能存在以 下 种情况 : 淤当约束刚度不够大 不能限制径向裂 纹的发展时, 有限空腔膨胀过程可分为 3 阶段 第 一阶段为 弹性 裂纹 粉碎冶响应, 如图 1 所示, 图中,k 为径向弹性约束刚度, 弹性区半径 e 等于核 心混凝土半径 随着空腔半径的增大, 粉碎区和 裂纹区不断向外扩展, 弹性区范围缩小, 当裂纹区扩 展到核心混凝土外边界时, 弹性区消失, 第一阶段结 束 第二阶段为 裂纹 粉碎冶响应, 粉碎区半径 p 小于裂纹区半径 c, 且 c 恒等于 当粉碎区扩展 到核心混凝土外边界时, 第二阶段结束 第三阶段 为 完全粉碎冶响应, p 恒等于 当径向约束屈服 或破坏时, 第三阶段结束 于当约束刚度足够大 径 向约束对核心混凝土施加的径向压力足以限制裂纹 区的发展时, 第一阶段的裂纹区可能在尚未扩展到 核心混凝土外边界之前就先于弹性区消失 这种情 况下, 第一阶段 弹性 裂纹 粉碎冶响应的结束条 件为粉碎区半径等于裂纹区半径, 且均小于核心混 凝土半径, 即 p c < ; 第二阶段为 弹性 粉碎冶 响应 当 p 时, 第二阶段结束, 进入第三阶段 完全粉碎冶响应 图 1 摇 有限空腔膨胀第一阶段 需指出, 若粉碎区与裂纹区同时到达核心混凝 土外边界, 则上述两种情况下, 均不存在第二阶段, 直接从第一阶段 弹性 裂纹 粉碎冶响应转换为 完全粉碎冶响应 由于篇幅有限, 本文仅对情况淤 进行讨论, 情况于另文讨论 对于准静态柱形空腔膨胀, 采用柱面坐标, 各响 应区的平衡方程均为 d d - 兹 (1) 式中 : 为径向应力, 兹为环向应力, 均以受压为 正 ; 为空间坐标, 以向外为正 粉碎区混凝土采用 H-B 准则 [13-1] : ( 1-3) (m 3 ) () 式中 : 1, 3 分别为最大 最小主压应力 ; 为单轴 抗压强度 ;m 为无量纲经验系数 [13] 此外, 采用文献 [6] 的假定 : 弹性区为小变形, 符合胡克定律, 且在与裂纹区交界处环向拉应力达 到混凝土单轴抗拉强度 ; 裂纹区环向应力为, 且 在与粉碎区交界处径向压应力达到混凝土单轴抗压 强度 1. 摇扩孔压力求解 摇弹性 裂纹 粉碎响应 弹性区 ( c < 臆 ), 由广义虎克定律和小应变 假定, 应力 - 位移关系为 - é (1 淄 )(1- 淄 ) (1- 淄 ) d d v ù ê ë ú û (3) 兹 - é (1 淄 )(1- 淄 ) v d d (1-v) ù ë ê û ú () 式中 : 为混凝土弹性模量, 淄为泊松比 ; 为径向位 移, 以向外为正

3 第 期詹昊雯, 等摇约束混凝土靶的准静态柱形空腔膨胀理论 15 将式 (3) 和式 () 代入式 (1), 求解位移场, 并 考虑边界条件 (, k; c, 兹 -, 为混 凝土单轴抗拉强度 ), 得 : 1- 淄 k c è T 1-k è T T ( 淄 -1) c 1 k è T 1- 淄 - c è c T c 兹 T (1- 淄 )Tk ( 淄 -1)(T-k ) ( 淄 -1) c 1 k è T 1- 淄 - c è (1- 淄 )Tk (1- 淄 )(T-k ) (5) (6) ( 淄 -1) c 1 è k (7) T 1- 淄 - c è 式中 :T - (1 淄 )(1- 淄 ) ;k 反映了 k 和 的影 响, 称为综合约束刚度 移关系为 裂纹区 ( p < 臆 c ), 兹, 径向受压, 应力 - 位 - d d (8) 将式 (8) 代入式 (1), 并考虑 p 处 和 c 处径向位移连续, 得 : c T 1- 淄 k è T c p 1- k T ( 淄 -1) c 1 k è T 1- 淄 - c è (9) p ln c (1) 粉碎区 ( c < 臆 p ), 采用 H-B 准则, 在式 () 中 取 1 逸兹 3, 则有 : ( - 兹 ) m è 代入式 (1) 得 : d d m (m 兹 1 (11) ) - m (1) 考虑 p 处径向应力连续, 即, 解之得 : ln è m m p m ln m è m m m - m (13) 令 c, c, 得到求解扩孔压力的方程 : ln c è m m p c m ln m c m - m m (1) è m 式中 : p 与 c 的关系可以由 c 处的径向应力连续 条件和 p 处的径向位移连续条件得到 摇 p c 由式 (6) 式 (9) 和 c 处径向应力连续, 得 : ( 淄 -1)(T-k ) [T(1- 淄 ) k ] c ( 淄 -1)(T-k ) -[T(1- 淄 ) k ] c (15) 参照文献 [15], 忽略粉碎区密度的变化和 p 处径向位移 p 的高阶项, 由粉碎区质量守恒得 : c p (16) è p è p 考虑 p 处径向位移连续, 由式 ( 16 ) 和 式 (1) 得 : 1 c è p c T p T-k [T(1- 淄 )k ] c ( 淄 -1)(T-k )-[T(1- 淄 )k ] c ln c p (17) 联立式 (15) 和式 (17), 可得 p 与 c 的关系, 将 其代入式 (1), 即可求扩孔压力 c 与 c 的关系 顺便指出, 令 寅肄,k 寅, 可得无限介质空腔膨 胀的解 1.. 摇裂纹 粉碎响应 对于裂纹区 ( p < 臆 ), 式 (8) 仍然成立 由 式 (8) 和式 (1), 并考虑 p 处 和边界条件, k, 得 : p ln k è 将式 (18) 代入式 (8), 可求得 (18) 粉碎区 ( c < 臆 p ), 式 (1) 仍然成立 由粉碎 区质量守恒和 p 处径向位移连续, 可得 : c ln (19) è p èk p 由式 (1) 和式 (19), 可求扩孔压力与 c 的关系 摇完全粉碎响应 式 (1) 仍然成立 忽略材料密度的变化, 由质 量守恒, 得 :

4 16 弹道学报第 9 卷 c è è 考虑 处径向应力 k, 得 : () k c (1) 积分式 (1), 并利用边界条件,, 得 到求解扩孔压力与 c 关系的方程 : ln c è m m k è é ln m k ë ê è c c m 1. 3 摇响应模式转换条件 m - m - m ù û ú -ln m c è m c m m - m () 弹性 裂纹 粉碎响应 ( 第一阶段 ) 存在的条 件为 p < c <, 对于本文研究的情况淤, 第二阶段为 裂纹 粉碎响应, 裂纹区刚刚扩展到核心混凝土外 边界时弹性 裂纹 粉碎响应结束, 即 c, p < 由式 (15) 得 : 综合约束刚度 k 应满足条件 : (1- 淄 )k <1 (3) - 淄 k 1 淄 k <(k 1 è1 淄 淄 (1- 淄 ) () 由式 (17) 和式 (3) 可得第一阶段末 ( c ) 的空腔 半径 c1, 即 : c1 (1- 淄 )k - 淄 k 1 淄 k ln - 淄 k 1 淄 伊 è (1- 淄 )k (5) 裂纹 粉碎响应存在的条件为 c1 < c 臆 c, 当 c c 时, 粉碎区扩展到外边界, 由式 (19) 可得第二 阶段末 ( p ) 的空腔半径 c 为 摇扩孔过程及侵彻阻力分析 参照文献 [] 硬芯枪弹侵彻小直径钢管约束混 凝土靶试验, 取弹靶参数 : 弹丸直径 d 1. 7 mm; 弹 芯直径 d 7. 5 mm, 弹芯质量 m g, 弹头形 状系数 N. 6 混凝土密度籽 c 1 kg / m 3, MPa, MPa, 泊松比., 弹性模量. 5 GPa, 由式 () 得,( k GPa 钢管弹性模量 s 198 GPa. 1 摇 扩孔过程分析 取钢管内半径 mm, 壁厚啄 3. 5 mm,. 5 mm 和 5. 5 mm, 对应的 k s 啄 / [], c1 /, c / 如表 1 所示, 表中 k GPa 对应的钢管 壁厚啄 15. mm 表 1 摇 临界半径与综合约束刚度 k 的关系 编号 k / GPa c1 / c / 摇 摇 由表 1 可知 :k 越大, c1 / 越大, 而 c / 越 小, 即随着 k 的增大, 裂纹区变小 ; 当 k GPa 时, c1 / c /, 没有第二阶段 在 H-B 准则中取 m 15, 图 给出了扩孔压力 与空腔半径的关系, 即扩孔过程 以 k GPa 曲线为例,A 点对应于无限介质空腔膨胀 阶段 ;AB 段为第一阶段 ( 弹性 裂纹 粉碎响应 ), B 点 c / c1 /. 11;BC 段为第二阶段 ( 裂纹 粉碎响应 ),C 点 c / c /. 66;CD 段为第三 阶段 ( 完全粉粹响应 ) c k (6) 令 p c, 由式 (15) 得 k (k 此时, c c1 c, 即粉碎区与裂纹区同时到达核心混凝土 外边界, 弹性 裂纹 粉碎响应结束, 直接进入完全 粉碎响应阶段 图 摇扩孔过程和约束效应分析 由表 1 和图 可知 : 对于约束混凝土,k 综合反映了径向弹性约束和混凝土自约束效应 ( 外围混

5 第 期詹昊雯, 等摇约束混凝土靶的准静态柱形空腔膨胀理论 17 凝土对粉碎区混凝土的约束作用 ),k 越大, 扩孔压力越大 当 c / < c1 / 时, 扩孔半径较小, 径向弹性约束很小, 主要为混凝土自约束,k 对扩孔压力的影响很小, 有限空腔膨胀与无限空腔膨胀十分接近 随着 c / 的增大, 混凝土自约束作用减小, 径向弹性约束作用增加, 扩孔压力随着 c / 的增大而增大, 并大于无限介质空腔膨胀. 摇侵彻阻力分析根据文献 [ ~ ], 硬芯枪弹侵彻混凝土靶的过程可分为开坑和隧道侵彻 个阶段, 开坑阶段侵彻深度为 nd(d 为弹丸直径,n 为根据侵彻试验确定的经验系数 ) 基于空腔膨胀理论计算隧道阶段的侵彻深度, 假设弹头表面法向压力 n 由静阻力项和流动阻力项构成, 并忽略摩擦力和开坑阶段弹芯的速度损失, 则侵彻深度公式为 m H B 仔 d 籽 cn ln 1BN 籽 cv nd (7) è R 式中 :v 为弹丸撞击速度 ; 籽 c 为靶体混凝土密度 ; R 为静阻力项,B 为流动阻力系数 对于钢管约束混凝土靶, 本文取 R 为准静态有限空腔膨胀模型的扩孔压力 c ( 取空腔半径等于弹芯半径计算, 即 c d / mm), B 根据文献 [] 试验由式 (7) 反求得到 按上述方法, 表 给出了文献 [] 钢管约束混凝土靶 ( P D W 组 ) 的计算结果 表中 :D 为钢管外径 ; 试验所得侵彻深度记为 H, 式 (7) 所求侵彻深度记为 H 1,H 1 相对于 H 的误差记为驻 H P D W 组结果表明, 钢管直径与壁厚对 B 的影响不明显,B 可取平均值. 9 计算 ( 表中 P D W 组计算 H 1 时,B 取. 9) 表 中还给出了 (k 和 S1- 的计算结果, 其中 (k 对应于本文适用的最大综合约束刚度工况, 计算中取 R c, B. 9, nd 取试验结果均值 6. 1 mm; S1- 为半无限靶, 由于对于枪弹侵彻半无限靶尚无合适的侵彻深度计算公式, 因此按文献 [11], 取 B. 5,R 按文献 [1] 中经验公式 R S 计算, 其中 S 8. 6( / 1 6 ) -. 5 表 摇 侵彻深度与侵彻阻力计算 试件编号 D / mm 啄 / mm / mm v / (m s -1 ) H / mm nd / mm k / GPa c1 / c / R / MPa B H 1 / mm 驻 H / % P1-6, D W (k S 摇摇由表 可得 : 淤钢管约束混凝土靶 ( P D W 组 ) 和半无限靶 (S1-) 的侵彻深度计算结果与文献 [] 试验吻合良好, 误差不大于 7% 于钢管约束混凝土靶的静阻力随着约束刚度的增大而增大 当综合约束刚度较小 ( k 臆 GPa) 时, 由于半无限靶混凝土自约束作用较强, 约束混凝土靶的静阻力小于半无限靶 ; 但当综合约束刚度较大 ( k GPa) 时, 约束混凝土靶的静阻力可比半无限靶增大 5% 以上, 侵彻深度可减小约 % 盂钢管约束混凝土靶的流动阻力系数 B 约为半无限靶的 倍, 即钢管的约束作用有效约束了混凝土的侧向运动, 从而增大了动阻力 因此, 静阻力小于半无限靶 ( 综合约束刚度较小 ) 时, 约束混凝土靶的侵彻深度仍小于半无限靶, 即钢管约束混凝土 靶的侵彻阻力大于半无限靶 3 摇结论 本文首次提出了约束混凝土的准静态柱形空腔膨胀模型, 得到了各响应模式扩孔压力及模式转化条件的解析解, 分析了扩孔过程和约束效应 结果表明 : 淤约束混凝土的准静态扩孔过程与综合约束刚度有关 当综合约束刚度较小时, 有限空腔膨胀过程分为弹性 裂纹 粉碎 裂纹 - 粉碎和完全粉碎响应 3 个阶段 ; 当综合约束刚度达到 ( k 时, 没有裂纹 粉碎响应直接进入完全粉粹响应 于综合约束刚度 k 越大, 扩孔压力越大, 侵彻阻力也越大 当 k 较大时, 约束混凝土的扩孔压力始终大于无限介质空腔膨胀

6 18 弹道学报第 9 卷 参考文献 [1] 摇蒋志刚, 甄明, 刘飞, 等, 钢管约束混凝土抗侵彻机理的数值模拟 [J]. 振动与冲击,15,3(11):1-6. JIANG Zhi 鄄 gang,zhn Ming,LIU Fei, et al. Simlation o anti 鄄 penetation mechanism o steel tbe conined concete[ J]. Jonal o Vibation and Shock,15,3(11):1-6. ( in Chinese) [] 甄明, 蒋志刚, 万帆, 等. 钢管约束混凝土抗侵彻性能试验 [ J]. 国防科技大学学报,15,37(3): ZHN Ming,JIANG Zhi 鄄 gang,wan Fan,et al. Steel tbe conined concete tagets penetation expeiment [ J]. Jonal o National Univesity o Deense Technology, 15, 37 ( 3 ): ( in Chinese) [3] 蒋志刚, 万帆, 谭清华, 等. 钢管约束混凝土抗多发打击试验 [J]. 国防科技大学学报,16,38(3):1-16. JIANG Zhi 鄄 gang, WAN Fan, TAN Qing 鄄 ha, et al. Mlti 鄄 hit expeiments o steel 鄄 tbe conined concete tagets[ J]. Jonal o National Univesity o Deense Technology, 16, 38 ( 3 ): (in Chinese) [] WAN Fan, JIANG Zhi 鄄 gang, TAN Qing 鄄 ha, et al. Response o steel 鄄 tbe 鄄 conined concete tagets to pojectile impact[ J]. Int J Impact ng,16,9:5-59. [5] BN 鄄 DOR G,DUBINSKY A,LPRIN T. Analytical engineeing models o pedicting high speed penetation o had pojectiles into concete shields: a eview [ J]. Int J Damage Mechanics, 15, (1):76-9. [6] FORRSTAL M J, TZOU D Y. A spheical cavity 鄄 expansion penetation model o concete tagets [ J]. Int J Solids Stct, 1997,3: [7] FORRSTAL M J, ALTMAN B S, CARGIL J D, et al. An empiical eqation o penetation depth o ogive 鄄 node pojectiles into concete tagets[ J]. Int J Impact ng,199,15: [8] FORRSTAL M J,FRW D J,HANCHAK S J,et al. Penetation o got and concete tagets with ogive 鄄 nose steel pojectiles[ J]. Int J Impact ng,1996,18: [9] CHN X W, LI Q M. Deep penetation o a non 鄄 deomable pojectile with dieent geometical chaacteistics[ J]. Int J Impact ng,,7: [1] LI Q M,CHN X W. Dimensionless omla o penetation depth o concete taget impacted by a non 鄄 deomable pojectile[ J]. Int J Impact ng,3,8: [11] 黄民荣, 顾晓辉, 高永宏. 基于 Giith 强度理论的空腔膨胀模型与应用研究 [J]. 力学与实践,9,31(5):3-3. HUANG Min 鄄 ong, GU Xiao 鄄 hi, GAO Yong 鄄 hong. Cavity expansion model based on the Giith stength theoy and its application[ J]. Mechanics in ngineeing,9,31(5):3-3. ( in Chinese) [1] WARRN T L, FORQUIN P. Penetation o common odinay stength wate satated concete tagets by igid ogive 鄄 nosed steel pojectiles[ J]. Int J Impact ng,16,9:37-5. [13] 曹扬悦也, 蒋志刚, 谭清华, 等. 基于 Hoek 鄄 Bown 准则的混凝土 - 岩石类靶侵彻模型 [ J]. 振动与冲击,17,36 ( 5 ):8-53,6. CAO Yang 鄄 ye 鄄 ye, JIANG Zhi 鄄 gang, TAN Qing 鄄 ha, et al. Penetation model o concete 鄄 ock tagets based on Hoek 鄄 Bown citeion[ J]. Jonal o Vibation and Shock,17,36():7-1. ( in Chinese) [1] HOK, BROWN T. mpiical stength citeion o ock masses [ J ]. Jonal o the Geotechnical ngineeing Division, 198,9: [15] SATAPATHY S,BLSS S. Calclation o penetation esistance o bittle mateials sing spheical cavity expansion analysis [ J ]. Mechanics o Mateials,1996,3:33-33.

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