132 桂林理工大学学报 2016 年 n-1;σ 是噪声级如要从含噪声信号 s(i) 中恢复原始信号 x(i), 其基本步骤是先计算含噪声信号的正交小波变换, 并选择合适的小波和小波分解层数, 然后对分解得到的小波系数进行阈值处理, 最后进行小波逆变换 2 GM(1,1) 模型 2 1 GM(1

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侠歙栾
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1 第 37 卷第 1 期桂林理工大学学报 Vol 37No 年 2 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology Feb 2017 文章编号 : (2017) doi: /j.isn 基于小波去噪的改进 GM(1,1) 模型在高铁线下工程中的应用文鸿雁, 聂光裕, 袁明月, 高红 ( 桂林理工大学 a 广西空间信息与测绘重点实验室 ;b 测绘地理信息学院 ; c 广西矿冶与环境科学实验中心, 广西桂林 ) 摘要 : 针对 GM(1,1) 模型对建模数据光滑性条件的要求, 分析了原始 GM(1,1) 模型在初始值和背景值选取上的缺陷, 对其进行了合理和必要的改进应用小波去噪对建模数据进行去噪处理, 结果表明, 用小波去噪处理的数据建立的 GM(1,1) 模型模拟精度和预测效果得到了很大的提高但工程实例表明, 当建模数据为低增长指数时, 改进模型的模拟精度和预测效果没有量级的提高关键词 : 小波去噪 ;GM(1,1) 模型 ; 背景值 ; 初始值中图分类号 :P224 文献标志码 :A 高铁有两大核心特点高稳定性和高平顺性, 而对线下工程的沉降变形观测及评估是实现这两大核心特点的前提高铁线下工程沉降数据评估处理有很多方法, 如双曲线法固结度对数配合法 ( 三点法 ) Asaoka 算法灰色系统 GM(1, 1) 法抛物线法指数曲线法修正指数曲线法与修正双曲线法等, 在实际工作中, 各种方法可以进行对照工程初期观测数据较少, 灰色 GM (1,1) 法提供了在贫信息情况下解决问题的途径, 但也有其不足的地方在实际问题中,GM(1,1) 预测模型对建模数据有较高的要求, 它适合具有指数增长趋势的拟合, 而且建模数据的增长速率对模型的精度有很大的影响在高铁线下工程的隧道沉降变形观测中, 隧道本身比较稳定, 数据中随机误差的比例相对于其他的观测数据要大一些, 使沉降曲线呈现小量级大波动现象 [1] 针对以上问题, 本文分别建立未去噪原始 GM(1,1) 模型小波去噪原始 GM(1,1) 模型和小波去噪改进 GM(1,1) 模型, 发现建模数据经过小波去噪的两个 GM(1,1) 模型的精度和预测效果得到了很大提高, 改进的 GM(1,1) 模型在理论上更合理由于建模数据变化平缓 ( 低增长指数情况 ), 小波去噪的改进 GM (1,1) 模型的精度和预测效果有一定的改善, 但没有量级的提高 1 非线性小波变换阈值法去噪小波去噪的方法有很多, 常用的有小波分解与重构法非线性小波变换阈值法平移不变量小波去噪法小波变换模极大值法等本文采用非线性小波变换阈值法, 并采用文献 [6] 的改进方法一个含噪声的一维信号的模型可表示为 s(i) =x(i)+σz(i), 其中 :z(i) 为一个标准高斯白噪声,i=0,1,, 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ); 广西自然科学基金项目 (2014GXNSFAA118288); 广西八桂学者岗位专项经费项目 ; 广西空间信息与测绘重点实验室项目 ( 桂科能 ; ); 广西矿冶与环境科学实验中心项目 (KH2012ZD004); 广西研究生教育创新计划项目 (YCSZ ;YCSZ ) 作者简介 : 文鸿雁 ( ), 男, 博士, 教授, 研究方向 : 现代变形监测理论与专题信息系统引文格式 : 文鸿雁, 聂光裕, 袁明月, 等. 基于小波去噪的改进 GM(1,1) 模型在高铁线下工程中的应用 [J]. 桂林理工大学学报,2017,37(1):

2 132 桂林理工大学学报 2016 年 n-1;σ 是噪声级如要从含噪声信号 s(i) 中恢复原始信号 x(i), 其基本步骤是先计算含噪声信号的正交小波变换, 并选择合适的小波和小波分解层数, 然后对分解得到的小波系数进行阈值处理, 最后进行小波逆变换 2 GM(1,1) 模型 2 1 GM(1,1) 建模过程设等间隔非负准光滑原始数列为 X (0) ={x (0) (1),x (0) (2),x (0) (3),,x (0) (n)}, 相对误差设原始序列与模拟序列之差为其中 :x (0) (k) 0,,2,,n n 为观测数列序列的长度一次累加数据 X (0), 得 ε (0) =(ε(1),ε(2),,ε(n))=(x (0) (1)- X (1) ={x (1) (1),x (1) (2),x (1) (3),,x (1) (n)}, ^x (0) (1),x (0) (2)-^x (0) (2),,x (0) (n)- 其中 :x (1) (k)= k x (0) (i),,2,,n ^x (0) (n)) i=1 相对误差序列为对 X (1) 进行均值生成, 得到均值序列 Z (1) ={z (1) (2),z (1) (3),,z (1) (n)}, Δ= ε(1) x (0) (1), ε(2),, ε(n) ( x (0) (2) x (0) (n )) ={Δ k} 1, n a 是发展系数 ;b 是灰作用量利用最小二乘法求解, 得 ^a=[a b] T =(B T B) -1 B T y N, 其中 : B = (x(1) (2)+x (1) (1)) (x(1) (3)+x (1) (2)) 1 ; (x(1) (n)+x (1) (n-1)) 1 x (0) (2) x y N = (0) (3) x (0) (n ) 求出 ^a 后, 解出微分方程得 ^x (1) (k+1)= ( ^x (1) (1)- b a) e-ak + b a (1) 在 ^x (1) (1)=x (1) (1) x (1) (1)=x (0) (1) 的初始条件下, 得 ^x (1) (k+1)= ( x (0) (1)- b a) e-ak + b, a 对 ^x (1) (k+1) 作累减生成, 得 ^x (0) (1)=x (0) (1), ^x (0) (k)=(1-e a )( x (0) (1)- b ) { 2 2 GM(1,1) 模型精度检验 a e-a(k-1) 模型精度检验指标常用的有相对误差均方差比值小误差概率以及关联度等一般最常用的是相对误差检验指标其中,z (1) (k)= 1 2 (x(1) (k)+x (1) (k-1)),k=2, 称 Δ = 1 Δ k 为平均相对误差, 给定 α, 当 Δ < 3,,n, 称 x (0) (k)+az (1) (k)=b 为 GM(1,1) 模 α, 且 Δ n <α 成立时, 称 α 为相对误差型的灰色微分方程, 也称 GM(1,1) 模型的定义型均方差比值小误差概率设 x = dx (1) 或者均值型进一步, 称 dt +ax(1) =b 为对应的 1 x (0) (k),s 2 1 = 1 (x (0) (k)-x) 2 分别为 X (0) 白化微分方程, 也叫影子方程其内涵 :x (0) (k) 是灰 dx (1) 导数, 对应于 dt ;z(1) (k) 是背景值, 对应于 x (1) 的均值方差 ;ε= 1 ε(k),s 2 ; 2 = 1 (ε(k)- ε) 2, 分别为序列的均值方差 1 C =S 2 /S 1 称为均方差比值, 对于给定的 C 0 >0, 当 C <C 0 时, 称模型为均方差比合格模型 2 p=p( ε(k)-ε <0 6745S 1 ) 称为小误差概率, 对于给定的的 p 0 >0, 当 p<p 0 时, 称模型为小误差概率合格模型 2 3 GM(1,1) 模型的改进从建模的过程可以看出, 在不考虑原始数列时, 影响模型的因素有灰参数 a b 与初始值, 而原精度等级表 1 精度检验等级 Table1 Levelsofaccuracytest 相对误差 α 关联度 ε 0 指标临界值均方差比值 C 0 小误差概率 p 0 一级二级三级四级

3 第 3 期文鸿雁等 : 基于小波去噪的改进 GM(1,1) 模型在高铁线下工程中的应用 133 始的建模对初始值和背景值的选取是有缺陷的首先, 原始 GM(1,1) 模型用 z (1) (k) = 0 5(x (1) (k)+x (1) (k-1)) 替代 k k-1x (1) (t)dt, 也就是用梯形的面积代替背景值, 如图 1 中, 在 [k,k+ 1] 上实际 x (1) (t) 对应的面积总是小于梯形 abcd 的面积, 这样总会产生滞后误差, 因此有必要对其作相应的改进另外还可看出, 当建模数据变化平缓 ( 低增长指数 ) 时, 实际面积值与梯形面积值相差无几, 模型的偏差会很小, 当建模数据变化剧烈 ( 高增长指数 ) 时, 两者则会相差较大, 增长指数越大, 两者的差值 ΔS 也越大, 模型的偏差也越大 0 5(x (1) (k)+x (1) (k-1)) 代替 x (1) (ξ k ) 只是一个特例所以, 精确的背景值应该是 λx (1) (k-1)+ (1-λ)x (1) (k) 综上所述, 同时结合微分方程的解可求得 :λ= 1 a - 1 e a -1,λ 确定后可以求得 a b, 但是 λ 又需要根据 a 的值来计算得到, 这样就形成了死循环, 可以用迭代计算的方法来解决这个问题 1 取初始值 λ=0 5, 代入背景值中, 再将背景值代入灰色模型, 计算出灰参数 a b; 2 按照 λ = 1 a - 1 e a -1, 重新求得新的 λ 值 ; 3 比较相邻的新旧 λ 值, 当它们的差值大于预先给定的阈值时, 将新 λ 值代入到第 1 2 步, 重新计算 λ, 直到 λ 满足要求为止初始值改进前文提到 ^x (1) (1)=x (1) (1) =x (0) (1) 的初始条件不符合灰色系统中新信息优先的原理和最小二乘法的思想在求最优初始值时, 先取 ^x (1) (n)=x (1) (n), 令 C k =^x (1) (n)- b a, 则式 (1) 可写为图 1 模型误差示意图 Fig 1 Schematicdrawingofmodeleror 其次, 选取初始值时, 原始 GM(1,1) 模型用 x (1) (1) 作为初始值, 这样能使预测数列第 1 点的误差为 0, 从最小二乘法的角度思考, 这样是不合理的, 选取的初始值应该让模型的整体误差最小另外, 根据灰色系统中新信息优先的原理, 初始值选 x (1) (n) 更合理背景值改进给定任意正整数 k, 累加序列 X (1) 在闭区间 [k-1,k] 上连续, 在开区间 (k-1,k) 上可导, 根据拉格朗日中值定理可知 : 在 (k-1,k) 中至少存在一点使得 x (1) (k)-x (1) (k-1)=x (1) (ξ k )(k-k+1), 其中,k-1<ξ k <k 根据影子方程可得 x (1) (ξ k )=b-ax (1) (ξ k ) 由于 x (1) 是单调的, 取任意 λ,λ [0,1], x (1) (ξ k ) 可表示为 x (1) (ξ k )=λx (1) (k-1)+(1- λ)x (1) (k) 由此可知, 灰导数 x (0) (k) =x (1) (k)- x (1) (k-1) 是 ξ k 点的导数, 相应的背景值是 x (1) (ξ k ) =λx (1) (k-1)+(1-λ)x (1) (k), 而用 ^x (1) (k)=c k e -a(k-n) +b/a, 还原, 得 ^x (0) (1)=C k e -a(1-n) +b/a, { ^x (0) (k)=c k (1-e a )e -a(k-n) 其中,k=2,3,,n (2) 现根据最小二乘法的思想来求 C k, 即在 min n (^x (0) (k)-x (0) (k)) 2 的条件下求 C k, 将 { } 式 (2) 代入, 对 C k 偏导, 整理后可得 x (0) (1)e -a(1-n) +(1-e a ) n x (0) (k)e -a(k-n) - b k=2 a e-a(1-n) C k =, e -2a(1-n) +(1-e a ) 2 n e -2a(k-n) k=2 进而可以求得改进的初始值 ^x (1) (n) 通过以上分析, 针对模型存在的缺陷进行上述两项的改进是必要的, 改进的方法也是合理的, 改进模型的效果与建模数据的增长指数有关 3 工程实例本文选取贵广高铁某隧道的一观测点的观测数据为研究对象, 观测期数为 12 期, 前 8 期用来建模, 对后 4 期进行预测首先对数据进行小波去噪处理, 选用 db4 小波, 分解层数为 4, 采用文献 [6] 的改进算法其结果如图 2, 实测数据与

4 桂林理工去噪数据如表所示大学学年报光滑性分别用去噪与未去噪的数据序列建立原从图可以看出去噪后的沉降曲线有很好的始灰色预测模型然后用去噪的数据建立改进灰色预测模型模型的精度和预测结果如表所示模型的精由表可知未去噪原始ＧＭ度等级为四级去噪原始ＧＭ模型的精度等级为二级去噪改进ＧＭ模型的精度等级为二级相对于去噪原始ＧＭ模型去噪改进ＧＭ模型的平均相对误差与均方差比有小幅的提高未去噪原始ＧＭ模型的预测平均相去噪原始ＧＭ模型的预测对误差为去噪改进ＧＭ模型的平均相对误差为预测平均相对误差为相对于未去噪原始ＧＭ模型去噪原始ＧＭ模型和去噪改图实测数据小波去噪曲线模型的预测效果有很大提高进ＧＭＦｇＷｄｇｃｕｆｈｍｕｄｄ表小波去噪前后数据对比ＴｂＣｍｐｆｈｄｂｆｄｆｗｄｇ期ｍｍ数实测数据去噪数据表各模型的模拟精度和预测效果对比ＴｂＣｍｐｆｍｕｐｃｄｐｄｃ模型未去噪原始ＧＭ模型去噪原始ＧＭｍｍ模型去噪改进ＧＭ观测期数主要参数ｂｂｂ精度ＣＰＣＰＣＰ注各模型的关联度都能达到一级的要求结论小波去噪能有效去除测量观测数据中的噪声用去噪数据建立的ＧＭ模型的模型精度提升了两个等级预测效果也大大提高本文建模数据是低增长指数序列相对于去噪原始ＧＭ模型去噪改进ＧＭ模型的平均相对误差与均方差相比有小幅的提高没有量级的提高这验证了前文对模型改进时

5 第 3 期文鸿雁等 : 基于小波去噪的改进 GM(1,1) 模型在高铁线下工程中的应用 135 的分析 : 当建模数据变化平缓 ( 低增长指数 ) 时, 实际面积值与梯形面积值相差无几, 模型的偏差会很小, 从而证明了改进模型模拟精度的小幅提高正是模型的很小偏差所致, 说明改进的 GM (1,1) 模型更合理精度更高对高铁线下工程的沉降分析和准确预测有重要意义本文用基于小波去噪的改进 GM (1,1) 模型进行实际应用, 有很好的效果, 该方法综合了小波理论和灰色理论的优点, 有实际的应用价值参考文献 : [1] 陈冠宇, 文鸿雁, 周吕, 等. 高铁隧道沉降变形评估方法分析 [J]. 施工技术,2014,43(7): ,109. [2] 高彩云, 崔希民, 高宁. 顾及不同初始条件的 GM (1, 1) 变形建模研究 [J]. 大地测量与地球动力学,2014, 34(4): [3] 李超, 郝建新, 文鸿雁, 等. 变形监测数据的一种小波去噪法研究 [J]. 测绘科学,2012,37(4):24-25,66. [4] 胡纪元, 文鸿雁, 周吕, 等. 小波多尺度 Kalman 滤波模型在高铁隧道沉降变形上的应用 [J]. 桂林理工大学学报,2014,34(1): [5] 宁静, 关则彬, 佘振国. 背景值改进灰色模型及其在铁路交通事故趋势分析中的应用 [C] // 中国智能交通协会. 第九届中国智能交通年会大会论文集, 北京 : 电子工业出版社,2014: [6] 文鸿雁, 张正禄. 非线性小波变换阈值法去噪改进 [J]. 测绘通报,2006(3): [7] 卜璞. 灰色系统理论在高层建筑沉降变形观测中的应用研究 [D]. 昆明 : 昆明理工大学,2013. [8] 刘思峰, 谢乃明. 灰色系统理论及其应用 [M].6 版. 北京 : 科学出版社,2013: [9] 周命端, 郭际明, 文鸿雁, 等. 基于优化初始值的 GM (1,1) 模型及其在大坝监测中的应用 [J]. 水电自动化与大坝监测,2008,32(2): [10] 黄元生, 陈子儒. 灰色预测模型背景值赋值不合理性的证明及改进 [J]. 电子测试,2013(13): [11] 陈冠宇, 文鸿雁, 周吕, 等. 基于 Kalman 滤波下的高铁隧道沉降变形评估方法 [J]. 桂林理工大学学报,2013, 33(4): ApplicationofGM(1,1)modifiedmodel basedonwaveletde noisinginhighspeedrailwayunderlineengineering WENHong yan,nieguang yu,yuanming yue,gaohong (a GuangxiKeyLaboratoryofSpatialInformation and Geomatics; b ColegeofGeomaticsand Geoinformation; c GuangxiScientificExperimentCenterofMining,MetalurgyandEnvironment,GuilinUniversityofTechnology,Guil in541004,china) Abstract:ThebackgroundandinitialvaluesofGM(1,1)modelareimprovedreasonablyandnecesarilyac cordingtotherequirementsofsmoothnesingm(1,1)model.modelingdataofwaveletde noisingareusedto improvetheprecisionandforecastingresultsofgm(1,1)model.applicationcasesofengineeringshowthat thereisnoimprovementinmagnitudefortheprecisionofsimulationandpredictionefectoftheimprovedgm (1,1)modelwhilemodeldataarelowgrowthindexseries. Keywords:waveletde noising;gm(1,1)model;backgroundvalues;initialvalues

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik