Microsoft Word - transformer_exercise

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颔喻
5 years ago
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1 中學課程教授的理想變壓器 ( 電壓正比於匝數 ; 電流反比於匝數 ) 其實是一個 "no-flux transformer", 即是它鐵芯內的磁場在甚麼時刻都是零你覺得奇怪嗎? 頁 1

(I) 一般中學教授的理想變壓器圖片來自 https://en.wikipedia.org/wiki/transformer 假設變壓器沒有漏磁導線沒有電阻鐵芯沒有渦電流 (eddy current).

2 (I) 一般中學教授的理想變壓器圖片來自假設變壓器沒有漏磁導線沒有電阻鐵芯沒有渦電流 (eddy current)... 等等即是完全沒有能量損秏, 故曰此變壓器是理想變壓器的基本運作原理是法拉第電磁感應定律 (Faraday's law of induction) 假設繞著鐵芯的磁通量 (magnetic flux = BA) 為 ; 因為沒有漏磁, 所以原線圈和副線圈兩邊的磁通量相同, 都是運用法拉第電磁感應定律於原線圈和副線圈, 得到 d V p N p, 和 (1) dt d V s Ns. (2) dt 把上式 (1) 除以式 (2), 得 V p :V s = N p :N s (3) 設變壓器的輸出方 ( 副線圈 ) 接駁電阻 R, 所以副電壓會製造電流 I s 根據歐姆定律 V s = I s R (4) 假設變壓器是理想, 即是完全沒有能量損秏, 所以輸入功率 = 輸出功率 V p I p = V s I s (5) 利用上式 (3) 和式 (5), 再求得 I p :I s = N s :N p (6) 式 (3) 和式 (6) 是理想變壓器的兩個著名比例 : 電壓正比於匝數 ; 電流反比於匝數頁 2

3 (II) 有點兒不妥! 接上變壓器的是交流電總會在某時刻, 副電流為零 (I s = 0) 我們的分析, 就由此刻開始在這時刻 I s = 0, 我們會相繼推論出 V s = 0 ( 因為 V s = I s R, 而 I s = 0) V p = 0 ( 因為電壓比, 而 V s = 0) I p = 0 ( 因為電流比, 而 I s = 0) d /dt = 0 ( 因為式 (1), 而 V p = 0; 或利用式 (2),V s = 0 ) 另一方面, 大家知道磁場是由電流製造鐵芯的磁場必是由兩線圈的電流產生在這時刻,I p 和 I s 均是零, 所以在這時刻, = 0 在這時刻, = 0 及 d /dt = 0, 所以在一個非常短的時間之後, 也會是零有兩個可能性是會造成在這一個非常短的時間之後的可能 : 是那時的 I p 和 I s 仍然是零若是這樣, 我們得 I s = 0, 這即是我們推論的起點我們再次用 I s = 0 並重複以上推論, 會得到一個非常短的時間之後的另一個非常短的時間之後, I p 和 I s 仍然是零如果無限次重複推論, 即是在之後的任何時間,I p 和 I s 均是零, 這結果不合理吧! 一個正常運作中的變壓器不可能是電流永遠是零, 磁通量永遠是零所以這個可能似乎不合理, 應該捨棄可能 : 造成在一個非常短的時間之後的的另一可能原因的當時 I p 和 I s 並不是零, 而是它們在鐵芯內造成的兩個磁場互相抵消因為磁場抵消, 也會得出但問題也來了! 原電流和副電流常常滿足一條簡單比例公式 :I p :I s = N s :N p N s 和 N p 固定不變, 所以 I p 和 I s 一定是以同一個因子 (factor) 來倍大或縮小若果在某時刻 I p 和 I s 在鐵芯內的磁場互相抵消 ; 在之後的任何時間, 因為 I p 和 I s 常保持一個簡單比, 即是它們的磁場也一直維持著相消的關係 ( 不要忘記, 磁場正比於電流 ) 無可避免, 再一次推論出在任何時刻, 無論是可能或可能, 結論都是一樣 : 在任何時刻, 但這是不可能的! 變壓器背後的工作原理是電磁感應, 在任何時刻都是零, 那裡來電磁感應頁 3

4 以上的邏輯推論有誤嗎? 筆者看不到有唯一的結論是我們熟悉的理想變壓器並不是一個自洽 (self consistent) 理論 --- 不能自圓其說, 是自相矛盾的一個理論簡而言之, 我們熟知的那個理想變壓器 ( 滿足 (i) 輸入功率 = 輸出功率,(ii) 電壓正比於匝數,(iii) 電流反比於匝數 ) 就是一個 "no-flux transformer" (II) 啥地方錯了? 在推導理想變壓器時, 我們用了 " 輸入功率輸出功率 ", 即是 V p I p = V s I s 儘管變壓器是理想, "V p I p = V s I s " 就是不完全正確這個永遠是零是源於這個錯誤關係道理不複雜電磁感應依賴的是一個隨時間變化的磁通量磁場就是能量, 隨時間變化的磁場即是磁能會隨時間轉變這些磁能最終絲毫沒有消秏, 因為已假設了變壓器是百份百理想但無論變壓器是如何理想, 藏在鐵芯的磁能必會隨時間起伏 ; 有時比平均值多些, 這時要靠電源提供多一些 ; 有時比平均值少些, 這時就有一些磁能轉回給電源所以, 正確的功率關係是 V p I p = V s I s + P m (7) 其中 P m 是鐵芯磁能的變化率若果把 P m 棄掉或遺漏了, 即是假設鐵芯內沒有磁能, 又即是假設了沒有磁場所以, 以 "V p I p = V s I s " 為基礎而建立起的理想變壓器就會是一個 "no-flux transformer" 了上式 (7) 是瞬時功率的關係, 但如果把式兩邊取平均值, 那是 <V p I p > = < V s I s >, 因為變壓器是理想,<P m > = 0 副線圈符合歐姆定律, 所以 V s 和 I s 必然同相, 但 V p 和 I p 就不一定了所以 <V p I p > = < V s I s > 會寫為 V p, rms I p, rms cos = V s, rms I s,rms, 其中 rms 表示 root-mean-square 值, 是 V p 與 I p 的相角由式 (7) 出發, 就可解到正確的理想變壓器其中涉及的數學不深, 但在這裡都是省卻了有興趣的讀者請參看筆者在 EJP 發表的一篇拙文 Clarifying concepts and gaining a deeper understanding of ideal transformers 這篇文章講的不是甚麼高深物理, 只是把一些關於 ideal transformers 的一些在高中課本裡欠奉或說得不清楚或無意間令人誤解的概念作了澄清和解頁 4

5 釋 (III) 正確的理想變壓器由式 (7) 出發, 就可解到正確的理想變壓器解之中的最重點是原電流可視為兩部份 : 1. 其中一部份即是 " V p I p = V s I s " 和 " I p :I s = N s :N p " 裡的 I p 這部份的原電流我們改以符號 I p,l 表示 I p,l 與電源同相 I p,l 與副電流 I s 在鐵芯的磁場一直互相抵消 ( 即是我們先前說的 I p 和 I s 所產生的總磁通量一直是, 頁 3 的推論其實就是一個證明 ) 2. 原電流的另一部份是在那不太正確的理想變壓器中未曾出現, 它是來源自式 (7) 的 P m 這個原電流我們會以符號 I p,m 表示 I p,m 稱為勵磁電流 (magnetizing current) 激磁電流 (exciting current) 或無載電流 (no-load current) 此部份的原電流就是用來製造鐵芯的磁場 ; 此電流比電源滯後 /2 要強調一點, 無載電流並不是指當變壓器沒有負載時, 此電流才出現 ; 而是此原電流在甚麼負載 ( 甚至是無載或短路 ) 下都存在和相同之所以稱為無載電流, 因為當無載時, 原電流就只有此電流無載電流是一個令人容易誤解的名稱, 筆者建議把它改為與負載無關電流 (load-independent current) I p,m 比電源滯後 /2 甚麼是 " 滯後 /2?" 筆者寫的電腦模擬相位差 ( 或有助明白頁 5

6 上圖的藍曲線線就是滯後紅曲線 /2 若紅線是電源電壓或是 I p,l, 那藍線就是 I p,m 譬如說, 紅線開始時是零, 藍線要遲四分一週期後才到零 (IV) 勵磁電流 I p,m 或是真的很微弱, 但不能設它為零! 讀者或會有一大疑團 : 先前講的甚麼 V p I p = V s I s + P m, 又不是甚麼艱深概念, 難道真是沒人知道這個鐵芯磁能的變化率 P m 和這個勵磁電流嗎? 當然不是! 這些概念都已廣泛被人認識之不過, 理想變壓器一般都會理解應該是簡單易學習的一個理論, 所以在理想變壓器中往往會加入一條這樣的假設 : 變壓器線圈的電感 (inductance) 無限大大家知道, 電感 (inductor) 的磁鏈 flux linkage N = LI 情況相同, 現在是 I p,m 流過原線圈而產生磁鏈, 所以 N p = L p I p,m 當電感 L p 很大時, 一個微弱的 I p,m 已經足以產生那需要的磁鏈力求真的簡單易學習 ( 另一原因是電感越大, 能量損失就越少 ), 不如就索性假設電感無限大, 那勵磁電流就變得無限微弱不如直接當 I p,m = 0 就好了如此這般,I p,m 就在公式和概念裡徹底消失, 大家學習的那理想變壓器就是這樣來的公式上, 或許表面並無不妥但事實是, 無論 I p,m 如何微弱, 你都不可以設它為零 I p,m 完全消失下的理想變壓器, 就是一個自相矛盾的 (paradoxical) 的理論概念 I p,l 與副電流 I s 在鐵芯的磁場一直互相抵消, 不會因為假設 I p,m 是零而改變概念 I p,m 製造鐵芯的磁場, 不會因為假設 I p,m 是零而改變事實上, 鐵芯的磁鏈 N p = L p I p,m 無限微弱的 I p,m 乘上無限大的電感, 就是非零的磁鏈 ; 但零的 I p,m 乘上多大的電感都是零的磁鏈假設了 I p,m 為零的變壓器, 只會是一個沒有了磁場的變壓器所以, 在電感無限大假設下的理想變壓器, 我們可以假設勵磁電流 I p,m 無限微弱, 但不能假設它為零如真的假設了 I p,m = 0, 理論就必然會出現麻煩為求貫徹簡單易學習原則, 但也不喪失至寶貴的理論自洽性, 那最起碼在概頁 6

7 念上也應該清楚說明勵磁電流的存在和意義, 這應該是一個負責任的物理教育 ( 不是為求考試 ) 的底線了 (V) 在中學教授理想變壓器, 筆者不反對老師如往常般推導 V p I p = V s I s V p :V s = N p :N s 和 I p :I s = N s :N p 等的關係但筆者倡議起碼加入一條像這樣的一個說明 : 鐵芯的磁場不是由 I p 和 I s 產生事實上,I p 和 I s 在鐵芯產生的磁場互相抵消產生電磁感應的磁場是由在原線圈, I p 以外的另一原電流產生, 這電流並不符合電流與匝數反比的關係,( 這電流滯後電源電壓 90 0 ), 這電流從電源提取的平均功率是零括號內的一句可教或不教, 視乎學生能力如此, 整個理想變壓器理論才變得 ( 比較 ) 完整, 是一個勉強的 self consistent 和 self contained theory 若課程的設計者只甘心教授學生一個 "no flux transformer", 是作為電磁感應的一個實際應用, 但又完全不能用 Faraday's law of induction 去印證和解釋 ( 因為沒有 flux, 那又如何運用法拉第電磁感應定律呢情況更壞是, 若學生不知道 I p 和 I s 在鐵芯產生的磁場互相抵消, 而胡亂用 I p 和 / 或 I s 去堆砌一個鐵芯磁場來, 那只會越攪越糊塗了 ), 那筆者就真的無話可說了! (VI) 如果學生學習了以上短短的一句概念, 老師擬題的內容也因此而廣闊了不少以下為一例頁 7

8 道非一般的中學變壓器例題 : 下圖 (a) 的交流電壓輸入給圖 (b) 的理想變壓器 (ideal transformer) 試問 (a) 在圖 (a) t = t 1 的時刻, (i) 副電流 (secondary current) 的流動方向為何? 副線圈的輸出端 F 和 G, 那一端是正極? (ii) 鐵芯內磁場方向為何? 是增強中還是在減弱中? (iii) 原電流 (primary current) 的方向為何? (b) 若 ( 只 ) 把原線圈電線繞電芯的方向逆轉, 問 (a) (i) 和 (a) (ii) 相同同題 (c) 在 t = t 2 的時刻, 問 (a) (i) 和 (a) (ii) 相同同題解答 : 這問題基本上只須引用筆者倡議加入高中課程的那段說話鐵芯的磁場不是由 I p 和 I s 產生事實上,I p 和 I s 在鐵芯產生的磁場互相抵消產生電磁感應的磁場是由在原線圈,I p 以外的另一原電流產生, 這電流並不符合電流與匝數反比的關係,( 這電流滯後電源電壓 90 0 )... 就可基本回答了頁 8

9 (a) (i) 在 t = t 1, 電源電壓是正電源的 Y 端接地, 所以在這時刻, I p ( 即是本文先前講的 I p,l ) 的流動方向是 XWZYX ( 不要忘記 I p,l 與電源同相 ) 知道了電流流過原線圈的方向, 然後用線圈的右手握拳定則 (right-hand grip rule for solenoids) 求出 I p 在鐵芯製造了一個逆時針方向的磁場由 I p ( 即本文的 I p,l ) 產生繞著鐵芯的磁場因為 I p 和 I s 在鐵芯產生的磁場互相抵消, 所以 I s 在鐵芯製造的磁場必然就是順時針方向再次運用線圈的右手握拳定則, 不過這次是運用於副線圈 ( 用已知磁場去來求電流 ) 因而求出副電流的方向是 FEHGF 副電流 I s 是副線圈的感生電流, 所以 I s 流出副線圈的流出端 (F) 就是正極 ( 或說, 電流流過電阻的方向是正去負 ) W 和 F 常保持同相 (a) (ii) 這部份需用上這句製造鐵芯磁場的原電流滯後電源電壓 90 0 頁 9

10 在圖 (a) 的 t = t 1 開始, 向左移一週期 ( 左方是較早時間 ) 然後取此一週期的 1/4 那大概就是上圖 (a) 藍箭所指的曲線部份意謂當在 t = t 1 時, 製造那磁場的原電流 (I p,m ) 的交流波形就是如藍箭矢所指著的波形般 : 是一個負值而是趨向著零, 即是在減弱當中這樣的電流所製造的鐵芯磁場 ( 是最後的淨磁場 ) 是以順時針方向繞著鐵芯即是, 通過副線圈的是一個向下而減弱中的磁場親愛的讀者, 你不妨運用在課堂已學過的電磁感應, 看看一個這樣向下而減弱中的磁場所產生的感生電流是否就是如 (a) (i) 求得的副電流 I s 方向? (a) (iii) 在 t = t 1, 原電流 (primary current) 的方向為何? 原則上, 原電流 (primary current) 是 I p,l 和 I p,m 之和在這時刻,I p,l 是正,I p,m 是負除非我們知道這變壓器的參數, 否則我們是不能知哪個電流的量值會較大那即是說我們不能確定在這時刻原電流的方向但如果我們說的是一個理想變壓器,I p,m 會很小 ; 但同時, 也須假設負載電阻也很小, 那 I p,l >> I p,m 大概就會成立那時, 原電流大概會與電源同相 (in-phase) 讀者或問, 既然我們在 (a) (ii) 已求出此刻的磁場是順時針方向繞著鐵芯並在減弱中, 我們可否用這來求原線圈電流, 如在 (a) (ii) 般來印證副電流 I s 的方向答案是不可以這裡涉及另一重要概念 : 在理想變壓器, 無論是 I p,l 或 I p,m, 這兩個原電流都不是原線圈的感生電流原線圈的感生電動勢 (emf) 已被電源的電動勢完全消去了 ; 原線圈的感生電動勢是不會產生它的感生電流原電流的出現是按整個系統的其他物理需求來決定明白了以上辦法, 就容易回答 (b) 和 (c) 的問題 (b) I p ( 即是本文先前講的 I p,l ) 的流動方向仍然是 XWZYX, 但因為原線圈電線繞電芯的方向逆轉了, 所以 I p 在鐵芯製造了一個順時針方向的磁場, 所以 I s 在鐵芯製造的磁場是逆時針方向 I s 的方向是 GHEFG 端 G 是正 W 和 G 常保持同相在這時刻, 鐵芯磁場是逆時針方向繞著鐵芯並在減弱中 (c) I p ( 即是本文先前講的 I p,l ) 的流動方向仍然是 XWZYX I s 的方向是 FEHGF 端 F 是頁 10

11 正此刻, 鐵芯內的磁場是零, 但在增強中作者 : 吳老師 (Chiu king Ng) 頁 11

二零零六年一月二十三日會議

二零零六年一月二十三日會議附件 B 有关政策局推行或正在策划的纾缓及预防贫穷措施下文载述有关政策局 / 部门为加强纾缓及预防贫穷的工作, 以及为配合委员会工作, 在过去十一个月公布及正在策划的新政策和措施生福利及食物局 (i) 综合儿童发展服务 2.