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1 第 5 卷第期 01 年 3 月北京航空航天大学学报 ( 社会科学版 ) Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics( Social Sciences Edition) Vol. 5 摇 No. March, 01 工科高等代数教学中数学直观的培养刘敬伟 ( 北京航空航天大学数学与系统科学学院, 北京 ) 摘摇要 : 数学直观是大学数学思维素质培养的主要目标之一, 也是培养大学生数学基础和数学应用能力的关键从数学教育学和认知心理学的角度, 分析了数学思维与数学直观培养的关系, 研究了工科高等代数知识对大学生数学直观培养的重要性及基于认知结构的教学方法并从空间解析几何与高等代数的教学实践出发, 通过两个例子说明数学直观对大学生数学思维能力培养的重要性关键词 : 工科高等代数 ; 数学思维 ; 数学直观中图分类号 :G64 摇摇摇文献标识码 : B 摇摇摇文章编号 :1008 鄄 04(01)0 鄄 0116 鄄 05 Mathematical Intuition Training in Engineering of Advanced Algebra Teaching Liu Jingwei ( School of Mathematics and System Sciences, Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing , China) Abstract: Mathematical intuition training is one of the main aims of mathematical thinking quality cultivating in col 鄄 lege mathematical teaching. It is also the key concern of development of college students 蒺 mathematical foundation and mathematical application skills. In this paper, we analyze the relationship between mathematical thinking and mathe 鄄 matical intuition in the view of pedagogy and cognitive psychology, investigate the importance of engineering advanced algebra knowledge for training mathematical intuition of college students and discuss the teaching method according to cognitive structure. Based on the teaching practice of spatial analytic geometry and advanced algebra, we show the importance of mathematical intuition for mathematical thinking of college students by two examples. Key words: Engineering of Advanced Algebra; mathematical thinking; mathematical intuition 一数学直观和数学思维数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学, 也就是研究数和形的科学任何一种数, 只是符号, 本身没有什么特定的含义, 反映的是现实世界中事物之间的数量关系空间结构相互变化和空间模型, 它着眼于培养人们对于数量关系和空间形式的能力数学的抽象思维能力由于数学是一门言语精确抽象性逻辑思维性强的学科, 它成为培 [1]11, []110 养学生思维严密性抽象性的最好途径 1961 年美国全国教育协会在美国教育的中心目的一文中声明 : 强化并贯穿于所有各种教育目的的中心目的教育的基本思路就是要培养思维能力冶 []46[3] 年中国教育部制定的全日制中学数学教学大纲规定, 数学要培养学生的三大基本能力 : 运算能力空间想象能力和逻辑思维能力 []10[4] 010 年中国高考数学大纲的能力要求则增加为 : 能力是指思维能力运算能力空间想象 [5] 能力以及实践能力和创新意识冶目前为止, 研究数学教学论和数学教育学的主要对象是中小学生 [6-10][11]9-61, 他们是数学教育的基础和人才培养的开端但是随着中国大学生硕士生和博士生招生规模的扩大, 以及科学与技术进步对大学生培养目标的要求提高, 大学生数学教育问题愈发显出其重要性经过了严格的高考制度选拔的大学生, 理论上已经具备了 010 年高考数学大纲所要求的能力, 如何在更高的培养目标和要求下, 摇收稿日期 : 摇作者简介 : 刘敬伟 (1970 ), 男, 山东昌邑人, 副教授, 博士, 研究方向为随机过程金融数学统计学习生物统计模式识别信号与信号处理等.

2 第 5 卷第期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇刘敬伟 : 工科高等代数教学中数学直观的培养 117 打好数学基础, 以便将来从事高层次的基础性或者前瞻性的科学研究? 从培养理工科大学生的基本科研素质来看, 如何培养大学生的数学直观和数学思维, 已成为大学数学教学和数学教育培养的重要课题从教育学的角度来看, 要学会数学思维, 首先要建立正确的数学直观而建立数学直观需要明确数学思维和数学知识的关系从哲学的角度来看 [1]4[]34[11]49, 思维是人脑对客观事物的一种概括的间接的反映, 是客观事物的本质和规律的反映它是人脑对客观事物的本质和事物内在的规律性关系的概括与间接反映而知识是人类在征服自然改造自然的活动中积累起来的精神文化财富和认知成果在教育学中, 思维主要指人在解决问题过程中的智力活动, 其含义接近思考冶 (think) [1]44 所谓数学思维, 是指人关于数学对象的理性认识过程, 包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程 [1] 培养数学思维需要掌握大量的数学知识, 包括定义定理命题和公理作为数学思维的前提只有正确地掌握数学知识, 才能学会用数学的方式思考问题, 增强数学思维的灵活性, 从而产生新的思想和创意知识的渊博程度在一定限度上影响着数学思维能力的建立和发挥没有对数学概念和知识的正确理解, 对数学的思维也只能是井底之蛙冶数学思维有多种分类, 一种分类是逻辑思维与直觉思维逻辑思维是对数学命题的分析推理和证明的过程数学直觉思维 [13] ( 也称为数学直观 ) 是人脑对数学对象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象它是一种非逻辑的思维, 结论没有经过严密的推理, 带有一定的猜测性预见性跳跃性创造性等特征虽然胡勇士将数学思维分为形象思维抽象思维和灵感思维, 其中抽象思维就是逻辑思维, 而形象思维和灵感思维可以归纳为直观思维的范畴 [14] 初等数学只包括几何和代数, 前者描述空间形式, 后者研究数量关系, 而平面解析几何将平面图形的研究与代数方法中的方程结合, 成为联结抽象的代数思维与直观的几何思维的桥梁在大学数学学习阶段, 数学研究的对象越来越抽象, 数学分析高等代数和空间解析几何是研究高等数学的三大基础课程, 数学分析主要训练大学生的逻辑思维, 而高等代数和空间解析几何主要训练大学生的直观思维目前, 在工科高等代数的教学改革中, 将空间解析几何的基本内容作为其三维空间的特例, 然后讲述线性代数和抽象空间工科高等代数的教学需担负起培养工科大学生利用抽象思维建立数学直观的主要任务二工科高等代数中的数学直观 1 世纪科学技术的进步, 使人们对工科大学生的思维能力创新能力的要求被提到从未有过的高度, 对大学生的数学思维素质的培养提出了更高的目标和要求, 大学生的数学思维素质的研究引起越来越多的关注 [15-17] 从心理学的角度来看, 思维不可以直接由教师传给学生, 并由学生直接接受的, 更多是靠学生在经验中摸索体会和积累, 依靠学生有意识或无意识地将这种摸索和体悟所得进行内化, 从而逐渐掌握应该怎样思维 [3] 郅庭瑾提出为思维而教, 即教会学生学会解决问题冶, 教会学生思维冶 [1]44 在工科高等代数的教学中, 传授知识与培养学生的思维并不矛盾, 培养思维可以使学生产生新的逻辑数学类型的知识, 传授知识可以帮助学生接受新的经验知识, 为数学思维提供加工的原料, 两者相辅相成 [18] 在空间解析几何和高等代数的讲授中, 不仅要向大学生传授基本的数学知识定义命题定理公式, 为其提供数学工具, 还要帮助他们建立一个正确的数学直观思维世界空间 ( 包括高维空间和抽象空间 ) 中的图形和其数学形式建立正确的对应, 使他们具有良好的数学思维素质和扎实的基础, 达到提高创新能力的目的在传授知识的教学活动中, 学生是认知的主体一切教学活动的目的, 是培养学生学懂数学知识会用数学知识, 并最终能创新性地提出新的理论或者方法针对学生的学习理论, 比较有代表性的一种教学理论是赫尔巴特从心理学出发提出的明了联想系统方法冶教学法 [19], 即给学生明确地讲授新知识, 将新知识与旧知识建立联系, 使学生初步形成的新旧事物联系, 作出概括和结论, 最终学生能把所学知识应用于实际赫氏学生将上述四阶段学习法冶扩展为准备提示联想概括运用冶 [0] 最后杜威推广了赫尔巴特学派的学习理论, 提出了五步思维法冶暗示问题假设推理用行动检验假设冶这些教学方法在教育和培养学生中都起到了重要的作用如美国著名教育心理学 [1] 家哈佛大学教授布鲁纳在对人类学习进行研究的基础上提出了认知学习理论他认为, 学习是一个认知过程, 是学习者主动形成认知结构的过程, 主要表现在学习是主动地形成认知结构的过程 ; 强调对学科的基本结构的学习 ; 通过主动发现形成认知

3 118 北京航空航天大学学报 ( 社会科学版 ) 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 01 年 3 月结构根据空间解析几何和高等代数的抽象性和直观性, 及对于建立抽象直观思维的重要性, 在工科高等代数的教学中依据布鲁纳的认知心理学, 笔者实践了如下的教学方法 : ( 一 ) 强化三维空间向量理论和二次曲面 ( 线 ) 理论, 使学生形成一个直觉的参照空间工科大学生的空间解析几何学习, 需在很短的学时内掌握三维向量的基本理论而三维向量的运算尤其是数量积和矢量积的定义, 将为学习三维空间中的垂直平行以及直线和平面方程打下坚实的基础二次曲线和二次曲面的标准型不仅能为将来高等代数中的二次型奠定基础, 而且为多元微积分的研究提供几何直观而高等代数中的线性方程组 ( 非齐次或齐次 ) 的解的问题, 从数学直观上看是高维空间的超平面的交集问题因此, 对工科高等代数的研究脉络和认知结构就有了清晰的认识, 可给工科大学生降低课程难度对于工科大学生来讲, 一般的线性空间 ( 或称向量空间 ) 是一个难点如果简单记为 ( F,V, +, ), 其中 F 是一个数域,V 是一个集合, 在 V 中定义了一个所谓的加法 + 冶运算, 在 F 和 V 中间定义了一个所谓的数乘冶运算只要运算满足八条 [], (F,V, +, ) 就构成向量空间在这种抽象的定义下,n 元向量全体 F n,m 伊 n 矩阵全体 F m 伊 n, 以及数域 P 上次数不超过 n 的多项式的全体 P n [x] 等, 在定义适当的 + 冶运算和数乘冶运算后都能构成向量空间由于 (F,V, +, ) 对于常用的加法和乘法构成向量空间, 则向量空间这个概念是比数域更广泛的一个概念在清楚了上述知识结构后, 学生就会把大学之前的基本知识和高等代数的知识建立起联系, 从而激发他们把新得到的信息和原有的认知结构联系起来, 去积极地建构新的认知结构 ( 二 ) 强调对高等代数基本结构总体框架的介绍, 加强学生对其的学习工科高等代数不管选教哪本教材, 在教学的过程中务必要使学生理解高等代数的基本结构, 掌握其基本原理和思想, 帮助工科大学生从数学思维的更高层级上, 建立对抽象的向量空间和内积空间理论的认识这种基本结构的学习, 恰好就是布鲁纳的认知观和知识观他认为所有的知识, 都是一种具有层次的结构, 人脑的认知结构与教材的基本结构相结合会产生强大的学习效益如果把一门学科的基本原理弄通了, 则有关这门学科的特殊课题也不难理解了当学生的数学思维世界建立了一个最佳的数学知识结构, 那么他们直观思维的水平就越高, 而且越容易激发出灵感, 也就达到了工科高等代数的教学目的如果从向量组理论的角度, 线性方程组 ( 非齐次或齐次 ) 可以记为系数列向量关于常数列向量的线性组合, 从而将线性方程组的求解问题转化为向量组的线性表出问题而向量组的秩与极大线性无关组与这组向量构成的线性空间的维数和基紧密相关在同构的意义下, 有限维的两个同维向量空间的结构应该是一一对应的, 建立的 F n 空间的维数基线性相关线性无关直和等概念在同构意义下, 就能看清冶任一 n 维的更抽象的向量空间的结构在研究线性变换在一组基下的最简单的矩阵表达形式时, 引出了特征值和特征向量, 最终在特征根子空间的形式下, 得到约当 ( Jordan) 标准型在向量空间引入内积后, 就出现了两个重要的概念距离冶和夹角冶, 由夹角得到正交的概念冶, 这样二次型的标准型在正交合同下就能得到完美的解决平面解析几何和空间解析几何的知识几乎都平行冶推广到了高维的内积空间这种工科高等代数的授课框架促进了学生直观思维世界的建立和与原有知识结构的完美结合 ( 三 ) 通过高等代数中的知识点, 构造问题, 帮助学生通过主动发现形成数学直观工科高等代数的最大特点就是抽象, 通过数学知识框架性的传授, 只是帮助学生建立了直观思维的雏形教学实践中, 还要帮助学生将他们日常生活中形成的物理直观与数学直观比较, 通过构造问题和升华数学概念, 引发他们的学习兴趣纠正他们思维世界与数学直观思维的理解偏差冶淤样吗? 以镜面变换为例做如下研究 : 问题 1. 镜面变换和物理世界的镜面反射一例 1. 摇设浊是欧氏空间中一单位向量, 定义 A 琢 = 琢 - ( 浊, 琢 ) 浊证明 :1 郾 A 是正交变换这样的正交变换称为镜面反射郾 A 是第二类的证明过程略 [3] 一个直观的问题是 : 这个镜面反射的图应该是什么样子的, 它跟初中物理建立的镜面反射一样吗? 冶在实际教学过程中, 笔者曾让二十多名学生到黑板上画出他们直观上认为的镜面反射, 并给出数学公式基本上没有学生能完美地回答这个问题事实上, 假设浊是欧氏空间中的一单位向量,

4 第 5 卷第期摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇刘敬伟 : 工科高等代数教学中数学直观的培养 119 寅寅寅寅 OE = 琢,F 是 E 关于浊的对称点, NE 椰 OF 则 OM = 寅寅 ( 琢, 浊 ) 浊, ON = ( 琢, 浊 ) 浊, 由向量的减法知, NE = 琢 - ( 浊, 琢 ) 浊 = A 琢即例 1 的图形如图 1 所示, 而寅过直线 EF, 并与直线 ON 垂直的平面, 才是向量琢与其像 A 琢对称的镜面冶图 1 摇例 1 中的镜面反射由此可以看到, 高等代数中定义的镜面变换不是人们实际生活中理解的镜面竖立在面前, 而是镜面放在天花板冶上, 人们仰视看到天花板镜面中的虚像另外一个与空间解析几何有关的问题是 : 球被任一平面相截, 截面曲线 ( 画法几何中称为截交线 ) 是什么? 而曲面与曲面相交问题在多元微积分的重积分化为累次积分中有重要的应用, 建立正确的数学直观不仅对掌握高等代数有益, 而且有利于正确掌握数学分析中的重积分部分事实上, 球被任一平面所截, 其截交线永远是圆例 3. 求球面 x + y + z = 1 与平面 x + y + z = 1 的交线, 并判断交线的类型, 球面 x + y + z = 1 与平面 x + y + z = 1 的部分图如图 3 所示图摇例中的镜面反射通常人们在物理世界中照镜子时, 镜面是竖直放在前面, 向量琢与其镜中的虚像 A 琢关于镜面对称, 即如果将单位向量浊所在的平面理解为镜面冶, 如图所示, 则由向量加法的平行四边形法寅则, 应满足 OF = ( 浊, 琢 ) 浊 - 琢 = A 琢定义例. 摇设浊是 n 维欧氏空间中一单位向量, A 琢 = ( 浊, 琢 ) 浊 - 琢证明 :1 郾 A 是正交变换郾当 n 是奇数时 A 是第一类的, 当 n 是偶数时 A 是第二类的. 证明 1: 仿例 1 的证明 1 部分易证证明 : 由于浊是单位向量, 将它扩充为空间的一组标准正交基浊, 着,, 着 n, 则有则 A 浊 = ( 浊, 浊 ) 浊 - 浊 = 浊 A 着 i = ( 浊, 着 i) 浊 - 着 i = - 着 i(i =,,n) (A 浊,A 着,, A 着 n) = é1 ( 浊, 着,, 着 n) ë 在基浊, 着,, 着 n - 1 埙 - 1 û 下, A 的行列式等于 ( - 1) n - 1, 所以, 当 n 是偶数时 A 是第二类正交变换 ; 当 n 是奇数时 A 是第一类正交变换图 3 摇整理后得例 3 中球面 x + y + z = 1 与平面 x + y + z = 1 的部分图将 z = 1 - (x + y) 带入 x + y + z = 1 得 x + y + (1 - x - y) = 1 x + y + xy - x - y = 0 æ 记 A = 1 ö ç è1 ø ;b = ( - 1, - 1);X = ( x,y);y = ( x 忆, y 忆 ) 即 XAX 忆 + Xb 忆 = 0 求二次型矩阵 A 的正交合同矩阵 [4], 其特征值 é 1 为姿 1 = 1, 姿 = 3, 正交矩阵祝 = - 1 ë 1, 使得在 1 û é 正交变换 X = Y 祝下, 祝 A 祝忆 = 1 0 ë 0 3 û 所求曲线变为 x 忆 + 3y 忆 - x 忆 = 0, 即 (x 忆 - ) + 3y 忆 = 所以, 球面 x + y + z = 1 与平面 x + y + z = 1 的交线为椭圆冶这与现实世界的截交线直观上是圆是否矛盾冶? 实际上, 球面和平面相交, 交线

5 10 北京航空航天大学学报 ( 社会科学版 ) 摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇 01 年 3 月的轨迹确实是一个圆但是得到的 (x 忆 - ) +3y 忆 = 由于缺少 z 忆, 实际上是一个柱面方程, 在三维笛卡尔坐标系下, 可以看作正交变换 é éx éx 忆 y = y 忆 ë z û ë û ë z 忆 û 下的一个柱面方程与 z 忆 = 0 的交线即交线圆在 xoy 面的投影是椭圆这与交线本身是圆是两个概念也就是工程制图里面的结论球无论怎么切都是圆, 截交线是圆只是由于截平面与投影面的位置不同, 其投影可能是椭圆冶 [5] 通过工科高等代数严格的数学思维训练, 能帮助大学生建立正确的抽象的数学直观, 达到数形的高度的完美结合, 同时有利于他们打好高等数学的基础, 为将来学习难度更高的数学分支的内容, 硕士博士阶段的继续深造以及未来从事科研工作奠定扎实的数学直观三结论从认识心理学的角度出发, 结合空间解析几何和高等代数的学科特点, 将抽象的工科高等代数的知识结构作为培养大学生数学直观思维的主要教学方法, 降低了课程内容的学习难度, 训练了大学生的数学直观, 在四年理工科大学生的高等代数的教学实践中取得了理想的教学效果注释 : 淤此问题来源于高等教育出版社 003 年出版的高等代数第 3 版第 395 页习题 15, 或山东科学技术出版社 1987 年出版的高等代数习题解下册, 文章采用前者的记法参考文献 : [1] 郅庭瑾. 为思维而教 [M]. 北京 : 教育科学出版社,007. [] 刘咏梅. 数学教学论 [M]. 北京 : 高等教育出版社,008. [3] 汪安圣. 思维心理学 [M]. 上海 : 华东师范大学出版社,199. [4] 朱智贤, 林崇德. 思维发展心理学 [ M]. 北京 : 北京师范大学出版社,1986: [5] 010 年普通高等学校招生全国统一考试大纲 : 数学 ( 理 ) [ EB / OL]. ( ). http: 椅 sx. zxxk. com / Article / 1001 / shtml. [6] 曹一鸣. 中国数学课堂教学模式及其发展研究 [M]. 北京 : 北京师范大学出版社,007: [7] 叶立军, 方均斌, 林永伟. 现代数学教学论 [M]. 杭州 : 浙江大学出版社,006:1-50. [8] 王林全. 现代数学教育研究概论 [M]. 广州 : 广东高等教育出版社,005: [9] 张占亮, 王兴志, 刘幸东. 数学教学技能训练教程 [ M]. 东营 : 中国石油大学出版社,007: [10] 涂荣豹, 王光明, 宁连华. 新编数学教学论 [ M]. 上海 : 华东师范大学出版社,006: [11] 全美数学教师理事会. 美国学校数学教育的原则和标准 [ M]. 蔡金法, 译. 北京 : 人民教育出版社,004:9-36. [1] 王仲春, 李元中, 顾莉蕾, 等. 数学思维与数学方法论 [ M]. 北京 : 高等教育出版社,1989: [13] 李玉龙. 数学直观思维及其培养 [ J]. 考试周刊,008 (1 ): [14] 胡勇士. 浅谈中学生的数学思维及其培养 [ J]. 科学教育研究,007(8): 94. [15] 马金凤, 王学峰. 1 世纪大学生数学思维的建立与数学素质的培养 [J]. 高等理科教育,001(1): [16] 陈涛. 浅谈在数学分析中的直观教学 [ J]. 泰安师专学报, 001, 3(6): [17] 顾勇为, 归庆明, 朱建青, 等. 把握数学建模过程中的数学直观 [J]. 数学的实践与认识,001,31(6): [18] 谭和平, 李其维. 略论思维的可训练性 [ J]. 华东师范大学学报 : 教育科学版,1998(4): [19] 赫尔巴特. 普通教育学教育学讲授纲要 [M]. 李其龙, 译. 北京 : 人民教育出版社,1989:. [0] 杜威. 我们怎样思维经验与教育 [ M]. 姜文闵, 译. 北京 : 人民教育出版社,1991:88. [1] 布鲁纳. 教育过程 [ M]. 邵瑞珍, 译. 北京 : 文化教育出版社, 198: [] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数 [M]. 3 版. 北京 : 高等教育出版社,003:395. [3] 杨子胥. 高等代数习题解 : 下册 [M]. 济南 : 山东科学技术出版社,1987: [3] 华罗庚. 高等数学引论 : 余篇 [ M]. 北京 : 科学出版社,1984: [4] 陈循, 唐根顺. 工程制图基础 [M]. 版. 长沙 : 国防科技大学出版社,006:55-56.

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<4D F736F F D20B5DACAAED5C220CBABCFDFD0D4BAAFCAFDA3A8BDB2D2E5A3A92E646F63> 高等代数第十章双线性函数第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V