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1 遨翔於宇宙中的愛因斯坦 文 / 吳俊輝 愛因斯坦如超人般的科學貢獻, 是無庸置疑的, 從日常生活中的數位相機 自動門, 到宇宙中的物質組成與時空結構等, 都有他的影子 尤其是在宇宙學方面, 他當時所提出的一些理論, 在近百年後的今日, 竟然又再次地掀起了一場科學革命! 為了配合世界物理年的收尾, 在這一期的雙月刊中, 我們將以宇宙學為主軸, 來探討愛因斯坦在其中的影響力 人類對宇宙的好奇與探索, 自古就從來沒有停止過, 但所知仍然相當有限 ( 請參見本期專文 天圓地方和天方地圓, 曾耀寰撰 ) 一直到近百年前, 由一些較定量的觀測, 加上愛因斯坦的相對論及近代物理的崛起, 才讓宇宙學正式登堂入室, 儼然成為一門精準科學 ( 請參見本期專文 宇宙學十大不可思議, 顧哲安撰 ) 百年來, 雖然我們在觀測上已經有了許多重大的進展, 但是, 這些用來研究宇宙最先進觀測結果的理論基礎, 竟然都還離不開愛因斯坦的相對論 從宇宙的年齡大小到幾何結構 ( 請參見本期專文 宇宙之年齡, 林文隆撰 ), 都需要以相對論為基礎來進行理論計算 其中最令人津津樂道的, 莫過於他在當時所提出的一個奇怪概念 : 宇宙常數, 也就是今日宇宙學中所稱的 黑暗能量 的一種 在數學上, 它是愛因斯坦方程式右手邊的一個修正項, 在物理上, 它則對應到一種壓力為負的物質, 提供宇宙中和牛頓概念完全相反的 萬有斥力!( 請參見本期專文 萬有引力與能量, 陳江梅及聶斯特撰 ) 這種怪力量可以用來解釋近年來所觀測到的宇宙加速膨脹之現象 此外, 總是引人遐想的黑洞理論, 也是建構在相對論的基礎上 透過宇宙微波背景輻射 ( 請參見本期專文 早期宇宙的實驗室 : 宇宙微波背景, 郭兆林撰 ) 宇宙微波背景輻射的觀測, 不但讓我們直擊了宇宙大霹靂的初期樣貌, 更讓我們有機會能研究宇宙的演化 台灣在這場盛會中並沒有缺席, 目前建置在夏威夷大島上的阿米巴計畫 (AMiBA), 正在進行最後的組裝, 計畫在明年開始進行觀測, 此計畫乃是台大物理系暨天文物理所和中研院天文暨天文物理所的一項大型合作計畫 這一連串的國內外觀測計畫, 無非是要探究宇宙的根源, 而其所據之理論, 當然多半是建構在愛因斯坦的相對論基礎上 愛因斯坦呀愛因斯坦, 您是如何在百年前就能理解這些連今天都還令人頭痛的問題? 這不禁讓人懷疑, 您是否在百年前, 就已搭乘過外星人的太空船遨翔宇宙, 或者, 您根本就是外星人?! 讓我們在這百週年紀念的尾聲, 來一探究竟吧! 執編簡介吳俊輝英國劍橋大學應數暨理論物理系宇宙學博士台灣大學物理系暨天文物理研究所副教授 jhpw@phys.ntu.edu.tw Homepage: 目前國內外有數十項的宇宙學觀測計畫, 正在如火如荼地進行中, 而這其中最重要的觀測手段, 便是 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 759

2 宇宙學十大不可思議 文 / 顧哲安 有好幾次, 跟非物理科系的朋友提到我在從事宇宙學研究時, 他們的反應是 : 宇宙學? 好玄啊! 那是像哲學的東西嗎? 這或許就是許多社會大眾對宇宙學的認識 ( 或是不認識 ) 其實早從上個世紀 19 年代, Edwin Hubble 由觀測許多星系能譜的紅移現象而提出宇宙膨脹的 Hubble 定律開始, 宇宙學就已經脫離 數千年走來始終如一 的哲學很遠很遠 我們的哲學思想比起兩千多年前的孔子進步多少? 然而, 人類對浩瀚宇宙的認識, 這一百年來進展之大, 實在不可以道里計 一百年前, 人類不知道宇宙有多大, 甚至懷疑我們所在的銀河系就是整個宇宙 ; 也不知道宇宙是靜止不動 從古至今都長這樣的, 還是會演化的 當時有不少人喜歡永恆不變的宇宙, 覺得這樣比較 美, 像偉大的 Albert Einstein 就是其中之一 ( 不過歷史顯示造物者不需要討如 Einstein 之偉大人類的歡心 ) 上述二問題均已由 19 年代對眾多星系能譜紅移的觀測得到答案 : (1) 宇宙中有非常多星系, 我們的銀河系只是其中一個 ; () 宇宙正在膨脹中 後來 Arno Penzias 與 Robert Wilson( 兩位 1978 年諾貝爾獎得主 ) 在 1965 年所發現的宇宙微波背景輻射 (Cosmic Microwave Background Radiation), 以及其它測量宇宙中輕元素含量 (Light-Element Abundance) 的天文觀測結果, 確立了大霹靂宇宙學 (Big Bang Cosmology) 的地位, 使大霹靂宇宙學終於 KO 其它宇宙學模型, 成為主流宇宙學說 大霹靂宇宙學的地位確立後, 在 199 年代之前, 由於天文觀測所能提供的宇宙學資訊不多, 宇宙學的進展便慢了下來 不過值得一提的是,198 年代初期 Alan Guth 等人提出的暴脹 (Inflation) 模型, 成功地 解釋了宇宙的平坦與均勻性 ; 更神奇的是, 在暴脹的過程中, 量子擾動會被拉長為古典擾動, 提供宇宙的初始能量密度微擾, 而後成為宇宙豐富結構的種子 得利於科技的長足進步, 在 199 年 COBE 衛星第一次發現宇宙背景輻射溫度的微小擾動後, 這十幾年來天文觀測提供了許多精確的宇宙學資訊, 尤其是最近 Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) 對宇宙背景輻射溫度的精密測量, 使得宇宙學的一些參數可以被決定到 1 % 或甚至更精確的地步, 也讓我們正式進入 精密宇宙學 (Precision Cosmology) 的時代 什麼是宇宙學?( 大哉問!) 宇宙生成 演化 組成 結構形成, 皆是宇宙學要探討的議題 以下簡述當前宇宙學的瞭解 : 在很久很久很久以前 ( 約 137 億年前 ), 由於龐大真空能量 ( 或宇宙常數 ) 之反重力 ( 排斥重力 ) 的驅使, 宇宙經歷了一次極為猛烈的加速膨脹, 稱為暴脹 (Inflation) 暴脹毀壞一切結構, 將宇宙中本來極小的區域拉大至少 1 的 6 次方倍而成為極大的區域, 使得我們看到的宇宙在大尺度上相當平坦而均勻 在暴脹的大毀壞過程中, 量子擾動變為古典擾動, 形成宇宙初始微擾 暴脹結束, 宇宙減速膨脹, 真空能量轉換成提供 萬有引力 ( 雖然現在已知道重力之吸引性質並非萬有 ) 的一般物質, 使宇宙再度熱起來 (Reheating), 開始正常的熱霹靂 (Hot Big Bang) 膨脹, 並在這太古洪爐中提煉出構成星體和我們身體的主要成份, 如 : 質子 中子等粒子 暴脹時產生的初始微擾亦在暴脹結束後轉化為宇宙豐富結構形成所需的太古能量密度微擾 當宇宙洪爐還夠熱的時候, 各種粒子彼此碰撞頻繁 而隨著宇宙膨脹 溫度下降 粒子數密度變小, 漸漸地粒子之間的碰撞 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 76

3 會越來越沒有效率而 退耦 (Decoupling) 譬如: 光子和電子質子等帶電粒子在宇宙溫度約 3K 時退耦, 之後大部份光子鮮少與其它粒子發生碰撞, 退耦時留下來的光子可直接到達我們這裡, 宇宙從此變得透明, 而這些光子便是我們所觀測到的宇宙背景輻射 除此之外, 退耦之後, 質子中子所組成的物質脫離了與光子交互作用的妨礙, 其能量密度微小擾動開始可以藉由重力不穩定性而隨時間增長, 進行各種宇宙結構的形成, 包括星系 星系團 巨牆 (Great Wall) 與空洞 (Void) 等等 另外, 觀測結果顯示, 宇宙現在的能量密度組成似乎有 95 % 是來自看不到的東西, 一種是提供額外吸引重力的 暗物質 (Dark Matter), 可幫助宇宙結構形成 ; 另一種是提供排斥重力的 暗能量 (Dark Energy), 用以驅動現階段宇宙加速膨脹 暴脹 (Inflation). 大滅絕. 大毀壞.Reset the Game 暴脹 (Inflation) 是極為猛烈的加速膨脹, 可能是由龐大的真空能量或宇宙常數所驅使 暴脹時, 宇宙空間大小以指數方式隨時間增加, 進而毀壞所有結構, 將粒子數量 ( 密度 ) 熵 Entropy/ 亂度 ( 密度 ) 等物理量歸零 可以想像, 暴脹是造物者放一個狂暴的空間炸彈, 使空間以猛烈的加速方式爆開, 藉以毀滅一切, 將一切歸零 這感覺似曾相識, 就像是玩電腦遊戲玩壞了,reset 重玩 然而, 在大滅絕 reset 之後, 宇宙要如何重新出發, 重新長出結構呢? 這就是困難而巧妙的地方了! 一方面, 要有小小擾動伴隨著暴脹大毀壞產生 ; 另一方面, 大滅絕毀壞夠了後, 暴脹必須巧妙地結束, 使得許多粒子生成, 讓宇宙再度熱起來, 並使暴脹時產生的微小紛擾轉換成物質能量密度的擾動, 伺機成長茁壯, 形成宇宙結構 這讓人想到聖經中的上帝, 用大洪水毀壞世界, 僅留下一丁點兒生命於諾亞方舟之中, 等待洪水退去, 再次繁衍眾多 迅速蔓延 看來造物者都還蠻喜歡用這一招 ( 招式不同, 招意相同 ) 暴脹大滅絕, 紛擾暗生, 結構潛藏根據目前的物理知識, 我們知道 量子 (Quantum) 是這個世界的基本性質, 就算在看似 本來無一物 的虛空之中, 亦會因量子擾動而到處 惹塵埃 在暴脹大毀壞時, 量子擾動會因為宇宙猛烈的加速膨脹而被拉長成古典 ( 物理量 ) 的擾動, 這些擾動後來便成為宇宙結構的來源 也就是說, 宇宙非常大尺度的結構竟是源自於極小尺度的量子擾動 這使得極大尺度的古典現象與極小尺度的量子物理連結起來, 真是太神奇了! 另外, 由觀測我們知道這個擾動的振幅很小, 大概比背景物理量小了五個數量級 我們必須精巧地調整暴脹模型才能得到這麼小的擾動 要如何才能自然地產生這麼小的擾動呢? 這對建構暴脹模型是個很大的挑戰 浴火重生在足夠的大毀壞之後, 暴脹以巧妙的方式結束, 之後宇宙以減速方式繼續膨脹 暴脹結束伴隨著真空能量轉換成粒子, 使得之前被暴脹過冷 (supercooling) 過程弄得了無生氣 ( 但紛擾暗生 ) 的宇宙變得生氣蓬勃 而暴脹時產生的小小擾動亦轉為粒子能量密度擾動, 潛伏於早期宇宙, 伺機成長茁壯 此過程人稱 Reheating 再加熱 Reheating 使宇宙變為一個極高溫的爐子, 可以煮出 提煉出各種物質, 包括組成我們身體的質子 中子 電子, 以及瀰漫宇宙的光子和微中子 (Neutrino), 宇宙於焉浴火重生! 在此溫度極高的宇宙洪爐, 我們可以很容易知道被提煉出來的各種物質的含量 就如高中化學所述, 如果已知化學物質所參與的各種化學反應的反應速率, 以及一開始所準備的各個化學物質的量, 我們便可以算出, 達到化學平衡之後, 各種化學物質的含量 同樣地, 對於宇宙中的各種粒子, 如 : 夸克 ( 組成質子 中子 ) 輕子( 含電子 ) 光子等, 它們之間的交互作用是由上個世紀物理學家的偉大成就 粒子物 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 761

4 理標準模型 所描述 ( 除了暗物質粒子 ) 知道這些交互作用的大小, 我們便可推得不同溫度時, 在熱平衡狀態下, 宇宙洪爐中各種粒子的含量比例 再由觀測得知現在宇宙背景輻射的能量密度, 便可回推各種粒子在早期宇宙時的含量 但暴脹要如何結束,Reheating 要如何發生呢? 有許多模型試圖描述之, 但總不令人滿意 直覺上, 這一切都太巧妙了 先是放入龐大的真空能量產生暴脹大毀壞, 使宇宙重新來過, 並同時由量子擾動產生振幅夠小的古典擾動 ; 然後要有一退場機制, 使暴脹結束, 並使真空能量轉為粒子, 造成 Reheating, 產生宇宙洪爐, 提煉出需要的各種物質 這設計之精巧, 令人嘆為觀止! 造物者的神妙還不只如此, 在接下來的介紹中, 我們還會繼續看到造物者創造宇宙的精巧與周密 均勻 均向 平坦宇宙大尺度結構與宇宙背景輻射的觀測結果顯示宇宙的均勻均向性以及空間上的平坦性 如此高度的對稱性使得宇宙的描述變得容易許多 均勻均向 是說, 不論我們站在宇宙中的哪一個位置, 往哪一個方向看, 宇宙看起來都差不多 在處於熱平衡的小區域中, 溫度和能量密度到處相似並不令人意外 然而, 連相距很遠 看似無法互通聲息的兩個區域也長得像像的, 具有相似的能量密度或溫度, 就有點奇怪了 這表示宇宙在很早期或是剛創生的時候, 宇宙各處的物理性質必須被很精密地互相校對過 另外, 在減速膨脹宇宙中, 空間曲率對宇宙演化的影響會越來越大 然而, 觀測數據卻顯示空間曲率對當前宇宙演化的影響很小 這表示, 在宇宙開始減速膨脹的時候, 宇宙應顯得極端平坦 這兩個問題屬於 微調 (fine-tuning) 問題 微調問題是一種你在乎就有, 不在乎就沒有的問題 若不在乎, 只要把上述問題推給萬能的天神 說造物者就是給了這麼特別的初始條件 即可 但渺小人 類總是希望能減輕造物者的負擔 ( 或是想扮演造物者的角色 ), 希望能找到方法自然地產生這種特別的狀態 而 暴脹 (Inflation) 理論的提出一開始便是為了解決這些微調問題 暴脹將很小的區域在一瞬間被拉成很大的區域 這使得現在兩個相距很遠 看似無關聯的區域在暴脹前可以是緊密關聯的, 因而具有相似的物理性質 另外, 空間曲率的影響力會隨著加速膨脹越來越小 因此, 在暴脹這個猛烈的加速膨脹後 ( 亦即宇宙減速膨脹開始時 ), 空間曲率對宇宙演化的影響力會被抑制到極小, 宇宙會顯得極為平坦 退耦 (Decoupling) 隨著宇宙膨脹 溫度下降 粒子數密度變小, 粒子之間的交互作用會越來越沒有效率, 使得粒子們在低於某個溫度後便幾乎不再碰撞, 此現象稱作 退耦 (Decoupling) 當某種粒子與其它粒子退耦, 或是之間的交互作用不再涉及粒子數量改變後, 該種粒子的數量便固定不變了 對於粒子反粒子對的湮滅與生成, 當宇宙溫度小於粒子對質量時, 湮滅可持續下去, 但生成則幾乎停止 於是之後此種粒子反粒子的數量會急速減少, 直到退耦 舉例來說, 若質子與反質子的數量在早期宇宙是完全相同的, 那麼它們的數量在溫度小於質子反質子對的質量 (~ GeV) 後會急速減少, 直到溫度降至 MeV 時, 退耦發生, 也就是質子反質子停止湮滅後, 其數量才會停止減少 在這種情況之下, 殘存的質子與反質子的數量極少, 其數量密度比光子數密度小了約 19 個數量級, 這與我們看到的宇宙樣貌有所不同 重子不對稱 (Baryon Asymmetry) 宇宙中大部份的重子是質子和中子 我們看到許多質子中子組成的結構 ( 包括地球人 ), 但沒有看到由反質子反中子組成的結構 另外, 觀測顯示, 宇宙中 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 76

5 重子數密度比光子小了約 1 個數量級, 這比之前所說, 在重子數與反重子數相同的情況下, 所得到的重子數與反重子數的密度要大得多 所以, 重子數必須在很早期的時候就已經比反重子數多 ( 重子與反重子的數量差應比重子數和反重子數小了約 8 個數量級 ), 這被稱作 重子不對稱 (Baryon Asymmetry) 要如何產生重子不對稱呢? 我們可以不負責任地把事情推給造物者, 認為造物者在創造宇宙時, 就是放進了這樣大小的重子不對稱 然而, 若宇宙真是經過暴脹 reset 後, 由 Reheating 產生宇宙洪爐提煉出各種物質, 那麼宇宙洪爐必不能平等對待重子與反重子 ( 此外, 重子不對稱的產生還必須有 非平衡過程 以及 電荷 - 宇稱不守恆 兩個條件 ) 粒子物理標準模型無法滿足此條件, 所以, 眾多解釋重子不對稱的理論均牽涉到尚未被驗證的物理, 因而眾說紛紜, 莫衷一是 結構形成 VS. 熱力學第二定律根據熱力學第二定律, 宇宙中的 亂度 / 熵 會保持不變或越來越大, 也就是說, 宇宙會傾向由有序變為無序, 宇宙中的結構會傾向要毀壞 這樣一來, 宇宙如何能由亂糟糟的熱洪爐產生有序的結構, 使人類得以生存呢? 甚至有人因著熱力學第二定律而擔心宇宙遲早會熱寂而完蛋 然而, 這個威脅對造物者而言只是小菜一碟, 造物者用一招 宇宙膨脹 就輕鬆解決了 : 隨著宇宙膨脹, 就算宇宙中的總亂度越來越大, 一個固定 ( 物理 ) 體積中的亂度還是可以越來越小 ( 也就是亂度密度越來越小 ), 溫度也越來越低, 不會有熱寂的問題 另外, 只要宇宙溫度夠低, 就算宇宙不膨脹, 結構還是可以形成 就像一團雲氣如何形成星系或太陽系, 它們只要把亂度以光子或微中子的形式排放到其它地方即可, 反正太空 ( ㄎㄨㄥ ) 實在太空 ( ㄎㄨㄥ ˋ) 了 這一招地球人多年來一直在用 你看地球上一些 地方, 譬如人類居住的城市, 有越來越多建築物, 看似越來越有序, 那亂度跑到哪兒去了呢? 還不就是被丟到沒有人或比較少人住的地方 埋到地下 排到海中假裝看不到, 或是燒掉排到大氣中假裝聞不到 如此而已 神祕暗物質, 暗助結構形成說到結構, 通常是指我們看得到的結構, 如 : 人類 地球 星系等 這些結構的組成成份含有與光有交互作用的物質 ( 如 : 質子 電子 ) 這種結構是人類需要的, 因為若與光無作用, 不要說文明, 連生命都不會產生 然而, 在早期宇宙中, 與光密切而頻繁的反應會使這些物質的能量密度擾動無法成長 必須等到與光退耦之後, 這些物質的結構才能開始形成 但是這樣太晚了, 這樣晚才開始形成的結構不會如我們所見到的豐富 這怎麼辦呢? 不用怕, 造物者祕技萬萬多 除了與光有交互作用的物質, 造物者還放入了與光沒有交互作用或交互作用極小的物質, 人稱 暗物質 (Dark Matter) 由於暗物質與光的交互作用極弱, 其退耦的發生可以比質子電子早很多, 使得暗物質的擾動可以較早開始成長, 產生結構以及重力位勢的不均勻性 ( 亦即位能井 ), 等待看得到的物質與光退耦後掉進這些位能井中, 幫助這些看得到的物質形成結構 暗物質的提出一開始不是為了幫助結構形成, 而是為了保持結構的樣貌 最早是在 193 年代,Fritz Zwicky 觀測 Coma 星系團中星系的運動速率, 發現星系運動過快, 非星系團中星系們的質量所提供的重力所能束縛, 需要有額外的吸引重力 而後又在各個尺度的天文現象上看到這種額外引力的需求, 像是星系中的旋轉曲線 (galactic rotation curves), 星系團的重力透鏡 (gravitational lensing) 效應等等 暗物質是什麼? 目前沒有人知道 儘管粒子物理標準模型中的粒子無法解釋暗物質, 基於偉大粒子物理本位主義, 許多人仍預期或希望暗物質是某個粒子 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 763

6 物理標準模型之上的理論所描述的粒子 ( 譬如 : 超對稱理論中最輕的中性穩定粒子 ) 但是, 究竟暗物質是以粒子的形式, 還是以其它形式 ( 如 : 場 ) 存在, 沒有人知道 甚至, 連暗物質是不是 物質, 我們也不確定 有可能造物者根本沒有放入暗物質, 而是重力理論 Einstein 的廣義相對論 必須被修正 黑暗降臨除了暗物質, 宇宙學家還引入另外一種看不到的 提供反重力 ( 互斥的重力 ) 的能量源, 用以解釋現階段的宇宙加速膨脹 這個令人驚訝不已的發現是在 1998 年由兩個觀測超新星爆炸的團隊 Supernova Cosmology Project 和 High-Z Supernova Search 所發表 雖然把難以理解的現象訴諸看不到的東西實在不是英雄的作為 ( 就像古代人動不動就把不了解的事情歸因於萬能天神的神奇力量 ), 但反重力實在太奇怪, 一般物質提供的重力均是吸引力 ( 所以才被前人稱做 萬有引力 ), 技窮的宇宙學家只好借用 Einstein 畢生最大的錯誤 宇宙常數 或與之有類似性質的其他能量來源 ( 如 : 量子場的真空能量 古典純量場的位能 ) 來勉強掩飾一下人類的無知 這些能量源統稱 暗能量 (Dark Energy) 最近的天文觀測顯示, 若造物者真的採用暗能量與 ( 非重子 ) 暗物質這個劇本來建構宇宙, 那麼它們現在應分別佔了宇宙總能量密度的 73 % 和 % 左右 這對於 在上個世紀建構出粒子物理標準模型, 號稱 ( 原則上 ) 可以描述世界萬物, 並因此合理相信人類正在通往最終理論的康莊大道上快速前進的 超強物理學家而言, 真是前所未有的困窘 宇宙中有 95 % 的能量密度是我們看不見的 不了解的 而且, 這兩個黑暗勢力所提供的功能是剛好相反的, 一個是排斥重力, 另一個是吸引重力 也就是說, 我們在某些地方需要有排斥重力存在, 而在某些地方卻需要更多的吸引重力, 這聽起來真是弔詭! 造物者為何要放入如此詭異的暗能量, 使現階段宇宙加速膨脹? 看起來暗能量沒有什麼建設性, 甚至 有潛在的破壞性 如果加速膨脹一直持續下去, 許多星系將漸漸無法被我們看到 若暗能量密度保持不變, 我們在宇宙中將越來越孤單, 雖然太陽系還不致被破壞 但若暗能量密度會隨時間增大, 譬如最近被提出來的 魅影暗能量 (Phantom Dark Energy), 那麼宇宙結構 ( 包括地球 太陽系 ) 將會被撕毀, 宇宙又再一次地大滅絕 或許造物者放入暗能量的用意正是以備不時之需, 當這個宇宙作壞了, 可以隨時 reset, 重新再造一個宇宙 對於現階段宇宙加速膨脹的解釋, 除了暗能量, 還有重力理論在大尺度的修正 額外維度的存在 以及宇宙學原理 (Cosmological Principle, 即 : 宇宙的均勻均向性 ) 的違反等等 目前的觀測數據還不足以分辨這許多模型的優劣 我們需要更多更精確的天文觀測, 如 : 超新星爆炸觀測, 來提供更多的資訊, 以勾勒出宇宙演化的詳細樣貌, 甚至藉此推斷宇宙未來的命運 ======================================== 筆者說故事也差不多該到了尾聲 ( 廢話太多會對不起地球的森林 ) 讓我們回顧一下造物者的祕奧義 不知道造物者是怎麼捏壞了上一個宇宙, 逼得它使出殺手鐧, 用極暴力的暴脹大滅絕來 reset 宇宙 不過, 這一次造物者可厲害了, 祕技層出不窮 : 1. 先放入龐大真空能量產生暴脹大滅絕,reset 宇宙, 讓一切重新來過. 同時, 在暴脹大毀壞中, 結構源暗生自量子擾動, 使極大尺度的現象與極小尺度的物理連結起來 3. 用巧妙的手法讓這些初始擾動的振幅被調控至相當小 4. 暴脹還使宇宙大致均勻均向且平坦, 使宇宙易於描述 5. 暴脹結束後, 驅使暴脹的真空能量轉成粒子, 造成 Reheating, 產生宇宙洪爐, 以提煉出各種需要的物質 6. 產生夠大的重子不對稱, 使殘存下來的質子和中子足夠多, 得以構成現在宇宙豐富的結構 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 764

7 7. 暴脹後浴火重生的宇宙以減速方式繼續膨脹, 輕描淡寫地解決熱力學第二定律的威脅, 使宇宙結構得以形成 8. 另外, 擔心一般物質的結構形成得太慢, 於是放入神祕暗物質 (~ %) 來幫助結構形成 9. 還放入詭異的暗能量 (~ 73 %) 驅使現階段宇宙加速膨脹 放入暗能量究竟是何用意? 難道是再次大滅絕的暗示? 真是天意難測 天威難犯! 咦? 不是說有十大不可思議嗎? 怎麼上面只提到了九個呢? 這這這 施主凡事不可太執著 好吧, 那就讓筆者再提一個神妙之處 為一個實驗或經驗科學, 甚至還宣稱 精密宇宙學 的時代已經來臨, 這真是太神奇了! 請不要以為筆者是在湊足十個不可思議 筆者認為, 這才是宇宙學中最大的不可思議 就像一隻狗看人類下棋看久了, 有一天突然跟你說 : 汪汪汪汪汪, 汪汪汪汪 ( 筆者譯 : 我看懂下棋的規則了, 我們來下盤棋吧 ) 在想到可以送牠上電視賺錢之前, 你的第一個反應應該是驚訝到嘴巴合不攏來吧 人類, 真是超強井底蛙! 道? 可道! 宇宙廣大無涯, 我們這些渺小的地球人竟然可以瞭解 描述到這個地步, 雖然目前還有許多待解的謎團 ( 譬如 : 佔宇宙組成 95 % 的暗物質與暗能量 ), 但我們至少知道了這些謎團的存在, 達到了孔子所說的 知之為知之, 不知為不知 的境界 ( 不至於連我們知道什麼 不知道什麼都搞不清楚 ); 不但使宇宙學成 作者簡介顧哲安台灣大學物理系 jagu@phys.ntu.edu.tw 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 765

8 早期宇宙的實驗室 : 宇宙微波背景 文 / 郭兆林 A. 引言在開始談宇宙微波背景前, 我們先來回想一下 19 年物理學的狀況 當時, 電磁學與重力理論已經各自成為完整理論, 並且經由實驗一再證實 另一方面, 在原子世界出現許多新穎的現象, 完全無法以古典物理學理解 在這種狀況下, 物理學家是應該尋求電磁學與重力理論在形式上的統一, 或是在量子現象的迷霧中摸索前進呢? 眾所周知, 愛因斯坦選擇了前者, 而波耳 海森堡 鮑立等人選擇了後者 愛因斯坦當然清楚物理界正面臨驚天動地的量子革命, 他所希望的, 是統一後的電磁學與重力理論將會推導出所有量子現象, 甚至所有基本粒子都可以用統一場的奇異點表示 [1] 不幸的是, 愛因斯坦的夢想並沒有實現, 他花了三十年的光陰, 進展卻十分有限 而另一方面, 波耳等人以實驗為依歸, 一開始看似毫無頭緒的現象逐漸歸納出法則, 一開始醜陋而武斷的法則逐漸變為精簡而一貫的力學定律, 最後終於帶給我們極其成功, 能夠描述所有基本粒子的規範量子場論 現在, 在種種天文學觀測的幫助之下, 我們已經知道宇宙中有 7% 的質能是類似宇宙學常數的暗能量, 剩下 3% 的物質中有超過 8% 是所謂暗物質, 除了重力之外似乎不具有其他交互作用 更有許多證據顯示, 極早期宇宙在暴脹場驅使之下, 歷經所謂的暴脹時期 暗能量 暗物質 暴脹場, 這三種物質或是現象的本質究竟為何, 物理學家沒有確切概念, 這不禁讓我回想到 19 年代的量子迷霧 我們當然盼望數學物理學家們, 有朝一日能憑藉數學美感一舉解決暗物質 暗能量 暴脹場等糾結的謎團, 並提出一個優雅的答案, 不過以歷史為鑑, 我們不應該完全放手讓他們去幹 宇宙微波背景輻射正是物理學家能夠用來探究基本物理的現象學利器 本文簡單 介紹宇宙微波背景輻射, 行文不以大霹靂或暴脹時期出發然後隨宇宙年齡演進 我避免了一般常使用的全知敘述觀點, 希望這麼做能夠較為真實地反映出宇宙物理觀念在歷史上與邏輯上的進展 B. CMB 的發現與早期研究當我們抬起頭望著夜空, 所看見的是許多點狀的恆星 由密密麻麻的恆星組成的銀河 以及一些稱為星雲的模糊斑點 幾百年以來的天文學, 幾乎就等同於利用光學望遠鏡針對這些天體的研究 年代電波天文學先驅 K. Jansky 與 G. Reber 等人發現在 1- MHz 的頻率 ( 約為 FM 收音機的頻率 ), 天空看起來完全不同, 閃亮的恆星一一消失, 最亮的天體是銀河中心 超新星殘骸 以及所謂電波星系 現在我們知道, 更高頻的微波波段的天空, 更是完完全全不同的光景 首先在微波波段向天上看的, 是貝爾實驗室的 A. Penzias 與 R. Wilson 兩人在 1965 年將以液態氦 (4. K) 精確校準過的 4.1 GHz( 波長為 7.3 cm) 天線接收機, 避開銀河平面對準天頂, 結果測到額外的噪訊 他們發現此噪訊相當於絕對溫度 3.5±1. K 的黑體所產生的熱起伏, 均勻佈滿整個天空 [] Princeton 大學的物理學家 R. Dicke 知道這項消息後, 立刻知道兩人發現的是 Gamow 等人所預測的熱霹靂餘音, 宇宙起源的證據 [3] 這個訊號很適當地被稱為宇宙微波背景輻射 (Cosmic Microwave Background Radiation, 以下簡稱 CMB) Dicke 不僅是傑出的理論物理學家, 同時還是個儀器方面的天才 他發明了 Dicke 閘 (Dicke switch), 讓訊號遠離低頻的 1/f 雜訊, 成為現代的鎖相放大器 (lock-in amplifier) 的前身 Dicke 也率先發現電波天文學中最重要的靈敏度定律 : Τ=Τ sys (t ν) 公式中的 Τ 為靈敏度 t 為觀測時間 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 766

9 ν 電波頻寬,Tsys 稱為天線的系統溫度, 包括來自接收機本身的雜訊溫度 Tx 以及環境的貢獻 在 Penzias 與 Wilson 發現 CMB 時,Dicke 與他的學生 D. Wilkinson 等人正在建造一具安裝有 Dicke 閘以及液態氦校準源的 3 cm 波長微波接收機, 目標正是尋找 CMB! Penzias 與 Wilson 意外發現 CMB 的過程, 以及 Dicke 得知被搶先後的失望, 是廿世紀科學史上非常膾炙人口的故事, 可與 DNA 雙螺旋結構的發現相提並論 不幸的是, 在以訛傳訛之下許多人產生了誤解 首先, 兩人並非貝爾實驗室的電波技士, 而是科班出身的天文物理學家, 分別自 Columbia 與 Caltech 獲得博士學位, 他們當時的最大興趣是高銀河緯度的微波輻射 其次, 許多人誤以為 意外 等於 僥倖, 然而實驗家都知道相對量測容易, 絕對量測卻極度困難 兩人在短短一頁論文中所描述的種種謹慎測試, 足以讓現代電波天文學家冒冷汗 當物理學家發現一個新的物體或現象時, 總是會從各個方面來研究它 這些基本研究並不見得是為了證明或檢驗某個特定理論, 而是比較接近於出自好奇的基本探索 譬如說, 當發現一個基本粒子時, 物理學家立刻想知道它的質量 自旋 參與的交互作用等基本物理性質 要了解 CMB 的起源, 並且從中發掘隱含的訊息, 我們所需要的正是這種基本探索 既然 CMB 是一群光子的集合, 物理學家必須要弄清楚的性質不外乎是其頻譜 ( 光子能量分布 ) 均向性 (isotropy, 光子方向分布 ), 以及偏極性質 (polarization, 光子的自旋分布 ) Penzias 與 Wilson 在第一時間便做了這些測量, 兩人很快就發現, 在他們的誤差範圍內 CMB 的頻譜接近黑體輻射 均向 而且不具偏極 4 年來 CMB 的研究, 仍然不脫這幾項基本性質 C. CMB 的輻射頻譜 Hubble 在 199 年從星系的紅移觀測發現宇宙正擴張當中 若堅持質能不滅定律, 並將時間逆轉, 會發現越久之前星系之間距離越近, 這樣一來必定推論出 宇宙始於高溫的壓縮狀態, 這就是大霹靂理論 反之, 若不堅持質能不滅定律, 同樣將時間逆轉, 越久之前星系之間距離固然越近, 但同時可以令它們質量越來越小, 最後在碰在一起之前消失 這麼一來, 整個宇宙就可以維持穩態而不必誕生於某一事件中 對於穩態宇宙論的支持者, 宇宙背景輻射不是宇宙起源的證據 他們認為因為宇宙年代久遠 ( 無限久 ), 星際介質吸收星光重新發出熱輻射而形成 CMB 巧的是, 宇宙間所有星光的能量密度, 與 3 K 黑體輻射的能量密度相差不遠, 這更增加他們的信心 任何星際塵埃都具有化學特性, 因此熱輻射一定會具有光譜特徵, 然而若 CMB 源自宇宙起源的高溫, 則它將是近於完美的黑體輻射 於是測量 CMB 的輻射頻譜成了區分大霹靂理論與穩態宇宙理論的重大關鍵 196 年代末期,Berkeley 的新科教授 P. Richards 焦急地找尋新的實驗題目 他已經在超導體 磁學以及超流體等領域做出卓越貢獻, 不過邁射與雷射的發明正迅速地讓他使用的遠紅外線光譜學方法變成過去式 邁射與雷射的發明人 C. Townes(Penzias 在 Columbia 的指導教授 ) 此時剛搬到 Berkeley, 他告訴 Richards 你一定得來研究這個 CMB 當時 Cornell 大學的 M. Harwit 等人的火箭實驗發現短於 1 毫米波長的背景輻射似乎超過 3 K 黑體輻射甚多, 若這被證實為真, 則大霹靂理論就出了問題 Richards 被說動了, 於是開始投入心力研究 CMB 的頻譜 根據 Planck 輻射定律,3 K 的黑體輻射光度會隨著頻率而增加, 直到 5 GHz 以上開始隨頻率減少 要測試 CMB 是否為黑體, 最好的辦法是在 5 GHz 以上做測量 在這麼高的頻率一般電波天文學的方法已經不管用, 而 Richards 的遠紅外線專長正好可以發揮 在接下來的廿年當中,Richards 及其團隊在山頂 高空氣球 火箭進行 CMB 頻譜的測量 他們發現 CMB 強度的確在 5 GHz 以上就開始遞減, 果然符合黑體輻射定律 [4] 這個領域的高潮, 是在 199 年美國太空總署 COBE 衛星的 FIRAS 光譜儀團隊在美國物理年會公佈結果之際 [5] 他們發現,CMB 是完美的黑體輻 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 767

10 射, 其溫度為.73 K 一夕之間, 大霹靂理論獲得廣大的支持, 而穩態宇宙說則被打入冷宮 大霹靂的其他重要意義, 如宇宙初始的氦 氘 (deuterium) 含量, 物質 / 反物質不對稱, 平坦問題等, 散見於其他書籍, 如 S. Weinberg 所著的 The First Three Minutes J. Barrow 所著的 The Origin of The Universe 等 ( 二書皆有中譯本 ) 在大霹靂的理論架構下,CMB 是怎麼產生的呢? 宇宙起始於高溫的壓縮態, 所有的物質都拆解為最基本的粒子 湯, 這湯的組成隨著擴張冷卻而持續改變 在創生的 3 萬年後, 宇宙的溫度低到不再能支持游離氫, 於是氫離子紛紛形成中性氫原子 對於光子而言, 離子態的宇宙是不透明的, 而原子狀態的宇宙則是透明的 於是當我們向宇宙深處看, 視線便會落在宇宙從透明變為不透明的交界, 這個交界稱為最後散射面 (surface of last scattering),cmb 正是最後散射面所發出的熱輻射 CMB 溫度的異向性, 帶著宇宙極早期物質分布的資訊, 並幾乎原封不動地送到人們眼前, 難怪 CMB 常被稱為宇宙學的羅塞塔之石了 D. CMB 的均向性 CMB 既然是黑體輻射, 每個方向的完整頻譜可以由其溫度單一參數完全決定 問題是, 在天空不同方向的溫度是否完全一樣? 這項性質稱為均向性 (isotropy) Penzias 與 Wilson 在發現 CMB 之時, 就注意到它十分均勻, 各個方向的強度都幾乎相同 這在第一近似下證實了愛因斯坦的宇宙學原理 : 宇宙在大尺度是均勻而且均向的 不過, 現代宇宙學家知道這不可能完全正確 首先, 由於地球繞著太陽公轉, 太陽繞著銀河中心旋轉, 而銀河系等本星系團成員也與宇宙的靜止座標系相對運動 簡單的 Lorentz 轉換可以證明運動中的觀察者所見的黑體輻射亦為黑體輻射, 而溫度則視運動方向 速度而有所增減 換句話說,Doppler 效應必定會在 CMB 印上偶極 (dipole) 溫度分布 耐人尋味的是, 只要測量 CMB 的偶極, 觀測者能夠知道自己 正在進行絕對等速運動, 這乍看之下違反了相對論原理 這個論證甚至使一些著名物理學家認為 CMB 不會存在偶極溫度分布 1977 年 Lawrence-Berkeley 實驗室的 G. Smoot 等人將微波接收機安裝在 U 偵察機上, 確切地測到了 CMB 偶極大小為 3.5 ±.6 mk, 決定了太陽系相對遠方質量的運動速度 39 ± 6 km/s 除此之外, 偶極的發現再度證明了 CMB 源自宇宙尺度, 而非來自銀河系或本星系群的局部輻射 CMB 所代表的是宇宙早期的物質分布, 而完全均勻的初始條件不可能演化出現在所見的星系結構 因此, 除了觀察者本身運動所產生的偶極之外,CMB 必定還帶著現代星系群聚結構的 種子 這個溫度異向性 (anisotropy) 應該有多大呢? 早在 1946 年蘇聯物理學家 Lifshitz 已經計算出, 在擴張宇宙下密度微擾會在重力作用下以與宇宙尺度成正比的方式增長 已知最後散射面的宇宙尺度為現在的 1-3, 這代表著當時起伏的大小應為現在的 1-3 由於現在星系結構的密度起伏與平均密度的比約為 1:1, 因此 CMB 雖平滑, 仍然應該具有大小約 1-3 的溫度起伏, 才能解釋現在所見的星系群聚結構 從 1965 年 CMB 被發現之後的 5 年間, 在上文提過的 Wilkinson Richards Smoot 以及 MIT 的 R. Weiss 等人帶領的團隊的努力下, 微波儀器日益靈敏, 觀測方法日益精巧, 已經將 CMB 溫度測量的精度推展到 1-4, 卻仍然不見任何異向性 另一方面, 理論家所預測的 CMB 溫度異向大小似乎總是在觀測上限之下, 隨著觀測上限向下調整, 他們的理論也往下修正, 因此理論宇宙學家已經開始成為被揶揄的對象 除了群聚結構的種子似乎過小的問題之外,CMB 的均向性還帶來了一項更大的問題 通常兩個物體溫度相同的原因, 是在於它們曾經進行熱交換 然而, 由於光速有限, 在天空上兩個完全不同方向的 CMB, 是由兩個不可能進行任何熱交換的早期宇宙區域所發出, 用相對論的說法, 兩個區域是在彼此的視界 (horizon) 外 那麼, 它們的溫度為什麼會這麼接近? 這個問題稱為視界問題 面對視界問題以及所謂的平 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 768

11 坦問題,197 年代的理論家幾乎要訴諸人擇原理 (anthropic principle) 來解釋, 這當然是投降主義的行為 ( 簡言之, 人擇原理的邏輯是 要不是這樣的話, 你就不會再這裡問這個問題了 ) 198 年一位年輕的理論家 A. Guth 在聽了 Dicke 給的演講之後, 想出的一個解決方法 Guth 假設早期宇宙歷經一段暴脹時期, 由於在這段時期宇宙的擴張超越光速, 現在兩個看似遙遠的區域其實在暴脹之前是處於熱平衡 由於暴脹理論十分成功地解釋許多宇宙學問題, 而且與粒子物理密切關係, 於是很快地成為早期宇宙理論的正宗 暴脹理論有一系列明確的預測 :(1) 宇宙的空間幾何非常平坦 ;() 暴脹的量子起伏會造成初始微擾, 其頻譜指數 (spectral index) 接近但略小於 1;(3) 初始微擾為絕熱微擾 ;(4) 初始微擾的分布必須滿足 Gaussian 統計 ;(5) 初始微擾包括純量與張量兩個部分, 其中張量微擾的大小直接與暴脹場能量相關 以下將會談到,CMB 的測量已經印證了以上的 1-4 項, 而且正積極準備測試第 5 項 199 年, 在二十多年實驗家與理論家的努力 挫折 以及迷惑之後,COBE 衛星上的另一具儀器 DMR 終於偵測到 CMB 雜訊般的溫度異向性 [6] 這個發現立即上了頭條新聞, 被 Hawking 譽為 若非有史以來最重大的發現, 也可以說是本世紀最重要的發現 CMB 溫度起伏之所以重要, 不僅在於它代表著宇宙嬰兒時期的狀態 現在所見一切星系結構的 種子 ; 而且它本身的起源, 更可追溯至大霹靂一瞬間的量子測不準效應 關於 COBE/DMR 的發展史可參閱 Smoot 個人記述的 Wrinkles in Time 一書 CMB 溫度異向性通常以角功率譜 (angular power spectrum) 表示 角功率譜的概念和測量電壓訊號雜訊的一維度功率譜十分類似 若將天球上的溫度分布記做 Τ(θ,φ), 並將 Τ(θ,φ) 以球諧函數 Ylm(θ,φ) 展開 : T(θ,φ)= lm a lm Y lm (θ,φ) 則我們可以定義角功率譜為 : 其中 <> 記號代表所有可能宇宙的平均 人們習慣重新定義 D l l(l+1)c l /π 為功率譜 DMR 的解析度約為 7 度視角, 得以探測 Cl 或 Dl 至 l= DMR 發現, 在大尺度的 CMB 異向性與 Harrison-Zel dovich 功率譜 ( 頻譜指數為 1) 相符合, 而這正是暴脹理論的預測之一 為什麼 CMB 溫度異向性的大小不是 1-3? 為什麼簡單的廣義相對論微擾計算會失靈呢? 在 198 年代, 天文學家在測量漩渦星系旋轉曲線時, 終於發現宇宙學理論所缺少的關鍵要素 - 暗物質 現在我們知道, 由於暗物質在宇宙中的比例比一般物質高很多, 因此微擾結構在重力作用下的演化完全由暗物質決定, 而在最後散射面的暗物質密度起伏的確是 1-3 但是我們所見的質子 電子等一般物質在當時與光子分布密切結合, 其密度不均勻只有 1-5 換句話說, CMB 溫度異向性的大小強烈地 獨立地暗示暗物質的存在 [7] 這一點常未受到應有的重視, 舉例而言, 試圖以 MOND(Modified Newtonian Dynamics) 解釋漩渦星系旋轉曲線的人 [8], 除了討論它是否滿足相對論協變性之外, 也一定得想辦法解釋 CMB 異向性的種種性質才行 在 DMR 測到 CMB 異向之後, 許多理論家立即意識到它的無窮潛力 :CMB 的計算雖然牽涉複雜的光子 暗物質 帶電粒子之間的電磁力與重力交互作用, 卻是不折不扣的線性微擾理論, 一旦所有的關鍵要素都齊全了, 其性質是能夠精確預測的 若能在實驗上準確量測 CMB 的功率譜並與理論模型做比較, 則可以反過來推算出重子 暗物質含量 宇宙的初始條件 空間幾何學等基本議題 從 199 年至 1999 年的 1 年之間, 可以說是 CMB 理論的黃金時期, 在計算機的輔助 astro-ph 電子 preprint 的快速交流之下,CMB 的理論終於收斂, 現在各個理論團隊所計算的功率譜已經精確到 1% 以內 對於 CMB 功率譜現象學比較詳細的非技術性介紹, 讀者可以參照 Hu & White 於 4 在 Scientific American 的專文 [9] 在這裡以條列方式舉出幾項重大概念 : C l < m a lm *a lm /(l+1)> 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 769

12 1. Sachs-Wolfe 平台 : 最後散射面的視界大小約為 1 度, 因此大於 1 度的 CMB 異向性等於是一開始就 嵌 在物質分布當中, 保留著初始微擾的狀態 若初始微擾屬於 Harrison-Zel dovich 式, 則寫成 l(l+1)cl/π 的功率譜會形成斜率為零的直線, 稱為 Sachs-Wolfe 平台 受限於解析力的 DMR 所測量的就是這個區域的異向性, 而 DMR 在 l< 所見的確為一平坦的功率譜. 聲波振盪 (acoustic oscillations): 接近 1 度視角的 CMB 異向性開始進入視界, 因此開始受重力與光壓影響而偏離初始微擾形式 若宇宙的空間幾何如暴脹理論所預測為平坦, 則功率譜在 l= 之處會出現一個顯著的峰, 在較高的 l 則會有這個峰的諧波出現 基波出現的 l 隨著空間幾何的改變而改變, 因此測量這個基波的位置是測量空間幾何的一個好辦法 基波與諧波的相對高度可以告訴我們暗物質與重子的相對含量 年 BOOMERANG 與 MAXIMA 兩個高空氣球實驗幾乎同時在接近 l= 處清楚測到這個基波的存在, 證明宇宙為歐幾里德式平坦空間 [1, 11], 這完全和 Ia 型超新星的觀測結果契合 這兩個 CMB 實驗的結果, 宣告人們正式進入精準宇宙學的時代 3. 耗散末端 (damping tail): 若宇宙的微擾種子是在最後散射面之前許久就已經種下 ( 如暴脹理論所預測 ), 則視角在半度以下的 CMB 異向會因為受光子擴散的效應而快速減弱 [1], 耗散的尺度也可以用來決定重子與暗物質的含量 耗散末端在 年首度由 CBI 干涉儀觀測到 [13], 幾個月後 ACBAR 實驗也予以證實 [14] CMB 溫度異向性的觀測後浪推前浪, 是一個進展十分快速的領域, 其現況可用兩個靈敏度最高的實驗總結 :WMAP 與 ACBAR 美國太空總署的 Wilkinson Microwave Anisotropy Probe(WMAP) 是一具裝載有 -9 GHz 微波共相放大器 (coherent amplifiers) 接收機的人造衛星, 於 1 年 6 月發射 該衛星於同年 1 月抵達地 - 日的第二 Lagrange 點 (L), 開始進行觀測 WMAP 第一年的觀測分析成果於 3 年初發 圖一 :CMB 功率譜的理論與實驗比較 WMAP 與 ACBAR 清楚地觀測到聲波振盪的峰谷, 以及 l>8 的耗散末端 實線模型代表平坦空間, 由暗能量 暗物質, 以及少量重子所組成的宇宙, 這個模型不但被 CMB 實驗強烈支持, 而且也與 Ia 型超新星 星系及星系團大尺度結構 初始氘含量等等的觀測吻合 長虛線為不具暗能量的開放式宇宙 ; 點虛線為僅具重子的開放宇宙 表 WMAP 的解析度和靈敏度都比 COBE 高出很多, 因此它能夠測量功率譜至 l=65 左右 WMAP 的功率譜精確地顯示了 Sachs-Wolfe 平台以及前兩個聲波振盪峰, 在與理論比較之後再度確認 1999 年開始為人所知的事實 : 宇宙具有平坦的空間幾何 由暗能量 暗物質, 以及佔很小比例的重子 ( 質子 中子 ) 所組成 ; 初始微擾的頻譜指數十分接近而略小於 1 符合 Gaussian 統計, 正如暴脹理論所預測 WMAP 所定出的準確宇宙學參數衝擊既大而廣, 現在最佳的微中子絕對質量上限即是 WMAP 與星系結構巡天計畫 SDSS 所設下 研究基礎物理的理論家紛紛設法從 WMAP 的資料的蛛絲馬跡 ( 例如頻譜指數偏離 1 的方式 ) 中尋找新物理 ; 而關心星系生成 星球演化的天文物理學家, 終於可以將背景宇宙學的演化這項不確定的因素剔除, 直接採用 WMAP 的宇宙參數而專注在星際介質 回饋等機制上頭 在觀測結果發布的兩年半以來, 平均每天有 3-4 篇論文引用 WMAP 的資料 Arcminute Cosmology Bolometer Array Receiver (ACBAR) 利用極為靈敏的毫米波熱度計 (millimeter-wave bolometers) 作為偵測器, 在 15 GHz 的波段以位於南極的 Viper 望遠鏡進行 CMB 異向性的觀測 由於望遠鏡的口徑大 (m), 觀測頻率高, 因此 ACBAR 的解析度遠勝於 WMAP ACBAR 的資料證明了先前 CBI 的結果, 清楚地顯示了高 l 的 CMB 角功率譜受光子擴散效應急速減小 目前在 8<l<3 範 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 77

13 圍的 CMB 測量就屬 ACBAR 最為靈敏 [14] ACBAR 在結果發表之後至今又累積了兩年的數據, 預計將會再度大幅改進中高 l 的 CMB 功率譜量測 歐洲太空署的 Planck 衛星, 預計在 8 年發射 該計畫結合高靈敏度的熱度計 高解析度 以及人造衛星計畫的全天域能力, 預期將會取代 WMAP 與 ACBAR, 提供最靈敏的 CMB 溫度異向性測量 E. CMB 的偏極在前文中提過, 偏極是光子最基本的性質之一 Penzias 與 Wilson 在 1965 年的文章中報告, 在他們的誤差範圍 (1%) 內 CMB 並不具偏極 1968 年 M. Rees 指出,CMB 的溫度起伏必定會透過 Thomson 散射而形成偏極 [15], 不過這方面的理論進展接下來卻沉寂了幾十年 雖然尋找 CMB 溫度異向的實驗家們 順便 將偏極的上限向下推,198 年 R. Weiss 撰寫 CMB 實驗回顧論文時, 承認實驗家完全不知 CMB 偏極要從什麼視角尺度找起 [4] COBE/DMR 發現了 CMB 溫度異向之後, 理論家才開始重新將注意力集中在 CMB 的性質 1996 年, 兩個理論研究團隊幾乎同時做出一個具有基本重要性的發現 線性偏極的電磁波可以用 Stokes 參數中的其中 3 個表示,I Q U 其中 Q 與 U 用來量測偏極輻射的大小以及方向 Q 與 U 視座標定義而有所改變, 所以不是很基本的偏極分量 宇宙學家發現 [16, 17], 如果以偏級量的變化方向作為局部座標, 將偏極分解為與變化方向平行以及與變化方向呈 45 度角的兩個分量 ( 分別稱為 E-mode 與 B-mode), 則依據簡單的鏡像對稱原理, 線性的純量微擾完全不會造成任何的 B-mode 偏極 換句話說, 要是觀測到 B-mode 偏極, 等於是看到了張量微擾, 也就是宇宙重力波背景 在暴脹理論中, 張量微擾直接由質能微擾所產生的重力波造成, 而純量微擾的大小則與暴脹場的衰變率有複雜關係 因此, 張量微擾的大小直接告訴我們暴脹場的能量, 而其頻譜更可告訴我們暴脹場如何衰 變 由於暴脹場的能量在 1 16 GeV 左右, 傳統的加速器絕對無法直接加以研究 通常宇宙學家以符號 r 來表示張量微擾與純量微擾的功率比 根據現有的觀測, 我們知道 r<.3, 也就是說 CMB 異向性有一大半以上是純量形式的微擾 最主要由純量微擾產生的 E 偏極, 是 CMB 物理的必然結論 如同溫度功率譜, 在視角小於 1 度的 E-mode 偏極具有聲波振盪所形成的峰谷 年, 在 CMB 發現的 37 年後, 在南極觀測的 DASI 團隊首度偵測到 CMB 的 E-mode 偏極 [18] 隨後 WMAP CBI CAPMAP BOOMERANG 也都偵測到符合理論預測的 E-mode 偏極量 WMAP 與 DASI 在大尺度的 E-mode 偏極量測暗示初始微擾是絕熱型微擾 (adiabatic perturbations), 這再度與暴脹理論的預測吻合 然而, 受限於靈敏度, 現有的 E-mode 資料僅在於證明宇宙學家對於 CMB 的了解是正確的, 而未能進一步限制宇宙參數 至於宇宙重力波背景所造成的 B-mode, 更是實驗家積極探求的目標 因此,CMB 偏極的精確測量是非常重要的實驗領域 本文接下的篇幅將會討論偵測 CMB 偏極, 特別是探測 B-mode 偏極的方法, 以及實驗家所面臨的挑戰 F. CMB 偏極的觀測與未來展望偵測微波波長的光子有兩種完全不同的方法 首先, 從 Jansky 至 Dicke Penzias/Wilson, COBE DASI CBI WMAP 這一路下來的電波天文學傳統採用共相放大器來增強電磁波訊號, 然後再以平方律偵測器將已經放大的電磁波轉為與天線溫度成正比的電壓訊號 由於共相放大的技術在低頻率比較容易, 幾十年來隨著科技的進展, 共相放大器越來越向高頻發展, 現在已經涵蓋微波波段 共相放大器的最大優點, 在於它可以維持波的相位資訊 若將來自不同天線帶有相位信息的訊號相乘, 可以形成干涉儀, 不但增加解析度也改進增益穩定性 另一方面,Richards 等出身遠紅外線物理學的實驗家採用熱度計, 直接把微波光子當作能量偵測 由於短波長光子帶有較大的能量, 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 771

14 因此這些物理學家必須將已在遠紅外線建立的技術推展到 低頻 的微波波段, 也就是要減小熱度計的熱傳導常數, 並將偵測器冷卻到.3 K 以下 由於共相放大器保留相位資訊, 因此其靈敏度受限於量子力學的測不準原理 用上文提到過的接收機雜訊溫度 Tx 來表示, 靈敏度的絕對限制為 Tx>hν/k(ν 為頻率,h 為普朗克常數,k 為波茲曼常數 ) 直接偵測器無法用來建造干涉儀, 不過其最大好處, 在於它不受量子靈敏度限制 從 CMB 的發現到現在, 實驗方面的進展多半是以 質 取勝 實驗家想辦法控制儀器的系統誤差 ( 利用 Dicke 閘 鎖相偵測技術 或干涉儀 ), 以所知的物理原理增加每個偵測器的靈敏度 ( 降低偵測器溫度與微波負載 ), 想辦法到最好的觀測環境進行實驗 ( 南極 智利 高空氣球 ) 現在, 這個時代已經接近尾聲 DASI 與 ACBAR 已經在地球上最好的觀測點 ( 南極點 ) 實驗, 每個偵測器單元也都逼近理論極限 然而,B-mode 偏極的偵測卻需要進一步改善這些實驗的靈敏度達 1 倍甚至 1 倍之多 於是,CMB 實驗現在進入了以 量 取勝的時代 - 用最多偵測單元的儀器才有希望成為贏家 極度渴求靈敏度的 CMB 干涉儀的最大技術困難與成本來源, 在於計算來自不同天線訊號乘積的關聯器 (correlator) 由於現有的干涉儀已經接近技術瓶頸,B-mode 偏極的測量幾乎不可能來自基於共相放大器的干涉儀 進行中的 CMB 干涉儀計畫有 Chicago 大學的 SZA Cambridge 的 AMI 以及台灣的 AMIBA 等, 這些實驗多將主要目標放在由星系團所產生的 CMB 次級效應 (SZ 效應 ) Princeton 大學的 CAPMAP 實驗 [19] 以共相放大器做為偵測器, 並使用大直徑碟形天線來提供所需的解析力 在該實驗中, 共相放大器的增益不穩定問題由混波器 (hybrid) 與高頻鎖相調變 (modulation) 改善 雖然目前 CAPMAP 實驗不似 CBI 或 DASI 靈敏 ( 參見表 1), 但由於它不受限於關聯器, 因此 CAPMAP 的觀測策略有極大的改進空間 CAPMAP 的團隊與 CBI 團隊合作提出 QUIET 實驗計畫 [], 預計在 CBI 位於 智利的觀測架台上設置 -3 具約 米的反射鏡, 每具望遠鏡裝設數以百計的共相放大器封裝偏極單元 QUIET 現在仍在企畫階段, 根據預測在完成後它將有機會測到 B-mode 偏極 在 3 GHz 運作的 CBI 與 DASI 是當前最成功 最靈敏的 CMB 干涉儀, 兩實驗並提供了最早的 E-mode 偏極量測 不過由於關聯器的技術瓶頸,CMB 實驗家開始紛紛放棄干涉儀, 而轉向其他技術 這些干涉儀計畫所留下的觀測架台 台址 以及富有經驗的團隊都是很重要的資源 CBI 與 CAPMAP 的合作 (QUIET 計畫 ) 是一例,DASI 與 QUEST 的合作則是另一例 QUEST at DASI, 簡稱 QUAD, 是一具安裝在 DASI 架台的.6 米反射望遠鏡 [1] QUAD 接收機安裝有 31 個使用熱度計的微波偏極單元, 在比較之下, 先前的 BOOMERANG 只用了 4 個偏極單元, 卻在短短幾天的觀測時間內便偵測到 CMB 的 E-mode 偏極 ( 表 1) QUAD 已於 5 年 月開始在南極觀測, 預計能夠精確量測在 <l< 範圍的 E-mode 偏極 至於在這個尺度的 B-mode 則受限於重力透鏡的非線性效應干擾而無法清楚測得 ( 圖二 ) QUAD 的姊妹計畫 BICEP[] 則有 49 個熱度計偏極單元, 以直徑 5 cm 的聚乙烯折射鏡提供約 1 度的視角解析力 BICEP 望遠鏡已經運抵南極, 預計於 6 年初開始觀測, 將在兩年的時間內精確量測 <l<4 範圍的 E-mode 偏極 BICEP 是接下來幾年中對 B-mode 最靈敏的計畫, 其解析度與巡天區域是依理論預測的 B-mode 偏極功率譜而設計, 若天文前景能夠控制住的話,BICEP 可望偵測 B-mode 或將 B-mode 限制在 r<.1 以下 如果 r<.1, 則實驗就得大幅增加偵測器數目至上千個單元, 以便達成 B-mode 偏極所需要的總靈敏度 QUIET 的封裝偏極單元是一個辦法, 不過共相放大器受限於量子極限而無法在 9 GHz 以上進行有效觀測 若要大幅增加不受限量子極限的熱度計的偵測單元數目, 人們則必須放棄以一個個場效電晶體 (FET) 讀取的半導體鍺 (Germanium) 熱度計, 而改用以 SQUID 讀取的超導相變偵測器 (TES, transition edge sensors) 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 77

15 由於 SQUID 本身的雜訊極低, 一次讀取多個 TES 偵測器也不會影響靈敏度 SPIDER[3] EBEX[4] POLARBEAR[5] 就是朝這個方向發展的 CMB 偏極計 畫 SPIDER 最特別的地方在於它計畫繪製半個天空的 CMB 偏極, 尋找宇宙重游離化在極大視角 (l<15)e 與 B 功率譜所形成的隆起 ( 圖二 ) 圖二 :CMB 偏極實驗比較 空心方塊為來自 DASI CBI CAPMAP 與 BOOMERANG 的現有測量, 實心方塊為三個實驗 (QUAD BICEP SPIDER) 的預計靈敏度 最上方的理論曲線為 E-mode 偏極功率譜, 兩條長虛線如標記所示為當 r=.1 的 B-mode 與當 r=.1 的 B-mode; 點虛線是單是重力透鏡產生的 B-mode 圖中可見 l> 的 B-mode 是由重力透鏡效應產生, 這對於重力波背景的量測是個干擾 BICEP 與 SPIDER 在大尺度進行觀測以便避開此一干擾 表一 :CMB 偏極實驗比較 表中的前 4 個實驗已經有結果發表, 而以 * 註記的計畫尚未獲得補助 靈敏度與年份以斜體字表示者為預估值 DASI CBI 以及 AMIBA 為干涉儀,CAPMAP 與 QUIET 使用共相放大偏極器 (coherent amplifier), 而其他計畫使用熱度計 (bolometer) 干涉儀的瞬時解析單元數的計算法為緊密陣列安排下,primary beam 中的 synthesized beam 數目 BOOMERANG EBEX SPIDER 為高空氣球計畫, 觀測時間約為 1 至 5 天, 其他計畫皆為地表實驗, 可觀測幾個月或 1- 年 表中可看出 7 個天線單位的 AMIBA 靈敏度略遜於 CAPMAP 計畫, 而 13 個天線單位的 AMIBA 則略勝 CAPMAP CMB 偏極實驗與屬性 CMB 頻段 (GHz) 解析度 ( 角分 ) 單元靈敏度 (mkcmb s) 瞬時解析單元數 PI 機構年 ( 西元 ) DASI Chicago -4 CBI Caltech -5 BOOMERANG Caltech 3 CAPMAP 4, 9 6, Princeton - ( 觀測中 ) QUAD 9, 15 6, Stanford/Cardiff 5- ( 觀測中 ) BICEP 9, 15 6, Caltech 6 AMIBA ASIAA/NTU 6 AMIBA ASIAA/NTU 7-8 EBEX Minnesota 8 QUIET* 4, 9 1, Chicago/JPL >9 POLARBEAR* 9, 15 5, 3.4 Berkeley >9 SPIDER* 9, 145 6, Caltech >9 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 773

16 當然, 除了以數量取勝,B-mode 偏極的測量還有其他挑戰 在 CMB 與我們之間有許多天體, 而且太陽系所處的銀河系多多少少也會發出偏極的微波輻射 由於這些輻射的來源都在 CMB 之前, 因此統稱為天文前景 (astronomical foregrounds) 天文學家對於微波頻段的偏極所知不多, 因此要區分天文前景與真正的 CMB 的方法, 只能同時在許多頻率進行觀測, 藉由 CMB 的黑體頻譜性質, 與同步輻射 塵埃熱輻射等輻射機制區隔 一般咸認要真正無疑問地偵測到 B-mode 偏極, 至少要在 3-4 個微波頻段進行高靈敏度觀測才行 此外, 由於 B-mode 的偏級量實在太小, 儀器本身的多種偏極效果都要小心列入考慮 天文前景 儀器偏極效果 偵測器發展策略等等考量可在參考文獻 [6] 中找到 G. 結語 CMB 頻譜 溫度及偏極異向性帶有龐大的宇宙學資訊 與其它的基礎物理與天文物理領域相比,CMB 實驗所耗費的資源不多, 卻做出極重大貢獻 藉由理論與實驗的比對, 我們已經開始了解宇宙的幾何 組成成分 演化, 以及創生 這些問題不僅具有基本重要性, 也對基礎物理學有廣泛的衝擊 在粒子加速器逼近技術與資源極限之後, 基本物理學的前緣將仰賴宇宙學觀測, 而 CMB 偏極的量測將是其中非常重要的一環 參考文獻 [1] Einstein, A., The Meaning of Relativity, Appendix II. [] Penzias, A. & Wilson, R., A Measurement of Excess Antenna Temperature at 48 Mc/s., 1965, ApJ, 14, 419 [3] Dicke, R. H. et al., Cosmic Black-Body Radiation, 1965, ApJ, 14, 414 [4] Weiss, R., Measurements of the cosmic background radiation, 198, ARA&A, 18, 489 [5] Mather, J. C. et al., A preliminary measurement of the cosmic microwave background spectrum by the Cosmic Background Explorer (COBE) satellite, 199, ApJ, 354L, 37 [6] Smoot, G. et al., Structure in the COBE differential microwave radiometer first-year maps, 199, ApJ, 396L, 1 [7] Vittorio, N. & Silk, J., Fine-scale anisotropy of the cosmic microwave background in a universe dominated by cold dark matter, 1984, ApJ, 85L, 39 [8] Bekenstein, J., Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm, 4, PhRvD, 7h359 [9] Hu, W. & White, M., The Cosmic Symphony, 4, Scientific American, February issue. [1] de Bernardis, P. et al., A flat Universe from high-resolution maps of the cosmic microwave background radiation,, Nature, 44, 955 [11] Hanany, S. et al., MAXIMA-1: A Measurement of the Cosmic Microwave Background Anisotropy on Angular Scales of 1'-5,, ApJ, 545L, 5 [1] Silk, J., Cosmic Black-Body Radiation and Galaxy Formation, 1968, ApJ, 151, 459 [13] Pearson, T., The Anisotropy of the Microwave Background to l = 35: Mosaic Observations with the Cosmic Background Imager, 3, ApJ, 591, 556 [14] Kuo, C. -L. et al., High-Resolution Observations of the Cosmic Microwave Background Power Spectrum with ACBAR, 4, ApJ, 6, 3 [15] Rees, M. J., Polarization and Spectrum of the Primeval Radiation in an Anisotropic Universe, 1968, ApJ, 153L, 1 [16] Kamionkowski, M. et al., A Probe of Primordial Gravity Waves and Vorticity, 1997, PhRvL, 78, 58 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 774

17 [17] Seljak, U. & Zaldarriaga, M., Signature of Gravity Waves in the Polarization of the Microwave Background, 1997, PhRvL, 78, 54 [18] Kovac, J. et al., Detection of polarization in the cosmic microwave background using DASI,, [3] [4] [5] [6] Weiss, R. et al., Task Force on Cosmic Microwave Background Research, July 11, 5 Nature, 4, 77 [19] Barkats, D. et al., First Measurements of the Polarization of the Cosmic Microwave Background Radiation at Small Angular Scales from CAPMAP, 5, ApJ, 619L, 17 [] [1] [] 作者簡介郭兆林美國柏克萊加州大學天文物理學博士, 現於加州理工學院擔任博士後研究員 clkuo@astro.caltech.edu 5 年 1 月起改名為 Robinson Gravitational Wave Background Telescope 健仁氣體股份有限公司 一個以服務為經營宗旨的氣體經銷商給您一個完整的氣體資訊讓您的使用更安全 提供 工業用焊接氣體 醫療用 排氣測試用氣體 各種比例混合氣 各類稀有特殊用氣體 N O WF 6 Xe LHe Ne SiH 4 Kr 等 歡迎來電洽詢 各類氣體相關零配件液態低溫容器壓力容器新竹縣竹北市泰和里博愛街 76 巷 6 號電話 :(3) 傳真 :(3) 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 775

18 萬有引力與能量 文 / 陳江梅 聶斯特 摘要重力交互作用從其本質上來看有兩個很特殊的性質, 它既具有普適性 (universal) 也就是通稱的萬有性, 並且是純粹吸引 (attractive) 作用 這兩個基本的特性要求使得重力非常密切地和能量關聯起來 能量是最基本的守恒量之一, 而且它是正定的 (positive) 從這兩個簡單的原則出發, 我們便可以對一些目前最熱門也最重要的物理課題, 例如黑洞 (black hole) 暗物質 (dark matter) 和暗能量 (dark energy) 進行相當程度的分析和理解 如果要用一個詞來代表在二十世紀理論物理上的重要成就, 那無疑地就是 對稱性 (symmetry) 一個物理系統中的整體對稱性 (global symmetry) 顯示出這個系統相對應的守恒量 (conserved quantity), 而局域對稱性 (local symmetry) 則更是近代規範場論 ( 用來描述自然界中的基本作用力的方法 ) 之根本基石 到目前為止我們知道自然界中存在有四種基本作用力, 分別是強作用力 (strong interaction) 弱作用力(weak interaction) 電磁力(electromagnetic force) 和重力 (gravitation) 雖然說有很多的理論物理學者正汲汲營營地朝著統一場論的目標努力, 然而在所有的嘗試當中, 重力卻常常都扮演著一個 異數 這其中相當關鍵的癥結就是重力的兩個非常特殊的性質 普適性 ( 萬有性 ) 和純粹吸引作用 例如在電磁力中, 兩個帶電的物體如果具有同性的電荷則會互相排斥, 反之具有異性電荷則會互相吸引, 而不帶電的物體則不受電磁力作用 但是對重力來說, 它的作用力是無所不在的, 而且是只會是互相吸引 重力是純粹的吸引作用可被理解成是基於熱力學 (thermodynamics) 和穩定性 (stability) 的要求 從熱力學上來說, 不會存在永動機 (perpetual motion), 換句話說, 就是不存在取之不竭的能量來源 在重力系統中, 排斥力 (repulsion) 相對應於負的質量, 自然界會有負的質量嗎? 讓我們想像一個正負質量的 物體對, 兩者之間的重力是排斥力, 所以具有正質量的物體因重力作用會使它遠離負質量物體, 但是具有負質量的物體在重力的作用下卻會使它接近正質量物體 ( 因為負質 量的物體其運動方向相反於作用力的方向 ), 因此在相對的吸引與排斥過程中, 兩物體可以相互加速到很高的速度 若果真如此, 我們便可以加以利用進而從這樣的系統裡獲取出很大的動能 我們知道這並不會發生, 所以重力只能是純粹的吸引力, 也因此質量只能是正的 更進一步來說, 愛因斯坦著名的 質 能 互 E = Mc 換公式明白地告訴我們, 重力系統的能量則必須是正定的 換個角度來看, 從動力學上的穩定性出發, 物理系統自然地會 散發 (radiate) 出能量而達到其所可能達到的最低能量狀態 如果一個孤立系統可以有負的能量, 原則上我們可以組合這些系統進而達到任意低的負能量系統 換言之, 存在負能量的狀態將允許系統可以散發出無限大的能量, 物理系統將會是不穩定的 這個觀點再一次要求能量必須是正定, 重力必須只是吸引力 以目前的觀測技術來說, 科學家已經具備能力可以在實驗室或太陽系中進行非常精密的重力相關實驗, 至今為止, 這方面的實驗結果和理論很吻合 然而在更大尺度上, 例如我們的銀河系 (galaxy), 理論和觀測的不一致性便變得非常明顯, 其中最重要的例證就是 星系的旋轉曲線 (galactic rotation curve) 問題 關於這個現象, 簡單來說, 若一個星球繞著星系在轉動, 它的旋轉速度的平方會與星系的質量成正比, 並且與星系的距離成反比 v GM r 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 776

19 然而觀測的結果卻顯示, 在螺旋星雲 (spiral nebula) 外部的星球, 它們的旋轉速度比根據可見的星雲質量分佈所預測的結果要大上好幾倍, 該如何來解釋這個差異呢? 先讓我們回顧一下相類似的歷史進展, 當科學家觀測到外太空星球的運行與當時的理論所推測的結果有所差異時, 一些我們所不知道的 成分 就會浮現, 這些新的成分有可能是 未發現的星球 在歷史上曾有兩次此類的重要的事件, 天王星 (Uranus) 軌道的觀測導致海王星 (Neptune) 存在的預測, 而海王星觀測軌道的差異則預測出冥王星 (Pluto) 的存在 但是這種解決的方法也不完全都一定會成功, 例如水星 (Mercury) 軌道的差異, 解釋其發生的原因, 就必須引 測結果間的差異實際上要來的更巨大 不過讓我們先來談談黑洞, 因為關於黑洞的類似想法有助於我們之後的討論 利用重力是純粹吸引力的特性再加上牛頓的萬有引力定律, 我們便可以很簡單地來理解黑洞的概念 基本上黑洞是一個 區域, 在那裡重力作用是如此地強烈 ( 吸引力 ), 使得沒有任何東西可以逃脫出去 事實上這也是在歷史上討論黑洞觀念的最初想法 ( 雖然當時並沒有黑洞這個名詞 ) 推論很簡單, 讓我們考慮一個具有很小質量 m 的粒子在一個由具有大質量 M 的球對稱星體所產生的重力場中, 它的總能量必須是守恆的, 而總能量的大小是由動能和位能兩部分疊加而來 進新的重力理論, 愛因斯坦的廣義相對論 (general relativity) 進一步推廣了牛頓的萬有引力理論 E = T + V = 1 mv GMm r 同樣的, 面對當前星系旋轉曲線的問題, 我們也有兩種可能的情況, 一種解決的方案是, 假設在星系間有著許多我們沒有觀測到的物質, 這些物質被稱為 暗物質 ( 因為看不到它們 ), 驚訝的是必須要有很大數量的暗物質存在才能解釋觀測到的旋轉曲線結果 總結來說, 暗物質的數量必須十倍於我們所能觀測到的物質, 它必須有很不一樣的分佈 ( 觀測到的物質成盤狀分佈 ), 而且它必須與我們所熟知的物質的成分 如果總能量是小於零, 則這個粒子就無法逃脫到遠距離的地方去 反之, 如果總能量是大於零, 則此粒子便可以離開重力的吸引而跑到無窮遠的方去, 並且還會帶有不為零的速度 所以說總能量為零是一個關鍵值 粒子 剛好 能跑到無窮遠處 因此對於質量為 M 的物體, 一個位在距離為 r 的粒子, 它的脫逃速度 (escape velocity) 是 很不一樣 令人無法置信的, 我們長期忽略了宇宙中百分之九十的物質, 而我們是透過重力作用才得知這 v = GM r 些物質的存在, 就因為重力是普適的 另外一個可能的解決方案是修改已知的重力理論, 要構造出一個可以同時解釋太陽系與星系團觀測結果的理論, 實際上並不是太困難, 但是所有此類推 若是重力場足夠大, 強到連光都無法逃脫, 那麼從外面的觀察者來看, 這個星體是完全看不到的, 也就是一個黑洞 對於給定的質量, 沒有光可以從半徑為 ( 前提是星體的大小要比這個半徑來的小 ) 廣的理論, 都會違反一些我們深信的基本原理, 例如, 非正定的能量 高階的場方程式, 或是在弱場近似下的非線性行為等等, 所以說目前比較廣為接受的想 r = GM c 法, 便是存在有暗物質 但是實際的情況是卻是比我們目前所談的更糟糕 ( 從物理發展的角度上來說則是令人興奮 ), 理論與觀 以內的地方逃脫, 這就是黑洞的史瓦西半徑 (Schwarzschild radius) 這裡有兩個重要的附註, 第一 雖然我們是從牛頓的理論出發, 卻可得到與廣義相對論一致的結果, 第二 根據狹義相對論的基本原 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 777

20 則, 沒有任何東西可以快過光速, 因此, 不只是光, 沒有任何粒子或訊號可以從史瓦西半徑內逃脫出來 黑洞並不只是存粹理論上所討論的物體, 它實際上是存在的, 一個足夠大的星球在用完它的核燃料後, 便會塌縮成為一個黑洞, 並且黑洞也存在於很多星系團的中心, 包括我們的銀河系 然而, 最近幾年中宇宙學上的觀測結果, 卻更深一層地震撼了理論物理的進展 回顧在 19 年代天文觀測的結果, 我們得知所處的宇宙是在膨脹的 這個結果可以從簡單的推論來獲得, 首先在大尺度上看, 我們的宇宙在空間上並沒有特別的方向和特殊的位置, 用數學上的術語來說, 宇宙是均勻 (homogeneous) 和各向同性 (isotropic) 從這個前提出發, 我們可以很容易地得知, 宇宙要不是在膨脹, 那就是在收縮 而其中最根本的特性就是重力 ( 吸引作用 ) 會使宇宙膨脹的速度變慢 我們從先前用來討論粒子脫逃速率所使用總能量公式, 任意取空間上的一點為中心, 考慮在距離中心為 r 的一小片塵埃之徑向運動, 根據牛頓力學, 這片塵埃只會被半徑為 r 的球內的物質所吸引 而因為宇宙的膨脹 ( 或縮收 ), 這些物質將會一起地向 外 ( 或向內 ) 移動, 而其總質量 4 M = r 3 π 3 ρ 將保持不 變 利用哈柏常數 (Hubble constant) H r / r 來描述宇宙的演化, 簡單地從牛頓的觀點出發, 總能量公式會給出有關物質的密度和宇宙膨脹的關係式 r 8 H = π Gρ + r 3 k r 其中 k 是一個常數, 而這個關係式與廣義相對論所預測的結果完全相同 宇宙的演化可以有三種可能的情況, 無窮盡地膨脹下去 膨脹到達一定程度後開始縮收或剛剛好可以膨脹到無窮大 無論如何, 我們預期宇宙膨脹的速度會因為重力作用而減緩, 而變慢的大小則與宇宙現在的能量密度大小有關 我們的宇宙能量密度是否足夠大到可以停止宇宙的膨脹, 進而使它縮收? 我們宇宙的終極命運將會是什麼? 在過去的許 多年裡, 天文學家們絞盡腦汁, 試著尋找答案 然而, 最近幾年的觀測結果卻完全出乎眾人的意料, 我們宇宙的膨脹並沒有如預期中的減慢, 相反的, 它卻膨脹地越來越快, 是在做加速地膨脹 這個觀測結果極嚴苛地挑戰著我們深信的物理原則 重力是純粹的吸引作用 在大尺度上, 似乎有 負壓力 的物質存在, 這種物質被稱為暗能量 雖然許多非常具有創意的科學家提出了種種不同的解決辦法, 但是到目前為止, 沒有人知道暗能量是什麼 其中的一種可能性是宇宙常數項 (cosmological constant), 當初愛因斯坦為了使他的廣義相對論可以產生靜態的宇宙模型, 引進了宇宙常數項 但是, 當觀測的結果顯示我們的宇宙是在膨脹, 愛因斯坦便把宇宙常數項視為他所犯的最大錯誤而拋棄了, 而如今宇宙常數項卻躍回了當代的物理發展的前沿, 把它拋棄似乎反而成為愛因斯坦的一個錯誤 再一次, 我們還是從牛頓的理論出發來討論宇宙常數項的貢獻, 包含宇宙常數項的重力位能被修正成 GM Λ Φ = 4π Gρ Λ Φ r r 6 所以重力加速度的大小為 GM g = Φ r Λ + r 3 從這個關係式, 可以很清楚的看出, 在小尺度上重力是吸引的, 但是在極大尺度上宇宙卻是在排斥的 最後來談談有關能量 ( 這裡所討論的結果可以包括動量和其他的守恆量 ) 的問題 在牛頓理論中, 質量產生重力, 而相對論又告訴我們質量相當於能量, 因此我們預期物質場的總能量密度會產生重力, 而且它必須是守恒的 物質和重力場交互作用, 進而和重力交換能量, 這種能量交換應該是局域性的, 所以對於重力本身, 應該也要有其能量密度 實際的例子包括太空船藉由重力作用改變航行方向, 木星 (Jupiter) 透過潮汐作用 (tidal force) 來 加熱 它的衛星 Io, 才能使 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 778

21 得在這個小衛星上有火山爆發現象等等 愛因斯坦甚至在推導出廣義相對論的基本公式之前, 就先有他的重力能量的版本 但是, 這個表示式並不是張量 (tensor), 精確地說, 是與座標選擇有關的膺張量 (pseudotensor) 並且, 重力能量的表示式不是唯一的, 曾經有許多著名重力能量的膺張量表示式被提出 因此關於計算重力能量時最重要的關鍵問題是, 該使用哪一個膺張量? 該選擇怎樣的座標系? 重力能量的局域性定義為何一直是個極為重要卻尚未完全解決的問題, 過去所有要定義出重力能量密度的嘗試都只能得到膺張量的表示式, 這其中根本的原因在於廣義相對論中的等效原理 (equivalent principle) 若只考慮一個點是無法判斷是否有重力場的存在 這個基本原理蘊含一個非常重要的結果, 那就是重力的能量, 或者更廣義上來說, 所有物理系統 ( 不忽略掉重力作用 ) 的能量都不會是局域性的 (local), 因此, 重力能量只能是準局域性的 (quasi-local) 換言之, 我們無法計算在每一個點上的重力能量, 因為我們總是得到零值, 而實際上, 我們只能計算在一個由封閉的二維曲面所包含的範圍內之重力能量, 並且結果只跟曲面上的重力場有關 當然, 所有的重力能量的膺張量表示也都可以用準局域的觀點來解釋 然而, 問題還尚未解決 在準局域的觀念下, 重力能量的表示式並不是唯一決定的 其實這也並不奇怪, 在熱力學中我們也有數個能量的定義, 相對於不同的熱力學系統, 我們有內能 (internal energy) 自由能 (free energy) 和焓 (enthalpy) 等等的能量定義 在電磁學中我們也熟知, 要移動兩個平行電板中的介電質, 不同的邊界條件 ( 固定兩電板的電荷量或固定其間的電壓大小 ) 所需要做的功也不相同 簡單地說, 不同的邊界條件會相對於不同的能量表示, 對重力系統亦然 因此, 不同的重力能量表示, 是由於對應不同的邊界條件 但要如何得知相對應的邊界條件呢? 這個問題可以在作用量原理中一個常被忽略的部 分找到答案 在哈密頓 (Hamilton) 動力學中, 物理系統所遵循的運動方程式可經由對於哈密頓量 (Hamiltonian) 的變分得到, 但是在變分的過程中, 除了場方程式外, 事實上還有一個變分的邊界項 通常我們 忽略 這個變分的邊界項而只著眼於場方程式, 而事實上我們所做的便是給定了特定的邊界條件使得變分中的邊界項為零 總結來說, 一個重力系統的哈密頓量正代表它的能量分布, 這其中包含兩個部分 密度部分 (density part) 和邊界項 (boundary term) 密度的部分在變分中決定場方程式, 但在包含重力的理論中其值是為零 ( 與等效原理吻合 ), 而邊界項則決定準局域能量的大小, 並且在變分中決定相對應的邊界條件 在重力能量的討論中還有一個重要的因素, 那就是參考組態 (reference configuration) 的選取 在其他的理論中, 這件工作是很容易的, 最自然的參考組態就是所有物理場都為零, 例如在電磁學中的參考組態是電場和磁場都為零 但是重力場是由時空的度規 (metric) 來描述, 而度規不可能為零, 而其中最自然的參考組態便是閔氏時空 (Minkowski space-time) 無論如何, 參考組態在重力能量的表示中是不可忽略的部分, 實際上也是最困難的部分 最後我們用一個字來總結萬有引力的特性, 從它的基本性質來看, 它既是普適的, 而且是純粹的吸引力, 所以我們可以說重力的特性就像 愛 一樣 作者簡介陳江梅中央大學物理系助理教授 cmchen@phy.ncu.edu.tw 聶斯特中央大學物理系與天文所教授 nester@phy.ncu.edu.tw 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 779

22 宇宙之年齡 文 / 林文隆 摘要 本文簡單介紹如何由最古老天體得到宇宙年齡的下限, 以及如何根據目前公認最好的宇宙模型估算宇宙的年齡 一 前言 自古以來人類便對宇宙的年齡有多大這個問題存著好奇心 中國著名小說西遊記第一回開頭便說 : 蓋聞天地之數, 有十二萬九千六百歲為一元 將一元分為十二會, 乃子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戍 亥之十二支也 每會該一萬八百歲 有趣的是它所描述的宇宙是一個循環的宇宙, 每一週期為 19,6 年 我們無法得知他們如何得到這個年齡, 19,6 年在當時已經是一個非常大的數目, 不過跟今日所知的年齡相較, 這個數目字顯得太保守了 本文簡單介紹如何由最古老的天體得到宇宙年齡的下限, 以及如何根據目前最好的宇宙模型估算宇宙的年齡 二 宇宙年齡問題 直到 199 年代初期, 根據星球演化的理論及球狀星團在赫羅圖 (H-R Diagram) 的分佈得到球狀星團的年齡約為 16 億年 [1] 當時最被看好的宇宙模型為平 坦而由物質主控的宇宙, 根據此模型 ( Λ =, Ω = 1) 宇宙的年齡為 6 t 1 1 = H = 6. h Gyr (1) 3 以 h =. 71 為例, 則宇宙年齡僅為 9 億年, 比球狀星團的年齡還小 這個矛盾的結果即所謂宇宙年齡問題 (age problem) 這個問題發生有可能是球狀星團的年齡估計錯誤, 實際上應小於 16 億年, 或者是所採用 的宇宙模型不正確 於是宇宙常數 Λ 不為零之宇宙模型再度受到重視, 因為引進宇宙常數將使得年齡增加 另一方面天文物理學家根據新的觀測及新的星球演化模型, 將球狀星團的年齡下修至 15 億年左右 ( 見下節 ), 使得年齡問題迎刃而解 三 宇宙年齡的下限要知道宇宙年齡最直接的方法乃是觀測宇宙中最古老的天體, 得出其年齡有多大, 當然由此僅能得到宇宙年齡的下限 依觀測對象之不同, 主要有下列三種方法 [][3]: (1) 星球演化法根據星球演化的理論我們可以求出球狀星團的年齡 本銀河系的銀暈中散佈著一百多個球狀星團, 各 含 個星球 這些星球的金屬 ( 指比氦更重之 元素 ) 含量極少, 由此可知它們是本銀河系最古老的星球 一個星團裏的星球據信是同一時間形成 圖一為 M15 球狀星團之 H-R 圖 [4], 縱座標為視星等, 橫座標為顏色 根據他們在 H-R 圖上之位置, 這些星球可被分類為主序星 紅巨星及水平支系星等 主序星之能 源來自中心處燃燒氫, 其生命期 τ 和質量 M 及發光 度 L 之關係大致如下 : τ M L / 3 因此質量 越大的星球, 停留在主序星的時間也越短 隨著時間的增加, 質量較大的星球先後離開主序星而進入紅巨星階段 在 H-R 圖上正要離開主序星的地方叫做主序星分支點 (main-sequence turn-off point), 該點的位置 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 781

23 是星團年齡的函數, 因此可利用它來決定球狀星團的年齡 這過程需要用到星球演化模型, 並且要知道主序星分支點的位置及其對應之發光度 ( 或絕對星等 ) 用星球演化模型計算 H-R 圖之等時線 (isochrone) 需要輸入許多參數 ( 如氦含量 金屬含量 對流區之位置及多寡等 ), 這些輸入參數的誤差會影響到球狀星團年齡的正確值 更大之誤差則來自球狀星團距離之測定, 這是因為要將主序星分支點之視星等轉換為絕對星等 ( 或發光度 ) 時先要知道星團距離, 而對應主序星分支點絕對星等. 等之誤差, 所得球狀星團年齡之誤差高達 3 億年 所幸借助哈伯太空望遠鏡之高解析度並以天琴變星 (RR Lyrae) 作為距離的指標, 球狀星團的距離可以量得比以前準確 [5] 由此得到主序星分支點之絕對星等誤差值變小 最近 Krauss 及 Chaboyer 兩人 [6] 根據新的絕對星等和新的星球演化模型的輸入參數 ( 包括氦的原始含量 氧的含量及氦之擴散程度等 ), 重新估算本星系最古老球狀星團之年齡之最佳值為 1.4 Gyr, 下限為 1. Gyr 這個年齡比十年前的測量值小很多 圖一 :M15 球狀星團之 H-R 圖, 縱座標為視星等, 橫座標為顏色 ( 取自參考資料 4) () 放射性元素法 利用放射性元素求古老天體年齡是各種方法中較 為準確的一種, 最常用到之元素有 3 Th ( 生命期 38 τ =.7Gyr ) 及 U ( τ = 6.45Gyr ) 假設 P 和 D 分別表示當時間為 t 時一物體 ( 隕石或岩石等 ) 中放射性母元素及子元素之含量, 則它們有如下之關係 t / τ D = D + P[ e 1] () 除非子元素之初始含量 D 為已知, 否則無法由上式求其年齡 為克服此難題可選擇子元素 D 之穩定同位素 S, 並將各元素含量用對 S 之含量比表示, 則上式可寫成 D D = S S P + [ e S t / τ 1] 由於最初岩石凝固時之分化作用, 在岩石不同位置之含量比 D/S 和 P/S 也不一樣, 而 D / S 則為常數, 此係因 S 為 D 之穩定同位素之故 今將 D/S 對 P/S 作圖, 由其斜率即可求得其年齡 t 利用此法應用到隕石上得到太陽系之年齡為 4.57Gyr, 此年齡據信十分準確, 誤差僅只 1% (3) 若要得到宇宙年齡下限最好能將此法應用到本星系最古老星球上 Cowan 等人 [7] 利用對古老星球 CS89-5 所量到之 3 Th 含量, 求得其年齡為 4.6, 與太陽 15.6 ± 4.6Gyr 此處誤差值高達 Gyr 系年齡相當, 主要是因為 3 Th 之半衰期太長 : τ τ 1 / = 14.5Gyr, 相當於生命期 =.7Gyr 38 由於 U 之半衰期為 4.46Gyr, 用它來求年齡結果會較精確 但以往連鈾譜線中最強之譜線都無法從古老星球測到 直到公元 1 年 Cayrel 等人 [8] 才從一顆金屬含量極少之星球 CS318-1 測量到波長為 nm 鈾之譜線 從 CS318-1 這顆星球金屬含量極低, 例如其含鐵量 [Fe/H] = -.9, 約為太陽含鐵量八百分之一, 可知它是一顆非常古老之星球 不過它卻含有相當多由 r- 過程 (r-process) 所製造之重元素, 包括鈾及釷等 所謂 r- 過程乃快速中子捕捉過程之簡稱, 僅在中子密度很高之環境才能產生, 據信是宇宙早期超新星爆炸所製造出來 CS318-1 年齡之求法如下 : 令 ρ 表放射性元素 ( 鈾或釷 ) 與穩定元素 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 78

24 之含量比, 則 ρ ρ exp( t / τ ) = (4) 式中 ρ 表初始含量比 今將 38 U 及 分別代入上式並消去穩定元素含量得 t 3 U U 1.8[log( ) log( ) obs ] Th Th Th 之生命期 = (5) 將 r- 過程製核理論所預測之初始含量比 (U / Th) 及測 量到之含量比代入上式, 即得該星球之年齡 Cayrel 等人用此法求得 CS318-1 之年齡為 1. 5 ± 3Gyr 據推斷此星與本星系之年齡相差約.Gyr, 故本星系之年齡為 1. 7 ± 3Gyr 此值可視為宇宙年齡之下限 (3) 白矮星冷卻法 主序星質量小於太陽質量八倍 (M 8M ) 之星 球, 在演化末期其核心部分會形成質量小於太陽質量 1.4 倍之白矮星 已觀測到之白矮星其質量 ( M ) 皆在 WD 以下範圍 : 5. M M 14. M, 此質量下限源自 sun WD sun 宇宙之年齡是有限的, 質量更小之白矮星尚未形成, 上限則是著名的錢氏極限 (Chandrasekhar limit) 白矮星之結構, 相對之下較其前身簡單, 可視為一個等溫之核 ( 其中之電子處於簡併狀態 ) 外裹一層薄的氣體 ( 可視為理想氣軆 ), 整個白矮星質量大部份集中在核 處 白矮星內部並無核反應產生, 其表面釋出之能量係來自內部之熱能 隨著能量釋出白矮星之溫度及發光度也跟著時間降低 195 年 Mestel [9] 首先對白矮 星冷卻過程導出白矮星發光度 (L) 和冷卻時間 (τ ) 一 7/ 5 個簡單的關係式 : L Mτ 根據此式, 由其發光度便可推算出白矮星之年齡 這個關係式的推導過程如下 : 首先根據星球結構理論中之流體靜平衡方程式及輻射傳能方程式, 並假設不透明度滿足 Kramer s 7/ opacity law, 得到 L MT c, T c 為核心之溫度 接著根據白矮星所釋出之能量來自核心之熱能, 即 de th L =, 並引進適當的邊界條件, 便可得到 Mestel dt ms sun 白矮星冷卻關係式, 有興趣了解詳細推導過程者可參考 Prialnik 所寫的書 [1] Mestel 之冷卻關係式可以幫助我們了解如何從白矮星之發光度求出它的年齡, 不過此式只是一個很好的近似 實際的計算則需借助更精確的冷卻模型 哈伯太空望遠鏡曾拍攝到球狀星團 M4 中為數甚多之白矮星,Hansen 等人 [11] 根據精確冷卻模型並假設這些白矮星 (1) 核心由碳或氧組成 () 各層成份是均勻的 (3) 表面氫之含量極少, 氦含量約為 M(He) 1 M (4) 白矮星質與主序星質量之關係 WD 96. Mms 為 [1]: M = 49. M e (5) 主序星階段之生命期 WD sun M 5. 為 t = 1Gyr ( ) (6) 球狀星團之年齡約等於白 ms M sun 矮星之冷卻年齡與其主序星階段年齡之和 利用此 法,Hansen 等人得出 M 4 球狀星團之年齡如下 : t( M 4) = 17. ±. 7Gyr 根據上述三種方法求最古老星體的年齡, 結論是 : 最古老球狀星團及最老的星球其年齡都在 15 億年左右 而宇宙之年齡必須大於此數字才合理 四 宇宙年齡之計算 今日宇宙的年齡 t 是哈伯常數 H 密度參數 Ω i 及狀態方程式 ω i 的函數, 由宇宙膨脹方程式得 ( 參見附錄 ) 其中 t = t dz ( 1+ z)( Ω ( 1+ z) ) H 3 ( 1+ωi ) 1 / i i 1 哈伯時間, H 1 1 t( ) = = 976. h 1 yr H 1 z R + =, R(t) ρ i Ω =, i ρ c (6) 3H ρ = (7) c 8 π G 198 年代迄 199 初期公認最好之宇宙模型為 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 783

25 Einstein-de Sitter model, 即平坦而由物質主控的宇宙 : k, Ω = 1 由方程式 (6) 得 t = m dz = (8) (1 + z) 3 t H = t H 5 / 若用 h =. 71代入, 則宇宙年齡僅為九十二億年 此 值遠小於當時所知最古老天體之年齡, 根據星球演化的理論得到古老球狀星團的年齡為一百六十億年, 近年來由於理論與觀測的改進, 宇宙最古老星體的年齡已下修為一百二十五億年左右, 僅管如此, 該模型所得之宇宙年齡仍比最古老星體年齡小很多, 此矛盾現象即所謂之年齡問題 於是宇宙常數不為零之宇宙模型開始受到重視 因為物質之間的吸引力會使宇宙膨脹的速率減慢, 而宇宙常數的效用當於排斥力, 它會加速宇宙的膨脹 給定今日哈伯常數值, 引進宇宙常數會導致宇宙的年齡增加, 因為它表示在初期膨脹速率較慢, 所以需要較長的時間達到目前的距離 至於宇宙真正的年齡則視 Ω 和 Ω 的大小而定 m 根據 Ia 型超新星 [13][14] 宇宙微波背景幅射[15] 及宇宙大結構等觀測, 我們得到一個和所有觀測結果均符合一致的宇宙模型 (concordance model), 根據該模型目前宇宙正在加速中, 宇宙的幾何是平坦的 ( Ω k = ), 且目前的宇宙非相對論性物質 ( = Λ ω ) 佔 7%, 壓力為負之暗能量佔 73% 且其 ω 值接近 -1, 5 幅射 ( ω = 1/ 3) 僅佔 1, 故當紅移 (red-shift) z 遠小於 1 時, 幅射部份之貢獻可忽略 為簡單計, 本文 僅考慮暗能量係 ω = 1 之宇宙常數 Λ, 在此情況下 對應於紅移 z 之年齡為 dz t( z ) = t (9) ( 1+ z )( Ω ( 1+ z ) + Ω ) 而今日宇宙之年齡則為 t H z 3 1/ m Λ dz = t (1) ( 1+ z)( Ω ( 1+ z) +Ω ) H 3 1/ m Λ 將上式積分並用 Ω = 1 Ω m Λ 代入得 t( z ) = 1 Ω Ω Λ 3 Λ 3 t ln ( 1 z) ( 1 z) 1 H Ω 1 1 Λ Ω Ω Λ Λ (11) 1 1+ Ω Λ t = t ln (1) H 3 Ω 1 Ω Λ Λ 今用 H = 71km/s/Mpc, Ω = 73. [15] 代入得 1 t. yr = 137 1, 即宇宙之年齡為一百三十七億年 ( 誤 差約為兩億年 ) 此年齡比前節所述古老星体之年齡稍大, 因此該宇宙模型並無所謂宇宙年齡問題 以上宇宙的年齡係根據暗能量乃是宇宙常數所得的結果, 宇宙常數固然是暗能量最簡單之候選者, 但從量子場論的觀點而言宇宙常數即真空能量, 其觀測值與理論值相差一百二十個數量級 因此許多人認為暗能量乃是一種動態純量場, 並將此前所未知的物質取名第五元素 (quintessence)[16], 甚至有人認為暗能量是一種 ω 值小於 -1 的東西, 由於其性質甚為怪異故取名幽靈 (phantom)[17] 這一類暗能量之狀態方程式通常會隨時間而變, 換言之它們是紅移 z 之函數 此時宇宙年齡之計算較複雜, 只能採用數值積分的方法 不過, 只要暗能量密度參數之大小相同, 答案和一百三十七億年不會相差太遠 參考資料 : [1] M. Bolte and C. J. Hogan, Nature 376,399 (1995). [] J. A. Peacock, Cosmological Physics,(Cambridge U.P.,1999). [3]G. Borner, The Early Universe, 4 th edition (Springer, 3). [4] L. M. Krauss, astro-ph/99738 v1. [5] G. F. Benedict, astro-ph/1171. [6] L. M. Krauss and B. Chaboyer, astro-ph/ [7] J. J. Cowan et al., Astrophys. J. 51,194(1999). [8] R. Cayrel et al. Nature 49,691(1). [9] L. Mestel, Mon. Not. R. Astr. Soc., 11, 583(195). Λ 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 784

26 [1] D. Prialnik, An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution,(Cambridge U.P.,). [11] B.M. Hansen, The White Dwarf Cooling Sequence of the Globular Cluster Messier 4, astroph/587 v1. [1] M. A. Wood, ApJ, 386, 539(199). [13] S. Perlmutter et al. (Supernova Cosmology Project), ApJ, 517, 565 (1999). [14] A.G. Riess et al.,aj, 116, 19 (1998). [15]D.N. Spergel et al. [WMAP Collaboration], ApJ(Suppl.) 148, 175 (3) [arxiv: astro-ph/39]. [16] R. R. Caldwell, R. Dave, and P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett, 8, 158 (1998). [17] R. R. Caldwell, astro-ph/ v. 附錄 : 宇宙演化基本公式宇宙膨脹方程式 (Friedmann 方程式 ): 臨界密度 : 3H ρ = c πg R 紅移與尺度因子之關係 : 1+ z = R(t) 密度參數 : 狀態方程式 : ρ 8 i Ω =, Ω +Ω +Ω = 1 i m Λ k ρ c p i ω= i ρ i 由能量守恆方程式得入宇宙膨脹方程式得 3( 1 ) H H ( 1 z) +ω i = Ω + i i 故 ρ =ρ i i R R 3( 1+ωi ) dr / dt H = H( ( 1 z) ) Ω + i R 由上式得 t = t dz ( 1+ z)( Ω ( 1+ z) ) 3 1+ωi 1 H ) i i 3( 1+ωi ) 1/ 將此式代 H = ρ + R 8πG k Λ R 3 R 3 宇宙加速方程式 : R Λ 4π = G ( ρ+ 3 p) R 3 3 作者簡介林文隆國立台灣師範大學物理系 wenlin@phy3.phy.ntnu.edu.tw 能量守恆方程式 : R ρ= 3 ( ρ+ p) = 3 H( ρ+ p) R 今視宇宙常數與曲率為宇宙物質與能量之一種成份, 則宇宙膨脹方程式可寫成 ( 忽略幅射 ) 8πG Λ H = ( ρ + ρ + ρ ), ρ =, m Λ k Λ 3 8 π G 3k ρ = k 8 π GR 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 785

27 天圓地方和天方地圓 文 / 曾耀寰 古時候的中國人限於觀測能力, 對天地的認知只能到天圓地方, 到了 世紀末, 人類的觀測能力大幅進步, 地面觀測 高空氣球觀測, 乃至於太空軌道上的觀測都證明宇宙應該是天方地圓 中國很早就有天圓地方的說法, 周髀算經 中提到 方屬地 圓屬天, 天圓地方 ( 圖一 ), 晉書. 天文志 也有 天圓如張蓋, 地方如棋局, 很明顯地, 古時候的中國人認為天的樣子就像一個倒過來的碗, 覆蓋在大地之上, 大地則是平坦的, 並且是個有稜有角的四方形, 就像下棋用的棋盤, 所謂東西南北四方, 應該是針對這種幾何圖形而來, 但是察覺出大地是矩形的平面並不是一件容易的事 想像你站立在蒙古大草原, 四周都是看似無止境的草地, 或者是你在大海中的一艘小船上, 放眼望去盡是天水相連的海平面, 說什麼都很難想像草原或者是大海向外延伸的盡頭, 會有四個角落 其實古人就有這種困惑, 孔子的弟子曾子對於大地的正正方方形狀也有過困惑, 當單居離問於曾子曰 : 天圓而地方, 誠有之乎? 曾子曰 : 天圓而地方, 則是四角之不揜也 ( 大戴禮. 曾子天圓 ), 一個半球形的天穹要如何覆蓋在一個方形的大地, 可惜曾子沒有進一步深思這個問題, 卻用答非所問的方式轉移問題, 他引用孔子的話 : 天道曰圓, 地道曰方 一個簡單的宇宙幾何結構問題, 一下子就變成討論人的問題, 實在可惜 不過由於中國古書上常以簡單的幾個字來描述自然的現象, 有時一個詞句可以多種解釋, 稱不上是好的科學描述, 後人很難從中得到精確的概念, 例如天圓地方當中的方也可以解釋成平坦, 半圓球狀的天蓋在平坦的大地, 這個描述比較符合直觀的天球 圖一 : 周髀算經 ( 取自上海數字圖書館 ) 最原始的觀測工具 : 眼睛古人對天地形狀無法提出有效的答案, 這完全受限於觀測的工具和方法, 沒有充分的證據, 如何有像樣的宇宙論 在望遠鏡發明以前, 觀天的主要工具就是人的眼睛, 天體是否可以看到, 是否能夠分辨清楚, 就全靠眼睛的構造和功能 ( 圖二 ) 眼睛的基本構造和日常使用的照相機類似, 通常照相機的主要零件有光圈 鏡頭 密封的機身和底片 同樣地, 眼睛也有瞳孔 ( 光圈 ) 水晶體( 鏡頭 ) 玻璃體( 機身 ) 和視網膜 ( 底片 ), 瞳孔的大小變化由周圍肌肉的收縮擴張來控制, 直徑在二釐米到八釐米的範圍內, 功能就像相機的光圈一樣, 用來控制進入眼睛內的光線強度, 所以當日正當中的時候, 瞳孔就會收縮變小, 當處在暗室的時候, 瞳孔就會放大 水晶體則是一個扁平橢圓的透明晶狀體, 就像一片雙面凸透鏡, 透過周 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 786

28 圍肌肉的作用可以使之變厚或變薄, 改變透鏡的焦距, 讓進來的光線可以清楚地聚焦在視網膜上 視網膜上有一層感光的神經細胞, 感光細胞有兩種 : 柱狀細胞和錐狀細胞 ( 黃斑部 ), 形狀各不相同 柱狀細胞對光的強弱較為敏感, 而錐狀細胞則對光的顏色變化較為敏銳 光的強弱和顏色變化透過這兩種感光細胞傳給大腦, 轉成人類的視覺反應 圖二 : 眼睛的基本構造 受限於感光細胞的能力, 正常人的眼睛最多只能看到六等星的亮度, 比六等星更暗的天體, 人眼是無法偵測 嚴格說起來, 感光細胞仍會收到光的訊息, 感光細胞接受的微弱光線會轉換成微弱的神經脈衝傳給大腦, 這些微弱的神經脈衝相較於大腦內其他的神經脈衝是非常地微弱, 就像一個放在震耳欲聾的 PUB 內的鬧鐘, 完全淹沒在吵雜的腦海當中 除了星光強弱的限制, 瞳孔大小也會限制天空中星星的分辨程度, 這使得人類長久以來將千億顆恆星組成的銀河系看成一縷綿延不絕的天河, 這是因為人眼無法從銀河中分辨出一顆顆閃亮的恆星 瞳孔直徑最小僅有二釐米, 對於可見光而言, 人眼只能分辨一分弧 (minute of arc), 一分弧有多小? 天文學家將角度一度切成 6 等分, 每一等分定義為一分弧, 兩顆恆星之間的視距離若小於一分弧, 就會被看成一顆恆星 虞喜的安天論和東漢王充的方天論, 大抵上只能算是分支 中國古宇宙論根據東漢蔡邕 表志 所述 : 言天體者三家 : 一曰周髀 二曰宣夜 三曰渾天 蔡邕所謂的周髀就是先前所提的周髀算經, 也就是蓋天說 所謂髀, 就是股, 就是表, 最早出現在周朝, 所以又稱周髀 髀到底是什麼東西? 其實髀類似於現在的日晷, 形狀就像英文字母的 L( 圖三 ), 垂直於地面的稱為表, 平放在地面的稱為土圭, 所謂土圭之法就是周髀算經所說的日中立竿測影, 簡單地說就是當作標示節氣之用 除此之外, 周髀算經上也有 : 髀者, 股也, 正晷者, 句也 當中的表為四尺, 影子為三尺, 從表的頂端到影子頂端的距離為五尺, 基本上就是句股弦定理 宣夜說則出自東漢郗萌記載的一段話 : 日月眾星, 自然浮生, 虛空之中, 其行其止, 皆須氣焉 李約瑟在 中國的科學與文明 的天學卷中讚揚宣夜說, 認為可與古希臘的宇宙論相提並論, 依照他的說法宣夜說的天體漂浮在無限空間的看法比歐洲的水晶球概念高明許多, 只不過在古籍中, 也只有 晉書. 天文志 出現有關宣夜說的資料, 自古以來的中國學者都認定它對中國天文學思想並沒有太大的影響 倒是渾天說深受大多數中國學者的喜愛, 渾天說一般認為出自東漢張衡, 張衡在 渾天儀圖注 中提到 : 天如雞子, 地如雞中黃, 孤居于天內, 天大而地小 雞中黃就是雞蛋中近似圓球狀的蛋黃, 世人常引以為證, 認為中國人很早就知道地球是圓的, 因此在許多書籍文章當中都以渾天說為先進的古宇宙論 中國古代宇宙論 中國古代對宇宙的主要認識可分成三大理論, 其他還有三國東吳姚信的聽天說 東晉虞聳的穹天論 圖三 : 置於紫金山天文台的明製 圭表 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 787

29 整體上來說, 天圓地方可算是對宇宙最初步的認知, 隨著時間的推進而有蓋天說 宣夜說和渾天說, 大多數人認為渾天說較為進步 天圓地方的概念是來自人類最原始的觀察, 太陽和其他天體週而復始地從東方升起, 西方落下, 不禁讓人將天想像成一個半圓, 在廣闊的大地上行走, 又讓人有平坦的感覺, 假如想像古人對天地的感受, 天圓地方應該是半球形的天和圓形平面的地, 地方的方應該是平坦的意思, 而天和地是在遠處相連, 半球形的天有一個離地面最遠的位置稱為天頂, 天頂的正下方稱為地中 相較於歐洲的地心說和日心說, 天圓地方還只能算是以觀測者為中心的說法 宣夜說的資料不完整, 在此不加著墨 蓋天與渾天蓋天說除了 周髀算經 的說明外, 在 晉書 和 隋書 的天文志中的一段話可以清楚地介紹蓋天說 : 天似蓋笠, 地法覆槃, 天地各中高外下, 北極之下, 為天地之中, 其地最高而滂沱四隤, 三光隱映, 以為晝夜, 天中高於外衡冬至日之所在六萬里, 北極下地高於外衡下地亦六萬里, 外衡高於北極下地二萬里, 天地降高相從, 日去地恆八萬里, 日麗天而平轉, 分冬夏之間日所行道為七衡六間 ( 圖四 ) 蓋天說對天的描述大致上和天圓地方的天相似, 但二者對地的描述則大有不同, 蓋天說認為地像一碗覆槃, 是一個有曲率的面, 不是平面 從天文志中的敘述可以發現蓋天說認為天和地是兩張相互平行的曲面, 並且天地分離, 沒有相連, 基本上這種天地的圖像是比天圓地方更加進步 先前提到天圓地方是以觀測者為中心, 以當時交通之不便, 一個人終其一生也不會離其出生地太遠, 因此觀測者為中心也可視為觀測地為中心, 這個觀測地被認為是地面的中心, 稱為地中, 通常是指傳說中的夏朝首都陽城 當人類的活動範圍擴大, 就會發現每個地點都可以為地中, 每個地中的正上方都是天頂, 若將每個天頂連接起來, 這時天和地就成為相互平行的面 這兩個面不是平面, 是個曲面, 一個像蓋笠, 一個像覆槃, 曲面的最高點分別是位在天上的北極, 和位在地面的極下, 天文志中還清楚地描 繪天和地相隔的距離, 以及這些曲面彎曲的程度 所謂日去地恆八萬里, 這兩個平行面相隔八萬里, 而天和地的中高外下的高度差異都是六萬里, 中高外下表示北極是天的最高點, 極下則是地的最高點, 二者向外延伸的高度是越來越低, 天延伸到外衡的時候, 高度下降了六萬里, 而外衡的正下方則是外衡下地, 和極下的高度差異也是六萬里, 表明天和地是個曲面 蓋天說的宇宙中心不再是觀測者, 而是北極和北極下地, 太陽和其他天體都是繞著北極旋轉, 太陽不再是從東邊的地面升起, 從西邊的地面沈沒, 太陽永遠在天空中運行, 日出日沒只是太陽繞北極旋轉時所產生的遠近變化, 即所謂的麗天平轉, 當太陽由遠到近的運行, 便會逐漸出現在觀測者的視野內, 這就是日出, 當太陽由近而遠的運行, 離開觀測者的視野, 就成了日落 蓋天說對日出日沒的解釋並不正確, 但卻是人類離開出生地後, 對天地形狀更深入的認知 圖四 : 周髀算經 ( 取自上海數字圖書館 ) 中國近千年以來都將渾天說視為較進步的宇宙模型, 尤其當地球成圓球狀的事實被認定後, 渾天說的地如雞中黃說法更凸顯中國人在天文上的貢獻 根據張衡的說法可以將宇宙作以下的想像, 天是一個中空的圓形球體, 地則包含在天球之內 ( 圖五 ), 這個天有一半盛有水, 大地是漂浮其中 ( 天表裡有水 載水而浮 ) 整個天球分為三百六十五又四分之一度, 其中一半是覆在地上, 一半是繞在地下 天球有北極 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 788

30 和南極, 北極是在正北方地上三十六度, 南極則在正南方地下三十六度 至於二十八宿和日月五星則是嵌在天球殼上, 天球繞著南北極旋轉, 所以天體的位置會隨著時間而有變化 學, 不然, 只要幾條數學式子就可以省略許多詏口的文言文, 少了一些隱晦的比喻 西方古宇宙論 圖五 : 渾天說所說的天和地就像雞蛋一樣, 天像蛋殼, 地則是蛋黃 以上是對蓋天說和渾天說的一般解釋, 如果從真實宇宙的了解來看, 渾天說很接近地心說, 而蓋天說則仍處在觀測者中心的階段, 這種說法其實仍存有歧見 曾任教大陸華東師範大學的金祖孟教授曾對渾天說和蓋天說重新評論, 依照他的說法, 渾天說並沒有地球是個圓球形的說法, 渾天說的地是圓形的平面, 張衡在 靈憲 一書中寫道 : 天體于陽, 故圓以動, 地體于陰, 故平以靜 另外三國時渾天家王蕃也有天圓地平的說法 至於渾天儀注當中的 地如雞中黃 該作何解? 金教授認為從前後文看來, 這只是張衡的一種比喻, 藉以說明天和地的內外和大小的關係, 和天地的形狀無關, 否則要如何說明 地如雞中黃 和 天半覆地上, 半繞地下 之間的關連? 提反對意見的學者則認為從歷史的先後順序來看, 渾天說晚於蓋天說, 蓋天說已經認為地是一曲面, 渾天說又怎會將大地當成平面? 可惜中國人沒有發展一套嚴謹的數 從人類對宇宙認知深淺的演進過程來看, 這蓋天說和渾天說都還處在嬰兒時期 西方人對宇宙的認識始於古希臘, 希臘人為了知識而追求知識, 可算是歐洲最早的科學家, 當時著名的畢達哥拉斯 ( 約西元前 53 年 ) 就認為地球是一個球體, 位在球形宇宙的中心, 畢達哥拉斯也是一位數學家, 他認為球形是最完美的形體, 因此宇宙應該都要以圓形或球形表現出來, 例如日月五星應該是以圓形軌道繞地球運行 到了亞里斯多德也接受此一地心概念, 將地球放在宇宙的中心, 日月五星和其他的天體都是以不同半徑的同心圓體繞著地球旋轉, 這一說法延續了近五百年才被托勒密修改 由於觀測技術的進步, 當時的天文學家發現, 單純的地心理論無法解釋行星繞行地球的現象, 例如行星的逆行運動, 一時之間許多修訂版紛紛出籠, 但仍是以地球為中心 托勒密為了能計算出行星在任何時刻的軌道位置, 捨棄亞里斯多德的地心球體說, 提出一種結合均輪 周轉圓和等化點的宇宙模型, 所有行星是繞著等化點作等速圓周運動, 對地球而言則是非等速圓周運動, 托勒密仍將地球放在宇宙的中心, 但日月行星卻是對偏離地球的等化點作圓周運動, 這種解釋的方式是可以見容於當時的教會約束, 這種將設計模型以符合數據的思考方式, 成為哥白尼提出日心說時所爭論的焦點 哥白尼從未被認為是一位天文觀測者, 他應該算是一位數學家, 他的 天體運行論 是要提出一個全新的日心理論 ( 圖六 ), 用來解釋既有的觀測數據, 他寫道 : 數學乃為數學家而寫作, 表示他的日心理論是為專業人士所寫的技術性著作, 是要處理天文上的問題, 並不代表太陽就是宇宙的中心 克卜勒則不同, 他是一位職業天文學家, 克卜勒曾在第谷那兒工作了十個多月, 並以第谷的觀測資料 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 789

31 製作了魯道夫星表 克卜勒在他的 新天文學 一書中打破了兩千多年來的圓形軌道和等角速度運動的教條, 他認為行星繞行太陽運轉, 運轉的軌道不是完美的圓形, 而是橢圓形, 太陽並不是在軌道的中心, 太陽是處在橢圓軌道其中的一個焦點上 除了軌道以外, 行星運動的角速度並不是固定不變的, 當它靠近太陽的時候會轉得快一些, 離太陽較遠的時候會變慢一點, 克卜勒甚至用數學式子寫下這個關係, 日後牛頓的萬有引力定律證實了這個關係 圖六 : 哥白尼的 天體運行論 中有關太陽系的插圖 日心說經過一連串的奮戰, 最後終於為世人所接受, 哥白尼 ( 西元 1473~1543 年 ) 對一千三百多年的托勒密體系提出挑戰, 以太陽取代地球成為宇宙中心, 經過克卜勒 伽利略和牛頓的努力, 徹底改變人類對宇宙的看法 當觀測技術更加進步, 天文學家在太陽系外也發現其他類似太陽系的恆星系統, 進一步擴大了人類的宇宙視野, 隨著銀河系 河外星系到不斷膨脹的宇宙, 天文學家反而找不到宇宙的中心 天方地圓有趣的是, 天方地圓是最近天文學家對宇宙的了解, 地圓已經不用說明, 只要看看月亮在月食的形狀就會了解地球是圓的 天方並不是說天是方形, 像個火柴盒, 這裡的方, 同樣是有平坦的意涵, 根據最新的觀測證據顯示我們整個宇宙是平坦的 平坦的空間倒不是件新鮮事, 我們在地球上所處的空間就幾近平坦, 我不是指地球表面的二度空間, 平坦是指我們活動的三度空間 早在愛因斯坦之前, 科學家打從心裡就認定我們是生活在三度的平坦空間, 或者稱歐幾里得空間 在一個平坦的空間內, 任意繪出一個三角形, 測量三個內角的總和恆為一百八十度, 若是在空間中劃兩條平行線, 這兩條平行線永不相交 這些現象都已經被當成真理, 不容質疑 愛因斯坦卻不這麼認為, 廣義相對論說明只要空間內有物體, 這個物體就會讓周遭的空間扭曲, 就像在一張拉平的漁網上放了一條吳郭魚, 魚的重量會將它所在漁網位置上壓出一個凹洞 廣義相對論指出只要物體就會受到有質量, 就會在空間中壓出一個凹洞, 這時另一個物體行經附近的時候, 就會受到空間凹洞的影響而改變原來的路徑 一個物體受到另一物體的影響而改變運動狀態, 牛頓認為這是萬有引力造成的, 愛因斯坦認為是扭曲的空間在作怪 根據愛因斯坦的廣義相對論, 空間中只要有物體或者能量就會改變空間的幾何形狀 宇宙中充滿了許多物質和能量, 雖然單一物體只會造成周圍局部空間的改變, 但宇宙整體來看又是如何? 利用廣義相對論來解決整個宇宙的演化, 物理學家發現宇宙的空間幾何形狀可以有三種狀況, 分別為開放 平坦和封閉 所謂開放的宇宙是指隨著時間的前進, 宇宙會越來越大, 不斷地膨脹, 封閉的空間則是會在未來的某一時刻開始, 宇宙會重新收縮, 若是在膨脹和收縮之間的交界處, 這種宇宙是屬於平坦 以在地球表面上拋球為例, 將球向上拋射, 球離地面的高度會逐漸增加, 這是因為我們給球一個速度, 給它一個能量, 當球一 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 79

32 直升高, 受到地球萬有引力的牽引, 它的速度會逐漸變慢 如果一開始我們給的速度夠大, 這顆球速度雖然會變慢, 但終究會脫離地球萬有引力的束縛而逃到外太空, 反之, 速度給的太小, 球升到某個特定高度後, 就會掉落下來, 回到地面 如果我們給的速度剛剛好, 這顆球就可以變成人造衛星, 繞著地球運轉 宇宙一開始會有一場驚天霹靂的爆炸, 爆炸的威力使得宇宙不斷地膨脹, 整個宇宙內有許多的能量和物質, 這些是會讓宇宙收縮的因子, 如果宇宙所含的能量和物質不夠多, 或者說爆炸的威力夠大, 這就是一個開放的宇宙, 如果能量和物質夠多, 宇宙最後會重新收縮, 變成一個封閉的宇宙 如果宇宙內的物質和能量不多不少, 剛好可以和爆炸的威力相抗衡, 就會形成一個平坦的宇宙, 在這樣一個宇宙內畫一個三角形, 三個內角加起來會等於一百八十度 證明宇宙的幾何形狀不需要測量宇宙中三角形的內角和, 天文學家是從宇宙背景輻射下手 宇宙背景輻射是一種充斥在整個宇宙的光子, 這種輻射是宇宙大霹靂後所遺留下的餘溫, 它保有宇宙剛開始的一些訊息, 天文學家從而得知宇宙是平坦的, 我們不用擔心宇宙會重新收縮成煉獄一般的狀態 這是多麼令人 興奮的消息, 隨著天文觀測的進步, 擴展人類對宇宙視野和認識, 徹底改變人類的宇宙觀, 在專業的領域上, 天文學家對宇宙的大方向輪廓已經能夠掌握, 未來幾年更精確的觀測證據將會陸續浮現, 可以讓天文學家更加了解宇宙演化的來龍去脈 註 : 本文改編自 93 年元月科學月刊 參考資料 1. 鄭文光 (), 中國天文學源流, 萬卷樓圖書有限公司. 金祖孟 (1996), 中國古宇宙論, 華東師範大學出版社 3. 韓梅爾著, 聞人傑等譯 (), 自伽利略之後, 校園書房出版社 作者簡介曾耀寰任職中研院天文及天文物理所 yhtseng@asiaa.sinica.edu.tw 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 791

33 石佩姒與泰謨的故事 ( 獨幕劇 ) 文 / 童若軒 時間 :5 年 11 月 5 日地點 : 某大學物理系研究生安斯坦的研究室人物 : 安斯坦, 牛頓, 泰謨 ( 男 ), 石佩姒 ( 女 ), 光神 在 1684 年 論物體運動 的文章中, 提出了第四定律, 那就是伽利略的相對論原理啊! 沒錯, 空間本身是相對的 可是時間與空間是獨立的, 一點關係也沒 有! ( 物理系的研究室, 有門向後, 門的左右各有木架一個, 上面放著石膏男女雕像, 男石膏像的上面, 掛著一個時鐘, 女石膏像的旁邊, 放著一個渾天儀, 門的左側有一扇窗戶, 窗戶的旁邊放著一個書架, 門的右側有一書桌, 和一張椅子, 桌上陳列物理書籍數册, 計算草稿紙幾張, 電腦一套, 文具一付, 書桌上面掛有一牛頓畫像 ) ( 牛頓好奇地望了一下研究室桌上的電腦, 又看了一下石膏男女雕像, 隨即將男女石膏像各蒙上薄紗, 走出研究室 ) 安斯坦 太好了, 牛頓給了我第四定律 這個問題可以解決了啊! 這樣一來牛頓的力學就可以在絕對時間及相對空間的基礎上建立 我要趕緊來寫一篇論 文 ( 安斯坦戴著著色眼鏡坐在桌前, 手拿著一本牛頓的 自然哲學之數學原理, 在那裡聚精會神的研究, 隨即放下, 信手又取了一本歐幾里德的 幾何原本 翻了數頁, 拿筆在紙上演算了一會, 望著牛頓像, 說道 ) ( 安斯坦在網上下載了牛頓 1684 年 論物體運動 的文章, 又拿起了一本 電磁學 的書翻了數頁, 拿筆在紙上演算了一會, 一臉困惑, 抬頭望著門側兩個石膏像出了一回神 ) 安斯坦 不, 他們都是獨立的! 沒有關係的啊! 安斯坦 如果存在絕對空間, 物體相對於這個絕對空間的運動, 就應該可以測量 那麼牛頓力學三個定律就不完整了, 應該再加上一個包含這個絕對速度的定律! 如果我找到這個定律, 那麼我的論文就有著落了! 真希望趕快解決這個問題啊 ( 安斯坦低頭伏案凝思, 萬籟俱寂, 電燈忽熄, 電燈復明, 不見牛頓畫像 只見牛頓從門走進來, 安斯坦一眼就認出是畫上的他, 驚奇的問道 ) 安斯坦 你怎麼會來這裡呢? 你來的正好, 可不可以給我一個第四定律? 我急著完成論文 牛頓 - 看到你努力地研究我的 自然哲學之數學原理 這本書, 特地來與你談一談 其實你們都忘了我 ( 說著又看著他的書愁著眉頭道 ) 安斯坦 - 到底要怎樣, 才能解釋牛頓所說的空間和時間呢? ( 安斯坦又低頭伏案凝思, 萬籟俱寂, 電燈忽熄, 泰謨和石佩姒裸體披紗從門內出, 喊道 ) 泰謨 你好! ( 電燈復明, 不見架上的石膏像, 安斯坦愕然 ) 安斯坦 - 你們是誰? 泰謨 - 我們是你的老朋友, 常常在你的研究室裡和你研究哲學和科學的重要問題, 你認不得我們了嗎? 物理雙月刊 ( 廿七卷六期 )5 年 1 月 79