Matlab和应用数学2-2.ppt [兼容模式]
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- 叹鲁 娄
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1 MATLAB 矩 阵 运 算 上 课 日 期 : 教 学 方 法 : 授 课 上 机 练 习 和 自 学 相 结 合 授 课 教 师 : 梁 克 维 (matlkw@zju.edu.cn) 上 上 课 : 上 午 8:30 11:30, 西 机 : 下 午 1:00-4:00, 计 算 机 中 心
2 MATLAB 矩 阵 矩 阵 的 建 立 1. 直 接 输 入 法 最 简 单 的 建 立 矩 阵 的 方 法 是 从 键 盘 直 接 输 入 矩 阵 的 元 素 具 体 方 法 如 下 : 将 矩 阵 的 元 素 用 方 括 号 括 起 来, 按 矩 阵 行 的 顺 序 输 入 各 元 素, 同 一 行 的 各 元 素 之 间 用 空 格 或 逗 号 分 隔, 不 同 行 的 元 素 之 间 用 分 号 分 隔 2. 利 用 M 文 件 建 立 矩 阵 对 于 比 较 大 且 比 较 复 杂 的 矩 阵, 可 以 为 它 专 门 建 立 一 个 M 文 件 下 面 通 过 一 个 简 单 例 子 来 说 明 如 何 利 用 M 文 件 创 建 矩 阵
3 例 利 用 M 文 件 建 立 MYMAT 矩 阵 (1) 启 动 有 关 编 辑 程 序 或 MATLAB 文 本 编 辑 器, 并 输 入 待 建 矩 阵 : (2) 把 输 入 的 内 容 以 纯 文 本 方 式 存 盘 ( 设 文 件 名 为 mymatrix.m) (3) 在 MATLAB 命 令 窗 口 中 输 入 mymatrix, 即 运 行 该 M 文 件, 就 会 自 动 建 立 一 个 矩 阵, 可 供 以 后 使 用 mymatrix.m
4 3.. 利 用 冒 号 表 达 式 建 立 一 个 向 量 冒 号 表 达 式 可 以 产 生 一 个 行 向 量, 一 般 格 式 是 : e1:e2:e3 其 中 e1 为 初 始 值,e2 为 步 长,e3 为 终 止 值 在 MATLAB 中, 还 可 以 用 linspace 函 数 产 生 行 向 量 其 调 用 格 式 为 : linspace(a,b,n) 其 中 a 和 b 是 生 成 向 量 的 第 一 个 和 最 后 一 个 元 素,n 是 元 素 总 数 显 然,linspace(a,b,n) 与 a:(b-a)/(n-1):b 等 价 4.. 建 立 大 矩 阵 大 矩 阵 可 由 方 括 号 中 的 小 矩 阵 或 向 量 建 立 起 来
5 矩 阵 的 拆 分 1.. 矩 阵 元 素 通 过 下 标 引 用 矩 阵 的 元 素, 例 如 A(3,2)=200 采 用 矩 阵 元 素 的 序 号 来 引 用 矩 阵 元 素 矩 阵 元 素 的 序 号 就 是 相 应 元 素 在 内 存 中 的 排 列 顺 序 在 MATLAB 中, 矩 阵 元 素 按 列 存 储, 先 第 一 列, 再 第 二 列, 依 次 类 推 例 如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) ans= 2 显 然, 序 号 (Index) 与 下 标 (Subscript ) 是 一 一 对 应 的, 以 m n 矩 阵 A 为 例, 矩 阵 元 素 A(i,j) 的 序 号 为 (j-1)* 1)*m+i 其 相 互 转 换 关 系 也 可 利 用 sub2ind 和 ind2sub 函 数 求 得
6 2. 矩 阵 分 解 (1) 利 用 冒 号 表 达 式 获 得 子 矩 阵 1 A(:,j) 表 示 取 A 矩 阵 的 第 j 列 全 部 元 素 ;A( A(i,:) 表 示 A 矩 阵 第 i 行 的 全 部 元 素 ;A( A(i,j) 表 示 取 A 矩 阵 第 i 行 第 j 列 的 元 素 2 A(i:i+m,:) 表 示 取 A 矩 阵 第 i~i+mi+m 行 的 全 部 元 素 ; A(:,k:k+m) 表 示 取 A 矩 阵 第 k~k+mk+m 列 的 全 部 元 素, A(i:i+m,k:k+m) 表 示 取 A 矩 阵 第 i~i+mi+m 行 内, 并 在 第 k~k+mk+m 列 中 的 所 有 元 素 此 外, 还 可 利 用 一 般 向 量 和 end 运 算 符 来 表 示 矩 阵 下 标, 从 而 获 得 子 矩 阵 end 表 示 某 一 维 的 末 尾 元 素 下 标 (2) 利 用 空 矩 阵 删 除 矩 阵 的 元 素 在 MATLAB 中, 定 义 [] 为 空 矩 阵 给 变 量 X 赋 空 矩 阵 的 语 句 为 X=[] 注 意,X=[] 与 clear X 不 同,clear 是 将 X 从 工 作 空 间 中 删 除, 而 空 矩 阵 则 存 在 于 工 作 空 间 中, 只 是 维 数 为 0
7 特 殊 矩 阵 1.. 通 用 的 特 殊 矩 阵 常 用 的 产 生 通 用 特 殊 矩 阵 的 函 数 有 : zeros: : 产 生 全 0 矩 阵 ( 零 矩 阵 ) ones: : 产 生 全 1 矩 阵 ( 幺 矩 阵 ) eye: : 产 生 单 位 矩 阵 rand: : 产 生 0~1 间 均 匀 分 布 的 随 机 矩 阵 randn: 产 生 均 值 为 0, 方 差 为, 方 差 为 1 的 标 准 正 态 分 布 随 机 矩 阵 例 建 立 随 机 矩 阵 : (1) 在 区 间 [20,50] 内 均 匀 分 布 的 5 阶 随 机 矩 阵 (2) 均 值 为 0.6 方 差 为 0.1 的 5 阶 正 态 分 布 随 机 矩 阵 命 令 如 下 : x=20+(50-20)*rand(5) 20)*rand(5) y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 此 外, 常 用 的 函 数 还 有 reshape(a,m,n),, 它 在 矩 阵 总 元 素 保 持 不 变 的 前 提 下, 将 矩 阵 A 重 新 排 成 m n 的 二 维 矩 阵
8 例 分 别 建 立 和 与 矩 阵 A 同 样 大 小 的 零 矩 阵 (1) 建 立 一 个 3 3 零 矩 阵 zeros(3) (2) 建 立 一 个 3 2 零 矩 阵 zeros(3,2) (3) 设 A 为 2 3 矩 阵, 则 可 以 用 zeros(size(a)) 建 立 一 个 与 矩 阵 A 同 样 大 小 零 矩 阵 A=[1 2 3;4 5 6]; % 产 生 一 个 2 3 阶 矩 阵 A zeros(size(a)) % 产 生 一 个 与 矩 阵 A 同 样 大 小 的 零 矩 阵
![用 zeros(size(a)) 建 立 一 个 与 矩 阵 A 同 样 大 小 零 矩 阵 A=[1 2 3;4 5 6]; %](/docs-images/42/22957568/images/page_8.jpg "产 生 一 个 2 3 阶 矩 阵 A zeros(size(a)) % 产 生 一 个 与 矩 阵 A 同 样 大 小 的 零 矩")
9 2.. 用 于 专 门 学 科 的 特 殊 矩 阵 (1) 魔 方 矩 阵 魔 方 矩 阵 有 一 个 有 趣 的 性 质, 其 每 行 每 列 及 两 条 对 角 线 上 的 元 素 和 都 相 等 对 于 n 阶 魔 方 阵, 其 元 素 由 1,2,3,,n2 共 n2 个 整 数 组 成 MATLAB 提 供 了 求 魔 方 矩 阵 的 函 数 magic(n),, 其 功 能 是 生 成 一 个 n 阶 魔 方 阵 例 将 101~109 等 9 个 数 填 入 一 个 3 行 3 列 的 表 格 中, 使 其 每 行 每 列 及 对 角 线 的 和 均 为 315 M=100+magic(3) M =
10 (2) 范 得 蒙 矩 阵 范 得 蒙 (Vandermonde) 矩 阵 最 后 一 列 全 为 1,, 倒 数 第 二 列 为 一 个 指 定 的 向 量, 其 他 各 列 是 其 后 列 与 倒 数 第 二 列 的 点 乘 积 可 以 用 一 个 指 定 向 量 生 成 一 个 范 得 蒙 矩 阵 在 MATLAB 中, 函 数 vander(v) 生 成 以 向 量 V 为 基 础 向 量 的 范 得 蒙 矩 阵 例 如, A=vander([1;2;3;5]) 即 可 得 到 上 述 范 得 蒙 矩 阵 (3) 希 尔 伯 特 矩 阵 MATLAB 中, 生 成 希 尔 伯 特 矩 阵 的 函 数 是 hilb(n) (n) 使 用 一 般 方 法 求 逆 会 因 为 原 始 数 据 的 微 小 扰 动 而 产 生 不 可 靠 的 计 算 结 果 MATLAB 中, 有 一 个 专 门 求 希 尔 伯 特 矩 阵 的 逆 的 函 数 invhilb(n) (n),, 其 功 能 是 求 n 阶 的 希 尔 伯 特 矩 阵 的 逆 矩 阵
11 例 求 4 阶 希 尔 伯 特 矩 阵 及 其 逆 矩 阵 命 令 如 下 : format rat % 以 有 理 形 式 输 出 H=hilb(3) invh=invhilb(3) H = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 invh =
12 (4) 托 普 利 兹 矩 阵 托 普 利 兹 (Toeplitz) 矩 阵 除 第 一 行 第 一 列 外, 其 他 每 个 元 素 都 与 左 上 角 的 元 素 相 同 生 成 托 普 利 兹 矩 阵 的 函 数 是 toeplitz(x,y),, 它 生 成 一 个 以 x 为 第 一 列,y 为 第 一 行 的 托 普 利 兹 矩 阵 这 里 x, y 均 为 向 量, 两 者 不 必 等 长 toeplitz(x) 用 向 量 x 生 成 一 个 对 称 的 托 普 利 兹 矩 阵 例 如 T=toeplitz(1:3) T =
13 (5) 伴 随 矩 阵 MATLAB 生 成 伴 随 矩 阵 的 函 数 是 compan(p) (p),, 其 中 p 是 一 个 多 项 式 的 系 数 向 量, 高 次 幂 系 数 排 在 前, 低 次 幂 排 在 后 例 如, 为 了 求 多 项 式 x3-7x+6 的 伴 随 矩 阵, 可 使 用 命 令 : p=[1,0,-7,6]; % poly2sym(p) compan(p) (6) 帕 斯 卡 矩 阵 我 们 知 道, 二 次 项 (x+y)n 展 开 后 的 系 数 随 n 的 增 大 组 成 一 个 三 角 形 表, 称 为 杨 辉 三 角 形 由 杨 辉 三 角 形 表 组 成 的 矩 阵 称 为 帕 斯 卡 (Pascal) 矩 阵 函 数 pascal(n) 生 成 一 个 n 阶 帕 斯 卡 矩 阵 例 求 (x+y) 5 的 展 开 式 命 令 : pascal(6) 矩 阵 次 对 角 线 上 的 元 素 1,5,10,10,5,1 即 为 展 开 式 的 系 数
14 MATLAB 运 算 1. 基 本 算 术 运 算 MATLAB 的 基 本 算 术 运 算 有 :+( 加 ) -( 减 ) *( 乘 ) /( 右 除 ) \( 左 除 ) ^( 乘 方 ) 注 意, 运 算 是 在 矩 阵 意 义 下 进 行 的, 单 个 数 据 的 算 术 运 算 只 是 一 种 特 例 (1) 矩 阵 加 减 运 算 假 定 有 两 个 矩 阵 A 和 B, 则 可 以 由 A+B 和 A-B 实 现 矩 阵 的 加 减 运 算 运 算 规 则 是 : 若 A 和 B 矩 阵 的 维 数 相 同, 则 可 以 执 行 矩 阵 的 加 减 运 算,A 和 B 矩 阵 的 相 应 元 素 相 加 减 如 果 A 与 B 的 维 数 不 相 同, 则 MATLAB 将 给 出 错 误 信 息, 提 示 用 户 两 个 矩 阵 的 维 数 不 匹 配 允 许 参 与 运 算 的 两 矩 阵 之 一 是 标 量 标 量 与 矩 阵 的 所 有 元 素 分 别 进 行 加 减 操 作
15 (2) 矩 阵 乘 法 假 定 有 两 个 矩 阵 A 和 B, 若 A 为 m n 矩 阵,B 为 n p 矩 阵, 则 C=A*B 为 m p 矩 阵 (3) 矩 阵 除 法 在 MATLAB 中, 有 两 种 矩 阵 除 法 运 算 :\ 和 /, 分 别 表 示 左 除 和 右 除 如 果 A 矩 阵 是 非 奇 异 方 阵, 则 A\B 和 B/A 运 算 可 以 实 现 A\B 等 效 于 A 的 逆 左 乘 B 矩 阵, 也 就 是 inv(a)*b, 而 B/A 等 效 于 A 矩 阵 的 逆 右 乘 B 矩 阵, 也 就 是 B*inv(A) 对 于 含 有 标 量 的 运 算, 两 种 除 法 运 算 的 结 果 相 同, 如 3/4 和 4\3 有 相 同 的 值, 都 等 于 0.75 又 如, 设 a=[10.5,25], 则 a/5=5\a=[ ] 对 于 矩 阵 来 说, 左 除 和 右 除 表 示 两 种 不 同 的 除 数 矩 阵 和 被 除 数 矩 阵 的 关 系 对 于 矩 阵 运 算, 一 般 A\B B/A
16 例 :A 矩 阵 的 列 数 必 须 等 于 B 矩 阵 的 行 数 ; 标 量 可 与 任 何 矩 阵 相 乘 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c = d=[-1;0;2]; f=pi*d f =
![8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23](/docs-images/42/22957568/images/page_16.jpg "d=[-1;0;2]; f=pi*d f = -3.1416 0 6.")
17 (4) 矩 阵 的 乘 方 一 个 矩 阵 的 乘 方 运 算 可 以 表 示 成 A^x, 要 求 A 为 方 阵,x 为 标 量 a ^ p a 自 乘 p 次 幂 方 阵 >1 的 整 数 矩 阵 乘 方 拓 广 a^n,a^p,p^a 对 于 p 的 其 它 值, 计 算 将 涉 及 特 征 值 和 特 征 向 量, 如 果 p 是 矩 阵,a 是 标 量 a^p 使 用 特 征 值 和 特 征 向 量 自 乘 到 p 次 幂 ; 如 a,p 都 是 矩 阵,a^p 则 无 意 义
18 a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; a^2= 当 一 个 方 阵 有 复 数 特 征 值 或 负 实 特 征 值 时, 非 整 数 幂 是 复 数 阵 a^0.5 ans= i i i i i i i i i
19 2. 点 运 算 在 MATLAB 中, 有 一 种 特 殊 的 运 算, 因 为 其 运 算 符 是 在 有 关 算 术 运 算 符 前 面 加 点, 所 以 叫 点 运 算 点 运 算 符 有.*./.\ 和.^ 两 矩 阵 进 行 点 运 算 是 指 它 们 的 对 应 元 素 进 行 相 关 运 算, 要 求 两 矩 阵 的 维 参 数 相 同 3. 关 系 运 算 MATLAB 提 供 了 6 种 关 系 运 算 符 :<( 小 于 ) <=( 小 于 或 等 于 ) >( 大 于 ) >=( 大 于 或 等 于 ) ==( 等 于 ) ~=( 不 等 于 ) 它 们 的 含 义 不 难 理 解, 但 要 注 意 其 书 写 方 法 与 数 学 中 的 不 等 式 符 号 不 尽 相 同 19
20 关 系 运 算 关 系 符 号 < <= > >= == ~= 意 义 小 于 小 于 或 等 于 大 于 大 于 或 等 于 等 于 不 等 于
21 关 系 运 算 符 的 运 算 法 则 为 : (1) 当 两 个 比 较 量 是 标 量 时, 直 接 比 较 两 数 的 大 小 若 关 系 成 立, 关 系 表 达 式 结 果 为 1, 否 则 为 0 (2) 当 参 与 比 较 的 量 是 两 个 维 数 相 同 的 矩 阵 时, 比 较 是 对 两 矩 阵 相 同 位 置 的 元 素 按 标 量 关 系 运 算 规 则 逐 个 进 行, 并 给 出 元 素 比 较 结 果 最 终 的 关 系 运 算 的 结 果 是 一 个 维 数 与 原 矩 阵 相 同 的 矩 阵, 它 的 元 素 由 0 或 1 组 成 (3) 当 参 与 比 较 的 一 个 是 标 量, 而 另 一 个 是 矩 阵 时, 则 把 标 量 与 矩 阵 的 每 一 个 元 素 按 标 量 关 系 运 算 规 则 逐 个 比 较, 并 给 出 元 素 比 较 结 果 最 终 的 关 系 运 算 的 结 果 是 一 个 维 数 与 原 矩 阵 相 同 的 矩 阵, 它 的 元 素 由 0 或 1 组 成
22 逻 辑 运 算 MATLAB 提 供 了 3 种 逻 辑 运 算 符 :&( 与 ) ( 或 ) 和 ~( 非 ) 逻 辑 运 算 的 运 算 法 则 为 : (1) 在 逻 辑 运 算 中, 确 认 非 零 元 素 为 真, 用 1 表 示, 零 元 素 为 假, 用 0 表 示 (2) 设 参 与 逻 辑 运 算 的 是 两 个 标 量 a 和 b, 那 么, a&b a,b 全 为 非 零 时, 运 算 结 果 为 1, 否 则 为 0 a b a,b 中 只 要 有 一 个 非 零, 运 算 结 果 为 1 ~a 当 a 是 零 时, 运 算 结 果 为 1; 当 a 非 零 时, 运 算 结 果 为 0 (3) 若 参 与 逻 辑 运 算 的 是 两 个 同 维 矩 阵, 那 么 运 算 将 对 矩 阵 相 同 位 置 上 的 元 素 按 标 量 规 则 逐 个 进 行 最 终 运 算 结 果 是 一 个 与 原 矩 阵 同 维 的 矩 阵, 其 元 素 由 1 或 0 组 成 (4) 若 参 与 逻 辑 运 算 的 一 个 是 标 量, 一 个 是 矩 阵, 那 么 运 算 将 在 标 量 与 矩 阵 中 的 每 个 元 素 之 间 按 标 量 规 则 逐 个 进 行 最 终 运 算 结 果 是 一 个 与 矩 阵 同 维 的 矩 阵, 其 元 素 由 1 或 0 组 成
23 (5) 逻 辑 非 是 单 目 运 算 符, 也 服 从 矩 阵 运 算 规 则 (6) 在 算 术 关 系 逻 辑 运 算 中, 算 术 运 算 优 先 级 最 高, 逻 辑 运 算 优 先 级 最 低 例 2-9 建 立 矩 阵 A,, 然 后 找 出 大 于 4 的 元 素 的 位 置 (1) 建 立 矩 阵 A A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0] (2) 找 出 大 于 4 的 元 素 的 位 置 find(a>4) ans= 2 6 9
24 A = 例 产 生 3 阶 随 机 方 阵 A,, 其 元 素 为 [10,90] 区 间 的 随 机 整 数, 然 后 判 断 A 的 元 素 是 否 能 被 3 整 除 (1) 生 成 5 阶 随 机 方 阵 A A=fix(( )*rand(3)+10) %FIX(X) rounds the elements of X to the nearest integers to wards zero (2) 判 断 A 的 元 素 是 否 可 以 被 3 整 除 P=rem(A,3)==0 其 中,rem(A,3) 是 矩 阵 A 的 每 个 元 素 除 以 3 的 余 数 矩 阵 此 时,0 被 扩 展 为 与 A 同 维 数 的 零 矩 阵,P 是 进 行 等 于 (==) 比 较 的 结 果 矩 阵
25 4. 矩 阵 的 其 它 运 算 inv 矩 阵 求 逆 det 行 列 式 的 值 eig 矩 阵 的 特 征 值 diag 对 角 矩 阵 矩 阵 转 置 sqrt 矩 阵 开 方
26 5. 矩 阵 的 一 些 特 殊 操 作 矩 阵 的 变 维 a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩 阵 的 变 向 rot90: 旋 转 ; fliplr: 上 翻 ; flipud: 下 翻 矩 阵 的 抽 取 diag: 抽 取 主 对 角 线 ;tril: 抽 取 主 下 三 角 ; triu: 抽 取 主 上 三 角 矩 阵 的 扩 展
27 矩 阵 分 析 1. 对 角 阵 只 有 对 角 线 上 有 非 0 元 素 的 矩 阵 称 为 对 角 矩 阵, 对 角 线 上 的 元 素 相 等 的 对 角 矩 阵 称 为 数 量 矩 阵, 对 角 线 上 的 元 素 都 为 1 的 对 角 矩 阵 称 为 单 位 矩 阵 (1) 提 取 矩 阵 的 对 角 线 元 素 设 A 为 m n 矩 阵,diag(A) 函 数 用 于 提 取 矩 阵 A 主 对 角 线 元 素, 产 生 一 个 具 有 min(m,n) 个 元 素 的 列 向 量 diag(a) 函 数 还 有 一 种 形 式 diag(a,k), 其 功 能 是 提 取 第 k 条 对 角 线 的 元 素 (2) 构 造 对 角 矩 阵 设 V 为 具 有 m 个 元 素 的 向 量,diag(V) 将 产 生 一 个 m m 对 角 矩 阵, 其 主 对 角 线 元 素 即 为 向 量 V 的 元 素 diag(v) 函 数 也 有 另 一 种 形 式 diag(v,k), 其 功 能 是 产 生 一 个 n n(n=m+k) 对 角 阵, 其 第 k 条 对 角 线 的 元 素 即 为 向 量 V 的 元 素
28 例 先 建 立 5 5 矩 阵 A, 然 后 将 A 的 第 一 行 元 素 乘 以 1, 第 二 行 乘 以 2,, 第 五 行 乘 以 5 A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21, 3;... 11,18,25,2,19]; D=diag(1:5); D*A % 用 D 左 乘 A, 对 A 的 每 行 乘 以 一 个 指 定 常 数 D*A ans =
29 2. 三 角 阵 三 角 阵 又 进 一 步 分 为 上 三 角 阵 和 下 三 角 阵, 所 谓 上 三 角 阵, 即 矩 阵 的 对 角 线 以 下 的 元 素 全 为 0 的 一 种 矩 阵, 而 下 三 角 阵 则 是 对 角 线 以 上 的 元 素 全 为 0 的 一 种 矩 阵 (1) 上 三 角 矩 阵 求 矩 阵 A 的 上 三 角 阵 的 MATLAB 函 数 是 triu(a) triu(a) 函 数 也 有 另 一 种 形 式 triu(a,k), 其 功 能 是 求 矩 阵 A 的 第 k 条 对 角 线 以 上 的 元 素 例 如, 提 取 矩 阵 A 的 第 2 条 对 角 线 以 上 的 元 素, 形 成 新 的 矩 阵 B (2) 下 三 角 矩 阵 在 MATLAB 中, 提 取 矩 阵 A 的 下 三 角 矩 阵 的 函 数 是 tril(a) 和 tril(a,k), 其 用 法 与 提 取 上 三 角 矩 阵 的 函 数 triu(a) 和 triu(a,k) 完 全 相 同
30 矩 阵 的 转 置 与 旋 转 1. 矩 阵 的 转 置 转 置 运 算 符 是 单 撇 号 ( ) 2. 矩 阵 的 旋 转 利 用 函 数 rot90(a,k) 将 矩 阵 A 旋 转 90º 的 k 倍, 当 k 为 1 时 可 省 略 3. 矩 阵 的 左 右 翻 转 对 矩 阵 实 施 左 右 翻 转 是 将 原 矩 阵 的 第 一 列 和 最 后 一 列 调 换, 第 二 列 和 倒 数 第 二 列 调 换,, 依 次 类 推 MATLAB 对 矩 阵 A 实 施 左 右 翻 转 的 函 数 是 fliplr(a) 4. 矩 阵 的 上 下 翻 转 MATLAB 对 矩 阵 A 实 施 上 下 翻 转 的 函 数 是 flipud(a)
31 矩 阵 的 逆 与 伪 逆 1. 矩 阵 的 逆 对 于 一 个 方 阵 A, 如 果 存 在 一 个 与 其 同 阶 的 方 阵 B, 使 得 : A B=B A=I (I 为 单 位 矩 阵 ) 则 称 B 为 A 的 逆 矩 阵, 当 然,A 也 是 B 的 逆 矩 阵 求 一 个 矩 阵 的 逆 是 一 件 非 常 烦 琐 的 工 作, 容 易 出 错, 但 在 MATLAB 中, 求 一 个 矩 阵 的 逆 非 常 容 易 求 方 阵 A 的 逆 矩 阵 可 调 用 函 数 inv(a) 例 2-11 用 求 逆 矩 阵 的 方 法 解 线 性 方 程 组 Ax=b 其 解 为 :x=a -1 b A = b =
32 2. 矩 阵 的 伪 逆 如 果 矩 阵 A 不 是 一 个 方 阵, 或 者 A 是 一 个 非 满 秩 的 方 阵 时, 矩 阵 A 没 有 逆 矩 阵, 但 可 以 找 到 一 个 与 A 的 转 置 矩 阵 A 同 型 的 矩 阵 B, 使 得 : A B A=A B A B=B 此 时 称 矩 阵 B 为 矩 阵 A 的 伪 逆, 也 称 为 广 义 逆 矩 阵 在 MATLAB 中, 求 一 个 矩 阵 伪 逆 的 函 数 是 pinv(a) 方 阵 的 行 列 式 把 一 个 方 阵 看 作 一 个 行 列 式, 并 对 其 按 行 列 式 的 规 则 求 值, 这 个 值 就 称 为 矩 阵 所 对 应 的 行 列 式 的 值 在 MATLAB 中, 求 方 阵 A 所 对 应 的 行 列 式 的 值 的 函 数 是 det(a)
33 矩 阵 的 秩 与 迹 1. 矩 阵 的 秩 矩 阵 线 性 无 关 的 行 数 与 列 数 称 为 矩 阵 的 秩 在 MATLAB 中, 求 矩 阵 秩 的 函 数 是 rank(a) 2. 矩 阵 的 迹 矩 阵 的 迹 等 于 矩 阵 的 对 角 线 元 素 之 和, 也 等 于 矩 阵 的 特 征 值 之 和 在 MATLAB 中, 求 矩 阵 的 迹 的 函 数 是 trace(a) 向 量 和 矩 阵 的 范 数 矩 阵 或 向 量 的 范 数 用 来 度 量 矩 阵 或 向 量 在 某 种 意 义 下 的 长 度 范 数 有 多 种 方 法 定 义, 其 定 义 不 同, 范 数 值 也 就 不 同
34 1. 向 量 的 3 种 常 用 范 数 及 其 计 算 函 数 在 MATLAB 中, 求 向 量 范 数 的 函 数 为 : (1) norm(v) 或 norm(v,2): 计 算 向 量 V 的 2 范 数 (2) norm(v,1): 计 算 向 量 V 的 1 范 数 (3) norm(v,inf): 计 算 向 量 V 的 范 数 2. 矩 阵 的 范 数 及 其 计 算 函 数 MATLAB 提 供 了 求 3 种 矩 阵 范 数 的 函 数, 其 函 数 调 用 格 式 与 求 向 量 的 范 数 的 函 数 完 全 相 同 矩 阵 的 条 件 数 在 MATLAB 中, 计 算 矩 阵 A 的 3 种 条 件 数 的 函 数 是 : (1) cond(a,1) 计 算 A 的 1 范 数 下 的 条 件 数 (2) cond(a) 或 cond(a,2) 计 算 A 的 2 范 数 数 下 的 条 件 数 (3) cond(a,inf) 计 算 A 的 范 数 下 的 条 件 数
35 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 在 MATLAB 中, 计 算 矩 阵 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 函 数 是 eig(a), 常 用 的 调 用 格 式 有 3 种 : (1) E=eig(A): 求 矩 阵 A 的 全 部 特 征 值, 构 成 向 量 E (2) [V,D]=eig(A): 求 矩 阵 A 的 全 部 特 征 值, 构 成 对 角 阵 D, 并 求 A 的 特 征 向 量 构 成 V 的 列 向 量 (3) [V,D]=eig(A, nobalance ): 与 第 2 种 格 式 类 似, 但 第 2 种 格 式 中 先 对 A 作 相 似 变 换 后 求 矩 阵 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量, 而 格 式 3 直 接 求 矩 阵 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量
36 例 2-12 用 求 特 征 值 的 方 法 解 方 程 3x 5-7x 4 +5x 2 +2x-18=0 p=[3,-7,0,5,2,-18]; A=compan(p); %A 的 伴 随 矩 阵 x1=eig(a) % 求 A 的 特 征 值 x2=roots(p) % 直 接 求 多 项 式 p 的 零 点 A = X1 = i i i i X2 = i i i i
37 矩 阵 的 超 越 函 数 1. 矩 阵 平 方 根 sqrtm sqrtm(a) 计 算 矩 阵 A 的 平 方 根 2. 矩 阵 对 数 logm logm(a) 计 算 矩 阵 A 的 自 然 对 数 此 函 数 输 入 参 数 的 条 件 与 输 出 结 果 间 的 关 系 和 函 数 sqrtm(a) 完 全 一 样 3. 矩 阵 指 数 expm expm1 expm2 expm3 expm(a) expm1(a) expm2(a) expm3(a) 的 功 能 都 求 矩 阵 指 数 ea 4. 普 通 矩 阵 函 数 funm funm(a, fun ) 用 来 计 算 直 接 作 用 于 矩 阵 A 的 由 fun 指 定 的 超 越 函 数 值 当 fun 取 sqrt 时, funm(a, sqrt ) 可 以 计 算 矩 阵 A 的 平 方 根, 与 sqrtm(a) 的 计 算 结 果 一 样
38 字 符 串 在 MATLAB 中, 字 符 串 是 用 单 撇 号 括 起 来 的 字 符 序 列 MATLAB 将 字 符 串 当 作 一 个 行 向 量, 每 个 元 素 对 应 一 个 字 符, 其 标 识 方 法 和 数 值 向 量 相 同 也 可 以 建 立 多 行 字 符 串 矩 阵 字 符 串 是 以 ASCII 码 形 式 存 储 的 abs 和 double 函 数 都 可 以 用 来 获 取 字 符 串 矩 阵 所 对 应 的 ASCII 码 数 值 矩 阵 相 反,char 函 数 可 以 把 ASCII 码 矩 阵 转 换 为 字 符 串 矩 阵
39 例 2-13 建 立 一 个 字 符 串 向 量, 然 后 对 该 向 量 做 如 下 处 理 : (1) 取 第 1~5 个 字 符 组 成 的 子 字 符 串 (2) 将 字 符 串 倒 过 来 重 新 排 列 (3) 将 字 符 串 中 的 小 写 字 母 变 成 相 应 的 大 写 字 母, 其 余 字 符 不 变 (4) 统 计 字 符 串 中 小 写 字 母 的 个 数
40 命 令 如 下 : ch= ABc123d4e56Fg9 ; subch=ch(1:5) % 取 子 字 符 串 revch=ch(end:-1:1) % 将 字 符 串 倒 排 k=find(ch>= a &ch<= z ); % 找 小 写 字 母 的 位 置 ch(k)=ch(k)-( a - A ); % 将 小 写 字 母 变 成 相 应 的 大 写 字 母 char(ch) length(k) % 统 计 小 写 字 母 的 个 数 与 字 符 串 有 关 的 另 一 个 重 要 函 数 是 eval, 其 调 用 格 式 为 : eval(t) 其 中 t 为 字 符 串 它 的 作 用 是 把 字 符 串 的 内 容 作 为 对 应 的 MATLAB 语 句 来 执 行
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工 程 设 计 与 施 工 资 质 标 准 一 总 则 建 筑 智 能 化 工 程 设 计 与 施 工 资 质 标 准 ( 一 ) 为 了 加 强 对 从 事 建 筑 智 能 化 工 程 设 计 与 施 工 企 业 的 管 理, 维 护 建 筑 市 场 秩 序, 保 证 工 程 质 量 和 安 全, 促 进 行 业 健 康 发 展, 结 合 建 筑 智 能 化 工 程 的 特 点, 制 定 本 标
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第 三 章 PHP5 面 向 对 象 高 级 类 特 性 这 一 周 来 正 好 白 天 没 课, 赶 出 来 这 章 宝 宝 出 生 将 近 一 个 月, 快 10 斤 重 了 宝 宝 快 张 大, 你 想 编 程 么? 宝 宝 妈 说, 做 这 个 行 业 太 累 了 刀 客 羽 朋 于 石 家 庄 2006-11-23 1 目 录 3.1 static 变 量 方 法...3 3.1.1 静
4.3.3 while 语 句 用 于 无 限 循 环 当 while 语 句 的 表 达 式 永 远 不 会 为 布 尔 假 时, 循 环 将 永 远 不 会 结 束, 形 成 无 限 循 环, 也 称 死 循 环 使 用 while 语 句 构 成 无 限 循 环 的 格 式 通 常
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ITU-R BT.1789 建 议 书 1 ITU-R BT.1789 建 议 书 在 分 组 视 频 传 输 中 利 用 传 输 误 码 信 息 重 建 接 收 视 频 的 方 法 (ITU-R 44/6 和 ITU-R 109/6 课 题 ) (2007 年 ) 范 围 本 建 议 书 对 业 务 提 供 商 重 建 接 收 视 频 的 方 法 做 了 详 细 介 绍, 以 便 利 用 传 输
教师上报成绩流程图
教 务 管 理 系 统 使 用 说 明 学 生 端 用 户 1 在 校 内 任 何 一 台 连 接 校 园 网 的 计 算 机 上 登 录 教 务 处 主 页 教 务 处 主 页 地 址 : http://jw.stdu.edu.cn/homepage 随 后 点 击 按 钮 ( 见 下 图 所 示 ), 即 可 进 入 综 合 教 务 管 理 系 统 2 在 综 合 教 务 管 理 区 域 内 键
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52 5 天 通 过 职 称 计 算 机 考 试 ( 考 点 视 频 串 讲 + 全 真 模 拟 ) Word 2003 中 文 字 处 理 ( 第 2 版 ) 第 3 章 3 字 符 格 式 需 要 掌 握 的 考 点 字 体 字 形 和 字 号 的 设 置 ; 上 标 下 标 空 心 字 等 字 体 效 果 的 使 用 ; 字 符 间 距 的 调 整 ; 改 变 字 符 颜 色 底 纹 添 加
第二部分 阅读理解(Part II Reabing Comprehension)
吉 林 省 成 人 本 科 学 士 学 位 日 语 统 一 考 试 大 纲 总 则 为 适 应 成 人 高 等 教 育 本 科 毕 业 生 申 请 学 士 学 位 外 语 统 一 考 试 的 要, 根 据 国 务 院 学 位 委 员 会 关 于 授 予 成 人 高 等 教 育 本 科 毕 业 生 学 士 学 位 暂 行 规 定 和 国 务 院 学 位 委 员 会 原 国 家 教 育 委 员 会 关
一 从 分 封 制 到 郡 县 制 一 从 打 虎 亭 汉 墓 说 起
县 乡 两 级 的 政 治 体 制 改 革 如 何 建 立 民 主 的 合 作 新 体 制 县 乡 人 大 运 行 机 制 研 究 课 题 组 引 言 一 从 分 封 制 到 郡 县 制 一 从 打 虎 亭 汉 墓 说 起 二 密 县 在 周 初 是 两 个 小 国 密 国 和 郐 国 三 密 县 的 第 一 任 县 令 卓 茂 四 明 清 时 代 的 密 县 二 从 集 中 的 动 员 体
一、资质申请
二 工 程 监 理 企 业 资 质 有 关 问 答 111 什 么 样 的 企 业 可 以 在 本 省 申 请 工 程 监 理 企 业 资 质? 答 : 在 鄂 取 得 法 人 营 业 执 照 或 合 伙 企 业 营 业 执 照 的 企 业, 都 可 依 法 向 工 商 注 册 所 在 省 或 市 建 设 行 政 主 管 部 门 行 政 审 批 部 门 申 请 工 程 监 理 企 业 资 质 取 得
立 场 反 思 教 育 学 与 哲 学 和 科 学 的 对 话 杨 小 微 从 某 种 意 义 上 说 教 育 学 是 在 与 哲 学 等 相 关 学 科 的 对 话 中 成 长 起 来 的 它 先 后 经 历 了 亲 哲 学 和 亲 科 学 阶 段 而 今 正 在 走 向 事 理 知 识 时 期 对 话 使 教 育 学 从 马 克 思 主 义 哲 学 自 然 科 学 及 系 统 方 法 论 人 本
际 联 考 的 非 美 术 类 本 科, 提 前 批 本 科 体 育 类 第 一 批 第 二 批 第 三 批 的 理 工 类 和 文 史 类 本 科 平 行 志 愿, 考 生 可 以 填 报 6 所 院 校 志 愿 符 合 贫 困 地 区 专 项 计 划 和 农 村 考 生 专 项 计 划 报 考
第 四 部 分 平 行 志 愿 57. 什 么 是 平 行 志 愿?/ 32 58. 我 省 在 哪 个 批 次 实 行 平 行 志 愿? 考 生 最 多 可 以 填 报 几 所 院 校 志 愿?/ 32 59. 第 一 二 三 批 本 科 平 行 志 愿 如 何 投 档?/ 32 60. 艺 术 本 科 ( 二 ) 艺 术 本 科 ( 三 ) 和 体 育 本 科 的 平 行 志 愿 如 何 投 档?/
证券代码：000066 证券简称：长城电脑 公告编号：2014-000
证 券 代 码 :000066 证 券 简 称 : 长 城 电 脑 公 告 编 号 :2016-092 中 国 长 城 计 算 机 深 圳 股 份 有 限 公 司 2016 年 度 第 三 次 临 时 股 东 大 会 决 议 公 告 本 公 司 及 其 董 事 会 全 体 成 员 保 证 信 息 披 露 内 容 的 真 实 准 确 完 整, 没 有 虚 假 记 载 误 导 性 陈 述 或 重 大 遗
在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析,
工 程 实 验 数 据 处 理 方 法 在 企 业 生 产 过 程 中 (E 水 泥 ), 往 往 需 要 测 量 计 算 许 多 数 据, 而 在 测 量 计 算 过 程 中, 我 们 要 遵 循 那 些 法 则 和 计 算 方 法, 这 就 是 学 习 本 章 的 目 的 重 点 学 习 实 验 数 据 误 差 估 算 及 分 析, 回 归 分 析 方 法 ( 线 性, 非 线 性 ) 误 差
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¹ 改 革 开 放 年 来 人 口 流 动 规 模 持 续 增 加 对 我 国 社 会 经 济 的 持 续 发 展 起 到 了 重 要 作 用 为 全 面 了 解 我 国 流 动 人 口 生 存 状 况 准 确 把 握 流 动 人 口 发 展 规 律 和 趋 势 不 断 加 强 流 动 人 口 服 务 管 理 引 导 人 口 有 序 流 动 合 理 分 布 国 家 人 口 计 生 委 于 年 月 启
( 二 ) 现 行 统 一 高 考 制 度 不 利 于 培 养 人 的 创 新 精 神,,,,,,,,,,,,, [ ],,,,,,,,,,, :, ;,,,,,,? ( 三 ) 现 行 统 一 高 考 制 度 不 利 于 全 体 学 生 都 获 得 全 面 发 展,, [ ],,,,,,,,,,,
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( ) ( )... 李 雪 岩, 龙 耀 (. 广 西 民 族 大 学 商 学 院, 广 西 南 宁 ;. 中 山 大 学 教 育 学 院, 广 东 广 州 ) : 高 等 教 育 是 专 业 教 育 高 考 是 为 高 等 教 育 服 务 的, 是 为 高 等 专 业 教 育 选 拔 有 专 业 培 养 潜 质 的 人 才 现 行 高 考 制 度 忽 略 专 业 潜 质 的 因 素, 过 份 强
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梁 运 文 霍 震 刘 凯 本 文 利 用 奥 尔 多 中 心 的 调 查 数 据 从 三 个 方 面 对 我 国 城 乡 居 民 财 产 分 布 状 况 进 行 了 详 细 的 实 证 分 析 首 先 刻 画 了 我 国 城 乡 居 民 财 产 分 布 的 总 体 统 计 特 征 然 后 从 财 产 构 成 出 发 对 我 国 城 乡 居 民 财 产 分 布 进 行 了 结 构 分 解 最 后 通
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定 位 和 描 述 : 程 序 设 计 / 办 公 软 件 高 级 应 用 级 考 核 内 容 包 括 计 算 机 语 言 与 基 础 程 序 设 计 能 力, 要 求 参 试 者 掌 握 一 门 计 算 机 语 言, 可 选 类 别 有 高 级 语 言 程 序 设 计 类 数 据 库 编 程 类
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一 六 年 级 下 册 教 科 书 总 体 说 明 ( 一 ) 教 学 内 容 本 册 教 科 书 一 共 安 排 了 5 个 教 学 单 元, 其 中 前 4 个 单 元 为 新 知 识, 第 五 单 元 是 对 整 个 小 学 阶 段 所 学 数 学 知 识 系 统 的 整 理 和 复 习
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第 期 李 伟 等 用 方 法 对 中 国 历 史 气 温 数 据 插 值 可 行 性 讨 论
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上 海 德 载 中 怡 律 师 事 务 所 关 于 昂 华 ( 上 海 ) 自 动 化 工 程 股 份 有 限 公 司 二 〇 一 二 年 年 度 股 东 大 会 法 律 意 见 书 上 海 德 载 中 怡 律 师 事 务 所 上 海 市 银 城 中 路 168 号 上 海 银 行 大 厦 1705 室 (200120) 电 话 :8621-5012 2258 传 真 :8621-5012 2257
一、课程的目的与任务
高 等 数 学 课 程 教 学 大 纲 课 程 名 称 : 高 等 数 学 课 程 编 码 :607010001(2) 英 文 名 称 : Higher Mathematics 学 时 : 144 学 分 :8 开 课 学 期 : 第 一 学 期 第 二 学 期 适 用 专 业 : 本 科 经 管 类 各 专 业 课 程 类 别 : 公 共 必 修 课 先 修 课 程 : 完 成 高 中 阶 段 的
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抗 日 战 争 研 究 % 年 第 期! # # % %
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关 于 修 订 沪 市 股 票 上 网 发 行 资 金 申 购 实 施 办 法 的 通 知 各 有 关 单 位 : 沪 市 股 票 上 网 发 行 资 金 申 购 实 施 办 法 ( 修 订 稿 ) ( 见 附 件 ) 已 经 中 国 证 券 监 督 管 理 委 员 会 批 准, 现 将 修 订 所 涉 主 要 内 容 公 布 如 下 一 第 二 条 ( 二 ) 申 购 单 位 及 上 限 修 改
张 荣 芳 中 山 大 学 历 史 系 广 东 广 州 张 荣 芳 男 广 东 廉 江 人 中 山 大 学 历 史 系 教 授 博 士 生 导 师 我 们 要 打 破 以 前 学 术 界 上 的 一 切 偶 像 以 前 学 术 界 的 一 切 成 见 屏 除 我 们 要 实 地 搜 罗 材 料 到 民 众 中 寻 方 言 到 古 文 化 的 遗 址 去 发 掘 到 各 种 的 人 间 社 会 去
第三章 作业
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2009—2010级本科课程教学大纲与课程简介格式
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