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颖羽查
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1 低密度同位檢查碼輔助等化器之效能評估楊政穎賴阿福葉正誠黃永發 De c e mbe r

2 低密度同位檢查碼輔助等化器之效能評估楊政穎, 賴阿福葉正誠, 黃永發 * 臺北市立教育大學資訊科學系 100 台北市中正區愛國西路 1 號朝陽科技大學資訊與通訊系 413 台中縣霧峰鄉吉峰東路 168 號 cyang@tmue.edu.tw yfahuang@mail.cyut.edu.tw 摘要在多重路徑 (multipath) 傳輸環境中, 資訊訊號容易受到干擾源影響而產生失真, 而產生錯誤, 為了提升資訊傳輸的可靠性, 可以應用等化器 (equalizer) 來降低傳輸的訊號失真, 且通道編碼機制 (channel coding) 來降低資訊的錯誤率本文針對使用低密度同位檢查碼 (Low Density Parity Check Code:LDPC code) 輔助等化器, 探討此等化器在瑞雷衰退 (Rayleigh fading) 通道, 以及萊斯衰退 (Rician fading) 通道環境下效能之評估由於低密度同位檢查碼效能逼近沈農極限 (Shannon limit), 可應用在較低的訊雜比 (signal to noise ratio:snr) 環境下, 同時等化器可以補償傳輸訊號失真由模擬結果可知, 以低密度同位檢查碼輔助之等化器, 不僅可以降低雜訊對傳輸訊號的干擾, 而且在多重路徑傳輸環境中也可以獲得效能改善此外, 利用低密度同位檢查碼產生所需的參考訊號, 來取代一般的訓練序列 (training sequence), 可以提高頻寬使用率關鍵詞 : 沈農極限通道編碼低密度同位檢查碼瑞雷衰退等化器 1. 前言在多重路徑通訊環境中, 傳送的訊號會受到障礙物地形或大氣等等的影響而導致傳送訊號失真, 在接收端加上等化器可以減少訊號錯誤 [1] 等化器藉由更新權重係數 (tap weight) 的方式, 將參考訊號 (desired signal) 和接收訊號之間的誤差降低到最小 [2,3] 依據使用的參考訊號類型來分類, 等化器可以分為訓練序列輔助等化器和盲目等化器 (blind equalizer) 兩種訓練序列輔助等化器必須定時地傳送一組訓練序列, 在固定週期內傳送一組傳送端與接收端都已知的訊號, 利用這個訊號來更新等化器權重係數 [4] 使用此類機制的缺點是需要額外的頻寬來傳送所需要的訓練序列, 而且無法追蹤具有時變特性的無線通道另一類利用傳輸訊號的統計資料作為參考訊號的盲目等化器 [3,5], 此類等化器需要知道接收訊號的統計特性結合通道編碼機制, 可將解碼訊號當成參考訊號, 如此機制, 不但可以不需額外增加傳送頻寬, 還可以追蹤時變特性的傳輸通道因此, 在時變的無線環境下可靠地傳輸訊號, 編碼輔助等化器已被廣泛研究 [2,6] 編碼輔助等化器隨著傳輸訊號更新所需的參考訊號, 而這個參考訊號是由通道編碼機制產生等化器在運作時, 最重要的是等化器權重 (ap weight) 更新演算法, 例如平方和誤差 (squared sum error) 演算法以及絕對和誤差 (absolute sum error) 演算法等等另外還有使用線性的最小均方誤差 (least mean square error) 演算法與遞迴式最小平方誤差 (recursive least square error) 演算法去估計通道脈衝響應, 這些等化器演算法在 [3,6-8] 都已經被廣泛地應用 * 為通訊作者

tw 摘要在多重路徑 (multipath) 傳輸環境中, 資訊訊號容易受到干擾源影響而產生失真, 而產生錯誤, 為了提升資訊傳輸的可靠性, 可以應用等化器 (equalizer) 來降低傳輸的訊號失真, 且通道編碼機制 (channel coding) 來降低資

3 此外, 無線通道中的雜訊使得傳輸訊號產生錯誤雖然可以藉由增強傳輸訊號功率去降低雜訊的干擾來降低錯誤率, 但是卻會提高成本在實際系統設計時, 通常會限定位元訊號能量對雜訊功率頻譜密度比值 ( 訊雜比 ) 因此, 在固定訊雜比的前提下, 使用錯誤控制碼可以降低錯誤率 [9] 錯誤控制碼具有偵測與更正錯誤的功能, 可以提供傳輸訊號抵抗雜訊的能力在 1993 年,Berrou Glavieux 和 hitimajshima 提出了一個通道編碼機制, 稱為渦輪碼 (turbo code), 並且經由實驗模擬證實其效能能夠逼近沈農極限 [10] 然而, 除了渦輪碼之外, 由 Gallager 提出的低密度同位檢查碼, 是另一個效能也能夠逼近沈農極限的錯誤控制碼 [11,12] 低密度同位檢查碼若經由適當的設計, 其效能更優於渦輪碼由於低密度同位檢查碼可以提供優異的抗雜訊效能, 本文提出低密度同位檢查碼輔助等化器的系統架構, 預期在無線傳輸環境中, 可以有效地降低錯誤率, 提高系統效能低密度同位檢查碼是線性區塊碼 (linear block code) 的一種線性區塊碼是利用生成矩陣 (generator matrix) 將來源訊息 (source message) 編碼, 再利用同位檢查矩陣 (parity check matrix) 解碼低密度同位檢查碼是藉由一個稀疏的 (sparse) 同位檢查矩陣來建構 [13] 因為同位檢查矩陣中的非零元素很少, 因此經由此矩陣所建構出的碼稱為低密度同位檢查碼在低密度同位檢查碼分類中, 若是以同位檢查矩陣中的行權重或列權重相同與否來區分, 可以分為規律式 (regular) 和非規律式 (irregular) 低密度同位檢查碼 [13] 若是依照不同架構的低密度同位檢查矩陣來區分的話, 可以分為隨機型 (random) 和結構型 (structured) 低密度同位檢查碼一般而言, 隨機型低密度同位檢查碼的效能優於結構型低密度同位檢查碼, 但是編碼複雜度比較高在無線通訊系統中, 傳輸訊號會受到雜訊的影響, 利用通道編碼機制可以降低訊號錯誤另外, 應用等化器可以降低訊號的失真為了提升通訊系統在無線傳輸環境下的效能, 本文提出結合通道編碼機制以及等化器機制來降低資訊傳遞的錯誤, 並評估其效能本文架構如下 : 系統描述介紹無線通訊系統的訊號傳輸環境, 包括衰減雜訊和多重路徑干擾等等, 並且利用相關數學模型來說明無線傳輸通道的統計特性接著在模擬結果的部分中, 設定系統架構參數並進行電腦模擬最後給予本研究一個結論 2. 系統描述在多重路徑通訊系統中, 訊號傳輸經過許多不同路徑後, 到達接收端由於多重路徑傳輸的影響, 接收訊號會產生延遲失真導致系統效能降低因此在系統中, 除了考慮白高斯雜訊 (additive white Gaussian noise:awgn) 之外, 還必須考慮衰退因數 (fading factor) 一般而言, 無線通道特性並不固定, 而且會隨著時間改變衰退因數可以用來描述傳輸訊號功率受到多重路徑影響而隨著時間改變的特性, 瑞雷 (Rayleigh), 以及萊斯 (Rician) 可以用來描述此一特性同時, 為了降低雜訊通道對訊號的干擾, 在傳送端加入通道編碼機制以提升系統效能 [9] 通道編碼機制是針對訊號經由雜訊通道傳輸後可能導致的失真而進行還原的程序由於接收訊號功率受到衰退因數的影響而改變, 因此導致接收訊號失真為了消除此訊號失真, 可以在接收端加入等化器以提升系統效能因此, 由上述考慮之處, 本文提出的無線通訊系統架構如圖 1 所示此一系統可分為通道編碼機制傳輸通道以及等化器三個部分, 以下將針對各個部分進行說明通道編碼機制是應用錯誤控制碼技術來降低通道雜訊對訊號的影響, 以提高傳輸訊息的可靠度常見的錯誤控制碼有線性區塊碼渦輪碼以及低密度同位檢查碼低密度

經由實驗模擬證實其效能能夠逼近沈農極限 [10] 然而, 除了渦輪碼之外, 由 Gallager 提出的低密度同位檢查碼, 是另一個效能也能夠逼近沈農極限的錯誤控制碼 [11,12] 低密度同位檢查碼若經由適當的設計, 其效能更優於渦輪碼由

4 同位檢查碼是利用同位檢查矩陣編碼和解碼, 而且同位檢查矩陣中的每一列必須都是線性獨立訊息位元訊號 u 在調變前先經過編碼器 H encoder 編碼 H encoder 是屬於隨機型非規律式低密度同位檢查矩陣, 其對應的架構可以表示為 ( l, γ, ρ) [13], 並且具有以下特性 : (1) 每一行的行權重 γ 都相同 ;(2) 每一列的列權重 ρ 不同,ρ 取列權重平均值 ;(3) γ 或 ρ 都極小於碼字長度 l 假設利用 v = c u 這是一個系統式 H 編碼後的碼字為 [ ] encoder (systematic) 的碼字格式, 其中 c 是檢查位元向量, u 是訊息位元向量 u H encoder s r y û H decoder g f w e ŝ 圖 1 系統架構 H encoder 由此可知, H v encoder = 0 首先將 H encoder 矩陣分為兩個子矩陣, 也就是 H encoder = [A B] 在本文中, 所有的矩陣運算均假設為模 2(modulo-2) 運算同時, H v encoder = 0 的運算如下為 c [A B] = A c + B u = 0 u A c = B u,c = A 1 B u v = 即可得到利用 H encoder 編碼的碼字例如 u = [ ], H encoder 為 H encoder= , 所以同位檢查矩陣 H 可以表示為 ( 10,3,6) 同時, 利用式 (1) 求出檢查位元向量 c, 可表利用式 (1) 可以算出檢查位元向量 c, 然後再將 c 代回 [ c u] encoder 示為 c = A B u = = 1, 於是得 c = [ ], 並進一步求得 v = [ ] 在產生碼字 v 之後, 利用二元相移鍵調變技術將 v 調制為傳輸訊號 s, 並且將傳輸訊號 s 輸入到傳輸通道中在傳輸通道中, 訊號經由多重路徑傳遞, 產生衰退現象, 一般而言, 可以利用衰退因數來描述瑞雷衰退或萊斯衰退是兩種常用來模擬的統計模型, 其差別在於萊斯衰退考慮可視距離 (line of sight : LOS) 訊號的存在, 瑞雷衰退則不考慮當萊斯衰退不考慮可視距離訊號存在時, 便等同於瑞雷衰退在系統架構中, f 是萊斯衰退因數, K 是萊斯 (1)

(systematic) 的碼字格式, 其中 c 是檢查位元向量, u 是訊息位元向量 u H encoder s r y û H decoder g f w e ŝ 圖 1 系統架構 H encoder 由此可知, H v encoder = 0 首先將 H encoder 矩陣分為兩個子矩陣, 也就是 H encoder

5 因數, 也就是主訊號功率對散射訊號功率的比值 ; 但是當 K 時, 代表主訊號功率趨近於無窮大或散射訊號功率趨近於 0, 因此可以將此傳輸通道視為白高斯雜訊通道除了衰退因數之外, 傳輸通道中還有常見的白高斯雜訊 w 因此, 傳輸訊號 s 經過通道後, 接收訊號 r = s f + w 當接收訊號 r 到達接收端後, 等化器會利用權重係數 g 將 r 還原成傳輸訊號 s 等化器所使用的等化演算法是最小均方演算法 (least mean square: LMS), 預期在較少 y 的疊代次數內可以還原出正確的傳輸訊號等化器每經過一次疊代運算, 其輸出訊號就會經過 H decoder 並且利用和積演算法解碼來得到訊息訊號預估值 û 再利用 H encoder 將訊息訊號預估值 û 編碼來產生參考訊號 ŝ 接著再將參考訊號 ŝ 與等化器輸出訊號 y 相減來得到誤差訊號 e, 提供等化演算法使用, 如下所示 e = sˆ y (2) 再將誤差訊號 e 輸入到等化器, 藉由最小均方演算法來更新等化器權重係數等化器經過數次更新後, 誤差訊號 e 的均方誤差值將會收斂到最小, 此時得到的 û 是最準確的預估值為了探討不同可視距離訊號功率對通訊系統的效能影響, 所以本文提出在萊斯衰退通道中應用通道編碼輔助等化器作為系統架構, 並且利用位元錯誤率來評估系統效能 3. 模擬結果根據上述系統結構, 首先, 在低密度同位檢查碼部分, 針對編碼長度編碼率和行列權重等參數進行模擬評估在等化器的部分, 主要是等化器長度以及步階長度的設定比較圖 2 是不同編碼長度的低密度同位檢查碼的位元錯誤率比較如圖 2 所示, 編碼長度 n = 256 與 n = 128 比較時, 提供大約 1dB 的編碼增益當編碼長度 n = 512 與 n = 256 比較時, 提供大約 0.8dB 的編碼增益另外, 當編碼長度等於 n = 1024 與 n = 512 比較時, 提供大約 0.6dB 的編碼增益由上述可知, 編碼長度愈長則效能愈好圖 2 LDPC 碼的編碼長度位元錯誤率

原出正確的傳輸訊號等化器每經過一次疊代運算, 其輸出訊號就會經過 H decoder 並且利用和積演算法解碼來得到訊息訊號預估值 û 再利用 H encoder 將訊息訊號預估值 û 編碼來產生參考訊號 ŝ 接著再將參考訊號 ŝ 與等化器輸出

6 圖 3 是低密度同位檢查碼在不同編碼率的位元錯誤率比較如圖 3 所示, 編碼率 3/4 與 4/5 比較時, 提供大約 1dB 的編碼增益編碼率 2/3 與 3/4 比較時, 提供大約 0.8dB 的編碼增益編碼率 1/2 與 2/3 比較時, 提供大約 2dB 的編碼增益由上述可知, 編碼率愈小則效能愈好然而, 編碼率愈小代表訊息在編碼時所需的檢查位元愈多, 所需的傳輸頻寬就愈大因此在設定編碼率時必須在效能與頻寬之間取得權衡圖 4 是根據同位檢查矩陣不同行列權重進行效能比較, 例如 (3,6) 是表示行權重等於 3, 列權重等於 6 依據 [11,14] 中的定義, 同位檢查矩陣的行權重最小要等於 3, 而且本文所應用的編碼率是 1/2, 所以對應的列權重等於 6, 可以標示為 (3,6) 圖 3 編碼率的位元錯誤率圖 4 行列權重的位元錯誤率

頻寬就愈大因此在設定編碼率時必須在效能與頻寬之間取得權衡圖 4 是根據同位檢查矩陣不同行列權重進行效能比較, 例如 (3,6) 是表示行權重等於 3, 列權重等於 6 依據

7 5 從圖 4 可以看到, 行列權重為 (6,12) 而且位元錯誤率等於 3 10 時, 其對應的訊雜 5 比等於 2.5dB 當行列權重為 (5,10) 而且位元錯誤率等於 3 10 時, 其對應的訊雜比大約 5 等於 2.25dB 當行列權重為 (4,8) 而且位元錯誤率等於 3 10 時, 其對應的訊雜比等於 5 2dB 當行列權重為 (3,6) 而且位元錯誤率等於 3 10 時, 其對應的訊雜比等於 1.5dB 由此可知, 在相同的位元錯誤率下, 行列權重愈小, 其所需的訊雜比愈小, 也就是效能愈好另外, 解碼演算法的疊代次數也是影響系統效能的重要參數解碼演算法的疊代次數愈多則效能愈好, 但缺點是解碼時間會增加為了在效能與解碼時間之間取得權衡, 利用圖 5 可以說明如何選擇解碼演算法的疊代次數圖 5 解碼疊代次數的效能從圖 5 中可以看到, 進行 2 次疊代與 1 次疊代相比時, 增加的編碼增益大約是 1.9dB 進行 5 次疊代與 2 次疊代相比時, 增加的編碼增益大約是 1.9dB 進行 10 次疊代與 5 次疊代相比時, 增加的編碼增益大約是 0.6dB 然而進行 20 次與 50 次疊代時, 其增加的編碼增益大約是 0.1dB 至 0.2dB 之間由上述可知, 當疊代次數大於 10, 所增加的編碼增益有逐漸減少的趨勢因此, 進行 10 次疊代可以在解碼時間與效能之間取得較好的權衡接下來是等化器的模擬, 在本文中, 等化器是利用最小均方演算法來更新等化器權重係數等化器長度與步階長度是最小均方演算法中的重要參數圖 6 是均方誤差與等化器長度的關係圖, 其中 EL 代表等化器長度橫軸代表疊代次數, 縱軸代表均方誤差在相同的步階長度下, 由圖中可以看到等化器長度愈長, 均方誤差會愈小然而, 從圖 6 中可以看到, 當等化器長度大於 7 時, 均方誤差並沒有明顯的減少由此可知, 在預期的均方誤差內, 較少的等化器長度可以節省成本除了等化器長度, 另一個重要的參數是步階長度當步階長度較大時, 均方誤差能快速收斂到穩定狀態, 但是均方誤差比較大而且錯誤率範圍也比較大 ; 當步階長度較小

5dB 由此可知, 在相同的位元錯誤率下, 行列權重愈小, 其所需的訊雜比愈小, 也就是效能愈好另外, 解碼演算法的疊代次數也是影響系統效能的重要參數解碼演算法的疊代次數愈多則效能愈好, 但缺點是解碼時間會增加為了在效能與

8 時, 均方誤差收斂到穩定狀態的速度較慢, 但是均方誤差比較小而且變動範圍比較小 [15] 圖 7 顯示在不同步階長度與疊代次數的模擬結果比較圖, 橫軸代表疊代次數, 縱軸代表均方誤差, 步階長度的範圍在 0 < λ < [15] 圖 6 不同等化器長度的效能圖 7 不同步階長度與疊代次數的比較在圖 7 中可看出, 當 001 = 0. λ, 在等化器尚未進行更新時 ( 無疊代 ) 的均方誤差約 0.48 經過 10 次疊代後, 均方誤差逐漸下降到 0.11 第 15 次疊代時, 均方誤差逐漸上

001[15] 圖 6 不同等化器長度的效能圖 7 不同步階長度與疊代次數的比較在圖 7 中可看出, 當 001 = 0.

9 升到 0.3 而且從第 15 次疊代以後, 均方誤差約在 0.3~0.2 之間呈現上下振盪的現象接著看到 λ = 的曲線, 經過 15 次疊代後, 均方誤差逐漸下降到 0.09 第 23 次疊代時, 均方誤差逐漸上升到 0.15 而且從第 23 次疊代以後, 均方誤差約在 0.1~0.15 之間呈現上下振盪的現象然而與 λ = 曲線不同的是, λ = 均方誤差上下振盪的範圍較小, 也就是殘餘誤差 (residual error) 較少, 而且均方誤差也比較小另外, 當 λ = 時, 雖然均方誤差會收斂到最小值, 但是所需的疊代次數太多而顯得不切實際另外從圖 7 可以看到, λ = 的曲線在 30 次疊代後均方誤差收斂到 0.05, 而且殘餘誤差最少利用以上的模擬結果, 可以選擇適當的參數值來設定系統架構, 並且評估在萊斯衰退通道下的效能表現本文提出的系統架構是低密度同位檢查碼輔助等化器, 應用在萊斯衰退通道等環境中, 利用位元錯誤率與訊雜比的關係圖來說明系統效能評估圖 8 說明在未使用編碼前萊斯衰退通道中, 不同 K 值下的系統效能比較從圖 8 中看出, 當 K 值愈大時, 系統效能會愈好而且, 當 K 趨近於無限大時, 萊斯衰退通道會等效於白高斯雜訊通道經由模擬後可以得到 K 大約等於 750 時, 萊斯衰退通道會等效於白高斯雜訊通道圖 9 是在萊斯衰退通道中, 應用低密度同位檢查碼輔助等化器, 在不同 K 值下的效能比較圖 8 未使用編碼輔助等化器前之系統效能由圖 9 中可以看出, 應用低密度同位檢查碼確實改善了系統效能同時, 隨著 K 值的增加, 利用低密度同位檢查碼可以使系統在較低的訊雜比下, 有更好的系統效能表現圖 10 是極值比較 ( K = 0, K = 25) 當系統採用等化器時, 從圖 9 可以看到系統採用低密度同位檢查碼的效能比較由圖 10 中可以看出, 當 K = 0 或 K = 25 時, 應用低密度同位檢查碼可以提供大約 8dB 的編碼增益, 確實改善系統效能利用低密度同位檢查碼優異的效能, 使得系統在時變通道環境下運作時可以有更好的效能表現

0007 均方誤差上下振盪的範圍較小, 也就是殘餘誤差 (residual error) 較少, 而且均方誤差也比較小另外, 當 λ = 0.0001 時, 雖然均方誤差會收斂到最小值, 但是所需的疊代次數太多而顯得不切實際另外從圖 7 可以看到, λ = 0.

10 圖 9 使用編碼輔助等化器後之系統效能圖 10 萊斯衰退中 K 值的極值效能 4. 結論本文利用萊斯衰退通道的統計特性來評估實際的時變通道環境, 並且利用電腦模擬進行位元錯誤率分析低密度同位檢查碼的效能除了與編碼率解碼疊代次數和行列權重有關, 還與低密度同位檢查矩陣的架構有關不同結構的低密度同位檢查碼效能比較

11 可以提供系統設計作為參考依據此外, 本實驗在等化器的步階長度採用固定值, 未來可以考慮進一步研究不同步階長度的影響最後, 由模擬結果可以知道, 在萊斯衰退通道中, 低密度同位檢查碼輔助等化器的架構確實可以降低錯誤率, 進而提高系統效能參考文獻 [1] Stallings, W., Wireless Communications and Networks, Prentice Hall, [2] Yang, C. Y. and Cheng, S. P., A Code-Aided Linear urbo Equalizer for Parallel ISI Channels, Proceedings of 5th World Wireless Congress, pp , May [3] Kim, J. and Yang, C. Y., Blind Equalization for 16_QAM, Proceedings of IEEE 39th Circuits & Systems Midwest Symposium, Vol. 2, pp , [4] Yang, C. Y., V Ghost Cancelling, Master hesis, Monmouth University, [5] Xanthopoulos, S. and Constantinides, A. G., A Novel Initialization Scheme for Blind Equalization Algorithms, Proceedings of the 14th Digital Signal Processing International Conference, Vol. 2, pp , July [6] Lee, Y. F. and Wang, M. Z., A Code-Aided Adaptive Equalizer Using Soft Decision-Directed Algorithm and Convolutional Coding for fading Channels, Proceedings of IEEE Vehicle echnology Conference, pp , [7] Morishita, Y., suda,y. Fujii,. and Shimamura,., An LMS Adaptive Equalizer Using hreshold in Impulse Noise Environments, Proceedings of the 10th elecommunications International Conference, Vol. 1, pp , [8] Wang, R., Jindal, N., Bruns,., Bahai, A. R. S. and Cox, D.C., Comparing RLS and LMS Adaptive Equalizers for Nonstationary Wireless Channels in Mobile Ad Hoc Networks, Proceedings of the 13th IEEE Indoor and Mobile Radio Communications International Symposium, Vol. 3, pp , Sep [9] Haykin, S., Communication Systems, John Wiley, [10] Berrou, C., Glavieux, A. and hitimajshima, P., Near Shannon Limit Error-Correction Coding and Decoding: urbo Codes, Proceedings of ICC 93, pp , May [11] Gallager, R. G., Low Density Parity Check Codes, MI Press, Cambridge, 1963 [12] Chung, S. Y., Forney, G. D., Richardson,. J. and Urbanke, R., On the Design of Low-Density Parity-Check Codes Within db of Shannon Limit, IEEE Communications Letters, Vol. 5, No. 2, pp , Feb [13] Moreira, J. C. and Farrell, P. G., Essentials of Error-Control Coding, John Wiley, [14] Gallager, R. G., Low Density Parity Check Codes, IEEE ransactions on Information heory, Vol. 8, No. 1, pp , Jan [15] Haykin, S., Adaptive Filter heory, 4th Ed., Prentice Hall, 2001.

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6-1-1極限的概念

6-1-1極限的概念選修數學 (I-4 多項式函數的極限與導數 - 導數與切線斜率定義. f ( 在的導數 : f ( h 對實函數 f ( 若極限存在 h h 則稱 f ( 在點可微分而此極限值稱為 f ( 在的導數以 f ( 表示 f ( f ( 函數 f ( 在的導數也可以表成 f ( 註 : 為了