2. 一 位 数 加 减 运 算 技 能 ( 尤 其 是 心 算 技 能 ) 的 重 要 性, 在 于 它 是 小 学 数 学 涉 及 的 所 有 整 数 小 数 和 分 数 四 则 运 算 的 重 要 基 石 它 不 仅 是 多 位 数 加 减 法 运 算 得 以 进 行 的 基 础, 也 是 多

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1 对 于 儿 童 数 学 在 教 学 中 作 用 之 反 思 从 一 位 数 加 减 法 运 算 的 三 种 教 学 思 路 说 起 ( 草 稿 ) 马 立 平 a. 这 篇 文 章 的 写 作 动 机, 来 自 我 对 美 国 小 学 数 学 教 学 现 状 的 两 个 忧 虑 忧 虑 之 一, 是 看 到 许 多 高 年 级 小 学 生, 甚 至 中 学 生 大 学 生, 仍 然 需 要 依 靠 数 手 指 或 使 用 计 算 器 (counters) 来 进 行 简 单 的 加 减 运 算 虽 然 目 前 没 有 统 计 资 料 能 告 诉 我 们 这 样 的 学 生 究 竟 占 多 大 的 比 例, 也 没 有 研 究 探 讨 过 常 年 需 要 借 助 工 具 进 行 简 单 加 减 运 算, 究 竟 会 对 学 生 的 数 学 学 习 产 生 怎 样 不 良 的 影 响, 然 而 如 果 你 是 一 个 中 小 学 的 教 师, 或 者 如 果 你 经 常 去 美 国 普 通 中 小 学 听 课, 我 相 信 你 会 理 解 我 的 忧 虑 (However, as a former elementary teacher and a current scholar in math education, it does bother me.) b. 忧 虑 之 二, 是 感 觉 到 美 国 小 学 数 学 界 在 解 决 这 个 问 题 时 对 所 谓 儿 童 数 学 的 过 度 依 赖 根 据 当 下 流 行 的 教 学 理 念, 依 靠 数 计 数 器 来 求 得 运 算 得 数, 是 小 学 生 初 入 学 时 带 到 学 校 来 的 自 发 的 儿 童 数 学, 教 学 应 当 鼓 励 并 且 依 靠 这 样 的 儿 童 数 学 在 美 国 一 二 年 级 甚 至 三 年 级 小 学 生 学 习 整 数 加 减 运 算 的 数 学 课 上, 五 花 八 门 的 计 数 器 是 最 常 见 的 学 具 然 而 事 实 是, 通 过 四 五 年 乃 至 更 长 久 这 样 无 数 遍 的 数 数, 相 当 数 量 的 学 生 仍 然 没 有 自 动 发 展 起 作 为 整 数 和 分 数 四 则 运 算 基 础 的 一 位 数 加 减 心 算 的 能 力 可 是, 在 不 鼓 励 数 计 数 器 的 中 国 和 其 他 一 些 国 家, 这 种 心 算 能 力 是 一 年 级 小 学 生 就 掌 握 了 的 按 理 说, 教 学 和 学 生 原 有 知 识 相 联 系 是 各 国 数 学 教 育 界 的 共 识 那 么, 当 下 美 国 数 学 教 育 界 对 儿 童 数 学 的 认 识 是 不 是 有 值 得 反 思 和 检 讨 的 地 方? 这 篇 文 章 将 比 较 我 所 了 解 的 三 种 一 位 数 加 减 法 教 学 的 思 路, 最 终 提 出 我 对 儿 童 数 学 的 质 疑 c. 文 章 的 篇 幅 稍 长 了 些 原 因 是 我 不 仅 希 望 它 提 出 的 理 论 问 题 有 说 服 力, 也 希 望 它 对 实 践 对 改 进 美 国 一 位 数 加 减 运 算 的 教 学 有 所 帮 助 文 章 对 美 国 读 者 所 不 熟 悉 的 推 算 法 作 了 系 统 的 介 绍, 对 它 的 原 理 在 各 个 教 学 阶 段 所 引 进 的 思 维 工 具, 以 及 如 何 在 教 学 中 兼 顾 对 学 科 知 识 的 诚 实 和 对 学 生 认 知 的 体 贴, 都 作 了 细 致 的 讨 论 除 了 教 学 思 路 以 外, 我 更 希 望 提 请 读 者 考 虑 它 们 背 后 的 理 念 从 某 种 意 义 上 讲, 这 其 实 交 织 在 一 起 的 两 篇 文 章 : 对 于 美 国 读 者 所 不 熟 悉 的 推 算 法 的 介 绍, 以 及 对 儿 童 数 学 的 反 思 一 位 数 加 减 法 运 算 的 三 种 教 学 思 路 之 比 较 1. 在 当 今 世 界 不 少 国 家, 20 以 内 数 字 的 认 识 和 加 减 运 算 是 小 学 数 学 第 一 块 实 质 性 的 内 容, 它 包 括 四 个 互 相 关 联 的 部 分 : 数 字 1-20 的 认 识 ; 一 位 数 加 法 和 相 关 的 减 法 运 算 ; 20 以 内 含 两 位 数 的 加 法 和 减 法 运 算 ; 整 数 加 法 和 减 法 概 念 初 步 的 介 绍 本 文 将 着 重 讨 论 其 第 二 部 分, 即 一 位 数 加 法 和 相 关 的 减 法 ( 以 下 称 一 位 数 加 减 法 ) 1

2 2. 一 位 数 加 减 运 算 技 能 ( 尤 其 是 心 算 技 能 ) 的 重 要 性, 在 于 它 是 小 学 数 学 涉 及 的 所 有 整 数 小 数 和 分 数 四 则 运 算 的 重 要 基 石 它 不 仅 是 多 位 数 加 减 法 运 算 得 以 进 行 的 基 础, 也 是 多 位 数 乘 除 法 运 算 中 不 可 缺 少 的 组 成 部 分 一 位 数 加 减 运 算 技 能 的 熟 练 与 否, 直 接 关 系 到 之 后 所 有 运 算 技 能 发 展 的 顺 利 与 否 3. 一 位 加 减 法 内 容 的 定 义, 是 和 与 被 减 数 是 2-18 的 一 位 数 加 法 和 减 法, 这 一 点 各 国 小 学 数 学 界 并 没 有 歧 义 但 是, 在 教 学 途 径 方 面, 或 者 说 怎 样 让 小 学 生 学 习 一 位 数 加 减 运 算 方 面, 却 有 不 同 根 据 我 的 观 察, 美 国 小 学 一 位 数 加 减 法 的 教 学 途 径 主 要 有 两 种 : 数 数 法 和 记 背 事 实 法, 前 者 诉 诸 于 计 数 器 ( 常 常 是 手 指 ), 后 者 诉 诸 于 数 字 事 实 这 两 种 教 学 途 径 背 后 的 理 念 不 同, 然 而 并 存 于 学 校 教 学 实 践 中 通 过 本 文, 我 想 向 美 国 同 行 介 绍 一 位 数 加 减 法 教 学 的 另 一 种 诉 诸 于 数 学 思 维 工 具 的 途 径, 这 种 教 学 途 径 应 用 于 中 国 等 一 些 国 家 的 小 学 数 学 教 学 中, 我 称 之 为 推 算 法 4. 推 算 法 以 入 学 前 儿 童 已 有 的 数 学 能 力 为 出 发 点, 用 一 年 级 小 学 生 可 以 接 受 的 方 式, 逐 步 地 有 计 划 地 向 他 们 介 绍 一 些 数 学 思 维 工 具, 引 领 他 们 动 脑 筋, 从 已 知 推 算 未 知 从 容 易 的 运 算 推 算 困 难 的 运 算 在 这 些 思 维 工 具 的 帮 助 下, 一 年 级 学 生 发 展 起 一 位 数 加 减 的 心 算 能 力, 成 为 日 后 进 一 步 学 习 小 学 数 学 的 坚 实 基 础 5. 下 面, 我 们 先 一 起 简 略 地 回 顾 一 下 读 者 熟 悉 的 数 数 法 和 记 背 事 实 法 然 后 再 比 较 详 细 地 介 绍 推 算 法 帮 助 小 学 生 实 施 一 位 数 加 减 法 推 算 的 数 学 思 维 工 具 究 竟 有 哪 些? 具 体 的 推 算 过 程 是 怎 样 的? 使 用 思 维 工 具 进 行 推 算, 究 竟 是 如 何 帮 助 学 生 一 步 一 步 地 发 展 起 一 位 数 加 减 的 心 算 能 力 的? 这 些 思 维 工 具 又 是 怎 样 介 绍 给 入 学 不 久 的 一 年 级 小 学 生 的? 推 算 法 和 数 数 法 相 比, 有 哪 些 共 同 点 哪 些 不 同 点? 推 算 法 和 记 背 事 实 法 相 比, 又 有 哪 些 共 同 点 哪 些 不 同 点? 这 些 共 同 点 和 不 同 点 意 味 着 什 么? 最 后, 文 章 将 提 出 三 个 问 题 以 期 引 起 进 一 步 的 讨 论 数 数 和 记 背 事 实 : 美 国 两 种 常 见 的 教 学 途 径 数 数 法 6. 数 数 法, 就 是 借 助 计 数 器 (counters), 通 过 数 数 得 到 加 减 运 算 的 答 案 美 国 小 学 生 常 用 的 计 数 器 有 手 指 和 各 种 小 物 件 ( 如 塑 料 片 塑 料 块 豆 子 等 ), 教 室 墙 上 贴 的 数 轴, 也 常 常 被 用 作 通 过 数 数 求 加 减 答 数 的 计 数 器 7. 数 数 法 的 教 学, 主 要 是 帮 助 学 生 从 低 级 的 数 数 策 略 过 渡 到 高 级 的 数 数 策 略 我 们 知 道, 数 数 法 其 实 是 多 数 小 学 生 在 入 学 之 前 就 已 经 使 用 的 儿 童 自 己 的 运 算 方 法, 最 常 用 的 counters 是 学 生 自 己 的 手 指 有 关 研 究 指 出, 随 着 运 算 经 验 的 增 多, 儿 童 通 过 数 数 进 行 运 算 的 策 略 会 一 步 一 步 地 优 化 Chapin 和 Johnson 在 他 们 合 著 的 Math matters (Chapin & Johnson, 2006, pp.63-64) 一 书 里 对 CGI 研 究 的 儿 童 数 数 策 略 有 简 明 的 归 纳 加 法 策 略 的 优 化 过 程 是, 从 全 数 (counting all) 到 从 第 一 个 数 开 始 数 (counting on from first), 到 从 大 数 开 始 数 (counting on from larger) 举 2

3 2+5=? 为 例, 全 数, 是 先 出 2 个 手 指, 再 出 5 个 手 指, 然 后 从 1 开 始 把 所 有 的 手 指 从 头 数 一 遍 稍 高 级 的 是 从 第 一 个 数 开 始 数, 仍 然 是 2+5, 儿 童 不 再 从 1 开 始 数, 而 是 从 第 一 个 加 数 2 开 始 数, 数 5 个 数, 这 样 就 节 约 了 数 第 一 个 加 数 的 时 间 更 高 级 的 策 略 是 从 大 数 开 始 数, 即 从 两 个 加 数 里 一 个 比 较 大 的 开 始 数 2+5 不 是 从 2 开 始 数, 而 是 从 5 开 始 数, 数 2 个 数, 这 样 就 更 加 节 约 时 间 了 由 于 我 们 只 有 10 个 手 指, 全 数 只 能 解 决 和 在 10 以 内 的 加 法, 而 其 他 两 种 策 略 这 可 以 解 决 所 有 加 一 位 数 的 加 法 的 运 算 减 法 也 可 以 用 数 数 完 成, 也 有 不 同 的 策 略, 比 如 往 下 数 (counting down from), 往 下 数 到 (counting down to), 和 从 已 知 数 往 上 数 (counting up from given) 等 ( 见 Chapin, S. & Johnson (2006), p.64) 图 1. 数 数 法 计 数 器 和 课 本 截 图 ( 课 本 材 料 取 自 两 年 级 教 材 ) 8. 无 论 怎 样 的 一 位 数 加 法 和 相 应 的 减 法, 用 数 数 法 都 能 解 决 然 而, 数 数 法 的 问 题, 在 于 不 能 确 保 发 展 起 学 生 一 位 数 加 减 的 心 算 能 力 ; 相 反, 熟 练 了 数 数 法 的 学 生 很 可 能 会 养 成 依 靠 数 数 进 行 运 算 的 习 惯, 并 长 期 延 续 下 去 ( 如 用 数 手 指 数 其 他 计 数 器 或 画 点 数 点 等 ), 因 而 在 某 种 程 度 上 妨 碍 了 心 算 能 力 的 发 展 而 除 非 小 学 数 学 放 弃 学 生 学 习 四 则 运 算 法 则 的 内 容, 一 位 数 加 减 的 心 算 能 力 是 学 习 必 须 的 试 想, 在 进 行 多 位 数 加 减 法 竖 式 运 算 或 乘 除 法 竖 式 运 算 时, 还 需 要 依 靠 数 手 指 完 成 其 中 的 每 一 步 加 减 运 算, 整 个 运 算 过 程 就 会 变 得 零 碎 拖 沓, 而 失 去 其 完 整 性 3

4 记 背 事 实 法 9. 记 背 事 实 法 的 目 的, 正 在 于 发 展 学 生 20 以 内 加 减 法 的 心 算 能 力 它 所 要 教 给 学 生 的, 是 200 条 数 目 事 实 (number facts) 我 们 知 道, 阿 拉 伯 数 字 从 0 到 9 的 十 个 一 位 数, 可 以 组 成 100 个 二 元 组 合 记 背 事 实 法 把 这 些 组 合 与 它 们 的 和 称 为 100 个 加 法 事 实 (0+0=0, 0+1=1, 9+9=18) 与 这 100 个 加 法 事 实 (addition facts) 相 对 应 的, 是 100 个 减 法 事 实 (subtraction facts) (0 0=0, 1 0=1, 18 9=9) 这 200 条 事 实, 包 括 了 一 位 数 加 减 法 中 所 有 可 能 出 现 的 情 况, 统 称 为 数 目 事 实 因 此, 如 果 一 个 人 记 住 了 这 200 条 事 实, 就 具 备 了 20 以 内 加 减 法 的 心 算 能 力 记 背 事 实 法, 就 是 要 让 学 生 记 住 这 200 条 事 实 10. 记 背 事 实 法 教 学, 常 常 是 先 通 过 数 数 或 实 物, 向 学 生 揭 示 一 条 条 加 法 事 实 和 减 法 事 实, 然 后 通 过 反 复 操 练, 帮 助 学 生 记 住 它 们 Mad minute 是 美 国 教 师 比 较 常 用 的 一 种 帮 助 学 生 练 习 记 背 事 实 的 方 法 在 一 页 纸 上 列 出 几 十 个 事 实 题 目, 要 求 学 生 在 一 分 钟 里 写 出 来 得 数 Mad minute 用 竖 式 表 现 数 字 事 实, 这 样 的 安 排, 很 可 能 是 由 于 其 和 多 位 数 加 减 法 竖 式 运 算 的 形 式 比 较 接 近 操 练 可 以 有 加 法 减 法 和 加 减 混 合, 也 可 以 根 据 需 要 选 取 数 字 的 大 小 比 如 图 3 左 部 就 是 10 以 下 加 减 混 合 运 算 的 练 习 纸 样 张 也 有 用 比 较 有 趣 的 形 式 让 学 生 操 练 记 背 事 实 的 练 习 ( 见 图 3 右 上 ) 还 有 一 种 比 较 先 进 的 记 背 事 实 法, 是 把 一 组 相 关 的 事 实 联 系 起 来, 比 如 把 和 7 有 关 的 事 实 组 成 一 列 事 实 火 车, 帮 助 学 生 记 背 ( 见 图 3 右 下 ) 图 2: 各 种 帮 助 学 生 记 住 数 目 事 实 (number facts) 的 练 习 4

5 11. 作 为 培 养 学 生 一 位 数 加 减 法 心 算 能 力 的 教 学 法, 记 背 事 实 法 从 逻 辑 上 讲 是 严 密 的 但 是, 它 本 身 的 两 个 要 素 记 背 和 把 一 位 数 加 减 运 算 视 作 200 条 事 实, 在 调 动 学 生 学 习 主 动 性 和 潜 力 方 面 都 有 欠 缺 之 处 12. 首 先, 记 背 虽 然 是 我 们 重 要 的 智 力 功 能, 也 是 儿 童 智 力 活 动 的 长 项 但 是, 如 果 仅 仅 诉 诸 于 记 背, 则 忽 略 了 学 生 其 他 方 面 智 力 活 动 在 学 习 中 的 参 与 而 且, 类 似 数 目 事 实 形 式 的 材 料 的 大 量 记 背 其 实 比 看 上 去 或 想 象 中 的 要 困 难 得 多 i 13. 另 外, 当 我 们 把 一 位 数 加 减 法 视 作 200 条 相 互 独 立 的 事 实 的 时 候, 这 200 条 事 实 之 间 内 在 的 联 系 被 忽 略 了, 它 们 在 难 度 和 重 要 性 方 面 实 际 存 在 的 差 别 也 被 忽 略 了 这 200 个 学 习 任 务 之 间 失 去 了 互 相 支 持 比 如 说, 如 果 把 4+3=7 和 3+4=7 当 作 两 个 独 立 的 事 实 分 别 记 忆, 这 两 个 学 习 任 务 之 间 就 是 没 有 相 互 支 持 的 14. 近 来, 有 些 美 国 教 材 上 出 现 了 把 一 些 事 实 组 织 成 事 实 家 庭 (facts family) 的 做 法, 比 如, 把 3+4=7 4+3=7 7 3=4 7 3=4 组 合 成 一 个 事 实 家 庭, 希 望 通 过 这 些 事 实 之 间 的 联 系 提 高 记 背 的 有 效 性, 这 是 一 种 进 步 但 是, 这 样 的 联 系 还 是 十 分 有 限 的 比 如 说, 在 上 图 7-train 里 我 们 看 到, 当 1+6 作 为 6+1 同 一 节 车 厢 的 上 下 两 层 时, 对 学 生 来 说 比 较 容 易 的 6+1, 在 这 里 可 以 作 为 对 难 度 较 高 的 1+6 的 支 持 但 是 6+1 的 学 习 能 不 能 支 持 7-6 或 7-1 呢? 能 不 能 支 持 呢? 事 实 上, 如 果 仅 仅 以 学 生 能 够 记 背 事 实 为 教 学 目 标, 那 么, 我 们 还 是 不 会 去 引 导 他 们 认 识 这 些 事 实 下 面 更 深 层 的 联 系, 也 不 会 努 力 去 调 动 他 们 记 忆 之 外 的 智 力 活 动 的 推 算 : 利 用 思 维 工 具 从 已 知 求 未 知 15. 数 数 法 的 重 点 在 于 让 学 生 动 手 具 体 地 说 是 用 手 指 作 为 计 数 器 通 过 数 数 算 出 一 位 数 加 减 的 结 果 记 背 事 实 法 诉 诸 学 生 的 记 忆 力 通 过 练 习 记 住 200 条 数 字 事 实 但 是, 还 存 在 着 另 一 种 一 位 数 加 减 的 教 学 途 径 通 过 让 学 生 动 脑 筋 发 展 他 们 的 心 算 能 力, 我 把 这 种 方 法 叫 做 推 算 法 ii 在 中 国 和 世 界 上 其 他 一 些 国 家, 可 以 看 到 这 种 教 学 法 16. 中 国 小 学 数 学 教 师 常 常 对 学 生 们 说 的 一 句 话 是 动 动 你 们 的 小 脑 筋 在 一 位 数 加 减 法 阶 段, 动 脑 筋 就 是 要 求 学 生 根 据 一 些 思 维 工 具, 通 过 推 算, 求 出 他 们 原 来 不 知 道 的, 或 者 对 他 们 来 说 比 较 困 难 的 运 算 答 案 换 一 句 话 说, 学 生 既 不 是 靠 数 手 指 或 其 他 计 数 器, 也 不 靠 看 教 材 上 的 图 示 得 到 运 算 的 答 案, 而 是 自 己 动 脑 筋 想 出 答 案 17. 帮 助 一 年 级 小 学 生 学 习 推 算 的 思 维 工 具 主 要 是 小 学 数 学 中 的 一 些 理 论 知 识, 包 括 : 关 于 数 量 的 基 本 认 识 ( 比 如 2-9 的 数 的 组 成 ) 关 于 数 量 关 系 性 质 的 认 识 ( 比 如 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 ) 关 于 运 算 规 律 的 认 识 ( 比 如 加 法 交 换 律 互 补 律 结 合 律 ) 和 记 数 法 基 本 知 识 ( 比 如 10 进 制 和 10 的 组 成 ) 等 运 用 这 些 思 维 工 具, 一 年 级 小 学 生 可 以 一 步 一 步 地 提 升 运 算 能 力, 最 终 达 到 掌 握 一 位 数 加 减 法 心 算 的 目 的 5

6 思 维 工 具 帮 助 学 生 学 习 推 算 : 三 项 技 能 和 四 个 学 习 阶 段 18. 与 数 数 法 和 记 背 事 实 法 相 比, 推 算 法 显 得 更 加 复 杂 精 细 得 多 这 是 它 本 身 所 含 的 学 习 任 务 所 决 定 的 如 果 说 数 数 法 和 记 背 事 实 法 的 学 习 任 务 是 单 一 的 运 算 的 话, 推 算 法 的 学 习 任 务 是 双 重 的 : 既 要 掌 握 思 维 工 具, 又 要 学 习 运 算 技 能 下 面 我 们 先 介 绍 思 维 工 具 如 何 可 以 帮 助 学 生 进 行 推 算, 然 后 再 讨 论 这 些 思 维 工 具 将 如 何 介 绍 给 一 年 级 小 学 生 19. 一 位 数 加 减 法 包 括 三 项 运 算 技 能, 它 们 是 : A) 和 或 被 减 数 是 2-9 的 加 减 法 ; B) 和 或 被 减 数 是 10 的 加 减 法 ; C) 和 或 被 减 数 是 的 一 位 数 加 减 法 20. 在 推 算 法 的 教 学 途 径 中, 这 三 项 技 能 是 通 过 四 个 教 学 阶 段 完 成 的 四 个 阶 段 的 前 两 个 和 技 能 A 相 对 应, 第 三 阶 段 与 技 能 B 相 对 应, 第 四 阶 段 与 技 能 C 相 对 应 也 就 是 说, 技 能 A 和 或 被 减 数 是 2-9 的 加 减 法 是 分 在 两 个 阶 段 完 成 的 : 第 一 阶 段 : 数 字 在 1-5 范 围 内 的 运 算 ; 第 二 阶 段 : 和 与 被 减 数 是 6-9 的 运 算 ; 第 三 阶 段 : 和 与 被 减 数 是 10 的 运 算 ; 第 四 阶 段 : 和 与 被 减 数 是 的 运 算 21. 在 运 算 技 能 方 面, 以 上 四 个 阶 段 步 步 递 进, 后 面 阶 段 不 重 复 前 面 阶 段 但 是 从 运 算 的 数 段 方 面, 则 后 面 阶 段 包 含 前 一 阶 段, 如 滚 雪 球 一 般 比 如 说, 第 二 阶 段 处 理 的 运 算 技 能 是 和 与 被 减 数 是 6-9 的 运 算, 但 是 所 包 含 的 数 段 不 只 是 6-9, 而 是 1-9 请 看 下 表 : 三 项 运 算 技 能 四 个 教 学 阶 段 教 学 内 容 运 算 数 段 A) 和 或 被 减 数 是 2-9 的 加 减 法 1) 数 字 在 1-5 范 围 内 的 加 减 法 1-5 2) 和 与 被 减 数 是 6-9 的 加 减 法 1-9 B) 和 或 被 减 数 是 10 的 加 减 法 3) 和 或 被 减 数 是 10 的 加 减 法 1-10 C) 和 或 被 减 数 是 的 一 位 数 加 减 法 4) 和 或 被 减 数 是 的 一 位 数 加 减 法 1-20 表 1: 一 位 数 加 减 法 推 算 法 的 三 项 运 算 技 能 和 四 个 教 学 阶 段 22. 四 个 阶 段 的 学 习, 第 一 阶 段 以 学 生 入 学 前 的 运 算 能 力 为 基 础 之 后 的 每 一 个 阶 段, 都 以 之 前 学 习 的 累 积 为 基 础 接 下 来 讨 论 推 算 法 的 原 理, 这 是 我 根 据 自 己 对 中 国 小 学 数 学 教 育 的 了 解, 以 及 对 1988 年 到 2008 年 之 间 出 版 的 七 套 不 同 的 中 国 小 学 数 学 教 iii 材 的 分 析 归 纳 出 来 的 后 面 体 现 这 些 原 理 的 例 子, 为 方 便 起 见, 取 自 已 经 翻 译 成 了 英 文 的 前 苏 联 一 年 级 小 学 数 学 课 本 6

7 第 一 教 学 阶 段 : 依 托 学 生 原 有 运 算 能 力 引 进 最 初 的 思 维 工 具 23. 第 一 阶 段 是 数 字 在 1-5 范 围 内 的 运 算 近 些 年 来, 儿 童 在 入 学 之 前 已 经 会 用 数 数 进 行 简 单 运 算 的 现 象, 受 到 人 们 的 注 意 并 且 得 到 了 系 统 的 研 究 这 些 研 究 的 结 果, 成 为 数 数 法 的 依 据 但 是, 儿 童 另 一 种 重 要 的 运 算 能 力 他 们 对 于 小 数 量 的 心 算 能 力 却 似 乎 还 没 有 得 到 研 究 界 的 重 视 而 推 算 法 的 教 学 正 是 以 儿 童 这 种 对 小 数 量 的 心 算 能 力 为 出 发 点 的 24. 创 设 一 个 让 一 年 级 学 生 感 到 轻 松 愉 快 而 且 愿 意 积 极 地 和 你 交 流 的 对 话 环 境, 用 他 们 熟 悉 的 语 言, 以 他 们 日 常 生 活 里 的 内 容 为 主 题, 把 3 以 内 数 量 的 运 算 编 成 应 用 题 问 他 们, 比 如 : 爸 爸 给 了 你 2 颗 糖, 妈 妈 给 了 你 1 颗 糖, 你 一 共 得 到 了 几 颗 糖? 你 有 3 颗 糖, 我 有 1 颗 糖, 谁 的 糖 多? 多 几 颗? 你 有 3 颗 糖, 吃 了 2 颗, 还 剩 几 颗? 25. 你 会 发 现 孩 子 们 会 告 诉 你 正 确 的 答 案, 根 本 不 需 要 借 助 手 指 运 算 26. 孩 子 们 能 顺 利 回 答 这 样 的 问 题, 说 明 他 们 对 数 量 掌 握 得 很 好, 并 且 已 经 :1) 有 了 加 法 和 减 法 的 初 步 概 念 能 够 正 确 地 判 断 在 怎 样 的 情 况 下 采 用 什 么 运 算 ;2) 有 了 进 行 3 以 内 心 算 的 技 能 ;3) 有 了 群 数 量 (quantity set) 的 概 念 能 够 把 一 个 以 上 的 单 位 (2 或 3) 视 作 作 一 个 数 量 ;4) 有 了 数 的 组 合 的 概 念 懂 得 了 3 是 2 和 1 组 成 的 这 些 认 识 和 能 力, 正 是 他 们 日 后 数 学 思 维 的 种 子, 也 是 推 算 法 所 需 要 的 思 维 工 具 的 落 脚 点 27. 儿 童 在 入 学 前 已 经 具 备 的 对 3 以 内 数 量 的 认 识 和 心 算 能 力, 应 该 是 来 自 我 们 人 类 对 一 二 三 这 三 个 数 量 天 生 的 直 接 辨 别 能 力 一 二 三 这 三 个 数 量, 一 般 称 之 为 直 观 数 量 (perceivable quantities), 是 几 乎 所 有 的 人 都 不 需 要 数 就 能 一 眼 辨 别 出 来 的 数 量 iv 而 幼 儿 园 学 生 的 身 上 已 经 可 以 测 到 这 种 能 力 v 28. 其 实, 一 年 级 教 师 甚 至 会 注 意 到, 数 字 4 和 5 的 认 识 和 它 们 以 内 的 加 减 运 算 对 于 刚 入 学 的 学 生 也 大 多 都 比 较 容 易 在 Children's Counting and Concepts of Number 一 书 里, 就 有 两 岁 十 个 月 的 孩 子 在 生 活 里 主 动 说 出 二 和 二 合 起 来 是 四 (Two and two make four) 的 例 子 (Fuson, p.19) 这 或 许 是 因 为 在 生 活 里 孩 子 们 有 较 多 的 机 会 熟 悉 这 些 数 量 每 次 运 用 自 己 的 双 手, 就 看 到 一 个 手 上 的 5 个 手 指,4 个 在 一 边,1 个 在 另 一 边 而 除 了 他 们 经 常 观 察 到 的 这 4 和 1 组 成 的 5 以 外,4 和 5 的 其 他 组 合 ( 如 2 和 2 3 和 1 3 和 2 等 ), 都 是 直 观 数 字 的 组 合, 其 实, 对 于 相 当 一 部 分 人 来 说,4 甚 至 仍 然 是 可 以 一 眼 辨 认 出 来 的 直 观 数 量 29. 总 之,1-5 这 个 数 段 里 的 运 算 技 能, 似 乎 是 大 多 数 学 生 在 进 入 一 年 级 之 前 就 已 经 掌 握 了 的 从 这 个 意 义 上 看, 一 年 级 数 字 在 1-5 范 围 内 的 运 算 其 实 是 一 次 复 习 30. 然 而, 这 次 复 习 在 提 升 学 生 智 力 方 面 仍 然 担 当 着 实 质 性 的 任 务 这 些 任 务 是 : 31. 首 先, 帮 助 学 生 以 原 来 的 具 体 数 概 念 为 基 础, 初 步 建 立 起 抽 象 数 的 概 念 数, 在 多 数 入 学 之 前 的 小 学 生 脑 海 里, 还 都 是 具 体 数 : 一 个 人 两 辆 车 三 7

8 颗 糖 他 们 所 进 行 运 算 的, 也 都 是 这 些 具 体 数 而 数 学 进 行 运 算 的 都 是 抽 象 数, 所 以, 需 要 让 学 生 从 他 们 熟 悉 的 三 个 人 三 辆 车 三 颗 糖 这 样 的 具 体 数 过 渡 到 三 这 个 抽 象 数 vi 32. 第 二, 帮 助 学 生 学 习 用 符 号 表 达 已 知 的 数 量 不 仅 要 从 三 个 人 三 辆 车 三 颗 糖 过 渡 到 三 这 个 抽 象 数, 还 要 学 习 用 3 这 个 符 号 来 表 达 它, 这 也 是 一 个 智 力 上 的 任 务 33. 第 三, 以 学 生 已 知 的 3 是 2 和 1 组 成 的 为 基 础, 通 过 进 一 步 揭 示 4 是 2 和 2 组 成 的 4 是 3 和 1 组 成 的 5 是 3 和 2 组 成 的 5 是 4 和 1 组 成 的 等 等, 帮 助 学 生 建 立 起 一 个 大 数 是 可 以 由 两 个 小 数 组 成 的 概 念, 并 且 进 一 步 认 识 大 数 和 小 数 的 联 系 : 因 为 3 是 2 和 1 组 成 的, 所 以 2+1=3; 因 为 5 是 3 和 2 组 成 的, 所 以 3+2=5 由 于 学 生 对 1-5 数 段 的 熟 悉, 这 样 的 认 识 很 容 易 建 立 起 来, 而 这 些 认 识 正 是 为 下 一 阶 段 学 习 准 备 的 思 维 工 具 34. 第 四, 帮 助 学 生 学 习 用 算 式 表 达 已 知 的 运 算 利 用 学 生 已 经 知 道 的 爸 爸 给 我 2 颗 糖, 妈 妈 给 我 1 颗 糖, 那 我 就 有 了 3 颗 糖, 让 他 们 学 会 用 2+1=3 这 个 正 式 的 数 学 方 式 来 表 示 运 算 的 过 程 35. 第 五, 帮 助 一 小 部 分 对 于 和 或 被 减 数 是 4 或 5 的 运 算 尚 未 熟 练 的 学 生, 掌 握 相 关 的 运 算 由 于 家 庭 教 育 或 生 活 环 境 的 不 同, 有 些 孩 子 在 入 学 时 对 和 或 被 减 数 是 4 或 5 的 运 算 还 不 够 熟 练, 要 帮 助 他 们 从 原 有 的 基 础 上 前 进 一 步, 掌 握 4 和 5 的 运 算 技 能 36. 事 实 上, 数 字 1-5 的 加 减 运 算 这 一 阶 段 的 教 学 任 务, 很 像 是 学 生 原 有 数 量 知 识 的 盘 点, 通 过 盘 点, 学 生 对 自 己 已 有 的 一 部 分 数 学 知 识 有 了 明 确 的 了 解 和 感 受, 同 时 建 立 起 成 为 今 后 数 学 学 习 的 最 初 的 概 念 基 础 在 这 个 阶 段 里 没 有 推 算, 但 是 却 利 用 学 生 原 有 的 知 识, 开 始 为 今 后 进 行 推 算 建 立 基 础 第 二 教 学 阶 段 : 学 习 运 用 思 维 工 具 进 行 推 算 37. 第 二 阶 段 是 和 与 被 减 数 是 6-9 的 运 算 相 对 数 字 1-5, 这 四 个 数 字 对 学 生 来 讲 要 陌 生 得 多 因 此, 他 们 对 这 一 阶 段 的 心 算, 在 不 同 程 度 上 开 始 感 到 困 难 感 到 有 障 碍 了 面 对 这 一 段 的 运 算, 不 少 学 生 很 自 然 地 要 借 助 他 们 的 手 指 来 帮 忙 了 事 实 上, 这 时 数 学 教 学 正 面 临 着 一 个 岔 路 口 : 是 听 凭 学 生 采 用 他 们 习 惯 的 数 手 指 ( 或 其 他 计 数 器 ) 的 方 法, 还 是 引 领 他 们 用 一 种 新 的 借 助 数 学 思 维 工 具 从 已 知 推 算 未 知 的 方 法? 换 句 话 说, 让 什 么 来 帮 忙? 是 手 指 或 计 数 器, 还 是 数 学 的 思 维 方 法? 推 算 法 选 择 的 是 后 者, 而 在 前 一 段 通 过 复 习 完 成 的 五 个 教 学 任 务, 正 是 为 在 这 一 阶 段 引 领 学 生 学 习 推 算 作 准 备 的 38. 这 一 阶 段 的 难 度, 首 先 在 于 学 生 对 这 四 个 数 字 的 不 熟 悉 为 化 解 这 个 难 度 第 一 阶 段 学 习 从 两 个 方 面 作 了 准 备 : 第 一, 在 学 生 原 有 的 2 是 1 和 1 合 成 的 3 是 1 和 2 合 成 的 认 识 基 础 上, 通 过 4 是 3 和 1 合 成 的 4 是 2 和 2 合 成 的 5 是 3 和 2 合 成 的 等 延 伸, 建 立 起 了 大 数 是 小 数 合 成 的 概 念 第 二, 通 过 复 习, 提 高 了 学 生 对 数 字 1-5 的 熟 悉 程 度 所 以, 虽 然 学 生 对 于 不 熟 8

9 悉, 但 是, 一 则 有 了 大 数 是 小 数 合 成 的 这 个 概 念, 二 则 熟 悉 了 合 成 这 些 大 数 的 小 数, 对 于 大 数 的 认 识 就 有 了 基 础, 难 度 就 减 低 了 比 如 说, 一 个 学 生 可 能 会 觉 得 6 是 一 个 陌 生 的 难 以 掌 握 的 数 字, 但 是, 当 他 看 到 6 是 5 和 1 的 组 合 是 4 和 2 的 组 合, 是 3 和 3 的 组 合, 而 这 些 数 字 是 他 很 熟 悉 的,6 就 也 变 得 不 那 么 陌 生 了 他 离 对 数 字 6 的 掌 握 就 接 近 了 一 步 39. 由 于 学 生 已 经 了 解 了 因 为 3 是 2 和 1 组 成 的, 所 以 2+1=3 这 样 的 推 理, 所 以, 当 他 们 看 到 6 是 5 和 1 组 成 的 6 是 4 和 2 组 成 的 6 是 3 和 3 组 成 的 时 候, 就 可 以 不 依 靠 数 数, 而 推 算 出 6+1=?, 4+2=?, 3+3=? 了 由 于 根 据 数 的 组 合 进 行 推 算 的 要 求 是 前 面 的 数 字 要 掌 握 得 好, 所 以 这 个 阶 段 里 和 与 被 减 数 是 6 是 7 是 8 是 9 的 运 算 又 被 作 为 四 小 段 依 次 完 成 40. 加 法 的 交 换 律 也 是 进 行 推 算 的 有 用 的 思 维 工 具 一 般 说 来, 大 数 加 小 数 比 较 容 易, 而 小 数 加 大 数 比 较 困 难 比 如, 运 算 5+2=7 不 觉 得 困 难 的 学 生, 碰 到 2+5= 可 能 就 会 有 困 难 然 而, 如 果 他 了 解 了 加 法 交 换 律, 他 就 能 根 据 自 己 已 经 知 道 的 5+2=7, 推 算 出 2+5= 也 等 于 7 了 再 比 如, +1 是 没 有 难 度 的, 所 以, 学 生 都 会 觉 得 很 容 易 但 是, 就 不 那 么 容 易 了, 了 解 了 加 法 交 换 律, 就 可 以 帮 助 学 生 借 助 很 容 易 的 运 算 来 进 行 不 那 么 容 易 的 运 算 了 41. 另 外, 我 们 知 道 减 法 比 加 法 困 难 比 如 9 2 比 7+2 难 但 是, 如 果 学 生 了 解 了 减 法 是 加 法 的 逆 运 算, 减 法 是 求 一 个 未 知 的 加 数, 就 可 以 根 据 加 法 运 算 推 算 出 减 法 的 答 案 了 : 比 如 根 据 7+2=9 推 算 出 9 2=7 在 中 国 和 一 些 其 他 的 国 家, 加 法 和 减 法 是 合 在 一 起 进 行 教 学 的, 中 国 教 师 会 常 常 提 醒 学 生 们 做 减 法 想 加 法, 就 是 要 依 靠 学 生 已 经 掌 握 的 对 他 们 来 说 比 较 容 易 的 加 法 运 算 的 技 能, 支 持 他 们 减 法 运 算 的 学 习 42. 引 导 学 生 观 察 加 法 互 补 律 以 及 它 的 减 法 表 述 也 可 以 提 高 学 生 的 推 算 能 力 vii 比 如, 6+1=7 很 容 易 根 据 加 法 互 补 律, 学 生 可 以 从 6+1=7 自 行 推 算 出 5+2=? 4+3=? 还 可 以 推 算 出 6+2=? 6+3=? 根 据 加 法 互 补 律 的 减 法 表 述, 学 生 还 可 以 由 8 1=7 自 行 推 算 出 8 2=?,8 3=?,8 4=?,8 5=? 43. 总 之, 数 的 组 合 交 换 律 逆 运 算 和 互 补 律 等 知 识, 都 是 学 生 在 和 与 被 减 数 是 6-9 的 运 算 阶 段 遇 到 障 碍 时 动 脑 筋 的 方 向 和 解 决 问 题 的 工 具 这 些 思 维 工 具 可 以 协 同 作 用, 让 学 生 认 识 用 不 同 的 方 法 解 决 同 一 个 问 题, 也 可 以 让 学 生 挑 选 自 己 最 喜 欢 的 方 法 来 解 决 问 题 总 而 言 之, 有 了 思 维 工 具 的 帮 助, 放 弃 数 手 指 或 数 计 数 器, 由 学 生 尝 试 自 行 完 成 这 一 阶 段 运 算, 最 终 发 展 起 心 算 能 力 是 完 全 可 以 做 到 的 44. 同 样 是 靠 学 生 自 己 求 得 加 减 运 算 的 答 案, 和 数 数 法 相 比, 推 算 法 教 学 的 短 处, 在 于 需 要 花 更 多 的 时 间 和 努 力 数 数 法 是 学 生 原 来 就 会 的 方 法, 所 需 要 的 教 学 时 间 很 有 限 ( 主 要 是 帮 助 一 些 学 生 用 高 级 的 策 略 替 换 低 级 的 策 略, 如 从 全 数 到 从 大 数 开 始 数 ); 而 推 算 法 则 不 仅 需 要 从 前 面 阶 段 ( 比 如 1-5 数 段 9

10 的 加 减 教 学 ) 就 开 始 准 备, 而 且 还 需 要 在 本 阶 段 的 教 学 中 增 加 介 绍 思 维 工 具 的 时 间 和 相 应 的 练 习 任 务 如 此, 既 需 要 更 多 的 学 习 时 间, 还 需 要 在 心 智 上 付 出 的 更 多 努 力 45. 但 是, 推 算 法 也 有 数 数 法 所 没 有 的 长 处 : 学 得 扎 实 无 论 是 对 各 数 的 认 识, 还 是 以 其 中 某 数 为 和 或 被 减 数 的 加 减 法, 学 生 经 过 了 自 己 积 极 参 与 的 从 不 同 角 度 用 不 同 方 法 的 思 考 和 运 算, 便 印 象 深 刻 容 易 掌 握 容 易 记 住 学 生 一 旦 完 成 了 这 一 阶 段 的 心 算 学 习, 就 等 于 戒 掉 了 数 手 指 的 习 惯, 迈 出 了 摆 脱 计 数 器 进 行 运 算 的 关 键 一 步 他 们 学 会 的 不 仅 仅 是 具 体 几 个 数 有 关 的 运 算, 更 重 要 的 是 学 会 了 心 算 的 方 法, 开 始 培 养 起 了 心 算 的 习 惯 和 信 心 学 生 在 学 习 小 学 数 学 的 一 开 始, 就 接 触 并 练 习 通 过 思 维 工 具 从 已 知 求 未 知 的 数 学 思 维 方 法, 为 整 个 小 学 阶 段 的 数 学 学 习 确 立 了 正 确 的 态 度 和 方 法 46. 以 上 三 点, 都 使 得 这 一 阶 段 的 学 习 真 正 成 为 今 后 学 习 的 基 础 既 是 直 接 的 后 续 阶 段 的 基 础, 也 是 整 个 小 学 数 学 学 习 的 基 础 第 三 教 学 阶 段 : 记 数 法 与 10 的 组 合 47. 由 于 10 在 我 们 使 用 的 十 进 制 位 值 制 计 数 法 里 特 殊 的 地 位, 它 在 概 念 上 和 技 术 上 的 重 要 性, 足 以 使 这 一 个 数 的 认 识 能 独 立 出 来 作 为 一 个 学 习 阶 段 处 理 48. 从 概 念 上 看,10 是 学 生 学 习 的 第 一 个 两 位 数, 也 是 他 们 和 位 值 概 念 的 第 一 次 接 触 49. 从 运 算 技 能 上 看,10 的 二 元 组 合 对 于 学 生 掌 握 进 退 位 的 加 减 法 运 算 有 突 出 的 重 要 性 的 五 个 二 元 组 合 (9 和 1 8 和 2 7 和 3 6 和 4 5 和 5) 仅 仅 靠 死 记 硬 背 是 不 容 易 直 接 灌 输 到 学 生 脑 子 里 去 的, 但 是, 如 果 学 生 通 过 前 两 个 阶 段 扎 实 的 学 习, 对 1-9 这 些 数 字 都 相 当 熟 悉, 再 加 上 已 经 学 会 使 用 的 思 维 工 具, 在 这 一 阶 段 都 可 以 用 来 支 持 推 算 事 实 上, 十 的 二 元 组 合 本 身 将 成 为 下 一 阶 段 学 习 中 进 行 推 算 的 思 维 工 具 第 四 教 学 阶 段 : 记 数 法 的 深 化 与 加 法 结 合 律 的 引 进 51. 和 与 被 减 数 是 的 加 法 和 减 法, 也 有 人 称 之 为 20 以 内 进 位 加 法 和 退 位 减 法, 是 整 数 和 小 数 进 退 位 的 加 减 运 算 不 可 或 缺 的 基 础 如 果 这 个 阶 段 的 学 习 任 务 不 能 完 成, 学 生 终 究 还 是 不 能 全 面 掌 握 加 减 乘 除 运 算 法 则 但 是, 对 一 年 级 小 学 生 来 说, 这 一 阶 段 又 是 最 困 难 的 一 方 面, 数 字 大, 远 远 超 出 了 他 们 可 以 直 接 掌 握 的 范 围 另 一 方 面, 涉 及 记 数 法, 有 位 值 这 一 抽 象 概 念 参 与 其 中 可 以 说, 这 个 阶 段 学 习 的 难 度, 是 绝 大 多 数 一 年 级 小 学 生 无 法 一 步 跨 越 的 但 是, 推 算 法 通 过 前 面 三 个 阶 段, 引 领 学 生 走 上 了 一 个 又 一 个 的 台 阶, 使 得 这 一 阶 段 的 学 习 难 度 减 低 到 了 多 数 学 生 能 够 承 受 的 范 围 10

11 52. 事 实 上, 要 学 生 自 己 尝 试 和 与 被 减 数 是 的 加 法 和 减 法 的 推 算, 在 之 前 三 个 阶 段 累 积 起 来 的 思 维 和 技 能 高 度 之 上, 还 需 要 两 种 思 维 工 具 认 识 根 据 位 值 记 数 法 书 写 的 数 字 的 意 义, 和 加 法 结 合 律 53. 有 了 这 两 个 新 的 思 维 工 具, 学 生 就 可 以 不 依 靠 数 手 指 或 画 点 点, 而 是 通 过 动 脑 筋 想 出 这 一 阶 段 运 算 的 得 数 了 比 如 9+2=? 根 据 之 前 学 生 已 经 掌 握 的 运 算 知 识, 可 判 断 出 得 数 大 于 10 但 是 究 竟 是 多 少 呢? 了 解 了 结 合 律 以 及 9 和 2 的 二 元 组 合, 就 能 把 可 以 和 9 组 成 10 的 1 从 2 里 拆 出 来, 与 9 组 成 一 个 十, 还 剩 下 一 个 1 根 据 记 数 法, 一 个 十 和 一 个 一 写 作 11, 所 以 9+2=11 而 根 据 交 换 律 和 逆 运 算, 可 以 由 9+2=11 推 算 出 2+9= =9 11 9=2 同 理, 可 以 推 算 出 其 他 这 一 学 习 阶 段 的 任 何 题 目 54. 另 外, 一 旦 由 结 合 律 推 算 出 一 个 运 算 的 得 数, 还 可 以 根 据 互 补 律 推 出 其 他 运 算 的 得 数 比 如, 可 以 由 9+2=11 推 算 出 9+3=12 9+4=13 9+5=14 9+6=17 而 进 一 步 由 它 们 推 算 出 其 他 一 组 一 组 的 运 算 得 数 前 面 学 习 的 数 学 思 维 的 工 具 以 及 习 得 的 运 算 技 能, 为 学 生 准 备 好 了 通 过 推 算 达 到 运 算 结 果 的 不 同 途 径 到 这 种 时 候, 学 生 不 是 被 动 地 等 题 目 来, 而 是 甚 至 可 以 主 动 拟 写 和 或 被 减 数 是 的 加 法 运 算 和 减 法 的 运 算 表 了 在 拟 写 运 算 表 的 过 程 中, 学 生 很 容 易 发 现 有 趣 又 有 用 的 规 律 比 如,9 加 一 个 数, 得 数 总 是 等 于 十 加 那 个 数 减 1( 如 9+2=11, 9+3=12, 9+4=13 ), 8 加 一 个 数, 得 数 总 是 等 于 十 加 那 个 数 减 2( 如 9+2=11, 9+3=12, 9+4=13 ) 这 些 规 律 一 旦 由 学 生 自 己 发 现, 将 大 大 提 高 学 生 的 学 习 兴 趣 和 学 习 效 率, 也 使 得 记 忆 的 的 负 担 大 大 减 轻 55. 到 这 一 阶 段 的 学 习 完 成 了 的 时 候, 一 年 级 小 学 生 一 位 数 加 减 法 的 心 算 能 力 的 发 展 基 本 完 成 了 这 种 能 力, 将 成 为 之 后 100 以 内 加 减 法 心 算 能 力 的 基 础, 成 为 将 来 要 掌 握 的 多 位 数 加 减 乘 除 运 算 法 则 的 技 能 构 成 当 然, 在 今 后 各 种 运 算 过 程 中, 学 生 在 一 年 级 建 立 起 来 的 一 位 数 加 减 法 的 心 算 能 力 也 将 无 数 次 地 得 到 强 化 和 巩 固 11

12 思 维 工 具 一 览 56. 综 上 所 述, 我 们 看 到 了 一 种 让 一 年 级 小 学 生 摆 脱 数 手 指 或 计 数 器, 发 展 起 一 位 数 加 减 法 的 心 算 能 力 的 途 径 事 实 上, 这 也 是 中 国 等 一 些 国 家 的 做 法 但 是, 这 不 是 一 日 之 功, 而 是 通 过 师 生 二 十 来 个 星 期 的 不 断 努 力 才 实 现 的 viii 57. 在 图 4 中, 我 们 可 以 看 到 在 四 个 学 习 阶 段 引 进 各 种 思 维 工 具 的 情 况 用 虚 线 分 割 的 区 域, 表 示 各 思 维 工 具 引 进 的 阶 段 20 以 内 加 减 法 数 字 在 1-5 范 围 内 的 运 算 ( 第 一 阶 段 ) 和 与 被 减 数 是 6-9 的 运 算 ( 第 二 阶 段 ) 和 与 被 减 数 是 10 的 运 算 ( 第 三 阶 段 ) 和 与 被 减 数 是 的 运 算 ( 第 四 阶 段 ) 加 法 结 合 律 数 字 的 认 识 十 的 组 成 和 位 值 记 数 法 加 法 的 互 补 律 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 加 法 交 换 律 算 式 里 数 量 的 名 称 加 减 算 式 和 算 式 里 的 符 号 数 的 二 元 组 成 图 3:20 以 内 加 减 运 算 各 阶 段 思 维 工 具 的 引 进 58. 以 上 我 们 看 到, 在 学 习 一 位 数 加 减 法 的 过 程 里, 推 算 法 引 领 学 生 一 步 一 步 地 迈 上 了 九 个 台 阶, 这 些 台 阶 的 教 学 内 容, 多 数 是 从 已 知 求 未 知 需 要 的 思 维 工 具, 也 有 一 些 是 为 了 之 后 引 进 思 维 工 具 所 做 的 铺 垫 ( 比 如 算 式 里 数 量 的 名 称 ) 除 了 第 一 阶 段 数 字 在 1-5 范 围 内 的 运 算 以 外, 各 阶 段 所 引 进 的 思 维 工 具 都 是 该 阶 段 所 需 要 的, 可 以 直 接 应 用 为 该 阶 段 学 习 服 务 的, 同 时, 也 都 是 其 之 后 教 学 阶 段 所 需 要 的 并 且, 这 些 思 维 工 具 不 仅 仅 在 一 位 数 加 减 运 算 中 需 要, 也 将 是 整 个 小 学 数 学 学 习 中 所 需 要 的 把 思 维 工 具 介 绍 给 一 年 级 小 学 生 : 如 何 做 到 对 学 科 知 识 的 诚 实 和 对 学 生 认 知 的 体 贴 二 者 兼 顾 12

13 59. 接 下 来 的 问 题 是, 究 竟 怎 样 把 交 换 律 逆 运 算 互 补 律 结 合 律 这 样 的 思 维 工 具 介 绍 给 才 上 了 几 周 数 学 课 的 一 年 级 学 生 呢? 下 面 我 们 从 已 经 由 芝 加 哥 大 学 UCSMP 翻 译 成 了 英 文 的 前 苏 联 一 年 级 教 材 (Moro etc., 1980/1992) 引 用 一 些 例 子 来 做 出 说 明 这 本 前 苏 联 一 年 级 教 材 在 思 维 工 具 引 进 的 阶 段 以 及 教 学 手 段 和 中 国 略 有 不 同, 但 是 推 算 的 基 本 思 路 是 一 致 的 60. 教 材 中 的 课 文, 可 分 成 引 进 新 概 念 和 巩 固 性 练 习 两 大 类 以 下 引 用 的 介 绍 推 算 思 维 工 具 课 文, 都 属 于 引 进 新 概 念 一 类 这 类 课 文 一 般 包 括 三 个 部 分 :1) 标 题 ; 2) 介 绍 新 概 念 的 图 题 ;3) 相 关 的 练 习 题 如 果 需 要, 还 会 在 引 进 新 概 念 的 课 文 之 后 安 排 巩 固 性 练 习 的 课 文 61. 引 进 新 概 念 课 文 的 标 题, 一 般 不 是 概 念 或 思 维 工 具 的 名 称, 而 是 该 课 学 习 任 务 的 关 键 词 比 如, 介 绍 加 法 交 换 律 的 课 文 标 题 是 加 数 位 置 的 互 换 (Interchanging Addends), 介 绍 减 法 是 加 法 逆 运 算 的 课 文 标 题 是 怎 样 求 一 个 未 知 的 加 数 (How to find an unknown addend) 等 等 62. 课 文 的 概 念 介 绍 部 分, 主 要 采 取 图 画 和 算 式 相 结 合 的 形 式 : 用 和 学 生 生 活 相 关 内 容 为 主 题 的 图 画, 配 以 适 当 的 算 式 图 画 和 算 式 中 所 用 的 数 字, 都 是 学 生 业 已 掌 握 了 的 低 数 段 的 数 字 63. 概 念 介 绍 后 面 的 练 习 部 分, 通 常 由 几 组 难 度 递 进 的 练 习 题 组 成, 其 形 式 有 式 题 图 式 应 用 题 和 文 字 应 用 题 等 练 习 的 目 的, 在 于 帮 助 学 生 通 过 新 学 得 的 概 念 或 思 维 工 具 的 操 作, 深 化 理 解 任 何 概 念, 都 必 须 通 过 亲 自 的 操 作 ( 应 用 ), 才 能 达 到 真 正 的 理 解 64. 以 下 引 用 课 本 中 的 六 个 例 子, 都 是 介 绍 新 概 念 的 课 文, 前 两 个 是 课 文 的 局 部, 后 四 个 是 完 整 的 课 文 ( 互 补 律 的 例 子 不 是 引 用 于 该 课 本, 而 是 我 在 中 国 小 学 做 研 究 时 搜 集 的 资 料 ) 加 减 法 算 式 的 写 法 以 及 算 式 里 的 符 号 65. 直 观 数 量 的 概 念 和 初 步 的 加 法 和 减 法 的 概 念, 是 所 有 小 学 生 入 学 之 前 就 已 经 具 备 了 的 把 这 些 原 始 概 念 的 数 学 表 达 方 式 阿 拉 伯 数 字 的 写 法 加 法 算 式 和 减 法 算 式 介 绍 给 学 生, 是 引 领 他 们 走 进 数 学 学 科 殿 堂 的 关 键 的 第 一 步 以 下 是 在 学 生 学 习 了 认 写 数 字 以 后 向 他 们 介 绍 加 法 算 式 减 法 算 式 课 文 的 标 题 部 分 和 概 念 介 绍 部 分 ( 本 课 的 练 习 部 分 是 数 字 2 和 3 的 书 写 ): 13

14 图 4: 加 法 算 式 减 法 算 式 和 符 号 名 称 的 介 绍 (Moro etc., 1980, p.9) 66. 课 文 的 标 题 是 加 号 减 号 和 等 号 把 数 字 连 成 加 减 算 式 的 必 要 符 号 课 文 的 概 念 介 绍 部 分 是 三 组 图 配 三 个 算 式 图 的 题 材 是 学 生 熟 悉 的 恐 龙 蛋 糕 和 生 活 场 景 1+1=2 2+1=3 2 1=1 这 样 的 加 法 算 式 和 减 法 算 式 看 起 来 很 简 单 然 而 它 们 是 经 历 了 数 百 年 的 演 进 之 后 约 定 俗 成 的 通 用 的 表 达 方 式 从 此, 学 生 就 能 用 可 以 用 全 世 界 和 整 个 学 科 沟 通 的 方 式 表 达 自 己 的 数 学 知 识 了 67. 在 这 一 课 里 学 习 的 只 是 数 学 表 达 的 方 式, 在 概 念 方 面 似 乎 并 没 有 任 何 新 的 内 容 然 而, 学 生 的 智 力 还 是 得 到 了 实 质 性 的 提 升 的 从 他 们 平 常 生 活 里 可 能 会 说 的 两 块 蛋 糕 加 一 块 蛋 糕 是 三 块 蛋 糕 到 2+1=3, 有 两 个 飞 跃 : 一 是 从 具 体 数 过 渡 到 了 抽 象 数 ; 二 是 从 他 们 自 己 的 话 过 渡 到 了 全 世 界 人 都 能 懂 的 数 学 表 达 方 式 68. 课 文 里 还 有 一 个 学 生 或 许 暂 时 还 意 识 不 到 的 意 味 深 远 的 安 排 : 在 第 一 次 涉 及 加 法 和 减 法 的 概 念 和 算 式 的 时 候, 就 把 这 两 种 运 算 安 排 在 同 一 课 里 介 绍 而 学 生 原 有 的 加 法 和 减 法 的 初 步 概 念, 则 本 是 互 不 联 系 的 如 此 不 动 声 色 地 把 二 者 联 系 在 了 一 起, 其 实 是 为 将 来 进 一 步 揭 示 加 法 和 减 法 共 同 的 数 量 关 系 所 做 的 准 备 加 法 算 式 里 数 量 的 名 称 69. 在 学 生 熟 悉 了 加 法 算 式 和 减 法 算 式 之 后, 接 下 来 需 要 向 他 们 介 绍 算 式 里 各 数 量 的 名 称 以 下 是 介 绍 加 法 算 式 里 数 量 名 称 课 文 的 概 念 介 绍 部 分 ( 本 课 没 有 另 设 标 题 ): 14

15 图 5: 向 一 年 级 小 学 生 介 绍 加 法 里 数 量 的 名 称 (Moro etc., 1980, p.38) 70. 图 算 式 和 文 字 三 者 结 合, 把 加 法 算 式 里 的 两 个 数 量 名 称 介 绍 给 了 学 生 加 数 与 和 这 两 个 名 称, 使 得 学 生 在 过 去 几 周 里 熟 悉 了 的 具 体 加 法 算 式 ( 如 3+2=5, 2+2=4,2+1=3 ) 上 升 到 一 个 更 为 概 括 的 水 平 加 数 + 加 数 = 和 71. 向 学 生 介 绍 算 式 里 数 量 名 称 的 目 的, 有 比 较 长 远 的 和 比 较 紧 迫 的 两 个 方 面 比 较 长 远 的 目 的, 是 为 了 引 导 学 生 一 步 步 地 认 识 四 则 运 算 后 面 的 数 量 关 系 ; 而 比 较 紧 迫 的 目 的, 则 是 为 了 进 一 步 向 学 生 介 绍 学 习 一 位 数 加 减 法 所 需 要 的 思 维 工 具 加 法 交 换 律 72. 我 们 前 面 提 到 的 学 生 进 行 推 算 的 第 一 个 思 维 工 具 是 加 法 交 换 律 请 看 课 本 在 和 与 被 减 数 是 6-9 的 加 法 和 减 法 阶 段 介 绍 加 法 交 换 律 的 课 文 (Moro etc., 1980, p.51): 图 6: 向 一 年 级 小 学 生 介 绍 加 法 交 换 律 (Moro etc., 1980, p.51) 73. 本 课 文 标 题 是 交 换 的 加 数 位 置 (Interchanging Addends) 15

16 74. 标 题 下 面 的 概 念 介 绍 部 分, 是 介 绍 加 法 交 换 律 的 图 题 : 学 生 在 街 上 看 得 到 的 场 景 两 辆 救 护 车 和 一 辆 救 火 车, 配 2+1=3 和 1+2=3 这 两 个 算 式 在 这 部 分 里 学 生 不 需 要 运 算, 他 们 的 学 习 任 务, 是 在 教 材 和 教 师 引 导 下 观 察 和 讨 论 新 介 绍 的 概 念 75. 练 习 部 分 包 括 两 组 与 新 介 绍 的 概 念 相 关 的 题 目 第 一 组 题 引 导 学 生 注 意 : 上 面 图 示 里 加 数 1 和 2 在 算 式 里 的 位 置 交 换 以 后 和 不 变 的 情 况, 在 不 同 加 数 (3 和 1,4 和 2,5 和 1) 的 算 式 里 也 会 重 现 这 是 一 个 规 律 通 过 图 画, 学 生 可 以 很 清 楚 地 看 到 这 个 规 律 为 什 么 存 在 第 二 组 是 运 算 题, 由 学 生 根 据 刚 才 看 到 的 规 律, 推 算 出 填 在 空 格 里 的 数, 同 时, 这 也 是 让 学 生 再 次 核 实 规 律 正 确 与 否 的 机 会 76. 最 后, 通 过 以 上 思 维 活 动 之 后, 达 到 加 法 交 换 律 的 文 字 表 述 : 加 数 的 位 置 交 换, 和 不 变 在 这 套 课 本 里, 加 法 交 换 律 是 学 生 掌 握 的 从 已 知 推 算 未 知 的 第 一 个 思 维 工 具 这 个 工 具 主 要 用 于 根 据 学 生 已 经 熟 悉 的 大 数 加 小 数 的 和, 推 算 出 加 数 位 置 交 换 了 的 小 数 加 大 数 的 和 教 材 在 接 下 来 的 第 几 页 上, 安 排 了 多 组 小 数 加 大 数 的 题 目, 供 学 生 进 一 步 练 习 并 体 会 交 换 律 给 运 算 带 来 的 便 利 77. 我 们 前 面 说 过, 高 数 段 需 要 的 思 维 工 具, 往 往 是 用 低 数 段 数 字 引 进 的, 这 就 是 一 个 具 体 的 例 子 在 概 念 介 绍 部 分, 用 的 是 第 一 数 段 的 数 字 ; 而 在 练 习 部 分, 就 可 以 用 学 得 的 概 念 解 决 第 二 数 段 的 问 题 了 这 样 做 其 实 有 多 重 好 处 :1) 保 障 了 学 生 的 注 意 力 能 在 没 有 运 算 负 担 的 情 况 下 集 中 于 概 念 方 面 的 思 考 ;2) 有 效 地 利 用 了 学 生 已 知 的 知 识 作 为 新 知 识 的 支 撑 ;3) 在 利 用 学 生 已 知 知 识 的 时 候, 让 他 们 从 中 看 到 了 新 的 东 西, 有 温 故 知 新 反 过 来 深 化 原 有 知 识 的 作 用 4) 学 生 新 学 得 的 思 维 工 具 马 上 被 用 于 高 数 段 加 减 的 运 算, 帮 助 解 决 新 问 题, 可 以 很 快 看 到 其 意 义, 并 且 得 到 练 习 使 用 的 机 会 78. 还 有 一 点 有 意 思 的 地 方 也 值 得 注 意 : 虽 然 课 文 介 绍 的 是 加 法 交 换 律, 但 是 从 题 目 交 换 加 数 的 位 置, 到 最 后 加 数 位 置 交 换, 和 不 变 的 表 述, 加 法 交 换 律 这 个 术 语 却 始 终 没 有 出 现 课 文 在 做 到 对 学 术 诚 实 的 同 时, 也 体 现 出 对 学 生 智 力 活 动 的 体 贴, 不 增 加 任 何 不 必 要 的 负 担 有 效 地 利 用 学 生 已 有 的 知 识 与 对 学 术 的 诚 实 和 对 学 生 的 体 贴 相 兼 顾, 这 一 点 贯 穿 在 课 本 每 一 次 新 概 念 引 进 的 时 候 逆 运 算 79. 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 是 在 学 习 和 与 被 减 数 是 6-9 的 加 法 和 减 法 时 引 进 并 开 始 使 用 的 另 一 种 思 维 工 具 下 面 是 相 关 的 课 文, 题 目 为 怎 样 求 一 个 未 知 的 加 数 : 16

17 图 7: 向 一 年 级 小 学 生 介 绍 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 (Moro etc., 1980, p.55) 80. 课 文 的 标 题 是 怎 样 求 一 个 未 知 的 加 数 (How to find an unknown addend) 81. 在 概 念 介 绍 部 分, 图 题 用 的 也 是 第 一 段 数 的 数 这 一 部 分 的 三 幅 图 画, 有 点 像 是 卡 通 片 的 三 个 画 面 最 上 面 一 幅, 敞 开 着 两 扇 门 的 碗 橱 里 排 列 着 5 个 杯 子 : 左 边 3 个, 右 边 2 个 ; 图 画 旁 边 写 着 图 所 要 代 表 的 算 式 :3+2=5 中 间 一 幅, 左 边 的 橱 门 关 上 了, 遮 住 了 它 后 面 的 3 个 杯 子,5 个 杯 子 只 能 看 见 右 边 的 2 个 了 ; 旁 边 的 算 式 成 了 :5 3=2 最 下 面 一 幅 展 示 的 是, 右 边 的 橱 门 关 上 了, 遮 住 了 它 后 面 的 2 个 杯 子, 而 左 边 的 橱 门 则 开 着, 它 后 面 的 3 个 杯 子 又 可 以 看 到 了 ; 旁 边 的 算 式 是 :5 2=3 82. 第 一 幅 图 里 5 个 杯 子 的 数 量 和 它 们 左 3 右 2 的 排 列 并 没 有 变, 只 是 因 为 橱 门 开 关 的 状 态 不 一 样, 它 们 所 代 表 的 算 式 却 从 一 个 加 法 算 式 变 成 了 两 个 减 法 算 式 这 三 幅 图 的 变 化 和 与 它 们 相 配 的 算 式, 向 学 生 揭 示 了 减 法 与 加 法 的 逆 运 算 关 系 加 法 是 已 知 两 个 加 数 求 它 们 的 和, 而 减 法 是 已 知 和 与 一 个 加 数 求 另 一 个 加 数 83. 因 为 减 法 是 加 法 的 逆 运 算, 是 求 一 个 未 知 的 加 数, 所 以, 可 以 根 据 比 较 容 易 掌 握 的 加 法 运 算 知 识, 来 推 算 减 法 的 得 数 看 到 一 个 减 法 题 而 不 知 道 得 数 时, 只 要 想 : 什 么 数 加 上 减 数 等 于 被 减 数 呢? 就 有 可 能 推 算 出 减 法 的 得 数 了 正 如 课 文 所 示, 如 果 我 们 知 道 3+2=5, 那 么 就 能 推 算 出 5 3 一 定 等 于 2, 而 5 2 一 定 等 于 练 习 部 分 的 三 组 题 目, 都 是 为 了 帮 助 学 生 通 过 自 己 的 操 作 而 加 深 对 概 念 的 理 解, 同 时 学 习 如 何 在 运 算 过 程 中 应 用 新 学 得 的 思 维 工 具 第 一 组 练 习 题 里 有 四 小 组 难 度 递 进 的 17

18 题 目 第 一 小 组, 先 呈 现 一 个 连 答 案 在 内 的 加 法 算 式 4+2=6, 要 求 学 生 根 据 加 法 算 式 推 算 出 与 之 相 应 的 两 个 减 法 算 式 的 答 案 第 二 小 组, 先 呈 现 一 个 没 有 答 案 的 加 法 算 式, 要 求 学 生 求 出 和 ; 然 后, 要 求 学 生 把 两 个 与 之 相 关 的 减 法 算 式 补 充 完 整, 再 写 出 它 们 的 答 案 第 三 小 组, 先 呈 现 一 个 简 单 的 加 法 运 算 1+2, 要 求 学 生 求 出 得 数, 再 根 据 加 法 算 式 自 行 拟 写 两 个 相 应 的 减 法 算 式 第 四 小 组, 要 求 学 生 先 运 算 一 个 比 较 困 难 的 加 法 算 式 2+5( 小 数 加 大 数, 学 生 求 和 时 可 使 用 交 换 律 ), 然 后 再 根 据 加 法 算 式 自 行 拟 写 相 应 的 减 法 算 式 这 四 小 组 题 目, 一 组 比 一 组 难, 但 是 每 一 组 都 是 由 前 一 组 引 领 以 前 一 组 为 基 础 的, 通 过 这 样 层 层 递 进 的 思 维 活 动, 学 生 一 步 一 步 地 熟 悉 减 法 和 加 法 的 逆 运 算 关 系, 并 深 化 着 对 其 的 理 解 85. 第 二 组 练 习 题, 是 两 道 求 一 个 未 知 加 数 的 图 式 应 用 题 这 两 幅 图 用 不 同 的 题 材 ( 杯 子 和 茶 匙 ) 表 现 两 数 之 和 的 情 境 两 道 题 都 用 数 字 交 代 和 的 数 量, 用 图 像 交 代 一 个 加 数 的 数 量, 而 让 另 一 个 加 数 的 数 量 处 于 不 明 确 状 态 而 且, 两 道 题 的 和 是 同 样 的 9, 不 同 的 只 是 已 知 的 加 数 左 边 一 题 可 以 看 到 2 个 杯 子, 右 边 一 题 可 以 看 到 4 把 茶 匙 图 式 应 用 题 和 应 用 题 一 样, 要 求 学 生 先 列 出 算 式, 再 求 出 答 案 根 据 这 课 的 教 学 内 容, 学 生 将 列 出 减 法 算 式, 并 求 出 那 个 题 中 没 有 明 确 交 代 的 那 个 加 数 事 实 上, 逆 运 算 的 概 念 比 交 换 律 和 结 合 律 等 运 算 规 律 多 出 了 一 层 意 义, 即 分 析 数 量 关 系 的 意 义 通 过 这 组 题 目, 学 生 在 两 个 方 面 都 得 到 了 练 习 既 从 两 数 之 和 的 关 系 中 通 过 确 认 已 知 数 和 未 知 数 来 确 定 运 算 方 法, 又 练 习 了 数 字 9 不 同 的 两 元 组 合 (7 与 2 5 与 4) 及 与 之 相 关 的 加 减 运 算 ix 86. 第 三 组 练 习 题 由 四 小 组 运 算 题 组 成, 前 三 组 练 习 运 用 逆 运 算 概 念 推 算 减 法 的 得 数, 后 一 组 是 多 步 运 算 练 习 多 步 运 算 练 习 是 为 了 将 来 学 习 结 合 律 而 做 的 预 先 准 备 87. 紧 跟 着 这 篇 课 文, 还 安 排 了 六 组 共 36 个 题 目 (Moro etc., 1980, p.56) 让 学 生 进 一 步 练 习 从 已 知 的 加 法 运 算 推 算 减 法 运 算 的 答 案 88. 同 样, 虽 然 课 文 介 绍 的 是 减 法 是 加 法 的 逆 运 算 这 一 概 念, 但 是 逆 运 算 一 词 也 没 有 出 现 课 文 的 标 题 怎 样 求 一 个 未 知 的 加 数 用 了 学 生 已 经 熟 悉 的 术 语 加 数, 和 一 个 新 概 念 未 知 相 信 这 样 的 处 理 也 是 与 对 学 生 认 知 负 担 的 合 理 考 量 有 关 互 补 律 89. 两 数 之 和 或 两 数 之 积, 小 学 数 学 里 这 两 种 最 基 本 的 数 量 关 系 都 是 由 三 个 数 组 成 的 任 何 三 个 数, 一 旦 形 成 两 数 之 和 或 两 数 之 积 的 关 系, 就 会 出 现 这 样 的 情 况 : 如 果 一 个 数 不 变, 另 外 两 个 数 的 改 变 必 定 是 有 规 律 地 联 系 着 的 举 3 与 2 的 和 是 5 为 例, 假 定 和 5 不 变, 那 么 如 果 第 一 个 加 数 3 增 加, 第 二 个 加 数 2 则 必 须 得 减 少, 而 且 增 加 和 减 少 的 必 须 是 同 一 个 量, 否 则 两 数 之 和 的 数 量 关 系 就 破 坏 了 这 就 是 互 补 律 互 补 律 反 映 在 加 法 和 乘 法 里, 也 反 映 在 它 们 的 逆 运 算 减 法 和 除 法 里 利 用 互 补 律, 可 以 使 许 多 运 算 变 得 简 便 x 18

19 90. 在 UCSMP 翻 译 的 这 本 前 苏 联 小 学 课 本 里 我 没 有 见 到 把 加 法 互 补 律 的 实 例 但 是 在 中 国 小 学 数 学 教 学 的 教 室 里, 我 曾 经 观 察 到 一 年 级 教 师 引 导 学 生 找 规 律 寻 找 加 减 算 式 中 数 量 变 化 的 规 律 这 其 实 就 是 在 引 导 学 生 接 触 加 减 法 互 补 律 上 课 的 时 候, 老 师 带 来 三 块 小 黑 板, 每 块 小 黑 板 上 有 五 道 算 式 题 这 五 道 题 学 生 只 能 看 见 上 面 的 三 道 下 面 两 道 题 是 用 纸 遮 着 的 老 师 先 出 示 一 块 小 黑 板, 引 导 学 生 观 察 上 面 的 三 个 算 式 里 数 量 变 化 有 什 么 规 律 经 过 一 阵 热 闹 的 观 察 和 讨 论, 学 生 找 到 了 规 律 : 从 上 到 下, 这 三 道 题 依 次 是 第 一 个 加 数 减 1 第 二 个 加 数 加 1, 和 不 变 反 过 来, 从 下 到 上, 这 三 道 题 依 次 是 第 一 个 加 数 加 1 第 二 个 加 数 减 1, 和 还 是 不 变 他 们 还 发 现, 在 第 一 题 和 第 三 题 之 间, 增 加 或 减 少 的 数 字 是 2, 和 同 样 不 变 这 时, 老 师 揭 去 盖 着 的 纸, 露 出 下 面 两 道 有 空 格 的 题 目 学 生 立 即 就 猜 出 这 些 空 格 里 该 填 上 什 么 数 字 了 接 下 来, 老 师 又 带 领 全 班 完 成 了 另 外 两 块 小 黑 板 上 的 题 目, 找 到 了 另 外 两 条 规 律 : 一 个 加 数 不 变, 另 一 个 加 数 增 加 或 减 少 一 个 数, 和 增 加 或 减 少 同 一 个 数 ; 被 减 数 不 变, 减 数 增 加 或 减 少 一 个 数 观 察 和 发 现 规 律 例 1 第 一 个 加 数 每 次 加 1, 第 二 个 加 数 每 次 减 一, 和 不 变 : = = = = = 6 观 察 和 发 现 规 律 例 2 一 个 加 数 增 加, 和 相 应 地 增 加 : = = = = = 9 观 察 和 发 现 规 律 例 3 减 数 增 加, 差 反 而 相 应 减 少 : 6 1 = = = = = 4 图 8: 引 导 学 生 通 过 观 察 发 现 或 注 意 到 互 补 律 91. 在 上 面 任 何 一 个 例 子 里, 学 生 通 过 观 察 表 中 的 算 式 里 哪 一 个 量 没 有 变? 哪 两 个 量 变 了? 怎 么 变 的? 都 很 容 易 发 现 变 化 的 规 律 他 们 一 旦 发 现 了 规 律, 就 不 仅 能 够 填 出 表 里 面 的 空 缺, 而 且 还 能 把 这 个 规 律 应 用 到 其 他 数 字 的 运 算 里 去 加 法 结 合 律 与 和 是 的 进 位 加 法 92. 加 法 结 合 律 以 及 它 在 减 法 里 的 应 用, 是 学 生 联 系 记 数 法 原 则 理 解 进 位 加 法 和 退 位 减 法 的 算 理 的 重 要 概 念, 也 是 进 行 一 位 数 进 位 加 法 和 退 位 减 法 推 算 的 重 要 思 维 工 具 在 课 本 (Moro etc., 1980) 中, 加 法 结 合 律 以 及 它 在 减 法 里 的 应 用 是 通 过 四 篇 课 文 介 绍 的 : 和 加 一 个 数 (Adding a Number to a Sum (p.106)), 和 减 一 个 数 (Subtracting a Number from a Sum (p.113) ), 一 个 数 加 和 (Adding a Sum to a Number (p.125) ), 以 及 一 个 数 减 和 (Subtracting a Sum from a Number (p.142) ) xi 这 样 的 安 排, 既 照 顾 到 了 这 些 规 律 在 实 际 运 算 中 的 不 同 情 况, 又 遵 照 了 对 于 学 生 来 说 由 易 到 难 的 顺 序 这 四 篇 课 文 的 内 容 结 构 很 相 似 概 念 介 绍 部 分 都 是 由 三 排 每 排 三 幅 的 卡 19

20 通 和 相 关 的 算 式 组 成 ( 加 法 的 题 材 是 鸟, 减 法 的 题 材 是 鱼 ) 课 后 的 练 习, 都 是 一 组 要 求 学 生 用 三 种 办 法 解 答 的 两 步 运 算 题 由 于 一 个 数 加 和 是 解 释 并 帮 助 学 生 理 解 进 位 加 法 的 关 键, 我 们 以 该 课 课 文 作 为 例 子 : 图 9: 向 一 年 级 小 学 生 介 绍 结 合 律 (Moro etc., 1980, p.125) 93. 代 表 课 文 标 题 一 个 数 加 和 的 算 式 是 4+(2+1) 4 加 上 2 与 1 的 和, 我 们 又 一 次 看 到, 高 数 段 需 要 的 思 维 工 具, 是 通 过 学 生 已 经 掌 握 了 的 低 数 段 数 字 介 绍 的 低 数 段 数 字 配 上 图, 保 证 学 生 在 没 有 运 算 负 担 的 情 况 下, 集 中 于 概 念 的 理 解 94. 三 排 卡 通 好 像 在 诉 说 三 个 故 事, 这 三 个 故 事 的 开 头 和 结 果 都 是 同 样 的, 但 是 中 间 过 程 不 同 由 每 排 第 一 幅 画 表 达 的 故 事 的 开 头 是 : 树 枝 上 停 着 4 只 小 鸟, 空 中 飞 来 3 只 小 鸟, 两 只 在 前, 一 只 在 后, 用 算 式 4+(2+1) 表 达 这 个 情 景 95. 第 一 个 故 事 的 第 二 幅 画, 飞 在 后 面 的 1 只 小 鸟 赶 上 来 了,3 只 小 鸟 排 成 一 列 往 下 飞, 可 以 预 见 它 们 将 同 时 落 到 树 枝 上, 所 以 图 下 的 算 式 是

21 96. 第 二 个 故 事 的 第 二 幅 画, 空 中 的 3 只 小 鸟 保 持 2 只 在 前 1 只 在 后 的 状 态, 可 以 预 想 前 面 的 2 只 将 先 落 到 树 枝 上, 所 以 图 下 的 算 式 是 (4+2) 第 三 个 故 事 的 第 二 幅 画, 空 中 的 3 只 小 鸟 变 成 了 1 只 在 前 2 只 在 后 的 状 态, 可 以 预 想 前 面 的 1 只 将 先 落 到 树 枝 上, 所 以 图 下 的 算 式 是 (4+1) 而 三 个 故 事 的 第 三 幅 画 又 是 同 样 的,7 只 鸟 都 停 在 了 树 枝 上 通 过 这 三 个 故 事 揭 示 出, 同 样 4+(2+1) 开 头, 有 三 种 可 能 的 运 算 过 程 而 达 到 同 样 的 结 果 : 4 + ( 2 + 1) = = ( 2 + 1) = ( ) + 1 = = ( 2 + 1) = ( ) + 2 = = 概 念 介 绍 下 面 的 练 习 是 一 组 一 个 数 加 和 的 题 目, 每 个 题 都 要 求 学 生 用 3 种 不 同 的 方 法 解 答, 所 用 的 数 字, 是 第 二 数 段 的, 不 涉 及 进 位 100. 当 一 个 数 加 一 个 两 数 之 和 的 时 候, 它 可 以 直 接 与 和 相 加, 也 可 以 先 与 构 成 和 的 任 何 一 个 加 数 相 加, 再 与 其 另 一 个 加 数 相 加 一 个 数 加 一 个 两 数 之 和 的 这 些 求 解 方 式 的 学 习, 为 学 生 学 习 和 是 的 一 位 数 加 法 运 算 作 好 了 准 备 请 看 下 面 介 绍 和 是 的 一 位 数 加 法 的 课 文 : Figure 10: 介 绍 一 位 数 进 位 加 法 课 文 (Moro etc., 1980, p.138) 101. 请 注 意, 介 绍 一 位 数 进 位 加 法 即 和 是 的 一 位 数 加 法 运 算 的 课 文, 却 用 了 一 道 题 目 作 为 标 题 102. 标 题 的 下 方 是 一 个 方 框, 方 框 分 割 成 两 排, 每 排 有 10 个 格 子 代 表 第 一 个 加 数 的 9 个 黑 色 半 圆, 排 列 在 第 一 排, 代 表 第 二 个 加 数 的 5 个 灰 色 半 圆 被 拆 成 两 个 部 分 :1 个 和 4 个 其 中 的 1 个 放 在 第 一 排, 与 代 表 第 一 个 加 数 的 9 个 黑 色 半 圆 一 起 填 满 10 个 格 子 另 外 4 个 灰 色 半 圆 放 在 第 二 排, 如 此 构 成 和 的 数 字 : 方 框 下 面 与 之 相 应 的 算 式 是 : = 9 + ( ) = ( ) + 4 = 方 框 的 图 解 和 算 式 合 在 一 起, 交 代 了 和 是 一 位 数 加 法 的 算 理 : 105. 两 个 一 位 数 相 加, 如 果 和 大 于 10, 得 先 把 一 个 加 数 拆 成 两 个 部 分 其 中 的 一 个 部 分 与 另 一 个 加 数 凑 成 一 个 10, 成 为 和 的 十 位 数 上 的 1; 被 拆 加 数 的 另 一 部 分, 便 成 为 21

22 和 的 个 位 上 的 数 我 们 使 用 的 十 进 位 位 值 制 的 记 数 法 规 定 了 必 须 这 么 做, 结 合 律 证 明 了 可 以 这 么 做 106. 该 算 理 实 施 的 技 术 上 的 关 键, 是 要 决 定 在 两 个 加 数 中, 保 留 哪 个 拆 开 哪 个? 怎 么 拆? 比 较 合 理 的 做 法 是 保 留 大 的 拆 小 的, 因 为 与 大 数 凑 成 10 的 数, 比 与 小 数 凑 成 10 的 数 更 容 易 被 我 们 看 到, 这 样 做 的 话, 下 一 步 把 另 一 个 加 数 拆 成 哪 两 个 部 分 就 比 较 容 易 决 定 107. 要 让 学 生 认 识 上 述 算 理 和 实 施 的 技 术, 9 加 一 个 数 的 运 算 是 最 好 的 例 子 因 为 与 9 是 和 10 最 近 的 数 字, 与 9 凑 成 10 的 数 1 最 容 易 被 学 生 看 出 来 而 且, 一 个 数 被 拆 出 1 之 后 所 剩 的 部 分 也 最 容 易 算, 所 以 运 算 难 度 也 是 最 低 的 让 我 们 比 较 一 下 两 个 加 法 运 算 9+6 和 7+5, 看 出 前 者 9 需 要 1 即 可 以 凑 成 10, 从 6 减 去 1 得 5, 然 后 把 10 和 5 合 成 和 15, 比 看 出 后 者 7 需 要 3 可 以 凑 成 10, 从 5 减 去 3 得 2, 然 后 把 10 和 2 合 成 和 12 要 明 显 地 容 易 尽 管 前 者 的 数 字 比 后 者 要 来 得 大 由 此 看 来, 课 文 以 9+5 作 为 标 题 是 很 妙 的 :9 加 一 个 数 是 和 是 加 法 运 算 的 入 门, 而 如 果 真 正 懂 得 了 9+5 的 算 理, 就 掌 握 了 这 一 阶 段 运 算 技 能 的 模 板 template, 可 以 举 一 反 三 地 运 用 到 其 他 数 字 的 运 算 中 去 108. 课 文 在 分 析 了 9+5 的 算 理 之 后, 又 安 排 了 另 一 个 题 目 8+3, 用 同 样 的 图 解 和 算 式 说 明 算 理 在 难 度 上,8 加 一 个 数 的 运 算 仅 高 于 9 加 一 个 数 的 运 算 8+3=11, 既 是 前 面 9+5=14 所 揭 示 的 算 理 的 佐 证, 又 是 实 施 算 理 的 技 术 运 用 与 新 案 例 的 展 示 而 且, 9+5 和 8+3 运 算 过 程 相 对 照, 是 帮 助 学 生 发 现 和 是 一 位 数 加 法 运 算 中 数 字 规 律 pattern(9 加 一 个 数, 等 于 10 加 另 一 个 加 数 减 1,8 加 一 个 数, 等 于 10 加 另 一 个 加 数 减 2, 以 此 类 推 ) 的 好 材 料 109. 概 念 介 绍 后 面 的 练 习 部 分 共 四 道 题, 除 了 求 得 答 案 以 外, 还 要 求 解 释 算 理 前 两 道 题 9+7 和 8+5, 是 例 题 介 绍 的 算 理 和 技 术 的 直 接 演 练, 后 两 道 题 7+6 和 6+5, 则 要 求 学 生 把 新 学 得 的 算 理 和 技 术 应 用 于 新 的 情 况 事 实 上, 所 有 和 是 的 一 位 数 加 法 运 算 题, 都 是 或 者 都 可 以 转 化 为 9 加 一 个 数 8 加 一 个 数 7 加 一 个 数 和 6 加 一 个 数 这 四 种 情 况 中 的 一 种 xii 所 以, 通 过 这 四 道 练 习 题 的 操 练, 学 生 已 经 遇 到 并 实 践 了 所 有 种 类 情 况 的 运 算 在 本 课 之 后 的 几 页 课 本 上, 还 安 排 了 更 多 的 的 一 位 数 加 法 运 算 题 110. 和 与 被 减 数 是 的 一 位 数 加 减 法 是 一 位 数 加 减 法 运 算 的 最 后 一 段 从 技 术 上 讲, 也 是 难 度 最 大 的 一 段 表 面 上 看, 本 阶 段 运 算 算 理 的 解 释 只 用 两 个 思 维 工 具 :10 进 位 记 数 法 和 加 法 结 合 律 但 是, 用 这 两 个 思 维 工 具 顺 利 地 进 行 和 与 被 加 数 是 的 一 位 数 加 减 法 的 推 算, 却 必 须 在 一 定 的 基 础 上 完 成 这 个 基 础 包 括 两 个 方 面 : 能 够 熟 练 地 掌 握 数 字 2-10 的 二 元 组 合 与 加 减 运 算 ; 已 经 养 成 推 算 的 习 惯, 并 且 懂 得 使 用 交 换 律 逆 运 算 等 其 他 思 维 工 具 进 行 推 算 22

23 111. 好 在 之 前 三 个 阶 段 的 学 习, 已 经 为 学 生 建 立 起 了 这 个 基 础 参 照 图 4 的 九 个 台 阶, 在 进 入 本 教 学 阶 段 之 前, 学 生 已 经 站 在 了 第 七 个 之 上, 剩 下 的 就 是 最 后 两 步 了 推 算 法 是 从 学 生 刚 入 学 时 带 来 的 小 数 段 的 心 算 能 力 出 发 的, 到 本 阶 段 结 束 时, 帮 助 学 生 完 成 了 一 位 数 加 减 心 算 能 力 的 发 展, 并 且 在 数 学 思 维 工 具 的 积 累 方 面 跨 上 了 九 个 可 以 作 为 今 后 数 学 学 习 基 础 的 台 阶 思 维 工 具 计 数 器 和 数 字 事 实 112. 通 过 以 上 的 实 例, 我 们 对 如 何 把 推 算 法 所 用 的 思 维 工 具 介 绍 给 一 年 级 学 生 的 整 个 过 程 有 了 一 个 大 致 的 但 又 是 比 较 全 面 的 了 解 推 算 法 与 美 国 读 者 熟 悉 的 数 数 法 和 记 背 事 实 法 之 间 各 有 相 似 之 处, 也 各 有 不 同 之 处 113. 从 一 方 面 看, 推 算 法 和 记 背 事 实 法 有 些 相 似 它 们 都 有 较 多 的 书 面 练 习 但 是, 记 背 事 实 法 强 调 的 是 记 住 学 生 自 己 无 法 参 与 决 定 的 事 实, 而 推 算 法 则 激 励 和 帮 助 学 生 自 己 想 出 答 案, 通 过 学 生 的 思 维 活 动, 增 强 对 运 算 结 果 的 印 象, 而 最 终 发 展 起 心 算 能 力 事 实 上, 当 我 们 说 算, 常 常 是 包 含 了 想 的 推 算 法 就 是 在 教 一 年 级 的 小 学 生 如 何 通 过 想 来 算 114. 从 另 一 方 面 看, 推 算 法 又 和 数 数 法 有 些 相 似 它 们 都 注 重 学 生 原 来 的 运 算 能 力 并 强 调 学 生 依 靠 自 己 求 得 答 案 但 是, 数 数 法 是 让 学 生 继 续 依 靠 手 指 或 其 他 计 数 器, 对 心 算 能 力 的 发 展 放 任 自 流 而 推 算 法 则 是 利 用 学 生 原 始 的 数 量 概 念 逐 步 引 进 数 学 思 维 工 具, 并 借 助 这 些 思 维 工 具, 有 步 骤 地 发 展 起 学 生 一 位 数 加 减 法 的 心 算 能 力 除 了 儿 童 已 经 掌 握 了 的 诸 如 直 观 数 字 这 样 的 最 小 的 数 字, 对 一 位 数 进 行 加 法 和 减 法 的 运 算 是 超 出 刚 入 学 的 小 学 生 的 能 力 的 推 算 法 和 数 数 法 的 根 本 区 别, 在 于 当 学 生 遭 遇 本 身 运 算 能 力 的 局 限 时, 是 依 靠 计 数 器 求 得 答 数, 还 是 依 靠 思 维 工 具 扩 展 运 算 能 力 推 算 法 对 儿 童 的 手 指 运 算 法 是 不 鼓 励 的 我 认 识 的 中 国 小 学 教 师 曾 用 断 奶 的 比 喻, 说 明 学 生 必 须 放 弃 数 手 指, 才 能 专 心 发 展 心 算 能 力 为 此, 推 算 法 必 须 有 比 数 数 法 和 记 背 事 实 法 更 为 精 心 的 教 学 设 计 和 练 习 安 排, 以 保 证 学 生 顺 利 跨 越 数 手 指 的 习 惯 和 尚 未 企 及 的 心 算 能 力 之 间 的 距 离 115. 通 过 以 上 的 课 文 实 例, 可 以 看 到 贯 穿 课 本 的 一 个 可 贵 的 特 点 : 在 最 终 的 高 要 求 和 当 下 的 低 难 度 之 间 取 得 平 衡 在 长 远 的 目 标 上, 课 本 对 于 学 生 心 算 能 力 的 要 求 是 高 的 前 苏 联 的 课 本 不 仅 要 求 学 生 掌 握 20 以 内 加 减 法 的 心 算, 还 要 求 学 生 掌 握 100 以 内 加 减 法 的 心 算 但 是, 从 具 体 学 习 任 务 的 设 计 上 看, 课 本 对 于 学 生 的 认 知 活 动 又 是 非 常 的 体 贴 每 一 次 引 进 一 个 新 概 念 的 时 候, 运 算 方 面 的 认 知 负 担 都 减 到 最 低 ; 数 以 千 计 的 运 算 练 习, 题 目 与 题 目 之 间 相 联 系, 题 组 与 题 组 之 间 相 联 系, 引 导 学 生 通 过 许 许 多 多 可 以 承 受 的 挑 战, 一 步 一 步 地 发 展 起 运 算 能 力 23

24 三 个 问 题 的 提 出 116. 在 本 文 开 始 的 时 候, 我 指 出 了 一 位 数 加 减 法 心 算 在 小 学 数 学 学 习 中 的 重 要 性, 并 提 出 美 国 小 学 数 学 界 应 当 反 思 这 一 内 容 教 学 的 建 议 在 文 中, 我 着 重 介 绍 了 当 今 美 国 读 者 比 较 陌 生 的 一 种 一 位 数 加 减 法 的 教 学 利 用 思 维 工 具 从 已 知 的 知 识 求 未 知 的 运 算 答 案 的 推 算 法 最 后, 我 想 提 请 读 者 一 起 思 考 三 个 问 题 问 题 一 : 运 算 必 定 是 机 械 的 不 需 要 思 考 的 吗? 117. 近 几 十 年 来, 在 美 国 小 学 数 学 界, 运 算 教 学 是 受 到 轻 视 的 在 人 们 心 目 中, 运 算 与 机 械 性 学 习 和 死 记 硬 背 这 样 低 级 的 思 维 活 动 联 系 在 一 起, 而 和 概 念 的 理 解 问 题 解 决 等 高 级 的 思 维 活 动 无 关 118. 那 么, 之 前 本 文 介 绍 的 可 以 帮 助 开 始 一 年 级 课 程 的 小 学 生 依 靠 通 过 交 换 律 结 合 律 逆 运 算 等 思 维 工 具 发 展 起 一 位 数 加 减 法 心 算 能 力 的 推 算 法, 是 不 是 可 以 作 为 一 个 例 子, 说 明 其 实 运 算 可 以 不 是 机 械 性 的 不 是 死 记 硬 背 的 而 是 在 积 极 的 思 维 过 程 中 完 成 的? 119. 如 果 运 算 不 一 定 是 机 械 的, 是 可 能 在 积 极 思 维 过 程 中 完 成 的, 那 么 我 们 当 前 把 运 算 等 同 于 死 记 硬 背 的 误 解 又 是 怎 么 产 生 的 呢? 为 什 么 美 国 很 少 看 到 和 前 面 例 子 类 似 的 含 有 精 心 设 计 的 在 鼓 励 学 生 动 脑 筋 的 同 时 又 为 他 们 系 统 地 介 绍 思 维 工 具 的 运 算 教 学? 问 题 二 : 如 何 对 待 学 生 带 到 学 校 里 来 的 知 识? 120. 一 年 级 学 生 入 学 时, 已 经 具 备 了 一 定 的 数 学 运 算 能 力, 他 们 是 带 着 原 有 的 数 学 知 识 来 到 学 校 的 以 本 文 主 题 一 位 数 加 减 法 运 算 为 例, 入 学 前 儿 童 自 己 的 运 算 方 法 一 般 包 含 两 种 技 能 :1) 小 数 字 ( 比 如 直 观 数 量 ) 用 心 算 ;2) 心 算 能 力 所 不 能 及 的, 借 助 计 数 器 ( 手 指 ) 和 数 数 求 得 答 数 在 儿 童 生 活 中, 这 两 项 技 能 根 据 运 算 的 需 要 交 替 使 用 是 同 样 重 要 的 121. 然 而 有 意 思 的 是, 同 样 诉 诸 学 生 入 学 前 已 经 具 备 的 数 学 能 力 的 数 数 法 和 推 算 法, 在 一 位 数 加 减 法 教 学 中 所 重 视 的, 却 各 只 是 其 中 的 一 种 122. 数 数 法 重 视 的 是 学 生 借 助 计 数 器 进 行 一 位 数 加 减 运 算 的 技 能 教 学 的 任 务, 在 于 帮 助 学 生 从 低 级 的 策 略 过 渡 到 高 级 的 数 数 策 略, 最 终 达 到 用 计 数 器 和 数 数 熟 练 有 效 地 求 得 一 位 数 加 减 法 答 案 的 结 果 123. 推 算 法 诉 诸 的, 却 是 儿 童 对 小 数 字 的 心 算 能 力 儿 童 入 学 前 已 经 达 到 的 对 直 观 数 量 和 其 他 小 数 量 的 熟 练 掌 握, 代 表 着 他 们 最 基 本 的 数 量 概 念 数 量 大 小 magnitude 的 概 念 和 数 量 关 系 的 概 念 推 算 法 以 儿 童 的 这 些 最 基 本 的 数 量 概 念 为 依 托, 一 步 一 步 地 向 儿 童 介 绍 相 关 的 数 学 思 维 工 具, 引 导 儿 童 利 用 这 些 思 维 工 具, 从 已 知 求 未 知, 逐 步 扩 展 他 们 的 心 算 能 力, 最 终 发 展 期 熟 练 地 进 行 一 位 数 加 减 心 算 的 能 力 24

25 124. 在 如 何 对 待 学 生 带 到 学 校 里 来 的 数 学 知 识 这 个 问 题 上, 数 数 法 和 推 算 法 遵 循 着 根 本 不 同 的 原 则 数 数 法 的 原 则, 是 要 保 留 儿 童 的 数 学, 鼓 励 并 帮 助 学 生 依 靠 他 们 自 己 的 办 法 解 决 运 算 问 题 推 算 法 的 原 则, 是 要 尽 早 把 儿 童 引 上 正 式 数 学 的 轨 道, 学 习 用 学 科 的 方 法 解 决 问 题 由 于 这 原 则 上 的 不 同, 使 得 二 者 对 儿 童 原 有 数 学 知 识 和 技 能 的 注 意 选 择, 以 及 对 之 采 取 的 措 施 都 不 一 样 最 后 的 结 果 也 不 同 125. 遵 循 不 同 的 原 则 的 两 种 方 法 在 处 理 学 生 的 认 知 负 担 方 面 也 有 不 同 的 特 征 数 数 法 的 特 征 是 无 难 度 无 积 累 由 于 效 率 不 同 的 数 数 策 略 是 从 儿 童 自 身 行 为 中 观 察 总 结 出 来 的, 所 以 引 导 他 们 一 步 一 步 地 过 渡, 其 实 是 在 他 们 原 定 的 轨 迹 orbit/path 前 移, 是 没 有 难 度 的 当 一 种 高 效 率 的 新 策 略 取 代 了 低 效 率 的 旧 策 略, 旧 策 略 就 没 用 了, 所 以 是 没 有 积 累 的 比 如, 从 全 数 过 渡 到 从 第 一 个 数 开 始 数, 儿 童 不 会 觉 得 难, 而 是 更 容 易 了 更 有 效 了 而 一 旦 开 始 了 从 第 一 个 开 始 数 的 新 策 略, 全 数 的 旧 策 略 就 不 再 有 意 义 了 这 就 是 无 难 度 无 积 累 126. 推 算 法 的 特 征 是 低 难 度 有 积 累 每 一 步 都 有 一 点 难 度, 然 而 是 学 生 可 以 承 受 的, 所 以 是 低 难 度 当 一 个 又 一 个 的 新 的 思 维 工 具 被 引 进 后, 之 前 引 进 的 并 不 是 被 取 代, 而 是 将 继 续 协 同 新 引 进 的 思 维 工 具 在 运 算 中 发 挥 作 用, 所 以 是 有 积 累 的 比 如, 在 和 与 被 减 数 是 6-9 的 加 减 法 的 教 学 阶 段, 前 后 引 进 了 交 换 律 逆 运 算 和 互 补 律 数 种 用 以 从 已 知 推 算 未 知 的 思 维 工 具, 没 有 一 种 先 引 进 的 思 维 工 具 会 因 为 后 引 进 的 而 失 去 作 用 非 但 在 本 阶 段 教 学 中 不 失 去 作 用, 而 且 还 将 继 续 在 之 后 的 阶 段 和 与 被 减 数 是 10 的 加 减 法 和 与 被 减 数 是 的 加 减 法 乃 至 今 后 所 有 的 小 学 数 学 学 习 中 发 生 作 用 这 就 是 低 难 度 有 积 累 我 们 用 图 13 来 演 示 无 难 度 无 积 累 和 低 难 度 有 积 累 的 区 别 : Counting Extrapolating 图 11: 两 种 认 知 负 担 的 比 较 : 无 难 度 无 积 累 和 低 难 度 有 积 累 127. 通 过 图 11 我 想 展 示 的 一 个 观 点 是, 通 过 依 靠 数 计 数 器 的 数 数 法, 学 生 前 进 了, 可 以 用 有 效 的 策 略 算 出 一 位 数 加 减 的 得 数 了, 但 是 他 们 心 算 能 力 和 抽 象 思 维 方 面 的 提 高 是 非 常 有 限 的 而 通 过 依 靠 思 维 工 具 从 已 知 求 未 知 的 推 算 法, 学 生 不 仅 发 展 起 一 位 数 加 减 法 的 心 算 能 力, 而 且 还 在 抽 象 思 维 能 力 方 面 得 到 明 显 的 提 高 128. 当 儿 童 成 为 一 年 级 小 学 生 的 时 候, 我 们 究 竟 要 如 何 对 待 他 们 带 到 学 校 里 来 的 数 学 知 识? 是 让 学 生 的 认 知 保 持 在 所 谓 儿 童 数 学 状 态 并 让 该 状 态 得 到 充 分 发 展, 还 25

26 是 有 计 划 地 引 领 他 们 的 认 知 状 态 离 开 所 谓 儿 童 数 学, 向 学 科 知 识 提 升? 如 果 让 所 谓 儿 童 数 学 的 状 态 充 分 发 展, 会 发 展 成 怎 样? 能 自 然 地 发 展 出 学 科 知 识 吗? 没 有 上 过 学 的 巴 西 卖 糖 少 年 的 运 算 本 领 曾 经 震 动 了 数 学 教 育 界 然 而 他 们 的 运 算 本 领, 能 和 数 学 学 科 知 识 划 等 号 吗? 或 者, 能 自 然 地 过 渡 到 数 学 学 科 知 识 吗? 现 今 美 国 青 少 年 可 能 自 行 发 展 到 巴 西 卖 糖 少 年 那 样 的 水 平 吗? 即 使 能, 那 是 我 们 所 要 的 吗? 问 题 三 : 究 竟 有 没 有 真 正 纯 粹 的 所 谓 儿 童 数 学? 129. 在 当 前 美 国 小 学 数 学 界, 学 生 带 到 学 校 里 来 的 数 学 知 识, 或 称 为 儿 童 数 学, 备 受 关 注 儿 童 数 学 的 存 在, 也 是 数 数 法 的 理 论 根 据 但 是, 学 生 带 到 学 校 里 来 的 数 学 知 识 究 竟 是 什 么? 这 样 的 知 识 状 态 能 保 持 多 久? 真 的 有 纯 粹 的 所 谓 儿 童 数 学 吗? 130. 儿 童 数 学 这 个 概 念 的 来 源, 当 可 以 追 朔 到 皮 亚 杰 对 儿 童 数 学 能 力 发 展 阶 段 的 研 究 随 着 上 世 纪 六 十 年 代 末 皮 亚 杰 开 始 在 教 育 界 受 到 的 欢 迎, 儿 童 数 学 儿 童 算 术 这 样 的 词 汇 越 来 越 频 繁 地 出 现 在 一 些 数 学 教 育 的 学 术 论 文 或 学 术 著 作 里 然 而, 无 论 是 作 者 还 是 读 者, 似 乎 都 忽 视 了 一 个 重 要 事 实 : 除 了 短 暂 的 婴 儿 阶 段, 纯 粹 的 儿 童 数 学 其 实 是 不 存 在 的 131. 真 实 的 情 况 是 : 儿 童 认 知 的 成 长, 无 论 是 数 学 方 面 还 是 其 他 方 面, 都 是 在 广 义 的 教 育, 即 成 人 为 儿 童 心 智 发 展 而 营 造 的 认 知 环 境 里 发 生 的 成 人 为 儿 童 心 智 发 展 而 营 造 的 认 知 环 境 有 非 正 式 教 育 和 正 式 教 育 两 种, 儿 童 认 知 的 发 展, 是 他 们 先 天 的 认 知 禀 赋 和 这 两 种 认 知 环 境 互 动 的 结 果 132. 举 数 学 为 例, 上 学 以 前, 儿 童 生 活 在 非 正 式 教 育 的 认 知 环 境 里, 他 们 的 家 长 或 抚 养 人 在 日 常 生 活 里 随 机 即 兴 地 对 他 们 进 行 口 头 的 数 学 教 育 在 数 学 教 育 的 学 者 Fuson 在 她 的 著 作 Children's Counting and Concepts of Number (Fuson, 1988) 一 书 中, 不 仅 用 日 记 形 式 记 下 自 己 两 个 女 儿 数 学 认 知 发 展 的 实 例, 也 有 对 其 他 有 关 研 究 进 行 了 归 纳 书 中 所 有 的 例 子, 都 离 不 开 孩 子 和 成 人 的 互 动 无 论 是 学 者 Fuson 和 她 的 丈 夫, 还 是 其 他 非 学 者 的 普 通 人 母 亲, 都 会 有 策 略 地 为 他 们 的 学 龄 前 儿 童 营 造 发 展 数 字 概 念 的 认 知 环 境 xiii 反 过 来, 试 想 如 果 一 个 儿 童 不 和 任 何 人 接 触, 或 者 一 群 儿 童 不 和 成 人 社 会 接 触, 到 了 入 学 年 龄, 他 们 能 自 己 发 展 起 我 们 今 天 能 够 观 察 到 的 所 谓 儿 童 数 学 或 儿 童 算 术 吗? 答 案 当 然 是 否 定 的 所 以, 儿 童 在 入 学 时 带 到 学 校 来 的, 其 实 并 不 是 他 们 自 己 的 数 学 知 识, 而 是 他 们 先 天 数 学 认 知 的 禀 赋 和 非 正 式 教 育 环 境 互 动 的 结 果 事 实 上, 在 成 人 养 育 下 成 长 起 来 的 儿 童, 他 们 纯 粹 的 儿 童 数 学 是 无 法 测 到 的 133. 入 学 以 后, 儿 童 的 心 智 发 展 又 增 加 了 一 个 新 的 环 境 正 式 教 育 的 认 知 环 境 在 人 类 文 明 数 千 年 的 历 史 上, 正 式 教 育 一 直 是 部 分 社 会 成 员 的 特 权, 教 育 的 普 及, 即 使 在 美 国 这 样 的 发 达 国 家, 也 只 是 近 一 百 几 十 年 的 事 一 般 来 说, 正 式 教 育 在 专 门 的 地 方 由 专 门 的 教 师 在 固 定 的 时 间 里 进 行, 其 教 育 的 内 容 是 以 文 本 知 识 为 主 的 正 式 教 育 26

27 一 旦 开 始, 儿 童 认 知 和 这 个 新 的 认 知 环 境 的 互 动 就 开 始 了 所 以, 即 使 我 们 权 且 把 儿 童 带 到 学 校 里 来 的 入 学 前 在 非 正 式 教 育 环 境 里 获 得 的 数 学 知 识 称 为 儿 童 数 学, 从 理 论 上 讲, 那 也 只 是 他 们 第 一 天 成 为 一 年 级 小 学 生 时 的 情 况 当 他 们 在 学 校 上 了 数 学 课, 接 受 了 正 规 的 数 学 教 育, 他 们 的 数 学 知 识 就 是 他 们 原 有 的 知 识 和 学 校 数 学 教 育 环 境 互 动 的 结 果 了 学 校 提 供 的 数 学 教 育 环 境 不 同, 学 生 的 数 学 知 识 和 数 学 认 知 的 状 态 就 不 同 了 例 如, 两 个 入 学 前 数 学 知 识 相 仿 的 学 生, 一 个 在 数 数 法 教 学 环 境 中 学 习 一 位 数 加 减 运 算, 另 一 个 推 算 法 教 学 环 境 中 学 习 一 位 数 加 减 运 算, 若 干 星 期 之 后, 他 们 的 数 学 知 识 和 认 知 状 况 就 会 有 明 显 的 不 一 样 了 134. 图 14 是 从 出 生 到 15 岁 儿 童 认 知 的 禀 赋 在 和 非 正 式 教 育 和 正 式 教 育 环 境 的 互 动 中 发 展 的 概 念 图 ( 用 虚 线 分 开 的 方 格 一 格 代 表 一 年 ), 图 的 下 方, 用 了 皮 亚 杰 的 认 知 发 展 阶 段 (stages of cognitive development) 作 为 参 照 : 社 会 环 境 对 儿 童 认 知 发 展 的 影 响 : The point when an infant is born The point when a baby understands language Non-formal Education Cognitive development of a child nurtured and stimulated by social knowledge Formal Education The point when a child goes to elementary school 皮 亚 杰 的 儿 童 认 知 发 展 阶 段 : Sensorimotor stage (0-2) Pre-operational stage (2-7) Concrete operational stage (7-12) Formal operational stage (12-15) 图 12: The model of cognitive development of a child nurtured and stimulated by social knowledge (Age 0 15, in a society with public school system) 135. 入 学 之 前, 儿 童 的 认 知 环 境 主 要 是 非 正 式 教 育, 入 学 以 后, 正 式 教 育 成 为 主 要 的 认 知 环 境, 非 正 式 教 育 依 然 起 作 用, 尤 其 在 人 文 方 面 27

28 136. 皮 亚 杰 是 第 一 个 系 统 地 研 究 了 儿 童 数 学 知 识 的 发 展 并 且 建 立 了 完 整 的 理 论 的 人 但 是 他 所 提 出 的 儿 童 从 出 生 到 15 岁 的 认 知 发 展 模 式 里, 却 没 有 考 虑 成 人 营 造 的 教 育 环 境 可 能 产 生 的 影 响 作 为 发 生 认 识 论 的 创 立 者, 皮 亚 杰 的 这 个 疏 忽, 其 实 是 他 研 究 研 究 事 业 的 必 然 137. 我 们 知 道, 皮 亚 杰 终 生 的 事 业 是 创 建 发 生 认 识 论 (genetic epistemology) 发 生 认 识 论, 即 史 前 人 类 知 识 发 生 和 发 展 的 理 论 上 世 纪 六 十 年 代 末, 晚 年 皮 亚 杰 在 总 结 他 一 生 所 致 力 于 创 立 的 学 说 时 说 道 : 发 生 认 识 论 试 图 在 历 史 和 社 会 起 源 (sociogenesis) 的 基 础 上 解 释 人 类 知 识 ( 尤 其 是 科 学 知 识 ); 并 特 别 侧 重 于 解 释 科 学 知 识 所 依 托 的 概 念 与 操 作 的 心 理 成 因 (Piaget, 1968, p.1) xiv (Genetic epistemology attempts to explain knowledge, and in particular scientific knowledge, on the basis of its history, its sociogenesis, and especially the psychological origins of the notions and operations upon which it is based.) 138. 建 立 发 生 认 识 论 的 目 的, 是 要 解 释 史 前 人 类 科 学 知 识 的 起 因 然 而, 今 天 的 人 们, 怎 样 才 能 了 解 史 前 人 类 知 识 的 发 生 呢? 皮 亚 杰 有 他 独 特 的 思 路 请 看 : 发 生 认 识 论 的 基 本 假 设 是 : 人 类 群 体 发 展 按 照 逻 辑 推 理 而 组 织 知 识 的 过 程, 和 儿 童 个 体 心 理 形 成 的 过 程 是 可 以 类 比 的 (Piaget, 1969, p.4) xv (The fundamental hypothesis of genetic epistemology is that there is a parallelism between the progress (that our species) made in the logical and rational organization of knowledge and the corresponding formative psychological processes (of a child).) 139. 十 九 世 纪 后 期, 德 国 生 物 学 家 海 克 尔 (Ernst Haeckel, ) 用 图 解 说 明, 我 们 人 类 个 体 胚 胎 发 育 的 过 程, 是 整 个 人 类 种 群 生 物 进 化 过 程 的 重 演 xvi, 致 使 重 演 论 (Recapitulation Theory) 风 靡 西 方 思 想 界 数 十 年 皮 亚 杰 所 说 的 发 生 认 识 论 的 基 本 假 设 儿 童 个 体 心 理 / 认 识 发 展 的 过 程 重 演 整 个 人 类 认 识 / 知 识 发 展 的 过 程, 就 是 海 克 尔 重 演 理 论 的 延 伸 于 是, 皮 亚 杰 产 生 了 一 个 雄 心 勃 勃 的 设 想 : 基 于 这 个 假 设, 认 识 论 中 成 果 最 为 卓 越 的 研 究 领 域 将 是 : 重 建 人 类 的 历 史 史 前 人 类 的 思 想 史 (Piaget, 1969, p.4) xvii (With this hypothesis, the most fruitful and the most obvious field of study (of epistemology) would be the reconstituting of human history the history of human thinking in prehistoric man.) 140. 也 就 是 说, 既 然 儿 童 个 体 和 认 知 认 知 相 关 的 的 心 理 发 展 是 人 类 群 体 知 识 发 展 的 重 演, 那 么, 通 过 研 究 儿 童, 就 可 以 重 建 史 前 人 类 知 识 发 展 的 过 程 : 28

29 遗 憾 的 是, 关 于 史 前 人 类 的 心 理 活 动 我 们 知 之 甚 少 但 是, 我 们 身 边 有 的 是 儿 童 研 究 儿 童, 便 是 我 们 得 以 研 究 史 前 人 类 逻 辑 知 识 数 学 知 识 和 物 理 知 识 发 展 的 最 佳 途 径 (Piaget, 1969, p.4) xviii (Unfortunately, we are not very well informed in the psychology of primitive man, but there are children all around us. It is in studying children that we have the best chance of studying the development of logical knowledge, mathematical knowledge, and physical knowledge.) 141. 皮 亚 杰 对 胚 胎 重 演 论 (recapitulation theory based on embryology) 作 出 延 伸 之 后, 找 到 了 通 过 研 究 儿 童 来 重 建 史 前 人 类 逻 辑 知 识 数 学 知 识 和 物 理 知 识 发 展 的 途 径 这 就 是 发 生 认 识 论 研 究 的 基 本 思 路 也 是 他 研 究 儿 童 知 识 发 展 的 理 由 所 在 142. 现 在 我 们 可 以 解 释 为 什 么 皮 亚 杰 关 于 儿 童 数 学 知 识 发 展 的 研 究 中, 儿 童 和 成 人 营 造 的 教 育 环 境 之 间 的 互 动 这 个 这 么 重 要 的 因 素 被 忽 略 了 : 对 于 皮 亚 杰, 儿 童 认 知 的 发 展 不 是 他 最 终 感 兴 趣 的 研 究 对 象, 而 是 他 解 决 认 识 论 问 题 的 手 段 他 要 通 过 研 究 儿 童 个 体 的 认 知 发 展, 重 建 史 前 人 类 的 认 知 过 程 他 对 儿 童 发 展 的 关 注, 受 他 研 究 目 的 所 左 右 人 类 史 前 知 识 发 展 的 过 程 里, 是 没 有 和 另 一 个 成 年 的 人 类 之 间 的 互 动 的 在 皮 亚 杰 的 思 维 框 架 里, 儿 童 数 学 知 识 的 发 展, 是 随 着 时 间 的 推 移 ( 年 龄 的 增 长 ) 在 他 们 自 己 活 动 中 在 和 同 伴 的 交 流 即 社 会 化 过 程 中 发 展 起 来 的 这 和 他 想 要 重 建 的 史 前 人 类 认 知 发 展 的 情 况 是 相 符 的, 可 是 和 当 今 人 类 儿 童 认 知 发 展 的 实 际 情 况 是 不 符 的 143. 评 判 发 生 认 识 论 的 是 非 功 过, 不 是 本 文 的 任 务 这 里 要 指 出 的 是, 由 于 某 些 原 因, 小 学 数 学 教 育 界 曾 经 接 受 了 皮 亚 杰 的 儿 童 数 学 的 概 念 而 事 实 上, 真 正 的 儿 童 数 学 其 实 是 不 存 在 的 144. 作 为 小 学 数 学 教 育 的 参 与 者, 教 师 教 材 编 写 者 等 等, 我 们 当 然 渴 望 了 解 学 生 是 怎 样 思 考 数 学 的, 但 是 我 们 也 要 清 醒 地 认 识 到, 没 有 纯 粹 的 一 般 的 学 生 如 何 思 考 数 学 学 生 如 何 思 考 数 学, 一 定 是 特 定 的 学 生 在 特 定 的 时 间 点 之 前 和 特 定 的 教 育 环 境 互 动 的 结 果 145. 环 境 不 同, 互 动 的 结 果 一 定 不 同 儿 童 学 习 数 学 的 环 境, 入 学 之 前 主 要 是 由 家 长 营 造 的 ; 入 学 之 后, 主 要 发 生 在 学 校 里, 是 由 教 学 内 容 ( 教 学 大 纲 课 程 课 本 ) 和 教 师 的 教 学 共 同 参 与 所 营 造 的 不 同 的 家 庭 环 境, 对 儿 童 入 学 前 的 数 学 知 识 差 别 有 很 大 的 影 响 不 同 的 学 校 教 学 环 境, 对 儿 童 入 学 后 的 数 学 学 习 差 别 有 很 大 的 影 响 146. 最 后, 我 要 强 调 : 不 能 把 儿 童 数 学 和 学 生 已 有 的 知 识 混 为 一 谈 真 正 纯 粹 的 所 谓 儿 童 数 学 是 不 存 在 的, 而 学 生 已 有 的 知 识 ( 包 括 数 学 概 念 运 算 技 能 和 思 维 方 法 ), 却 是 教 学 的 重 要 依 据 儿 童 数 学, 意 味 着 它 独 立 于 成 人 影 响 之 外, 而 学 生 已 有 的 知 识 则 是 学 生 和 他 之 前 的 教 育 环 境 互 动 的 结 果 作 为 教 师, 我 们 既 要 了 解 在 自 己 介 入 之 前 学 生 已 有 的 数 学 知 识, 也 要 明 确 教 学 一 旦 开 始, 我 们 自 己 就 是 参 与 决 定 学 生 怎 样 思 考 数 学 的 人 了 29

30 结 束 语 147. 在 文 章 的 开 头 我 们 曾 提 到, 一 位 数 加 减 法 教 学, 作 为 20 以 内 数 字 的 认 识 和 加 减 法 的 一 部 分, 在 奠 定 小 学 数 学 学 习 的 第 一 块 基 石 的 过 程 中 有 不 可 小 视 的 作 用 我 也 指 出 一 位 数 加 减 法 教 学 可 能 存 在 着 不 同 的 教 学 途 径 在 文 章 里, 我 向 美 国 读 者 介 绍 了 推 算 法 这 一 在 中 国 等 国 使 用 的 一 位 数 加 减 的 教 学 途 径 有 意 思 的 是, 如 果 没 有 比 较 和 对 照, 美 国 和 中 国 数 学 教 育 界 或 许 都 难 以 认 识 到 自 己 的 特 点 美 国 小 学 数 学 界 大 概 难 以 想 象 除 了 数 数 法 和 记 背 事 实 法, 一 位 数 加 减 法 还 有 其 他 的 教 学 途 径 而 对 于 中 国 小 学 教 师 来 说, 引 领 学 生 动 脑 筋 是 那 么 的 理 所 当 然, 没 有 人 像 我, 为 了 写 这 篇 文 章 思 索 一 位 数 加 减 法 教 学 中 动 脑 经 的 实 质, 并 把 这 样 的 教 学 途 径 称 之 为 推 算 法, 或 许 也 没 有 人 会 想 到, 交 换 律 结 合 律 等 进 行 推 算 的 依 据, 其 实 是 思 维 工 具 148. 一 位 数 加 减 运 算 只 是 小 学 数 学 教 育 开 始 时 的 一 个 知 识 点, 但 是 我 们 在 文 章 里 所 讨 论 的 它 的 不 同 的 教 学 途 径, 其 实 可 以 折 射 出 整 个 小 学 数 学 教 育 背 后 的 不 同 理 念 2010 年 12 月 公 布 的 中 国 首 次 参 加 国 际 标 准 测 验 时 上 海 学 生 的 优 异 成 绩, 引 起 美 国 读 者 对 中 国 数 学 教 育 的 更 大 兴 趣 可 是 美 国 读 者 或 许 不 知 道, 中 国 国 家 教 育 部 2001 年 出 版 的 小 学 数 学 义 务 教 育 课 程 标 准, 明 显 地 受 到 美 国 NCTM 课 程 标 准 的 影 响 愿 此 文 能 够 对 两 国 数 学 教 育 界 反 思 本 国 数 学 教 育 现 状 的 人 们 有 所 帮 助 30