虎克定律實驗 楊勝斐

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1 虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1

2 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形 量. 原 理 :.1 虎 克 定 率 : 一 理 想 之 彈 簧, 當 其 受 外 力 而 變 形 時, 變 形 量 和 外 力 成 正 比, 稱 之 為 虎 克 定 律 如 圖 1 所 示, 若 外 力 F 施 於 彈 簧, 而 使 其 位 移 x, 則 位 移 x 與 彈 簧 回 復 之 反 彈 力 F 成 正 比 但 方 向 相 反 ( 差 一 負 號 ) 因 此, 虎 克 定 律 可 以 表 示 成 s F s = k x (1) 其 中 k 是 彈 簧 的 彈 性 係 數, 一 般 而 言, k 值 越 大 則 彈 簧 較 硬, 如 汽 車 卡 車 所 用 的 避 震 器 彈 簧, 用 手 的 力 量 是 幾 乎 壓 不 動 的 反 之 k 值 越 小 則 彈 簧 較 軟, 只 要 小 的 力 量 就 可 以 讓 它 變 形 例 如 自 動 彈 簧 磅 秤 ( 詳 見 第 6 節 ) 自 動 鉛 筆 與 衣 夾 子 所 使 用 的 彈 簧 測 量 k 值 最 方 便 的 方 法 就 是 同 時 量 測 施 力 F 與 變 形 量 x, 求 其 比 例 即 可 得 到 彈 性 係 數 k 值 得 注 意 的 是, 所 有 用 來 製 造 彈 簧 的 材 料 皆 有 其 破 壞 強 度 與 變 形 量 限 制 ( 請 參 考 材 料 力 學 ), 一 但 超 過 材 料 可 承 受 的 範 圍 即 產 生 永 久 變 形! 因 此 公 式 (1) 通 常 只 有 在 特 定 容 許 之 變 形 範 圍 內 成 立

3 . 彈 簧 - 質 量 系 統 之 簡 諧 運 動 : 當 彈 簧 一 端 固 定, 另 一 端 連 接 一 質 量 構 成 一 彈 簧 - 質 量 系 統 ( 見 圖 ) 時, 若 此 系 統 受 一 外 力, 在 沒 有 摩 擦 力 ( 阻 尼 ) 的 情 況 下, 將 產 生 連 續 而 規 律 的 振 盪 運 動, 亦 稱 為 簡 諧 運 動 這 種 現 象 解 釋 如 下 ( 請 參 考 圖 3 之 連 續 動 作 圖 ) (1) 一 彈 簧 - 質 量 系 統, 彈 簧 於 初 使 始 狀 態 時 不 受 力 而 保 持 原 長 度 當 質 量 m 被 施 以 一 力 量 F 瞬 間, 質 量 m 只 受 到 外 力 F 作 用 而 產 生 朝 外 力 方 向 之 最 大 加 速 度 ( a = F / m ) () 當 彈 簧 開 始 受 到 壓 縮, 隨 即 產 生 回 復 之 反 彈 力 ( = k x ) 與 外 力 互 相 對 抗 而 此 時 質 量 m 受 到 的 力 Fr 為 外 力 F 與 回 復 之 彈 力 Fs 之 合 力 ( F = F ) 產 生 之 加 速 度 為 ( a = F / r m ) r F s (3) 當 F > 0 時 ( 外 力 > 反 彈 力 ), 質 量 m 朝 外 力 方 向 加 速, 外 力 F 做 功 使 動 r 能 逐 漸 增 加 在 此 過 程 中 彈 簧 - 質 量 系 統 獲 得 由 外 力 F 提 供 之 能 量 (4) 當 F = 0 ( 外 力 = 反 彈 力 ) 時, 質 量 m 保 持 等 速, 位 於 振 盪 的 中 心 點 並 r 擁 有 F 方 向 上 最 快 的 移 動 速 度 與 最 大 的 動 能 此 時 外 力 F 做 的 功 已 完 全 轉 換 成 動 能 (5) 當 Fr < 0( 反 彈 力 > 外 力 ) 時, 質 量 m 朝 外 力 方 向 減 速 ( 朝 反 彈 力 方 向 加 速 ), 反 彈 力 F 做 功 使 彈 力 位 能 增 加, 也 可 看 成 質 量 m 之 動 能 減 少 而 s 轉 換 成 彈 力 位 能 (6) 當 質 量 m 之 動 能 完 全 轉 換 成 彈 力 位 能 瞬 間, 彈 簧 變 形 至 極 限, 質 量 m 速 度 為 0, 但 因 仍 處 於 F < 0( 反 彈 力 > 外 力 ) 之 情 況, 此 時 質 量 m 受 到 最 r 大 反 彈 力 作 用 而 產 生 朝 反 彈 力 方 向 之 最 大 加 速 度 (7) 彈 質 量 m 被 反 彈 力 F 推 往 F 方 向, 此 時 質 量 m 之 彈 力 位 能 減 少 而 轉 換 成 動 能 s (8) 當 質 量 m 被 反 彈 力 F 推 回 至 平 衡 點 時, 回 到 F = 0 ( 外 力 = 反 彈 力 ) 之 s 狀 態 此 時 運 動 方 向 雖 為 反 彈 力 之 方 向 ( 與 狀 態 (4) 運 動 方 向 相 反 ), 但 運 動 速 率 相 同, 具 有 的 動 能 也 相 同 此 時 反 彈 力 成 動 能 F s r F s F s 做 的 功 已 完 全 轉 換 (9) 質 量 m 繼 續 往 初 始 位 置 移 動, 此 時 又 回 到 > 0 時 ( 外 力 > 反 彈 力 ) 的 情 況 因 外 力 較 大, 迫 使 質 量 m 朝 反 彈 方 向 減 速 ( 朝 外 力 方 向 加 速 ) 此 時 質 量 m 的 動 能 逐 漸 被 轉 回 成 位 能 ( 若 外 力 F 為 重 力 時, 則 動 能 逐 漸 被 轉 回 成 重 力 位 能 ) (10) 當 質 量 m 回 到 初 始 位 置 時 又 回 到 (1) 的 狀 況, 動 作 週 而 復 始 的 重 復 進 行, 如 同 單 擺 運 動 為 一 種 簡 諧 運 動 假 設 無 摩 擦 造 成 能 量 損 失, 震 盪 運 動 將 永 無 終 止, 系 統 具 有 的 能 量 保 持 在 位 能 與 動 能 間 持 續 轉 換 F r 3

4 圖 3. 彈 簧 - 質 量 系 統 之 簡 諧 運 動 彈 簧 - 質 量 系 統 之 運 動 公 式 推 導 : 由 牛 頓 第 二 運 動 定 律 F = ma = mx & d x 其 中 & x& 表 示, 由 (1) 與 () 式, 可 得 dt m & x kx = 0 此 為 二 階 常 係 數 線 性 微 分 方 程 式 ( 請 參 考 工 程 數 學 ), 其 通 解 為 () (3) k k x( = A cos + t B sin t (4) m m 其 中 振 幅 由 A 與 B 值 決 定 若 彈 簧 因 受 力 而 產 生 一 變 形 量 S, 並 於 初 始 狀 態 t = 0 時 釋 放, 使 其 自 由 震 盪, 則 其 解 可 簡 化 為 4

5 x ( = S cos( ω (5) k 其 中 S 為 振 幅, ω = 為 簡 諧 運 動 之 角 速 率 ( 單 位 : rad / s ), 而 震 盪 週 期 T m 為 完 成 一 圈 π rad 所 需 之 時 間 ( 單 位 : 秒 ) T π m = = π (6) ω k 其 自 由 震 盪 之 頻 率 f 又 稱 自 然 頻 率 ω ( 單 位 :Hz) n f 1 1 k = = (7) T π m 若 震 盪 週 期 T 與 質 量 m 可 測 出, 由 公 式 (6) 也 可 以 求 出 彈 性 係 數 k 4π m k = (8) T 由 公 式 (7), 可 以 了 解 到 : 當 彈 性 係 數 k 較 大 ( 彈 簧 較 硬 ) 時, 震 盪 之 頻 率 較 快 ; 彈 性 係 數 k 較 小 ( 彈 簧 較 軟 ) 時, 震 盪 之 頻 率 較 慢 質 量 m 大 時, 震 盪 之 頻 率 較 慢 ; 質 量 m 小 時, 震 盪 之 頻 率 較 快 3. 步 驟 : [1] 選 用 良 好 之 彈 簧 將 之 掛 上 支 架 [] 因 工 廠 製 造 彈 簧 時, 為 使 伸 展 式 彈 縮 至 最 短, 經 常 使 彈 簧 殘 留 一 內 縮 力 使 彈 簧 縮 起 來 欲 使 彈 簧 伸 長 時, 必 先 使 用 一 重 量 將 內 縮 力 抵 消 使 彈 簧 稍 微 伸 展 開, 始 可 驗 證 虎 克 定 律 在 懸 掛 重 量 小 於 內 縮 力 時, 彈 簧 都 不 會 伸 長 [3] 先 於 砝 碼 盤 上 放 置 適 當 重 量 的 砝 碼 以 抵 消 內 縮 力 使 彈 簧 稍 微 伸 展 開 ( 本 校 所 用 彈 簧 約 需 50 gw), 記 下 砝 碼 盤 上 指 針 刻 度, 當 成 基 準 點 亦 可 調 整 砝 碼 盤 上 指 針 固 定 螺 絲, 將 指 示 針 固 定 在 指 定 的 刻 度 上 當 成 基 準 點 並 紀 錄 之 ( 如 圖 4) [4] 基 準 點 紀 錄 後, 在 不 使 彈 簧 永 久 變 形 ( 也 就 是 吊 過 重 而 縮 不 回 來 ) 之 前 提 下, 分 別 吊 掛 五 種 不 同 之 質 量 ( 例 如 0 克 50 克 100 克 150 克 50 克 皆 5

6 圖 4. 彈 簧 伸 長 量 之 測 量 方 式 可 ), 分 別 記 錄 靜 止 時 彈 簧 伸 長 的 長 度 (= 碼 盤 上 指 針 刻 度 - 基 準 點 刻 度 ) ( 如 圖 4) [5] 將 步 驟 4 所 得 之 數 據 計 錄 於 表 ( 一 ) 將 懸 掛 質 量 ( 用 來 抵 消 內 縮 力 的 質 量 除 外 ) 轉 成 重 量 F ( 例 :100 g = 0.98 N), 伸 長 量 x 可 轉 成 以 公 尺 記 錄 以 符 合 SI 制 ( 例 :10 cm = 0.1 m) 將 重 量 F 除 以 伸 長 量 x 即 為 彈 性 係 數 k ( k = F / x ) [6] 表 ( 二 ) 是 利 用 彈 簧 與 質 量 系 統 做 簡 諧 運 動 時, 量 測 彈 簧 振 盪 週 期 T 與 懸 掛 質 量 m 來 反 推 彈 性 係 數 k 實 驗 前, 先 將 彈 簧 懸 掛 適 當 重 量 的 砝 碼 使 其 自 參 考 點 伸 長 l 之 長 度 ( 至 少 應 大 於 5 cm 為 佳 ) 記 錄 彈 簧 懸 掛 之 總 質 量 ( 包 含 所 有 砝 碼 與 砝 碼 盤 之 質 量 ) 後 向 下 拉 伸 一 長 度 ( 但 不 能 超 過 l, 否 則 放 開 反 彈 至 最 高 點 時 將 使 彈 簧 圈 縮 至 最 短 而 發 生 碰 撞, 導 致 實 驗 失 敗 ) 後, 放 開 使 彈 簧 使 彈 簧 自 由 振 盪 [7] 自 下 拉 之 最 低 點 開 始 計 算, 當 懸 掛 質 量 彈 至 最 高 點 後 下 降 至 最 低 點 算 一 個 週 期 T, 用 碼 錶 測 出 50 個 週 期 的 振 盪 時 間 後 取 T 之 平 均 值 [8] 增 加 懸 掛 之 質 量 ( 例 如 增 加 50 克 80 克 10 克 150 克 皆 可 ), 重 複 步 驟 7 記 錄 5 次 不 同 之 懸 掛 總 質 量 m 與 振 盪 週 期 T, 利 用 公 式 (8) 求 出 彈 性 6

7 係 數 k [9] 依 照 實 驗 記 錄 ( 一 ) 以 虎 克 定 律 求 k 之 數 據, 以 砝 碼 重 量 m g (N) 為 縱 座 標, 拉 長 之 長 度 x (m) 為 橫 座 標 作 圖, 再 求 出 斜 率 k ( N / m ) 即 為 彈 性 係 數 之 值 [10] 依 照 實 驗 記 錄 ( 二 ) 簡 諧 運 動 求 k 之 數 據, 以 砝 碼 質 量 m (kg) 為 縱 座 標, 週 期 平 方 T ( ) 為 橫 作 標, 求 出 其 斜 率 參 考 公 式 (8), sec 用 此 斜 率 乘 以 4π 即 可 得 到 彈 性 係 數 k 值, 和 步 驟 9 求 出 之 斜 率 k 比 較, 了 解 兩 者 是 否 相 同 mt 4. 實 驗 數 據 參 考 範 例 : ( 本 數 據 於 本 校 儀 器 上 不 可 能 發 生, 僅 供 同 學 參 考!) ( 一 ) 虎 克 定 律 求 k ( 先 吊 50 克 來 平 衡 內 縮 力, 接 下 來 增 加 的 質 量 才 寫 入 表 內 ) 質 量 m ( Kg) 重 量 F (N) 伸 長 量 x (m) 彈 性 係 數 k (N/m) 平 均 值 10 7

8 ( 二 ) 簡 諧 運 動 求 k 質 量 m ( Kg ) 振 盪 50 次 時 間 t ( sec ) 週 期 T (sec) 週 期 平 方 T ( sec ) 彈 性 係 數 k ( kg / sec ) 平 均 值 實 驗 觀 察 重 點 : [1] 本 實 驗 所 使 用 的 彈 簧 未 伸 長 時 是 否 有 内 縮 力 存 在? [] 機 車 避 振 彈 簧 自 動 鉛 筆 與 收 縮 式 原 子 筆 等 使 用 的 彈 簧 與 本 實 驗 所 用 的 彈 簧 有 何 差 別? [3] 彈 性 系 數 k 大 的 彈 簧 拉 起 來 較 費 力 ( 硬 ) 還 是 較 省 力 ( 軟 )? [4] 彈 簧 懸 吊 質 量 時, 振 動 週 期 是 否 受 質 量 m 之 大 小 之 影 響? [5] 彈 簧 懸 吊 質 量 時, 振 動 週 期 是 否 受 彈 性 系 數 k 之 大 小 之 影 響? 8

9 6. 延 伸 學 習 :( 以 下 圖 片 來 源 詳 見 參 考 文 獻 ) 彈 簧 是 許 多 日 常 生 活 中 用 品 與 工 業 產 品 的 基 本 零 件 大 部 分 彈 簧 皆 由 鋼 鐵 材 料 製 造 彈 簧 產 生 的 彈 力 為 材 料 變 形 時 產 生 之 反 彈 力 量, 為 了 達 成 各 種 不 同 的 功 能, 彈 簧 可 做 成 各 種 形 狀, 不 一 定 是 螺 旋 狀 圖 5 為 各 種 型 式 的 彈 簧 圖 5. 各 種 不 同 類 型 之 彈 簧 : 左 上 方 為 壓 縮 螺 旋 彈 簧 ; 右 上 方 為 拉 張 螺 旋 彈 簧 ; 左 下 方 為 扭 轉 螺 旋 彈 簧 ; 右 下 方 為 板 類 成 形 彈 簧 與 發 條 彈 簧 ( 圖 片 來 源 : 詳 見 參 考 文 獻 ) 彈 簧 的 日 常 生 活 應 用 : 圖 6. 伸 縮 式 原 子 筆 使 用 壓 縮 螺 旋 彈 簧 圖 7. 曬 衣 夾 僅 使 用 一 條 ㄇ 形 鋼 線 當 成 彈 簧 ; 文 件 夾 使 用 扭 轉 螺 旋 彈 簧 或 板 類 成 形 彈 簧 9

10 圖 8. 左 : 機 車 前 後 避 震 器 使 用 壓 縮 螺 旋 彈 簧 ; 右 : 汽 車 懸 吊 系 統 也 使 用 壓 縮 螺 旋 彈 簧 ( 以 下 圖 片 來 源 : 詳 見 參 考 文 獻 ) 圖 9. 車 輛 避 震 器 是 由 彈 簧 與 阻 尼 器 ( 伸 縮 桿 狀 者 ) 所 組 成 彈 簧 容 許 車 身 懸 吊 系 統 變 形 以 緩 衝 撞 擊 力 量 並 吸 收 車 輛 與 路 面 的 衝 擊 能 量, 避 免 車 體 受 損 ; 但 儲 存 於 彈 簧 中 的 能 量 仍 然 會 使 車 身 震 盪 ( 參 考 圖 3), 故 需 要 阻 尼 器 來 消 耗 此 衝 擊 能 量 阻 尼 器 內 有 裝 填 高 黏 滯 係 數 液 體, 當 彈 簧 震 盪 時, 液 體 流 動 之 阻 力 時 迫 使 彈 簧 振 動 趨 緩, 最 後 消 失, 避 免 乘 客 搖 晃 不 適 圖 10. 車 輪 與 避 震 器 裝 設 的 位 置 左 : 小 客 車 為 求 乘 座 殊 舒 適, 採 用 螺 旋 彈 簧 加 阻 尼 器 與 A 型 臂 之 懸 吊 節 構 ; 右 : 貨 卡 車 後 傳 動 輪 與 避 震 機 構 為 求 高 載 重, 採 用 疊 層 彈 簧 片 外 加 阻 尼 器 雖 然 較 硬 且 不 舒 適, 必 竟 載 貨 只 需 堅 固 耐 用 且 低 成 本 即 可 10

11 圖 11. 左 : 弓 可 以 視 為 彈 簧 的 一 種, 弓 的 作 用 是 儲 存 將 人 體 的 能 量 轉 成 彈 力 位 能, 接 著 在 放 箭 時, 弓 弦 快 速 的 將 儲 存 在 弓 的 彈 力 位 能 轉 成 箭 的 動 能 使 箭 可 以 高 速 彈 出 弓 是 人 類 祖 先 重 要 的 狩 獵 工 具 與 武 器 之 一 右 : 現 代 重 型 火 砲 射 擊 時, 強 大 的 後 座 力 必 須 由 砲 身 下 方 強 力 彈 簧 與 阻 尼 器 吸 收 各 式 槍 械 皆 需 要 各 種 彈 簧 以 完 成 裝 彈 擊 發 與 退 彈 殼 等 動 作 虎 克 定 率 之 應 用 : 圖 1. 左 : 彈 簧 吊 秤 是 虎 克 定 律 最 直 接 的 應 用, 利 用 彈 簧 變 形 量 與 力 量 成 正 比 的 關 係, 直 接 觀 察 刻 度 尺 即 可 量 出 力 量 大 小 中 : 彈 簧 於 直 線 上 之 變 形 量 也 可 藉 由 齒 條 與 小 齒 輪 轉 換 為 指 針 的 旋 轉 角 度, 方 便 於 刻 度 盤 上 讀 出 如 右 圖, 一 般 在 菜 市 場 看 到 的 彈 簧 秤 也 是 利 用 虎 克 定 律 11

12 彈 簧 簡 諧 運 動 之 應 用 : 參 考 公 式 (6), 因 彈 簧 - 質 量 系 統 之 振 盪 週 期 固 定, 自 工 業 革 命 後 即 應 用 在 鐘 錶 計 時 方 面, 直 至 今 日, 其 基 本 原 理 皆 相 同 鐘 錶 內 使 用 來 產 生 震 盪 的 彈 簧 又 稱 游 絲 發 條, 震 盪 質 量 部 分 相 當 於 平 衡 擺 輪 之 轉 動 慣 量 游 絲 發 條 及 平 衡 擺 輪 構 成 來 回 擺 動 系 統, 形 成 一 振 盪 週 期 固 定 之 扭 擺 扭 擺 之 運 動 驅 動 擒 縱 機 構 限 定 棘 輪 之 轉 動 速 度 而 達 精 確 計 時 的 目 的 圖 13. 機 械 鐘 錶 的 運 作 能 量 是 由 使 用 者 轉 動 發 條 彈 簧, 將 彈 力 位 能 儲 存 於 發 條 彈 簧 中, 透 過 齒 輪 組 驅 動 棘 輪 轉 動 並 轉 動 秒 針 分 針 與 時 針 棘 輪 轉 每 動 一 齒 的 時 間 則 受 到 游 絲 擺 輪 系 統 之 簡 諧 運 動 週 期 與 擒 縱 機 構 所 控 制 7. 問 題 與 討 論 : [1] 直 線 來 回 振 盪 之 彈 簧 - 質 量 系 統 是 否 可 以 用 來 做 鐘 錶 之 振 動 計 時 裝 置? [] 橡 皮 筋 的 彈 性 是 否 遵 守 虎 克 定 律? [3] 彈 簧 是 否 一 定 製 成 螺 旋 狀? 1

13 8. 進 階 學 習 : A. 質 量 - 阻 尼 - 彈 性 (M-C-K) 系 統 之 狀 態 空 間 方 程 式 : F ( = F + F + F m c F( = m v& ( + c v( + k x( x& ( = v( 1 v& ( = m x& ( 0 = v( & km k ( F( c v( k x( ) 1 cm x( 0 + F( ) 1 v( m t ω n = km (rad/s) c 1 ζ = mk 1 k = (Hz) π m 其 中 F( 為 系 統 之 受 力 ; m 為 質 量 ; c 為 阻 尼 係 數 ; k 為 彈 性 系 數 ; x( 表 示 位 移 ; v( 表 示 速 度 ; ω 為 自 然 頻 率 (nature frequency);ζ 為 阻 尼 比 (damping ratio) n 以 下 電 腦 模 擬 中 m = 0.3 kg; k = 10 N / m 而 c 以 使 用 不 同 值 假 設 系 統 受 力 F( = 1 N 迫 使 系 統 震 盪 震 盪 與 時 間 之 關 係 圖 ( 電 腦 模 擬 ): 情 況 1. c = 0. 1 N s / m 時 振 幅 逐 漸 縮 小, 也 就 是 說 阻 尼 不 大 時, 一 MCK 系 統 之 振 盪 幅 度 將 隨 時 間 慢 慢 減 小 圖 14. 小 阻 尼 之 振 盪 13

14 情 況. c = 1 N s / m 時 振 幅 快 速 縮 小, 也 就 是 說 阻 尼 大 時 ( 或 加 上 避 震 阻 尼 器 時 ), 一 MCK 系 統 之 振 盪 幅 度 將 快 速 減 小 汽 機 車 的 避 震 系 統 必 須 有 類 似 的 性 能, 乘 客 才 不 會 受 到 如 情 況 1 之 持 續 晃 動 而 造 成 不 適 圖 15. 大 阻 尼 之 振 盪 情 況 3. c = 0 N s / m 時 為 無 阻 尼 震 盪 所 形 成 之 簡 諧 運 動 ( 參 考 圖 3) 理 論 上, 系 統 在 無 阻 尼 摩 擦 損 失 的 狀 況 下, 將 持 續 永 久 振 盪 因 為 摩 擦 力 的 存 在, 實 際 上 確 幾 乎 不 可 能 發 生 鐘 錶 內 的 游 絲 擺 輪 振 盪 系 統 即 為 最 接 近 無 阻 尼 震 盪 的 情 況, 和 汽 車 避 震 器 相 反, 我 們 希 望 鐘 錶 內 的 游 絲 擺 輪 振 盪 系 統 能 夠 持 續 振 盪 越 久 越 好 為 了 彌 補 游 絲 擺 輪 振 盪 系 統 中 的 摩 擦 損 失, 機 械 鐘 錶 還 是 要 上 彈 簧 發 條 來 協 助 驅 動 游 絲 擺 輪 振 盪 系 統, 否 則 振 盪 終 將 停 止 圖 16. 無 阻 尼 之 振 盪 上 方 為 質 量 m 之 位 移, 下 方 為 m 之 移 動 速 度 14

15 B. 彈 簧 變 形 所 貯 存 之 能 量 : E = F x F = k x 1 E = F( x) dx = k x dx = kx 其 中 E 為 能 量 ; F 為 外 力 ;x 為 位 移 ( 變 形 量 ); k 為 彈 性 係 數 參 考 文 獻 : (1) 黃 元 正 楊 勝 斐 丘 世 禎 黃 伯 霖 著 物 理 實 驗, 新 文 京 開 發 出 版 公 司 () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 15

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