像 這 種 有 固 定 點 的 洗 牌 法, 無 論 洗 幾 次, 固 定 的 牌 還 是 紋 風 不 動 在 猴 子 洗 牌 遊 戲 中, 洗 三 次 之 後 並 沒 有 固 定 不 動 的 牌, 所 以 猴 子 會 的 洗 牌 法 不 屬 於 這 種 為 了 節 省 操 作 空 間 及 方 便

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1 許 教 授 講 故 事 尼 采 在 拜 火 教 教 主 如 是 說 這 本 書 裡, 有 一 段 耐 人 咀 嚼 的 哲 學 思 考 : 當 你 見 到 猴 子 笨 拙 的 行 為 時, 你 該 覺 得 好 笑 還 是 自 卑 呢? 到 底 是 取 笑 猴 子 的 不 靈 活, 笨 手 笨 腳 的 行 為, 還 是 對 笨 拙 的 猴 子 可 以 演 化 出 人 類, 而 我 們 似 乎 很 難 比 牠 們 進 步 得 更 多 感 到 自 卑 呢? 人 類 之 所 以 異 於 動 物, 主 要 是 具 有 靈 巧 的 雙 手 與 聰 明 的 大 腦 據 說 一 百 多 年 前 當 科 學 家 還 無 法 了 解 頭 腦 內 部 結 構 時, 就 以 頭 殼 的 外 型 來 測 量 智 商 的 多 寡 就 是 科 學 昌 明 的 現 代, 還 是 有 很 多 人 相 信 皮 指 紋 分 析 可 以 找 出 孩 子 的 才 能, 用 指 紋 的 渦 紋 和 蹄 狀 紋 兩 種 紋 路 來 判 斷 性 格 及 命 運 傾 向 就 讓 我 們 來 欣 賞 一 道 具 有 靈 巧 雙 手, 但 頭 腦 普 通 的 猴 子 所 玩 的 把 戲 : 有 一 隻 會 洗 牌 的 猴 子, 牠 只 會 洗 四 張 牌, 而 且 每 次 都 用 同 樣 的 模 式 洗 牌 猴 子 的 主 人 拿 出 分 別 寫 著,,,4 的 四 張 牌 給 猴 子, 並 將 牌 子 排 好, 讓 由 上 而 下 順 序 為 編 號,,,4 的 四 張 牌, 如 下 圖 的 第 一 列 所 示 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 猴 子 洗 第 一 次 牌 後 不 讓 主 人 看 牌 子 的 順 序, 接 著 洗 第 二 次 牌 仍 然 不 給 主 人 看, 然 後 猴 子 洗 第 三 次 牌 並 讓 主 人 看 牌 號 的 順 序 這 時 主 人 發 現 從 上 而 下 的 牌 號 為, 4,,. 猴 子 的 主 人 想 了 一 下 說 : 我 知 道 猴 子 洗 第 一 次 牌 後, 牌 號 從 上 而 下 的 順 序 你 知 道 嗎? 洗 牌 的 方 式 有 很 多 種, 但 無 論 如 何 洗, 最 後 它 總 是,,,4 這 四 個 數 字 重 新 排 列, 又 四 個 數 字 排 成 一 列 計 有 4! = 4 = 4 種 不 同 的 排 法, 所 以 只 需 仔 細 討 論 這 4 種 排 法 中, 哪 一 種 可 以 在 經 歷 三 次 同 樣 操 作 後, 順 序 變 成,4,, 即 可 我 們 把 這 4 種 排 列 ( 以 下 稱 為 洗 牌 法 ) 根 據 其 特 性 分 成 三 大 類 : () 有 固 定 點 的 洗 牌 法 如 下 圖 所 示, 在 洗 一 次 牌 後, 順 序 為, 4,,. 將 這 順 序 跟 開 始 的,,, 4 比 較, 將 會 發 現 號 牌 沒 有 變 動

2 像 這 種 有 固 定 點 的 洗 牌 法, 無 論 洗 幾 次, 固 定 的 牌 還 是 紋 風 不 動 在 猴 子 洗 牌 遊 戲 中, 洗 三 次 之 後 並 沒 有 固 定 不 動 的 牌, 所 以 猴 子 會 的 洗 牌 法 不 屬 於 這 種 為 了 節 省 操 作 空 間 及 方 便 解 釋, 在 這 裡 我 們 引 入 函 數 的 關 係 來 解 釋 洗 牌 ; 前 面 所 提 的 洗 牌 法 ( 將 洗 到 4 的 位 置, 洗 到 的 位 置, 洗 到 的 位 置,4 洗 到 的 位 置 ) 也 可 以 用 如 下 的 函 數 f 來 表 示 () 分 成 兩 群 的 洗 牌 法 有 一 種 比 較 奇 怪 的 洗 牌 方 法, 例 如 洗 完 之 後 從 上 而 下 的 牌 號 為,, 4,. 這 種 洗 牌 法 所 對 應 的 洗 牌 函 數 f 為 從 洗 牌 函 數 f 的 合 成 中 發 現, 無 論 洗 幾 次 總 是 與 位 置 的 牌 互 相 輪 換, 與 4 位 置 的 牌 互 相 輪 換 又 () 中 所 舉 例 的 洗 牌 函 數 從 圖 中 不 難 發 現 水 平 的 對 應 箭 號 就 是 不 動 牌 的 位 置 當 以 這 樣 的 洗 牌 方 式 洗 兩 次 時, 會 對 應 到 合 成 函 數 f = f f 的 結 果, 圖 示 如 下 此 時, 號 牌 會 洗 到 f () = f( f()) = f(4) = 的 位 置, 號 牌 會 洗 到 f () = f( f()) = f() = 4 的 位 置, 號 牌 會 洗 到 f () = f( f()) = f() = 的 位 置, 4 號 牌 會 洗 到 f (4) = f( f(4)) = f() = 的 位 置 不 過, 從 圖 中 的 合 成 更 容 易 看 到 這 樣 的 洗 牌 效 果 因 為 的 位 置 固 定 不 動, 其 餘 位 置 是 4 的 輪 換, 所 以 也 算 是 分 成 {} 與 {,,4} 兩 群 的 洗 牌 法 猴 子 所 對 應 的 洗 牌 函 數 f, 因 為 合 成 三 次 之 後 為 它 是 4 的 輪 換, 所 以 猴 子 洗 牌 的 函 數 也 不 屬 於 這 一 類 4

3 () 輪 換 式 的 洗 牌 法 這 一 類 型 的 洗 牌 法 就 是 沒 有 固 定 點, 也 沒 有 分 成 兩 群 自 己 輪 換 的 洗 牌 方 法, 即 四 張 牌 一 起 輪 換 的 意 思 我 們 可 以 用 窮 舉 法 將 四 張 牌 一 起 輪 換 的 洗 牌 函 數 f 列 舉 如 下, 共 計 六 種 所 以 或 也 就 是 說, 猴 子 的 洗 牌 函 數 f = f 我 們 驗 算 它 的 三 次 合 成, 得 因 為 是 四 張 牌 輪 換, 所 以 四 次 之 後 會 輪 到 原 來 的 位 置, 以 f 驗 算 如 下 此 與 猴 子 洗 牌 三 次 之 後 給 主 人 看 的 順 序 一 致 故 猴 子 洗 一 次 牌 後 的 順 序 為 也 就 是 說, f 4 ( i ) = i ( i=,,, 4), 4 即 f 是 把 每 個 元 素 對 到 自 己 的 函 數, 稱 它 為 單 位 函 數 因 為 f, f, f, f4, f5, f 6 都 是 單 位 函 數, 又 猴 子 洗 牌 函 數 f 也 是 其 中 之 ㄧ, 所 以 f 4 ( i) = i( i=,,, 4) 利 用 合 成 函 數 的 性 質 4 f () i = f f() i = i( i=,,,4) 知 道 f 與 f 互 為 反 函 數 因 為 5

4 阿 基 米 德 的 現 代 性 在 一 些 數 學 史 的 著 作 中, 阿 基 米 德 總 是 被 視 為 積 分 學 的 先 驅 人 物 誠 然, 阿 基 米 德 所 使 用 的 逼 近 法, 的 確 具 有 現 代 積 分 的 意 義 不 過, 如 果 仔 細 對 比 定 積 分 (defiite itegral) 與 他 的 曲 線 形 求 積 ( 譬 如 拋 物 線 截 區 求 面 積 ), 我 們 可 以 發 現 阿 基 米 德 的 逼 近 法 與 現 代 的 方 法, 有 著 本 質 的 差 異 這 種 對 比 容 易 被 忽 略 的 原 因 之 一, 似 乎 就 在 於 他 為 了 避 開 取 極 限 而 使 用 的 窮 盡 法 (the method of exhaustio), 由 於 涉 及 古 希 臘 哲 學 家 亞 里 斯 多 德 的 潛 在 無 窮 (potetial ifiity), 而 成 為 眾 所 矚 目 的 焦 點 事 實 上, 這 也 可 以 解 釋 斯 坦 (Sherma Stei) 的 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事? 何 以 將 窮 盡 法 列 為 討 論 單 元 之 一 針 對 級 數 求 和 而 言, 所 謂 潛 在 無 窮, 是 指 吾 人 不 能 將 無 窮 多 項 加 起 來 因 此, 當 阿 基 米 德 考 慮 拋 物 線 截 區 求 面 積 時, 他 利 用 有 限 多 項 的 等 比 級 數 之 和 逼 近 這 一 面 積, 然 後, 利 用 窮 盡 法 證 明 它 們 最 終 必 須 相 等 在 這 個 論 證 中, 阿 基 米 德 正 如 同 稍 早 的 歐 幾 里 得 一 樣, 是 不 可 能 將 無 窮 多 個 正 量 加 起 來, 而 這 正 是 真 正 無 窮 (actual ifiity) 的 意 涵 然 則, 阿 基 米 德 的 潛 在 無 窮 究 竟 是 什 麼 呢? 以 曲 線 區 域 面 積 的 逼 近 為 例 ( 參 考 圖 一 有 關 拋 物 線 截 區 之 逼 近 ), 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 (The Archimedea Codex, 007) 提 供 了 一 個 想 像 的 對 話 : 阿 基 米 德 在 曲 線 區 域 內 塞 進 一 些 三 角 形, 而 留 下 空 白 處 之 大 小 大 於 一 顆 沙 粒 來 了 一 位 批 評 者 說 : 還 是 有 一 顆 沙 粒 的 差 別 哦! 是 這 樣? 阿 基 米 德 喊 道 : 好 吧! 我 就 再 重 複 使 用 我 洪 萬 生 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 的 機 制 更 多 次 結 果 空 白 處 之 大 小 小 於 一 顆 沙 粒 等 一 等, 批 評 者 說 : 空 白 處 還 是 比 頭 髮 寬 阿 基 米 德 就 ( 用 同 樣 的 機 制 ) 繼 續 下 去 空 白 處 總 是 小 於 批 評 者 所 提 的 大 小 這 樣 的 對 話 可 以 無 止 境 的 繼 續 下 去 這 是 潛 在 無 窮 顯 然, 根 據 這 種 進 路 以 及 歸 謬 法 ( 合 起 來 通 稱 為 窮 盡 法 ), 阿 基 米 德 完 成 了 許 多 重 要 的 求 ( 面 / 體 ) 積 工 作, 而 締 造 了 希 臘 數 學 的 高 峰 圖 一 上 述 這 一 類 論 述, 是 在 00 年 月 以 前, 有 關 希 臘 數 學 史 的 大 要 讓 我 們 引 述 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 的 作 者 之 論 斷 如 下 : 希 臘 人 把 數 學 發 展 成 精 確 的 嚴 格 的 科 學 他 們 避 免 了 矛 盾 及 錯 誤 這 麼 做 的 過 程 之 中, 他 們 也 避 開 了 無 窮 的 陷 阱 他 們 的 科 學 立 基 於 你 想 要 怎 麼 大 就 怎 麼 大, 或 你 想 要 怎 麼 小 就 怎 麼 小 的 數 目, 但 絕 對 不 是 無 窮 大 或 無 窮 小 想 要 怎 麼 大 就 怎 麼 大 的 數 目, 是 為 潛 在 無 窮 大, 但 不 是 真 正 的 無 窮 大 希 臘 人 不 用 真 正 的 無 窮 大 本 書 作 者 之 一 雷 維 爾 內 茲 (Reviel Netz) 為 舉 世 知 名 的 阿 基 米 德 權 威 學 者, 目 前 任 教 於 史 丹 佛 大 學 他 出 身 劍 橋 大 學 科 學 史 系, 曾 受 教 於 希 臘 科 學 史 大 師 洛 伊 德 (Geoffrey Lloyd), 因 此, 這 一 版 本 應 該 是 希 臘 數 學 史 的 標 準 敘 事 6

5 現 在, 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 的 再 度 問 世, 加 上 二 十 世 紀 才 誕 生 的 同 步 加 速 器 資 訊 與 顯 影 等 高 科 技 之 應 用, 我 們 乃 得 以 揭 露 了 前 所 未 知 的 秘 密, 而 敦 促 數 學 史 家 改 寫 這 一 重 要 的 篇 章 那 就 是 : 阿 基 米 德 竟 然 實 際 上 將 無 窮 多 項 加 起 來, 還 有, 他 甚 至 進 一 步 去 比 較 兩 個 無 窮 集 合 後 者 這 一 極 有 膽 識 的 運 算, 史 家 原 本 認 為 直 到 十 九 世 紀, 德 國 偉 大 數 學 家 康 托 (Georg Cator, ) 創 造 超 限 集 合 理 論 時, 才 正 式 進 入 數 學 舞 臺 這 一 部 於 998 年 0 月 9 日 在 紐 約 佳 士 得 拍 賣 場, 以 高 價 0 萬 美 金 售 出 的 古 書, 是 教 士 約 翰 麥 隆 納 斯 (Ioaes Myloas) 在 西 元 9 年 4 月 4 日 所 抄 寫 的 祈 禱 書, 為 的 是 在 耶 穌 復 活 週 年 日, 當 作 禮 物 獻 給 教 會 至 於 所 使 用 的 再 生 羊 皮 紙, 則 是 取 原 載 有 阿 基 米 德 的 著 作 平 衡 平 面 球 及 圓 柱 圓 的 測 量 螺 線 浮 體 方 法 以 及 胃 痛, 以 及 其 他 內 容 的 羊 皮 書, 刮 掉 文 字 再 度 使 用, 因 而 這 部 祈 禱 書 也 稱 為 再 生 羊 皮 書 還 有, 這 些 再 生 羊 皮 紙 原 先 書 寫 的 文 章, 則 大 約 是 出 現 在 西 元 970 年 除 了 阿 基 米 德 的 上 述 著 作 之 外, 這 一 本 再 生 羊 皮 書 還 保 存 了 雅 典 一 位 最 偉 大 演 說 家 的 講 稿 古 代 對 亞 里 斯 多 德 的 評 論, 也 包 括 了 一 些 拜 占 庭 的 文 章 十 世 紀 末 的 聖 歌, 和 一 位 聖 人 的 傳 記 另 有 七 張 書 頁 之 手 稿, 目 前 還 無 法 辨 別 身 分 因 此, 這 一 本 再 生 羊 皮 書, 簡 直 就 是 一 座 擁 有 特 殊 古 代 手 稿 的 小 圖 書 館 00 年 月, 雷 維 爾 內 茲 邀 請 日 本 大 阪 大 學 的 希 臘 數 學 史 家 齊 藤 憲 (Ke Saito) 一 起 研 究 阿 基 米 德 的 方 法 (The Method) 這 一 份 西 元 970 年 的 手 抄 稿 當 然 是 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 在 998 年 再 度 問 世 時, 數 學 史 家 頗 感 興 奮 的 原 因 這 是 因 為 906 年 海 柏 格 (Joha Ludwig Heiberg) 在 君 士 坦 丁 堡 發 現 此 一 再 生 羊 皮 書 時, 最 震 撼 希 臘 史 家 的 就 是 它 見 證 了 阿 基 米 德 運 用 機 械 方 法 (mechaical method), 而 發 現 了 他 另 外 再 以 幾 何 方 法 嚴 格 證 明 的 很 多 面 積 與 體 積 公 式 後 者 這 一 嚴 密 證 明, 無 疑 結 合 了 前 述 的 逼 近 法 與 窮 盡 法, 其 中 主 要 牽 涉 到 潛 在 無 窮 的 概 念 然 而, 海 柏 格 在 再 生 羊 皮 書 上 無 法 讀 到 的, 但 經 由 00 年 月 以 紫 外 線 照 射 的 高 解 析 數 值 影 像, 卻 足 以 顯 示 它 運 用 了 不 折 不 扣 的 真 正 無 窮 的 概 念 根 據 內 茲 的 報 導 ( 見 阿 基 米 德 寶 典 - 失 落 的 羊 皮 書 第 8 章 ), 當 阿 基 米 德 證 明 方 法 第 4 命 題 : 圓 柱 截 體 體 積 等 於 外 圍 正 立 方 體 體 積 的 六 分 之 一 時, 他 三 度 指 出 : 某 某 幾 何 量 的 集 合 會 與 其 他 幾 何 量 的 集 合, 在 數 目 上 相 等 就 本 例 而 言 ( 請 參 考 圖 二 ), 請 看 內 茲 的 解 說 如 下 : 任 取 一 切 片, 就 產 生 立 方 體 的 一 個 三 角 形, 它 立 於 長 方 形 的 一 個 線 段 之 上 而 阿 基 米 德 指 出, 組 成 三 角 柱 的 各 個 三 角 形 的 數 目, 與 組 成 長 方 形 的 各 線 段 的 數 目, 兩 者 是 一 樣 的 這 一 進 路 令 人 想 到 十 六 世 紀 的 卡 瓦 列 利 (B. Cavalieri, ) 所 提 出 的 所 謂 卡 瓦 列 利 原 理 : 給 定 兩 個 立 體 一 般 高, 如 果 等 高 處 的 截 面 面 積 相 等, 則 這 兩 個 立 體 體 積 相 等 不 過, 卡 瓦 列 利 卻 小 心 翼 翼 地 避 開 了 那 些 無 窮 多 個 截 面 是 否 可 以 疊 回 成 為 原 來 立 體 之 問 題, 理 由 無 他, 他 正 是 不 敢 觸 及 真 正 無 窮 之 概 念 註 相 反 地, 顯 然 由 於 連 結 到 真 正 無 窮 之 概 念, 於 是, 阿 基 米 德 毫 不 猶 豫 地 將 無 窮 多 個 項 加 起 來 總 之, 內 茲 告 訴 我 們 說 : 命 題 4 不 再 用 到 物 理 - 但 在 那 裡, 無 窮 個 東 西 相 加 再 也 不 是 隱 藏 式 的, 而 是 明 確 的, 立 基 於 無 窮 求 和 的 法 則 而 這, 也 就 是 00 年 月 史 家 得 以 確 定 的 阿 基 米 德 現 代 性 表 現 之 一 圖 二 7

6 阿 基 米 德 數 學 的 另 一 個 現 代 性, 則 是 一 個 他 稱 之 為 胃 痛 的 組 合 學 問 題 : 將 給 定 正 方 形 切 割 成 4 片 之 後 ( 參 考 圖 三 ), 再 重 新 拼 湊 成 為 正 方 形 的 方 法 有 多 少 種? 圖 三 阿 基 米 德 的 答 案 是 :75 種! 這 個 組 合 問 題, 它 出 現 在 這 一 本 再 生 羊 皮 書 的 最 後 一 頁, 現 在 就 以 胃 痛 來 表 示, 卻 是 讓 內 茲 花 了 很 多 力 氣 並 且 得 到 數 學 家 的 最 多 幫 忙, 最 後 才 得 以 釐 清 至 於 成 功 解 讀 的 關 鍵, 則 在 於 吾 人 對 於 將 要 解 讀 的 文 章 的 可 能 意 義, 能 夠 做 某 種 猜 測, 你 才 可 能 有 所 解 讀 因 此, 海 柏 格 之 所 以 無 法 解 讀 方 法 之 有 關 無 窮 的 段 落 或 胃 痛, 這 是 最 大 的 原 因 ; 他 不 曾 預 期 有 真 正 的 無 窮, 或 者 組 合 學 這 個 問 題 的 正 確 答 案, 是 電 腦 科 學 家 比 爾 卡 特 勒 (Bill Cutler) 率 先 提 出, 後 來, 幾 位 著 名 的 數 學 家 包 括 鼎 鼎 大 名 的 隆 格 拉 罕 (Ro Graham) 及 金 芳 蓉 夫 婦 檔, 都 只 靠 紙 與 筆, 好 比 阿 基 米 德 只 靠 紙 莎 草 及 蘆 葦 筆 一 樣, 而 給 出 了 同 樣 的 答 案 本 書 作 者 除 了 前 述 的 雷 維 爾 內 茲 之 外, 還 有 修 復 此 一 再 生 羊 皮 書 的 計 畫 主 持 人 威 廉 諾 爾 (William Noel), 他 是 華 特 絲 美 術 館 (Walters Museum) 手 稿 及 珍 本 部 門 策 展 人, 學 術 專 長 為 00 年 代 來 自 英 國 坎 特 伯 利 的 教 會 手 抄 本 裝 飾 畫 諾 爾 自 稱 是 阿 基 米 德 的 雜 役, 凡 是 修 復 的 協 調 分 工 與 尋 求 高 科 技 的 支 援, 甚 至 於 訪 問 這 一 再 生 羊 皮 書 曾 經 典 藏 之 處, 都 由 諾 爾 負 責 事 實 上, 他 也 是 接 受 這 本 再 生 羊 皮 書 擁 有 者 ( 在 本 書 中 被 稱 為 B 先 生 ) 委 託 的 主 要 負 責 人, 所 以, 他 對 於 這 一 再 生 羊 皮 書 的 整 個 修 復 及 解 讀 過 程, 提 供 了 鉅 細 靡 遺 的 報 導, 其 中 甚 至 引 述 了 他 們 的 團 隊 之 一 些 相 關 的 電 子 郵 件 之 內 容, 再 現 了 部 分 研 究 活 動, 頗 讓 讀 者 有 親 臨 其 境 之 感 另 一 方 面, 數 學 史 家 內 茲 則 專 司 解 讀 工 作 由 於 他 曾 出 版 希 臘 數 學 演 繹 法 的 形 成 : 認 知 歷 史 的 研 究 (The Shapig of Deductio i Greek Mathematics: A Study i Cogitive History, 999), 所 以, 內 茲 研 究 古 代 數 學 文 本 時, 基 於 認 知 科 學 之 洞 識, 總 是 想 知 道 : 數 學 經 驗 是 什 麼? 它 怎 樣 印 入 心 ( 靈 之 ) 眼 (the mid s eye) 中? 我 確 信 要 了 解 其 意 涵, 我 們 必 須 能 夠 閱 讀 正 確 翻 譯 的 數 學, 此 種 翻 譯 必 須 保 持 原 作 者 的 架 構, 因 為 從 此 架 構 我 們 可 看 出 古 人 是 怎 樣 看 待 他 們 的 科 學 的 簡 單 地 說, 從 認 知 科 學 觀 點 切 入, 文 本 的 形 式 (form) 與 內 容 (cotet) 同 樣 重 要, 認 知 與 邏 輯, 抽 象 觀 念 與 具 體 圖 像, 終 究 無 法 分 離! 因 此, 經 由 研 究 圖 形 及 符 號 書 頁 及 手 稿 的 認 知 歷 史, 我 們 可 能 會 進 一 步 倒 回 去 了 解 敘 拉 古 的 阿 基 米 德 的 頭 腦 總 之, 內 茲 在 獲 邀 參 與 這 一 研 究 計 畫 時, 他 曾 狂 野 幼 稚 狂 喜 而 令 人 受 不 了 的 尖 叫 難 怪 他 在 解 釋 過 阿 基 米 德 的 名 字 的 由 來 後, 提 供 了 如 下 的 粉 絲 物 語 (fas ote): 在 其 純 科 學 的 作 品 中, 阿 基 米 德 一 直 讓 東 西 溢 出 浴 缸 : 藝 術 與 科 學, 美 麗 與 秩 序 讓 我 們 開 始 觀 看, 這 些 元 素 如 何 在 阿 基 米 德 的 作 品 中 聯 手 出 現 誠 然, 在 內 茲 的 書 寫 中, 我 們 總 可 以 讀 到 他 的 研 究 過 程 中 所 流 露 的 狂 喜, 這 對 於 一 位 歷 史 學 家 的 隔 離 的 智 慧 而 言, 的 確 是 一 大 考 驗, 不 過, 看 起 來 內 茲 倒 是 蠻 甘 之 如 飴 最 後, 我 們 針 對 本 書 的 書 寫 策 略, 提 供 一 點 簡 要 的 評 論 兩 位 作 者 在 書 寫 本 書 時 分 工 合 作, 其 中 涉 及 希 臘 數 學 史 與 阿 基 米 德 手 稿 解 讀 工 作 者, 一 概 由 內 茲 負 責, 其 他 則 由 諾 爾 執 筆 就 此 8

7 而 言, 本 書 可 以 說 是 科 普 寫 作 的 一 個 創 舉 譬 如 說 吧, 本 書 第 等 奇 數 章, 都 出 自 諾 爾, 至 於 偶 數 章 第 以 及 ( 第 章 ) 結 語 章, 則 是 內 茲 的 創 作 序 文 則 是 兩 人 共 同 創 作 這 種 安 排 顯 然 是 經 過 精 心 設 計 通 常, 諾 爾 書 寫 的 部 分 比 較 像 偵 探 報 告, 其 中 有 帶 著 電 視 節 目 製 作 人 走 訪 伊 士 坦 堡 聖 城 耶 路 撒 冷 以 及 西 西 里 ( 阿 基 米 德 的 故 鄉 ), 也 有 多 方 面 說 明 如 何 利 用 各 種 人 力 資 源 與 高 科 技, 以 利 於 再 生 羊 皮 書 之 解 讀 工 作 相 對 地, 內 茲 書 寫 的 部 分 則 側 重 阿 基 米 德 數 學 之 相 關 論 述, 幫 助 讀 者 深 入 了 解 希 臘 數 學 史, 內 容 則 極 有 質 感 由 於 內 茲 認 為 文 本 內 容 離 不 開 形 式, 因 此, 他 在 說 明 如 何 解 讀 此 一 再 生 羊 皮 書 時, 總 是 一 再 強 調 手 抄 本 形 式 的 重 要 性 這 一 進 路 無 形 中 呼 應 了 高 科 技 的 顯 影 工 作 之 策 略, 因 而 可 以 和 諾 爾 所 書 寫 的 比 較 具 有 實 作 (practice) 特 色 的 奇 數 章 融 洽 銜 接 換 句 話 說, 由 於 內 茲 強 調 古 代 文 本 的 認 知 意 義, 因 此, 它 的 內 容 vs. 形 式 的 意 義 得 以 凸 顯, 同 時, 古 代 文 本 的 一 個 現 代 詮 釋, 顯 然 也 必 須 顧 及 詮 釋 者 的 理 論 與 實 作 之 結 合 這 一 點, 當 然 也 讓 本 書 的 數 學 內 容 說 明, 顯 得 家 常 可 口, 而 不 致 於 乾 澀 難 以 下 嚥 總 之, 面 對 本 書, 外 行 人 當 然 可 以 看 熱 鬧 - 至 少 可 以 發 思 古 之 幽 情, 分 享 世 界 文 化 遺 產, 至 於 內 行 人 呢, 則 一 定 可 以 看 出 門 道 這 本 來 就 是 一 般 科 普 書 籍 期 望 獲 得 的 讀 者 反 應 不 過, 本 書 論 述 阿 基 米 德 數 學 時, 堅 持 實 質 內 容 之 鋪 陳 ( 譬 如 第 6 章 ), 而 且, 也 沒 有 在 提 及 達 文 西 時 東 拉 西 扯 ( 科 普 作 家 通 常 喜 歡 談 論 名 人 軼 事, 以 降 低 內 容 的 硬 度 ), 的 確 是 科 普 書 籍 少 見 的 氣 魄, 值 得 我 們 欽 佩 與 效 法 還 有, 筆 者 希 望 中 小 學 數 學 教 師 有 機 會 精 讀 本 書 第 4 章 視 覺 科 學, 從 容 領 會 希 臘 圖 形 的 邏 輯 以 分 享 阿 基 米 德 的 數 學 經 驗, 那 麼, 在 教 學 上 一 定 可 以 帶 來 很 多 的 啟 發 才 是! 參 考 文 獻 : 洪 萬 生 (007). 好 個 阿 基 米 德 科 學 月 刊 8(8): 60-6 斯 坦 (004). 阿 基 米 德 幹 了 什 麼 好 事! 台 北 : 天 下 文 化 Dijksterhuis, E.J. (987). Archimedes. Priceto, NJ: Priceto Uiversity Press. Netz, Reviel ad William Noel (007). The Archimedes Codex. Lodo: Weidefeld & Nicolso. Stei, Sherma (999). Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? Washigto, DC: MAA. 註 E 第 五 世 紀 中 國 的 祖 沖 之 (49-500) 在 證 明 球 體 積 公 式 時, 也 提 出 此 一 原 理 的 類 似 版 本 : 夫 疊 棊 成 立 積, 緣 冪 勢 既 同, 則 積 不 容 異 只 是 他 的 無 窮 觀 念 究 竟 如 何, 我 們 還 無 以 索 解 9

8 數 學 繪 圖 軟 體 GeoGebra 簡 介 GeoGebra 是 由 Markus Hohewarter 所 設 計 的 數 學 繪 圖 軟 體, 曾 榮 獲 歐 洲 多 項 軟 體 大 獎, 一 開 始 是 他 在 00 年 於 奧 地 利 Salzburg 大 學 寫 有 關 數 學 教 育 博 士 論 文 的 程 式 計 畫, 現 在 已 發 展 成 多 國 語 言 (0 多 種 ), 跨 平 台 (Widow Mac Liux) 的 數 學 繪 圖 軟 體, 並 有 美 國 科 學 基 金 會 的 資 助, 繪 圖 功 能 持 續 加 強 中 GeoGebra 這 軟 體 的 名 稱 拆 開 來 是 Geo+Gebra, 顧 名 思 義 是 結 合 了 幾 何 (Geometry) 與 代 數 (Algebra) 的 教 育 軟 體, 若 在 繪 圖 區 畫 出 圓 或 直 線, 代 數 視 窗 就 會 出 現 對 應 的 方 程 式, 反 過 來 若 是 輸 入 代 數 方 程 式, 繪 圖 區 便 出 現 其 圖 形, 操 作 的 感 覺 就 像 是 把 GSP 及 Graphmatica 註 E A 融 合 在 一 起, 代 數 算 式 和 圖 形, 一 左 一 右, 兩 個 同 時 出 現, 既 生 瑜 又 生 亮 GeoGebra 把 幾 何 圖 形 和 代 數 方 程 式 的 關 係 緊 密 的 結 合 在 一 起 GeoGebra 和 GSP 的 比 較 提 到 數 學 的 繪 圖 教 學 軟 體, 大 家 第 一 個 想 到 的 便 是 GSP(Geometry Sketch Pad), 因 此 筆 者 特 地 在 此 將 兩 種 軟 體 比 較 一 下 ( 如 附 表 ), 並 針 對 其 中 數 項 發 表 個 人 的 看 法. 首 先 是 價 格, 這 可 是 很 重 要 的! 教 學 軟 體 要 能 夠 普 級, 影 響 很 大, 筆 者 在 電 腦 教 室 以 學 校 所 購 買 的 GSP 教 導 班 上 同 學 們 繪 製 圓 錐 曲 線 的 圖 形, 一 堂 課 短 短 的 50 分 鐘, 學 生 們 均 陳 禾 凱 / 台 北 縣 立 錦 和 高 中 意 猶 未 盡, 紛 紛 詢 問 何 處 可 下 載 試 用 版 軟 體, 當 我 告 訴 他 們 網 路 上 沒 有 試 用 版 可 供 下 載 註, 要 回 家 用 只 有 自 行 購 買, 學 生 們 均 十 分 失 望, 無 法 想 像 擁 抱 數 學 竟 如 此 痛 苦, 要 花 費 600 元, 才 能 享 受 繪 圖 樂 趣 如 此 一 來, 教 師 若 在 學 校 以 GSP 教 授 數 學 繪 圖, 無 異 成 為 推 銷 員 若 是 以 GeoGebra 來 進 行 教 學 就 沒 這 個 困 擾. 由 於 GeoGebra 是 以 Java 程 式 語 言 撰 寫,Java 的 優 缺 點, 如 支 援 多 國 語 言 跨 平 台 執 行 速 度 慢,GeoGebra 也 都 有, 不 過 在 比 較 舊 的 電 腦 才 感 覺 出 速 度 慢 的 困 擾, 以 筆 者 的 Acer 5TE 筆 記 型 電 腦 為 例 (7 年 前 的 機 型 ), 硬 體 配 備 : CPU:Petium III 680HZ 56MB memory, 第 一 次 執 行 GeoGebra 時, 以 為 是 當 機, 費 時 5 秒 才 見 繪 圖 畫 面 出 來, 在 繪 圖 過 程 中 若 按 Delete 鍵 要 刪 除 某 物 件, 或 是 按 Ctrl-Z 要 回 復 前 一 步 驟, 都 要 停 個 秒 多 才 會 顯 示 結 果, 還 好 其 他 的 繪 圖 操 作 一 切 順 暢, 當 然 若 使 用 的 電 腦 機 型 不 要 那 麼 舊, 如 Petium IV 5MB memory 等 級 以 上 的 電 腦, 就 感 覺 不 出 上 述 的 情 形. GeoGebra 以 Java 撰 寫 的 最 大 好 處 是 將 圖 形 儲 存 成 網 頁 時, 可 以 00% 轉 換 為 網 頁 畫 面, GeoGebra 還 支 援 Latex 語 法, 可 在 畫 面 上 顯 示 根 號 次 方 及 分 數, 這 都 是 GSP 所 望 塵 莫 及 的, 因 此 數 學 家 在 網 路 上 要 討 論 數 學 問 題 0

9 時, 用 GeoGebra 來 繪 圖 是 一 個 很 好 的 選 擇 4. 國 內 引 進 GSP 較 早, 使 用 GSP 的 師 生 較 多, 相 對 之 下 GeoGebra 似 乎 乏 人 問 津, 這 可 以 由 Google 蒐 尋 相 關 的 中 文 網 頁 看 出 來, 但 若 看 看 世 界 各 地 的 使 用 情 形, 以 Google 輸 入 Geometry sketchpad 及 GeoGebra 分 別 所 找 到 的 網 頁 數 及 6000 來 看, 兩 者 在 這 世 界 的 使 用 人 口 差 不 多, 但 以 GeoGebra 的 支 援 多 國 語 言 特 性, 使 用 GeoGebra 可 稱 的 上 是 與 世 界 接 軌 5. GeoGebra 號 稱 是 高 中 數 學 的 教 學 軟 體, 當 然 有 許 多 和 高 中 數 學 直 接 相 關 的 指 令, 如 輸 入 x xy + y =, 可 畫 出 來 斜 方 向 的 橢 圓, 右 下 方 有 指 令 視 窗, 以 滑 鼠 下 拉 可 看 到 一 大 串 的 指 令, 如 極 限 單 位 向 量 切 線 等, 後 記 來 點 選 圓 規 或 直 尺 工 具 來 畫 圖, 因 此 操 作 GSP 和 操 作 GeoGebra 其 實 大 同 小 異, 若 是 有 操 作 過 GSP 的 經 驗, 學 習 GeoGebra 應 很 快 就 可 熟 悉, 此 外 筆 者 針 對 高 中 課 程 常 見 的 數 學 題 目 圖 形 以 GeoGebra 繪 製, 並 用 Wik( 哦! 又 是 一 個 好 用 的 freeware) 錄 下 畫 面, 讓 初 學 者 看 一 眼 也 知 道 如 何 來 使 用 GeoGebra, 有 興 趣 的 人 歡 迎 來 錦 和 高 中 數 學 網 學 習 資 訊 科 技 的 進 步 及 網 路 的 無 遠 弗 界 大 大 地 改 變 了 我 們 的 生 活 及 學 習 方 式, 回 想 二 十 年 前 筆 者 念 大 學 時 對 於 數 學 繪 圖 軟 體 的 印 象, 是 系 上 工 作 站 中 一 個 神 袐 軟 體, 如 今 任 何 人 只 要 利 用 網 路 就 可 輕 鬆 下 載 回 來 安 裝, 實 在 不 可 同 日 而 語 另 外 還 有 許 多 指 令 有 待 更 正 以 符 合 我 國 現 行 高 中 教 材, 如 : 單 位 垂 直 向 量 ( 單 位 法 向 量 ) 第 一 軸 線 ( 長 軸 ) 第 二 軸 線 ( 短 軸 ) 等, 不 過 瑕 不 掩 瑜, 這 些 小 問 題 是 可 以 克 服 的 6. 若 對 GeoGebra 的 使 用 有 任 何 問 題, 可 上 GeoGebra 的 討 論 區 和 世 界 各 地 的 使 用 者 請 教 解 決 方 法, 也 可 對 GeoGebra 的 未 來 發 展 提 出 建 議, 是 要 多 加 些 什 麼 功 能 或 指 令, 程 式 設 計 者 Markus Hohewarter 還 會 親 自 回 答 7. 學 習 數 學 繪 圖 軟 體 並 不 難, 主 要 是 利 用 滑 鼠 相 關 網 址. 錦 和 高 中 數 學 學 習 網 GeoGebra 教 學 GeoGebra 官 方 網 站 GeoGebra 的 中 文 翻 譯 討 論 區 4. GeoGebra 的 使 用 討 論 區 ( 英 法 德 ) 5. GeoGebra Wiki GeoGebra 的 維 基 百 科 全 書 6. Wik 的 下 載 網 址

10 註 E. Graphmatica 也 是 一 個 免 費 數 學 繪 圖 軟 體, 可 輸 入 函 數 或 方 程 式, 立 即 顯 示 出 圖 形, 建 中 數 學 科 網 站 有 中 文 使 用 手 冊 可 供 下 載. GSP 的 一 般 試 用 版 已 不 准 放 在 網 頁 中 供 人 下 載, 故 師 大 數 學 建 中 數 學 網 站 中 的 試 用 版, 已 悄 悄 的 取 消,GSP 的 官 方 網 站 有 提 供 Istructor Evaluatio Editio 以 供 教 師 評 估 是 否 購 買 作 為 教 學 用 途 之 用, 有 效 期 限 60 天 GSP 及 GeoGebra 的 對 照 表 ( 評 分 最 高 5 分, 最 低 分, 個 人 主 觀 意 見, 僅 供 各 位 參 考 ) 項 目 價 格 執 行 速 度 繪 圖 工 具 GSP 校 園 版 元 個 人 版 6000 元 學 生 版 600 元 良 好 基 本 的 線 及 圓 評 分 5 GeoGebra 免 費, 自 行 至 網 站 下 載 安 裝 較 舊 的 電 腦 機 型 會 有 : 起 動 稍 慢, 按 Ctrl-Z 會 停 頓 一 下 才 復 原 到 前 一 動 作, 其 餘 一 般 運 作 良 好 若 硬 體 為 Petium IV 5MB memory 以 上 配 備, 則 沒 有 上 述 問 題 評 分 有 較 多 的 繪 圖 工 具, 如 : 半 圓 切 線 極 限 中 垂 線 角 平 分 線, 過 5 點 的 圓 錐 曲 線 等 4 自 訂 工 具 可 5 可 中 文 書 : 聯 經 出 版 社 : 國 中 幾 何 動 動 動 中 文 書 : 無 網 站 : 網 站 : 錦 和 高 中 數 學 教 學 網 相 關 書 籍 資 源 4 陳 創 義 官 長 壽 等 有 豐 富 的 範 例 檔 案 GeoGebra Forum: 討 論 區 ( 英 文 法 文 等 ) Gsp 的 官 方 網 站 GeoGebraWiKi: 任 何 人 均 可 上 傳 提 供 檔 案, 分 享 教 育 資 源 ( 中 文 英 文 法 文 等 ) 輸 出 為 網 頁 可 畫 出 的 高 中 數 學 圖 文 字 工 具 轉 換 為 JavaSketchPad, 但 對 於 某 些 繪 圖 指 令 不 支 援. 函 數 圖, 動 點 軌 跡 圖. 能 用 動 點 軌 跡 來 畫 拋 物 線 橢 圓 雙 曲 線 4. 空 間 圖 形 可 利 用 d 坐 標 架 模 擬 描 繪 可 在 圖 形 上 加 入 文 字 ( 不 支 援 Latex 語 法 ) GeoGebra 是 以 Java 語 言 設 計 的,00% 可 轉 換 為 網 頁. 函 數 圖, 動 點 軌 跡 圖. 可 輸 入 代 數 方 程 式 把 拋 物 線 橢 圓 雙 曲 線 等 的 圖 形 畫 出 來 ( 類 似 Graphmatica). 有 指 令 可 直 接 畫 出 積 分 的 上 下 和 的 連 續 矩 形 4. 空 間 圖 形 需 另 外 下 載 GeoGebraD 來 繪 圖 可 在 圖 形 上 加 入 文 字 ( 支 援 Latex 語 法, 可 顯 示 根 號 及 分 數 )

11 探 討 空 間 中 兩 條 相 異 直 線 的 關 係, 在 教 學 的 過 程 中 一 般 都 是 從 這 樣 的 分 類 開 始 :. 兩 條 直 線 在 同 一 個 平 面 上 這 時 候 直 線 的 關 係 對 學 生 來 說 是 明 顯 的 舊 經 驗, 平 行 或 不 平 行, 不 平 行 會 相 交, 交 點 也 在 兩 條 直 線 所 處 的 平 面 上. 兩 條 直 線 不 在 同 一 個 平 面 上 這 時 候 兩 條 直 線 不 平 行 但 也 不 相 交, 歪 歪 斜 斜 的, 所 以 叫 一 組 歪 斜 線 再 來 從 課 本 裡 學 習 到 經 典 例 題 : 如 何 去 計 算 一 組 歪 斜 線 的 公 垂 線? 這 也 讓 學 生 了 解 到 確 實 有 公 垂 線 的 存 在 ; 如 果 再 加 上 幾 何 上 的 觀 察, 那 學 生 應 該 會 更 有 感 覺 了 幾 何 上 是 這 樣 解 釋 的 : 假 設 有 兩 條 歪 斜 線 ab, 考 慮 包 含 a 而 平 行 b 的 平 面 π, 把 直 線 b 投 影 到 π 上 為 b, 那 麼 a 與 b 會 有 交 點 P 因 為 投 影 的 關 係, 所 以 P 會 是 b 上 的 某 個 點 P 的 投 影, 那 麼 直 線 PP 就 是 歪 斜 線 ab, 的 公 垂 線 吳 孝 仁 / 國 立 政 大 附 中 在 這 裡 先 規 定 一 些 符 號, 兩 條 相 異 的 直 線 ab, 方 向 ( 向 量 ) 分 別 為 a*, b * 另 外 ab, 上 各 有 一 個 點 AB,, 於 是 如 此 一 來 我 們 就 可 以 寫 出 ab, 的 直 線 方 程 式, 但 是 這 待 會 再 談 先 觀 察 到 一 件 事 情 : 如 果 ab, 是 一 組 歪 斜 線, 那 麼 a*, b * 不 會 平 行 另 外, AB 也 不 會 與 a*, b * 共 平 面, 否 則 ab, 是 同 一 個 平 面 上 的 不 平 行 直 線, 這 樣 會 有 交 點 換 句 話 說 : ab, 是 一 組 歪 斜 線 a*, b*, AB 不 共 平 面 事 實 上, a*, b*, AB 不 共 平 面 也 是 充 分 的, 即 ab, 是 一 組 歪 斜 線 a*, b*, AB 不 共 平 面 我 們 注 意 到 了 a*, b*, AB 不 共 平 面 可 以 轉 化 為 代 數 條 件, 即 是 a*, b*, AB 所 張 的 平 行 六 面 體 體 積 非 零 換 句 話 說 : ab, 是 一 組 歪 斜 線 a * det b * 0 AB (#) 既 然 ab, 間 有 一 條 公 垂 線, 所 以 條 件 (#) 似 乎 保 證 了 公 垂 線 的 存 在 性 我 們 繼 續 討 論 下 去, 取 a*, b * 的 外 積 a* b*, 方 向 上 垂 直 ab, 所 以 公 垂 線 的 方 向 有 了, 但 是 要 成 為 ab, 的 公 垂 線, 還 必 須 保 證 以 a* b* 為 方 向 的 直 線 與 ab, 各 有 一 個 交 這 篇 文 章 想 要 做 的 是, 由 一 些 代 數 條 件 來 看 一 組 歪 斜 線 與 其 公 垂 線 之 間 的 關 係 ; 希 望 能 提 供 給 各 點, 所 以 這 兩 個 交 點 存 在 與 否 就 決 定 了 ab, 的 公 垂 線 位 先 進 作 為 深 入 教 學 或 是 概 念 連 結 的 一 些 素 材

12 假 設 兩 條 直 線 ab, 的 參 數 方 程 式 : a: X = A+ a* t b: X = B+ b* s t, s 直 線 c 的 方 向 為 a* b* 試 想, 如 果 ab, 上 各 有 一 點 A0, B 0 落 在 直 線 c 上, 那 麼 由 前 述 討 論, 直 線 c 就 是 ab, 的 公 垂 線 考 慮 方 程 組 ( ) ( ) ( ) A+ a* t = B+ b* s + a* b* a* t b* s+ A B = a* b* a * [ t, s, ] b* = a* b* (##) AB 因 為 ab, 是 一 組 歪 斜 線 a * det b * 0 AB a * b * 是 可 逆 矩 陣 AB (##) 有 實 數 解,, [ t0 s0 ] 這 意 謂 著 直 線 c 通 過 A0, B 0, 所 以 c 為 ab, 的 公 垂 線 至 此, 已 經 完 成 我 們 的 論 證 繼 承 之 前 的 符 號, 在 這 裡 下 個 結 論 : a *. ab, 是 一 組 歪 斜 線 det b * 0 (#) AB. 條 件 (#) 提 供 了 以 a* b* 為 方 向 的 直 線 和. 註 E ab, 各 有 一 個 交 點 的 充 分 性 a * det b * 0 蘊 含 了 公 垂 線 的 存 在 AB. 文 中 直 線 參 數 式 X = A+ a* t是 以 向 量 的 形 式 來 表 示, t 是 a * 的 係 數 積 AB 個 別 來 看 是 點, 但 是 表 示 成 ( A B)., 視 為 向 量 AB 時 則 假 設 A = A+ a* t 0 0 B = B+ b* s 0 0 以 及 直 線 c ( A + B ) ( ) 0 0 c: X = + a* b* r, r 於 是 A0, B 0 分 別 落 在 ab, 上 而 且 另 外 當 當 A0 B0 = a* b* ( A + B ) ( a* b* ), 0 0 r = X = + = A0 ( A + B ) ( a* b* ), 0 0 r = X = = B0 4

13 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 指 定 項 目 甄 試 試 題 一 計 算 證 明 題 ( 考 試 時 間 : 小 時 ). 在 電 影 詭 絲 中, 一 位 物 理 學 家 以 孟 傑 海 綿 (Meger spoge) 來 捕 捉 鬼 魂 ; 下 面 是 平 面 上 孟 傑 海 綿 的 製 作 方 法 第 一 階 段 : 取 一 個 邊 長 為 a 的 正 方 形 ( 參 看 下 圖 一 ), 將 正 方 形 等 分 成 九 個 邊 長 為 形, 再 將 中 央 的 小 正 方 形 切 除 ( 參 看 下 圖 二 ) 第 二 階 段 : 對 前 階 段 留 下 的 所 有 邊 長 為 以 下 依 此 類 推 形, 再 將 中 央 的 小 正 方 形 切 除 ( 參 看 下 圖 三 ) a 的 小 正 方 a a 的 小 正 方 形, 每 個 都 等 分 成 九 個 邊 長 為 的 小 正 方 9 () 若 孟 傑 海 綿 是 完 成 第 五 階 段 後 所 製 成 的, 則 製 作 過 程 中 共 切 除 多 少 個 各 種 大 小 的 正 方 形? () 若 孟 傑 海 綿 是 完 成 第 階 段 後 所 製 成 的, 則 製 作 過 程 中 共 切 除 多 少 個 各 種 大 小 的 正 方 形? 被 切 除 的 正 方 形 周 長 共 多 少? 被 切 除 的 正 方 形 面 積 共 多 少?. () 試 證 : 若 x, y 與 z 都 是 不 等 於 0 的 正 實 數, 則 下 述 不 等 式 恆 成 立 : x+ y+ z + +. x y z xyz 5

14 () 設 ABC 的 三 邊 長 分 別 為 a, b 與 c, 而 其 內 切 圓 半 徑 為 r 若 s 表 示 ABC 周 長 的 一 半, 試 證 : + + ( s a) ( s b) ( s c) r.. 設 007 次 整 係 數 多 項 式 f( x) = ( x )( x ) ( x 007) 等 於 兩 個 整 係 數 多 項 式 gx ( ) 與 hx ( ) 的 乘 積, 令 kx ( ) = gx ( ) + hx ( ) () 試 證 : k() = k() = = k(007) = 0 () 試 證 : 兩 多 項 式 gx ( ) 與 hx ( ) 中 必 有 一 是 常 數 多 項 式 4. 設 甲 袋 原 有 k 個 白 球 與 個 黑 球 ( k ), 而 乙 袋 原 有 k 個 白 球 今 自 甲 袋 與 乙 袋 中 同 時 各 取 出 一 球 放 入 對 方 袋 中, 這 動 作 我 們 稱 之 為 一 次 換 球 ; 對 每 個 正 整 數, 令 P 表 示 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 () 試 求 P 與 P () 設 為 正 整 數, 試 求 P () 試 求 lim P 之 值 5. 已 知 : 拋 物 線 的 焦 點 對 此 拋 物 線 所 有 切 線 的 對 稱 點 都 在 拋 物 線 的 準 線 上 () 試 證 : 若 一 拋 物 線 過 切 點 P 的 切 線 為 l, 而 焦 點 F 對 切 線 l 的 對 稱 點 為 D, 則 PD 與 準 線 垂 直 () 設 一 拋 物 線 的 準 線 方 程 式 為 x y 4= 0, 且 與 直 線 x+ y+ 6 = 0 相 切 於 點 (, 0), 試 求 其 焦 點 坐 標 6

15 二 填 充 題 ( 考 試 時 間 : 小 時 ). 設 ω 為 方 程 式 x = 0之 ㄧ 虛 根 若 無 窮 級 數 + ω+ ω + + ω + 之 和 為 α + βω, 其 中 α, β 為 實 數, 則 α + β =. 函 數 f( x) = x x x+ 0 的 最 小 值 為. 在 平 面 坐 標 系 中, x + y = 之 圖 形 所 圍 區 域 的 面 積 為 4. 考 慮 數 列,,,,,,,,,,,,,, 其 中 值 為 的 項 共 有 k 個 ( k =,,, ) 若 前 項 之 和 為 50, 則 為 位 k 數 (log = 0.00, log = 0.477, log7 = 0.845) a β 5. 設 實 數 α, β 滿 足 π < α < π, π < β < π, 且 ta =, ta = 4, 則 + = + cosα + siα + cos β + si β 7 a a 6. 設 A= a 4 6 a4 a5 a 6 方 程 組 為 的 矩 陣, 且 A 的 每 一 列 每 一 行 每 一 對 角 線 的 總 和 皆 相 等, 則 的 解 ( x, y, z ) 為 7x+ ay + az = ax+ 4y+ 6z= ax 4 + ay 5 + az 6 = 6 7

16 7. 給 定 三 直 線 : x + y z +, : x y z + L = = L = = 4 4 x+ y+ z L : = = 令 與 點 P 為 直 線 L 與 L 的 交 點, 點 Q 為 直 線 L 與 L 的 交 點, 則 線 段 PQ 在 平 面 E: x+ y+ z+ = 0上 的 正 射 影 長 度 為 8. 空 間 中 位 於 點 (0,, ) 的 光 源, 將 xz 平 面 上 的 圓 + = x ( z ) y = 0 照 射 在 xy 平 面 上, 則 這 個 影 像 的 曲 線 方 程 式 為 9. 給 定 正 整 數 ; 持 續 擲 一 公 正 的 骰 子, 若 連 續 兩 次 擲 出 的 點 數 相 同 或 擲 滿 次 即 停 止, 則 一 連 串 擲 骰 子 的 所 有 可 能 結 果 有 種 0. 擲 一 公 正 的 硬 幣 8 次 ; 已 知 擲 出 正 面 的 次 數 小 於 或 等 於 4 次, 則 第 一 次 與 第 二 次 都 擲 出 正 面 的 機 率 為 8

17 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 96 學 年 度 推 薦 甄 選 入 學 一 計 算 證 明 題 : 指 定 項 目 甄 試 試 題 詳 解 a. 令 a 代 表 第 階 段 所 切 除 的 正 方 形 個 數 因 為 第 一 階 段 切 除 的 正 方 形 邊 長 為, 第 二 階 段 切 a a 除 的 正 方 形 邊 長 為,, 所 以 第 階 段 所 切 除 的 正 方 形 邊 長 為 ; 又 因 為 第 一 階 段 切 除 a = 個 正 方 形, 第 二 階 段 切 除 a = 8 個 正 方 形, 第 三 階 段 切 除 a = 8 個 正 方 形,, 所 以 第 階 段 切 除 a = 個 正 方 形 8 () 依 題 意, 一 共 切 除 a + a + a + a4 + a5個 正 方 形, 計 算 得 () 孟 傑 海 綿 在 完 成 第 階 段 後 一 共 切 除 = 468( 個 ) a + a + + a 個 各 種 大 小 的 正 方 形 計 算, 得 = = ( 個 ) 8 7 被 切 除 的 正 方 形 周 長 為 a a a = a a a. = = 8 5 被 切 除 的 正 方 形 面 積 為 a a a a = = = a 9 8 a. 9

18 . () 將 下 列 三 個 算 幾 不 等 式 + x y + y z + z x = x y xyz = y z xyz = z x y z x xyz 相 加, 得 x+ y+ z + +. x y z xyz () 設 為 ABC 的 面 積, 根 據 海 龍 公 式 及 面 積 公 式, 得 = s( s a)( s b)( s c) = sr, 即 s = ( s a)( s b)( s c) r 利 用 (), 得 s ( a+ b+ c) s + + = =. ( s a) ( s b) ( s c) ( s a)( s b)( s c) ( s a)( s b)( s c) r. 設 007 次 整 係 數 多 項 式 f( x) = ( x )( x ) ( x 007) 等 於 兩 個 整 係 數 多 項 式 gx ( ) 與 hx ( ) 的 乘 積, 令 kx ( ) = gx ( ) + hx ( ) () 因 為 所 以 f() = f() = = f(007) =, g() h() = g() h() = = g(007) h(007) = 又 因 為 gx ( ) 與 hx ( ) 都 是 整 係 數 多 項 式, 所 以 g(), g(),, g(007) 0

19 與 h(), h(),, h(007) 都 是 整 數 因 此, g () 與 h () 必 是 一 個, 而 另 一 個 為, g () 與 h (),, g (007) 與 h (007) 也 都 是 一 個, 而 另 一 個 為 也 就 是 說, 即 g() + h() = g() + h() = = g(007) + h(007) = 0, k() = k() = = k(007) = 0. () 考 慮 gx ( ) 與 hx ( ) 的 次 數 m= deg gx ( ) 與 = deg hx ( ) ; 為 了 方 便 起 見, 不 妨 設 m 0 因 為 f( x) = gxhx ( ) ( ) 的 次 數 是 007 次, 所 以 m+ = 007 ; 又 由 k() = k() = = k(007) = 0 知, gx ( ) + hx ( ) 被 ( x )( x ) ( x 007) 整 除, 即 m deg( gx ( ) + hx ( )) 007 由 m+ = 007 及 m 007 得 m= 007, = 0, 故 hx ( ) 是 常 數 多 項 式 4. 考 慮 P 與 P 的 遞 迴 關 係, 因 為 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 等 於 ( ) 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋, 且 第 次 換 球 後 黑 球 仍 在 甲 袋 的 機 率 + ( ) 次 換 球 後 黑 球 跑 到 乙 袋, 且 第 次 換 球 後 黑 球 在 甲 袋 的 機 率, 即 整 理, 得 因 此 k P = P + ( P ). k k k P = P k. k k k P = P k = k k. 整 理, 得 ( k ) ( k ) + k P = + =. k k

20 () 利 用 前 面 的 公 式, 得 ( k ) + k k k + P = =, k k ( k ) + k k k + 6k 4 P = =. k k () 利 用 前 面 的 公 式, 得 ( k ) ( k ) + k P = + =. k k () 根 據 () 的 公 式, 得 因 為 因 此 ( k ) + k lim P = lim = lim k +. k 是 小 於 的 定 正 數, 所 以 k lim 0 =. k lim P =. 5. () 設 P 至 準 線 的 垂 足 為 H, 即 PH 是 P 到 準 線 的 最 短 距 離, 又 根 據 拋 物 線 的 定 義 PF = PH ; 已 知, D 在 準 線 上, 且 因 為 對 稱 點 的 關 係, 所 以 PF = PD 因 此 由 PH 是 P 到 準 線 的 最 短 距 離 知 D PH = PD. = H, PD 與 準 線 垂 直 () 通 過 點 (, 0), 又 與 準 線 x y 4= 0垂 直 的 直 線 方 程 式 為 L : x+ y = ( ) + 0 = 準 線 與 直 線 L 的 交 點 坐 標 為 D, 4 0 現 在 求 D, 點 對 切 線 x+ y+ 6 = 0 的 對 稱 點, 過 D 與 切 線 相 垂 直 的 直 線 方 程 式 為 4 0 L :x y = = 切 線 與 直 線 L 的 交 點 為 M, 利 用 FD 的 中 點 為 M, 得 焦 點 F 的 坐 標 為 0,.

21 二 填 充 題 : ,, 78 x x + y = 0 + y = 0或 z = 0 (5 ) 6. 令 此 級 數 為 S, 套 用 無 窮 等 比 級 數 公 式, 得 S = =. ω ω 將 分 子 與 分 母 同 乘 4 + ω, 得 因 為 ω + ω+ = 0, 所 以 (4 + ω) ω+ S = = + + ( ω)(4 ω) ω ω. 5 故 α + β = + = ω + S = = + ω. +. 將 f( x) = x x x+ 0 表 為 f( x) ( x 0) (0 ( )) ( x ) (0 ) = + + +, 即 f( x ) 代 表 x 軸 上 的 動 點 Px (, 0) 至 定 點 A(0, ) 與 B (, ) 的 距 離 和 其 最 小 值 發 生 在 當 P 是 x 軸 與 直 線 AB 的 交 點 時, 又 直 線 AB 的 方 程 式 為 將 Px (, 0) 代 入 解 得 x = 5 5x y =., 而 最 小 值 為 AB = (0 ) + ( ) = 6.

22 . 因 為 x + y = 的 圖 形 對 稱 x 軸 與 y 軸, 所 以 只 需 畫 x + y = 在 第 一 象 限 的 圖 形 即 可 知 道 整 個 圖 形 現 在 設 x 0, y 0, 此 時 x + y = 變 成 x + y =. () 當 x, y 時, x+ y = 6 () 當 x, y 時, x y = () 當 x, y 時, x y = 4 (4) 當 x, y 時, x+ y = 0 將 這 四 部 分 畫 圖 如 下 左 圖, 現 在 算 它 們 的 面 積 : 畫 直 線 x = 及 y = 將 該 區 域 分 成 一 三 角 形 一 矩 形 兩 個 梯 形 等 四 個 可 以 算 面 積 的 形 狀 ( 如 上 右 圖 ), 其 中 三 角 形 的 面 積 為 為 4 與 5 故 在 第 一 象 限 所 圍 出 的 面 積 為 = 因 為 對 稱 的 關 係, 所 以 圖 形 圍 出 的 總 面 積 為 4 = 5 9, 矩 形 面 積 為, 兩 個 梯 形 面 積 分 別 k 4. 將 數 列 分 成 每 ( k =,,, ) 個 一 組, 根 據 題 意 每 組 和 皆 為 若 前 項 和 為 50, 則 49 是 第 50 組 的 最 後 一 項 ; 又 因 為 第 一 組 有 項, 第 二 組 有 項,, 第 50 組 有 項, 所 以 = = =. 4

23 因 為 所 以 為 4 位 數 = + =, 50 log θ 5. 令 a = ta, 可 得 θ a θ si =, cos = + a + a θ θ θ θ 又 利 用 cosθ = cos si 及 siθ = si cos, 可 得 a a cos θ =, siθ = + a + a 將 上 述 公 式 代 入 所 求 的 式 子, 得 所 求 的 和 = + = = ( 4) ( 4) ( 4) + ( 4).. 6. 從 假 設 條 件 可 得 等 式 7+ a + a = a + 4+ a = a + 6+ a = 7+ a + a = a + 0 = a + a + a = 4 + a + a = + a, 其 中 7 + a + a4 = 0 + a推 得 a4 =, a a6 = + a6再 推 得 a = 5, 即 總 和 為 4 + a + a = =. 4 將 其 和 代 入 關 係 式 = + a6 = 0 + a得 a =, a 6 =, 代 入 關 係 式 = 7 + a + a = + a得 a = 0, 代 入 關 係 式 = a a5 = 4 + a5得 a 5 = 8 綜 合 這 些 計 算, 方 程 組 為 7x+ 5z = x+ 4y+ 6z = x+ 8y+ z = 6 利 用 高 斯 消 去 法 或 加 減 消 去 法, 可 以 解 得 x=, y =, z =. 5

24 7. 首 先 求 P, Q 兩 點 的 坐 標, P 點 坐 標 為 Q 點 坐 標 為 x+ y = x y = 7 P = (,, ). x y x y = 5 = 4 x y = 4 x y = 5 Q = (,,). x+ y+ x+ y = = 接 下 來 計 算 線 段 PQ,P 點 至 平 面 E 的 距 離 dp (, E ) 及 Q 點 至 平 面 E 的 距 離 dq (, E ) 如 下 : PQ = + + = ( ( )) ( ) ( ) 6 ; dp (, E) = = ; dq (, E) = =. + + 利 用 畢 氏 定 理, 線 段 PQ 在 平 面 E: x+ y+ z+ = 0上 的 正 射 影 長 為 4 PQ ( d( P, E) d( Q, E)) = 6 = 將 xz 平 面 上 的 圓 表 為 參 數 式 x + z = ( ) y = 0 ( x, y, z) = (cos t, 0,+ si t), t 為 實 數 若 通 過 點 (0,,) 與 (cos t, 0,+ si t) 的 直 線 與 xy 平 面 相 交 於 點 ( x, y, 0), 則 解 得 cost 0 0 ( + si t) = =, x 0 y 0 x y+ cos t =, sit = y y. 6

25 利 用 cos t+ si t =, 得 x y+ + =, y y 整 理, 得 x + y = 設 總 共 擲 骰 子 k 次, 討 論 如 下 : () i< 的 擲 法 第 一 次 擲 有 6 種 可 能, 之 後 的 每 一 回 都 不 能 與 上 一 回 相 同, 故 有 5 種 可 能, 而 最 後 第 i 回 i 與 第 i 回 相 同, 只 有 種, 所 以 共 有 6 5 種 () i= 的 擲 法 表 示 到 了 第 回 時 還 沒 有 重 複 的 點 數, 而 最 後 一 回 不 管 重 複 與 否 都 要 結 束, 故 有 種 結 果 一 共 有 種 i= + = ( ) i 設 A 代 表 前 兩 次 都 擲 出 正 面 的 事 件, B 代 表 擲 出 小 於 或 等 於 4 次 的 事 件 6 C i= 0 i 6 PA ( B) PAB ( ) = = = =. PB ( ) 4 8 C i= 0 i 8 7

26 動 手 玩 數 學 許 志 農 / 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 遊 戲 伸 出 你 的 左 手, 從 大 拇 指 開 始, 如 下 圖 所 示 那 樣 數 數 字,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, : 遊 戲 4 一 隻 大 烏 龜 馱 上 兩 隻 中 烏 龜, 這 兩 隻 中 烏 龜 的 重 量 都 是 大 烏 龜 的 八 分 之 ㄧ, 又 每 隻 中 烏 龜 又 背 著 兩 隻 小 烏 龜, 這 兩 隻 小 烏 龜 的 重 量 也 都 是 中 烏 龜 的 八 分 之 ㄧ, 如 此 疊 上 去 已 知 最 底 下 的 大 烏 龜 有 公 斤 重, 求 所 有 烏 龜 的 總 重 量? () 求 大 拇 指 所 數 的 第 個 數 為 何? 並 描 述 大 拇 指 所 數 的 數 之 規 律 () 數 到 999 時, 你 數 在 哪 個 手 指 上? ( 以 大 拇 指 食 指 中 指 無 名 指 或 小 指 回 答 ) 玩 鎖 玩 索 尋 找 規 律 或 發 現 公 式 一 直 是 數 學 活 動 中 很 受 重 視 的 一 環 例 如 95 學 年 度 學 測 第 G 題 就 是 幾 何 規 律 的 尋 找 問 題 : 用 黑 白 兩 種 顏 色 的 正 方 形 地 磚, 依 照 如 下 的 規 律 拼 成 若 干 圖 形 玩 鎖 玩 索 拋 物 線 與 弦 所 圍 的 區 域 稱 為 拋 物 線 的 弓 形, 世 界 上 第 一 位 會 算 拋 物 線 弓 形 面 積 的 人 是 兩 千 多 年 前 的 阿 基 米 德 阿 基 米 德 以 弦 為 底 畫 出 一 個 三 角 形, 之 後 在 兩 邊 再 各 畫 一 個 三 角 形, 如 下 圖 所 示 : 試 問 : 拼 第 95 個 圖 需 用 到 幾 塊 白 色 地 磚? 又 如 下 圖, 求 第 個 圖 的 白 色 正 六 邊 形 個 數? 這 也 是 一 道 尋 找 規 律 問 題 這 道 數 數 問 題 是 取 自 第 三 屆 華 羅 庚 金 杯 少 年 數 學 邀 請 賽 的 團 體 決 賽 口 試 試 題 阿 基 米 德 說 : 如 果 依 照 這 樣 的 規 律 一 直 畫 下 去, 那 麼 這 些 三 角 形 的 面 積 總 和 就 會 是 拋 物 線 的 弓 形 面 積 直 觀 看 來, 兩 者 的 差 異 愈 來 愈 小, 問 題 是, 這 些 三 角 形 有 無 窮 多 個, 而 且 不 知 道 其 面 積 總 和 該 如 何 求? 阿 基 米 德 進 一 步 說 : 馱 在 上 面 的 兩 個 三 角 形 之 面 積 和 是 底 下 這 個 三 角 形 面 積 的 四 分 之 ㄧ, 由 此 可 推 得 拋 物 線 的 弓 形 面 積 是 最 大 三 角 形 面 8

27 積 的 三 分 之 四 倍 在 沒 有 微 積 分 的 幫 忙 之 下, 能 夠 算 出 這 樣 的 結 果, 算 是 出 類 拔 萃 之 人, 在 我 們 學 會 多 項 式 的 微 積 分 之 後, 就 很 容 易 驗 證 阿 基 米 德 的 這 些 結 果 將 上 述 情 境 中 的 三 角 形 改 成 烏 龜, 面 積 視 為 烏 龜 的 重 量, 就 是 這 裡 所 談 的 問 題! 利 用 無 窮 等 比 級 數 的 求 和 公 式 算 烏 龜 的 重 量 總 和 阿 基 米 德 歐 幾 里 得 費 馬 與 高 斯 參 加 一 場 四 道 題 目 的 數 學 競 賽 賽 後 四 人 圍 在 一 起 討 論, 對 話 如 下 : 遊 戲 5 阿 基 米 德 說 : 第 一 題 及 第 四 題 都 沒 答 對 歐 幾 里 得 說 : 第 四 題 沒 答 對 費 馬 說 : 答 對 第 一 題 高 斯 說 : 答 對 第 四 題 四 人 各 答 對 一 題, 而 且 每 人 答 對 的 題 目 都 不 一 樣 ; 已 知 四 人 中, 三 人 說 了 實 話 問 誰 答 對 第 一 題, 又 誰 答 對 第 四 題? 玩 鎖 玩 索 這 是 馬 里 蘭 大 學 舉 辦, 高 中 數 學 競 賽 第 6 屆 第 二 部 分 五 個 題 目 中 的 第 一 題 ; 這 是 一 道 邏 輯 演 繹 與 推 理 的 問 題, 只 是 這 道 題 目 稍 微 複 雜 一 點 不 過, 將 所 有 可 能 情 形 討 論 一 遍, 必 定 可 以 找 出 答 案 9

28 下 圖 是 施 工 單 位 將 半 徑 相 同 的 大 型 水 管 堆 疊 在 一 起 的 截 面 圖 ( 底 層 的 三 個 水 管 是 隨 意 擺 放 的 ), 圖 中 是 六 個 遊 戲 6 半 徑 相 同 的 圓 相 切 的 情 形 最 左 側 最 右 側 與 最 上 邊 的 這 三 個 圓 之 圓 心 所 形 成 的 三 角 形 為 何 種 三 角 形? 可 以 證 明 你 的 答 案 嗎? 玩 鎖 玩 索 下 圖 是 由 長 度 一 樣 的 6 根 木 材 架 設 起 來 的 平 面 圖 : 在 這 平 面 圖 中, 最 左 側 最 右 側 與 最 上 邊 的 這 三 個 點 所 形 成 的 三 角 形 為 何 種 三 角 形? 可 以 證 明 你 的 答 案 嗎? 又 它 與 遊 戲 的 關 係 為 何? 將 上 述 圖 形 對 稱 於 直 線 AB, 得 到 下 圖 : 看 見 對 稱 之 美 了 嗎? 此 時, CR = CR = CQ + Q R = = AR 試 著 完 成 上 述 的 部 分. 0

29 動 手 玩 數 學 ~ 破 解 秘 笈 遊 戲 9 利 用 天 平 平 衡 時, 兩 邊 力 矩 相 等, 得 Qa = m b, Qb = m a, 解 得 a b m = Q, m Q b = a. 因 此 a b m + m Q+ Q b a a + b P= = = Q. ab 將 P 與 Q 相 減, 得 如 果 將 上 述 攤 平 的 左 下 角 定 坐 標 為 (0, 0), 右 上 角 定 坐 標 為 (8, 4), 那 麼 P = (8, ), Q = (0, ) 螞 蟻 爬 行 的 距 離 為 玩 鎖. 玩 索 解 答 (8 0) + ( ) = 68 = 7. 這 是 一 道 不 容 易 的 挑 戰 題, 答 案 跟 直 覺 相 違 背 如 圖 所 示, 在 右 側 面 對 角 線 四 分 之 ㄧ 處 a + b P Q= Q Q ab + = ab ( a b) = Q > 0. ab a ab b Q 故 估 算 重 量 P 比 物 品 實 際 重 量 Q 重 遊 戲 0 () 將 魔 術 方 塊 定 坐 標, 左 後 下 角 定 為 原 點, 右 後 下 角 定 為 (4,0,0), 左 前 下 角 定 為 (0,4,0) 此 時 P = (4,,4), Q = (0,,0), 兩 點 的 直 線 距 離 為 (4 0) + ( ) + (4 0) = 6. () 因 為 螞 蟻 在 魔 術 方 塊 表 面 爬 行, 所 以 必 須 將 魔 術 方 塊 攤 平 考 慮 遊 戲 () a = 9, l =. () 因 為 每 個 灰 色 小 正 方 形 的 旁 邊 伴 隨 著 個 相 同 大 小 且 未 塗 色 的 正 方 形, 所 以 a 是 首 項, 公 比 的 等 比 數 列, 即 a =. 又 因 為 每 次 分 割 時, 邊 長 減 半, 所 以 l 是 首 項, 公 比 的 等 比 數 列, 即 l =.

30 () 設 所 有 被 塗 成 灰 色 的 正 方 形 面 積 和 為 S, 由 () 知 道, 第 個 圖 所 新 增 的 灰 色 正 方 形 面 積 為 將 後 式 減 去 前 式, 得 所 以 a l = = 4. S = = 4 =. (4) 由 () 知 道, 被 塗 成 灰 色 的 面 積 與 正 方 形 面 積 一 樣, 所 以 正 方 形 內 的 每 一 個 點 都 會 被 塗 成 灰 色 遊 戲 機 率 問 題 必 須 先 求 岀 樣 本 空 間, 兩 人 猜 拳 的 樣 本 空 間 可 以 用 序 對 表 示, 序 對 的 第 一 位 置 代 表 一 人 出 拳 情 形, 第 二 位 置 代 表 另 一 人 出 拳 情 形 因 此, 會 有 ( 剪 刀, 剪 刀 ),( 剪 刀, 石 頭 ),( 剪 刀, 布 ),( 石 頭, 剪 刀 ),( 石 頭, 石 頭 ),( 石 頭, 布 ),( 布, 剪 刀 ),( 布, 石 頭 ),( 布, 布 ) 共 9 種 情 形 所 以 平 手 有 種, 分 出 勝 負 有 6 種, 即 猜 一 次 拳 平 手 的 機 率 為 9 =, 而 分 出 勝 負 的 機 率 為 6 = 9 由 上 述 分 析, 得 猜 次 拳 才 分 出 勝 負 的 機 率, 即 前 次 平 手, 第 次 分 出 勝 負 的 機 率 為. 因 此, 兩 人 猜 拳 分 出 勝 負 的 期 望 次 數 為 S = + = + =. = 故 兩 人 猜 拳, 平 均 要 猜.5 次 才 分 勝 負 玩 鎖. 玩 索 解 答 如 前 面 解 答, 可 以 將 三 人 一 起 猜 拳 ( 三 人 一 起 出 拳 ) 的 樣 本 空 間 表 成 三 個 位 置 的 序 對 將 樣 本 空 間 列 出, 共 有 = 7 種, 其 中 兩 人 勝 一 人 有 9 種, 一 人 勝 兩 人 有 9 種, 而 平 手 有 9 種, 即 兩 人 勝 一 人 一 人 勝 兩 人 平 手 的 機 率 都 是 現 在 分 成 兩 種 情 形 討 論 : () 前 次 平 手, 第 次 一 人 勝 兩 人 的 機 率 為 =. 這 種 情 形 的 期 望 值 為 =. = = () 前 次 平 手, 第 次 兩 人 勝 一 人 的 機 率 為 =. 接 下 來 剩 兩 人 猜 拳, 根 據 遊 戲 知 道 期 望 值 為.5 這 種 情 形 的 期 望 值 為 +.5 = = = 4 故 三 人 一 起 猜 拳, 平 均 要 猜 ( +.5) = = = =.5 = = 4 次, 才 剛 好 有 一 人 勝 出. 又 S = = = =. S =. =