9 世代家庭的消費與儲蓄 人不能永遠活著, 但世代家庭能! 世代家庭是一個 父傳子, 子傳孫, 能 夠存活或企圖存活 無窮萬代 的世襲家族 在這個具有無限生命的家族 中, 決策者不祇關心自己的福祉, 同時也關心未來世代的福祉 因此, 決策 者的生命即使有限, 他的行為就如同能夠存活無窮萬代一樣, 其

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1 9 世代家庭的消費與儲蓄 人不能永遠活著, 但世代家庭能! 世代家庭是一個 父傳子, 子傳孫, 能 夠存活或企圖存活 無窮萬代 的世襲家族 在這個具有無限生命的家族 中, 決策者不祇關心自己的福祉, 同時也關心未來世代的福祉 因此, 決策 者的生命即使有限, 他的行為就如同能夠存活無窮萬代一樣, 其決策期間 是無限的 本章要延伸上一章的有限生命模型, 分析一個具有無限生命 的決策者會如何規劃他的終身消費和儲蓄 讀者或許會以為 世襲 的隱喻過於 封建, 比較適合用來解釋特定 群體的行為 其實不然, 因為即使在個人的層次上, 只要父母關心子女福 祉, 子女的生命就是父母生命的延伸 在上一章的習題中, 我們請讀者思 考消費者 阿達 要留下多少遺產給他的子女 小達 阿達僅存活兩期, 但只要他 父以子為榮, 則小達吃香喝辣就如同自己也吃香喝辣一樣, 如 果小達也有相同的偏好, 則阿達的規劃期間就是無限的! 然而, 人的生命 畢竟有限, 世代家庭有一點是 阿達家族, 英國皇室 或北韓的 金氏王 朝 不容易做到的 在阿達的世界裡, 遺產只能夠從 阿達 傳給 小達, 資源的移轉是單向的, 但在世代家庭中, 爺爺奶奶吃香喝辣就如同自己也 吃香喝辣, 資源也可以從 小達 反哺給 老達 ; 這是一個 父以子為榮, 子以父為貴 的經濟世界, 資源的移轉是雙向的 1

2 2 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄談到跨代資源移轉, 作者也必須指出, 遺產與捐贈, 甚至如國民年金這類的跨代移轉, 牽涉到相當複雜的互動過程, 不全然是出於 利他 的動機 經濟學界公認最會 胡思亂想 的芝加哥大學教授 Gary Becker ( 同時也是 1992 年諾貝爾經濟學獎得主 ) 就曾經為文指出, 遺產是父母用來規範或控制子女行為的工具 家財萬貫的富豪往往將財產信託, 並立下遺囑曰 : 某某一旦如何如何, 則一切免談 這類有趣而複雜的 賽局 過程是文獻中的熱門話題, 但已超出本書範圍, 我們不準備為讀者介紹 本章要強調的是, 只要資源能夠在跨代之間移轉, 不論是出於 利他 或 利己 的動機, 一個有限生命的個體就如同能夠存活無窮萬代一般, 它的規劃期間是無限的 在正式進入主題之前, 作者仍有一點要向讀者聲明 世代家庭模型的外觀比較 醜陋, 使用的數式與數學工具相對較多, 模型推理也難以用幾何圖形表達, 因此本章的星號章節份量較重, 初學者可略去不讀 然而話說回來, 無限生命模型之所以讓許多初學者 心生畏懼, 真正的難處並不是數學太多 ( 那是藉口 ), 而是初學者不習慣用 直觀 方式思考選擇問題或經濟問題 讀者將發現, 世代家庭模型其實也沒有什麼太高深的學問, 主要的直觀論述幾乎都與上一章的費雪模型相同, 讀者不必太過 排斥 或 畏懼 這種相對抽象的分析方式 9.1 世代家庭決策模型 言歸正傳, 讓我們考慮一個具有無限生命的消費者, 其各期預算限制為 c t + b t = a t + (1 + r t 1 )b t 1, t = 1, 2, 3, (9.1) 時間從第一期開始, 直到無窮的未來 除了實質利率外, (9.1) 式與上一章的 (8.1)-(8.2) 兩式完全相同, 其中, c t, a t, b t 分別為 t 期的消費支出, 稅後稟賦及期末債券餘額, 而稅後稟賦 a t 等於外生稟賦 y t 減定額稅淨額 T t,

3 9.1 世代家庭決策模型 3 即 a t = y t T t 在無限生命模型中, 各期利率水準可以不相等, 上式中的 r t 1 是 t 期到期債券 b t 1 的實質利率, 亦即, r t 1 是前期借貸契約的到期 利率 為了簡單, 我們仍然只考慮一期到期的債券, 較複雜的長期債券將 留待適當時機再為讀者介紹 ( 見習題 4) 根據 (9.1) 式, 儲蓄 s t 仍然可以寫成 s t = (a t + r t 1 b t 1 ) c t = b t b t 1, 亦即, 儲蓄等於可支配所得 (a t + r t 1 b t 1 ) 減消費支出 c t, 也等於期末債 券餘額 b t 減期初債券餘額 b t 1, 其中意義已在上一章討論, 不再重複 跨期預算限制 正如兩期模型, 消費者的預算限制也可以用存量或現值方式表達 為了 簡化推導過程, 假設期初債券餘額 b 0 = 0, 且各期實質利率均相等, 因此 r t = r, t = 1, 2, 3, 讓我們先考慮前三期的預算限制式 : c 1 + b 1 = a 1, (9.2) c 2 + b 2 = a 2 + (1 + r)b 1, (9.3) c 3 + b 3 = a 3 + (1 + r)b 2 (9.4) 仿照兩期模型的推導步驟, 將 (9.3) 式的 b 1 代入 (9.2) 式, 整理後得到 c 1 + c r + b r = a 1 + a r 這是兩期情形下的終身預算限制式, 與上一章的 (8.3) 式完全相同 根據 (9.4) 式, 第二期的期末債券餘額 ( 或第三期的期初未償債券餘額 ) 是 b 2 = (c 3 + b 3 a 3 )/(1 + r), 代回上式並移項整理, 得到 c 1 + c r + c 3 b 3 (1 + r) 2 + (1 + r) 2 = a 1 + a r + a 3 (1 + r) 2

4 4 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄這是三期情形下的終身預算限制式, 其中 c 3 /(1 + r) 2 及 a 3 /(1 + r) 2 分別是第三期消費及所得稟賦的折現值 請注意, 利息從第一期至第三期總共 滾 了兩期, 因此第三期商品的折現價格或現值價格 (present-value price) 是 1/(1 + r) 2 顯然, 三期情形下的跨期預算限制與兩期並無不同 ; 終身財富仍然要等於各期消費與期末債券餘額的現值總和 讀者若繼續以上的代換過程, 直到未來的某一個固定時點 T, 則下式 必然成立 : T t=1 T c t (1 + r) t 1 + b T (1 + r) = T 1 t=1 a t t 1 (9.5) (1 + r) 上式中的 b T 是時點 T 的期末債券餘額, 其意義與兩期模型下的 b 2 類似, 但兩者存在關鍵差異 假設消費者只能夠存活有限的 T 期 ( 如 80 年 ), 則正如兩期模型一樣, b T > 0 表示消費者在生命終了之際仍然留下 沒有吃完的資產, 這違背理性假設 ; 反之, 若 b T < 0, 則消費者企圖倒債, 但完全競爭的借貸市場不可能讓他得逞, 因此在有限生命情形下, 唯一 合理 的假設是 b T = 0 ( 見習題 9) 在無限生命的世界裡, 任何一期的期末債券不必也不需要等於零, 因為 明天過後, 還有明天 在這種情形下, 不能倒債的條件應該寫成 lim T b T 0, (9.6) T 1 (1 + r) 亦即, 債券的極限折現價值不能為一負值 初學者對 (9.6) 式的直觀意義 經常感到迷惑, 特別是, 不能倒債難道不是要求債券餘額一定要是一個正 值, 或至少等於零嗎? 亦即, lim T b T 0 請注意, 此一條件是 (9.6) 式 成立的充分條件, 但並非必要 ; 我們不需要這麼嚴苛的條件來表達不能倒 債 事實上, 因為世代家庭長生不老, (9.6) 式允許消費者永遠處於負債狀 態 舉例而言, 假設某人於第一期舉債一單位, 次期支付利息 r, 本金則以 借新還舊 的方式繼續累積, 直到永遠 ; 這位消費者的負債餘額永遠都

5 9.1 世代家庭決策模型 5 表 9.1: 各期債券餘額及實付利息 時間期初債券餘額實付利息期末債券餘額 r g (1 + g) 3 (1 + g) (1 + g)(r g) (1 + g) 2 4 (1 + g) 2 (1 + g) 2 (r g) (1 + g) 3 是一單位, 亦即 b t = 1, t = 1, 2, 3, 讀者或許要問 : 這難道不是企圖賴 帳, 永不還本嗎? 不是! 直觀上, 這位消費者有如發行一紙沒有到期日的 借據, 但承諾每期支付 r 的利息 持有這樣一紙借據的人每期獲得利息 r, 其折現總值是 ( 請留意, 利息從借貸次期起算 ) r 1 + r + r (1 + r) 2 + = r 1 + r ( r + ) = ( r 1 + r ) (1 + r ) = 1 r 顯然, 利息的折現總值剛好等於起始的借貸總額, 換句話說, 負債雖然永 遠存在, 但舉債人等於是用未來各期利息支付本金, 這當然不能視為倒 債, 因為貸放人至少收回了他的本金 再舉一例 假設某人於第一期舉債一單位, 因此 b 1 = 1 假設負債每 期均以 g > 0 的比率累積, 則 t 期的期末債券餘額是 b t = (1 + g) t 1 b 1 = (1 + g) t 1 顯然, lim t b t = 這位消費者的負債隨時間趨近無窮 大! 這樣 卑劣 的消費者豈非倒債意圖明顯? 不一定, 因為這要看負債的 成長速度而定 假設 r > g, 則 t = 2 時, 這位消費者等於是支付 r g > 0 的利息, 不足之數則以發行新債 (1 + g) 繼續融通, 直到永遠 換言之, 除 了本金外, 這位消費者還將部分利息再度借回 為了便於參考, 表 9.1 列 出各期債券餘額及實付利息 如表所示, 因為負債以 g 的成長率累積, 因 此利息也會以相同比率成長 在這種情形下, (9.6) 式成立 ( 因為 r > g),

6 6 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 且各期實付利息的折現總值是 t=2 (r g) (1 + r) + t=3 (r g)(1 + g) (1 + r) 2 + t=4 (r g)(1 + g) 2 (1 + r) 3 + = ( r g + g ) [1 + (1 1 + r 1 + r ) + (1 + g r ) + ] = ( r g 1 + r ) ( 1 + r r g ) = 1 讀者看到, 這位看似 卑劣 的消費者其實並無倒債意圖, 因為未來利息 的折現總值仍然足以清償一單位的起始負債 了解以上的道理後, 讀者 即能推知當 g r 時會發生什麼後果 此時的債券折現價值趨近 -1 ( 若 r = g) 或負無窮大 ( 若 g > r); 舉債人擺明了連利息都不支付, 這才是真 正的 卑劣! 綜合上述, (9.6) 式允許消費者隨時都能夠處於負債狀態, 但負債餘額 卻不能夠成長得太快, 否則 不斷賒借, 以債養債, 債券的極限價值將變 成負值, 甚至若負債的成長率大於實質利率, 則債券的折現價值將趨近於 負無窮大! 這種情形表示債券連一張 廢紙 還不如 果真如此, 則 (9.5) 式等於擺明 : 即使沒有所得, 消費者也能夠每天吃香喝辣, 不愁吃穿! 天 下哪有這麼 好康 的事? 我們假設這種情形不能發生 事實上, 在全知 的世界中, 理性消費者也不致於 笨 到連這點伎倆都無法識破 直觀而言, (9.6) 式要求消費者不能毫無節制的賒借, 所謂 跑得了和 尚, 跑不了廟, 所有負債最終都必須清償 這樣一個簡單的條件, 文獻中 卻有個嚇唬人的專有名詞, 稱為無龐氏計謀條件 (No-Ponzi-Scheme condition) 1920 年代初期, 美國正值小說 大亨小傳 (The Great Gatsby) 所 描述的 爵士年代 (Jazz Age), 政治, 經濟與社會無不欣欣向榮 一位波 士頓的義大利移民 Charles Ponzi 突發奇想, 設計了一套 債滾債 的名 目, 向社會大眾廣募資金 Ponzi 承諾的報酬率高得嚇人, 一個半月 50%, 甚至三個月本金翻一倍 不旋踵, Ponzi 便落得每天 跑三點半, 最後終 於去蹲苦牢, 龐氏計謀或龐氏賽局也因此而得名

7 9.1 世代家庭決策模型 7 仿照 (9.6) 式, 一個理性的消費者也不會在 無窮的未來 累積 太多 的資產, 其債券的極限價值不會是一個正值, 即 lim T b T 0 (9.7) T 1 (1 + r) 既然 (9.6)-(9.7) 兩式必須同時成立, 則在無限生命情況下, lim T b T = 0 (9.8) T 1 (1 + r) 嚴格的說, (9.8) 式應該是理性選擇的結果, 而非一開始的假設, 但就本節 目的而言, 將其視為給定的條件也無傷大雅 在下節的數學推導中, 讀者 將看到, (9.8) 式乃是最適選擇的充分條件, 我們暫且按下不表 在 (9.8) 式的條件下, 我們可以對 (9.5) 式兩邊取極限值, 得到 t=1 c t (1 + r) t 1 = t=1 a t t 1 x (9.9) (1 + r) (9.9) 式即為無限生命情況下, 消費者的終身預算限制式, 其意義與有限 生命的情形並無不同, 亦即, 終身財富 x 必須在 無限的存活期間 消費 殆盡 我們假設終身財富為一有限值, 即 x < 動態選擇問題 與費雪模型一樣, 給定各期實質利率 r t 及稅後稟賦 a t ( 或終身財富 x) 不 變, 消費者的決策問題是在各期預算限制 (9.1) 式都必須成立的條件下, 選擇各期消費 c t 及期末債券餘額 b t 以追求終身最大滿足 既然消費者 能夠存活無窮萬代, 他的終身效用也是各期效用的折現總值, 其跨期選擇 問題可以表示成 ( 符號 t 為 對所有 t 之意 ) max {c t,b t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) = u(c 1 ) + βu(c 2 ) + β 2 u(c 3 ) + subject to c t + b t = a t + (1 + r t 1 )b t 1, t, b 0 = 0

8 8 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 在上面的選擇問題中, 作者以流量方式表達各期預算限制, 當然也可以使 用終身預算限制式 (9.9), 這是個人偏好, 分析結果不會改變 請注意, 起 始的債券餘額 b 0 不一定非要等於零不可, 這是消費者呱呱落地時就已經 註定, 沒有置喙餘地 仔細觀察以上的決策模型, 消費者不論從哪一個時點開始, 其實都面 臨相同的取捨, 亦即, 每期要消費多少, 又要儲蓄多少 因此, 消費者的選 擇模型也可以用更一般化的方式表達如下 : max {c t+ j,b t+ j } j=0 j=0 β j u(c t+j ) = u(c t ) + βu(c t+1 ) + β 2 u(c t+2 ) + subject to c t+j + b t+j = a t+j + (1 + r t+j 1 )b t+j 1, t, j, b t 1 為任一給定值 對初學者而言, 這種 有點賣弄 意味的表達方式真的是 非常醜陋, 但 在文獻中頗為常見, 作者寫下來, 僅供讀者參考 ( 後面的數理推導用得上 ), 初學者如果嫌煩, 可完全不予理會 最適選擇條件 從表面上看, 無限生命的選擇模型的確令人望之生畏, 因為牽涉到的限制 條件與選擇變數竟有 無窮多個! 然而正如兩期模型一樣, 消費者真正 面對的取捨問題仍然是 : 今天是否應當儲蓄? 對一個具有無限生命的消 費者而言, 他永遠可以選擇今天儲蓄, 到明天再消費 因此, 讓我們先考 慮任一時點 t 與下期 t +1 之間的消費取捨, 這是一個相對簡單的問題, 因 為我們不需要顧慮其他各期的選擇 為了便於參考, 我們將 t 期與 t + 1 期的預算限制式分別重寫於下 : c t + b t = a t + (1 + r t 1 )b t 1, c t+1 + b t+1 = a t+1 + (1 + r t )b t

9 9.1 世代家庭決策模型 9 根據 t 期的預算限制 ( 第一式 ), 消費者若增加一單位儲蓄 ( 即 b t = 1), 則消費將減少一單位 ( 即 c t = 1), 因此以 t 期的效用單位衡量, 儲蓄的 邊際成本 是當期減少的效用, 即邊際效用 u (c t ) 根據 t + 1 期的預算 限制 ( 第二式 ), 在其他各期選擇維持不變, 因此期末債券 b t+1 也不能改變 的假設下, 增加的一單位 b t 將使 t + 1 期的消費增加 c t+1 = (1 + r t ) b t = (1 + r t ) 此一額外的消費量將使消費者的效用上升 βu (c t+1 )(1 + r t ), 這 是儲蓄的 邊際收益, 同樣以 t 期的效用單位衡量 如果效用的增量大 於效用的減量, 則終身效用仍有增加空間, 不可能是最適狀態, 因此效用 極大要求儲蓄 ( 或延遲消費 ) 的邊際成本等於邊際收益, 即 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ) (9.10) (9.10) 式與上一章的 (8.6) 式完全相同, 這是當然之理, 因為我們只考慮 前後兩期的消費取捨 顯然, (9.10) 式對任何前後兩期均能適用, 因此 t + 1 期與 t + 2 期之間 的消費取捨也必須滿足 將上式代入 (9.10) 式右邊, 得到 u (c t+1 ) = βu (c t+2 )(1 + r t+1 ) (9.11) u (c t ) = β 2 u (c t+2 )(1 + r t )(1 + r t+1 ) (9.12) 繼續以上的代換過程, 讀者不難看出, 對任何 j 1, 下式必然成立 : u (c t ) = β j u (c t+j )(1 + r t )(1 + r t+1 ) (1 + r t+j 1 ) 上式經移項後, 也可表達成 MRS t,t+j = u (c t ) β j u (c t+j ) = (1 + r t)(1 + r t+1 ) (1 + r t+j 1 )

10 10 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄上式的外觀雖然 醜陋, 但其直觀意義不難了解 在無限生命模型中, 任意兩期 的消費都能夠互相替代 上式左邊是消費者以 t 期消費取代 t+ j 期消費的邊際替代率, 或者, 消費者 延遲消費, 勒緊褲帶 到 j 期之後才消費的 主觀願受價格, 而右邊則為 t 期消費的機會成本或儲蓄的客觀市場報酬 請注意, 利息從 t 期至 t + j 期總共 滾 了 j 期, 因此 t 期消費的機會成本, 以 t + j 期的商品單位衡量, 等於 (1 + r t ) (1 + r t+j 1 ) 正如費雪兩期模型, 前後兩期 消費的邊際替代率必須等於當期消費的機會成本, 在無限生命模型中, 任意兩期 消費的邊際替代率也必須等於當期消費的機會成本, 這兩個模型的直觀內涵幾乎沒有什麼不同 然則, 對一個能夠存活無窮萬代的世代家庭而言, 阿達 的消費不但能夠取代 小達 的消費, 也能夠取代 小小達 甚至 小小小達 們的消費 因為本期消費的機會成本受未來所有各期利率的影響, 消費者若預期未來的利率將發生變動, 他現在就會採取行動, 改變他的儲蓄和消費規劃, 我們留待 9.3 節再為讀者分析利率變動的影響 在以上的推論過程中, 細心的讀者或許已經發現, 債券的本金和利息在規劃期間仍然繼續投入債券市場, 中間不消費, 直到規劃結束時才開始 吃老本 ( 如 (9.12) 式 ) 現實世界中, 人們儲蓄的目的與手段相當複雜, 有人儲蓄全然是為了退休之後的生計, 有人則定期從儲蓄帳戶 ( 如人壽保險或理財基金 ) 提領利得, 開始吃香喝辣, 這些複雜的消費與儲蓄行為似乎難以用以上的一階條件解釋 本節最後要為讀者證明 : 最適條件 (9.10) 式雖然簡單, 但所涵蓋的動態消費行為可能超乎讀者想像 考慮一個簡單的三年儲蓄計畫 : 消費者於第一年 (t 期 ) 儲蓄一單位, 第二年 (t + 1 期 ) 消費利息所得 r t, 本金則以 新債換舊債 的方式繼續投入債券市場, 第三年 (t + 2 期 ) 規劃期間結束, 消費者結清帳戶, 並消費本金和利息 (1 + r t+1 ) 此一儲蓄計畫與 退休之後才開始吃老本 的唯一不同是 : 消費者在第二期即開始消費債券的利息 如果此一儲蓄計畫

11 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 11 是 效用極大選擇, 則下式必然成立 : ( 對喜歡用數學方式求解選擇問題的讀者, 作者想問 : 你能夠用 Lagrange 方法求得以下條件嗎?) u (c t ) = βu (c t+1 )r t + β 2 u (c t+2 )(1 + r t+1 ) (9.13) 上式左邊是儲蓄的邊際成本, 右邊是對應的邊際收益, 包括第二年及第三年額外消費 ( 分別為 r t 及 1 + r t+1 ) 所帶來的效用增量 與 退休之後才開始吃老本 的儲蓄規劃比較, 我們想要追問 : 上述的三年儲蓄手段是否能夠進一步提升消費者的效用水準? ( 當然不能! 讀者請暫時按耐好奇心, 先想想為什麼?) 根據本節的分析, 最適選擇不但要滿足 (9.13) 式, 也必須滿足 (9.11) 式, 該條件規範 c t+1 與 c t+2 之間的最適關係 將 (9.11) 式的 u (c t+1 ) 代入 (9.13) 式右邊第一項, 化簡後可得 u (c t ) = β[βu (c t+2 )(1 + r t+1 )]r t + β 2 u (c t+2 )(1 + r t+1 ) = β 2 u (c t+2 )(1 + r t )(1 + r t+1 ) 讀者清楚看到, 上式即為前面的 (9.12) 式, 該式乃是 退休之後才開始吃老本 的最適邊際條件 此一結果表示 : 消費者不論以何種方式進行儲蓄, 都不能再提升 ( 當然也不能降低 ) 他的終身效用水準, 換句話說, 在最適選擇狀態, 不能存在任何 套利空間, 亦即下式必然成立 : βu (c t+1 )r t + β 2 u (c t+2 )(1 + r t+1 ) = β 2 u (c t+2 )(1 + r t )(1 + r t+1 ) 此一條件又稱無套利空間條件, 讀者曾經在上一章的習題中遭遇過 本例的儲蓄計畫相當單純, 較複雜的情況當作習題供讀者思考 ( 見習題 3) 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 本節訴求的對象是研究生或想要 偷練武功 的讀者, 初學者可直接略過 ( 請放心, 這絕對不會影響諸位對主要觀念的掌握 ) 首先, 作者要強調, 本

12 12 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 節的目的不是嚴謹的數理分析, 我們不問最適解是否存在或是否唯一, 甚 至是否穩定, 我們的目的是要介紹在動態經濟分析中常用的兩種數學方 法 第一種方法是拉氏函數法 (Lagrangian approach), 相信許多讀者都 聽過甚或實際操作過 ; 第二種方法是動態規劃 (dynamic programming), 此一方法對多數讀者或許較為陌生, 但在當代總體經濟學中扮演關鍵角 色 以下的討論假設最適解永遠存在而且唯一, 我們的終極目標是要推 導世代家庭模型的一階條件與二階條件 拉氏函數法 考慮上一節介紹的無限生命決策模型 為了簡化符號, 令 q t 表示 t 期消 費的現值價格, 讀者還記得, 現值價格 q t 即為 t 期消費 c t 相對於起始期 消費 c 1 的機會成本 當各期利率水準相等時, q t = 1/(1 + r) t 1, 但一般情 形下, 各期利率水準未必相等, 此時的現值價格應該寫成 q t = 1, t = 1, 2, 3, (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r t 1 ) 當 t = 1 時, 我們將 q 1 標準化為一, 即 q 1 = 1 為了便於參考, 消費者的選 擇問題重寫於下 : max {c t,b t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) subject to c t + b t = a t + (1 + r t 1 )b t 1, t, lim q tb t 0, b 0 = 0 t 以上的決策模型與 9.1 節略有不同 上一節為了推導終身預算限制, 我們 將 (9.6)-(9.7) 兩式或 (9.8) 式視為給定的條件或假設 讀者還記得, (9.6) 式限制消費者不能倒債, 而 (9.7) 式則要求消費者不能累積太多的資產 嚴格的說, 消費者要不要累積資產, 或要累積多少資產, 應是理性選擇的 結果, 而非假設, 因此從決策問題的角度觀之, 消費者真正面對的限制只

13 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 13 有不能倒債的 (9.6) 式, 此即上述問題的第二個極限條件 此外, 在更一 般化的情況下, 預算限制應該用不等式表達, 亦即, 消費加儲蓄不能超過 所得 這種情形需要使用到 Kuhn-Tucker 定理, 為了簡單, 我們不考慮, 有必要時再為讀者介紹 從表面上看, 消費者的選擇模型是一個有 無限多個限制條件 的極 值問題, 數學上, 此一問題可透過拉氏函數 (Lagrangian function) 轉換成 一個 沒有限制條件 的極值問題 令 λ t 表示對應於 t 期預算限制式的 拉氏乘數 (Lagrangian multiplier), 則拉氏函數可寫成 L = t=1 β t 1 u(c t ) + t=1 λ t [a t + (1 + r t 1 )b t 1 c t b t ] 數學上可以證明拉氏函數的極值即為消費者的終身最大效用, 因此能使 拉氏函數極大的解即為消費者決策問題的最適解 在推導一階條件之前, 我們要先對拉氏函數 L 及乘數 λ t 的直觀意義稍加解釋 讀者或許要問 : 根據預算限制, 拉氏函數中的第二項難道不是等於零 嗎? 沒錯, 但這要等到我們知道消費者如何選擇之後才能確定 先驗上, 消費者如果願意, 他永遠可以選擇將部分可支配所得 丟進大海, 即 a t + (1 + r t 1 )b t 1 > c t + b t 不過在決定是不是要進行如此 瘋狂而且愚蠢 的行動之前, 消費者必須先盤算這樣做會帶來什麼後果, 特別是, 他的終 身效用會因此而受到什麼影響 從這個角度看, 拉氏乘數 λ t 不過是消費 者用來衡量 t 期可用資金 ( 即 a t + (1 + r t 1 )b t 1 ) 的 主觀價格, 此一價 格又稱影子價格 (shadow price) 或設算價格 (imputed price) 淺顯的說, 消費者如果真的 瘋狂 到將一單位的 t 期所得 丟進大海 ( 即不消費也 不儲蓄 ), 則他的終身效用將因此而下降 λ t 單位 如果 λ t = 0, 則 t 期所 得沒有任何效用價值 此時, 消費者吃了等於白吃, 不吃也沒損失 請注 意, 所得的影子價格到底有多高不是由客觀的市場決定 ( 如實質利率 ), 而 是由消費者決定, 因此拉氏乘數 λ t 也是極值問題的選擇變數

14 14 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 根據以上討論, 讀者當能了解拉氏函數不過是 各期消費 及 各期 所得 的總效用價值 消費者若於某期增加消費, 則他從消費得到的效用 價值雖然上升 ( 函數 L 的第一項 ), 但同時也使所得的效用價值下降 ( 函 數 L 的第二項 ) 一旦拉氏函數達到頂點, 這就表示消費者再怎麼 操弄 或 挪移 消費與所得, 都無法再提升兩者的效用總值, 此時消費者的終 身效用也必然達到極大 作者花了一些篇幅解釋拉氏函數及拉氏乘數的直觀意義, 目的不外是 期望讀者在枯燥無味的數學推導中增加一些趣味 不過, 枯燥的部分還 是無法避免 拉氏函數極大的一階條件要求函數 L 對各期 c t, b t 及 λ t 的 一階偏導數等於零, 亦即, 對任一時點 t, 以下三式必須成立 : L = β t 1 u (c t ) λ t = 0, c t (9.14) L = λ t+1 (1 + r t ) λ t = 0, b t (9.15) L = a t + (1 + r t 1 )b t 1 c t b t = 0 λ t (9.16) 根據 (9.14) 式, λ t = β t 1 u (c t ), 此一條件的直觀意義不難了解 λ t 是 c t 每增加一單位的效用代價 ( 請記住, 拉氏乘數是消費的影子價格 ), 在最適 選擇狀態, 消費的效用代價當然要等於對應的效用增益, 即 β t 1 u (c t ); 若 兩者不等, 則終身效用即有增加空間 因為消費的邊際效用恆為正, 因此 λ t > 0, 這表示各期所得存在效用價值 據此, 消費者不可能虛擲所得, 故 總支出必然等於總所得, 此即 (9.16) 式或預算限制式 根據 (9.15) 式, 前後兩期的拉氏乘數必須滿足下式 : λ t = λ t+1 (1 + r t ) (9.17) 這是決定最適儲蓄的一階條件, 左邊是儲蓄的邊際效用代價 當效用極 大時, 此一代價必須等於下期的效用增益, 即 λ t+1 (1 + r t ) 根據 (9.14) 式,

15 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 15 λ t = β t 1 u (c t ) 及 λ t+1 = β t u (c t+1 ), 代入 (9.17) 式兩邊, 可得 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ) 上式即為 9.1 節的最適選擇條件 (9.10) 式, 這當然不令人意外 (9.14)-(9.16) 三式是效用極大選擇的必要條件, 但滿足這三式未必保 證效用極大 在無限生命的選擇問題中, 充分條件或二階條件有個聱牙 又嚇人的專有名詞, 稱為橫截條件 (transversality condition), 其型式為 lim λ tb t = 0 (9.18) t 上式表示 : 債券的 極限效用價值 必須為零 在進一步解釋之前, 我們 先將 (9.18) 式以另一種方式表達 根據 (9.17) 式, 前後兩期的 λ 滿足 λ t 1 = λ t (1 + r t 1 ) 或 λ t = λ t r t 1 利用以上的遞迴關係, 我們可以將 λ t 向前解至起始期 ( 即 t = 1): λ t = = λ t 1 λ t 2 = 1 + r t 1 (1 + r t 2 )(1 + r t 1 ) = λ 1 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) (1 + r t 1 ) = λ 1q t 上式的最後一個等號使用到 q t 的定義 將上式代入 (9.18) 式, 因為 λ 1 = u (c 1 ) 恆為正, 橫截充分條件也可以寫成 lim q b t tb t = lim t t (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) = 0 (9.19) (9.19) 式與上一節的 (9.8) 式完全相同 讀者還記得, 消費者的選擇必須 滿足不能倒債條件, 即 lim t q t b t 0 (9.19) 式表示債券的極限價值等 於零, 因此消費者不能倒債, 但也不會累積 太多 的資產 為什麼 (9.19) 式是終身效用極大的充分條件呢? 直觀上, 一個效用仍 有增加空間的狀態必然表示資產仍然存在效用殘餘價值 這種情形如果

16 16 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄持續存在, 消費者將會 瘋狂 的累積資產 淺顯的說, 這是一位 不消費或消費極少, 單單看到滿屋金山銀山即自我感覺良好 的 錦衣夜行 者! 這樣的消費者怎麼可能是處於效用極大狀態呢? 錦衣夜行 者的效用來自消費, 他不是本章前言提到的 阿達 阿達 有充分的理由留下遺產, 但 錦衣夜行 者沒有, 因為他長生不老, 沒有所謂的遺產可言 事實上, 錦衣夜行 者只要將部分的金山銀山 ( 不必多, 一點點就足夠!) 挪至當下消費即能提升他的終身效用 倒過來說, 一個債券或資產 極限價值 為零的狀態, 必然表示消費者已經 榨乾 了資產的殘餘價值, 此時的終身效用已達頂點, 沒有再操弄的空間 總結以上分析, (9.14)-(9.16) 三式及橫截條件 (9.19) 式是消費者效用極大的充分且必要條件 動態規劃動態規劃在自然科學中應用廣泛, 但總體經濟學家直到 1980 年代後期才逐漸感受到它的威力, 時至今日, 動態規劃已是研究動態模型的必備工具 如同上一小節, 作者不準備在這裡碰觸有關此一方法的數理基礎, 這些問題將留待必要時再介紹 我們的目的很單純, 即如何使用動態規劃方法推導消費者決策模型的一階條件及二階條件 正如上一節所述, 不論從哪一個時點開始, 消費者都面臨相同的取捨, 亦即要消費多少, 又要儲蓄多少 為了便於參考, 我們再度將消費者決策模型的一般化型式重寫於下 : max {c t+ j,b t+ j } j=0 j=0 β j u(c t+j ) subject to c t+j + b t+j = a t+j + (1 + r t+j 1 )b t+j 1, j, lim q t+jb t+j 0, j b t 1 為任一給定值

17 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 17 假設 {c t+j, b t+j } j=0 是上述問題自任一固定時點 t 開始的最適解, 對應於 此一最適解的效用水準當然就是終身最大效用 給定各期所得及實質利 率不變, 此一極大效用顯然是期初債券餘額 b t 1 的函數 直觀而言, 持有 較多的期初債券必然對應較高的終身效用, 因為財富效果會使各期消費 上升 令 v(b t 1 ) 表示期初債券持有量為 b t 1 時的終身極大效用, 此一函 數又稱價值函數 (value function) 請注意, 終身最大效用也是各期所得 及實質利率的函數, 但兩者都是外生變數而且維持不變, 我們略去不寫 根據以上定義, 價值函數必然滿足 v(b t 1 ) = j=0 β j u(c t+j), 其中, {c t+j } j=0 滿足各期預算限制式 我們可以進一步將上式的無限加 總拆成兩項, 寫成 v(b t 1 ) = u(c t ) + β β j 1 u(c t+j) 上式右邊的第一項是 t 期最大效用, 第二項中的括弧項是從 t + 1 期起算 的終身最大效用, 此一極大效用當然也是該期期初債券餘額 b t 的函數 用白話說, 如果消費者從 t 期帶了 b t 的債券進入 t + 1 期, 則他從 t + 1 期 起算的終身最大效用也必然滿足 ( 根據價值函數的定義 ) v(b t ) = j=1 j=1 β j 1 u(c t+j) 仔細觀察, 上式不過是 t 期的價值函數向後移到 t + 1 期的另一種表達方 式, 兩者唯一的差別是 起始狀態 ( 即期初債券餘額 ) 不同 ; t 期的期初債 券餘額 b t 1 為外生給定, 而 t + 1 期的期初債券餘額 b t 必須於 t 期決定 根據上式, 我們可以將價值函數寫成 v(b t 1 ) = u(c t ) + βv(b t )

18 18 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 這幾乎可以說是動態規劃理論中最重要的一條 恆等式, 文獻中稱為最 適原則或最適原理 (principle of optimality) 所謂最適原理, 簡單的說即是 : 一個從 今天 看來是最恰當的動態 選擇, 從 明天 看也應該是最恰當的選擇, 這兩天唯一的差別是 起始 狀態 不同 舉例而言, 雨天帶傘 這個簡單的決定大概沒有什麼人會 反對 某人要不要帶傘出門, 只要看看天氣即可, 他的決定不會因為今天 或明天而有任何改變 這當然是一個簡單而且無趣的例子, 因為 天氣 這個 起始狀態 是老天爺決定的 在消費者的決策模型中, 期初債券餘 額是消費者在不同時點的 起始狀態, 稱為狀態變數 (state variable) 對 消費者而言, 所得稟賦與實質利率也是狀態變數, 但屬於 外生 狀態變 數, 而債券持有量必須由消費者決定, 因此是 內生 狀態變數 這種 狀 態變數在體系內決定 的選擇模型顯然要有意思多了 根據以上討論, 最適決策不因時間推移而有不同, 因此我們可以暫時 擱置時間因素, 將分析焦點對準問題核心, 亦即, 最適決策究竟與起始狀 態有什麼關係? 這正是動態規劃方法的 奧妙 和 威力 所在 讓我們 將變數的時間下標暫時 拿掉, 令 b 及 b 分別表示任一時點的期初債券 餘額及期末債券餘額, 則上面的價值函數也可以寫成 v(b) = max {c,b } u(c) + βv(b ) subject to c + b = a + (1 + r)b 上式又稱動態規劃方程式或貝氏方程式 (Bellman equation), 由美國數 學家 Richard Bellman 首先提出而得名 貝氏方程式將一個無限多期的 動態 選擇問題, 像魔術一般變成一個單期的 靜態 選擇問題, 這讓許 多人舒了一口氣 但是 天下沒有白吃的午餐, 魔術也有代價 在貝氏 方程式中, 目標函數中的效用函數為已知, 但價值函數卻仍然未知, 甚至 存在與否都還在未定之天! 一個不知 目標 為何的魔術師能夠變出什麼

19 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 19 戲法? 事實上, 價值函數或終身最大效用是整個選擇問題的一部份, 今天的 價值 是多少取決於明天的 價值 正因為這種 前後期互為因果 的特質, 動態規劃方法也稱遞迴分析法 (recursive approach) 一般情形下, 價值函數存在而且唯一, 同時也具備一些美好性質, 作者不準備現在就處理這些抽象的數學問題 就本節目的而言, 終身最大效用 v(b) 是一個連續且一階可微的嚴格凹 (strictly concave) 函數 以下的討論, 讀者知道這些就已足夠, 不必打破沙鍋問到底 ( 見習題 10) 根據預算限制式, c = a + (1 + r)b b, 代入目標函數後, 貝氏方程式可以寫成 v(b) = max {b } u(a + (1 + r)b b ) + βv(b ) 這是一個簡單的單變量極值問題, 對 b 微分, 一階條件為 u (a + (1 + r)b b ) = βv (b ) (9.20) 利用上式, 我們可以求出最適的期末債券餘額 b 及最適消費量 c 顯然, 這些最適選擇也是期初債券餘額 b 的函數, 寫成 b = g(b) 及 c = h(b) a + (1 + r)b g(b), 文獻中稱為決策法則 (decision rule) 或策略函數 (policy function) 將策略函數代回目標函數, 則對任何期初債券餘額 b, 以下等式恆成立 : v(b) u[a + (1 + r)b g(b)] + βv[g(b)] 既然上式對任何 b 值均成立, 我們可以對等式兩邊微分並利用連鎖律, 得到 ( 假設策略函數 g(b) 也可微 ) v (b) = u (c)[(1 + r) g (b)] + βv (b )g (b) = g (b)[βv (b ) u (c)] + u (c)(1 + r)

20 20 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 v v ( b ) u ( c )(1 r) 1 1 A B vb ( 2) wb ( ) vb ( ) E wb ( ) ua [ (1 rb ) gb ( )] vgb [ ( )] b1 b2 b 圖 9.1: 價值函數的包絡性質 上式中, b = g(b), c = h(b), 為求簡潔, 略去不寫 根據一階條件 (9.20) 式, 上式右邊的第一項等於零, 因此 v (b) = u (c)(1 + r) 這是價值函數的一個重要性質 直觀而言, v (b) 是期初債券餘額對終身最大效用的邊際影響 上式表示 : 期初債券餘額的 最大邊際價值 等於 u (c)(1 + r) 這不難理解, 因為期初債券每增加一單位, 當期的可用資源便增加 (1 + r) 單位 此一額外資源對消費者福利的影響, 以當期效用衡量, 當然等於 (1 + r) 乘上最適消費 c = h(b) 的邊際效用 從這個角度看, v (b) 其實就是消費者對期初債券的 願付價格, 其意義與上一小節的拉氏乘數相似 數學上, 以上結果表示 : 價值函數會剛好在最適選擇點上與目標函數

21 9.2 數學推導 : 無限生命模型 * 21 相切, 因此以上性質又稱包絡性質 (envelope property) 我們以圖形簡要說明如下 首先, 假設期初債券餘額是 b 1, 對應的最適選擇為 b = g(b 1 ) 給定 b 1 不變 ( 因此 g(b 1 ) 也不變 ), 考慮以下函數 : w(b) = u[a + (1 + r)b g(b 1 )] + βv[g(b 1 )] 用白話說, w(b) 是期初債券為 b ( 不必然等於 b 1 ), 但消費者卻採取 b = g(b 1 ) 策略情形下的終身效用 根據效用函數的性質, 這是一個嚴格遞增且連續可微的凹函數 顯然, 當 b = b 1 時, w(b) = v(b), 而對所有其他 b 值, w(b) < v(b), 因為此時的 w(b) 並非終身最大效用 圖 9.1 中, 橫軸代表期初債券餘額 b 根據以上討論, 價值函數 v(b) 會剛好在 b = b 1 時與 w(b) 切於 E 點, 而其斜率 v (b 1 ) = w (b 1 ) = u (c 1 )(1 + r), 其中, c 1 = a +(1+r)b 1 g(b 1 ) 是 b = b 1 時的最適消費量 請注意, 對函數 w(b) 微分時, b 1 為給定值, 因此 w (b) = u (c)(1 + r) 假設期初債券餘額從 b 1 增加為 b 2, 則終身最大效用上升, 落於 A 點 此時, 消費者若仍然採取原來的策略 b = g(b 1 ), 因為這並非 b = b 2 時的最適選擇, w(b 2 ) 會落於 B 點, 且小於最大終身效用 v(b 2 ) 顯然, 價值函數會剛好在最適選擇點 包 在函數 w(b) 上方, 此即價值函數的包絡性質 文獻中, 包絡性質又稱 Benveniste-Scheinkman 定理, 有興趣的讀者可自行查閱 言歸正傳, 包絡性質對任何一期均成立, 因此 v (b ) = u (c )(1 + r ), 其中, c 與 r 分別為下期的最適消費量及債券到期利率 將上式代回一階條件 (9.20) 式, 得到 u (c) = βv (b ) = βu (c )(1 + r ) 將時間下標再 請回來, 則對任何前後兩期 t 及 t + 1, 下式成立 : u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t )

22 22 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 文獻中, 上式也稱歐勒方程式 (Euler equation) 顯然, 歐勒方程式就是我 們以直觀方式或使用拉氏函數方法求得的最適邊際條件 (9.10) 式, 這當 然不令人意外 動態規劃問題也有橫截充分條件, 其型式為 lim t βt v (b t )b t = lim β t 1 u (c t )b t = 0, t 上式的第一個等號使用到一階條件 (9.20) 式 上式表示債券不能有極限 效用價值, 其意義與拉氏函數法的 (9.18) 式相同, 不再重複 根據歐勒方 程式所定義的遞迴關係, u (c t ) = u (c t 1 ) β(1 + r t 1 ) = = u (c 1 ) β t 1 (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) = β1 t u (c 1 )q t 因為 u (c 1 ) > 0, 上面的橫截條件也可寫成 lim t 此即拉氏函數法中的 (9.19) 式 b t (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) = 0 拉氏函數法與動態規劃法不易論斷優劣, 如果只想推導極值問題的一 階條件與二階條件, 則兩者都能讓讀者如願 不過, 從理論分析或數值運 算的角度觀之, 動態規劃法顯然較具威力 基本上, 拉氏函數法或所謂的 變分法 (calculus of variations), 是將動態極值問題的解視為一組 映 到 時間座標上的數列, 這當然無可厚非, 但只要模型的起始條件改變 ( 即期 初債券 b 0 ), 則一切必須重新來過, 相當麻煩 動態規劃方法的終極目標 當然也是 時間序列, 但此一方法將極值問題的解視為一組 映 在狀態 空間的函數 ( 即價值函數或策略函數 ), 起始條件不重要 以本章模型為例, 假設我們已經求得期末債券的策略函數 b = g(b), 則從任一債券起始值 b 0 開始, 我們可以利用以下的遞迴關係決定整條時 間序列 {b t } t=0: b 1 = g(b 0 ), b 2 = g(b 1 ), b 3 = g(b 2 ), b t = g(b t 1 ),

23 9.3 跨期消費型態 23 只要知道函數 g 的型式, 則不論從哪一個時點開始, 策略函數都一樣 ( 此 即前面提到的最適原理 ), 唯一的差異是各期有不同的起始狀態, 換句話 說, 要決定各期的期末債券量, 只要知道當期的期初債券量即可, 其他的 可以等到明天再說 一旦各期的債券量決定了, 最適消費量也同時決定 遞迴分析的方便之處在全知或確定性模型中或許不那麼明顯, 但在隨機 模型中, 其威力將充分展現, 我們留待以後再介紹 ( 見第 11 章 ) 9.3 跨期消費型態 我們花了相當篇幅分別從直觀及數學角度推導消費者選擇問題的一階條 件, 這些條件當然是要用來預測消費者的行為 相信讀者已經發現, 世代 家庭模型雖然較為複雜, 但其直觀內涵與費雪兩期模型沒有什麼不同, 因 此無限生命情形下的消費與儲蓄行為也與有限生命的情況極為類似 本 節要假設各期可支配所得不變, 分析跨期消費型態與實質利率的關係 與 兩期模型比較, 世代家庭迴旋操弄的空間比較具有彈性 ; 當市場利率改變 時, 消費者能夠在任意兩期甚至數期之間挪移消費與所得 讓我們先考慮最單純的情形, 假設各期實質利率相等, 而且維持不變, 即 r t = r, t = 1, 2, 3, 根據最適選擇條件 (9.10) 式, 任意前後兩期的消 費水準必須滿足下式 : u (c t ) 1 + r = β(1 + r) = u (c t+1 ) 1 + ρ (9.21) 顯然, 前後兩期消費的關係取決於實質利率 r 與時間偏好率 ρ 的相對大 小, 我們分三種情況討論於下 1. 實質利率等於時間偏好率, 即 r = ρ: 當實質利率等於時間偏好率時, (9.21) 式要求各期消費的邊際效用相 等, 因此各期消費水準也必然相等, 此一情形我們曾在兩期模型時討

24 24 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 c 2 (a) 最適選擇 c t (b) 時間軌跡 r 45 o 線 r c B A r r r C r 0 c c 1 t 圖 9.2: 跨期消費型態與實質利率 論過 直觀而言, 當實質利率等於時間偏好率時, 消費者對儲蓄或延遲消費所要求的 主觀報酬 或 願受價格 剛好等於市場的 客觀報酬, 此時的各期消費相等 以兩期模型為例, 圖 9.2(a) 畫出消費者的最適選擇, 預算線的斜率等於給定的 (1 + r) 讀者還記得, 無異曲線與 45 0 線交點所對應的斜率可用來衡量時間偏好率, 即 MRS = 1 + ρ 當 r = ρ 時, 無異曲線 ( 黑色實線 ) 剛好在 45 0 射線上與預算線切於 A 點, 兩期消費相等 此一性質對任意前後兩期消費均成立, 因此如圖 9.2(b) 所示, 消費的時間軌跡為一水平線 2. 實質利率大於時間偏好率, 即 r > ρ: 當實質利率大於時間偏好率時, (9.21) 式要求 u (c t ) > u (c t+1 ) 因為邊際效用隨消費量增加而遞減 ( 即 u (c) < 0), 這必然表示前後兩期的消費水準滿足 c t < c t+1, 亦即, 消費隨時間而上升, 此一結果也不難理解 當實質利率大於時間偏好率時, 市場利率高於消費者在兩期消費相等時所要求的主觀報酬, 因此他會延遲消費, 企圖透過儲蓄換取

25 9.3 跨期消費型態 25 未來較高的消費水準 圖 9.2(a) 中, 當 r > ρ 時, 無異曲線會從預算線下方穿過 A 點 ( 圖中未顯示 ), 這當然不是最適選擇點, 因為此時的 MRS < 1 + r 顯然, 最適選擇會落在 45 0 線上方無異曲線 ( 藍色實線 ) 與預算線相切的 B 點, 這表示 c 1 < c 2 此一關係對任意前後兩期消費均成立, 因此如圖 9.2(b) 所示, 消費會隨時間而遞增 3. 實質利率小於時間偏好率, 即 r < ρ: 實質利率小於時間偏好率的情形與 r > ρ 時剛好相反 此時市場利率低於消費者所期待的主觀報酬, 無異曲線將從預算線上方穿過 A 點, 最適選擇落於 45 0 線下方無異曲線 ( 藍色虛線 ) 與預算線相切的 C 點, 這表示 c 1 > c 2 圖 9.2(b) 顯示此時的消費將隨時間而遞減 在以上的分析中, 我們假設消費者的各期所得維持不變, 因此無論消費的時間軌跡是上升還是下降, 其現值總和一定要等於固定的終身財富 給定終身財富不變, 最適消費的 成長速度 或其時間軌跡 陡峭 的程度取決於實質利率與時間偏好率的相對大小 當實質利率相對較高時, 消費者會傾向儲蓄, 企圖以未來消費 補償 今天減少的消費, 因此消費的成長率也會相對較高, 這種現象其實就是我們在兩期模型下討論的跨期替代效果 假設效用函數為對數型式, 即 u(c) = ln c, 則根據 (9.21) 式, c t+1 /c t = (1 + r)/(1 + ρ), 兩邊取自然對數後, 得到 ln c t+1 ln c t = ln(1 + r) ln(1 + ρ) r ρ 上式左邊為消費成長率 正如前述, 當實質利率大於時間偏好率時, 消費的成長率為正, 而且實質利率越高, 預擬消費也成長得越快 根據最適選擇條件 (9.10) 或 (9.21) 式, 只要實質利率 r t 上升, t 期消費會下降, t + 1 期消費會上升, 這是跨期替代效果, 與兩期模型並無不同 但對世代家庭而言, 其最適選擇條件也可寫成 u (c t ) = β j u (c t+j )(1 + r t ) (1 + r t+j 1 ), j = 1, 2, 3, (9.22)

26 26 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 r t (a) 實質利率 c t (b) 消費 r r r c t t 圖 9.3: 預期實質利率上升的效果 因此當 r t 上升時, 不但 t + 1 期的消費會上升, 未來所有各期 的消費也會上升, 因為今天消費相對 未來所有各期 的消費, 其機會成本都上升 事實上, 當消費者預期未來任何一期的利率將發生變動時, 他現在就會採取行動, 改變他的消費與儲蓄規劃 考慮以下的假想情況 假設原來各期的實質利率等於時間偏好率, 因此各期消費相等, 時間軌跡為一水平線 圖 9.3 畫出利率及消費的時間軌跡 假設消費者於 t = 1 時預期實質利率將在第 10 期至 20 期之間從 r = ρ 上升至 r > ρ, 但第 21 期之後又回到原來水準 面對這種預期的或主觀認知的利率變動, 消費者除非 醉生夢死, 後知後覺, 他不會等到利率真正改變時才採取行動, 他會在當下 ( 即第一期 ) 就開始思考應變之策 為了簡化分析, 我們先考慮一個不借也不貸的代表性消費者, 因此實質利率變動沒有財富效果 我們將時間分成三個階段分析於下 實質利率未變之前 (t = 1, 2, 3, 9): t = 10 之前, 實質利率等於時間偏好率, 因此這段期間的各期消費仍然 相等, 但這不表示消費者會停留在原來的消費軌跡上 事實上, 根據一

27 9.3 跨期消費型態 27 階條件 (9.22) 式, 利率未變之前的各期消費相對於未來, 其機會成本均上升, 因此消費從 t = 1 開始就會下降 此外, 利率變動沒有財富效果, 若當下的消費不變, 但未來上升, 這也將違背他的跨期預算限制 假設 c 是原來的消費水準, 則實質利率未上升之前的各期消費滿足 c 1 = c 2 = = c 10 < c 請注意, 當 t = 9 時, 一階條件為 u (c 9 )/u (c 10 ) = β(1+r) = 1, 故 c 9 = c 10 如圖所示, 消費的時間軌跡會在 t = 10 之前向下平移至較低水準, 表示在利率還未上升之前, 消費者就會開始 未雨綢繆, 增加儲蓄, 否則 醉生夢死 等到實質利率真的上升時才急著勒緊褲帶, 為時已晚矣! 預期實質利率上升期間 (t = 10, 11, 12, 20): 在 t = 10 至 t = 20 之間, 實質利率 r t = r > ρ 根據前面的討論, 當實質利率高於時間偏好率時, 各期消費會逐期遞增, 因此如圖所示, 這段期間的消費軌跡為 c 10 < c 11 < < c 21 請注意, 當 t = 20 時, 一階條件為 u (c 20 )/u (c 21 ) = β(1 + r ) > 1, 因此 c 20 < c 21 實質利率回降之後 (t = 21, 22, 23, ): t = 21 之後, 利率又回降至原來水準, 各期消費相等, 但這不表示消費者會 跳 回原來的消費軌跡 理由很簡單 : 消費者已經在前面幾期 勒緊褲帶, 苦悶甚久 ( 特別是利率未上升之前 ) 既然已經累積了如許的債券或資產, 此時正是收割享受的時機 事實上, 消費者之所以願意在前面幾期努力儲蓄, 正是想要未來多消費 如圖所示, 在實質利率回降之後, c 21 = c 22 = > c, 消費軌跡會平行上移至較高水準 以上分析的對象是代表性消費者, 因此我們只考慮實質利率變動所產生的跨期替代效果 然而正如兩期模型, 利率變動除了跨期替代效果外, 也可能產生財富效果, 而其影響方向要視消費者在借貸市場中的角色而定 在以上的假想情況中, 利率上升若剛好發生在消費者原來即相對富

28 28 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄裕, 準備要儲蓄防老的期間 ( 即 t = 10 至 t = 20), 則利率上升會使利息所得增加, 造成正向的財富效果, 其消費軌跡會較圖 9.3 所示略高 反之, 對那些原來即要舉債度日的消費者, 利率上升會帶來負向的財富效果, 其消費水準將低於整體經濟的平均水準 總結以上討論, 財富效果的影響方向要視貸放者或賒借者而定, 但影響的是 平均消費水準, 並不會改變 跨期消費型態 或消費軌跡的 陡峭 程度 9.4 恆常所得假說 根據終身預算限制 (9.9) 式, 決定世代家庭各期消費能力的是終身財富, 不是當期所得或各期所得的分配型態 正如兩期模型, 為了避免消費過度波動, 世代家庭透過借貸市場可以將所得在不同期間挪移 讀者還記得, 這種試圖使各期消費相對均等的行為, 稱為消費平滑 正因為這種平滑消費的動機, 所得變動對消費的影響將取決於變動的持續性 ; 所得短暫上升對各期消費的影響小, 邊際消費傾向低, 而所得永久上升的影響大, 邊際消費傾向接近一 本節要從恆常所得 (permanent income) 的角度重拾此一課題, 分析一個世代家庭會如何回應所得的變動 讀者將再度發現, 世代家庭的行為其實與費雪消費者沒有什麼不同 恆常所得的觀念由著名經濟學家 Milton Friedman 首先提出 (A Theory of the Consumption Function, 1957), 而 Friedman 也因為他對消費理論及貨幣理論的貢獻, 獲得 1976 年諾貝爾經濟學獎 Friedman 假想一個人的所得是由兩個 無法直接觀察 的成分所組成, 一個稱為恆常所得, 剩下的則為暫時所得 (transitory income) 以數式表達, 假設 y t 是某人於 t 期的實際觀察所得, 則我們可以將 y t 拆解成兩個部分, 寫成 y t = yt P + yt T 上式中, y P t 及 y T t 分別代表 t 期的恆常所得及暫時所得 現實生活中, 每

29 9.4 恆常所得假說 29 個人的實際所得會因為許多外在因素而上下波動 ; 失業時所得低, 中獎時所得高 Friedman 觀察美國家庭的消費行為, 發現一般家庭不會因為所得 特別高 就 特別 努力消費, 也不會因為所得 特別低 就勒緊褲帶 ; 一般家庭的消費水準似乎是由 某一個平均所得 所宰制, 此一平均所得即為恆常所得 Friedman 認為家計單位的消費主要是受到恆常所得的影響, 暫時所得不重要, 換言之, 消費是恆常所得的函數 以線型方式表達, 簡化的 Friedman 消費函數可以寫成 c t = ϕ yt P 上式中, ϕ 是一個固定常數 Friedman 認為在一般情形下, ϕ 的數值應該接近一 當 ϕ = 1 時, 家計單位只會消費實際所得中屬於 恆常 的部分, 剩下的 暫時 部分將全部儲蓄, 此即著名的恆常所得假說 直觀上, Friedman 的假說相當具有說服力, 不但與日常生活中觀察到的消費行為一致, 而且也符合本章 ( 及上一章 ) 的理論預測 問題是 : 恆常所得無法直接觀察, 必須藉由統計方法估計 Friedman 使用美國的家庭普查資料進行實證研究, 發現恆常所得假說頗能解釋美國一般家庭的消費行為, 此一假說至此便成為現代跨期消費理論的基礎 我們不準備為讀者解說 Friedman 如何估計恆常所得, 本節的目的是要從理論的角度定義恆常所得, 並分析最適消費與恆常所得的關係 兩期模型下的恆常所得讀者曾經在上一章的習題中與恆常所得短暫邂逅 在兩期模型中, 我們可以將恆常所得定義為跨期預算線與 45 0 線交點所對應的所得水準, 此一固定所得組合與其他位於同一條預算線上的所得組合有相同的終身財富 圖 9.4 中, 假設消費者的實際所得組合 (a 1, a 2 ) 落於 A 點, 預算線與 45 0 線交於 B 點, 該點所對應的所得水準 y 即為恆常所得 顯然, A, B 兩

30 30 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 c 2 45 o 線 y B a 2 T y2 0 A 0 y T y1 0 a 1 x c 1 圖 9.4: 兩期模型下的恆常所得 點都對應到相同的終身財富 x, 但 A 點的所得組合相對不均 如圖所示, 今天的暫時所得為正, 因為 y T 1 = a 1 y > 0, 而明天的暫時所得為負, 因為 y T 2 = a 2 y < 0 暫時所得之所以稱為 暫時, 正是出於這種 忽正忽負, 反覆無常 的特性, Friedman 認為一個人要消費多少應該與暫時所得沒 有太大的關係 讓我們以數式表達兩期模型下的恆常所得 根據定義, 兩期恆常所得 組合 (y, y) 的折現總值必須等於給定的終身財富 x, 因此 y + y 1 + r = (2 + r 1 + r ) y = x = a 1 + a r 為了簡單, 我們假設期初債券 b 0 = 0 上式移項整理後可得 y = ( 1 + r 2 + r ) x = ( 1 + r 2 + r ) a 1 + ( r ) a 2

31 9.4 恆常所得假說 31 讀者看到, 恆常所得 y 是終身財富的某一個固定比例, 也是兩期實際所得 a 1 與 a 2 的加權平均, 而各期所得的權重取決於實質利率 若 r = 0, 則兩 期所得在恆常所得中各占一半比例, 但一般情形下, r > 0, 因此當期所得 的權數相對較高 當實質利率大於零時, 未來所得的折現價值較低, 因此 在恆常所得中比較不具重要性 根據上一節的分析, 當實質利率等於時間偏好率時, 無異曲線將在 45 0 線上與預算線相切, 兩期消費相等 如圖 9.4 所示, 各期消費剛好等於各 期恆常所得, 即 c 1 = c 2 = y 讀者清楚看到, 在 r = ρ 的特殊情形下, 儲蓄 s 1 = a 1 y = y T 1, 換言之, 消費者會將今天的暫時所得全部用於儲蓄 正如 Friedman 所預測的, 決定消費的是恆常所得, 暫時所得完全不重要 當實 質利率不等於時間偏好率時, 以上結論必須稍加修正 ( 請見上章習題 9), 我們會在下小節進一步分析 無限生命模型下的恆常所得 無限生命模型下的恆常所得與兩期模型類似, 但稍微複雜, 因為無限生命 情形下的終身財富 可能 會隨時間而變動 為了簡化計算過程, 我們假 設各期實質利率相等, 即 r t = r, t = 1, 2, 3, 令 x t 及 y t 分別表示從某一 時點 t 起算的終身財富及恆常所得 請留意, y t 是 從 t 期開始以後 的 某一個 固定所得水準 根據定義, 此一 固定所得序列 {y t, y t, } 的 折現總值必須等於終身財富 x t, 因此不論終身財富 x t 是多少, 恆常所得 y t 必須滿足下式 : x t = y t + y t 1 + r + y t (1 + r) 2 + = y t ( r + 1 (1 + r) 2 + ) 在 r > 0 的假設下, 上式右邊的無窮等比級數加總為一有限值, 而且等於 1/[1 1/(1 + r)] = (1 + r)/r, 代回上式, 移項後得到 y t = ( r 1 + r ) x t (9.23)

32 32 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 (9.23) 式表示 : 任何 t 期的恆常所得與該期的終身財富維持固定比例 直 觀上, 讀者可將恆常所得 y t 想成是 固定利息所得 rx t 的折現值 舉例 而言, 想像某人自父母繼承了 1,100 萬元的遺產, 他是 田僑仔, 沒有其 他所得, 這 1,100 萬元即是他的終身財富 田僑仔 將 1,100 萬元存於銀 行, 而且永不動支 假設存款利率是 10%, 則從第二年開始, 他每年可領 取 110 萬元的利息 以現值計算, 這相當於 100 (=110/1.1) 萬元的當下所 得 田僑仔 沒有其他所得, 這 100 萬元即是他的恆常所得 請注意, 每 年 100 萬元固定所得的折現總值剛好等於他的終身財富 根據 (9.23) 式, 只要知道各期終身財富, 則對應的恆常所得即可求出 讓我們先考慮起始期 t = 1, 並假設期初債券餘額 b 0 = 0, 因此第一期的 恆常所得 y 1 是 y 1 = ( r 1 + r ) x 1 = ( r 1 + r ) (a a (1 + r) + a 3 (1 + r) 2 + ) 正如兩期模型, 恆常所得是各期實際所得的加權平均, 而各期所得的權數 隨時間而遞減 ; 實質利率越高, 未來所得的折現值越低, 因此在恆常所得 中的比重也越低 消費者帶了 b 1 的債券進入第二期, 因此從該期起算的財富 x 2 除了各 期所得的折現總值外, 還包括期初債券的本金和利息 (1 + r)b 1, 因此 x 2 = (a 2 + a r + a 4 (1 + r) 2 + ) + (1 + r)b 1 根據第一期的預算限制, 我們知道 b 1 = a 1 c 1, 代入上式並集項整理, 得 到第二期的終身財富 x 2 為 x 2 = (a 2 + a r + a 4 (1 + r) 2 + ) + (1 + r)(a 1 c 1 ) = (a 1 + a r + a 3 (1 + r) 2 + ) (1 + r) (1 + r)c 1

33 9.4 恆常所得假說 33 仔細觀察, 上式右邊的第一個括弧項即為第一期的終身財富 x 1, 因此 x 2 = (1 + r)(x 1 c 1 ) (9.24) (9.24) 式決定財富會以多快的速度累積, 此一關係對任何前後兩期的財 富均成立, 其直觀意義不難理解 以前面的 田僑仔 為例, 假設利率是 10%, 他的期初財富是 1,100 萬元 如果當期消費了 150 萬元, 則剩下的 950 萬元投入債券市場, 期末財富將等於 1,045 (= ) 萬元 顯然, 第二期的終身財富取決於上一期究竟消費了多少, 因此為了求算第二期 的恆常所得 y 2, 我們必須知道 c 1 等於多少 讓我們考慮最簡單的情形, 假設 r = ρ 根據一階條件, 各期消費相等, 即 c t = c 1, t = 2, 3, 4,, 而 c 1 必須滿足終身預算限制式, 因此 x 1 = t=1 移項並根據 (9.23) 式, 得到 c t (1 + r) t 1 = c 1 + c r + c 1 c 1 = ( r 1 + r ) x 1 = y 1 (1 + r) 2 + = ( 1 + r ) c 1 r 正如兩期模型, 在 r = ρ 的情形下, 消費剛好等於恆常所得, 而儲蓄也剛 好等於暫時所得, 即 s 1 = a 1 y 1 = y T 1 將 c 1 的最適解代入財富累積方程 式 (9.24), 得到 x 2 = (1 + r) (1 r 1 + r ) x 1 = x 1 讀者看到, 在 r = ρ 的情形下, 前後兩期的終身財富相等 再以前面的 田 僑仔 為例 他的期初存款是 1,100 萬元, 第一年消費了 100 萬元, 這是他 的恆常所得, 因此期末存款仍然是 1,100 (= 1.1 1, 000) 萬元 既然 x 2 = x 1, 則根據 (9.23) 式, 前後兩期的消費與恆常所得也必然相等, 亦即 c 2 = y 2 = ( r 1 + r ) x 2 = ( r 1 + r ) x 1 = y 1 = c 1

34 34 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 繼續以上的推導過程, 讀者不難看出, 在 r = ρ 的情形下, 不論實際所得 序列 {a t } t=1 的分配型態有多極端, 各期終身財富維持不變, 而各期消費 也剛好等於固定不變的恆常所得, 這是平滑消費的終極表現, 與前面的兩 期模型完全相同 為了簡化計算過程, 以上的分析假設 r = ρ 若 r ρ, 則情況較為複 雜, 但也非遙不可及 假設效用函數為對數型式, 即 u(c t ) = ln c t 利用一 階條件 (9.21) 式, 前後兩期的消費滿足 將 c t 向前解至起始期 t = 1, 得到 c t = ( 1 + r 1 + ρ ) c t 1 c t = ( 1 + r 1 + ρ ) c t 1 = ( 1 + r ρ ) c t 2 = = ( 1 + r t ρ ) c 1 上式並非 t 期消費的最終解, 因為 c 1 仍然未知 將上式代回終身預算限 制式, 得到 移項後, x 1 = t=1 c t (1 + r) t 1 = c 1 t=1 利用 (9.23) 式, 上式可用恆常所得 y 1 表達, 寫成 ( ρ ) t 1 = ( 1 + ρ ρ ) c 1 c 1 = ( ρ 1 + ρ ) x 1 (9.25) ρ(1 + r) c 1 = [ r(1 + ρ) ] y 1 (9.26) 這是 c 1 的最終解 一旦 c 1 決定了, 各期消費亦同時決定 將 (9.25) 式代 入財富累積方程式 (9.24), 可得 x 2 = (1 + r)(x 1 c 1 ) = ( 1 + r 1 + ρ ) x 1

35 9.4 恆常所得假說 35 讀者看到, 財富的成長率剛好等於消費的成長率 因為恆常所得與終身 財富維持固定比例關係, 因此恆常所得的成長率也必然等於財富或消費 的成長率 事實上, 以上關係對任何 t 期均成立, 因此 x t = ( 1 + r 1 + ρ ) t 1 x 1, y t = ( 1 + r 1 + ρ ) t 1 y 1 既然消費與恆常所得都以相同速度成長, 則兩者在 任何時點 必然維持 固定比例 根據 (9.26) 式, 我們可以將 c t 與 y t 的關係寫成 c t = ϕ y t, 其中 ϕ = ρ(1 + r) r(1 + ρ) 此即前面提到的 Friedman 消費函數 當 r = ρ 時, ϕ = 1, 消費者會將各 期所得中屬於恆常的部分全部消費, 剩下的暫時所得 y T t = a t y t 全部儲 蓄 此一結論與兩期模型完全相同 當 r ρ 時, 消費雖然不等於恆常所 得, 但兩者仍然維持固定比例關係 為了簡化計算過程, 以上的分析假設實質利率固定不變 若利率隨時 間波動, 則最適消費與恆常所得之間的關係當然也會隨之改變 不論情 形有多複雜, 我們的結論仍然不變, 亦即, 決定消費的關鍵因素是恆常所 得, 暫時所得完全不重要, 此即 Friedman 的恆常所得假說 所得變動的影響 根據恆常所得假說, 我們可以分析所得變動對消費與儲蓄的影響 圖 9.5 中, 假設消費者的可支配所得為單數期等於 a, 雙數期等於 a, 即 a t = a, t = 1, 3, 5, a, t = 2, 4, 6, 假設 r = ρ, 因此各期消費等於恆常所得 y 經過簡單的計算, c t = y = [(1 + r)a + a]/(2 + r) 如圖所示, 最適消費軌跡為一水平線 以下分別討 論所得短暫變動與永久變動的影響

36 36 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 a a r y a 1 r c t y a a t 時間 圖 9.5: 所得暫時上升的效果 所得短暫上升 : 假設第一期所得 a 1 上升 a 單位, 其他各期維持不變 在此一情形下, 終身財富的增量剛好等於當期所得的增量, 即 x = a 根據 (9.23) 式, 恆常所得的增量為 y = r/(1 + r) a 因為 c t = y, 故各期消費的 增量為 c t = y = r/(1 + r) a 如圖所示, 消費的時間軌跡會從 y 平行上移至略高水準 y + r/(1 + r) a 根據以上分析, 當所得短暫上升時, 當期的邊際消費傾向及邊際儲蓄傾 向分別為 MPC = c 1 a 1 = r 1 + r 0, MPS = s 1 a 1 = 1 MPC = r 1 與兩期模型比較 ( 見上一章 8.6 節 ), 邊際消費傾向明顯較低, 而邊際儲 蓄傾向則較高 假設 r = 0.05, MPC 約為 4.76% (=0.05/1.05), 而 MPS 則超過 95% 直觀而言, 在無限生命模型中, 消費者必須 照顧 的期

37 9.4 恆常所得假說 37 a a a a y a c t y a a a a a t 時間 圖 9.6: 所得永久上升的效果 間較長, 為了平滑各期消費, 增加的所得將大部分用於儲蓄, 消費的增 幅相當有限 所得永久上升 : 圖 9.6 中, 各期所得等幅上升 a 單位, 即 a t = a, t = 1, 2, 3, 此 時, 終身財富的增量為 x = (1 + r)/r a, 明顯要大於所得暫時增加 的情形 根據 (9.23) 式, 各期恆常所得及消費也剛好增加 a 單位, 因 此如圖所示, 消費的時間軌跡也會從 y 平行上移 a 單位 根據以上分析, 當所得永久性等幅上升時, 邊際消費及儲蓄傾向分別為 MPC = c 1 a 1 = 1, MPS = s 1 a 1 = 1 MPC = 0 正如兩期模型, 當所得永久增加時, 消費者不需要平滑他的各期消費 此時, 消費者會把各期增加的所得 ( 即恆常所得的增量 ) 消費殆盡, 因 此 MPC 等於一, 而 MPS 等於零

38 38 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 rt (a) 消費需求 (b) 債券淨需求 d C ( r,, a, ) rt B d ( r,, a, ) t t t t t t 各期所得上升 未來所得上升 當期所得上升未來利率上升 未來利率上升 0 Ct 0 Bt 圖 9.7: 消費需求與債券淨需求 9.5 消費與債券的需求函數 總結本章分析, 我們可以將整體經濟或代表性消費者在任一時點 t 的消 費需求函數 C d t 與債券淨需求函數 B d t 寫成 影響消費需求 C d t Ct d = Ct d ( r t, r t+1, ; a t, a t+1, ), ( ) ( ) (+) (+) B d t = B d t ( r t, r t+1, ; a t, a t+1, ) (+) (+) (+) ( ) 及債券淨需求 B d t 的外生變數包括各期實質利率及各 期可支配所得 首先, 對整體經濟或代表性消費者而言, 實質利率變動只 會產生跨期替代效果, 沒有財富效果, 因此 C d t 及 B d t 分別是各期實質利 率的負向函數及正向函數 如圖 9.7 所示, 在 (C t, r t ) 空間中, C d t 是一條 負斜率的曲線, 而在 (B t, r t ) 空間中, B d t 是一條正斜率的曲線 根據 9.3 節的分析, 消費者若預期未來利率上升, 則本期消費就會開始下降, 而儲

39 本章摘要 39 蓄則增加, 因此未來利率上升會使 C d t 曲線左移 ( 表示消費減少 ), B d t 曲線 右移 ( 表示儲蓄增加 ) 影響消費及儲蓄的第二組外生變數是各期可支配所得 根據 9.4 節的 恆常所得假說 ( 或財富效果 ), 所得上升無論是暫時的或永久的, 本期的消 費需求都會上升, 因此 C d t 是各期所得的正向函數 如圖 9.7(a) 所示, 所 得上升會使 C d t 曲線右移, 但其移動幅度取決於所得變動的持久性 ; 當所 得短暫上升時, C d t 曲線右移的幅度較小, 而當所得永久上升時, 其移動幅 度較大, 約略等於所得的增幅 所得上升對債券需求或儲蓄的影響要視其持續性而定 若本期所得 上升而未來所得不變, 則債券需求 ( 或儲蓄 ) 上升, 因此圖 9.7(b) 的 B d t 曲 線會向右移動 若本期所得不變而未來所得上升, 則債券需求 ( 或儲蓄 ) 下降, B d t 曲線會向左移動 當所得永久性等量上升時, 儲蓄不變或其變 動量太小可略去不計, 此時的 B d t 曲線將維持不動 我們要再度提醒讀者, 以上的債券淨需求可正可負 ; B d t > 0 表示在特 定利率水準下, 預擬的貸放量超過賒借量, 而 B d t < 0 則表示賒借量超過 貸放量 就整體經濟而言, 民間債券因為借貸相抵, 其餘額必然為零, 因此 B d t 即為民間部門對政府公債的淨需求量, 此點與兩期模型相同 總括而 言, 世代家庭模型雖然較為複雜, 但模型內涵與費雪兩期模型幾乎相同 以上的行為函數將在後續的均衡分析中扮演關鍵角色 本章摘要 在無限生命模型中, 消費者不能倒債的條件為 lim T b T (1 + r) T 1 0 此一條件要求消費者不能毫無節制的賒借, 所有負債最終都必須清償 此一條件又稱無龐氏計謀條件

40 40 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 在無限生命模型中, 各期消費的總現值仍然要等於終身財富, 因此決定 消費能力的不是當期所得或各期所得的分配型態 消費者的終身預算 限制式可寫成 t=1 c t (1 + r) t 1 = t=1 消費者最適選擇的一階必要條件為 以上條件也可寫成 MRS t,t+j = a t (1 + r) t 1 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ) u (c t ) β j u (c t+j ) = (1 + r t)(1 + r t+1 ) (1 + r t+j 1 ), j 1, 亦即, 消費者以 t 期消費取代 t + j 期消費的邊際替代率等於 t 期消費 的機會成本 消費者最適選擇的二階條件或橫截條件為債券的極限價值等於零, 即 lim t b t (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) = 0 以上條件表示消費者已經窮盡了資產的殘餘價值, 終身效用沒有再操 弄的空間 消費者選擇模型可用貝氏方程式表達, 其型式為 v(b) = max {c,b } 上式中, v(b) 稱為價值函數 u(c) + βv(b ) subject to c + b = a + (1 + r)b 當 r = ρ 時, 消費的時間軌跡為一水平線, 表示各期消費相等 若 r > ρ, 消費隨時間而上升 ; 若 r < ρ, 消費隨時間而下降

41 本章摘要 41 當實質利率上升時, 本期消費下降, 未來消費上升, 這是跨期替代效果 消費者預期未來利率上升, 則利率上升前所有各期的消費會減少, 儲蓄 會增加, 消費的時間軌跡變得相對陡峭, 這也是跨期替代效果所致 恆常所得是各期可支配所得的加權平均, 其折現總值等於終身財富 在 兩期模型中, 恆常所得是預算線與 45 0 線交點所對應的所得水準 Friedman 的恆常所得假說認為決定各期消費的是恆常所得, 不是暫時 所得, 其型式為 c t = ϕ y P t 上式中, 參數 ϕ 接近一, y P t 為 t 期的恆常所得 恆常所得 y t 與終身財富 x t 維持以下的固定比例關係 : y t = ( r 1 + r ) x t 終身財富的累積方程式為 x t+1 = (1 + r)(x t c t ), t = 1, 2, 3, 在無限生命模型中, 若 r = ρ, 則各期消費等於固定的恆常所得 假設 效用函數為 u(c) = ln c, 則各期消費與恆常所得將維持以下的固定比 例關係 : c t = ϕ y t, 其中 ϕ = 上式即為 Friedman 的消費函數 ρ(1 + r) r(1 + ρ) 在無限生命模型中, 所得短暫變動時的 MPC 接近零, MPS 接近一, 所 得永久變動時的 MPC 接近一, MPS 接近零 商品消費的總需求函數及債券的淨需求函數可寫成 Ct d = Ct d ( r t, r t+1, ; a t, a t+1, ), ( ) ( ) (+) (+) B d t = B d t ( r t, r t+1, ; a t, a t+1, ) (+) (+) (+) ( )

42 42 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 習題 1. 現代龐氏 : 波士頓的義大利移民 Charles Ponzi 當然不是所謂 龐式計謀 的祖師爺, 英國大文豪 Charles Dickens 早在 1857 年的小說 小杜麗 (Little Dorrit, ) 中杜撰過此類人物, 但美國的 Ponzi 先生因其異想天開的大膽行徑及浮奓的生活方式而得名 請從 1990 年代開始, 舉出至少三位中西 現代龐式, 回顧並評論他們的事蹟 你能找到操弄龐式計謀而能成功脫身的案例嗎? [ 提示 : 有的話, 請偷偷告知作者!] 2. 三期選擇模型 : 消費者的三期選擇模型給定如下 : max {c 1,c 2,c 3,b 1,b 2} u(c 1 ) + βu(c 2 ) + β 2 u(c 3 ) subject to c 1 + b 1 = a 1, (b 0 = 0) c 2 + b 2 = a 2 + (1 + r 1 )b 1, c 3 = a 3 + (1 + r 2 )b 2 (b 3 = 0) (a) 請逐步推導跨期預算限制式 (b) 請以直觀推導消費者的最適選擇條件 (c) 請討論 a 1 下降 ( 其他各期所得不變 ) 對各期消費及儲蓄的影響 (d) 請討論各期所得等幅下降對各期消費及儲蓄的影響 (e) 消費者於 t = 2 時得知 a 3 將下降, 請討論此一所得衝擊對各期消費及儲蓄的影響 (f) 消費者於 t = 1 時得知 r 2 將上升, 他原來選擇 c 3 = a 3 請討論 r 2 上升對各期消費及儲蓄的影響 若消費者原來選擇的是 c 3 > a 3, 以上結論有何改變? 3. 儲蓄手段 : 請證明以下的儲蓄手段無任何套利空間

43 習題 43 (a) 三期儲蓄計畫 : 假設消費者於 t = 1 購買一單位債券, t = 2 消費 新增本利和的 ϕ 比例 (0 < ϕ < 1), 餘數繼續投入債券市場, t = 3 儲蓄計畫結束 請根據本章模型寫下此一儲蓄策略的最適一階條 件, 並驗證無套利空間條件成立 (b) 無到期日債券 : 英國政府發行了一種 無到期日公債, 稱為 Console 債券 購買這種公債的人每期領取固定利息, 但不收回本金 持有人如果手頭甚緊, 他可以在次級市場 (secondary market) 脫 手 假設英國政府承諾的固定利率為 r, 而且不會倒債 請根據本 章模型推導消費者會願意購買這種無到期日債券的最適選擇條 件, 並驗證無套利空間條件成立 (c) 基金理財 : 定期回收報酬的基金理財方式在坊間甚為流行, 考慮 以下的五年儲蓄計畫 消費者在前四年每年固定投入一單位所得 購買基金, 第三及第五年分別領取固定的報酬 x, 第五年規劃期間 結束 基金經理人承諾的每年報酬率為 r 請問 x 至少要等於多 少, 消費者才會願意購買這種基金? 請根據本章模型作答, 並驗證 你的最適選擇條件 假設每年投入 1 萬元, 利率為 10%, 請問 x 要 多少才合算? 4. 長債與短債 : 假設消費者可持有一期到期的 短債 及兩期到期的 長 債 令 b t 1 及 x t 2 分別表示 t 期到期之短債餘額及長債餘額, 到期 利率分別為 r b t 1 及 r x t 2 我們以變數下標表示債券發行日 消費者的 選擇問題給定如下 : max {c t,b t,x t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) subject to c t + b t + x t = a t + (1 + r b t 1)b t 1 + (1 + r x t 2)x t 2, t, b 0 = x 1 = 0

44 44 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 (a) 請以直觀推導上述模型的最適選擇條件 (b) 請討論短期利率 r b 及長期利率 r x 之間的關係, 並以直觀說明之 [ 提示 : 長短期利率之間的關係, 稱為利率期限結構 (term structure of interest rates), 我們將於後續章節補充 ] 5. 租稅政策與跨期選擇 : 假設政府對消費支出 c t 課徵 ϕ t 比率的消費稅, 對利息所得 rb t 1 課徵 τ t 比率的所得稅 ( 若 b t 1 < 0, 則為利息補貼 ) 假設各期稅前利率相等, 代表性消費者的選擇問題給定如下 : max {c t,b t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) subject to (1 + ϕ t )c t + b t = a t + [1 + (1 τ t )r]b t 1, t 請注意, 實際消費支出為 (1 + ϕ t )c t, 代表性消費者的期初債券持有量 b 0 = 0 (a) 請以直觀推導上述模型的最適選擇條件 (b) 假設各期稅率相等, 即 ϕ t = ϕ, τ t = τ, t 請推導能使各期消費 相等的條件, 並以直觀說明之 (c) 政府於 t = 1 宣布 τ 1 上升, 其他各期稅率不變 請討論此一政策 對各期消費及儲蓄的影響 (d) 假設起始狀態如 (b) 小題所述 政府於 t = 1 宣布將從 t = 20 開始 調升利息所得稅率至 τ 請討論並畫出政策宣布後的 ( 預擬 ) 消 費時間軌跡 (e) 假設起始狀態如 (b) 小題所述 政府於 t = 1 宣布將在 t = 10 至 t = 20 之間調升消費稅率至 ϕ 請討論並畫出政策宣布後的 ( 預 擬 ) 消費時間軌跡 (f) 假設起始狀態如 (b) 小題所述 政府宣布 ϕ 1 上升, 其他各期稅率 不變 請討論並畫出政策實施後的消費時間軌跡

45 習題 45 (g) 假設起始狀態如 (b) 小題所述 政府宣布消費稅率從 ϕ 升為 ϕ 請討論此一政策對各期消費的影響 6. 恆常所得 : 某消費者的各期所得稟賦給定如下 : a t = 假設 b 0 = 0, r = ρ = , t = 1, 3, 5, 125, t = 2, 4, 6, (a) 請計算該消費者自 t = 1 起算的終身財富及恆常所得 (b) 請計算該消費者的各期消費與儲蓄 7. 兩位經濟學家的對話 : 兩位經濟學家對消費行為有不同看法 經濟學 家甲是傳統凱因斯學派的信徒, 他認為影響消費支出的主要因素是當 期所得, 其模型可表為 c t = a + by t, a > 0, b (0, 1) 根據資料, 經濟學家甲估計的邊際消費傾向是 b = 0.9 經濟學家乙是恆常所得假說或費雪模型的信徒, 他認為影響消費支出 的主要因素是恆常所得或終身財富 他假設 u(c) = ln c, 而根據資料 所估計的時間偏好率是 ρ = 0.1 現行實質利率是 r = 0.05 (a) 政府實施減稅政策, 消費者的 t 期所得暫時上升 10,000 元, 其他 各期所得不變 兩位經濟學家對政策效果爭論不休 : 甲 : b = 0.9 表示 t 期消費將上升 9,000 元 乙 : 差矣, 消費的確會上升, 但你的預測高估了將近 10 倍! 甲 : 怎麼可能? 豬頭的預測也不可能差這麼多, 我不相信 請為經濟學家甲解惑

46 46 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 (b) 政府發現效果不彰, 因此實施永久性減稅政策, 消費者的各期所得上升 10,000 元 兩位經濟學家又爭論不休 : 甲 : 剛才我忘了 ( 是嗎?) 所得增加為暫時性質, 因此高估其效果 現在所得增加為永久性質, 消費的增加應該相當接近 9,000 元 乙 : 差矣, 這回你低估了所得增加的效果! 甲 : 差很大? 乙 : 不但如此, 邊際消費傾向還接近二! 甲 : 怎麼可能? 豬頭的模型才會有這種性質, 我不相信 請為經濟學家甲解惑 8. 複習題 ( 消費需求與債券需求 ): 請畫出消費需求 C d t 及債券淨需求 B d t 曲線, 並討論各期實質利率及各期可支配所得變動的影響 9. T 期選擇模型 *: [ 本題使用到 Kuhn-Tucker 定理, 初學者可略過 ] 某 消費者的 T 期選擇模型給定如下 (T < ): max {c t,b t} T t=1 T t=1 β t 1 u(c t ) subject to c t + b t = a t + (1 + r t 1 )b t 1, t = 1, 2,, T, b T 0 (a) 請以拉氏函數法推導上述模型的一階必要條件 (b) 請以直觀解釋一階條件的經濟意義, 並與 9.2 節的討論比較 10. 動態規劃 - 田僑仔的決策問題 *: [ 本題適合研究生思考 ] 第 9.2 節介紹的動態規劃方法在當代總體經濟學中應用廣泛 一般情形下, 價值函數及策略函數的 解析解 或 公式解 (closed-form solution) 不存在, 必須依靠如實分析 (Real Analysis) 之類的抽象數學討論解的性質 本題要請讀者思考一個存在 公式解 的特殊情況

47 習題 47 某消費者沒有稟賦所得 ( 即 a t = 0, t), 他是 田僑仔, 必須依賴先 人留下的遺產 b 0 > 0 過活 假設各期實質利率相等, 田僑仔 的跨 期選擇問題給定如下 : max {c t,b t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) subject to c t + b t = (1 + r)b t 1, t, b 0 > 0 (a) 請寫下上述問題的貝氏方程式 (b) 假設效用函數為對數型式, 即 u(c) = ln c 請求算價值函數 v(b) 及策略函數 b = g(b) 與 c = h(b) 的公式解 [ 提示 : 假設 v(b) = A + B ln b, 然後求解未知係數 A 及 B ] (c) 如果各期所得 a t 0, 你仍然能夠求得公式解嗎? 請試試看 (d) 請驗證你的解滿足二階橫截條件 (e) 田僑仔 的動態選擇問題也可以使用拉氏方法求解, 請驗證兩種方法得到的解相同, 包括價值函數 (f) 請圖示並討論價值函數 v(b) 的性質 v(b) 的 截距項 與實質利率有什麼關係? 其直觀意義何在? (g) 請圖示並討論策略函數 g(b) 及 h(b) 的性質 請畫出債券餘額 b t 及消費 c t 的時間軌跡

48 48 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 部分習題解答 3a 消費者購買一單位 b 1 使 2, 3 期的消費分別增加 c 2 = ϕ(1 + r 1 ) 及 c 3 = (1 ϕ)(1 + r 1 )(1 + r 2 ), 因此最適邊際條件是 u (c 1 ) = βu (c 2 )ϕ(1 + r 1 ) + β 2 u (c 3 )(1 ϕ)(1 + r 1 )(1 + r 2 ) 然而, c 2 與 c 3 之間也必須滿足 u (c 2 ) = βu (c 3 )(1+r 2 ), 代入右邊第一 項, 化簡後得到 u (c 1 ) = β 2 u (c 3 )(1 + r 1 )(1 + r 2 ) 上式右邊是兩期複利報酬 ( 即本文 (9.12) 式 ) 顯然, 消費者以不同方 式進行儲蓄, 效用收益都相等, 此即無套利空間條件 3b Console 債券不還本, 但每期支付固定利息, 消費者會購買且持續持 有這種債券的一階條件要求邊際成本等於邊際收益, 亦即 u (c 1 ) = βu (c 2 )r + β 2 u (c 3 )r + β 3 u (c 4 )r + = βr [u (c 2 ) + βu (c 3 ) + β 2 u (c 4 ) + ] 然而, 消費者也可以在買入 Console 債券後, 於下期在次級市場出售, 因此前後兩期的消費滿足 u (c t ) = βu (c t+1 )(1+r) 利用此一關係, 上 式右邊的 βu (c 3 ) = u (c 2 )/(1+r) 依此類推, β 2 u (c 4 ) = βu (c 3 )/(1+ r) = u (c 2 )/(1 + r) 2 集項整理後, 上式也可寫成 u (c 1 ) = βru (c 2 ) ( r + 1 (1 + r) 2 + ) = βru (c 2 ) ( 1 + r ) = βu (c 2 )(1 + r) r 此即本文的一階條件 顯然, 消費者無論購買 Console 債券或短期付 息債券, 其效用報酬都相等, 因此無套利空間條件仍然成立

49 3c 消費者購買此一基金的效用成本及效用收益分別是 部分習題解答 49 效用成本 = u (c 1 ) + βu (c 2 ) + β 2 u (c 3 ) + β 3 u (c 4 ), 效用收益 = [β 2 u (c 3 ) + β 4 u (c 5 )]x 消費者若購買實質報酬率為 r 的短期債券, 其一階條件要求 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r), 因此 u (c j ) = β 5 j u (c 5 )(1 + r) 5 j, j = 1, 2, 3, 4 利用此一關係, 基金的成本及收益分別是效用成本 = β 4 u (c 5 )(1 + r)[1 + (1 + r) + (1 + r) 2 + (1 + r) 3 ], 效用收益 = β 4 u (c 5 )[1 + (1 + r) 2 ]x 一階條件要求邊際收益等於邊際成本, 因此 [1 + (1 + r) 2 ]x = (1 + r)[1 + (1 + r) + (1 + r) 2 + (1 + r) 3 ] = (1 + r)(2 + r)[1 + (1 + r) 2 ] 化簡後, 得到 x = (1 + r)(2 + r) 若每年投入 1 萬元, 利率 10%, 則 x 至 少要等於 1.1(2.1)(10, 000) = 23, 100 元才合算 4a 選擇短債及長債的一階條件各為 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r b t ) = β 2 u (c t+2 )(1 + r b t )(1 + r b t+1), u (c t ) = β 2 u (c t+2 )(1 + r x t ) 4b 根據上題的一階條件, 1 + rt x = (1 + rt b )(1 + rt+1) b 或 rt x rt b + rt+1, b 此即利率的期限結構 直觀而言, 消費者無論購買短債或長債, 實質報酬率都應該相等, 否則即有套利空間 倒過來說, 當效用極大時, 消費者再怎麼調整資產組合, 都不能再提升效用水準

50 50 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 5a 消費者減少一單位 c t 可多購買 (1 + ϕ t ) 單位的 b t, 下期還本付息後, 消費的增量是 c t+1 = (1 + ϕ t )[1 + (1 τ t+1 )r]/(1 + ϕ t+1 ), 分子是本金 及稅後利息, 分母是 c t+1 的價格 因此一階條件是 u (c t ) = βu (c t+1 ) ( 1 + ϕ t 1 + ϕ t+1 ) [1 + (1 τ t+1 )r] 5b 令各期 c t = c, 則一階條件變成 β[1 + (1 τ)r] = 1, 移項整理後得到 (1 τ)r = 1/β 1 = ρ 直觀而言, 當 稅後實質利率 等於時間偏好率 時, 儲蓄的願受價格剛好等於市場的客觀報酬, 因此各期消費相等 5c 當 τ 1 上升而其他各期稅率不變時, 因為 b 0 = 0, 此一政策沒有財富效 果 根據一階條件, 會影響消費者選擇的是 下期 或 未來 利息所 得稅率 ( 即 τ 2, τ 3, ), 因此 τ 1 上升也沒有跨期替代效果 綜合上述, τ 1 變動不影響各期消費與儲蓄 5d 圖 9.8 畫出稅後實質利率及最適消費的時間軌跡, 政策宣布之前, 兩 者都是水平線 政府宣布利息所得稅率從 t = 20 開始調升為 τ, 因此 (1 )r (a) 稅後實質利率 c (b) 最適消費軌跡 (1 )r (1 )r 1 20 t 1 19 t 圖 9.8: 利息所得稅率變動的效果 t = 20 之後的稅後實質利率下降 在 t [1, 19] 期間, 消費相對划算, 因此其水準上升, 但因為稅後利率仍然等於時間偏好率, 這段期間的

51 部分習題解答 51 消費軌跡仍為一水平線 稅率調升後的 (1 τ )r < ρ, 因此消費將逐期下降 以上的分析假設財富效果不重要 若考慮財富效果, 則跨期消費的 陡峭 型態不受影響, 但賒借者的消費軌跡會較高 ( 正向的財富效果 ), 貸放者的消費軌跡會較低 ( 負向的財富效果 ) 5e 圖 9.9 繪示消費稅率及最適消費的時間軌跡, 政策宣布之前, 兩者都是水平線 政府宣布消費稅率在 t [10, 20] 期間自 ϕ 調升為 ϕ 首先, (a) 消費稅率 c c (b) 最適消費軌跡 c 1 c t t 圖 9.9: 消費稅率變動的效果 根據 (a) 小題的一階條件, t 期與 (t + j) 之間的消費取捨必須滿足 u (c t ) = β j u (c t+j ) ( 1 + ϕ t 1 + ϕ t+j ) [1 + (1 τ)r] j 顯然, c t 與 c t+j 之間的相對價格是 (1 + ϕ t )/(1 + ϕ t+j ) ( 略去利率不寫 ), 這是決定跨期替代效果的唯一因素 ; 若 ϕ t > ϕ t+j, 則 c t < c t+j, 反之則 c t > c t+j 在稅率等於 ϕ 的前後兩段期間, 消費水準是 c, 其時間軌跡 為一水平線 在 t [10, 20] 期間, 稅率雖然較高, 但仍為一定值, 因此 這段期間的消費水準 c 比其他兩段期間為低 最後, 消費稅率上升使 終身財富下降, 因此各期消費的折現總值也會下降 5f 消費稅暫時上升的財富效果太小, 可忽略不計 跨期替代效果使當期 消費 c 1 下降, 以後各期消費等幅上升 圖形略

52 52 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 5g 消費稅永久性上升沒有跨期替代效果, 財富效果使各期消費等幅下降 10a 田僑仔的貝氏方程式為 v(b) = max {c,b } u(c) + βv(b ) subject to c + b = (1 + r)b 10b 假設 v(b) = A + B ln b, 則選擇問題可寫成 上述問題的一階條件是 運算後得到 max {b } ln [(1 + r)b b ] + β(a + B ln b ) 1 (1 + r)b b = βb b, b = ( βb 1 + βb ) (1 + r)b, c = (1 + r)b 1 b = ( ) (1 + r)b 1 + βb 將以上的解代入目標函數, 集項整理後得到 v(b) = u(c) + βv(b ) = [βa + ln ( 1 + r βb(1 + r) ) + βb ln ( )] + (1 + βb) ln b 1 + βb 1 + βb 若 v(b) = A + B ln b 的臆測為真, 則上式的 截距項 及 斜率項 必 須分別等於 A 及 B 首先, 斜率項滿足 B = 1 + βb, 因此 B = 1/(1 β), 代入最適解, 得到 b 及 c 的策略函數如下 : b = g(b) = ( βb ) (1 + r)b = β(1 + r)b, 1 + βb 1 c = h(b) = ( ) (1 + r)b = (1 β)(1 + r)b 1 + βb

53 部分習題解答 53 最後, v(b) 的截距項 A 必須滿足 A = βa + ln ( 1 + r βb(1 + r) ) + βb ln ( 1 + βb 1 + βb ) 代入 B = 1/(1 β), 運算後得到 A = 10c 當 a t 0 時, 公式解不存在 10d 根據 b 的策略函數, ln(1 + r) + β ln β + (1 β) ln(1 β) (1 β) 2 b t = g(b t 1 ) = β(1 + r)b t 1 = β 2 (1 + r) 2 b t 2 = = β t (1 + r) t b 0 因此二階橫截條件必然成立, 因為 lim t b t t 1 = lim (1 + r) t βt (1 + r)b 0 = 0 10e 根據一階條件, c t = β(1 + r)c t 1, 向前解至起始期 t = 1, 得到 c t = β(1 + r)c t 1 = = β t 1 (1 + r) t 1 c 1 代入終身預算限制式 t=1 c t /(1 + r) t 1 = (1 + r)b 0, 得到 c 1 β t 1 = (1 + r)b 0 c 1 = (1 β)(1 + r)b 0, t=1 b 1 = (1 + r)b 0 c 1 b 1 = β(1 + r)b 0 以上是第一期的策略函數 當 t = 2 時, 使用 b 1 = β(1 + r)b 0, 得到 c 2 = β(1 + r)c 1 = (1 β)(1 + r)b 1 及 b 2 = β(1 + r)b 1 依此類推, 各期的 策略函數與 (b) 小題完全相同, 亦即 b t = g(b t 1 ) = β(1 + r)b t 1, c t = h(b t 1 ) = (1 β)(1 + r)b t 1

54 54 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 根據以上最適解, c t = β t 1 (1 + r) t 1 c 1 = β t 1 (1 + r) t 1 (1 β)(1 + r)b 0, 代入終身效用函數, 得到 v(b 0 ) = t=1 ln(c t ) =[ln β + ln(1 + r)] t=1 (t 1)β t 1 + [ln(1 β) + ln(1 + r) + ln b 0 ] t=1 β t 1 利用 t=1(t 1)β t 1 = β/(1 β) 2 ( 請自行證明 ), 集項整理後得到價值 函數 v(b 0 ) = A + B ln b 0, 其中斜率項是 B = 1/(1 β), 截距項是 A = ln(1 + r) + β ln β + (1 β) ln(1 β) (1 β) 2 因此價值函數也與 (b) 小題完全相同 10f 圖 9.10(a) 繪示田僑仔的價值函數 v(b) = A + B ln b 顯然, v(b) 是 一個嚴格遞增的凹函數, 其斜率 v (b) = 1/[(1 β)b] 隨期初債券量增 v (a) 價值函數 r 上升 b t (b) 儲蓄函數 (1 r) 1 45 線 A vb ( ) A Blnb b 0 b 1 f b 1 (1 r) 1 gb ( ) t 1 (1 r) 1 1 b 0 b 0 bt 1 圖 9.10: 價值函數與策略函數 加而遞減 直觀而言, 若田僑仔繼承的遺產 b 0 越多, 則各期消費及效 用水準也越高, 這是財富效果, 但因為邊際效用遞減, 終身效用的增量 也會遞減 價值函數的截距項 A 可正可負, 其絕對水準取決於利率水

55 部分習題解答 55 準 當 r 上升時, 田僑仔的終身財富 x = (1 + r)b 0 上升, 因此終身效用 也較高 10g 圖 9.10(b) 繪示田僑仔的 儲蓄函數 b t = β(1 + r)b t 1 ( 消費函數從略 ) 顯然, b t 是 b t 1 的線性遞增函數, 其斜率 β(1+r) = (1+r)/(1+ ρ) 取決於實質利率 r 與時間偏好率 ρ 的相對大小 當 r = ρ 或 β(1+r) = 1 時, b t = b 0, t, 此時的各期資產永遠停留在 45 線上的 f 點 直觀而言, 當 r = ρ 時, 田僑仔的各期恆常所得為一定值, 而且剛好等於固定的利息收入, 因為 y = r/(1+r) x = r/(1+r) (1+r)b 0 = rb 0 在這種情形下, 田僑仔的各期消費是 c t = (1 β)(1+r)b 0 = (1+r)b 0 b 0 = rb 0, 換言之, 他每期只消費固定的恆常所得或利息收入, 因此得自先人的遺產不會減少, 也不會增加 當 r < ρ 或 β(1+r) < 1 時, 儲蓄函數的斜率小於一 在此種情形下, 從圖 9.10(b) 中的 f 點出發, 資產將如黑色箭頭所示逐期遞減, 所謂 富不過三代 正是這種情形 直觀而言, 當 r < ρ 時, 田僑仔偏好當下消費, 因此他會逐漸耗盡祖先遺產 請注意, 資產雖然逐期減少, 但恆大於零, 因此田僑仔雖然 敗家, 但還不致於 敗 到淪為每天 跑三點半 的淒涼景況 r > ρ 或 β(1+r) > 1 的情形剛好相反, 此時從 f 點出發, 資產將如藍色箭頭所示逐期增加, 所謂 守財奴 正是這種情形 直觀而言, 當 r > ρ 時, 田僑仔偏好未來消費, 因此他會不斷累積資產, 但其增加速度或成長率小於實質利率 ( 因為 ln(b t /b t 1 ) r ρ < r), 因此資產的極限價值 lim t b t /(1 + r) t 1 = 0, 換言之, 二階橫截條件仍然成立 綜合上述, 當 r = ρ 時, 消費及資產為一定值, 而當 r < ρ (r > ρ) 時, 消費及資產隨時間而遞減 ( 遞增 ) 圖形從略

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57 部分習題解答 1 第 9 章 2a 三期的終身預算限制式為 ( 推導過程略 ) c 1 + c r 1 + 2b 一階條件為 c 3 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) = a 1 + a r 1 + a 3 (1 + r 1 )(1 + r 2 ) = x u (c 1 ) = βu (c 2 )(1 + r 1 ), u (c 2 ) = βu (c 3 )(1 + r 2 ) 兩式合併亦可寫為 u (c 1 ) = β 2 u (c 3 )(1 + r 1 )(1 + r 2 ) 2c 所得暫時下降使各期消費皆下降, 這是財富效果 根據定義, 第一期 儲蓄的變動量是 s 1 = b 1 = a 1 c 1 因為 c 1 的減量小於 a 1 的減 量, s 1 < 0, 亦即消費者減少第一期的儲蓄以平滑各期消費 第二期 儲蓄的變動量是 s 2 = b 2 b 1 因為 b 1 < 0 且根據第三期預算限 制式, b 2 = c 3 /(1 + r) < 0, 因此 s 2 的正負無法判斷 2d 所得永久性等幅下降使各期消費下降, 消費的變動幅度與所得大抵相 當, 儲蓄的變化不明顯 2e 消費者於 t = 2 時才得知 a 3 將下降, 因此結果是 {c 1, b 1, s 1 } 不變, 但 c 2 及 c 3 下降 第二期的儲蓄 s 2 = a 2 + (1 + r)b 1 c 2 = b 2 b 1 必然增加以使未來消費不致下降太多 2f 條件 c 3 = a 3 表示消費者在進入第三期時, 沒有資產也沒有負債 ( 即 b 2 = 0), 因此 r 2 上升只會產生跨期替代效果, 使 c 1 及 c 2 下降, 而 c 3 上升 若原來的 c 3 > a 3, 則消費者必然在進入第三期時擁有資產 ( 即 b 2 > 0), 因此 r 2 上升還有正向的財富效果, 使各期消費均上升 合併跨期替代效果後, 結果是 c 1, c 2 的變化方向無法確定, 但 c 3 必然上升

58 2 第 9 章世代家庭的消費與儲蓄 6a 終身財富是 x = ( r ) (1 + 1 (1 + r) 2 + 恆常所得是 1 (1 + r) 4 + ) = 360 ( 25 ) = 1, y = ( r 1 + r ) x = (0.25 ) 1, 000 = b 因為 r = ρ, 各期消費等於固定的恆常所得, 即 c t = y = 200, t 第一 期的期末債券量是 b 1 = a 1 c 1 = 60, 因此儲蓄是 s 1 = b 1 b 0 = 60 第二期的期末債券量是 b 2 = a 2 + (1 + r)b 1 c 2 = 0, 因此儲蓄是 s 2 = b 2 b 1 = 60 第三期回到起始狀態, 因此本題奇數期的儲蓄都是 60, 而偶數期的儲蓄都是 60 7a 根據 9.4 節的推導, 各期恆常所得是 y t = rx t /(1 + r) 當 r ρ 時, 各 期消費是 因此消費的增量是 c t = ϕ y t = c t = ϕy t, ϕ = ρ(1 + r) r(1 + ρ), ρ(1 + r) r(1 + ρ) ( r 1 + r ) x t = ( ρ 1 + ρ ) x t 所得暫時上升使財富增加 10,000 元, 因此 c t = 0.1(10, 000) 元 所得暫時上升情況下的 MPC 0.09, 甲的預測高估了將近 10 倍 7b 每期所得增加 10,000 元, 恆常所得也增加 10,000 元, 因此 c t = ρ(1 + r) r(1 + ρ) y 0.1(1.05)(10, 000) t = 19, 091 元 0.05(1.1) 直觀而言, 當 r < ρ 時, 消費者傾向現在消費, 因此消費者會挪移相對 較多的所得至當下消費, 故 MPC > 1, 此時的 MPS < 0

59 部分習題解答 3 8 請參考本文 9.5 節 9a 令 λ t 及 µ T 分別為對應於各期預算限制式及非負條件 b T 0 ( 即不 能倒債 ) 的 Lagrange 乘數, 則 Lagrange 函數可寫成 L = T t=1 β t 1 u(c t ) + 對各期 c t 偏微分, 得到 T t=1 λ t [a t + (1 + r t 1 )b t 1 c t b t ] + µ T b T L c t = β t 1 u (c t ) λ t = 0, t = 1, 2, 3, T 因為消費者僅存活 T 期, 故選擇各期 b t 的一階條件應寫成 L b t = λ t + λ t+1 (1 + r t ) = 0, t = 1, 2, 3, T 1, L b T = µ T λ T = 0 因為 b T 有可能為角解 ( 即 b T = 0), Kuhn-Tucker 定理的互補鬆弛條 件要求 µ T L µ T = µ T b T = 0 上式類似無限生命情形下的橫截條件 9b 根據上小題, b T 的解有兩種情形 : 若 µ T > 0, 則 b T = 0; 若 µ T = 0, 則 b T > 0 然而, µ T = λ T = β T 1 u (c T ) > 0, 因此 b T 必為角解 直觀而 言, 拉式乘數 µ T 衡量的是 b T 的效用價值 在有限生命情形下, 資產 必然存在殘餘效用價值 ( 因為消費的邊際效用大於零 ), 因此消費者會 選擇 b T = 0 的角解 在無限生命模型中, 任何一期的期末資產不需要 等於零, 但要求其極限價值為零, 即 lim T µ T b T = 0