2 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 若預期未來所得上升, 則國民儲蓄及投資下降, 這猶如向未來賒借, 導致 今天的消費上升 簡單的說, 透過資本存量的變動, 整體經濟就如同個人 一樣, 可以將外來干擾的影響 傳導 或 分散 到不同期間, 因此今天和 未來的經濟活動不再互相獨立 本章要延續

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1 14Ramsey 模型的均衡分析 阿達活在一個沒有生產活動的世界, 每天靠椰樹落下的椰果為生 椰果不能儲存, 如果數量太多, 他可以貸放, 數量太少, 他可以賒借, 這是上冊第 8 11 章考慮的稟賦經濟 在這樣一個簡單的世界中, 椰果短暫豐收會有什麼樣的後果? 讀者如果不健忘, 這個問題的分析非常簡單 直觀上, 面對短暫的所得增加, 你我皆知好景不常, 因此都想儲存一些以備不時之需 對整體經濟而言, 當人人都想增加儲蓄時, 其結果必然是無人能夠得逞 用正式的語言說, 當商品市場存在超額供給時, 債券市場必然出現超額需求, 這表示借貸市場的資金過於寬鬆, 市場利率因之下跌, 而消費需求也隨之上升 最終, 掉下的椰果還是要被全數消費! 這個結論的重點是 : 在稟賦經濟中, 國民儲蓄恆為零, 因此整體經濟不能儲蓄, 而未來的消費也不會因為今天人們想要儲蓄而有任何改變 如果阿達能夠爬樹摘果, 以上的結論是否仍然成立? 這要視阿達如何生產而定 在上冊的最後一章中, 我們允許阿達爬樹摘果, 但不能 累積果種, 栽種椰樹 這種生產經濟就如同稟賦經濟一樣, 所有產出都必須在當下消費殆盡, 因此今天和明天仍然沒有管道互通有無 Ramsey 模型中的阿達使用資本進行生產, 面對短暫的所得增加, 個人儲蓄意願上升, 國民儲蓄變成明天的資本投入, 因此未來的生產和消費得以增加 反之, 1

2 2 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 若預期未來所得上升, 則國民儲蓄及投資下降, 這猶如向未來賒借, 導致 今天的消費上升 簡單的說, 透過資本存量的變動, 整體經濟就如同個人 一樣, 可以將外來干擾的影響 傳導 或 分散 到不同期間, 因此今天和 未來的經濟活動不再互相獨立 本章要延續上一章的分析, 為讀者解說外生衝擊對總體經濟的影響 根據福利第一及第二定理, 我們可以從分權經濟的角度切入, 也可以從集 權式經濟的角度切入 ; 前者是讀者熟悉的市場供需模型, 後者是 Crusoe 的荒島模型 學術文獻大多從荒島經濟的角度切入, 但使用到初學者可 能不熟悉的分析工具, 觀念也稍微抽象, 適合研究生閱讀, 我們將在本章 後半段為讀者介紹 14.1 恆定狀態 長期均衡 Ramsey 模型的勞動是外生給定的, 為了簡單, 我們假設恆等於一, 故生產 函數可寫成 y t = A t f (k t 1 ) 延續上一章的討論, 模型的均衡條件包括 : u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ), (14.1) A t+1 f (k t ) = r t + δ, (14.2) c t + [k t (1 δ)k t 1 ] + G t = A t f (k t 1 ) (14.3) 前兩式分別是消費者及廠商最適選擇的一階條件, 最後一式是商品市場 的結清條件 嚴格的說, 除以上三式外, 資本的極限價值也必須等於零, 這 是廠商最適決策的橫截條件 令 q t 表示 t 期商品的折現價格, 則橫截條 件要求 lim q t k t = 0 利用 (14.1) 式, 此一條件也可表達成 ( 請自證 ) lim t βt 1 u (c t )k t = 0 有關上式的直觀意義請參考上一章 13.2 節 本章主要內容與橫截條件無 直接關聯, 讀者如果不熟悉, 可放心略過

3 14.1 恆定狀態 長期均衡 3 給定各期要素生產力 {A t } t=1 及政府消費支出 {G t } t=1, 以上各式共同決定消費, 資本存量及實質利率的均衡時間軌跡 {c t, k t, r t } t=1 當外生變數改變時, 消費, 投資, 產出及市場利率也會隨之變動, 本章的主要目的便是要分析外來干擾對內生變數的動態影響 讓我們先考慮一種最簡單的情況 假設各期要素生產力及政府消費固定不變, 即 A t = A, G t = G, t 這是一個外生變數靜止不動的世界, 對應的均衡狀態當然沒有理由變動, 因此各期消費, 資本存量及實質利率理應都是定值, 寫成 c t = c, k t = k, r t = r, t 這種靜止不動的均衡狀態, 稱為恆定狀態 (steady state) 讀者可將這種靜止狀態想成是經濟社會的長期均衡, 只要外生變數不動, 則長期均衡也不動 Ramsey 模型的恆定狀態必然存在 首先, 根據 (14.1) 式, 當各期消費相等時, 實質利率滿足下式 : 1 = β(1 + r ) r = ρ 對於此一結果, 讀者一定不陌生 當 r = ρ 時, 儲蓄的實質報酬率剛好等於時間偏好率, 此時的各期消費相等 ( 見上冊第 9 章 ) 倒過來說, 恆定狀態要求各期消費相等, 市場利率必須調整到時間偏好率的水準, 才能引導消費者在這樣的水平軌跡上消費 給定各期 A t = A 及 r = ρ, (14.2) 式可寫成 Af (k ) = ρ + δ (14.4) 這是一個簡單但重要的條件, 稱為修正後資本累積金律 (modified golden rule of capital accumulation) 累積金律 ( 或稱黃金法則 ) 首見於成長理論, 我們稍後再為讀者介紹 (14.2) 式或 (14.4) 式要求資本的預期邊際產出等於投資的機會成本, 包括實質利率及資本折舊率, 這是廠商最適決策的必要條件, 無論是否處於恆定狀態, 都必須成立

4 4 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 A E F MPK Af ( k t ) * k k k t 圖 14.1: 恆定狀態下的資本存量 (14.4) 式可單獨決定恆定狀態下的資本存量 圖 14.1 中, 給定各期要素生產力固定不變, 邊際產出曲線 MPK 與成本線 ρ + δ 交於 E 點, 恆定資本存量是 k, 對應的產出水準是 y = Af (k ) 根據資本移動方程式, 投資滿足 i t = (k t k t 1 ) + δk t 1 因為各期資本存量相等, 第一項的淨投資等於零, 故恆定投資等於折舊支出 ( 即 i = δk ), 這是保證資本存量固定不變的必要投資支出 最後, 給定各期 G t = G, 市場結清條件 (14.3) 式決定恆定消費水準 c = Af (k ) δk G 為保證 c 恆大於零, 我們假設 G < y δk 因為恆定狀態下的消費及資本存量靜止不動, 故橫截條件必然滿足 至此, 我們關心的內生變數已全數解出 由以上的分析可知, 資本存量是決定恆定狀態的關鍵變數 ; 只要決定了 k, 其他變數也迎刃而解 觀察 (14.4) 式, 影響恆定資本存量的唯一外

5 14.1 恆定狀態 長期均衡 5 生變數是要素生產力 A 圖 14.1 中, 當 A 上升時, MPK 曲線右移, 但實質 利率仍然等於時間偏好率, 恆定狀態自 E 點移向 F 點, 資本存量增至 k, 產出也隨之上升 恆定狀態下的消費是 c = Af (k ) δk G, 利用修 正後金律 (14.4) 式, A 變動對 c 的影響是 dc da = f (k ) + [Af (k ) δ] dk da = f (k ) + ρ dk da > 0 (14.5) 顯然, A 上升也會使恆定消費上升 直觀上, 一個生產力較高的經濟社會 當然能夠享受較高的產出及消費水準 請注意, 因為實質利率固定不變, 跨期替代效果不存在, 因此消費上升全然是因為財富效果所致 事實上, 上式正是 A 變動對恆常所得的影響 ( 為什麼?) 模型中的另一個外生變數是政府消費支出 G 此類支出不影響廠商 的生產能力, 故當 G 上升時, 資本的邊際生產力不受影響, 因此恆定資本 不變, 產出也不變 既然產出不變, 根據市場結清條件, 恆定消費必然隨 G 上升而等幅下降 此一結論也相當合乎直觀 ; 當 G 上升時, 恆常所得等 幅下降, 財富效果導致各期消費等幅下降 恆定狀態當然也受時間偏好率 ρ 及資本折舊率 δ 這兩個參數影響 當 ρ 上升時, 經濟社會對時間比較 缺乏耐性, 人們相對偏好當下消費, 儲蓄意願較低, 故長期的資本, 產出及消費水準也較低 同理, 折舊率 δ 上 升會打擊投資意願, 導致長期的資本, 產出及消費下降 讀者或許好奇 : 當恆定狀態因生產衝擊而改變時, 我們怎能確知經濟 社會一定會走向新的恆定狀態? 這是一個完全正確而且值得追究的問題 如果恆定狀態 不穩定, 一旦遭受干擾便 上天下地, 永無回頭之日, 則 以上的分析即失去意義 相反的, 如果恆定狀態是 穩定 的, 那麼經濟社 會又是透過什麼力量 收斂 到新的恆定狀態? 這是動態經濟學的分析焦 點, 我們將在本章中為讀者解說 基本上, Ramsey 模型的恆定狀態是穩 定的, 一旦遭受外來干擾, 透過市場供需力量及均衡利率的調整, 資本存

6 6 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析量會逐漸收斂到原來或新的恆定狀態 讀者可能懷疑 : 恆定狀態下的實質利率難道不是固定不變, 永遠等於時間偏好率嗎? 不錯, 但這意思不是說, 面臨外生衝擊, 當下的市場利率不會改變 我們暫且按下不表, 留待後文再為讀者解說 實例考慮以下的實例 假設生產函數是 y = Ak α, α (0, 1) 此時的 (14.4) 式可寫成 αak α 1 = ρ + δ, 移項整理並代回生產函數, 恆定資本存量及產出水準分別是 k = A 1 1 α ( α ρ + δ ) 1 1 α 及 y = A 1 1 α ( α ρ + δ ) α 1 α 正如前述, A 上升會使 k 及 y 上升, 而 ρ 上升或 δ 上升使兩者下降 進 一步觀察, 我們發現 A 變動導致 k 及 y 等比例變動, 故恆定狀態下的 資本產出比 (capital-output ratio) 與 A 無關, 兩者的比值是 k y = α ρ + δ 這是一個重要的總體指標, 在成長理論中扮演關鍵角色 根據資料, 台灣 及美國的資本份額約為 α = 40% 若時間偏好率 ρ = 3%, 折舊率 δ = 10%, 則資本產出之比約為 0.4/0.13 3, 這表示三單位的有形資本大約可以創 造一單位的產出 此一預測與台灣及美國的歷史經驗頗為一致 14.2 生產衝擊的均衡分析 本節要利用市場供需模型分析生產衝擊的均衡效果 模型中包括商品, 勞動及債券等三個市場, 但因為均衡勞動恆等於一, 我們可忽略勞動市場 此外, 根據 Walras 市場法則, 若商品市場達成均衡, 則債券市場也必然處

7 於均衡狀態, 因此真正關鍵的是商品市場結清條件 : ct d ( r t, a t, ) + it d ( r t ( ) (+) ( ), A t+1 (+) 14.2 生產衝擊的均衡分析 7, k t 1, ) + G t = A t f (k t 1 ) ( ) 上式左邊的商品需求包括消費需求 c d t, 投資需求 i d t 及政府消費支出 G t 首先, 消費需求及投資需求是利率的負向函數, 這不必再多說 其次, 當外 生所得 a t ( 即股利所得減定額稅淨額 ) 上升時, 消費需求上升, 這是財富 效果 除利率外, 影響投資需求的還有未來的要素生產力 A t+1 ( 請注意, 不是當期的 A t ); 唯有未來生產力上升才會刺激廠商的投資意願 最後, 若期初資本存量 k t 1 上升, 則投資需求下降 給定 A t 及 k t 1, 上式右邊 的商品供給 y t = A t f (k t 1 ) 是一個外生的前定 (predetermined) 變數 此 一特徵與稟賦模型類似, 但因為存在資本投入, 未來的商品供給和投資需 求會受今天廠商投資的影響, 因此今天和未來的市場均衡不再互相獨立, 這是 Ramsey 模型的關鍵特徵 要素生產力短暫上升的當期效果 讓我們先考慮要素生產力 A t 短暫上升的均衡效果 為方便討論, 假設 經濟社會原來處於恆定狀態, 各期要素生產力 A t = A, 市場均衡落於圖 14.2(a) 的 E 點, 產出及利率分別是 y = Af (k ) 及 r = ρ 面對此一均 衡利率, 廠商的最適選擇也落於右圖的 E 點, 期待資本存量是 k 假設 t 期的要素生產力從 A 升至 A, 但未來各期維持不變 給定期 初資本存量 k, 此一短暫衝擊使當期產出增加, 商品供給右移至 A f (k ) 的藍線位置 商品需求方面, 由於未來的生產力並未改變, 廠商沒有理由 改變他們的投資選擇, 因此投資需求不變 對消費者而言, 產出增加導致 股利所得增加, 但因為持續時間極為短暫, 恆常所得或消費需求的增幅有 限, 我們忽略不計 綜合上述, 短暫的生產衝擊不影響商品需求, 因此在原 利率水準下, 商品市場出現 ES 的超額供給, 造成利率下降壓力 從消費

8 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 8 (a) 商品市場 rt (b) 動態調整 Af ( k * ) Af ( k F ) A f ( k * ) E S E a a rf c y * F F d ytd y F rf Af ( kt ) yt k * k F kt 圖 14.2: 要素生產力短暫上升的均衡效果 者的角度看, 面對所得短暫增加, 儲蓄意願上升, 導致借貸市場資金寬鬆, 利率因而下跌 隨著利率下跌, 消費及投資需求上升, 商品需求量沿著 y dt 曲線自 E 點移向 F 點, 利率水準降為 r F 與原均衡比較, 產出, 消費及投 資均上升 圖14.2(b) 中, 生產力短暫上升不影響資本的預期邊際產出, 但 因為利率下降了, 資本存量從 k 增至 k F 直觀而言, 利率水準反映產出的相對稀少性; 當商品供過於求時, 市 場利率下跌, 消費及投資的機會成本較低, 市場引導消費者及廠商增加支 出 此一結論與稟賦模型相似, 但存在一個關鍵不同 在稟賦經濟中, 商 品不能累積, 如果落下的椰果太多, 利率必須降至相當水準才能引導消費 者消化掉多餘的椰果 在 Ramsey 的世界裡, 除消費需求外, 廠商的投資 需求也可以消化椰果 根據上一章的分析, 我們知道投資對利率變動極 為敏感, 因此當利率下降時, 商品的超額供給將主要由廠商投資吸收 對 整體經濟而言, 廠商投資有如一個避震器, 可以緩衝外來干擾對消費者的 影響, 這是活在稟賦經濟的阿達多麼期盼擁有的能力! 毛慶生 (April 20, 2018)

9 14.2 生產衝擊的均衡分析 9 明天過後 : 資本累積與動態調整 廠商累積了 k t = k F > k 的資本存量進入 t + 1 期, 此時生產力降回原來水準, 但資本投入增加了 正常情形下, 資本增加對產出的影響相對較小, 故商品供給會從藍線左移到 Af (k F ) 的虛線位置, 亦即, 產出雖因衝擊消失而下降, 但仍高於原始的恆定水準 另一方面, 期初資本存量上升也會使 t + 1 期的投資需求下降, 但不影響消費需求 讀者或許疑惑 : 為什麼消費需求不受影響? 或者更正確的說, t + 1 期的消費需求曲線不因期初資本存量改變而移動 這是因為恆常所得變動導致各期消費需求等幅變動, 此一財富效果已在昨天衝擊發生時充分反映, 更何況本例的衝擊極為短暫, 財富效果小到可忽略不計 綜合上述, 經濟社會進入 t + 1 期後, 商品需求也會和商品供給一樣, 左移到圖中的藍色虛線位置 期初資本變動對商品供給及需求的影響方向相反, 一般情形下約略抵銷, 故生產力回降是影響 t + 1 期商品市場的主要力量, 導致市場出現 cd 的超額需求, 利率因之上升, 均衡自 F 點移向 a 點 隨著利率上升, 廠商的最適選擇也從圖 (b) 中的 F 點移向 a 點, 資本存量回降 明天過後, 要素生產力固定不變, 但隨著資本存量下降, 商品供給線逐漸左移, 而商品需求線逐漸右移, 導致利率持續上升, 而資本存量也會沿著 MPK 曲線繼續下降, 最後回到原來的恆定狀態 E 點 文獻中, 這種漸進的收斂過程稱為過渡期間調整過程 (transitional dynamics) 讀者看到, Ramsey 模型的恆定狀態是穩定的 ; 面對短暫的生產干擾, 市場供需力量會引導經濟社會回到原來的恆定狀態 這種收斂過程究竟要花多少時間才能完成? 此一問題取決於外生衝擊的持續性, 也與廠商的生產技術及消費者偏好有關, 我們留待適當時機再為讀者補充 ( 見習題 3f 及 9c) 以下要考慮永久性生產衝擊對市場均衡的影響 讀者知道, 這種干擾會改變恆定狀態

10 10 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析要素生產力永久上升的當期效果與前面一樣, 假設經濟社會原來處於恆定狀態, 市場均衡及廠商的最適選擇分別落於圖 14.3(a)-(b) 的 E 點 假設從 t 期開始, 因為技術進步, 要素生產力從 A 永久上升至 A 給定期初資本存量 k, 此一衝擊對當期產出的影響與短暫衝擊沒有什麼不同, 同樣會使商品供給線右移至 A f (k ) 的藍線位置, 產出增加 ES 單位 永久性生產衝擊對商品需求的影響與短暫衝擊截然不同 首先, 生產技術改善必然會影響廠商的投資決策 圖 14.3(b) 中, A 永久上升使 MPK 曲線右移, 在原利率水準下, 期待資本存量從 k 增至 k, 導致投資需求上升 對消費者而言, 衝擊發生當期的股利所得 d t = y t i t 可能增加, 也可能減少, 因為廠商投資支出的增幅可能大於或小於產出的增幅 然而從第一節的分析可知, A 永久上升會使消費者的終身財富增加, 因此不論短期所得如何變化, 消費需求必然上升 事實上, 利用 (14.5) 式, 在原利率水準 r t = ρ 下, A 上升對恆常所得或消費需求的影響約為 ct d f (k ) A + ρ k t 對應到圖 14.3(a), 上式的第一項即是產出的增幅 ES, 而第二項大於零, 故 c d t > ES 直觀而言, 若資本存量永遠維持在原來的恆定水準 k, 則各 期所得等幅增加 ES 單位, 然而生產力上升會使未來的資本存量及所得上升, 因此恆常所得或消費需求的增幅必然大於 ES 單位 綜上所述, 即使不考慮廠商的投資需求, 商品市場已經出現了超額需求 用白話說, 這是一個 今天日子好過, 但未來更好過 的美好世界, 消費者會減少儲蓄, 試圖挪移一些未來所得到今天享受 既然消費需求及投資需求都增加, 而消費需求的增幅又大於產出的增幅, 因此商品市場必然供不應求 如圖所示, y d t 曲線右移至 D 點的藍線位置, 在原利率水準下, 商品市場出現 SD 的超額需求 讀者還記得, 生

11 14.2 生產衝擊的均衡分析 11 (a) 商品市場 (b) 動態調整 r t * * Af( k ) A f( k ) A f( k ) A f ( k t ) F r F F F r E S G D E G * y F y y d y t y t * k F k k Af ( k t ) k t 圖 14.3: 要素生產力永久上升的均衡效果 產力短暫上升使商品供過於求, 而此處的永久性上升卻會使商品供不應求, 這是兩者的主要不同 既然商品市場存在超額需求, 則利率會開始上升, 而消費及投資也會沿著商品需求線下降, 直到新的均衡點 F 為止, 利率水準升至 r F 從儲蓄的角度看, 利率之所以上升是因為 未來的日子實在太好過了, 消費者減少儲蓄, 造成借貸市場資金緊俏, 導致利率上升 讀者請自行繪圖補充債券市場的供需變動 生產力上升使產出增加, 給定政府支出固定不變, 消費及投資的加總量必須等幅增加, 否則均衡無法維持, 但因為利率上升了, 消費及投資的個別變動方向似乎難以確定 首先, 財富效果使消費需求上升, 而利率上升的跨期替代效果卻使消費需求下降 若財富效果大於替代效果, 則均衡消費上升, 反之則下降 同樣的, 資本生產力上升使投資需求上升, 而利率上升卻使投資需求下降, 因此投資如何變化似乎也無從得知 然而, 利率上升對投資只有部分的抵銷效果, 因為利率之所以上升, 反映的正是生產力上升後的資本變得更具有吸引力 ( 即 MPK 上升 ), 資金從債券市場

12 12 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析流向商品市場購買資本設備, 故最後的投資仍會增加 後面的 14.4 節還會針對投資及消費的變動進一步補充 圖 14.3(b) 中, 在原利率水準下, 廠商想要增加 (k k ) 的投資, 但卻無法如願, 利率上升後, 最適選擇落於 F 點, 資本存量只能從 k 增至 k F < k 的水準 明天過後 : 過渡期間調整過程廠商累積了 k t = k F > k 的資本存量進入 t + 1 期, 此時的要素生產力仍然是 A, 但因為資本投入增加了, 產出會進一步上升, 導致商品供給線右移 此外, 期初資本存量增加也會使 t + 1 期的投資需求下降, 但不影響消費需求 ( 因為財富效果已在衝擊發生時充分反映 ), 導致商品需求線左移 既然商品供給增加而需求減少, 故市場利率會開始下降, 而廠商的期待資本存量也會沿著 MPK 曲線上升, 直到新的恆定狀態 G 點為止 在商品市場中, 以上的資本累積過程使商品供給線持續右移, 而商品需求線持續左移, 直到最後的藍色虛線位置為止 此時, 市場均衡落於 G 點, 整體經濟收斂到新的恆定狀態, 市場利率再度等於時間偏好率, 資本存量及產出分別增至 k 及 y = A f (k ), 消費當然也上升 時間軌跡 : 衝擊反應函數圖 14.4 畫出資本存量, 消費及實質利率對生產干擾的動態反應, 稱為衝擊反應函數 (impulse response function) 假設經濟社會原來處於恆定狀態 根據本節的分析, 當要素生產力短暫上升時 ( 黑色實線 ), 因為產出供過於求, 消費者的儲蓄意願上升, 導致利率下跌, 消費及投資因而上升 衝擊消失後, 利率回升, 資本存量及消費也逐漸回到原來的恆定狀態 如圖所示, 廠商投資有如一個避震器, 可以將今天的生產干擾傳導到未來, 使各期消費均能 雨露均沾 顯然, 透過資本累積, 消費者更容易平滑消費 在稟賦經濟中, 這種傳導機制 (propagation mechanism) 不存在 ; 今

13 14.2 生產衝擊的均衡分析 13 要素生產力 期末資本存量 A k A * k 時間 消費 時間 實質利率 c * c 時間 時間 圖 14.4: 衝擊反應函數 : 生產衝擊的動態效果 天椰果豐收, 你我都想儲存一些, 但整體經濟卻沒有管道吸納這些儲蓄, 最後只好全數落入肚中 當要素生產力永久上升時 ( 藍色虛線 ), 恆定或長期的資本存量及產出上升 ; 這是一個 今天好過, 但未來更好過 的世界 為了增加今天的消費, 人們企圖向未來舉借, 而廠商也想增加投資, 但當下的產出卻無法支應, 導致市場利率上升 假設財富效果對消費的影響大於市場利率上升的跨期替代效果, 則消費及資本存量同步上升 請注意, 因為利率上升了, 經濟社會還無法立即進入新的恆定狀態 當投資的列車開動後, 資本存量逐漸上升, 導致邊際生產力及實質利率回降, 透過跨期替代效果, 消費逐漸上升, 直到收斂至新的恆定狀態

14 14 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析圖 14.4 清楚顯示 : Ramsey 模型的恆定狀態是穩定的 ; 一旦受到干擾, 市場均衡會自動向恆定狀態趨近 這是一種漸進的收斂過程, 無須外力刻意操弄, 也沒有什麼 蹊徑小道, 就像上了付費高速公路, 總有一天會抵達終點, 傳統文獻將這種特徵稱為大道性質 (Turnpike Property) 有些學者質疑 : 市場經濟真的像 Ramsey 模型描繪得那麼 美妙 嗎? 晚近的混屯理論 (Chaos Theory) 甚至認為 : 經濟世界是一個極端混亂, 幾乎無可預測的動態體系, 哪有什麼恆定狀態可言? 這些饒富興味的問題已經超出本書範圍, 有興趣的讀者可參考其他文獻 生產衝擊與景氣波動本節的分析對我們理解當代景氣波動有幾點值得一提 首先, 根據上冊第 3 章的實證分析, 民間消費及投資在景氣波動過程中屬於順向循環變數, 兩者與產出同向變動, 而實質利率為逆向循環變數, 與產出反向變動 以台灣為例, 消費及投資與實質 GDP 的相關係數約為 0.6, 實質利率約為 0.3 造成以上現象的原因當然不只一端, 但讀者知道, 供給面衝擊是導致各國 70 年代以來景氣波動的主要原因 本節的理論模型預測 : 生產力衝擊會使消費, 投資及產出同向變動, 但實質利率的變動要看衝擊的持久性而定 ; 短暫的生產力衝擊 ( 如油價波動 ) 使利率與產出反向變動, 而永久性衝擊 ( 如技術進步 ) 使兩者同向變動 現實世界中, 天晴天雨, 時而短暫, 時而持久, 因此利率與產出僅呈現中度的負相關 綜合言之, 理論模型對變數相關性具有相當的解釋能力 其次, 在景氣波動過程中, 民間投資的波動幅度最為劇烈, 實質產出次之, 民間消費則最為平穩 以標準差衡量, 台灣民間投資的波動幅度大約是實質 GDP 的 4 倍, 而非耐久財及服務消費僅為 60% 此一現象也與本節的理論預測一致 簡單的說, 投資需求對利率變動極為敏感, 在景氣波動過程中扮演緩衝角色, 不但可以吸收 震波, 減緩消費的波動, 也可以

15 14.3 政府消費增加的均衡分析 15 將衝擊的影響分散到未來 正因為這種資本累積的傳導機制, 我們的模型也預測, 景氣波動具有相當的持續性, 這是各國景氣波動的另一個定型特徵 以台灣為例, 實質 GDP, 民間消費及民間投資的一階自我相關係數約為 0.8, 實質利率更高, 約為 政府消費增加的均衡分析 除供給面衝擊外, 影響景氣波動的因素還有諸多來自需求面的干擾, 其中最常見的便是政府提振內需的政策手段 仿照上節, 本節也要利用市場供需模型分析政府消費增加的動態效果 圖 14.5 中, 經濟社會原來處於 E 點的恆定狀態, 政府於 t 期增加消費支出, 但其他各期維持不變 ; 這是一個暫時性的提振內需政策 首先, 給定期初資本存量 k 及要素生產力 A 不變, 此一政策不影響當期產出, 故商品供給線不動 其次, 政府消費不影響資本的邊際生產力, 故在原利率水準下, 廠商的投資需求不變 最後, 政府支出增加導致消費者的終身財富下降, 但因為持續時間極為短暫, 恆常所得或消費需求的變動微乎其微, 我們忽略不計 讀者當記得, 政府支出增加對恆常所得的影響不因融通手段而有不同 ; 定額稅融通使消費者的當期所得下降, 但未來所得不變, 而赤字融通不影響當期所得, 但未來所得下降 簡單的說, 無論今天繳稅或未來繳稅, 消費者恆常所得的下降幅度都相同 綜合上述, 政府消費短暫增加不影響民間的投資及消費需求, 但因為政府的商品購買量增加了, 商品需求曲線右移至 D 點的藍線位置 如圖所示, 在原利率水準下, 商品市場出現 ED 的超額需求, 造成利率上升壓力 從儲蓄的角度看, 政府若採取租稅融通手段, 則消費者的儲蓄意願下降, 但若採取赤字融通手段, 則消費者的儲蓄意願雖然上升, 但仍不及政府儲蓄的下降 ( 為什麼?) 因此, 不論政府採取哪種融通手段, 國

16 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 16 (b) 動態調整 (a) 當期效果 rt * Af ( k ) F r F d c F rf a a E D E ytd y * Af ( kt ) yt k F k * kt 圖 14.5: 政府消費短暫上升的均衡效果 民儲蓄 (即民間儲蓄加政府儲蓄) 都會下降, 造成借貸市場資金緊俏, 市 場利率因而上升 隨著利率上升, 消費和投資下降, 商品需求量沿著 y dt 曲線從 D 點移向 F 點, 利率水準升至 r F 與原均衡比較, 產出水準不變, 但民間消費及廠商投資都下降 圖 14.5(b) 中, 廠商原來選擇 E 點, 利率上 升後, 資本存量從 k 降為 k F 政府支出增加導致民間支出減少的現象, 稱為排擠效果 (crowdingout effect) 以上的結論指出: 政府消費增加不但會排擠民間消費, 也會 排擠廠商的投資支出 此一排擠效果對廠商投資尤其明顯, 因為投資需 求對利率變動極為敏感 在 Ramsey 模型中, 因為各期產出是一個前定 變數, 政府支出增加不影響當期產出, 但因為投資被排擠了, 今天的提振 內需政策反而會使未來的產出下降 經濟社會進入 t + 1 期, 政府消費降回原來水準, 但因為期初資本存量 下降了, 投資需求略升, 導致商品需求移至虛線位置, 而商品供給也同步 左移 一般情形下, 資本存量變動對商品供需的相反影響約略抵銷, 故市 毛慶生 (April 20, 2018)

17 14.3 政府消費增加的均衡分析 17 政府消費支出 期末資本存量 * k G 時間 消費 時間 實質利率 * c 時間 時間 圖 14.6: 衝擊反應函數 : 政府消費短暫上升的動態效果 場出現 cd 的超額供給, 利率因之下跌, 均衡自 F 點移向 a 點 圖 (b) 中, 廠商的資本存量也隨利率下降而開始回升 明天過後, 資本存量變動是影響市場供需的唯一因素, 隨著資本存量回升, 商品供給線逐漸右移, 商品需求線逐漸左移, 最後回到原來的 E 點 總結以上分析, 圖 14.6 畫出政府消費短暫變動的衝擊反應函數 當政府消費短暫增加時, 市場利率因為商品供不應求而上升 面對此一政策, 民間不但減少消費, 同時也減少投資, 試圖將消費者的 痛苦 分散到以後各期 讀者看到, 投資在這裡也扮演避震功能, 減緩衝擊對消費的影響 在過渡期間, 因為資本存量下降, 商品產出低於長期恆定水準 此一結論或許會令讀者 不安 ; 政府增加支出不能刺激生產也就罷了, 竟然還導

18 18 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 致未來的產出下降! 現實世界裡的政府 頭殼壞了嗎? 其實, Ramsey 模 型有其侷限, 不完全適合用來為這個問題定調 政府增加消費的產出刺 激效果要納入勞動選擇後才有討論空間, 我們留待以後的實質循環模型 再為讀者補充 讀者一定也想問: 政府消費永久增加會有什麼後果? 特別是, 與短暫 增加的效果有何不同? 在 Ramsey 模型中, 這個問題的分析簡單到不行, 容作者賣個關子, 當作習題讓諸位思考 (見習題 2) 14.4 荒島經濟的動態均衡分析* 本節要從荒島經濟的角度分析 Ramsey 模型的動態均衡, 這是一個沒有 市場的經濟社會, 所有經濟活動, 包括生產, 消費及投資, 都聽命於一位無 所不能的 真主阿拉, 或由一位代表性個人獨立完成 讀者還記得, 這個 代表性決策者的最適選擇即是福利極大的柏拉圖狀態, 也是市場經濟的 競爭均衡 本節稍微抽象但不難, 初學者也應試試看 為了簡單, 我們不考慮政府消費, 同時假設各期要素生產力為一定值 給定起始資本存量 k0 > 0, 荒島上 Crusoe 的跨期選擇問題是 max {c t,k t } t=1 β t 1 u(c t ) t=1 subject to c t + [k t (1 δ)k t 1 ] = Af (k t 1 ), t (14.6) 上述問題的最適解要求 Crusoe 累積果種, 延後消費 的效用成本等於 效用增益, 為方便後文討論, 我們以落後一期表示: u (c t 1 ) = βu (c t ) [1 δ + Af (k t 1 )], t (14.7) 這是最適選擇的一階條件, 又稱歐勒方程式 (Euler equation) 除 (14.6)(14.7) 兩式外, 最適解也必須滿足橫截條件: lim β t 1 u (c t )k t = 0 t 毛慶生 (April 20, 2018) (14.8)

19 14.4 荒島經濟的動態均衡分析 * 19 用白話說, 橫截條件要求資本存量沒有極限效用價值, 這表示資本的價值已經被 榨乾 了, 沒有再利用的空間, 這是保證 Crusoe 終身效用已達極限的充分條件 相位圖 (14.6)-(14.7) 兩式形成一組包括消費及資本存量的動態體系, 我們可以利用所謂的相態圖或相位圖 (phase diagram) 分析這兩個變數的變動方向 相位圖是一種定性的分析工具, 可用來判斷體系的變化趨勢, 在動態經濟學中應用廣泛 首先, 為方便判斷, 讓我們將歐勒方程式 (14.7) 改寫成 u (c t 1 ) u (c t ) = 1 δ + Af (k t 1 ) 1 + ρ 觀察上式, 前後兩期消費的關係取決於期初資本存量 k t 1, 可分三種情形討論 : (1) 若 k t 1 剛好落於恆定水準 k, 則根據修正後累積金律 (14.4) 式, Af (k ) = ρ + δ, 上式右邊等於一 此時的 u (c t ) = u (c t 1 ), 故前後期消費必然相等, 寫成 c t = c t c t 1 = 0; (2) 若 k t 1 < k, 則根據邊際產出遞減性質, Af (k t 1 ) > Af (k ) = ρ + δ, 上式右邊大於一, 此時的邊際效用隨時間遞減, 表示消費隨時間遞增, 故 c t > c t 1 或 c t > 0; (3) 同理, 若 k t 1 > k, 則 c t < 0, 消費隨時間而下降 對於以上結果, 讀者應該不陌生 事實上, 荒島上 Crusoe 的行為與面對市場利率的消費者並無不同 在市場經濟中, 若實質利率大於時間偏好率, 則消費者會選擇不斷成長的消費型態, 這道理不必再多說 荒島上雖然沒有價格, 但 Af (k t 1 ) δ 其實就是資本的影子利率, 這是 Crusoe 消費的機會成本或投資的邊際報酬 當 k t 1 < k 時, 此一邊際報酬大於時間偏好率, Crusoe 自然會延遲消費, 選擇不斷成長的消費型態, 這種行為與消費者面對 r > ρ 時的反應完全相同

20 20 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析圖 14.7(a) 在 (k t 1, c t ) 空間中畫出消費的變動趨勢, 橫軸是任意 t 期的起始資本存量 k t 1, 縱軸是該期的消費水準 c t 從以上的分析可知, 當 k t 1 = k 時, 前後期消費相等, 故 c t = 0 是一條垂直線 請注意, 此時我們唯一能確定的是 c t = c t 1, 但 c t 會落於何處仍然未知, 這要等到考慮資源限制及橫截條件後才能確定 其次, 若 k t 1 < k, 則 c t > 0, 此時的消費隨時間而上升, 我們以向上遞增符號表示消費的變動方向 最後, 若 k t 1 > k, 則 c t < 0, 消費隨時間而下降 綜合上述, 期初資本存量的相對位置決定跨期消費的變化趨勢, 但資本存量如何變動則必須借助另一個均衡條件, 即資源限制式 (14.6) 仿照前面的步驟, 讓我們將 (14.6) 式中的淨投資 k t = k t k t 1 移到左邊, 改寫成 k t = k t k t 1 = [Af (k t 1 ) δk t 1 ] c t 用白話說, 淨投資等於產出減資本折舊再減消費 顯然, 給定任何期初資本存量 k t 1, 淨投資 k t 或期末資本存量 k t 的變動方向取決於消費水準 c t, 同樣可分三種情形討論 : (1) 當 c t = Af (k t 1 ) δk t 1 時, 淨投資 k t = 0, 這表示資本存量固定不變 ; (2) 當 c t < Af (k t 1 ) δk t 1 時, 荒島上仍有多餘的產出可供累積資本, 故 k t > 0; (3) 當 c t > Af (k t 1 ) δk t 1 時, 淨投資 k t < 0, 資本存量隨時間而下降 圖 14.7(b) 同樣在 (k t 1, c t ) 空間中畫出資本存量的變動趨勢 首先, 假設 δ > 0, 則 k t = 0 或 c t = Af (k t 1 ) δk t 1 是一條先升後降的曲線 ( 請自行驗證 ) 給定任何 k t 1, 只要 c t 落在這條曲線上, 則 k t = k t 1, 資本存量維持不變 其次, 若 c t < Af (k t 1 ) δk t 1, 則 c t 落於 k t = 0 曲線的內側, 此時 k t > 0, 資本存量隨時間而上升, 我們以右增符號表示資本存量的變動方向 最後, 若 c t > Af (k t 1 ) δk t 1, 則 c t 落於 k t = 0 曲線的外側, 此時 k t < 0, 資本存量隨時間而下降

21 14.4 荒島經濟的動態均衡分析* (a) 歐勒方程式 消費變動 ct 21 (b) 資源限制式 資本變動 ct ct 0 kt 0 Af (k ) Af ( k * ) ct 0 ct 0 kt 0 kt 0 k* kt 1 k* k 圖 14.7: 相位圖分析 累積金律 (黃金法則) 與修正後金律 繼續分析之前, 我們要暫時岔開話題, 為讀者介紹累積金律或黃金法則的 觀念 圖 14.7(b) 標示兩個特殊的資本存量水準 k 及 k 首先, 若 k = k, 則 Af (k ) = ρ + δ, 這是保證福利極大的修正後金律 其次, 當 k = k 時, 消費達到最高點, 此時的資本邊際產出 Af (k) 等於折舊率 δ, 這是消費 極大的一階條件 直觀而言, 若 k < k, 則邊際產出大於資本折舊, 消費仍 有增加空間, 而當 k > k 時, 邊際產出小於資本折舊, 消費隨資本增加而 下降 顯然, 在資本固定不變情形下, Af (k) = δ 能夠保證長期消費水準 極大, 此即傳統文獻所稱的資本累積金律或黃金法則 根據邊際產出遞 減性質, 因為 Af (k ) = ρ + δ > Af (k), 故 k 必然大於 k 黃金法則源自早期的 Solow-Swan 成長模型 當時的經濟學家追問 一個在今天看來仍然深具意義的問題: 如果我們想為後代子孫謀求最大 的經濟福祉, 究竟應累積或留下多少生產性資本? 這個問題或許與西方 的基督教精神有關 聖經說: 你要人如何待你, 便應如何待人, 推而廣 毛慶生 (April 20, 2018) kt 1

22 22 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析之, 這種 愛人如己 的金律當然也應該適用於尚未出生的未來世代 基於這種信念, 追求未來消費極大的黃金法則曾被奉為政府諸多成長政策 ( 特別是獎勵儲蓄 ) 的終極目標, 但時至今日, 已經沒有多少經濟學家還堅持這種論調了, 主要理由有二 第一, 黃金法則要人 推己及人, 己所欲應施於人, 這種無私的道德準則固然可貴, 但東方的儒家也說 : 己所不欲, 勿施於人, 後人的享受難道不必體恤前人的犧牲? 黃金法則完全未考慮後人消費乃是以前人的消費為代價, 對整體經濟社會而言, 今天消費和未來消費應該要同時考慮才是持平之論 政府若透過政策手段硬將資本存量挪至黃金法則水準, 則整體社會的福利必然下降 第二, 黃金法則忽略了投資的機會成本 ( 即實質利率 ), 因此資本會過度累積, 導致長期資本存量 k 高於社會福利極大時的 k 根據前兩節的分析, 我們知道修正後累積金律保證社會福利極大, 而且是市場經濟的唯一長期均衡, 因此黃金法則的境界有如 海市蜃樓, 不但荒島上的 Crusoe 吝於選擇, 在市場經濟中也不可能實現 有關黃金法則, 我們還會在以後的成長模型補充 馬鞍路徑回到主題, 讓我們合併前面的 (a)-(b) 兩圖, 同時考慮消費及資本存量的變動 圖 14.8 中, 當 c t = k t = 0 時, 體系落於 E 點的恆定狀態, 消費及資本存量靜止不動 如圖所示, 以 c t = 0 及 k t = 0 兩線為界, 平面空間可以隔成四個區域, 分別以箭頭標示消費及資本存量的變動方向 例如, 考慮東北區域的 A 點 此時的 c t < 0 且 k t < 0, 故消費及資本存量隨時間遞減, 然而一旦越過 c t = 0 進入左側的 c t > 0 區域, 則資本存量持續下降, 但消費卻開始上升 同理, 若從 B 點開始, 則消費及資本終將穿越 k t = 0 進入 k t > 0 區域, 此時的消費持續下降, 但資本存量開始上升 這些動態路徑全都滿足歐勒方程式及資源限制式

23 14.4 荒島經濟的動態均衡分析 * 23 c t c t 0 a A f B * c E b k t 0 c 1 c d e k 0 * k k 0 kt 1 圖 14.8: 相位圖分析 : 馬鞍路徑 荒島經濟從 t = 1 開始, 假設 Crusoe 的起始資本存量 k 0 仍然低於恆定水準 k 為了決定消費及資本存量的動態路徑, 我們必須知道 Crusoe 在 t = 1 時究竟吃掉了多少椰果, 即起始期的消費水準 c 1 假設 c 1 落於西北區域的 a 點位置, 此時的 c 1 > Af (k 0 ) δk 0, 故 k 1 < k 0, 這表示 Crusoe 一漂流到荒島即開始 吃老本 從 a 點開始, 因為 k t < 0 且 c t > 0, 資本存量隨時間而遞減, 但消費卻不斷增加! 如果 Crusoe 能夠 倒債, 資本存量終將全數耗盡, 甚至變成負值 這種情形不可能發生, 因為資本不是債券, 可以變成負值, 而且資本不斷下降, 產出也不斷下降, 消費豈能持續增加? 簡單的說, 從 a 點開始的動態路徑, 各期消費的折現總值將大於產出的折現總值, 終身預算不允許 Crusoe 選擇 a 點 ( 見習題 14) 其次, 考慮落於 k t = 0 曲線上的 b 點 此時的資本存量雖然不變, 但消費仍

24 24 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 會上升, 從而進入西北的發散區域, 因此 b 點也不可能 如果 c 1 落於略低 的 c 點, 則資本存量及消費隨時間遞增, 但因為 c 點非常接近 k t = 0, 故 消費上升的力量相對較強, 動態路徑終將穿越 k t = 0 進入 資本下降, 消費上升 區域 顯然, a, b, c 三點對應的 c 1 都太高了, Crusoe 想要選擇, 但生產技術及終身預算不允許! 最後, 考慮 c 點下方的 d 點 此時的消費及資本存量隨時間上升, 但 因為資本成長的力量相對較強, 動態路徑終將穿越 c t = 0 進入右側的 c t < 0 區域, 導致資本存量持續增加, 但消費卻不斷下降 Crusoe 不是 守財奴, 這種情形也不可能發生 想像荒島上椰樹滿山遍野, Crusoe 累 積了堆積如山的椰果, 卻吝於消費, 這怎麼可能是他的最適選擇? 直觀上, 他只要多吃一些 ( 不必多, 一點點就足夠 ) 就能提升他的終身效用 事實 上, 任何動態路徑只要進入 資本上升, 消費下降 的東南區域, 就必然違 反橫截條件 (14.8) 式 更嚴謹的說, 讓我們利用 (14.7) 式將 (14.8) 式改寫成 lim t βt 1 u (c t )k t = u (c 1 ) lim q t k t = 0, t 其中的影子折現價格 q t 是 ( 請自行驗證 ) q t = 1 [1 δ + Af (k 1 )] [1 δ + Af (k t 1 )] 若動態路徑進入東南區域, 則資本存量隨時間成長 根據邊際產出遞減 性質, 當 k t 越過黃金法則水準 k 後, Af (k t ) < δ 或 1 δ + Af (k t ) < 1, 上 式分母的連乘積將隨時間遞減, 故 q t 隨時間遞增 顯然, lim q t k t > 0, 違 反橫截條件 簡單的說, 從 d 點開始的動態路徑, 各期消費的折現總值會 小於產出的折現總值 ( 見習題 14), 這表示終身效用仍有增加空間, Crusoe 不可能 笨 到選擇這樣的消費路徑 綜合上述, a, b, c 三點技術上不可能, 而 d 點違反效用極大的橫截條 件, 故起始期的最適消費 c 1 必然落於 c, d 兩點之間, 如 e 點 從該點開

25 14.4 荒島經濟的動態均衡分析 * 25 始, 消費及資本存量逐期遞增, 最後收斂至恆定狀態 E 點, 這是唯一滿足資源限制式 (14.6), 歐勒方程式 (14.7) 及橫截條件 (14.8) 式的動態路徑 顯然, 以上的推論也適用於其他起始資本水準 如圖所示, 若 k 0 > k, 則起始最適消費 c 1 會落於東北區域的 f 點 從該點開始, 消費及資本存量逐期下降, 最後也收斂至 E 點 讀者清楚看到, 通過 E 點夾著兩條性質截然不同的動態路徑, 情形有如 Crusoe 跨坐馬背, E 點是鞍點 (saddle point), 一條從 e 點或 f 點向鞍點收斂, 這是穩定的馬鞍路徑 (saddle path), 另一條則從鞍點向外發散, 這是不穩定的馬鞍路徑 從以上的分析可知, 指向西北的路徑違反終身預算限制, 而指向東南的路徑違反橫截條件, 故最適消費及資本存量必然落於穩定的 東北- 西南 馬鞍路徑上 生產衝擊的相位圖分析本節最後要利用相位圖分析生產衝擊的動態效果 圖 14.9(a) 中, 荒島原來處於 E 點的恆定狀態, 想像某日 風調雨順, 要素生產力 A t 上升, 但次期即降回原來水準 此一衝擊使 k t = 0 曲線暫時外移至藍色虛線位置, 但因為持續時間極為短暫, 恆定資本存量 k 不受影響, 故 c t = 0 線不動, 原來的馬鞍路徑 AB 也不動 給定起始資本存量 k t 1 = k, 荒島上的椰果增加 EF 單位, 可用於消費及投資 顯然, Crusoe 的最適選擇會落於 E, F 兩點之間, 例如 a 點, 這表示衝擊當期的消費 c t 增加 ( 因為財富效果 ), 期末資本存量 k t 也增加 直觀而言, Crusoe 知道好景不常, 吃掉所有落果顯然不是最佳選擇 荒島進入 t + 1 期, 此時生產干擾消失, k t = 0 曲線移回原來位置, 但因為期初資本存量 k t 增加了, Crusoe 的最適選擇會從 a 點移至馬鞍路徑上的 b 點 明天過後, 消費及資本存量順著馬鞍路徑自 b 點逐期下降, 最後收斂回原來的恆定狀態 E 點 根據邊際產出遞減性質, 荒島上的影

26 26 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 (a) 生產力短暫上升 (b) 生產力永久上升 c t c t 0 c t c t 0 H D F F B B a E b C a E A * k b k t 0 A G k t 0 * k k kt 1 kt 1 圖 14.9: 相位圖分析 : 生產衝擊的動態效果 子利率 r t = Af (k t ) δ 隨資本存量上升先下降, 然後再隨著資本下降而逐漸回升 Crusoe 透過資本累積將部分新增產出挪至未來享用, 此一行為與圖 14.4 的衝擊反應函數完全相同 永久性生產衝擊的分析也非常類似 圖 14.9(b) 中, 要素生產力永久上升使 c t = 0 及 k t = 0 兩線同時外移, 恆定狀態自 E 點移至 F 點, 資本存量及消費水準都較高 如圖所示, 新的馬鞍路徑通過 F 點, 但可能從 E 點上方穿過, 如 CD 路徑, 也可能從 E 點下方穿過, 如 GH 路徑 直觀上, 如果 Crusoe 不特別在意極端的跨期消費型態, 只要未來能夠 吃香喝辣, 今天少吃一些也無妨, 則馬鞍路徑會如 GH 路徑所示, 顯得較為陡峭 ( 見習題 4b) 面對要素生產力或預期資本報酬變動, 這種情形下的跨期替代效果大於財富效果 給定起始資本存量 k t 1 = k, 生產力永久上升使 Crusoe 的最適選擇從 E 點直接跳到新的馬鞍路徑上 如果財富效果大於跨期替代效果, 則最適選擇會落於 CD 路徑上的 a 點, 消費上升, 反之則落於 GH 路徑上

27 14.5 應用分析 : 銷售稅 27 的 b 點, 消費下降 不論消費上升或下降, 資本存量或投資必然上升 從 t + 1 期開始, 消費及資本存量順著馬鞍路徑逐漸上升, 最後收斂至新的恆定狀態 F 點 生產力永久上升使一開始的實質利率上升, 但隨著資本存量上升, 邊際產出逐漸下降, 實質利率開始回降, 最後再度等於時間偏好率 以上結論也與 14.2 節的市場供需分析一致 相位圖從單一決策者的角度分析整體經濟的動態行為, 這種分析方法的優點是 直接而快速, 但根據作者的經驗, 初學者經常在 繪圖求解 過程中忽略背後的直觀意義 其實, 相位圖分析也是植基於決策者的選擇行為, 與前面的市場供需模型並無不同, 這兩種分析方法應該要搭配一起使用才能得到最大的學習效果 最後, 相位圖也可用於分析政府支出變動的動態效果, 我們當作習題讓讀者思考 ( 見習題 2) 14.5 應用分析 : 銷售稅 本節要分析政府對廠商課徵產出稅或銷售稅的動態效果 直觀上, 這種稅等於是對資本的邊際報酬課稅, 因此會打擊廠商的投資意願, 降低長期的產出及消費 為了簡單, 我們不考慮無關分析的生產衝擊及政府消費, 故生產函數是 y t = f (k t 1 ), 各期政府消費 G t = 0 假設政府對廠商課徵固定比例 τ (0, 1) 的銷售稅, 稅收 τy t 全部以定額方式 v t ( 如年金 ) 移轉給消費者, 故各期預算滿足 v t = τy t 我們不考慮赤字預算, 因為根據李嘉圖等值定理, 是否存在公債不重要 面對銷售稅, 廠商的股利等於稅後銷售收入減投資支出, 即 d t = (1 τ)y t i t 消費者自廠商分配股利 d t, 並從政府獲得移轉收入 v t, 故其外生所得仍是 a t = d t + v t = y t i t 請注意, 因為存在定額移轉, 政府課徵銷售稅不直接影響消費者的可支配所得, 但這不表示政策對消費者沒有財富效果, 因為當稅率改變時, 廠商的投資也會改變, 進而影響股利所得

28 28 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 加入銷售稅後的全面均衡與 14.1 節並無本質不同 首先, 消費者終身 效用極大的一階條件仍是 (14.1) 式 ; 其次, 因為不存在政府消費, 商品市 場結清條件是 c t + i t = y t 最後, 廠商的最適選擇要求投資的稅後邊際報 酬 (1 τ) f (k t ) 等於對應的機會成本 r t + δ, 這是投資決策的一階條件 顯然, 稅率上升會使廠商的期待資本存量下降 ( 請自行繪圖補充 ), 故投資 需求是稅率 τ 的負向函數 為方便參考, 均衡條件重寫於下 : 消費者最適選擇 : u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ), 廠商最適選擇 : (1 τ) f (k t ) = r t + δ, 市場結清條件 : c t + [k t (1 δ)k t 1 ] = f (k t 1 ) 根據第一式, 恆定狀態仍然要求實質利率等於時間偏好率 ; 根據第二式, 資本累積金律是 (1 τ) f (k ) = ρ + δ 顯然, 稅率上升會使恆定資本存 量及產出水準下降 此外, 恆定消費是 c = f (k ) δk, 利用第二式, 稅 率變動對 c 的影響是 dc dτ = [ f (k ) δ] dk dτ = ( ρ + δ 1 τ δ) dk dτ < 0 (14.9) 直觀而言, 稅率上升使恆定資本下降, 導致產出及折舊投資同時下降, 但 因為邊際產出遞減, 產出的下降幅度大於折舊的下降, 故恆定消費下降 稅率上升雖然使恆定消費下降, 但短期下, 消費反而會上升 以下分別利 用市場供需模型及相位圖為讀者解說 市場供需分析 圖 14.10(a) 中, 經濟社會原來處於 E 點的恆定狀態, 稅率從 t 期開始永久 上升 給定起始資本存量 k, 當期產出 f (k ) 不受影響, 故商品供給線不 動 商品需求方面, 稅率永久上升導致廠商的投資需求下降 對消費者而

29 14.5 應用分析 : 銷售稅 29 (a) 商品市場 (b) 相位圖分析 r t f ( k ) * f ( k ) c t c t F 0 D B F r S G E F d y t C G A E k t 0 y * y y t k * k kt 1 圖 14.10: 銷售稅率上升的均衡分析 言, 稅率上升使未來所得下降, 但當期所得 a t = d t +v t = f (k ) i t 卻會因 為廠商投資支出下降而暫時上升 換言之, 在資本存量還未開始調整前, 消費者面對的跨期所得變化是先升後降, 因此財富效果不明顯, 消費需求 的變動應該有限 事實上, 假設原始稅率 τ = 0, 則利用 (14.9) 式, 稅率上 升對恆常所得或消費需求的影響約為 ct d ( ρ + δ 1 τ δ) k τ=0 t ρ k t < 0 讀者看到, 消費需求雖然下降, 但與投資需求的降幅 k t 相較, 幅度極為 有限, 可忽略不計 綜上所述, 投資需求下降是影響商品需求的主要力量, 導致 y d t 曲線左移到藍線位置, 在原利率水準下, 商品市場出現 ES 的超 額供給, 造成利率下降壓力 從消費者的角度看, 今天所得上升, 而未來 所得下降, 儲蓄意願上升使債券供不應求, 利率因之下跌 隨著利率下跌, 消費及投資需求上升, 最後的均衡落於 F 點 因為產出不變而消費增加, 故均衡投資必然下降, 這是稅率永久上升的當期效果

30 30 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析當廠商開始調整生產規模後, 商品供給線隨資本存量下降逐漸左移, 而商品需求線右移, 最後收斂至新的恆定狀態 G 點, 產出及消費都下降 總結以上分析, 當稅率永久上升時, 短期下, 產出從投資流向消費, 導致消費上升, 但長期下, 因為資本存量及恆常所得下降, 消費也下降 相位圖分析 * 存在扭曲性租稅的競爭均衡不再是柏拉圖最適狀態, 但我們仍可利用相位圖分析政策的動態效果 事實上, 合併消費者及廠商的一階條件, 消費及資本存量的動態行為滿足以下兩式 : u (c t ) = βu (c t+1 ) [1 δ + (1 τ) f (k t )], c t + [k t (1 δ)k t 1 ] = f (k t 1 ) 除考慮稅後邊際產出外, 此一動態體系與 14.4 節的模型並無不同, 故前面的相位圖仍然適用 圖 14.10(b) 中, 經濟社會原來處於 E 點的恆定狀態, 稅率永久上升不影響 k t = 0 曲線, 但使恆定資本存量下降, 故 c t = 0 線左移, 新的恆定狀態落於 G 點, 資本存量及消費水準都較低 如圖所示, 新的馬鞍路徑 CD 通過 G 點, 而且從 E 點上方穿過 給定起始資本存量 k, 稅率上升使當期消費從 E 點直接跳升到 CD 路徑上的 F 點 因為產出不變, 但消費上升, 故投資及資本存量下降, 這是稅率上升的短期效果, 與前面的供需分析一致 從選擇行為的角度看, 投資的稅後報酬因稅率上升而下降, 跨期替代效果使消費需求上升, 而財富效果使消費需求下降 如前所述, 稅率永久變動的財富效果不明顯, 導致跨期替代效果大於財富效果, 故當期消費上升, 而投資下降 在過渡期間, 資本存量及消費順著馬鞍路徑從 F 點逐期下降, 最後收斂至 G 點

31 14.6 應用分析: 最適國防支出與軍備累積 銷售稅率 31 期末資本存量 k* k 時間 時間 消費 實質利率 c* c 時間 時間 圖 14.11: 衝擊反應函數: 銷售稅率上升的動態效果 圖 畫出銷售稅率變動的衝擊反應函數 當稅率永久上升時, 投資 的稅後報酬下降, 導致資本存量下降 短期下, 消費者因為當期所得上升, 未來所得下降, 儲蓄意願上升使市場利率下跌, 消費因而上升 在過渡期 間, 隨著資本存量持續下降, 市場利率逐漸回升, 透過跨期替代效果, 消費 也遞減到最後而且較低的恆定水準 c 14.6 應用分析: 最適國防支出與軍備累積 Crusoe 在荒島上靠栽種椰果為生, 每日遛猴摘果, 日子雖然愜意, 但島 上土人三不五時便越界掠奪, 令 Crusoe 神經緊張, 寢食難安 苦思之下, Crusoe 發現椰果也可製成 雄三椰彈, 用以自衛, 頗具神效, 他的問題 毛慶生 (April 20, 2018)

32 32 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 是 : 椰果收成中有多少應挪作自衛之用? 每個國家都有特殊的國防需求, 本節要用這個簡單的隱喻思考國防支出的經濟效果 荒島上的椰果有三種用途, 除食用及栽種外, 也可用於製造 椰彈 假設 Crusoe 於 t 期期初擁有 x t 1 的椰彈, 若當期又製造了 G t 的椰彈, 則 期末的椰彈存量是 x t = G t + (1 δ)x t 1, 這是荒島的軍備累積方程式 為 了簡單, 我們假設椰彈與資本存量一樣, 折舊率同為 δ 此一假設不影響 分析結論 我們不考慮無關分析的生產干擾, 故椰果產出是 y t = f (k t 1 ) 綜上所述, 荒島的資源限制滿足 c t + i t + G t = f (k t 1 ) 椰彈不能用於生產, 但能為 Crusoe 帶來 相對安全感 假設土人擁 有 z 的武器存量, 則 Crusoe 從期初椰彈存量 x t 1 獲得的效用是 v(x t 1, z) 此一效用函數滿足 (1) v x > 0, v xx < 0, 亦即, 椰彈可增加安全感, 但邊際效 用遞減 ; (2) 土人的武器越多, 則 Crusoe 的安全感越低, 故 v z, v zz < 0; (3) 土人的武器越多, 椰彈的邊際效用也越高, 故 v xz > 0; 這是關鍵假設, 表 示外敵威脅上升會使 Crusoe 對自衛更為殷切 除 v(x t 1, z) 外, Crusoe 也從椰果消費獲得 u(c t ) 的滿足, 故效用函數可寫成 u(c t ) + v(x t 1, z) 我們假設消費的效用 u(c t ) 與外敵威脅 z 無關, 此一簡化假設不影響主 要分析結論 給定起始資本存量 k 0 > 0, 椰彈存量 x 0 > 0 及土人的武器裝備 z > 0, Crusoe 的跨期選擇問題是 max {c t,k t,x t} t=1 t=1 β t 1 [u(c t ) + v(x t 1, z)] subject to c t + [k t (1 δ)k t 1 ] + [x t (1 δ)x t 1 ] = f (k t 1 ), t 上述問題看似複雜, 但與 14.4 節的模型並無本質不同 首先, 最適投資決 策仍然要滿足歐勒方程式 : u (c t ) = βu (c t+1 ) [1 δ + f (k t )]

33 14.6 應用分析 : 最適國防支出與軍備累積 33 最適國防支出的一階條件也非常類似 想像 Crusoe 於 t 期減少一單位 消費轉而製造一顆椰彈 ( 即 x t = 1), 則當期的效用損失是 u (c t ) 這一 顆椰彈能為明天帶來額外的安全感 v x (x t, z), 剩下的 (1 δ) 單位椰彈也 可食用, 效用價值是 u (c t+1 )(1 δ) 最適選擇要求 Crusoe 累積椰彈的 效用損失等於效用增益, 故一階條件是 u (c t ) = βv x (x t, z) + βu (c t+1 )(1 δ) 合併以上兩式, 因為資本存量及椰彈有相同的殘餘價值, 最適投資與最適 自衛選擇之間滿足下式 : v x (x t, z) = u (c t+1 ) f (k t ) (14.10) 簡單的說, 最適選擇要求一單位產出無論用於投資或國防, 效用價值必須 相等, 否則即存在套利空間 (14.10) 式移項後也可表達成 MRS x,c = v x(x t, z) u (c t+1 ) = f (k t ) 直觀的說, 上式右邊的 f (k t ) 是一顆椰果從投資挪為自衛而損失的次期 消費量, 這是國防支出的機會成本 ; 左邊的邊際效用之比是椰彈與消費之 間的邊際替代率, 這是 Crusoe 為了自衛而願意放棄的消費量 上式要求 Crusoe 針對國防安全的主觀願付價格 MRS x,c 等於機會成本 f (k t ) 讀 者對此類條件想必已相當熟悉 除一階條件外, Crusoe 的最適選擇也要 滿足橫截條件, 即 lim β t 1 u (c t )k t = lim β t 1 u (c t )x t = 0, 這表示資本存 量及椰彈沒有極限效用價值 恆定狀態 上述模型的恆定狀態不難決定 首先, 根據歐勒方程式, 資本累積金律仍 然是 f (k ) = ρ + δ 顯然, 恆定資本存量與 z 無關, 亦即, 當土人的武

34 34 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 u f k k x f k * * * [ ( ) ] ( ) z F E v (, ) x x z * x x v (, ) x x z x 圖 14.12: 恆定椰彈存量 器存量 z 增加時, 長期資本存量 k 不變, 產出水準 f (k ) 也不變 唯一會受 z 影響的是消費及椰彈存量 根據資源限制式, 恆定消費滿足 c = f (k ) δk δx, 代入一階條件 (14.10) 式可得 v x (x, z) = u [ f (k ) δk δx ] f (k ) 因為恆定資本存量 k 已由累積金律決定, 且不受外生變數 z 影響, 上式可單獨決定椰彈存量 x 圖 中, 上式左邊的 v x (x, z) 隨 x 增加而遞減 ( 因為 v xx < 0), 這是椰彈的邊際效用, 右邊的邊際成本隨 x 增加而遞增 ( 因為 u < 0) 若土人的武器存量 z 不變, 則恆定狀態落於兩者相交的 E 點, 椰彈存量是 x 當土人的武器存量從 z 增至 z 時, v x 曲線外移 ( 因為 v xz > 0), 但邊際成本曲線不動, 最適選擇移至 F 點, 椰彈存量增至 x 因為資本存量及產出不受 z 影響, 恆定消費必然下降, 且降幅等於

35 14.6 應用分析 : 最適國防支出與軍備累積 35 δ(x x ) 以上結論相當合乎直觀 ; 當外敵威脅上升時, Crusoe 對安全 的需求也更為殷切, 故長期軍備上升, 而消費下降 外敵威脅上升的動態效果在本節的簡化設定下, 土人威脅上升不影響 Crusoe 的長期投資決策, 但這不表示短期投資也不受影響 基本上, z 變動的動態效果也可利用相位圖進行分析, 但這裡的相位圖牽涉到消費, 資本存量及椰彈存量等三個變數, 必須在立體空間中表示 這種三維度的相位圖相當費事, 對問題的分析也無特別幫助, 我們留給有興趣的讀者傷腦筋 以下要利用荒島的資源限制思考 z 上升的短期效果 假設荒島原來處於恆定狀態, 土人的武器存量突然於 t 期從 z 永久增至 z 面對此一威脅, 我們知道恆定資本存量 k 不受影響, 但椰彈存量增至 x, 折舊增至 δx, 而恆定消費降為 c = f (k ) δk δx, 這是長期均衡的變動, 但不可能是短期均衡 理由很簡單 給定期初椰彈存量 x t 1 = x, 衝擊當期的軍備折舊 δx 不變, 如果椰果投資也不變, 則國防支出增加 x t = (x x ) 單位, 但消費僅下降 c t = δ x t 單位, 故 Crusoe 對椰果的總需求增加 x t c t = (1 δ) x t 單位 給定期初資本存量 k, 若椰果投資不變, 則當期產出 y t = f (k ) 顯然無法滿足 Crusoe 對自衛的需求 我們由此得知, 衝擊當下的椰果投資必須下降, 否則即違背荒島的資源限制 綜上所述, 當外敵威脅上升時, 短期下, 為了增加國防支出, 消費及投資必須同時下降 令 r t = f (k t ) δ 表示荒島的影子利率, 則期末資本存量下降會使實質利率上升 此一結論的背後直觀與前面政府消費增加的情形相同 簡單的說, 當經濟社會的產出供不應求時, 不論基於何種原因, 實質利率必然上升 與 14.3 節的政府消費比較, 此處的國防支出是內生變數, 這種表面差異不影響問題本質

36 36 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 土人武器存量 期末資本存量與實質利率 k* z 資本存量 實質利率 z 時間 時間 消費 期末椰彈存量 x c* c x* 時間 時間 圖 14.13: 衝擊反應函數: 外敵威脅上升的動態效果 圖 畫出外敵威脅上升的衝擊反應函數 荒島原來處於恆定狀態, 當土人的武器從 z 增至 z 時, 恆定資本存量不變, 椰彈存量從 x 增至 x, 而消費也從 c 降至 c, 這是長期均衡的變動 短期下, 利率因國防需求 增加而上升, 導致投資下降 正因為利率上升了, 短期消費及椰彈存量會 低於最後的恆定水準 在過渡期間, 資本存量逐漸回升, 導致實質利率下 降, 而消費及椰彈存量也收斂到新的恆定狀態 14.7 延伸模型: 人口成長* 從理論發展的歷史看, Ramsey-Cass-Koopmans 模型延伸早期的 SolowSwan 成長模型, 將消費者及廠商的選擇行為納入考慮, 因此又稱最適成 毛慶生 (April 20, 2018)

37 14.7 延伸模型 : 人口成長 * 37 長模型 讀者可能納悶, 在前面的幾個衝擊反應圖形中, 我們並未看到真正的經濟成長, 憑什麼 Ramsey 模型可稱之為成長模型? 其實, 早期有關成長的分析, 重點在釐清資本累積的本質, 經濟為何成長或真正導致成長的原因要到 1990 年代以後才有較為深刻的討論, 我們留待以後的內生成長模型再為讀者介紹 本章最後要考慮外生人口成長, 這是在 Ramsey 模型中 製造 或 掰出 成長現象最簡單的手段 其他因素, 如持續的技術進步, 容後再補充 ( 見習題 12) 假設經濟社會的勞動力或總人口以固定比率 λ > 0 成長 若起始人口總量 N 1 = 1, 則 t 期的總人口是 N t = (1 + λ) t 1 令 K t 1 表示 t 期的起始資本總量, 則該期的總產出是 Y t = F(K t 1, N t ) 我們以大寫字母表示總量, 以別於小寫字母的人均量 為了簡單, 不考慮要素生產力及政府消費, 故各期 A t = 1 及 G t = 0 利用固定規模報酬性質, 生產函數可用人均形式 (intensive form) 表達 令 y t = Y t /N t 及 k t 1 = K t 1 /N t 分別表示 t 期的人均產出及人均期初資本存量, 則生產函數兩邊同除總人口 N t, 可得 Y t /N t = F(K t 1 /N t, 1) f (K t 1 /N t ) y t = f (k t 1 ) 顯然, 總產出可寫成人均產出乘上人口總量, 即 Y t = N t f (k t 1 ) 對 K t 1 偏微分, 則總合資本的邊際產出是 ( 利用連鎖律 ) MPK t 1 = Y t / K t 1 = N t f (k t 1 )/ K t 1 = f (k t 1 ) 讀者看到, 人均資本的邊際產出 f (k t 1 ) 即是總合資本的邊際產出 這是一個方便的性質, 因為 MPK 僅受人均資本影響, 與人口總量無關 顯然, f > 0, f < 0 為方便參考, 邊際勞動產出也可表達成人均資本的函數 利用歐勒性質 ( 見上冊第 4 章 ), 總產出滿足 Y t = MPK t 1 K t 1 + MPL t N t,

38 38 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 兩邊同除 N t, 移項後可得 MPL t = Y t / N t = f (k t 1 ) k t 1 f (k t 1 ) 上式也可直接對 Y t = N t f (k t 1 ) 偏微分求得 ( 請自證 ) 對整體經濟社會而言, 總投資滿足 I t = K t (1 δ)k t 1 仿照以上的 步驟, 兩邊同除 N t, 並利用 K t /N t = (N t+1 /N t )(K t /N t+1 ) = (1 + λ)k t, 則 人均投資 i t = I t /N t 滿足 ( 請注意, k t = K t /N t+1 ) i t = (1 + λ)k t (1 δ)k t 1 (14.11) 當人口成長率 λ = 0 時, 上式退化成固定勞動情形下的資本累積方程式 最後, 總產出等於總消費加總投資, 故人均產出也等於人均消費加人均投 資, 即 c t + i t = f (k t 1 ) 隨著人口成長, 整體經濟有如一個規模不斷擴大的世代家庭 在這個 大家庭中, 代表性決策者追求的不是個人, 而是所有家庭成員終身福祉之 極大 因為每個人的偏好 u(c t ) 都相同, 故整個家庭的終身效用是 t=1 β t 1 u(c t )N t = t=1 [β(1 + λ)] t 1 u(c t ) 我們假設人口成長率 λ < ρ 或 β = β(1 + λ) (0, 1), 否則終身效用沒有 上界, 失去分析意義 給定起始人均資本存量 k 0 > 0 及人口成長率 λ > 0, 代表性決策者的 選擇問題可寫成 max {c t,k t} t=1 β t 1 u(c t ) t=1 subject to c t + [(1 + λ)k t (1 δ)k t 1 ] = f (k t 1 ), t 除考慮外生人口成長外, 上述問題與 14.4 節的模型並無不同 觀察資源 限制式, 若 t 期的期末人均資本存量 k t 增加一單位, 則當期的人均消費

39 14.7 延伸模型 : 人口成長 * 39 下降 c t = (1 + λ) 單位 請注意, 因為人口成長率 λ > 0, 下期的總人口是 N t+1 = (1 + λ)n t 為了保證 k t = K t /N t+1 = 1, 當期人均消費必須下降 (1 + λ) 單位 顯然, 效用極大的一階條件是 (1 + λ)u (c t ) = βu (c t+1 ) [1 δ + f (k t )] 兩邊同除 (1 + λ) 並利用 β = β(1 + λ), 以上條件也可寫成 u (c t ) = βu (c t+1 ) [1 δ + f (k t )] 讀者看到, 考慮人口成長後, 一階條件並未改變, 故恆定人均資本存量仍然滿足 f (k ) = ρ + δ 顯然, k 與人口成長率無關 根據 (14.11) 式, 恆定狀態下的人均投資是 (λ + δ)k 因為人口以固定比率 λ > 0 成長, 為了維持 k 固定不變, 每期的必要投資除了要填補折舊 δk 外, 還要加上因人口成長而新增的資本需求 λk 最後, 根據資源限制式, 人均消費是 c = f (k ) (λ + δ)k 顯然, 能使長期人均消費極大的資本存量 k 滿足 f (k) = λ + δ, 這是考慮人口成長後的黃金法則 因為 λ < ρ, 故 f (k ) > f (k) 或 k < k 綜合上述, 模型的基本性質不因人口成長而改變, 因此前面的分析仍然適用 平衡成長在恆定狀態下, 所有人均量, 包括資本存量, 產出及消費, 都靜止不動, 但隨著人口成長, 這些變數的總量也會不斷成長, 而且成長率剛好等於人口成長率 更清楚的說, 恆定狀態下的各期人均資本存量是 k t = K t /N t+1 = k, 故 K t = k N t+1 = k (1 + λ) t, 換言之, 總合資本存量以比率 λ > 0 成長 同理, 總產出及總消費也會以 λ > 0 成長, 寫成 Y t = y (1 + λ) t 1 及 C t = c (1 + λ) t 1 這種所有數量變數都以相同速度成長的現象, 稱為平衡成長 (balanced growth)

40 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 40 (b) 衝擊反應函數 總合變數 (a) 相位圖 人口成長率下降 ct ct 0 ln Yt D F c B ln Ct ln I t c* C E k t 0 A k* kt 1 t 時間 圖 14.14: 人口成長率下降的均衡效果 平衡成長是古典成長模型的基本性質 除外生人口成長外, 如果要素 生產力也以固定比率成長 (如持續的技術進步), 則不但總合變數會成長, 人均資本, 產出, 消費及投資也會以相同速度成長 有關技術進步的分析, 我們當作習題讓讀者思考 (見習題 12) 人口成長率下降的均衡效果 本節最後要利用相位圖分析人口成長率變動的均衡效果 由前面的分析 可知, 考慮人口成長後的歐勒方程式與 14.4 節相同 表面上, 資源限制稍 有不同, 但我們若將 (1 + λ)k t 留在左邊, 移項後兩邊同減 (1 + λ)k t 1, 則 資源限制式也可寫成 (1 + λ) k t = [ f (k t 1 ) (λ + δ)k t 1 ] c t 觀察上式, 人均資本存量的變動方向取決於人均消費, 同樣有三種情形 首先, 當 c t = f (k t 1 ) (λ + δ)k t 1 時, k t = 0, 人均資本固定不變; 其次, 毛慶生 (April 20, 2018)

41 本章摘要 41 若 c t < f (k t 1 ) (λ + δ)k t 1, 則 k t > 0, 人均資本隨時間成長 ; 最後, 若 c t > f (k t 1 ) (λ + δ)k t 1, 則 k t < 0, 人均資本隨時間下降 顯然, 前面的相位圖仍然適用 圖 14.14(a) 中, 經濟社會原來處於 E 點的恆定狀態, 人均消費及資本存量分別是 c 及 k 假設人口成長率從 λ 永久下降為 λ, 因為 k 不受影響, 故 c t = 0 線不動, 但 k t = 0 曲線向外移動, 新的恆定狀態落於 F 點 如圖所示, 人口成長率下降使最適選擇從 E 點移到 F 點, 人均消費直接從 c 增至 c, 經濟社會立刻進入新的恆定狀態, 沒有所謂的過渡期間動態調整過程 其中道理不難理解 當人口成長率下降時, 因為恆定人均資本不變, 每期的必要投資下降 (λ λ )k 單位, 故消費者的恆常所得及各期消費等幅上升 以比例刻度或自然對數單位衡量, 圖 14.14(b) 畫出總產出, 總消費及總投資的時間軌跡 這三個變數的時間軌跡互相平行, 成長率都是 λ 人口成長率下降使當期投資下降而消費上升, 但產出不變, 成長率降為 λ, 但仍然互相平行 本章摘要 透過資本累積, 整體經濟可以將產出在不同期間挪移, 因此今天和未來的市場均衡不再互相獨立, 這是 Ramsey 模型的關鍵特徵 恆定狀態是一種內生實質變數靜止不動的長期均衡狀態 Ramsey 模型存在唯一而且穩定的恆定狀態 面對外來干擾, 市場均衡會向恆定狀態收斂, 稱為大道性質 在基準 Ramsey 模型中, 恆定狀態要求實質利率等於時間偏好率, 這是保證人均消費靜止不動的充分且必要條件 修正後累積金率要求資本的邊際產出等於時間偏好率加資本折舊率, 寫成 Af (k ) = ρ + δ 此一條件可單獨決定恆定資本存量 k

42 42 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 黃金法則要求 Af (k) = δ, 此一條件保證長期消費水準極大 黃金法則忽略了投資的利息成本, 因此資本會過度累積, 導致長期資本存量 k 大於社會福祉極大時的水準 當要素生產力永久上升時, 恆定資本存量, 產出及消費都上升 因為實質利率不變, 恆定消費上升全部源自財富效果 政府消費永久性增加不影響恆定資本存量及產出水準, 但恆定消費會因為財富效果而下降 當要素生產力短暫上升時, 短期下, 因為產出供過於求, 實質利率下降, 導致消費及投資上升 在過渡期間, 實質利率回升, 資本, 產出及消費也逐漸降回原來的恆定狀態 當要素生產力永久上升時, 短期下, 因為產出供不應求, 實質利率上升 若財富效果大於跨期替代效果, 則均衡消費上升, 反之則下降 不論消費如何變動, 均衡投資必然上升 在過渡期間, 實質利率回降, 資本, 產出及消費也遞增到新的的恆定狀態 短暫的生產力衝擊使實質利率與產出反向變動, 持續性生產力衝擊則使兩者同向變動 政府消費短暫增加使產出供不應求, 實質利率上升, 導致均衡消費及投資同時下降, 稱為排擠效果 利率水準反映產出的相對稀少性 當商品供不應求時, 不論是因為供給減少或需求增加, 整體社會享用產出 ( 即消費和投資 ) 的機會成本較高, 故實質利率上升 廠商投資有如緩衝器, 可以將外來干擾的影響分散到不同期間, 幫助消費者平滑消費 在稟賦經濟中, 這種傳導機制不存在 Ramsey 模型的動態均衡必然落在穩定的馬鞍路徑上 此一路徑同時滿足歐勒方程式, 資源限制式及橫截條件

43 習題 43 政府以銷售稅支應定額年金會導致長期資本存量, 產出及消費下降 短期下, 因為商品供過於求, 市場利率下降, 產出從廠商投資流向民間消費 長期下, 因為恆常所得下降, 消費也下降 國防支出具有特殊的外部性, 在 14.6 節的模型中, 外敵威脅上升不影響恆定資本及產出水準, 但長期軍備上升而消費下降 短期下, 因為商品供不應求, 實質利率上升, 導致消費及投資下降 當人口以固定比例成長時, 資本, 產出, 投資及消費總量也會以相同比率成長, 這種現象稱為平衡成長 在 Ramsey 模型中, 人口成長率下降使各期人均消費上升, 人均投資下降, 總產出, 總投資及總消費的成長率等幅下降 習題 1. 生產衝擊 : 現實世界裡的生產衝擊形形色色, 有些會影響要素生產力, 有些則是單純的產出變動 假設生產函數是 y t = f (k t 1 ) + B t, B t 是外生衝擊 此類干擾不影響要素生產力 (a) 請利用市場供需模型分析 B t 短暫下降的短期 ( 即當期 ) 效果 (b) 假設原來各期 B t = B, 請利用市場供需模型分析 B 永久下降的動態效果, 包括當期效果及過渡期間調整過程 你的結論與要素生產力永久下降有何不同? (c) 請利用相位圖重新回答上題 [ 初學者可略過 ] (d) 預期未來干擾 : 假設原來各期 B t = B, 消費者及廠商預期 B 將從下期開始永久下降, 請利用市場供需模型分析此一預期干擾對當期均衡的影響 你的結論與 (b) 小題有何不同? 請解釋 (e) 請利用相位圖分析上小題的動態效果, 並畫出衝擊反應函數 你的結論與 (c) 小題有何不同? [ 初學者可略過 ]

44 44 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 2. 政府消費支出 : 本題要繼續 14.3 節有關政府消費變動的分析, 相位圖部分, 讀者如果不熟悉, 可略過 (a) 請利用相位圖分析政府消費短暫增加的動態效果 你的結論是否與 14.3 節的供需分析一致? (b) 請分別利用市場供需模型及相位圖分析政府消費永久性等幅上升的動態效果 (c) 預期未來政策 : 假設原來各期 G t = G, 政府宣布消費支出從下期開始永久等幅上升 請利用市場供需模型分析此一預期政策對當期均衡的影響 (d) 請利用相位圖分析上題的動態效果 (e) 假設政府以發行公債支應政府支出 ( 即赤字融通 ), 請問以上各題的結論會改變嗎? 為什麼? 3. 公式解 : Ramsey 模型在特殊情形下存在簡單的公式解 假設 (1) 各期政府消費 G t = 0, (2) 折舊率 δ = 1, (3) 效用函數 u(c t ) = ln c t, (4) 生產函數 y t = A t kt 1, α α (0, 1) (a) 請求解消費 c t 及期末資本存量 k t 的均衡解 [ 提示 : (1) c t 及 k t 同為 y t 或外生變數 A t 及 k t 1 的函數, 又稱決策法則或策略函數 (policy function), (2) 令 k t = πy t, 然後求解未知係數 π ] (b) 請根據上題求算實質利率 r t 的公式解 請分別討論 A t 上升及 A t+1 上升對實質利率的影響 直觀何在? (c) 請在 (k t 1, k t ) 空間中畫出 k t 的策略函數 從恆定狀態開始, 假設 A t 短暫上升一期, 請利用你的圖形畫出資本存量及實質利率的時間軌跡, 並以直觀解釋 (d) 假設各期要素生產力等幅上升, 請重新回答上題

45 習題 45 (e) 公式解雖然方便, 但存在特殊性質, 不見得適用於一般情形 請指 出本題的公式解有何 特殊 之處? (f) 收斂速度 : 經濟社會原來處於恆定狀態, 地震導致期初資本存量 下降 假設 α = 0.4 請問經濟社會要花多久時間才能重建 90% 因地震而損失的資本存量? 若 α = 0.1, 結果有何改變? 請以直觀 解釋兩者差異 [ 提示 : 以自然對數表達策略函數 ] (g) 假設 G t = g y t, g (0, 1) 為一固定常數 請重新回答 (a)-(b) 兩小 題 政府消費比例 g 永久上升對實質利率有何影響? 請解釋 [ 提 示 : 為保證消費恆為正值, 假設 αβ + g < 1 ] 4. 偏好改變 *: 本題要請讀者思考消費者偏好改變的影響 (a) 時間偏好 : 消費者一覺醒來突然覺得未來變得更重要, 時間偏好 率 ρ 自此永遠下降 請利用相位圖分析此種偏好改變的動態效 果 請畫出資本存量, 消費及實質利率的時間軌跡 (b) 跨期替代 : 假設效用函數是 CRRA 形式 : u(c t ) = c1 γ t 1 1 γ, γ > 0 當 γ = 1 時, u(c t ) = ln c t 請討論參數 γ 會如何影響相位圖及馬 鞍路徑 [ 提示 : 1/γ 是消費的跨期替代彈性 ] 5. 年金的融通手段 : 在 14.5 節的銷售稅模型中, 我們假設政府對廠商產 出課徵固定稅率 τ, 稅收 τy t 全部以定額方式 v t 移轉給消費者 這種 移轉性支付有如現實世界中的定額年金 本題要追問 : 消費者究竟能 享受多少年金收入? 假設生產函數是 f (k t 1 ) = k α t 1, α (0, 1) 本題 僅考慮恆定狀態, 不會用到效用函數 (a) 請計算恆定資本存量 假設 α = 0.4, 原始稅率是 τ = 20% 若稅 率上升為 τ = 21%, 請問恆定資本存量會變動多少?

46 46 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 (b) 請計算恆定狀態下的政府稅收, 即消費者的年金收入 當稅率上 升時, 年金收入會如何變化? 請繪圖說明 政府若追求最高年金 給付, 稅率應等於多少? (c) 政府想要提高年金給付, 但又不希望因而影響廠商的生產活動, 請 問你有何 撇步 能讓政府, 廠商及消費者都滿意? 6. 投資租稅扣抵 : 假設政府對廠商淨投資 (k t k t 1 ) 給予比例 ϕ (0, 1) 的租稅扣抵 為維持預算平衡, 政府向消費者課徵定額稅 T t, 故預算 滿足 ϕ(k t k t 1 ) = T t 簡言之, 政府向消費者課稅並補貼廠商 面對 各期利率 {r t } t=1 及租稅扣抵 ϕ, 代表性廠商的選擇問題是 max {k t} t=1 t=1 d t [ (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) ] subject to d t = f (k t 1 ) i t + ϕ(k t k t 1 ), t, i t = k t (1 δ)k t 1, t 消費者的預算滿足 c t + b t = (d t T t ) + (1 + r t 1 )b t 1, 選擇問題與本 文相同, 不再重複 [ 補充說明 : 一般情形下, 政府僅在廠商有淨投資 支出時 ( 即 k t k t 1 > 0) 才給予補貼, 因此租稅扣抵政策是非對稱的 這種情形必須使用 Kuhn-Tucker 定理求解廠商的決策問題 為了簡 單, 本題不考慮 ] (a) 請寫下全面均衡條件, 並討論 ϕ 上升對恆定狀態的影響, 包括資 本存量, 產出及消費 (b) 請利用市場供需模型分析 ϕ 永久上升的當期及動態效果 (c) 請利用相位圖重新回答上小題 [ 初學者可略過 ] 7. 資本創新 : 上一章的習題曾請讀者思考資本創新對廠商投資需求的影 響, 本題要繼續追問資本創新的均衡效果 為方便參考, 廠商的決策

47 習題 47 問題重述於下 令 z > 0 表示資本創新率, 則資本移動方程式可寫成 k t = (1 δ)k t 1 + (1 + z)i t 簡單的說, 每單位投資支出能夠買得效能 更優越的的資本設備 廠商的決策問題是 max {k t} t=1 t=1 f (k t 1 ) i t [ (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) ] subject to k t = (1 δ)k t 1 + (1 + z)i t, t 消費者的選擇問題與本文相同, 不再重複 為了簡單, 不考慮政府購 買, 故商品市場結清要求 c t + i t = f (k t 1 ) (a) 請寫下全面均衡條件, 並分析 z 上升對恆定狀態的影響, 包括資本存量, 產出, 投資及消費 (b) 請利用市場供需模型分析 z 上升的當期效果 (c) 請利用相位圖分析 z 上升的動態效果 [ 初學者可略過 ] 8. 政府投資支出 *: 政府的投資支出為經濟社會提供必要的基礎建設, 這些公共資本也是廠商的生產投入 假設廠商的生產函數可寫成 y t = F(k t 1, x t 1 ), x t 1 是 t 期的起始公共資本存量 此一生產函數滿足 F k, F x > 0, F kk, F xx < 0 及 F kx > 0, 亦即, k 及 x 具有互補性質 令 G t 表示政府投資支出, 則 x t 滿足 x t = G t + (1 δ)x t 1, 這是公共資本的累積方程式 我們假設公共資本的折舊率也是 δ 此外, 政府無消費支出, 全部投資支出均以定額稅支應, 故政府預算滿足 G t = T t 消費者的選擇問題與本文相同, 不再重複 (a) 假設 (1) 生產函數是 y t = k α t 1x θ t 1, α, θ (0, 1), (2) 折舊率 δ > 0, (3) 各期 G t = G, (4) 參數值及政府支出保證恆定消費大於零 請 計算恆定狀態的公式解, 包括民間資本, 公共資本, 產出及消費

48 48 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 (b) 請根據上題討論政府投資支出永久上升對恆定狀態的影響 你的結論與參數 θ 有何關係? 請以直觀解釋 9. 地震的均衡分析 : 地震摧毀資本設備, 這也是一種供給面衝擊 本題要請讀者思考這類自然災害的影響 (a) 假設經濟社會原來處於恆定狀態, 地震使期初資本存量突然下降 請利用市場供需模型分析此一衝擊的動態效果 請畫出資本存量, 消費及實質利率的時間軌跡 (b) 請利用相位圖重新回答上題 [ 初學者可略過 ] (c) 收斂速度 : 考慮 (4b) 小題的 CRRA 效用函數 你認為參數 γ 會如何影響地震的效果, 特別是資本的收斂速度? 請以直觀說明 (d) 預期災難 : 氣象達人 預測地震將於下期發生, 人人都信以為真 請利用市場供需模型分析此一預期災難的當期效果 10. 軍備競賽 : 14.6 節中, Crusoe 為了自衛必須製造 雄三椰彈 假設 雄三威力強大, 土人也備感威脅 本題要請讀者思考雙方進行軍備競賽的後果 假設 (1) Crusoe 與土人之間沒有交易, (2) 雙方的生產函數都是 y t = f (k t 1 ) = kt 1, α α (0, 1), (3) 資本和武器不會耗損, 故折舊率 δ = 0, (4) Crusoe 及土人的時間偏好率分別是 ρ 1 及 ρ 2 面對敵方的武器存量, 兩造分別求解 14.6 節所述的選擇問題, 請自行寫下, 不再重複 效用函數給定如下 ( 變數定義同 14.6 節 ): Crusoe ln c t + ln(x t 1 θ 1 z), θ 1 > 0 土人 ln c t + ln(z t 1 θ 2 x), θ 2 > 0 假設雙方在進行選擇時, 唯一可觀測的資訊是對方的武器存量, 彼此不知對方的偏好及生產技術 本題僅針對恆定狀態分析, 不考慮敵對雙方的動態調整策略

49 習題 49 (a) 請求解恆定狀態下 Crusoe 的反應函數 x = g(z) 及土人的反應 函數 z = h(x) (b) 納許均衡 (Nash equilibrium): 若 (x, z ) 同時滿足 x = g(z ) 及 z = h(x ), 且 x, z > 0, 則荒島處於長期均衡狀態 此時, 雙 方都安於現狀, 不會再改變各自的策略, 稱為納許均衡 請問在哪 個條件下, 本題的納許均衡存在而且唯一? 請在 (z, x) 空間中畫 出雙方的反應函數, 並以直觀解釋你的條件 (c) 若上題的條件不成立, 荒島會發生什麼情形? 請用白話敘述 (d) 假設 Crusoe 的效用參數 θ 1 上升, 但土人的 θ 2 不變 請分析納許 均衡會如何變動 背後直觀何在? (e) 假設 Crusoe 的時間偏好率 ρ 1 上升, 但土人的 ρ 2 不變 請分析納 許均衡會如何變動 背後直觀何在? 11. 污染稅 *: 我們曾在靜態模型中分析過政府對廠商污染課稅的福利效 果 ( 見上冊第 6 章習題 ), 本題要在 Ramsey 模型中考慮同一問題 假 設廠商在生產過程中製造了 z t = g(k t 1 ) 的污染物 ( 如廢水 ), 函數 g 滿足 g > 0 且 g > 0, 亦即, 邊際污染量隨投入增加而遞增 政府對 每單位污染課徵 τ t 數量的商品稅 ( 又稱單位稅 ), 稅收 τ t z t 全部以定 額方式 v t 補貼受害的消費者, 故政府預算滿足 v t = τ t z t = τ t g(k t 1 ) 面對污染稅, 廠商的決策問題是 ( 令 δ k 表示資本折舊率 ) max {k t} t=1 t=1 d t [ (1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) ] subject to d t = f (k t 1 ) i t τ t g(k t 1 ), t, i t = k t (1 δ k )k t 1, t 廠商排放的污染物會隨時間累積 令 x t 1 表示期初污染水準, 則污染 累積方程式可寫成 x t = (1 δ x )x t 1 + g(k t 1 ), 其中, δ x (0, 1] 是污

50 50 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 染衰減率 (rate of decay) 現實世界中, 有些污染物的衰減速度甚為 緩慢 ( 如核廢料 ), 此時 δ x 0, 而像噪音這種干擾, 只要除去污染源 即完全消失, 此時 δ x 1 本題假設 δ x > 0 消費者是污染的受害者 假設效用函數是 u(c t ) v(x t ), 函數 v 滿足 v, v > 0, 亦即, 污染使效用下降, 且邊際痛苦隨污染增加而遞增 面 對廠商製造的污染 {x t } t=1 及政府的定額補貼 {v t } t=1, 代表性消費者 的選擇問題是 max {c t,b t} t=1 t=1 β t 1 [u(c t ) v(x t )] subject to c t + b t = d t + v t + (1 + r t 1 )b t 1, t (a) 競爭均衡 : 請推導廠商最適選擇的一階條件, 並討論污染稅上升 對廠商選擇的影響 請列出競爭均衡的全部條件 (b) 柏拉圖最適狀態 : 真主阿拉 不能變污染於無形, 但能為經濟社 會決定最適的消費, 產出及污染水準, 其選擇問題是 max {c t,k t,x t} t=1 t=1 β t 1 [u(c t ) v(x t )] subject to c t + [k t (1 δ k )k t 1 ] = f (k t 1 ), t, x t = (1 δ x )x t 1 + g(k t 1 ), t 上述問題的最適解保證社會福利極大, 即柏拉圖最適狀態 請問柏拉圖狀態必須滿足哪些條件? 背後直觀何在? (c) 最適污染稅 : 請問政府應如何決定最適污染稅 {τ t } t=1? 背後直觀何在? [ 提示 : 比較競爭均衡及柏拉圖最適狀態 ] (d) 租稅改革 : 假設原來各期 τ t = 0, 經濟社會處於恆定狀態 為了抑制過度的污染, 政府實施上小題的最適污染稅政策 請根據直觀

51 習題 51 畫出 {c t, k t, x t, τ t } 的時間軌跡 [ 提示 : 課徵最適污染稅對恆定 狀態有什麼影響?] (e) 參數改變 : 請問時間偏好率 ρ 及污染衰減率 δ x 會如何影響最適 污染稅? 背後直觀何在? 12. 技術進步 *: 本題要考慮生產技術持續改善的均衡效果 令總產出 Y t = F(K t 1, A t N t ), N t 及 A t 是 t 期人口及外生技術水準, 函數 F 滿足固 定規模報酬 假設人口及技術水準分別以固定比率 λ > 0 及 µ > 0 成 長 若 N 1 = A 1 = 1, 則 t 期人口總量及技術水準分別是 N t = (1 + λ) t 1 及 A t = (1 + µ) t 1 令 Ñ t = A t N t 表示有效勞動投入 (effective labor input), 則生產函數可寫成 Y t = F(K t 1, Ñ t ) 這種技術進步使有效勞 動投入不斷擴大, 勞工有如 無敵鐵金剛, 一人可抵數人, 因此又稱勞 動擴張型技術進步 (labor-augmenting technical progress) 這是文獻 最常採用的設定形式 代表性消費者追求世代家庭終身效用極大, 故目標函數與 14.7 節相 同, 仍是 t=1 β t 1 u(c t )N t 請注意, c t = C t /N t 是人均消費 假設 (1) u(c t ) = c 1 γ t /(1 γ), γ > 0, (2) β = β(1 + λ)(1 + µ) 1 γ (0, 1) (a) 令 ỹ t = Y t /Ñ t, 這是以有效勞動單位衡量的平均產出, 稱為有效人 均產出 (output per effective worker), 其他變數也以相同方式定 義 請仿照 14.7 節寫下代表性消費者的選擇問題, 並推導最適選 擇的一階必要條件 [ 提示 : 將終身效用函數以有效人均消費 c t = C t /Ñ t = c t /A t 表達 ] (b) 平衡成長 : 恆定狀態下的人均資本存量, 產出, 消費及對應的總量 有何特徵? 實質利率等於多少? 請討論 (c) 請利用相位圖分析 µ 上升的動態效果, 並畫出資本存量, 消費及 實質利率的時間軌跡, 包括有效人均量, 人均量及總量

52 52 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 13. 股票價格 : 本題要將股票市場納入 Ramsey 模型 假設代表性廠商發 行固定一單位股權在完全競爭的股票市場中交易 廠商的生產函數 是 y t = A t f (k t 1 ), 股利是 d t = y t i t, 選擇問題與本文相同, 不再重 複 面對各期股票價格 q t 及實質利率 r t, 消費者除了選擇各期消費 c t 及債券持有量 b t 外, 還必須決定應購買多少股權 z t 代表性消費 者的選擇問題是 max {c t,b t,z t} t=1 t=1 β t 1 u(c t ) subject to c t + b t + q t z t = (1 + r t 1 )b t 1 + (q t + d t )z t 1, t, b 0 = 0, z 0 > 0 [ 提示 : 請回去複習第 11 章的資產定價模型 ] (a) 請寫下全面均衡的所有條件, 並討論均衡股價如何決定 (b) 請證明 Walras 市場法則 本題的競爭均衡是否與 Ramsey 模型 相同? 請討論其中意義 (c) 令各期 A t = A, 請決定恆定狀態下的股票價格 生產力 A 永久上 升對恆定股價有何影響? (d) 經濟社會原來處於恆定狀態, 請分析生產力短暫上升對均衡股價 的動態影響 你的結論與第 11 章有何不同? (e) 經濟社會原來處於恆定狀態, 假設當期生產力不變, 但未來生產 力永久上升 請分析此一預期衝擊對全面均衡的動態影響, 包括 消費, 投資, 實質利率及股票價格 (f) 考慮題 3 的設定, 請計算均衡股價的公式解 你的解是否與前面 兩小題的分析結論一致? 請解釋 14. Crusoe 的終身預算限制 : 14.4 節利用 Crusoe 的終身預算限制及橫截 條件排除不穩定的馬鞍路徑, 但作者賣了個小小關子, 並未逐步推導

53 習題 53 終身預算限制 本題要請讀者將 Crusoe 的預算限制以現值或折現加 總形式表達 荒島的椰果產出 y = f (k) 即是 Crusoe 的所得 利用 Euler 性質, 此 一所得可拆解成 y = MPL + k f (k), 第一項是 Crusoe 的勞動所得, 第二項是資本所得 令 w = MPL 及 r = f (k) δ 分別表示影子工資 率及影子利率, 則荒島的資源限制可以改寫成 c t + [k t (1 δ)k t 1 ] = f (k t 1 ) = w t + f (k t 1 )k t 1, c t + k t = w t + (1 + r t 1 )k t 1, t 上式即為 Crusoe 的預算限制, 與面對市場價格的消費者並無不同 (a) 跨期預算限制 : 令折現價格 q t = 1/(1 + r 1 ) (1 + r t 1 ) 請證明 : 對 任一固定時點 T <, 下式成立 : q T k T = T t=1 請用白話敘述上式的直觀意義 q t (w t c t ) + (1 + r 0 )k 0 (b) 不可倒債條件 : 荒島上的 Crusoe 能夠倒債嗎? [ 提示 : 不能倒債的 條件是什麼?] (c) 橫截條件 : 為什麼橫截條件是終身效用極大的充分條件? 請根據 上面的預算限制解釋

54 54 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 部分習題解答 1a B t 下降使生產函數平行下移, 導致當期產出下降 因為持續時間極為短暫, 且不影響資本生產力, 故消費需求及投資需求都不受影響 在原利率水準下, 產出供不應求, 導致市場利率上升, 消費及投資下降 直觀上, 所得短暫下降使消費者的儲蓄意願下降, 造成借貸市場資金緊俏, 市場利率因而上升 圖形略 1b 圖 14.15(a) 中, 市場均衡原來落於 e 點的恆定狀態, 生產函數永久平行 下移使商品供給線左移, 產出下降 e f 單位 此一衝擊不影響恆定資 (a) 商品市場 (b) 相位圖 r t y B * y c t c t 0 f e * c c e f B k t 0 d y t y t * k kt 1 圖 14.15: 生產函數永久平行下移的均衡效果 本存量, 故 e f 即是消費者恆常所得的下降幅度, 導致消費需求或商品需求曲線等幅左移 在原利率水準下, 供需仍然相等, 均衡從 e 點直接移至 f 點, 沒有過渡期間調整過程, 各期產出及消費等幅下降, 投資及實質利率不變 生產力永久下降使生產函數比例下移, 導致產出供過於求, 均衡利率下降 若財富效果大於替代效果, 則消費下降, 反之則上升 不論消費如何變動, 投資必然下降 分析過程與圖 14.3 相反, 請自行補充

55 部分習題解答 55 1c 圖 14.15(b) 中, 經濟社會原來處於 e 點的恆定狀態, 生產函數永久平行下移不影響恆定資本存量, 故 c t = 0 線不動, 但 k t = 0 曲線等幅平行下移, 新的恆定狀態落於 f 點 B 永久下降使最適選擇從 e 點直接移至 f 點, 消費降為 c 因為是平行移動, 影子利率不受影響 以上結論與市場均衡分析相同 1d 圖 14.16(a) 中, 預期未來生產函數平行下移不影響本期產出, 也不影 響廠商的投資需求, 但消費者預知未來所得下降, 故消費需求或商品 需求曲線左移 在原利率水準下, 產出供過於求, 導致市場利率下跌, (a) 商品市場 (b) 相位圖 r t * y c t c t 0 e * c e a 預期 k t 0 a r a c f d y t y * t kt 1 k 圖 14.16: 預期未來生產衝擊的均衡效果 均衡自 e 點移至 a 點 隨著利率下跌, 投資上升, 但因產出並未改變, 均衡消費下降 與 (b) 小題比較, 這裡的財富效果較小, 因為消費者可 以 未雨綢繆, 透過儲蓄及投資來降低未來衝擊的影響 1e 圖 14.16(b) 中, 經濟社會原來處於 e 點的恆定狀態, 未來 B 下降使下期的 k t = 0 曲線平行下移至藍線位置, 新的恆定狀態落於 f 點 站在今天, 產出並未改變, 均衡不可能如圖 14.15(b) 一樣, 從 e 點直接跳到 f 點, 因為這表示當期消費下降但投資卻不變, 違反資源限制 顯

56 56 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 生產衝擊 期末資本存量 B 預期 B * k 時間 消費 時間 實質利率 * c c 時間 時間 圖 14.17: 生產函數平行下移的動態效果 然, 當期均衡會落於 e, f 兩點之間的 a 點, 表示當期消費下降而投資或期末資本存量上升 直觀而言, 這是因為 Crusoe 知道苦日子即將到來, 因此會減少消費, 增加儲蓄 經濟社會進入下期, 均衡從 a 點移到右側的馬鞍路徑上 明天過後, 資本存量及消費順著馬鞍路徑逐漸下降, 直到最後的恆定狀態 f 點 圖 畫出對應的衝擊反應函數 當 B 從 t = 1 開始下降時 ( 黑線 ), 消費等幅下降, 但資本存量及實質利率不變 若 B 從 t = 2 才開始下降 ( 藍線 ), 則當期消費下降, 導致產出供過於求, 市場利率下降, 投資上升 在過渡期間, 利率回升, 資本存量回到原恆定水準, 消費因利率回升而持續下降, 最後收斂至較低的恆定水準

57 部分習題解答 57 3a 最適解滿足歐勒方程式及資源限制式 : u (c t ) = βu (c t+1 ) [1 δ + A t+1 f (k t )], c t + [k t (1 δ)k t 1 ] = A t f (k t 1 ) = y t 當 δ = 1 時, 資源限制滿足 c t + k t = y t 令 k t = πy t, 則 c t = (1 π)y t 利用 u (c t ) = 1/c t 及 A t+1 f (k t ) = αy t+1 /k t, 歐勒方程式可寫成 c t+1 c t = αβ y t+1 k t y t+1 y t = αβ y t+1 k t k t = αβy t 顯然, 未知係數 π = αβ (0, 1) 將生產函數代入上式, k t 的公式解可 以表達成 A t 及 k t 1 的函數 ( 即 k t 的策略函數 ): k t = αβy t = αβa t k α t 1 (3a) 以自然對數表達, 上式也可寫成 ln k t = ln αβ + α ln k t 1 + ln A t (3b) 這是一條 ln k t 的線性一階差分方程式, 在動態均衡模型中極為常見 最後, 消費的策略函數是 c t = (1 αβ)y t = (1 αβ)a t k α t 1 3b 利用上題的解及 A t+1 f (k t ) = 1 + r t ( 因為 δ = 1), 實質利率滿足 1 + r t = αa t+1 k α 1 t = αa t+1 [αβa t k α t 1] α 1 取自然對數並利用 ln(1 + r t ) r t, 均衡利率的公式解是 r t 參數項 + ln A t+1 (1 α) ln A t α(1 α) ln k t 1 (3c) 均衡利率也可利用一階條件 u (c t ) = βu (c t+1 )(1+r t ) 求解, 請自行驗 證 提醒讀者, 均衡解必須表達成外生變數的函數才算完成

58 58 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 觀察上式, 當 A t 上升時, 實質利率下降 這是當然之理, 因為產出短 暫增加使商品市場供過於求, 借貸市場資金相對寬鬆, 導致實質利率 下降 反之若 A t+1 上升, 則未來所得上升, 消費者的儲蓄意願下降, 導 致市場利率上升 3c 圖 14.18(a) 在 (k t 1, k t ) 空間中畫出資本存量的策略函數 (3a) 給定各 期 A t = A, 恆定狀態落於策略函數與 450 線相交的 e 點, 恆定資本 存量是 k A 短暫上升使策略函數暫時上移至虛線位置, 資本存量從 kt (a) 策略函數 資本 (b) 時間軌跡 k1 45 線 k2 kt k1 k* e k* k2 kt Akt 1 rt k * k2 k1 kt 1 t 圖 14.18: 公式解: 生產力短暫上升的動態效果 k 增至 k1 下期的 A 回降, 策略函數移回原來位置 給定期初資本 k1, 期末資本降至 k2 繼續此一過程, 資本存量逐漸回到原來的恆定 狀態 均衡利率的調整也非常容易決定 根據 (3c) 式, A t 上升使當期 r t 下降, 然後隨著資本存量下降逐漸回升 圖 14.18(b) 畫出對應的時間軌跡 資本存量先升後降, 而實質利率則 相反 以上結論與 14.2 節的分析完全一致 簡言之, 當生產力短暫上 升時, 產出供過於求, 導致市場利率下降, 投資及消費上升 3d 圖 14.19(a) 中, 當 A 永久上升時, 資本存量會如箭頭所示, 從原來的 e 毛慶生 (April 20, 2018)

59 部分習題解答 kt (a) 策略函數 資本 k2 (b) 時間軌跡 45 線 f k k1 k1 k* e k* 59 kt Akt 1 k k2 kt k* rt kt 1 t 圖 14.19: 公式解: 生產力永久上升的動態效果 點收斂到新的恆定狀態 f 點, 對應的資本存量 k > k 根據 (3c) 式, A 永久上升使一開始的實質利率上升, 但隨著資本存量上升, 利率逐 漸回降, 直到收斂至時間偏好率 時間軌跡見圖 14.19(b)) 以上結論 也與 14.2 節的分析一致, 不再重複 3e 觀察本題的公式解, 我們發現 c t 及 k t 僅受當期 A t 影響, 與未來生產 力無關, 亦即, 當未來生產力上升時 (不論短暫或持久), 本期消費及投 資都不受影響 直觀上, 未來生產力上升會使本期的消費及投資需求 上升, 導致均衡利率上升, 故消費及投資的變動方向無法確定 顯然 在本題的設定下, 利率上升對消費及投資的負向影響剛好與生產力上 升的正向影響抵銷, 導致最後的消費及投資不變 3f 令 k t = ln k t ln k 表示 k t 與恆定狀態 k 的比例差距 利用 (3b) 式, k t = α k t 1, 向前解至起始期, 可得 k t = α k t 1 = α 2 k t 2 = = α t k 0 地震使 k 0 < 0, 根據上式, T 期之後, 資本存量與恆定狀態的距離是 毛慶生 (April 20, 2018)

60 60 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 k T = α T k 0 移項整理, T 滿足 ( 請注意, k 0 < k T < 0) α T = k T / k 0 (0, 1) T = ln( k T / k 0 ) ln α > 0 本題要求恢復 90% 的資本存量損失, 故 kt / k 0 = = 0.1 當 α = 0.4 時, 所需時間是 T = ln(0.1)/ ln(0.4) 2.5 年 若 α = 0.1, 則 收斂速度加快, 所需時間降為 T = ln(0.1)/ ln(0.1) = 1 年 直觀上, 資本存量的收斂速度與邊際產出的遞減速度有關, 我們可以 利用 MPK 的彈性判斷 在 Cobb-Douglas 生產函數下, 此一彈性是 f (k)k f (k) = 1 α 顯然, α 的值越大, f (k) 遞減的速度越慢 倒過來說, 地震摧毀資本 設備, 若 α 的值較小, 則邊際產出的升幅相對較大, 此時廠商有更強的 誘因增加投資, 導致重建或收斂速度加快 3g 令 k t = πy t, 則根據資源限制式, c t = (1 g π)y t 本題也可假設 k t = π(1 g)y t, 結果不變 仿照 (a) 小題, k t 的解仍是 k t = αβy t, 故 c t = (1 g αβ)y t 顯然, 實質利率的解與 (b) 小題相同 觀察 (3c) 式, g 上升不影響實質利率, 這是因為政府消費永久上升不影響商品供給, 也不影響商品需求 ( 見 2b 小題 ), 故均衡利率不變 5a 在恆定狀態下, 廠商最適選擇的一階條件是 (1 τ) f (k) = ρ + δ, 代 入 f (k) = αk α 1, 整理後可得 k = [ 1/(1 α) α(1 τ) ρ + δ ] 根據上式, 恆定資本存量的稅率彈性是 d ln k dτ = ln k = 參數項 + 1 (1 α)(1 τ) ln(1 τ) 1 α 令 α = 0.4, τ = 0.2, 資本存量約下降 1/(1 0.4)(1 0.2) 2.1%

61 部分習題解答 61 5b 根據上題, 政府稅收或定額年金是 v(τ) = τ f (k) = τ[ α/(1 α) α(1 τ) ρ + δ ] 圖 畫出以上的稅收函數 當稅率逐步上升時, 因為扭曲效果逐 漸加大 ( 見上題的稅率彈性 ), 稅收會先增加然後下降 顯然, 銷售稅 v v l 1 h 圖 14.20: 銷售稅的 Laffer 曲線 也有 Laffer 效果 如圖所示, 政府若要籌措 v 的年金, 則低稅率 τ l 及 高稅率 τ h 都能如願 以自然對數表示, 政府稅收可寫成 稅收極大的一階條件是 d ln v dτ ln v(τ) = 參數項 + ln τ + ( α ) ln(1 τ) 1 α = 1 τ ( α 1 α ) ( 1 1 τ ) = (1 α) τ (1 α)τ(1 τ) = 0 根據上式, 當稅率 τ = 1 α 時, 年金給付最高 5c 如果政府能夠訴諸定額融通, 問題當然迎刃而解, 但課徵定額稅, 又發 放定額年金, 顯然多此一舉 如果定額稅不可行, 則政府可選擇發行公

62 62 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 債, 這等於是用未來定額稅支應當下定額年金, 根據李嘉圖等值定理, 也是多此一舉 最後, 政府可以選擇消費稅融通 令 ϕ 表示消費稅率, 則政府及消費者的預算分別滿足 v t = ϕc t 及 (1 + ϕ)c t + b t = d t + v t + (1 + r t 1 )b t 1 因為各期稅率相等, 消費者決策的一階條件仍是 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ) 廠商的最適條件仍是 f (k t ) = r t + δ 顯然, 在 Ramsey 模型中, 消費 稅具有中立性質, 對消費者及廠商的最適選擇不產生任何影響 這是 消費稅被學界青睞的主要原因 7a 廠商累積一單位 k t 只需要 i t = 1/(1 + z) < 1 的商品支出, 這是邊際 成本 以商品單位衡量, 邊際報酬是 f (k t ) + (1 δ)/(1 + z) 請小心, (1 δ) 必須除以 (1 + z) 才能得到以商品單位衡量的殘餘價值 最適 選擇要求邊際成本等於邊際報酬, 故一階條件是 z = f (k t ) + (1 δ)/(1 + z) (1 + z) f (k t ) = r t + δ 1 + r t 全面均衡還必須滿足以下三式 : 消費者效用極大 u (c t ) = βu (c t+1 )(1 + r t ), 資本移動方程式 (1 + z)i t = k t (1 δ)k t 1, 商品市場結清條件 c t + i t = f (k t 1 ) 在恆定狀態下, 實質利率仍然等於時間偏好率, 故恆定資本存量 k 滿 足 (1+z) f (k ) = ρ+δ 顯然, z 上升會使 k 及產出 y = f (k ) 上升, 效果與要素生產力上升相同 根據資本移動方程式, 恆定投資支出是

63 部分習題解答 63 i = δk /(1 + z) 當 z 上升時, 因為 k 也上升, i 的變動方向無法確 定, 不過一般情形下, 恆定投資會上升 ( 見上章習題 ) 不論恆定投資如何變動, 資本創新必然會使恆定消費上升 利用市場 結清條件, 恆定消費滿足 c = f (k ) δk /(1 + z), 對 z 微分, 可得 dc dz = [ f (k ) δ 1 + z ] dk dz + δk (1 + z) 2 = ( δ 1 + z ) dk dz + δk (1 + z) 2 > 0 [ 利用 f (k ) = ρ + δ 1 + z ] 直觀上, 資本創新使恆常所得上升, 故恆定消費上升 7b 性質上, 資本創新雖與生產力上升相似, 但均衡效果不完全相同 關 鍵在於 z 上升不影響商品供給 y t = f (k t 1 ), 故衝擊發生當期的總需 求不能改變, 這表示均衡消費與均衡投資的變動方向相反 根據上題 的分析, z 上升會使消費需求上升, 而一般情形下, 投資需求也上升, 故 商品市場將出現超額需求, 導致均衡利率上升 如果資本創新使資本報酬大幅上升, 或者, 消費者不特別在意極端的 消費型態, 則利率上升的跨期替代效果會大於恆常所得上升的財富效 果, 導致均衡消費下降 因為短期產出不變, 故均衡投資上升 反之, 若財富效果大於跨期替代效果, 則均衡消費上升, 但均衡投資下降 供 需圖形略, 請自行補充 7c 根據均衡條件, 消費及資本存量的變動由以下兩式決定 : u (c t 1 ) = βu (c t ) [1 δ + (1 + z) f (k t 1 )], k t = k t k t 1 = (1 + z) [ f (k t 1 ) c t ] δk t 1 第一式與本文完全相同, 而根據第二式, 若 c t f (k t 1 ) δk t 1 /(1+z), 則 k t 0 顯然, z 上升的相位圖與正文的圖 14.9(b) 完全相同, 無須

64 64 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 再另外作圖 當 z 上升時, c t = 0 及 k t = 0 兩線同時外移, 導致恆 定消費及資本存量上升 根據上題的分析, 短期下, 若跨期替代效果 大於財富效果, 則最適選擇會從 E 點移至 b 點, 消費下降而投資上升, 反之, 若財富效果大於跨期替代效果, 則最適選擇移至 a 點, 消費上升 而投資下降 在過渡期間, 消費及資本存量沿著馬鞍路徑收斂至新的 恆定狀態 F 點 z 上升使一開始的實質利率上升, 但隨著資本存量上 升而回降 衝擊反應圖形略 9a 圖 14.21(a) 中, 原始均衡落於 e 點的恆定狀態, 地震摧毀資本存量, 導 致當期產出下降, 商品供給左移至藍線位置 對廠商而言, 期初資本 下降使投資需求上升, 但家計單位的消費需求卻會因為財富效果而下 降 理論上, 商品需求的變化方向無法確定, 但所得下降是暫時的, 消 rt ra (a) 當期地震 f (k * ) rt a 1 e ra 1 e b (b) 預期地震 f (k * ) a ytd ytd yt yt 圖 14.21: 地震的均衡效果 費者試圖將地震帶來的 痛苦 分散到未來, 故一般情形下, 消費需求 的降幅相對較小, 導致商品需求右移至藍線位置 在原利率水準下, 產 出供不應求, 均衡移向 a 點, 市場利率升至 r a 利率上升使消費需求 進一步下降, 故均衡消費必然下降 正常情形下, 淨投資或期末資本 會上升, 因為利率之所以上升反映的正是地震後的重建需求 在過渡 毛慶生 (April 20, 2018)

65 部分習題解答 65 期間, 資本存量逐漸回升, 實質利率下降, 而消費也逐漸回升, 最後回到原來的恆定狀態 時間軌跡略, 請自行補充 9b 此即本文圖 14.8 討論的情形, 地震使資本存量從 k 降至 k 0 分析結論與上小題的市場供需模型相同, 請自行補充 9c 參數 γ 是跨期替代彈性的倒數, 數值越小, 消費需求及儲蓄的利率彈性越大, 故資本的調整速度會越快 圖 14.21(a) 中, 當 γ > 1 時, 商品需求的利率彈性較小, 斜率相對陡峭, 地震使利率升至 r a, 但當 γ < 1 時, 彈性較大, 需求曲線相對平緩, 利率升至 b 點位置, 幅度相對較小 正因為利率水準相對較低, 資本重建的速度也會較快 直觀的說, 如果消費者不特別在意極端的消費型態 ( 即 γ 相對較小 ), 則地震發生時, 他們也比較能夠忍受短暫的消費下降, 此時經濟社會有相對充足的資源流向廠商投資, 故資本重建或收斂速度會較快 9d 圖 14.21(b) 畫出預期地震的當期效果 因為災難尚未發生, 本期產出不受影響 對廠商而言, 預期地震不影響最適資本規模, 故投資需求不變, 但消費者預期未來所得下降, 故消費需求下降 顯然, 預期地震會使商品需求下降, y d t 曲線左移至藍線位置 在原利率水準下, 產出供過於求, 均衡移至 a 點, 利率降至 r a 利率下降使投資及資本存量上升, 因為產出不變, 均衡消費必然下降 直觀而言, 面對即將來臨的 災難, 消費者會 未雨綢繆, 增加儲蓄, 經濟社會透過利率下跌引導廠商增加投資, 減輕災難果真降臨時的衝擊 10a 首先求解 Crusoe 的反應函數 因為 δ = 0, 恆定狀態滿足 f (k) = ρ 1 αk α 1 = ρ 1 k = (α/ρ 1 ) 1/(1 α) c = y = k α = (α/ρ 1 ) α/(1 α)

66 66 第 14 章 Ramsey 模型的均衡分析 因為折舊率 δ = 0, 恆定狀態下的投資等於零, 故資源限制滿足 c = y 最後, 一階條件 (14.10) 式可寫成 v x (x, z) u (c) = f (k) c x θ 1 z = α y k 利用 c = y 並代入 k 的解, 移項整理後可得 Crusoe 的反應函數 : x = g(z) = x + θ 1 z, x = ( αα 1/(1 α) ) > 0 (10a) ρ 1 土人的選擇問題與 Crusoe 對稱, 故反應函數是 z = h(x) = z + θ 2 x, z = ( αα 1/(1 α) ) > 0 (10b) ρ 2 10b 納許均衡 (x, z ) 是 (10a)-(10b) 兩式的聯立解 假設 θ 1 θ 2 1, 則 x 及 z 的解是 x = x + θ 1z 1 θ 1 θ 2, z = z + θ 2x 1 θ 1 θ 2 我們要求 x > 0 及 z > 0, 故納許均衡存在且唯一的充分必要條件是 θ 1 θ 2 < 1 直觀上, 參數 θ 可用來衡量 Crusoe 及土人面對彼此的主觀 威脅感或不滿程度 例如, 土人武器 z 上升對 Crusoe 效用的影響是 v z = θ 1 /(x θ 1 z) < 0; 顯然, θ 1 的值越大, 則 Crusoe 的威脅感越大, 而椰彈的邊際效用 v xz = θ 1 /(x θ 1 z) 2 也越高 反之, θ 1 的值越小, 則 威脅感越低 條件 θ 1 θ 2 < 1 表示 : 即使雙方 劍拔孥張, 但只要有一 方不特別覺得受到威脅或特別 不爽, 則納許均衡存在 當然, 如果 雙方都願接受那 四個說不出的字, 則均衡也必能維持 圖 14.22(a) 畫出 Crusoe 及土人的反應函數, 兩式交於 e 點, 武器存量 各為 x 及 z 如圖所示, 若土人的原始武器存量是 z 1, 則 Crusoe 會 選擇 x 1, 而面對 x 1, 土人又選擇 z 2, 直到收斂至 e 點