Microsoft Word - 初等物數2012.doc
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- 亿悌 习
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1 Chpter Mtres n Vetors 矩陣與向量 - Mtres 矩陣 令 m 與 n 為正整數 一個大小 sze 或 階數 orer 為 m n 的矩 陣是一個數字 的有序集合 orere set 其中 m n 長 相如下 : m m n n mn 矩陣內的數字 稱為第 列 橫 第 行 直 的 矩陣元素 mtr element 若 m n 則 稱為 方陣 squre mtr 下列 - 表列出 矩陣 相關的矩陣 mtr elements emple ~ or rnspose of 倒置 ~ Comple onugte of 複數共軛 ~ Hermtn onugte of ~ 厄密共軛
2 *Hermtn onugte pf. * q.e.. * 對於矩陣 若存在矩陣 - 使得 ~ ~ - 稱為 的反矩陣 nerse. 上式中的 矩陣稱為 單位矩陣 unt mtr 其元素除了對角線上的元素全為 之外其餘元素全為 此處引進一個符號 Kroneher elt: f δ 即 δ f 可以證明任何方陣 乘以相同大小的單位矩陣 等於 自己 即 pf. δ 因為所有 的項都為 又 δ 因為所有 的項都為 * 矩陣的相等 : 即各對應元素皆相等 * 若 與 為相同的 n 階方陣則定義運算如下 onst. n n n n n n - 全寫出來就是 n n
3 若 n C C e. e 注意 通常 例如 ut 但是 C C pf. t t t t t t t t t C C C C C C * pf. n * Q * 矩陣 的行列式 etermnntet 每一個 n 階的方陣 都對應一個數字稱為 的行列式 矩陣行列式的定義如下 : f. et 階方陣的行列式定義如下 : * he Le-Ct smol ε 考慮 { } 為 { } 個正整數的有序排列 permuton 集合 這樣的集合共有! 個 :{}{}{}{}{}{}.
4 定義 交換數 numer of nerson 為 { } 經相鄰數字左 右交換 而成 {} 的總交換數 定義 Le-Ct 符號 ε ε f f numer of numer of nerson of nerson of { } {} een. { } {} o ε ε ε ε ε ε 且 ε 如果任二腳標相等.e. ε ε ε * 一個 階矩陣 的 行列式 et 定義為 et δ ll{ } et ε 有一種簡單的 矩陣行列式的算法 : e 另有一個 階方陣行列式的算法 : et 對任何一列. 其中 為 oftor of element et 原方陣 去掉第 列及第 行剩下的 n- 階方陣 * 行列式為 的方陣稱為 sngulr mtr. 若一方陣行列式非 則 為 nonsngulr.
5 7 * 由 行列式 的定義可推出下列性質 :. et et. 若 任何行或列全為 則 et 例如. h g f e h g f e γ γ γ γ. 例如 9. 任二行 或列 互換後所得的方陣的行列式 -et. 例如. 若 的任二行 或列 的元素全等 則 et. 例如. et 可經由某行 或列 的 拆解 而成 個方陣行列式的和 例如 7. 某行 或列 加上另一行 或列 的 倍後 新方陣的行列式不變 例如 : 右邊的行列式為左邊的第一列加上第二列 * 的反矩陣 - of oftor et.e. f et 不存在 其中
6 8 oftor of et 去掉第 列與第 行後剩下的 n- 階矩陣 e. et he: n -. E. et Che: -. E. 非齊次聯立方程組的解 γ β α γ β α γ β α z z l h g f e lz h g fz e z 上式兩邊 γ β α γ β α z z 只要 et 但是如果是齊次方程式 γ β α z z 存在 f z 就只剩全 的 自明解 trl soluton 所以齊次方程組要想有 nontrl soluton 那麼方程組裡未知數係數所形成的矩陣的行列式就不能為. - 座標轉換考慮一個單純的座標旋轉 此處我們使用 而不用 來寫平面座標 考慮繞垂直於 與 軸且通過原點的軸
7 9 逆時針轉 角 並定義轉完後的座標軸為 與 軸 若平面上一點 P 其座標在原座標系為 在新座標系為 則可看出新舊座標之間的關係為 os os sn os os os os sn π π os sn sn os 其中 os sn sn os 稱為平面的 轉換或旋轉矩陣 由 - 與 - 可以看出若定義 os os s 與 s 的夾角 π π os os sn os os sn os os os os 這使得平面的座標旋轉可以重新寫為 或在 D 空間. n for smlr 所以可以寫出一個通式. for 請特別注意 的順序 -
8 做為結論 D 空間的旋轉矩陣可寫為 其矩陣元素 os 為 軸在相對於 軸的 方向餘弦 retonl osne. E. 考慮值角座標系對 軸逆時針轉 9 o 非 矩陣元素為 os os os 現考慮對 軸逆時針轉 9 o s s 若定義向量 X X 考慮兩次座標旋轉 : 先對 軸逆時針轉 9 o 之後再對新的 軸逆時針轉 9 o X X X n X X " 則 " " " 然而若將這兩個座標旋轉的次序顛倒 結果
9 X 可以看出總旋轉矩陣 所以最終結果也不同 這也是矩陣乘 法 不可交換性 non-ommutlt 的一個明顯的例子 本例子也清 楚點出旋轉運動中角度變化 角位移 Δ 不是一個向量 因為不滿 足向量加法的可交換性 * 旋轉矩陣的性質 空間中過原點一直線與 軸的夾角分別為 α β γ 則該直 線的 方向餘弦 retonl osne 滿足 os α os β os γ - 證明 - 式如下 : 令 r 為在直線上點 P 的位置向量 r [ r osα r osβ r osγ ] r r osα z os β r osα osγ r os β. r osγ r 若過原點兩直線與 軸的夾角分別為 α β γ 與 α β γ 而且兩直線間夾角為 則 os osα osα os β os β osγ osγ - 證明 - 式如下 : 兩直線上各選一點 P 與 P 位置向量各為 r [ r osα r os β r osγ ] r [ rosα ros β rosγ ] r r rr osα osα rr zz os β os β rr osγ osγ rr os osα osα os β os β osγ osγ. os 現考慮座標系 對一通過原點的任意軸做旋轉而成 而 os... 則為 軸在原座標系 的 方向餘弦 由 - 因 軸方向餘弦可得
10 -7 smlrl 由 與 可得 與 寫為 連同上式可 f. 8 9 已知 軸和 在原座標系的方向餘弦分別為 與 現由於 與 夾角為 9 o 所以可由 - π os os 由於 與 夾角為 9 o 與 夾角亦為 9 o 所以 f. 合併 -9 與 - 與 roneher elt 旋轉矩陣的元素有如下性質 δ - - 稱為旋轉矩陣元素的 正交條件 orthogonl onton 是基 於直角座標軸之間都是彼此正交 垂直 的 一矩陣 被稱為 正交矩陣 orthogonl mtr 如果 - 我 們可以由 - 證明旋轉矩陣 就是 正交矩陣 : pf. Q δ 且 δ δ 自己回去證明
11 * 幾種特殊的矩陣 : smmetr : ntsmmetr : Hermtn : rel f : orthogonl : untr or δ : gonl n : nepoten * 座標系統的 nerson: 透過原點的反射 refleton 即所有 所以 nerson 矩陣為 I I δ I I I orthogonl. 注意 : 座標 nerson 的動作是不能經由座標旋轉的組合形成!.e. R. I R 其中 R 表旋轉矩陣 可以證明 et R n et I 所有的旋轉也稱為 proper rotton 而 nerson 則稱為 mproper rotton 座標旋轉在 純量 向量 的定義上是有意義的 : 考慮一個下 列形式的座標轉換 wth δ 若一個量 ϕ 在這樣的座標轉換之下 不變 則 ϕ 為一純量 例如質量 M z M z 所以質量為一純量 若有一個量以集合 表現而當座標由 { } { } 時 的分量也做相同的轉換 s etor.
12 * 行列式的微分 os sn sn sn. ] [et et e e e e e ε ε - Egenlue prolem 本徵值問題一個任意的 矩陣可視為一個作用在任何一個 行向量 的 opertor 算符 作用如 u.e. 作用在 後將 變成 u 例如 * 對應於一個給定的矩陣 有一組特別的向量 具有一特性 : 為一常數 矩陣 的 對應於 egenlue 本徵值 的 本徵向量 egenetor 換言之 當矩陣 作用在自己的 egenetor 時只會將 egenetor 放大 倍 而這個放大的倍數稱為 egenlue. 例如 就是矩陣 的 egenetor Q 對應的 本徵值 與 本徵向量 是相互聯繫的 ; 每一個 的本徵向量只對應一個本徵值 但是對於某些 本徵值 有可能一個 本徵值 有多於一個 本徵向量 與之對應
13 給定一個矩陣 要如何計算其對應的本徵值與本徵向量? 請見下列例子 : 令 要避免 trl soluton 則前面的矩陣行列式必須為 et et 上式在解 時所導入的方程式 et 叫做 seulr equton 久期方程式 對於本徵值 let. : he let 長度 的向量稱做 歸一化的 normlze 向量 我們通常希望所得的本徵向量是歸一化的 歸一化的 就是原 將自己的長度除掉 對於本徵值 let
14 . : normlze he 所以 ;. E. Fn egenlues for ] [ ] [ et z z From ± ± 這也讓我們看到一個 實矩陣 是可能有 複數 的本徵值 * 由於解 本徵值 時要解一個久期方程式 et 所以對於一個 n n 的矩陣最多可以解出 n 個複根 但是常會遇到重根的 se 那些重根的 稱為 簡併的 egenerte 本徵值 如果 是 m 重根 則 為 m 重簡併 m-fol egenerte 簡併的 本徵值所對應的本徵向量也稱為 簡併的本徵向量
15 7 E. Fn egenlues n egenetors for et. Sol : he e. Fn egenlues n egenetors for. ] [ et : Sol For 非簡併本徵值 hoose
16 8 For 簡併本徵值 hoose or hoose 總結 : ; 我們注意到 n 但是簡併本徵向量之間卻不彼此正交 不過我們可以透過所謂的 Grm-Shmt 過程 使得到一組相互正交的簡併本徵向量 * 向量的內積 nner prout or ot prout 考慮 個行向量 定義 間的內積為 * * * *
17 9 * 個向量的內積若為 稱向量 相互垂直 正交 orthogonl * Grm-Shmt 過程 : 一個將一組 n 個彼此不平行 但不必彼此垂直 的向量建構成一組 n 個彼此垂直向量的方法 先考慮一組 個不平行向量 ; { 為一常數 } 所以向量 可以分解為平行與垂直 的分量 :. }: { ˆ ˆ ˆ ˆ // // // set orthogonl n Q 上式中出現的 â 為向量 方向的 單位向量 ˆ 再考慮 個不相互垂直的向量集合 } { 我們可以先用 Grm-Shmt 由 建構 使得 於是 可以分解為平行 的分量加上同時垂直於 的分量. } { ˆ ˆ ˆ ˆ set orthogonl n 個以上的向量集合也模仿上面照章辦理 E. 由 建構一組正交集 解 : 可以看出
18 ˆ ˆ ˆ ˆ n * 定理 :Hermtn 矩陣 的本徵值必全為實數.e.. R n f Pf. 先讓本徵向量 為歸一化的向量 :. R lso from for Q * 定理 : 若 為 Hermtn 且.. e pf. 由 * lso Q
19 習題......
20 7. 8. Fn the egenlues n orthonoml egenetors for the followng mtres. 9..
21 ..
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遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
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5 年台灣大學 解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系 高分子所 食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為 階方陣, I 為 階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣
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標題
第三章矩陣 矩陣的運算 ( 甲 ) 矩陣的基本認識 () 矩陣的引入 : 聯立方程組 : 矩陣 直行橫列 z z z 列行 () 矩陣的基本名詞 : () 元 (elemet): 矩陣中列出來的每個數稱為矩陣的元 () 列 (row): 同一水平線各元合稱此矩陣的一列 () 行 (olum): 同一鉛直線各元合稱此矩陣的一行 (d) 位於第 i 列, 第 j 行的元稱為 (i,j) 元 (e) 當一個矩陣
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年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 等別 : 高員三級鐵路人員考試 類科別 : 電力工程 電子工程 科目 : 工程數學 甲 申論題部分 :(5 分 ) 一 設矩陣, 5 求 A 的特徵值 (eigevalues) (5 分 ) 求 A 的特徵向量 (eigevectors) (5 分 ) 求 A (5 分 ) λ det( A λi) 5λ ( λ)( λ5) λ, 5 λ K λ 5 K, 5 A
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
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第 5 章 簡單線性迴歸之矩陣方法 Matrices Approach to Simple Linear Regression 在複迴歸中, 由於矩陣方法可以透過較為精簡的表達方式, 來表示出廣大的聯立方程組, 以及龐大的資料陣列, 所以經常是必須使用的工具 本章首先介紹矩陣代數, 然後介紹如何將矩陣方法應用至簡單線性迴歸模型中, 雖然在簡單線性迴歸模型中, 尚不需使用到矩陣代數, 不過透過矩陣代數的應用,
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
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對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,,
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標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
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《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
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第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
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《分析化学辞典》_数据处理条目_2.DOC
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錄 數 數 數 數 參數 αβ γ η PL( αβ, ) PD ( αβ, ) PH ( αβ, ) ( w ) S, 行 數 數 來 PL( αβ, ) PD ( αβ, ) PH ( αβ, ) 數 ( w ) 數 數 S, 數 不 狀 行 PD α ( αβ, ) (, ) S γ ( w, ) ( w ) S, γ δ = 令 LL = log{ PD αβ, S w, + PH αβ,
1 7 10 240 í é é í º 182 230nm A X 240 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
PowerPoint 演示文稿
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露 年 老 女 兩 留 兩 離 不 不 不 料 車 不 料 來 1. 22 年 讀 律 說 2. 女 20 老 女 麗 3. 45 老 論 4. 林 女 43 見 識 女 5. 45 來 老 6. 女 20 女 7. 劉 女 45 利 說 8. 60 9. 50 良 10. 50 11. 45 12. 45 露 1 13. 老 14. 里 50 兩 L 不 1 : L L 切 2 1 切 泥 留 露
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編 輯 推 薦 無 悔 付 出 的 勇 氣 身 邊 是 不 是 有 這 樣 的 人, 總 將 自 己 的 需 求 放 在 最 後, 為 了 所 愛 的 人 無 怨 無 悔 付 出? 以 前 小 編 總 覺 得 這 樣 的 人 很 偉 大 也 很 傻, 怎 麼 能 將 自 己 的 一 切 全 部 投 入 毫 不 保 留? 或 許 是 因 為 見 到 身 邊 朋 友 為 了 愛 情 義 無 反 顧, 明
秘密
錯 魂 記 歌 仔 戲 劇 本 劇 情 簡 介 義 明 雅 蓮 夫 妻 膝 下 無 子, 養 育 年 齡 差 距 甚 大 的 小 妹 慧 君, 他 們 都 熱 愛 南 管 音 樂, 而 台 南 城 的 南 管 秋 祭 大 會 將 近, 這 三 人 所 屬 的 館 閣 雅 音 齋 也 正 加 緊 練 習, 希 望 能 在 秋 祭 大 會 中 奪 得 頭 彩 某 日 姑 嫂 兩 人 出 門 行 香, 天
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
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Ⅰ Ⅱ 1 2 Ⅲ Ⅳ
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我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 AB //CD 且 AD // BC, 則 ABCD 稱為平行四邊形, 以 ABCD 表示 A D B C
我們在這個章節要討論一些具有平行邊的四邊形 : 平行四邊形 梯形, 並將之前學過的 菱形 鳶形作個整理 平行四邊形 平行四邊形的定義 : 兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形 如下圖, 若 // 且 //, 則 稱為平行四邊形, 以 表示 平行四邊形的性質 : 從平行四邊形的性質來看, 我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成, 以下列出 5 點性質, 我們將一一來證明
第9章 排队论
9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
標題
第二章平面上的坐標變換 1 平移坐標軸 ( 甲 ) 平面坐標的意義 (1) 平面坐標的意義 : 給定平面上一個定點 O 與兩個不平行的向量 e 1 e, 平面上任意點, 可以找 到實數 x,y 滿足 O=x e 1 +y e, 我們稱 S (O; e 1, e ) 為平面上的一個坐標系, 而 (x,y) 稱為 點相關於 S 的坐標 簡記為 S 坐標, 其中 O 點稱為這個座標的基準點 ( 原點 ),
第12章_下_-随机微分方程与扩散.doc
Ω, F, P } B B ω, ω Ω { B ω ω Φ ω Φ Φ Φ ω ω B ω Φ Φ ω B ω [, ] < L < l l J l ω Φ ω B ω B ω Φ ω B ω l J ω l J ω Φ B l J ω l ω J 343 J J ω, ω Ω } { B : B J B ε > l P ω η ω > ε J Φ ω B ω Φ B η ΦB J, ] B B
.1 LTI LTI.1 LTI y (n) () + a n-1 y (n-1) () + + a 1 y (1) () + a 0 y () = b m f (m) () + b m-1 f (m-1) () + + b 1 f (1) () + b 0 f () -
.1 LTI.3 0-0+.4. -1 .1 LTI LTI.1 LTI y (n) () + a n-1 y (n-1) () + + a 1 y (1) () + a 0 y () = b m f (m) () + b m-1 f (m-1) () + + b 1 f (1) () + b 0 f () - .1 LTI y()( ) = y h ()( ) + y p ()( y (n) +a
untitled
4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
B = F Il 1 = 1 1 φ φ φ B = k I r F Il F k I 2 = l r 2 10 = k 1 1-7 2 1 k = 2 10-7 2 B = ng Il. l U 1 2 mv = qu 2 v = 2qU m = 2 19 3 16. 10 13. 10 / 27 167. 10 5 = 5.0 10 /. r = m ν 1 qb r = m ν qb
Α 3 Α 2Η # # > # 8 6 5# Ι + ϑ Κ Ι Ι Ι Η Β Β Β Β Β Β ΔΕ Β Β Γ 8 < Φ Α Α # >, 0 Η Λ Μ Ν Ο Β 8 1 Β Π Θ 1 Π Β 0 Λ Μ 1 Ρ 0 Μ ϑ Σ ϑ Τ Ο Λ 8 ϑ
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