第 34 卷第 1 期 2004 年 1 月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol 34 No 1 Jan.2004 低频涡流电磁场非自伴变分问题的研究鲁涤强黄学良胡敏强 ( 东南大学

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1 第 34 卷第 1 期 2004 年 1 月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol 34 No 1 Jan.2004 低频涡流电磁场非自伴变分问题的研究鲁涤强黄学良胡敏强 ( 东南大学电气工程系, 南京 ) 摘要 : 利用伴随算子和伴随场函数, 建立了低频涡流电磁场中非自伴算子问题的一般变分描述. 还分别应用最小作用原理和拉格朗日乘子法 ( 广义变分原理 ) 建立了低频涡流电磁场中非自伴算子问题的变分描述. 将这 3 种变分方法与迦辽金法进行了比较. 结果显示, 上述所有方法均可获得与迦辽金法完全一致的结果. 最后讨论了拉格朗日乘子的意义及其与伴随场函数的关系. 关键词 : 变分问题 ; 涡流 ; 电磁场中图分类号 :TM153 文献标识码 :A 文章编号 : (2004) Studyofnon self adjointvariationalproblem inlow frequencyeddycurrentelectromagneticfield LuDiqiang HuangXueliang HuMinqiang (DepartmentofElectricalEngineering,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China) Abstract:Asystemprocedureisproposedtoderivethevariationalprincipleforanon self adjointlow frequencyeddy curentproblem through adjointoperatorand adjointfunction. The othertwo approachesareproposedtoderivethevariationalprinciplethroughtheprincipleofleastactionand lagrangemultipliers(thegeneralvariationalprinciple).thesethreevariationalmethodsarecompared withthegalerkinmethod.itisshownthataltheseprocedurescangetthesameresultsasthegalerkin method.atlast, themeaningoflagrangemultiplierand itsrelationship toadjointfunction is discused. Keywords:variationalproblem;eddycurent;electromagneticfield 变分法和加权余量法 ( 迦辽金法 ) 是有限元计算中最常用到的 2 种方法. 与加权余量法相比, 变分法的主要优点之一在于其物理意义比较明确. 有别于微分方程和积分方程, 变分方程提供了对物理问题的另一种描述形式. 对于自伴算子问题, 很容易找到其变分原理 ( 自然变分原理 ), 并且其导出的方程与从迦辽金法所得到的方程完全相同. 但对于非自伴算子问题, 往往不能直接利用变分法. 文献 [1] 认为, 对于非自伴问题, 必须采用加权余量法而不能用变分原理. 实际上只要找到非自伴算子问题的伴随场函数和伴随算子, 即可建立非自伴算子问题的一般变分描述, 并可获得和迦辽金法完全一致的结果. 另外, 收稿日期 : 作者简介 : 鲁涤强 (1973 ), 男, 博士生 ; 胡敏强 ( 联系人 ), 男, 博士, 教授, 博士生导师,mqhu@seu.edu.cn. 本文还应用最小作用原理以及拉格朗日乘子法 ( 广义变分原理 ), 分别建立了低频涡流场中非自伴算子的变分描述. 并指出, 这些方法导出的方程与从迦辽金法所得到的方程是完全一致的. 1 低频涡流电磁场的边值问题典型的低频涡流电磁场边值问题如图 1 所示. 为简明起见, 本文只考虑齐次边界条件. 但如果边界上包含非齐次边界条件时, 对本文中的讨论也不会有影响. 若采用修正矢量磁位法, 则正弦激励时低频涡流电磁场的边值问题可描述如下 : :L A = J s (1a) Γ H :n [ν 2 ( A 2 )]=0 (1b) Γ B :n ( A)=0 (1c) Γ 12 :n ( A 1 )=n ( A 2 ) (1d)

2 第 1 期鲁涤强, 等 : 低频涡流电磁场非自伴变分问题的研究 59 Γ 12 :n [ν 1 ( A 1 )]=n [ν 2 ( A 2 )] (1e) 式中, 算子 L= [ν ()]+jωσ(); A 为修正矢量磁位 ; J s 为源电流密度 ;ν 为磁阻率 ;n 为单位法向矢量. 对于边界上的单位法矢量的方向作如下规定 : 交界面 Γ 12 上取从 1 指向 2 方向, 外边界 Γ H 以及 Γ B 上取朝域外方向. 图 1 涡流电磁场边值问题示意图为确保矢量位的惟一性, 对于电导率 σ =0 的区域 2, 必须施加库伦规范, 即 A =0 此外, 在一个闭区域内要确保矢量磁位 A 的惟一性, 以 A 自身 ( 而不是 A 的旋度 ) 来表述的合适的边界条件也是必须的 [2]. 要获得这样的边界条件, 可以在 Γ H 和 Γ B 上补充下面的边界条件 : Γ H :n A =0 Γ B :n A =0 则低频涡流电磁场的边值问题可描述如下 : :L A = J s (2a) 2 : A =0 (2b) Γ H :n [ν 2 ( A 2 )]=0 (2c) Γ H :n A =0 (2d) Γ B :n ( A)=0 (2e) Γ B :n A =0 (2f) Γ 12 :n ( A 1 )=n ( A 2 ) (2g) Γ 12 :n [ν 1 ( A 1 )]=n [ν 2 ( A 2 )] (2h) 2 伴随算子和伴随场函数对于非自伴算子问题, 由于算子的非自伴性, 不能直接利用变分原理 ( 自然变分原理 ). 但如果能找到非自伴算子问题对应的伴随算子伴随场函数以及伴随算子方程, 即可建立低频涡流场中非自伴算子问题的一般变分描述. 设满足式 (2) 边界条件的所有复矢量函数构成的子空间为 D. 现构造算子 : L a = [ν ()]-jωσ() 对于 D 中任意 2 个元素 U, V, 作如下运算 : L U, V - U,L a V = [ (ν U)+jωσ U] V dv- U [ (ν V)-jωσ V] dv= { [ (ν U)] V - [ (ν V )] U } dv= { V [n (ν U)]- S[ 1 ]+S[ 2 ] U [n (ν V )]}ds 由混合积的性质易知, 在 2 的外边界 Γ H 和 Γ B 上, 其中闭合曲面积分项为 0; 在交界面 Γ 12 上, 由于 1 和 2 的边界外法线方向相反, 故闭合曲面积分项亦为 0. 由此得 L U, V = U,L a V (3) 由于 L L a, 可见算子 L 是非自伴的, 且 L a 为 L 的伴随算子. 对于由未知场函数 A, 已知源函数 J s, 非自伴算子 L 所构成的确定性方程 L A = J s (4) 记独立于未知场 A 的未知伴随场函数 A a, 任意指定的辅助源函数 J a s 构成辅助的伴随算子方程 L a A a = J a s (5) 则由式 (4) 和式 (5) 组成的算子方程组等价为含 2 个函数之泛函 F A, A a = L A, A a - A, J a s - J s, A a (6) 的驻定公式, 即变分方程为可证明如下 : δf A, A a =0 (7) δf A, A a = Lδ A, A a + L A,δ A a - δ A, J a s - J s,δ A a = δ A,L a A a - δ A, J a s + L A,δ A a - J s,δ A a = δa,l a A a - J a s + L A- J s,δ A a 由于 δa 和 δa a 的任意性, 则式 (7) 必与由式 (4) (5) 组成的算子方程组等价. 文献 [3] 中, 通过构造算子

3 60 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 34 卷 [ ] K = L 0 a 0 L 给出了上述等价性的另一种证明方法. 从物理上看, J a s 通常是未知的. 但在一般情况下, 可令 J a s = J s. 这个变分原理的物理意义, 即为广义相互作用原理 [4,5]. 由于 A 及其伴随场函数 A a 是相互独立的, 因此可设 A =Na, A a = Nb, 珟则有 F = L(Na), Nb 珟 - J s, Nb 珟 - Na, J a s (8) 式中,N, N 珟为插值函数 ;a,b 为基函数.N ={N 1, N 2, },a={ A 1, A 2, } T ; N 珟和 b 的含义与其类似. 求泛函 F 关于 b 的变分, 并令其为 0, 可得 L(Na), N 珟 = J s, N 珟 (9) 此即为矩量法的一般形式. 若 N = N, 珟则有 L(Na),N = J s,n (10) 易知, 上式与迦辽金法在数学上是完全一致的. 3 最小作用原理经典物理学中的很多现象都可以用最小作用原理 (theprincipleofleastaction) 来解释. 静电场中的汤姆生定理即为一个典型的例子. 在电磁学中, 作用 (action)f 可用 Lagrange 函数 L 表示如下 [6] : 式中 L = { 其中 F = t 1 t 0 L dt (11) 1 2 [E(r,t) D(r,t)-H(r,t) B(r,t)]+ A(r,t) J(r,t)-ρ(r,t) φ(r,t ) } dv B(r,t)= A(r,t) E(r,t)=- A(r,t) - φ(r,t) t 则电磁场中的最小作用原理可描述如下 [7] : 给出 t 0 和 t 1 时刻区域内 A,φ 的准确值, 以及在时间间隔 [t 0,t 1 ] 内的边界 S 上的 A,φ 的准确值, 则可得出使作用 F 驻定的 A,φ 的值, 并且这些 A,φ 值可给出区域内场的真实解. 在低频涡流场中, 可以认为 D/ t=0, 并且往往忽略电位移矢量 D 与电荷密度. 若使用修正矢量磁位法, 则 Lagrange 函数可描述如下 : L = [ H(r,t) B(r,t)+A (r,t) J(r,t ) ] dv 其中 B(r,t)= A (r,t) E(r,t)=- A (r,t) t (12) J(r,t)=J s (r,t)+j σ (r,t) J σ (r,t)=σe(r,t ) 式中,J s (r,t) 为传导电流密度 ;J σ (r,t) 为涡电流密度. 为简洁起见, 以下仍将修正矢量磁位 A (r,t) 记为 A(r,t). 将时间间隔 [t 0,t 1 ] 扩展至 (-,+ ), 利用傅里叶变换, 可将电磁场中的时域问题转换为频域问题, 则有 + F = df [ H(r,ω) B(r,ω) + A(r,ω) J(r,ω) ] dv 式中, 表示复共轭 ;A(r,ω) 为 A(r,t) 的傅里叶变换 ;ω 为角频率. 式 (12) 在频域中的形式为 B(r,ω)= A(r,ω) } E(r,ω) =-jωa(r,ω) (13) J(r,ω)=J s (r,ω)+j σ (r,ω) J σ (r,ω)=σe(r,ω ) 易知 H(r,ω)=H(r,-ω) } A(r,ω)=A(r,-ω) (14) J(r,ω)=J s (r,-ω) 则有 F = df [ -H(r,ω) μh(r,ω)+ 0 A(r,ω) J(r,ω)+A(r,ω) J(r,ω) ] dv 由于角频率 ω 只能是基波频率的整数倍, 则作用 F 又可表示为 F = L i δ(ω-ω i ) (15) i 若不考虑谐波因素, 则有 F = [- H(r) μ H(r)+ A(r) J(r)+ A(r) J(r) ] dv (16) 则 F 关于 A 的一阶变分为 δf = δ A (- ν A+ J s + J σ )dv 由于 δ A 的任意性, 若 δf =0, 则有 (17) ν A+jωσ A = J s (18) 式 (18) 即为用修正矢量磁位表述的低频涡流场控

4 第 1 期鲁涤强, 等 : 低频涡流电磁场非自伴变分问题的研究 61 制方程. 实际上 Maxwel 方程均可由最小作用原理导出. 观察式 (17), 根据内积的定义, 易知 - δ A (- ν A-jωσ A+ J s )dv= ν A+jωσ A- J s,δ A (19) 这实际上即是以 δa 作为权函数. 因此, 式 (17) 最后得出的结果与从迦辽金法得出的结果应是完全一致的. 比较文献 [8] 和文献 [9] 中的系数矩阵, 不难发现它们是完全相同的. 4 拉格朗日乘子法 ( 广义变分原理 ) 拉格朗日乘子法一般是为了迫使原始变分原理满足某些外加约束, 作为一种必要的数学虚构而引进的. 拉格朗日乘子法可导致一种对任何方程组创造一个变分原理的方法 [10]. 设某泛函 G 对应的欧拉方程为 R( A)=0. 考察在未知函数 A 服从某个附加微分关系 :D( A)=0 (20) 的条件下, 使泛函 G 驻定的问题. 可通过形成另一个泛函来引进这一约束, 即 F =G+ D( A), λ (21) 式中, λ 为域中具有独立坐标的函数, 称为拉格朗日乘子. 则有 δf =δg+ δd( A), λ + D( A),δ λ (22) 只要 D( A)=0, 则 δd( A)=0, 并且同时 δg =0, 则新泛函的变分为 0. 若将式 (20) 看成约束条件, 在式 (21) 中令 G=0, 即可得到这种广义变分泛函为 F = D( A), λ (23) 现在需要使泛函 F 对一切变分 δa 及 δλ 驻定. 若 D( A)= ν A+jωσ A- J s = L A- J s =0 (24) 式中,L= ν ()+jωσ(). 设 A=Na, λ= Nb, 珟则有 δf =δ{ D(Na), Nb 珟 }= LNδa, Nb 珟 + D(Na), Nδb 珟 = LNδa, Nb 珟 + L(Na)- J s, Nδb 珟 =0 (25) 因为式 (25) 对一切 δa,δb 均成立, 则有 LN, Nb 珟 =0 (26a) L(Na)- J s, N 珟 =0 (26b) 可将式 (26a) (26b) 写为 0 S [ ab S ] [ a ] T ab 0 b = [ 0 (27) ]f 式中 S T ab = LN, N 珟, f= J s, N 珟 (28) 式 (26) 方程组中的 2 个方程是完全非耦合的, 可以不考虑方程 (26a), 由方程 (26b) 独立地解出感兴趣的 a. 由式 (28) 可知, 式 (26b) 与加权余量法是完全一致的. 当 N = N 珟时, 即为迦辽金法. 虽然拉格朗日乘子是作为一种必要的数学虚构引入的, 但在很多数学物理问题中, 它往往具有一定的意义. 考察式 (25), 易知 δd( A), λ = L(δ A), λ = ( ν δa+jωσδ A) λ dv=0 则有 ( ν δa+jωσδ A) λ dv= ( ν λ +jωσ λ ) δ AdV+f bt =0 式中,f bt 表示边界积分项, 对齐次边界条件,f bt = 0. 因此 ( ν λ +jωσ λ ) δ AdV=0 由于 δa 的任意性, 则必然有 ν λ +jωσ λ =0 对上式取共轭后可得 ν λ-jωσ λ=0 (29) 若在方程 (5) 中取 J a s =0, 则有 ν A a -jωσ A a =0 (30) 方程 (29) 与方程 (30) 具有一样的形式. 因此 λ 实际上即为 J a s =0 时伴随算子方程 (5) 的解. 5 结论对于非自伴算子问题, 无法直接利用自然变分原理. 但如果能找到其对应的伴随算子方程, 即可建立起相应的变分原理. 另外, 还可应用最小作用原理和拉格朗日乘子法 ( 广义变分原理 ), 分别建立低频涡流场中非自伴算子问题对应的变分原理. 所有这 3 种方法, 均可获得与加权余量法 ( 迦辽金法 ) 一样的结果. 参考文献 (References) [1] 周克定. 工程电磁场数值计算的理论方法及其应用 [M]. 北京 : 高等教育出版社, [2] BiroO,PreisK.Ontheuseofthemagneticvector potential in the finite element analysis of three dimensional eddy curents [J]. IEEE Trans on Magnetics,1989,25(4): [3] Garbo Jeng, Wexler A. Self adjoint variational

5 62 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 34 卷 formulationofproblemshavingnon self adjointoperators [J].IEEETransonMicrowaveTheoryTech,1978,26 (2): [4] RumseyV H. Reaction conceptin electro magnetic theory[j].physrev,1954,94(6): [5] ChunHsiungChen,Chun DerLien.Thevariational principlefornon self adjointelectromagnetic problems [J].IEEETransonMicrowaveTheoryTech,1980,28 (8): [6] LandauLD,LifshitzEM.TheBasemicTimesaltheoryof fields. 4th ed [M]. Translated by Hamernesh M. Oxford:PergamonPres, [7] Morishita K, KumagaiN. Unified approach to the derivation ofvariation expresion for electromagnetic fields[j]. IEEE Transon MicrowaveTheoryTech, 1977,25(1): [8] 屠关镇. 三维行波电磁场的有限元法 [J]. 电工技术学报,1988(2): TuGuanzhen.Afiniteelementmethodfor3 dimensional travelingelectromagneticfields[j]. Transactionsof ChinaElectrotechnicalSociety,1988(2):10 17.(in Chinese) [9] 张炳军. 大型汽轮发电机端部磁场及电动力的分析计算研究 [D]. 武汉 : 华中理工大学电力工程系,1990. [10] ZienkiewiczOC,TaylorRL.Thefiniteelementmethod basicformulationandlinearproblems.4thed[m]. NewYork:McGraw Hil,

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik

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