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毽虹於
5 years ago
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1 第三讲 : 分子的对称性与群论基础群与分子点群

2 1. 群的定义考虑一组元素的集合 G{ABCDE } 元素之间可以定义结合规则 ( 乘法 ) 若满足以下条件则称该组元素的集合构成一个群 : (1) 封闭性若 A 和 B 是该集合的任意两个元素则它们的积 AB 也一定是该集合的元素 (2) 结合性结合规则满足结合律 : (AB)C=A(BC) (3) 恒等元素该集合必须含有一个元素 E 对于该集合中的任何元素 A 都有 :AE=EA=A (4) 逆元素对于该集合的任何元素 A 一定有一个逆元素 A -1 它也是该集合的一个元素使得 : AA -1 = A -1 A = E 2

3 1. 群的定义 * 群元素 : 数矩阵对称操作算符 * 阶 : 群元素的数目 * 乘法 : 元素间的某种结合规则须满足结合律乘积元素的逆 : (AB) -1 =B -1 A -1 (B -1 A -1 )(AB) =B -1 (A - 1 A)B=E * 交换群 : 如果所有的群元素间的乘法全都对易 ( 即 AB=BA AC=CA. ) 则称为阿贝尔群 (Abelian 群 ) 或交换群 3 交换群的一个特例是循环群 ˆ ˆ 2 ˆ 3 C ( 群的所有元素可由某个元素 ˆ 3 C3 C3 E 的自身乘积产生 ) 例如 : C 3 群 :

4 2. 例子 4 1) 全部正负整数及零的集合结合规则是数的加法说明 (1) 结合性 : 数的加法具有结合性 (2) 封闭性 : 整数的加和仍为整数 (3) 恒等元素 : 0 (4) 逆元素 : 相反数 (1 与 -12 与 - 2..) 2) 数组 :G = {+1-1 i -i}} 结合规则是数的乘法说明 : (1) 结合性 : 满足 (2) 封闭性 : 满足 1 = -1 同理 : (3) 恒等元素 : +1 (4) 逆元素 : ( i ) -1 = -i ( -1 ) - 数组 G = {+1-1} 构成二阶群 G = {+1 } 构成一阶群

5 2 例子 3) 分子全部对称操作的集合构成一个群 ---- 分子点群 (1) 封闭性 : 若 A 和 B 是分子的对称操作 (2) 单位元 : 恒等操作则 AB 必是分子的对称操作 (3) 逆元素 : 逆操作 ( ˆ) ˆ ˆ 1 ˆ n ( C n ) C n 1 1 ( n... (4) 结合律 : Rˆ Rˆ ) Rˆ Rˆ ( Rˆ ( R1 ˆ ) 例 :NH 3 分子 --- C 3V 群 (6 阶 ) E ˆ V V V ˆ ˆ ' ˆ " 5

6 3 分子点群 1) 点群 : 分子所有对称操作构成的群 ( 质心不动 ) 2) 基本分类 1 无 Cn 轴 : C Cs C i 1 2有个 1 C 轴 : C C C S2 n n nh nv n 个轴个 2 31 C + n C : D D D 多面体群 n n nh nd 4 多面体群 :T O I K d h h h 5 线性分子 :CC v D h 6

7 3 分子点群无 Cn 轴群 1 C1 点无对称元素仅有对称操作 : 群 2 C 点 s 仅有一个对称面对称操作 : 群 3 C 点 i 仅有一个对称中心对称操作 : 群 H H H O Ê ÊE ˆ Eˆ iˆ O F Cl C C C C Br F F Cl O H O 7

8 3 分子点群单 Cn 轴群 8

9 3 分子点群单 Cn 轴群 9

10 3 分子点群单 Cn 轴群 10

11 3 分子点群 D 类群 1) 点群 D n 有一个 Cn 轴和 n 个垂直于该轴的 C2 轴对称操作 (2n 个 ): nc ˆ ˆ 2 n 1 n n n 2 E ' C 2 2) 点群 D nh 有一个 Cn 轴 n 个垂直于该轴的对称操作 (4n 个 ): 11 F F B D 3h F H H { Eˆ ˆ C h D 2h ˆ C h n H H n D 3 N N C2 轴和一个垂直主轴的对称面... 2 n 1 n n ˆ h 2 n D 3h... n ˆ h n n 2 1 ' nˆ d ( ˆ V ) }

12 3 分子点群 D 类群 3) 点群 D nd 有一个 Cn 轴 n 个垂直于该轴的 C2 轴和 n 个包含该轴的对称面对称操作 (4n 个 ): E n ' Sˆ Sˆ Sˆ... Sˆ ˆ 2 n n1 n n... n 2 2n 2n 2n 2n n ˆ ( ˆ d V ) C 2 C 2 Fe D 5d H D 3d C C C H D 2d H H C 2 12

13 3 分子点群线性分子 1 C V 点有一个 C 轴和无穷个包含该轴的对称面群对称操作 : Eˆ... ˆ 2 D 点 h 群 V HF HCN 有一个轴无穷个包含该轴的对称面和对称中心对称操作 : C ˆ ˆ... ˆ ˆ ˆ E C V i S... O 2 CO2 2 C H 2 ˆ C 2 ' 13

14 3 分子点群立方群具有多于一个高次轴 (Cnn>2) n>2) 的群对应于凸正多面体 T 4 个 C 3 轴 T h (i) 正四面体 3 个 C 2 轴 T d (6 d ) 3 个 C 4 轴 O 4 个 C 3 轴正八面体 6 个 C 2 轴 (i) 正六面体 O h 6 个 C 5 轴 10 个 C 3 轴 15 个 C 2 轴 I I h (i) 正二十面体正十二面体 14

15 3 分子点群立方群 1) 点群 T d 对称元素 : 4 个 C 3 轴 ( 顶点和相对面心 ) 3 个 C 2 (S 4 ) 轴 ( 相对棱心 ) 有 6 个对称面. 24 个对称操作分为 5 个共轭类 : Eˆ ˆ 3 S ˆ S ˆ d 4 C 2 (S 4 ) C CCl 4 NH + 4 MnO 4- Si(CH 3 ) 4 C(CH 3 ) 4

16 3 分子点群立方群 2) 点群 O h 对称元素 : 3 个 C 4 轴 ( 相对顶点 ) 4 个 C 3 轴 ( 相对面心 ) 6 个 C 2 轴 ( 相对棱心 ) 对称中心. 48 个对称操作分为 10 个共轭类 : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ 3 E 3 C4 C4 3 C2 4 C3 C3 6 C2 iˆ 3S ˆ Sˆ 3ˆ 4S ˆ Sˆ 3 5 6ˆ 4 4 h 6 6 d C 4 C 3 16 C 2 SF F(CN) 6 WF 6 UF 6 Fe(CN) 4-6 Mo(CO) 6

17 3 分子点群 3) 点群 I h 立方群对称元素 : 6 个 C 5 轴 ( 相对顶点 ) 10 个 C 3 轴 ( 相对面心 ) 15 个 C 2 轴 ( 相对棱心 ) 对称中心. 120 个对称操作分为 10 个共轭类 : Eˆ C C C C 2 ˆ 3 ˆ ˆ ˆ iˆ 6S ˆ Sˆ 6S ˆ Sˆ 10S ˆ Sˆ ˆ d [B 12 H 12 ] 2- C 60 C 60 是截角二十面体有 12 个正五边形面 20 个正六边形面 17

18 3 分子点群点群的判定步骤 1 线形分子 2 两个以上高次轴 Y i D ~h N C 5 C 3 C ~V C 4 I h (I) O h (O) T d (T) 3 Cn 轴 nc 2 ' Y h Y N D nh nd Y Dnd 4 无对称轴 N Y N h C s i Y N Y C nh n V C i N Y N D n C nv S 2n Y N S 2n C n N C 1 18

19 4 群乘法表将群元素间的乘法关系按一定顺序列成表格称群的乘法表 ( 群表 ) 群的全部重要性质都包含在它的乘法表中定理 1( 重排定理 ): 群的元素在乘法表的每一行或每一列必出现且只出现一次 19

20 3 群乘法表定理 1( 重排定理 ): 群的元素在乘法表的每一行或每一列必出现且只出现一次证明 ( 反证法 ): 假定群的元素 D 在乘法表的某一行出现两次例如 : AB = D AC=D 则有 :A -1 AB=A A -1 D A -1 AC=A A -1 D 即 : (A -1 A) B=A -1 D (A -1 A) C=A -1 D B = A -1 D C = A -1 D 不合故原命题成立 20

21 3 群乘法表 C3V 群的乘法表 21

22 4 子群与类 1) 子群定义 : 若一个群的子集合按照与原群相同的结合规则 ( 乘法 ) 构成一个群则称该子集合形成原群的子群 22 平凡子群 :(1) 群 G 本身 (2) 由单位元构成的一阶群真子群 : 平凡子群以外的其他子群定理 2: 子群的阶必是母群阶的整数因子例 : C 3V 群 (6 阶 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ' ˆ " 2 E C3 C3 V V V E ˆ C ˆ C ˆ 2 子群 : C3 群 (3 阶 ) Cs 群 (2 阶 ) E ˆ V 3 3 ˆ ÊE ˆ ' ÊE ˆ " V V

23 4 子群与类 2) 共轭与类定义 : 如果群中的元素 P 和 Q 满足关系 : P X 1 QX 其中 X 也是此群的元素则称 P 是 Q 的共轭变换或称 P 与 Q 共轭若上式左乘 X 并右乘 X -1 则 : Q XPX 1 令 :X -1 =Y 显然 Y 也是该群的一个元素则 : 1 Q Y PY 若 P 与 Q 共轭则 P 与 Q 相互共轭 23

24 4 子群与类定理 3( 共轭关系的可传递性 ): 若群的元素 A 与 B 共轭 B 与 C 共轭则 A 与 C 共轭证明 :B = X -1 AX C =Y -1 B Y 则 : C =Y -1 BY = Y -1 (X -1 AX)Y = (XY) -1 A (XY)= Z -1 AZ ( 证毕 ) 由定理 3 相互共轭的群元素组成一个封闭的子集合称为一个类 ( 共轭类 ) 从而可以把一个群的元素按共轭类划分不同的类没有共同元素 24

25 4 子群与类如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换则该元素自成一类 ( 不与其他元素共轭 ) 若 : PA=AP AP PB = BP... 必有 : A -1 PA = P B -1 PB = P 即 : 对于分子点群元素 P 不与其他元素共轭 : 恒等操作自成一类 ; 反演操作自成一类交换群 ( 互换群 ) 的每个元素都自成一类 25

26 5 同构与同态 1) 同构定义 : 若群 G 与群 H 的元素一一对应且群 G 的元素的乘积对应于群 H 的相应元素的乘积则称群 G 与群 H 同构群 G 与群 H 同构则两者的阶相同且乘法表相同群 G:. A i A j. A i A j = A k. 群 H:. B i B j. B i B j = B k. 26

27 5 同构与同态 CS 群 Ci 群 CS 与 Ci 同构 : 元素一一对应乘积对应乘积 : E E i ii E -Ei 群 G={1 1-1} 所有二阶群都是同构的所有三阶群也都是同构的 27

28 5 同构与同态 2) 同态定义 : 考虑群 G 与群 H 若 G 的一组元素对应与 H 的一个元素且群 G 的元素的乘积对应于群 H 的相应元素的乘积则称群 H 是群 G 的一个同态映像群 G:. {A ik } {A j l }. {A ik A jl }. 群 H:. B i B j. B i B j. * 同态的群其群元素的乘法关系相同 * 若两个同态的群的阶相同则两者同构 28

29 5 同构与同态群 G = { 1-1 i -i } 群 H = { 1-1} 群 H 是群 G 的一个同态映像 : G 元素 {1-1} 对应 H 的 {1} { i -i } 对应 H 的 {-1} 且乘积对应乘积由数 { 1 } 构成的一阶群 ( 按数的乘法 ) 是任何群的同态映像 29

30 习题

世界经典科幻小说全集（第十一卷）

世界经典科幻小说全集（第十一卷） II I... 1... 7...20...36...54...61...66...66...70...73...77...77...80...83...86...94... 119...133...151...159...167...178...191...191...193...194 II...196...197...200...202...202...205...208... 211...214...217...220...228...238...238...241...245...251...254...256...259...261...265...269...271