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勤稻申屠
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1 014 年 1 月重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) Ja.014 第 31 卷第 1 期 JouralofCogqigNormalUiversity(NaturalSciece) Vol.31 No.1 DOI: /cqu * 耗散 SRLW 方程的拟紧致平均隐式守恒差分格式郑茂波 ( 成都工业学院信息与计算科学系, 成都 ) 摘要 : 对具有耗散项的对称正则长波 (SRLW) 方程的一类初边值问题进行了数值研究利用紧致差分格式的构造思想, 在数值离散时, 引入拟紧致项 1 ( u ) xxt^, 从而对耗散 SRLW 方程的初边值问题提出了一个新的三层守恒差分格式, 其截断误差为 O(τ + ); 分析了新格式的离散守恒律, 并合理地模拟了初边值问题本身的两个守恒量 ; 该格式是一个线性差分格式, 数值求解时不需要迭代, 计算时间比较节约 ; 得到了差分解的先验估计, 并用离散泛函分析方法证明了该格式二阶收敛性与无条件稳定性最后通过数值试验与已有的二阶格式进行了比较, 结果表明新格式不仅保持了线性格式计算量小的特点, 而且数值精度有了显著地提高, 同时数值结果也验证了新格式的二阶精度和守恒性质关键词 : 耗散 ; 对称正则长波方程 ; 差分格式 ; 守恒 ; 收敛性 ; 稳定性中图分类号 :O41.8 文献标志码 :A 文章编号 : (014) 在研究弱非线性离子声波和空间带电波的传播时, 文献 [1] 提出了对称正则长波 (SRLW) 方程 uxxt-ut=ρx+uux (1) ρt+ux=0 () 并给出了方程 (1) () 的双曲正割平方形式的孤立波解和 4 个不变量及一些数值结果关于 SRLW 方程 (1) () 的定解问题的适定性及数值方法的研究也引起了广泛关注 [-5] 本文考虑如下一类具有耗散项的对称正则长波 (SRLW) 方程的初边值问题 uxxt-ut+υuxx =ρx+uux (3) ρt+ux=0 (4) u(x,0)=u0(x) ῤ ( x,0)=ρ0(x),x [xl,xr] (5) u(xl,t)=u(xr,t)=0ῤ ( xl,t)=ρ ( xr,t)=0,t [0,T] (6) 其中 υ>0 是耗散系数不难证明, 该问题具有如下守恒律 Q1(t)= u(x,t)dx= u0(x)dx=q1(0)(7) Q(t)= ρ ( x,t)dx= x R ρ0(x)dx=q(0) (8) 由于在实际问题中粘性耗散是不可避免的, 而且与色散一样起着十分重要的作用, 因此在考虑耗散时, 方程 (3) (4) 式是反映非线性离子声波运动本质现象的合理模型 [6] 文献 [6-10] 分别讨论了方程 (3) (4) 式的解的适定性和整体存在唯一性以及解的长时间性态等, 但其解析解很难求出, 于是, 研究其定解问题的数值解就很有价值文献 [11-1] 对问题 (3)~(6) 分别提出了一个具有二阶精度的两层的非线性差分格式和三层线性差分格式, 文献 [13-15] 进一步对带有阻尼项的耗散 SRLW 方程进行了数值研究, 但都没有考虑问题的守恒律, 本文运用文献 [5] 的处理技巧, 在保持二阶理论精度的情况下, 构造了问题 (3)~(6) 的一个三层拟紧致差分格式, 格式保持了线性格式计算较快的特点, 并合理地模拟了守恒量 (7) (8) 式, 从而适合长时间计算数值算例表明, 相对于一般的二阶格式 [1], 该格式的精度有了明显的提高 1 差分解的估计和守恒律对区域 [xl,xr] [0,T] 作网格剖分, 取空间步长 = xr -xl J, 时间步长为 τ,x =xl +,,1,,, J,t =τ,=0,1,,,n,n = ét ù ê ëτ ú û 在本文中, 记 u u(x,t) 和 ρ ρ ( x,t), 用 C 表示一般正常数 ( 即在不 * 收稿日期 : 修回日期 : 网络出版时间 : :16 资助项目 : 四川省教育厅青年基金项目 (No.11ZB009) 作者简介 : 郑茂波, 男, 讲师, 研究方向为偏微分方程数值解法, zmb1984@16.com 网络出版地址 :tp://

2 7 重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) tp:// 第 31 卷同地方可以有不同的取值 ), 并定义如下记号 :(u ) x = u +1 -u,( u ) x - = u u +1 -u -1 τ 6, ū = u+1 +u -1 -u -1,( u ) x^= u,<u,v >= u v, u =<u,u >, u = max u 0 对初边值问题 (3)~(6) 考虑如下有限差分格式定理 u -1,( u ) t^= (u ) æ t^- 1- ö ( u ) xx - - t^+( ρ ) x^-υ (ū ) xx [ u ( ū ) x^+(u ū ) x^]=0 (9) ( ρ ) t^+ 6 ( ρ ) xx - t^+(ū ) x^=0 (10) u 0 =u0(x ) ῤ 0 =ρ0(x ),0 J (11) u 0=u J=0ῤ 0=ρ J=0,0 N (1) Q1 = 证明差分格式 (9)~(1) 关于以下离散能量守恒 (u +1 +u ) + 6 τ u ( u +1 ) x^=q -1 1 = =Q 0 1,Q = ρ +1 +ρ =Q-1 = =Q 0 (9) (10) 式两端乘以后分别对求和, 考虑到边界条件 (1) 以及分部求和公式, 得 (u ) t^+ [u ( u +1 ) x^-u -1 ( u ) ( x^]=0, ρ ) t^=0, 然后由 Q1 和 Q 的定义, 将上两式对递推可得证毕定理设 u0 H 1 ῤ0 L, 则差分格式 (9)~(1) 的解满足 u C, u x C, ρ C, u C,=1,,,N 证明 (9) 式与 ū [3,11] 作内积, 由边界条件 (1) 和分部求和公式得其中 P= 1 3 [ u ( ū ) x^+(u ū ) x^], 又 u t^+ ç 1-1 ø u x - t^+< ρx^,ū >+υ ū x +<P,ū >=0 (13) < ρ - x^,ū >=-<ū x^,ρ - > (14) <P,ū >= 1 [u 3 ( ū+1 -ū -1)+u +1ū +1 -u -1ū -1]ū = 1 (u 3 +1ū +1ū +u ū +1ū ) - 1 (u 1 ū ū -1 +u -1ū ū -1)=0 (15) 将 (14) (15) 式代入 (13) 式, 得再将 (10) 式与 ρ - 作内积后与 (16) 式相加, 整理得将 (17) 式递推, 可得 u t^+ ç 1-1 ø u x t^-<ū x^,ρ - >+υ ū x =0 (16) ( u + ρ ) t^+ ç 1-1 ø u x t^- 6 ρx t^=-υ ū x 0 (17) æ ( u +1 + u + ρ +1 + ρ )+ 1- ö ( u +1 x + u x )- 6 ( ρ +1 x + ρ x ) C (18) 由 ρ x = æρ +1 -ρ ö ø 4 ρ, 有 6 ( ρ +1 x + ρ x ) 3 ( ρ +1 + ρ ) (19) 取适当小的, 使 æ 1- ö >0, 由 (18) (19) 式可得 u C, u x C, ρ C, 再由离散的 Sobolev 不等 [3] 式即得 u C 差分格式的收敛性与稳定性令问题 (3)~(6) 的解为 v(x,t) 和 φ ( x,t), 即 v =u(x,t), φ =ρ ( x,t), 则差分格式 (9)~(1) 的截断误差证毕

3 第 1 期郑茂波 : 耗散 SRLW 方程的拟紧致平均隐式守恒差分格式 73 为 r =(v ) æ t^- 1- ö ( v ) xx - - t^+( φ ) x^-υ (v ) xx [ v ( v ) x^+(v v ) x^] ( 0) s =( φ ) t^+ 6 ( φ ) xx - t^+(v ) x^ (1) 由 Taylor 展开, 可知, 当,τ 0 时,r + s =O(τ + ) 定理 3 设 u0 H 1 ῤ0 L, 则差分格式 (9)~(1) 的解 u 以 ῤ 以 L 收敛到初边值问题 (3) (6) 的解, 且收敛阶为 O(τ + ) 证明将 (0) 式减去 (9) 式,(1) 式减去 (10) 式, 并记 e =v -u ἠ =φ -ρ, 得 r =(e ) æ t^- 1- ö ( e ) xx - t^+( η ) x^-υ (e ) xx - +R () s =( η ) t^+ 6 ( η ) xx - t^+(e ) x^ (3) 其中 R = 1 3 [ v ( v ) x^-u ( ū ) x^]+1 3 [( v v ) x^-(u ū ) x^] 将 () 式两端与 e 作内积, 并注意到 < η x^,e >= -< η,e x^>, 整理得 e t^+(1-1 ) e x t^-< η,e x^>+υ e x =<r,e >-<R,e > (4) 类似 (15) 式有 [e ( e ) x^+ (e e ) x^]e =0, 再由定理及 Scwarz 不等式, 得 - <R,e >=- 3 [e ( e ) x^+u ( e ) x^+e ( ū ) x^]e - 3 [e e +e ū +u e ] x^e = - 3 [u ( e ) x^+e ( ū ) x^]e + 3 [e ū +u e ]( e ) x^ C[ e +1 + e + e -1 + e +1 x + e x + e -1 x ] (5) <r,e >=<r,e +1 +e -1 > r + 1 [ e +1 + e -1 ] (6) 再将 (3) 式两端与 η 作内积, 整理得 η t^- 6 η x t^+<e x^,η >=<s,η > s + 1 [ η +1 + η -1 ] (7) 将 (4) 式和 (7) 式相加, 结合 (5) (6) 式得 ( e + η ) æ t^+ 1- ö e x t^- 6 ηx t^ C[ e +1 + e -1 + e + e +1 x + e x + e -1 x + η +1 + η -1 ]+ r + s (8) 令 B =( e +1 + e )+ ( e +1 x + e x )+ ( η +1 + η ), 且类似 (19) 式, 有 6 ( η +1 x + η x ) 3 ( η +1 + η ) 于是取适当小的使得 1-1 >0, 则 (8) 式可变为 B -B -1 Cτ r + Cτ s +Cτ(B +B -1 ), 只要取足够小的 τ, 满足 1-Cτ=δ>0, 就有 B -B -1 Cτ r +Cτ s +CτB -1 (9) -1 对 (9) 式从 1 到求和得 B B 0 +Cτ r l +Cτ s l +Cτ B l 适当选择一个二阶方法( 如 C-N l=0 [11] 格式 ) 先计算出 u 1 和 ρ 1, 使之满足 B 0 =O (τ + ), 又 τ r l τ max r l T O (τ + ),τ 1 l s l τ max s l T O (τ + ) 1 l -1 于是有 B O(τ + ) +Cτ B l [3,11] 由离散的 Growal 不等式可得,B O(τ + ), 即 e O(τ + ), l=0 e x O(τ + ), η O(τ + [3,11] ) 再由离散的 Sobolev 不等式有 e O(τ + ) 证毕与定理 3 类似, 可以证明如下定理定理 4 在定理 3 的条件下, 差分格式 (9)~(1) 的解 u 以 ῤ 以 L 稳定

4 74 重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) tp:// 第 31 卷 3 数值实验在 t=0 时, 由于耗散还没有产生, 所以在数值实验中, 把问题 (3)~(6) 中的初值函数取为 SRLW 方程 (1) [11] () 的初值函数 (t=0 时 ),u0(x)= 5 5 sec 6 x ῤ0(x)= sec 6 x, 固定 -xl=xr =0,T=1.0, 取 υ=1 用类似文献 [11] 中的误差估计方法, 将细网格 (τ== ) 上的数值解作为精确解来估计误差为了便于比较, 记本文的格式为格式 1, 记文献 [1] 中的格式为格式就 τ 和的不同取值对格式 1 和格式进行了比较, 数值解和孤波解在几个不同时刻的 l 误差见表 1, 格式对守恒量的模拟见表表 1 两种格式在不同时刻的 l 误差比较格式 1 格式 u ρ τ==0.1 τ==0.05 τ==0.05 τ==0.1 τ==0.05 τ==0.05 t= e e e e e e-5 t= e e e e e e-5 t= e e e-4.310e e e-4 t= e e e-4.94e e e-4 t= e e e e e e-4 t= e e e e e e-5 t= e e e e e e-4 t= e e e e e e-4 t= e e e e e e-4 t= e e e e e e-4 表格式 1 对守恒量的模拟 Q1 Q τ==0.1 τ==0.05 τ==0.05 τ==0.1 τ==0.05 τ==0.05 t= t= t= t= t= t= 从表 1 和表可以看出, 格式 1 合理地模拟了问题 (3)~(6) 的两个守恒量, 同时具有二阶精度, 且格式 1 的精度明显优于格式另外, 本文的格式是线性的, 数值求解时不需要迭代, 从而计算时间比较节省所以本文对问题 (3)~(6) 所提出的差分格式 (9)~(1) 是可信的参考文献 : [1]SeylerC E,FestermaclerD C.A Symmetricregularized logwaveequatio[j].pysfluids,1984,7(1):4-7. []GuoB L.Tespectralmetodforsymmetricregularized waveequatios[j].jcomputmat,1987,5(4): [3] 柏琰, 张鲁明. 对称正则长波方程的一个守恒差分格式 [J]. 应用数学学报,007,30(): BoY,ZagL M.Acoservativefiitediferecesceme forsymmetricregularizedlog waveequatios [J].Acta MatematicaeApplicataeSiica,007,30(): [4]WagT C,ZagL,CeF Q.Coservativescemesfor tesymmetricregularizedlog waveequatios[j].appl MatComput,007,190(): [5] 王廷春, 张鲁明. 对称正则长波方程的拟紧致守恒差分逼近 [J]. 数学物理学报 A,006,6(7), WagTC,ZagL M.Pseudo-compactcoservativefiite difereceapproximatesolutiofortesymmetricregulaṟ izedlogwaveequatio[j].acta MatematicaScietiaA, 006,6(7): [6]GuoBL,SagYD.Approximateiertialmaifoldstote geeralized symmetric regularized log wave equatios witdampigterm[j].acta Mat ApplSiica,003,19 ():

5 Vol.31No.1 JouralofCogqigNormalUiversity(NaturalSciece) tp:// 75 [7]SagY D,GuoBL,FagS M.Logtimebeaviorofte dissipativegeeralizedsymmetricregularizedlogwaveequatios[j].jpartialdifeqs,00,15(1): [8] 尚亚东, 郭柏灵. 耗散的广义对称正则长波方程周期初值问题的整体吸引子 [J]. 数学物理学报 A,003,3(6): SagYD,GuoBL.Globalatractorsforaperiodiciitial valueproblemfordissipativegeeralizedsymmetricregularizedlogwaveequatios[j].acta MatematicaScietia A,003,3(6): [9] 尚亚东, 郭柏灵. 带有阻尼项的广义对称正则长波方程的指数吸引子 [J]. 应用数学和力学,005,6(3): SagY D,GuoBL.Expoetialatractorfortegeeraḻ izedsymmetricregularizedlogwaveequatiowitdampigterm[j].appliedmatematicsadmecaics,005,6 (3): [10]FagS M,GuoB L,Qiu H.Teexisteceofglobalaṯ tractorsforasystemofmultiḏimesioalsymmetricregularizedlog waveequatios[j].commu NoliearSci NumerSimulat,009,14(1): [11] 胡劲松, 胡兵, 徐友才. 耗散对称正则长波方程的有限差分逼近 [J]. 计算数学,011,33(): HuJS,HuB,XuY C.Fiitedifereceapproximateso- lutiofordisssipativesymmetricregularizedlogwavee- quatio[j].matematica NumericaSiica,011,33(): [1] 胡劲松, 徐友才, 胡兵. 耗散对称正则长波方程的平均隐式差分格式 [J]. 高等学校计算数学学报,01,34(4): HuJS,XuY C,HuB.Averageimplicitfiitediferece Uiversities,01,34(4): scemefordissipativesymmetricregularizedlogwaveequatio[j].numericalmatematicaajouralofciese [13]HuJS,XuYC,HuB.Alieardiferecescemefordissipativesymmetricregularizedlog waveequatioswit dampigterm[eb/ol].( )[ ].ṯ tp:// 1/781750/. [14]HuJS,HuB,XuYC.C-Ndiferecescemesfordissipative Symmetric regularized log wave equatios wit dampigterm[eb/ol].( )[ ].ṯ tp:// ṗdf. [15]XuY,HuB,XieX,etal.Mixedfiiteelemetaalysisfor dissipativesrlwequatioswitdampigterm[j].appl MatComput,01,18(9): APseudo-compactCoservativeAverageFiiteDifereceScemeforDisipatioSRLW Eqatio ZHENG Mao-bo (ColegeofIformatioadComputatioSciece,CegduTecologicalUiversity,Cegdu611730,Cia) Abstract:Westudyteiitiaḻboudaryproblem oftedissipativesrlwe byfiitediferece metod.usigpseudo-compact diferecescemecostructedtikig;aewtreeḻevelcoservativeaveragefiitediferecescemecotaiigtepseudo-compactitems 1 ( u ) xx - t^isdesiged.teweaalyzetediscretecoservatiopropertiesforteewscemeadsimulatetwocoṉ servedpropertiesofteproblem wel.tescemeisliearizedaddoesotrequireiteratio,soitisexpectedtobemoreeficiet. Adtepriorestimateoftesolutioisobtaied.Itissowtattefiitediferecescemeissecoḏordercovergeceaduṉ coditioalystable.fialy,teresultsofumericalexperimetscomparigwitexistigscemesowtatteewscemewil otolymaitaitecaracteristicsofasmalamoutofcalculatioadalsomakecalculatioswitigerprecisio.attesame timetesecoḏordercovergeceadcoservatiopropertiesoftescemeisverified. Keywords:dissipative;SRLWequatio;diferecesceme;coservative;covergece;stable ( 责任编辑黄颖 )

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04 年 7 月重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) Jul.04 第 3 卷第 4 期 JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScience) Vol.3 No.4 * Rosenau-RLW 方程的非线性守恒差分格式 DOI:0.7/cqnu04047 郑克龙, 周光亚 (. 西南科技大学理学院, 四川绵阳 6000;. 四川工程职业技术学院基础部,