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1 04 年 7 月重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) Jul.04 第 3 卷第 4 期 JournalofChongqingNormalUniversity(NaturalScience) Vol.3 No.4 * Rosenau-RLW 方程的非线性守恒差分格式 DOI:0.7/cqnu04047 郑克龙, 周光亚 (. 西南科技大学理学院, 四川绵阳 6000;. 四川工程职业技术学院基础部, 四川德阳 68000) 摘要 : 对 Rosenau-RLW 方程的初边值问题研究差分数值计算方法, 提出了一个带有加权系数 θ 的两层非线性差分格式 格式模拟了方程的两个守恒量, 并利用差分解的先验估计和能量方法分析了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性 数值结果表明, 适当调整加权系数 θ, 可以大幅提高格式的计算精度 关键词 :Rosenau-RLW 方程 ; 差分格式 ; 守恒 ; 收敛性 ; 稳定性中图分类号 :O4.8 文献标志码 :A 文章编号 : (04) 在对紧离散系统的研究中, 波 - 波及波 - 墙相互作用的情形不能用著名的 KdV 方程来处理 为了克服这个不 足之处, 文献 [] 提出了 Rosenau 方程 ut+uxxxxt+ux+uux=0 () 它通常用于描述紧离散系统和模拟无线电及计算机领域中通过一个 L-C 流程的长链传输线模型 Rosenau 方 程也可以被看作是正则长波 (RLW) 方程 ut-uxxt+ux+uux=0 () 的变形, 而 RLW 方程通常用于模拟非线性发散介质中的长波 在进行非线性扩散波的研究时, 正则长波方程因 其描述大量的物理现象而占有重要的地位, 特别是它所描述的运动有与 KDV 方程相同的逼近界, 而且能很好地 模拟 KdV 方程的几乎所有应用 [] 因此对方程 () 和方程 () 的研究引起了众多学者的关注 [3-0] 作为对 Rosenau 方程 () 和 RLW 方程 () 的推广, 文献 [-3] 又进一步对 Rosenau-RLW 方程进行了数值 研究 本文考虑如下 Rosenau-RLW 方程的初边值问题 ut-uxxt+uxxxxt+ux+αuux=0 (3) u(xl,t)=u(xr,t)=0,uxx(xl,t)=uxx(xr,t)=0,t [0,T] (4) u(x,0)=u0(x),x [xl,xr] (5) [-3] 其中 α>0 是常数,u0(x) 是已知函数 问题 (3)~(5) 具有如下守恒律 Q(t)= x R u(x,t)dx= x L x R x L u0(x)dx=q(0) (6) E(t)= u L + ux L + uxx L =E(0) (7) 其中 Q(0),E(0) 均为仅与初始条件有关的常数 Li 和 Vu-Quoc 在文献 [4] 中指出 一定程度上, 保持原问题守恒量的能力是评价一个数值方法优劣的标 准 文献 [5] 指出, 守恒的差分格式可以较好地拟合问题本身所具有的守恒律, 而且避免了其他非守恒差分格 式的非线性 爆炸, 所以构造守恒的差分格式始终是一件非常有意义的工作 本文在保持二阶理论精度的情况 下, 在空间层引入加权系数 θ, 对问题 (3)~(5) 提出了一个新的两层非线性加权差分格式, 格式合理地模拟了守 恒量 (6) 和 (7) 数值算例表明, 适当地调整加权系数 θ, 能够使计算结果具有更小误差 差分格式和守恒律 对区域 [xl,xr] [0,T] 作网格剖分, 取空间步长 h= xr-xl J, 时间步长为 τ,x =xl +h,=0,,,,j, * 收稿日期 : 修回日期 : 网络出版时间 : :03 资助项目 : 四川省科技厅应用基础研究项目 (No.03JY0096); 西南科技大学博士基金 (No.zx79) 作者简介 : 郑克龙, 男, 副教授, 研究方向为应用数学, zhengkelong@swust.edu.cn 网络出版地址 :htp://

2 8 重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) htp:// 第 3 卷 tn=nτ,n=0,,,,n,n= ét ù ë τ û ú 在本文中, 用 C 表示与时间步长和空间步长无关的一般正常数 ( 即在不同地方可以有不同的取值 ); 记 u n u(x,tn) 以及 Z 0 h={u=(u )u0=uj=0,=0,,,,j} 定义 (u n) x = un + -u n h,( u n) x = un -u n - h,( u n ) x^= un h u n v n, u n =<u n,u n >, u n = max u n = 对问题 (3)~(5) 考虑如下有限差分格式 (θ>/) + -u n - h,( u n) t= un+ -u n τ, u n+ = un+ +u n,< u n,v n >= -θ ( u n ++u -) n t+θ(u n) t-(u n) xxt+(u n) xxx xt+(u n+ ) α x^+ { 3 un+ (u n+ ) x^+[(u n+ ) ] ^ x } =0 (8) u 0 =u0(x ),=0,,,,J (9) u n Z 0 h,(u n 0) xx =(u n J) xx =0,n=0,,,,N (0) 由边界条件 (4) 可知, 离散边界条件 (0) 的是合理的 差分格式 (8)~(0) 对守恒律 (6) 和 (7) 的数值模拟如下 定理 设 u0 H 0[xL,xR], 则差分格式 (8)~(0) 关于以下离散能量是守恒的, 即 Q n =h = é-θ ( u+ n +u n nù -)+θu ë û ú =Q n- = =Q 0 () E n =θ u n + (-θ)h u n +u n + u x n + u n xx =E n- = =E 0 () = 其中 n=,,,n 证明 (8) 式两端乘以 h 后对 求和, 结合边界条件 (0) 和分部求和公式 [], 然后对 n 递推可得 () 式 将 (8) 式与 u n+ ( 即 u n+ +u n [] ) 作内积, 由边界条件 (0) 和分部求和公式得 (-θ) τ h u n+ +u n+ -u n n +u = ( ) + θ ( τ un+ - u n ) + ( τ un+ x - u x n ) + ( xx - u n xx ) +<u n+ x^,u n+ >+< φ (u n+ ),u n+ >=0 (3) τ un+ 其中 φ( u n+ ) = α 3 un+ ( u n+ ) x^+ ( u n+ { [ ) ] ^ x }, 又 < φ ( u n+ ),u n+ >= α 3 h u n+ ( u n+ ) x^+ ( u n+ { [ ) ] ^ x } u n+ = α 3 h u n+ [ ( ) ] x^u n+ = α = 3 h ( u n+ ) = 于是将 (4) (5) 式带入 (3) 式, 然后递推可得 () 式 差分格式的收敛性与稳定性 <u n+ x^,u n+ >=0 (4) u n+ x^- α 3 h = = α 3 h = u n+ u n+ 令问题 (3)~(5) 的解为 v(x,t), 记 v n =v(x,tn), 则差分格式 (8)~(0) 的截断误差为 u n+ x^+ ( u n+ ) x^=0 (5) r= -θ n ( v n ++v -) n t+θ(v n) t-(v n) xxt+(v n) xxx xt+ v n+ ( ) x^+φv ( n+ ) (6) 由 Taylor 展开式可知, 当 h,τ 0 时,r n =O(τ +h ) 引理 设 u0 H 0[xL,xR], 则初边值问题 (3)~(5) 的解满足 u L C, ux L C, uxx L C, u L C, ux L C 证明由 (7) 式得 u L C, ux L C, uxx L C 再由 Sobolev 不等式有 u L C, ux L C 定理 设 u0 H 0[xL,xR], 则差分格式 (8)~(0) 的解满足 u n C, u n x C, u n xx C 从而有 u n C, u n x C(n=,,,N) 证明由于 h u n +u n u n (7) =

3 第 4 期 郑克龙, 等 :Rosenau-RLW 方程的非线性守恒差分格式 89 可得 (θ- -θ ) u n + u n x + u n xx E n (8) 由 θ>, 则 θ- -θ >0 于是由定理 和 (8) 式可得 u n C, u n x C, u n xx C 最后由离散 [] 的 Sobolev 不等式得 u n C, u x n C 定理 3 收敛阶为 O(τ +h ) 证明 设 u0 H 0[xL,xR], 则差分格式 (8)~(0) 的解 u n 以 收敛到初边值问题 ()~(3) 的解, 且 将 (6) 式减去 (8) 式, 并记 e n =v n -u n, 得 r= -θ n ( e n ++e -) n t+θ(e n) t-(e n) xxt+(e n) xxx xt+ e n+ ( ) x^+φv ( n+ ) -φ ( u n+ ) (9) 将 (9) 式两端与 e n+ 作内积, 有 <r n,e n+ >= ( -θ)h τ = (e n+ +e n+ -e n +e n) + θ τ ( e n+ - e n )+ τ ( e n+ x - e x n )+ τ ( e n+ xx - e n xx )+<e n+ x^,e n+ >+< φ ( v n+ ) - φ( u n+ ),e n+ > (0) 类似于 (4) 式有 <e n+ x^,e n+ >=0 () 利用引理 定理 以及 Cauchy-Schwarz 不等式, 有 < φ ( v n+ ) -φ( u n+ ),e n+ >= 3 = αh 3 = αh [ v n+ ( v n+ ) x^-u n+ ( u n+ ) ^x ] e n+ [ v n+ ( e n+ ) x^+e n+ ( u n+ ) ^x ] e n+ + αh 3 = - αh 3 = - ( u n+ [ ) ] x^e n+ v n+ = [ e n+ ( v n+ +u n+ ) ] ( e n+ ) x^ C( e n+ + e n + e n+ x^ + e x^ n ) C( e n+ + e n + e n+ x + e x n ) () 将 ()~(3) 式带入 (0) 式, 整理有 <r n,e n+ >=<r n,e n+ +e n > r n + e n+ + e n (3) (-θ)h (e n+ +e n+ -e n +e n) +θ( e n+ - e n )+ ( e n+ x - e x n )+ ( e n+ xx - e n xx ) = r n +C( e n+ + e n + e n+ x + e x n ) r n +C( e n+ + e n + e n+ x + e x n + e n+ x + e xx n ) (4) 则令 B n =(-θ)h e n +e n +θ e n + e x n + e n xx, 则 (4) 式等价于 = B n+ -B n r n +C( e n+ + e n + e n+ x + e x n + e n+ xx + e n xx ) (5) n- 将 (5) 式从 0 到 n- 求和得 B n B 0 +τ n r l +Cτ ( e l + e x l + e l xx ), 又 n- τ r l nτ max r l T O (τ +h ),B 0 =O (τ +h ) 0 l n- 类似于 (7) (8) 式, 有 B n (θ- -θ ) e n + e n x + e n xx 由 θ>, 则 θ- -θ >0, 则 n (5) 式可整理为 e n + e x n + e n xx O (τ +h ) +Cτ ( e l + e x l + e l xx ) [] 于是由离散的 Gronwal 不等式, 有 e n O(τ +h ), e n x O(τ +h ), e n xx O(τ +h ) 最后 [] 由离散的 Sobolev 不等式得 e n O(τ +h ) 与定理 3 类似, 可以证明定理 4 定理 4 3 数值实验 在定理 3 的条件下, 差分格式 (8)~(0) 的解 u n 以 稳定 取 α=, 此时方程 (3) 的孤波解 [] 为 u(x,t)= 5 é 3 sech4 æç 38 6 è x-69 ö t ë 33 ø ù ú û, 所以当 -xl,xr 充分大的时候, 初

4 90 重庆师范大学学报 ( 自然科学版 ) htp:// 第 3 卷 边值问题 (3)~(5) 与方程 (3) 的柯西问题是一致的 差分格式 (8)~(0) 是关于 u n+ 的一个非线性方程组, 可以 用 Newton 迭代法来求解 在数值试验中, 固定 xl=-0,xr =40,T=0 取 u0(x)= 5 38 sech4 3x 6, 就 τ 和 h 的不同取值时, 几个不同时刻的 l 误差见下表 ~, 格式对守恒量的模拟见表 3~4 表 τ=h=0. 时, 取不同参数 θ, 在几个不同时刻的 l 误差 θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 θ=.5 θ=.5 t= e e e e e-3 t= e e e e e- t= e e e e e- t= e e e e e- t= e e e e e- 表 τ=h=0. 时, 取不同参数 θ, 在几个不同时刻的 l 误差 θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 θ=.5 θ=.5 t= e e e e e-3 t= e e e e e-3 t= e e e e e-3 t= e e e e e-3 t= e e e e e-3 表 3 在不同时刻对守恒量 (6) 和 (7) 的数值模拟 Q n 和 Q n (τ=h=0.) Q n E n θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 t= t= t= t= t= t= 表 4 在不同时刻对守恒量 (6) 和 (7) 的数值模拟 Q n 和 Q n (τ=h=0.) Q n E n θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 θ=0.5 θ=0.75 θ=.0 t= t= t= t= t= t= 数值结果表明, 加权系数 θ(θ>/) 取得越小, 计算误差越小, 格式对守恒量 (6) 和 (7) 也进行了高精度模拟, 故本文的格式是有效的 参考文献 : []RosenauP.Dynamicsofdensediscretesystems[J].Progr TheoretPhys,988,79(5): []PeregrineD H.Calculationsofthedevelopmentofanunduiarbore[J].JFluid Mech,966,5():3-330.

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