量子力学第五章：力学量随时间的演化与对称性

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韬晤樊
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1 量子力学第五章 : 力学量随时间的演化与对称性肖志广中国科学技术大学物理学院近代物理系 xiaozg@ustc.edu.cn 2016 年 10 月 27 日

2 回顾 : 量子态随时间的演化描述非相对论粒子的量子态随时间演化遵从 Schrödinger 方程 : iħ [ ] t ψ = Ĥ ψ = ħ2 2m 2 + V(r, t) ψ(r, t) Ĥ 是体系的 Hamilton 算符, 粒子在势场 V(r, t) 中运动倘若势能不显含时间参数 t,schrödinger 方程可以通过分离变量法求解, ψ(r, t) = ψ E (r) e iet/ħ 其中 ψ E 满足定态 Schrödinger 方程 Ĥ ψ E = E ψ E 得到定态解粒子处于定态意味着粒子在随时间演化的过程中始终处在同一个能量本征态对于处于定态的粒子而言, 其在空间出现的概率密度 ρ 和概率流密度矢量 j 都不随时间改变

3 在定态下, 粒子的任何不显含 t 的力学量的平均值不随时间改变 : A = d 3 x ψ (r, t) Â ψ(r, t) = d 3 x ψe(r) Â ψ E(r) 在定态下, 任何不显含 t 的力学量的所有可能测量值的概率分布也不随时间改变非定态 : 若体系不是处于某一确定的能量本征态 ψ(r, t) = E C E ψ E (r) e iet/ħ 力学量平均值 ( 假设态已经归一 ): A = dr ψ (r, t)âψ(r, t)

4 力学量随时间的演化 : 量子力学中力学量随时间演化的问题, 指的是力学量的平均值随时间的演化. 考虑力学量算符 Â, 设其不显含 t, t Â = 0. 描写的状态下, 粒子力学量 A 的平均值为 : A(t) = ψ(t) Â ψ(t) 根据左矢和右矢满足的 Schrödinger 方程我们有 : iħ t ψ(t) = Ĥ ψ(t), 在态矢量 ψ(t) iħ t ψ(t) = ψ(t) Ĥ iħ d dt A(t) = iħ t ψ(t) Â ψ(t) [ ] [ ] = iħ t ψ(t) Â ψ(t) + ψ(t) iħ t Â ψ(t) [ ] + ψ(t) Â iħ t ψ(t) = ψ(t) Ĥ Â ψ(t) + ψ(t) Â Ĥ ψ(t)

5 ) = ψ(t) (Â Ĥ Ĥ Â ψ(t) = ψ(t) [Â, Ĥ] ψ(t) 即 : iħ d A(t) = [Â, Ĥ] dt 若力学量显含 t, t Â 0, iħ d dt A(t) = [Â, Ĥ] +iħ t Â

6 Virial 定理 : 现在考虑一个特殊的算符, ˆM = ˆr ˆp 则有 1 : iħ d ˆr ˆp = [ˆr ˆp, Ĥ] dt = 1 2m [ˆr ˆp, ˆp2 ] + [ˆr ˆp, V(r)] [ ] 1 = iħ m ˆp2 r V 1 算符 ˆr ˆp 不显含时间 t, 故 t(ˆr ˆp) = 0.

7 若 Ψ 是定态 ( 能量本征态 ), 则一切不显含 t 的力学量的平均值与测值概率分布都不随时间变化, 从而 : 或者等价地, 式中 ˆT = ˆp 2 /2m 是粒子动能. 定理. d ˆr ˆp = 0 dt 1 m ˆp2 = r V 2 ˆT = r V 此方程称为量子力学中的 Virial

8 Virial 定理 : 定态下 2 ˆT = r V 若势场是其位置坐标的 n 次齐次函数, 即 V(c x, c y, c z) = c n V(x, y, z) 此处 c 为一任意常参数, 则 r V = nv. 理简化为 : 2 ˆT = n V 于是,Virial 定注 : r V = (x x + y y + z z )V(x, y, z) = d dc V(c x, c y, c z) c=1 = n c n 1 V(c x, c y, c z) = n V(x, y, z) c=1

9 定态下 : 当 V(x) 是坐标的 n 次齐次函数时特别地, 2 ˆT = n V 简谐振子势, V(x) = 1 2 mω2 x 2, n = 2, ˆT = V Coulomb 势, δ 势, V(r) = Ze2 r, n = 1, ˆT = 1 2 V V(x) = A δ(x), n = 1, ˆT = 1 2 V

10 波包的运动,Ehrenfest 定理考虑质量为 m 的粒子在势场 V(r) 中运动, 用波包 ψ(r, t) 描述 r 随时间变化和经典粒子运动的关系经典粒子 r(t) 随时间变化, 若对应量子态的 r 随时间同样演化, 一定是非定态 Hamilton 量 : Ĥ = ˆp2 2m + V(r) d dt ˆr = 1 ˆp [ˆr, Ĥ] = iħ m d dt ˆp = 1 [ˆp, Ĥ] = V(ˆr) = F(ˆr) iħ 这和经典力学粒子满足的的正则方程类似 dr dt = p m, dp = V(r) = F(r) dt 利用上面两式得到 : m d2 ˆr dt 2 = F(ˆr) 即 Ehrenfest 定理, 跟经典牛顿力学方程非常相似只有当 F(ˆr) 可以近似用 F( ˆr ) 代替时, 波包中心 ˆr 的运动规律才能与经典粒子相同

11 讨论用 F( ˆr ) 近似 F(ˆr) 条件 : 一维情形在波包中心 x c = x 附近对 x V(x) 做 Taylor 展开, 令 ξ = x x c, V(x) x = V(x c) + ξ 2 V(x c ) x c x c 2 ξ2 3 V(x c ) x c 由于 ξ = 0 V(x) = V(x c) + 1 x x c 2 ξ2 3 V(x c ) x c 只有当 1 2 ξ2 3 V(x c) V(xc) 时, 才可以做近似 x 3 c 波包很窄 : ξ 2 很小. x c V 随空间变化很慢 V(x) = a + bx + cx 2, a, b, c 常数如, 线性谐振子

12 图像 :Schrödinger 图像波函数本身是不可观测的, 我们观测到的系统随时间的演化表现为力学量的平均值随时间的变化对于不显含时的算符的平均值, 一种方式是把其随时间的演化都放到态随时间的演化中, 算符本身不随时间演化, 即 d Â = ψ(t) Â ψ(t), dtâ = tâ = 0, iħ ψ = Ĥ ψ t 此时 : iħ d Â = [Â, Ĥ] dt 此种描述系统随时间的演化方式称为 Schrödinger 图像, 也叫 Schrödinger 绘景,Schrödinger 表象对于显含时间的算符 Â(r,..., t) iħ d dt Â = [Â, Ĥ] + iħ t Â

13 此时若在一组不显含时的对易力学量完全集 F 共同本征态构成的完备正交归一基 n 的 F- 表象下, 基矢与时间无关, t n = 0. 波函数 n ψ(t) 随时间演化 iħ t n ψ(t) = n Ĥ ψ(t) = m H nm m ψ(t), 而不显含时力学量 A 的矩阵元 A mn = m Â n 不随时间演化若 Â 显含时, d dt A mn = d m Â(r,..., t) n = m tâ(r,..., t) n. dt

14 Schrödinger 图像假设 t 时刻态 ψ(t) = U(t, 0) ψ(t = 0), 初条件 U(0, 0) = 1, 由 Schrödinger 方程, iħ t ψ(t) = iħ t U(t, 0) ψ(0) = Ĥ U(t, 0) ψ(0) 得到 iħ t U(t, 0) ψ(0) = Ĥ U(t, 0) 若 Ĥ 不显含时间, 我们有一个形式解 :U(t, 0) = e iĥt/ħ 将 t 时刻的态与初始时刻的态联系起来的连续线性变换由于 Ĥ = Ĥ 厄米,U(t, 0) U(t, 0) = I, U(t, 0) 为幺正变换保证概率守恒 : ψ(t) ψ(t) = ψ(0) U (t, 0)U(t, 0) ψ(0) = ψ(0) ψ(0)

15 Heisenberg 图像另一种方式是将系统随时间演化完全放到可观测量对应的算符随时间的演化中去, 而系统的态保持不变 Â = ψ(t) Â ψ(t) = ψ(0) U (t, 0) Â U(t, 0) ψ(0) = ψ(0) Â(t) ψ(0) 我们定义了 Â(t) = U (t, 0) Â U(t, 0)=eiĤt/ħÂ e iĥt/ħ. 此时我们可以选择系统的态始终是某初始时刻的态 ψ(0), 系统随时间的演化完全放到了算符随时间的演化中了, 这种对系统随时间的演化的描述方式叫做 Heisenberg 图像 (Heisenberg 绘景, Heisenberg 表象 ), 即 ψ H = ψ(0) S, 由 iħ t U(t, 0) = ĤU(t, 0), 若 Â 不显含 t Â H (t) = U (t, 0)ÂS U(t, 0)=e iĥt/ħ Â e iĥt/ħ d dtâh = i ħ [ÂH, Ĥ]. 若 Â 显含 t, ÂH (ˆr H,..., t), t Â H = U (t, 0) t Â S U(t, 0). iħ d dtâh = [ÂH, Ĥ] + iħ tâh.

16 Heisenberg 图像在 Heisenberg 图像下, 若选一组对易力学量完全集 ( 不显含时 ), 由于算符随时间演化, 此图象下基矢也随时间演化 : ˆF S ψ n S = f n ψ n S U (t, 0)ˆF S U(t, 0)U (t, 0) ψ n S = f n U (t, 0) ψ n S = ˆF H ψ n H = f n ψ n H 所以对于基矢 ψ n H = U (t, 0) ψ n S, ψ n S 与时间无关, 所以 ψ H 随时间演化在此表象下, 概率振幅随时间的演化和 Schrödinger 图像下相同 : H ψ n φ H = S ψ n U(t, 0) φ(0) S = S ψ n φ(t) S Schrödinger 图像可以看成是固定基矢让态矢演化,Heisenberg 图像可以看成是固定态矢让基矢演化我们后面一般情形是在 Schrödinger 图像下讨论, 除非特殊说明

17 守恒量 : 在量子力学中, 若某不显含时力学量算符 Â 与体系的 Hamilton 算符对易,[Â, Ĥ] = 0, 则称力学量 A 为体系的一个守恒量. 由我们看到 : d dt A(t) = 1 iħ [Â, Ĥ] [Â, Ĥ] = 0 d dt A(t) = 0 即量子体系的守恒量, 无论在什么态下, 其平均值都不随时间变化. Heisenberg 图像下 : d dtâh (t) = 0 可作为守恒量定义. 显然,[Ĥ, Ĥ] = 0. 所以, 当体系的 Hamilton 量不显含 t 时,H 是守恒量 ( 能量守恒 ). 更进一步地, 守恒量 A 在任意态 ψ(t) 下各测量值的概率分布也不随时间变化. 好量子数 : 用来标记守恒量的本征态的量子数称为好量子数

18 守恒量 A 在任意态 ψ(t) 下各测量值的概率分布也不随时间变化. 由于 [Â, Ĥ] = 0, 选择包括 H 和 A 在内的一组力学量完全集, 共同本征态记为 n, 即 : Ĥ n = E n n, Â n = A n n. 体系的任一状态 ψ(t) 可以展开为 ψ(t) = n n n ψ(t) 此态下测量 A 得到测量值 A n 的概率是 n ψ(t) 2. 显然, d dt n ψ(t) 2 = d n ψ(t) ψ(t) n dt = n t ψ(t) ψ(t) n + n ψ(t) t ψ(t) n = 1 [ ] iħ n Ĥψ(t) ψ(t) n n ψ(t) Ĥψ(t) n = 1 ] [( n iħ Ĥ) ψ(t) ψ(t) n n ψ(t) ψ(t) (Ĥ n ) = E n [ n ψ(t) 2 ψ(t) n 2] = 0

19 例自由粒子 :Ĥ = ˆp2 2m, 显然 [ˆp, Ĥ] = 0, 动量守恒 [ˆL, Ĥ] = 0, 角动量守恒自由粒子,Heisenberg 图像下 : d dt ˆpH (t) = 1 iħ [ˆpH, Ĥ] = 0, ˆp H (t) = ˆp H (0) = ˆp. d dtˆrh = 1 iħ [ˆrH (t), Ĥ] = eiĥt/ħ [ˆr S, Ĥ]e iĥt/ħ 中心力场中的粒子, = e iĥt/ħ ˆp m e iĥt/ħ = ˆp m ˆr H (t) = ˆr H (0) + ˆpt m Ĥ = ˆp2 2m + V(r), [ˆL, H] = 0, 所以角动量守恒但是 [ˆp, V(r)] 0, 所以动量不是守恒量

20 量子体系守恒量的特点 : 由于不确定关系的存在, 量子力学中守恒量的概念与经典力学不同 : 1 测量量子力学中的守恒量并不一定能得到某个确定的测量值. 换言之, 存在守恒量并不意味着体系处于此守恒量的某个本征态. 2 存在守恒量也并不意味着体系一定处于某个定态 ( 能量本征态 ). 定态 : 任何力学量 ( 不显含时 ) 的平均值和测量值的概率分布都不随时间改变守恒量 : 在任何态下的平均值和概率分布都不随时间改变 3 同一量子力学体系的各个守恒量并不一定可以同时取确定的测量值. 例如 : 中心力场,[ˆL x, Ĥ] = [ˆL y, Ĥ] = [ˆL z, Ĥ] = 0, [ˆL x, ˆL y ] = iħˆl z 0

21 能级简并与守恒量的关系 : 守恒量算符在求解能量本征值问题中的应用, 涉及体系能级的简并. 定理 : 设体系有两个彼此不对易的守恒量 F 和 G, 即 [ˆF, Ĥ] = [Ĝ, Ĥ] = 0 但是 [ˆF, Ĝ] 0 则体系的能级一般是简并的. 证明 : 由于 [ˆF, Ĥ] = 0,ˆF 和 Ĥ 可以有共同本征态 ψ, ˆF ψ = f ψ, Ĥ ψ = E ψ. 考虑到 [Ĝ, Ĥ] = 0, 我们有 : ) ) Ĥ (Ĝ ψ = (Ĝ ĜĤ ψ = Ĝ E ψ = E ψ 于是,Ĝ ψ 也是 Hamilton 算符 Ĥ 属于能量本征值 E 的本征态.

22 Ĥ ψ = E ψ, Ĥ(Ĝ ψ ) = E(Ĝ ψ ) ψ 与 Ĝ ψ 是否是同一个量子态呢? 由于 [ˆF, Ĝ] 0, 且 ˆF ψ = f ψ, 但在一般情况下, ) ) ˆF (Ĝ ψ ĜˆF ψ = (Ĝ Ĝ f ψ = f ψ 即 :Ĝ ψ 不是力学量算符 ˆF 属于本征值 f 的本征矢量. 所以, ψ 与 Ĝ ψ 不描写同一个量子态, Hamilton 算符 Ĥ 本征值为 E 的能级是简并的. 例外 : 对于某些特殊的态, 有可能 ˆFĜ ψ = ĜˆF ψ 当 [ ˆF, Ĝ ] = C 0 常数时, 此情况不能发生只有当 [ ˆF, Ĝ ] = ˆK, ˆK ψ = 0 时此情况可能发生例如 : 角动量 l = 0 的态,Ĵx ψ 0 = Ĵy ψ 0 = Ĵz ψ 0 = 0

23 守恒量与对称性的关系 : 经典力学中有一个著名的定理, 称为 Noether 定理, 它断言经典力学体系中的守恒定律与体系的对称性之间有着一一对应的关系. 特别地, 1 如体系的动力学方程具有空间平移不变性 ( 空间均匀 ), 则体系的动量守恒 ; 2 如体系的动力学方程具有空间转动不变性 ( 空间各向同性 ), 则体系的角动量守恒 ; 3 如体系的动力学方程具有时间平移不变性 ( 时间均匀 ), 则体系的能量守恒. 作为 Noether 定理的一个简单应用, 在经典力学中, 借助于守恒量可以使运动方程的求解大为简化. 那么, 在量子力学中, 守恒量与对称性的关系是怎样的呢?

24 空间平移操作 : ˆp = iħ d dx 正是一维粒子的动量算符, 因为生成平移操作, 所以称作平移操作的生成元. 设一维体系沿 x 方向发生一平移 a,x x = x + a, 用 ˆDψ 代表波函数本身的变化 : ψ ψ(x) 是平移变换下的变换 : 即 : ψ (x) := ˆDψ(x) ψ (x ) = ψ(x) ˆDψ(x) = ψ (x ) = ψ(x a) = ψ(x) a d a2 d 2 ψ(x) + dx 2! dx 2 ψ(x) +... = exp{ a d }ψ(x) = exp{ iaˆp/ħ}ψ(x) dx 式中, ˆD = exp{ iaˆp/ħ}

25 同样推广到三维, 设体系沿 r 方向发生一平移,r r = r + a, 用线性算符 ˆD 代表波函数平移变换 : ψ(r) 意味着 ψ(r) 在平移变换下变成即 : ψ (r) := ˆDψ(r) ψ (r ) = ψ(r) ˆDψ(r) = ψ (r ) = ψ(r a) = ψ(r) a ψ(r) + 1 2! (a )2 ψ(r) +. 从而 : = exp{ a }ψ(r) = exp{ ia ˆp/ħ}ψ(r) ˆD = exp{ ia ˆp/ħ} 1 i ħ a ˆp 前面对有限大 a 也成立, 后面 a 无穷小式中, ˆp = iħ 三维空间中动量算符, 平移生成元由于 ˆp = ˆp, ˆD 是幺正算符, ˆD = ˆD 1

26 平移对称性和动量守恒动量算符 ˆp = iħ 是平移操作的生成元 ψ (r) = ψ(r a) = ˆDψ(r, t) 平移对称性 : 平移 r r = r + a 后 ψ (r) = ψ(r a) 也是同样 Schödinger 方程的解 iħ t ψ (r, t) = iħ t ˆDψ(r, t) = iħ ˆD t ψ(r, t) = = Ĥ(r)ψ (r, t) = Ĥ(r) ˆDψ(r, t) ˆDĤ(r)ψ(r, t) 得到 [ ˆD, Ĥ] = 0, 即 ˆDĤ(r) ˆD 1 = Ĥ(r a) = Ĥ(r) 若体系具有空间平移对称性,Ĥ 在平移变换下不变. 对无穷小任意 a, ˆD 1 i ħ a ˆp, 再由上面 [ ˆD, Ĥ(r)] = 0, 可以得到 :[ˆp, Ĥ] = 0, 即体系的动量守恒. 系统具有对称性 : 平移操作对称性操作的生成元 ˆp 是守恒量

27 一般的对称性操作, Q, ˆ 作用到态上, ψ = Q ψ, ˆ 对称性操作要求不改变概率密度 ψ 1 ψ 2 2 = ψ 1 Q ˆ Q ψ2 ˆ 2 = ψ 1 ψ 2 2 Wigner 证明了 ˆ Q 只能是幺正算符或者是反幺正算符反幺正算符 :U, Uψ 1 Uψ 2 = ψ 1 ψ 2. 幺正变换可以从单位变换连续的变化过去,exp{iαΣ}, Σ = Σ. 而反幺正变换则不能时间反演可以表示成一个反幺正算符任何一个反幺正算符可以写成时间反演算符和幺正算符的乘积我们这门课不涉及关于时间反演的讨论和反幺正算符的讨论遇到的对称性算符都是幺正算符

28 如果 Q ˆ 是体系的一种对称性, 则 ψ 与 ψ 应当遵从相同形式的运动方程, 即 ψ 须满足 iħ t ψ = Ĥ ψ 换言之, iħ t ( ˆ Q ψ ) = Ĥ ˆ Q ψ 假设 ˆ Q 与其逆皆不依赖于 t, 则上式可以改写为 : 所以, 幺正算符 iħ t ψ = Q ˆ ĤQ ˆ ψ ˆ Q 描写体系的对称性意味着 : Q ˆ ĤQ ˆ = Ĥ Ĥ Q ˆ = QĤ ˆ [ Q, ˆ Ĥ ] = 0

29 说明 : 1 对于空间反演这样的分立变换而言, Q ˆ 既是幺正算符, 又是厄米 (Hermite) 算符. 如果体系具有如此分立变换对称性, 则方程 [ Q, ˆ Ĥ] = 0 表明作为 Hermite 算符的力学量 ˆ Q 是体系的守恒量. 2 对于诸如空间平移转动这样的连续变换而言, 可以考虑无穷小变换, Qˆ 1 + iϵˆf 这里 ˆF 是 Hermite 算符, 称为此连续变换的生成元. 显然, 若 Q ˆ 是体系的一种对称性, 则 ˆF 是与之对应的守恒量 : [ˆF, Ĥ] = 0

30 空间转动不变性与角动量守恒 : 设体系沿 z 轴转动 ϕ ϕ = ϕ + δϕ, 球坐标中 ψ(ϕ) ψ (ϕ ) = ψ(ϕ) ( 我们假设无自旋 ), 即 ψ (ϕ) = ˆR(δϕ)ψ(ϕ) = ψ(ϕ δϕ) = ψ(ϕ) δϕ ϕ ψ + 1 2! δϕ2 2 ϕ ψ... 绕 z 轴转动 δϕ 操作算符 : = exp{ δϕ ϕ }ψ(ϕ). ˆR(δϕ) = exp{ δϕ ϕ } = exp{ iδϕˆl z /ħ}, ˆLz = iħ ϕ

31 设体系沿任意 n 方向发生一无穷小转动,r r = r + δϕn r, 用 ˆRψ 代表波函数本身的变化 : ψ ψ := ˆRψ 不考虑自旋粒子, ψ(r) 是空间转动变换下的标量, 即 : ψ (r ) = ψ(r) ˆRψ(r) = ψ (r) = ψ(r δϕ n r) ψ(r) δϕ(n r) ψ(r) = ψ(r) δϕϵ ijk n i r j k ψ(r) = ψ(r) δϕn r ψ(r) = ψ(r) i δϕn ˆLψ(r) ħ 从而, 对于无穷小转动 : ˆR 1 i ħ δϕn ˆL, ˆL = iħ r = ˆr ˆp ˆL 角动量, 是转动操作的生成元

32 对于有限大转动 ϕ, ˆR = lim (1 i ϕ N ħ N n ˆL) N = exp{ i ϕn ˆL} ħ 所以, 若体系的 Schrödinger 方程对于空间转动变换具有不变性, 则体系的角动量守恒 :[ˆL, Ĥ] = 0.

33 作业 : 曾谨言量子力学教程 ( 第三版 ): P95: 4.1, 4.5, 4.6, 4.7, 4.9.

34 全同粒子体系与波函数的交换对称性全同粒子系的交换对称性 : 在量子力学中, 我们把具有完全相同的静止质量电荷自旋磁矩和寿命等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子. 与粒子态的量子化有着本质的联系例如 : 两个电子散射, 碰撞过程中, 我们无法跟踪其中任何一个在自然界里经常会遭遇由全同粒子组成的多粒子体系. 电子原子和金属中的电子气. 如多量子力学中全同粒子体系的基本特征是 : 任何可观测量, 特别是 Hamilton 量, 对于任意两个粒子的交换是不变的. 这一特征称为全同粒子系的交换对称性.

35 例 : 以氦原子中两个电子组成的体系为例, 其 Hamilton 算符为 : Ĥ = ˆp2 1 2m + ˆp2 2 2m 2e2 2e2 e 2 + r 1 r 2 r 1 r 2 当两个电子交换时,Ĥ 明显不变, 即 ˆP 12 Ĥ ˆP 1 12 = Ĥ 这里 ˆP12 是交换两个电子所有自由度的幺正算符.

36 全同粒子体系的交换对称性在其量子态的波函数上的反映 : 考虑 N 个全同粒子组成的多粒子体系, 设其量子态用波函数 Ψ(q 1,, q i,, q j,, q N ) 描写, q i (i = 1, 2,, N) 代表标记第 i 个粒子的全部坐标 ( 例如包括空间坐标与自旋 ). 设 ˆPij 表示交换第 i 个粒子与第 j 个粒子的全部坐标的线性算符 : ˆP ij Ψ(q 1,, q i,, q j,, q N ) = Ψ(q 1,, q j,, q i,, q N )

37 ˆP ij 性质 : 厄米 : d 3 x 1 d 3 x 2 χ (r 1, r 2 )ˆP 12 ϕ(r 1, r 2 ) = d 3 x 1 d 3 x 2 χ (r 1, r 2 )ϕ(r 2, r 1 ) = d 3 x 2 d 3 x 1 χ (r 2, r 1 )ϕ(r 1, r 2 ) = d 3 x 1 d 3 x 2 (ˆP 12 χ(r 1, r 2 )) ϕ(r 1, r 2 ) 幺正 : ˆP 12 = P 12 ˆP 12 ˆP 12 ϕ(r 1, r 2 ) = ˆP 12 ϕ(r 2, r 1 ) = ϕ(r 1, r 2 ) ˆP 12 ˆP 12 = 1. 对于全同粒子体系,Ĥ(q i, q j ) = Ĥ(q j, q i ), 即 ˆP ij Ĥ(q i, q j ) = Ĥ(q i, q j )ˆP ij, [Ĥ(q i, q j )ˆP ij ] = 0, ˆP ij 是守恒量

38 粒子的全同性意味着 Ψ 与 ˆPij Ψ 描写的是同一个量子态, 它们最多可以相差一个非零的常数因子 c, 两端再作用一次 ˆPij, 得 : ˆP ij Ψ = c Ψ Ψ = ˆP 2 ijψ = c ˆP ij Ψ = c 2 Ψ, c 2 = 1, c = ±1 所以, 全同粒子体系的波函数必须满足下列关系之一 : 或者关于交换任意两个粒子对称 : ˆP ij Ψ = Ψ 或者关于交换任意两个粒子反对称 : ˆP ij Ψ = Ψ

39 迄今一切实验表明, 全同粒子体系的波函数的交换对称性与粒子的自旋角动量有密切的关系 : 1 凡由自旋角动量的测量值为 nħ (n Z) 的粒子组成的全同多粒子体系, 称之为玻色 (Bose) 子体系, 波函数对于两个粒子的交换总是对称的. 在统计方法上, 它们遵从 Bose-Einstein 统计. 例如 : 光子, 自旋 1; π 介子, 自旋 0 2 凡由自旋角动量的测量值为 n 2 ħ, (n 奇数 ) 的粒子组成的全同多粒子体系, 称之为费米 (Fermi) 子体系, 波函数对于两个粒子的交换总是反对称的. 在统计方法上, 它们遵从 Fermi-Dirac 统计. 例如 : 电子, 质子, 中子, 自旋 1/2. 3 由基本粒子组成的复杂粒子 : 玻色子 + 玻色子玻色子 ; 玻色子 + 费米子费米子 ; 费米子 + 费米子玻色子 ; 偶数个费米子玻色子 ; 奇数个费米子费米子

40 非全同两粒子无相互作用系统先考虑两个无相互作用的非全同粒子 :(H 12 = 0) Hamilton 量 :Ĥ = Ĥ1 Î2 + Î1 Ĥ2; Ĥ 1, Ĥ2 分别为粒子 1 和 2 单粒子哈密顿算符 Î 1, Î2 分别为 H 1 和 H 2 的单位算符 Hilbert 空间中的态为对应两个单粒子 Hilbert 空间的张量积 H = H 1 H 2, 态 ψ χ. 能量本征态矢 : E 1, α 1 E 2, α 2, 我们用 k i = {E i, α i } 表示一组完备量子数, 唯一标记一个量子态 ϵ {k} = E 1 + E 2 是这个态的能量本征值坐标表象哈密顿算符 : Ĥ(r 1, r 2 ) = Ĥ1(r 1 ) + Ĥ2(r 2 ) 坐标表象能量本征态波函数 : ( r 1 r 2 )( k 1 k 2 ) = r 1 k 1 r 2 k 2 = ψ k1 (r 1 )χ k2 (r 2 )

41 两个全同粒子组成的体系 : 考虑全同粒子 : 二全同粒子体系的 Hamilton 算符写为 : Ĥ = ĥ(q 1) + ĥ(q 2) 同样忽略两粒子之间的相互作用的 Hamilton 量. ĥ(q) 表示单粒子 Hamilton 算符. ĥ(q 1 ) 与 ĥ(q 2 ) 在形式上完全相同, 只不过 q 1,2 互换而已. 显然, [ˆP 12, Ĥ ] = 0 设单粒子哈密顿算符 ĥ(q) 的本征值方程为 : ĥ(q)φ k (q) = ϵ k φ k (q) ϵ k 为单粒子能量,k 同前, 一组完备的量子数,φ k (q) 为相应的归一化单粒子波函数, 构成单粒子态的一组完备基. 两个粒子对应的单粒子能谱一样, 具有同样的 Hilbert 空间 φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 ),φ k2 (q 1 )φ k1 (q 2 ) 都是能量为 ϵ k1 + ϵ k2 的本征波函数, 交换简并, 但显然不满足交换对称性

42 玻色子体系 : 对于 Bose 子组成的全同粒子体系, 体系的波函数对于两个粒子的交换必须是对称的. 两个粒子中有一个处在 φ k1 态, 另一个处在 φ k2 态, 若 k 1 = k 2 = k, 体系的归一化波函数为 : ψ S kk (q 1, q 2 ) = φ k (q 1 )φ k (q 2 ) 若 k 1 k 2 ( 一组完备量子数中只要有一个量子数不一样 ), 体系的归一化波函数为 : ψk S 1 k 2 (q 1, q 2 ) = 1 ] [φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 ) + φ k1 (q 2 )φ k2 (q 1 ) 2 = 1 2 [ 1 + ˆP 12 ]φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 )

43 Dirac 符号表示 : 能量表象本征态 : 对于 k 1 k 2 : ψ k1k 2 = 1 2 (1 + ˆP 12 ) k 1 k 2 = 1 2 ( k 1 k 2 + k 2 k 1 ) 对于 k 1 = k 2 = k: ψ kk = k k 坐标表象下波函数 :k 1 k 2 时 ( r 1 r 2 ) ψ k1 k 2 ( 1 = r 1 r 2 ) 2 (1 + ˆP ( ) 12 ) k 1 k 2 + k 2 k 1 = 1 ) (ψ k1 (r 1 )ψ k2 (r 2 ) + ψ k1 (r 1 )ψ k2 (r 2 ) 2 或者 k 1 = k 2 = k 时 : r 1 r 2 ) ψ kk = ψ k (r 1 )ψ k (r 2 )

44 费米子体系 : 对于 Fermi 子组成的全同粒子体系, 体系的波函数对于两个粒子的交换必须是反对称的. 于是, 若 k 1 k 2, 体系的归一化波函数为 : ψk A 1 k 2 (q 1, q 2 ) = 1 ] [φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 ) φ k1 (q 2 )φ k2 (q 1 ) 2 = 1 φ k1 (q 1 ) φ k1 (q 2 ) 2 φ k2 (q 1 ) φ k2 (q 2 ) = 1 (1 ˆP 12 )φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 若 k 1 = k 2 = k, 则 ψ A kk = 0, 即这样的状态是不存在的. 这就是著名的 Pauli 不相容原理 : 不允许有两个全同的 Fermi 子处于同一单粒子态. Pauli 原理是理解原子结构与元素周期表不可缺少的理论基础.

45 例 : 两个自由粒子, 处于动量本征态, 讨论概率分布随两粒子相对距离的变化 : 分三种情况 (1) 非全同粒子, 不考虑交换对称性时, 两粒子波函数 ψ kαk β (r 1, r 2 ) = 1 (2π) 3 ei(kα r 1+k β r 2 ) ħk α 和 ħk β 分别是粒子 1 和 2 的动量, 定义相对位移 : r = r 1 r 2, 质心位移 : R = 1 2 (r 1 + r 2 ) 相对动量 : ħk = ħ 2 (k α k β ), 总动量 : ħk = ħk α + ħk β ψ kαk β (r 1, r 2 ) = 1 (2π) 3/2 ei(k r+k R) = e ik R ϕ k ; ϕ k = 在距离一个粒子半径 (r, r + dr) 找到另一粒子的概率 : r 2 dr ϕ k 2 dω = 4πr2 dr (2π) 3 = 4πr2 P(r)dr; P(r) = 1 (2π) 3 1 eik r (2π) 3/2

46 ϕ k = 1 eik r (2π) 3/2 全同费米子 : ϕ A k (r) = 1 (1 P 12 )ϕ k (r) = 1 (ϕ k (r) ϕ k ( r)) = i 2 sin(k r 2 2 (2π) 3/2 4πr 2 P A (r)dr r 2 dr ϕ A k (r) 2 dω = 2r2 dr (2π) 3 = 2r2 dr 2π π (2π) 3 dφ sin 2 (k r cos θ) sin θdθ sin(2kr) ] = 4πr2 dr [ (2π) 3 2kr P A (r) = 1 [ 2π 3 1 sin(2kr) ] 2kr sin 2 (k r)dω

47 全同玻色子 : 交换对称, 类似前面, P S (r) = 1 [ 2π sin(2kr) ] 2kr

48 N 个全同 Fermi 子组成的体系 : 先考虑三个全同 Fermi 子组成的体系, 忽略粒子之间的相互作用. 设三个粒子处于三个不同的单粒子态 φ k1,φ k2 和 φ k3, 则体系的波函数应交换任意两个粒子下对称, 表为 : ψk A 1 φ k1 (q 1 ) φ k1 (q 2 ) φ k1 (q 3 ) 1 k 2 k 3 (q 1, q 2, q 3 ) = 3! φ k2 (q 1 ) φ k2 (q 2 ) φ k2 (q 3 ) φ k3 (q 1 ) φ k3 (q 2 ) φ k3 (q 3 ) = A 3 φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 )φ k3 (q 3 ) A 3 = 1 [I + P 23 P 31 + P 12 P 23 P 23 P 31 P 12 ]. 3! A 3, 对三个 q i 反对称化的算符根据行列式的性质, 这样的波函数对于三个粒子中交换任意两个 q i 具有反对称性. 显然, 没有两个 Fermi 子可以处于同一单粒子态.

49 推广到 N( 4) 个全同 Fermi 子组成的体系 : 设 N 个 Fermi 子分别处于 k 1 < k 2 < < k N 的单粒子态下, 则体系的归一化波函数是 : ψ A k 1 k 2 k N (q 1, q 2,, q N ) = 1 N! φ k1 (q 1 ) φ k1 (q 2 ) φ k1 (q N ) φ k2 (q 1 ) φ k2 (q 2 ) φ k2 (q N ) φ kn (q 1 ) φ kn (q 2 ) φ kn (q N ) = A N φ k1 (q 1 )φ k2 (q 2 )... φ kn (q N ) A N = 1 δ P P. N! P P 代表对 N 个粒子的一个置换总共有 N! 个置换 ( 包括恒等变换 I) 每一个置换可以表示成对换的乘积, 分成奇置换和偶置换, 对于奇置换 δ P = 1, 偶置换 δ P = +1 上面行列式称为 Slater 行列式

50 N 个全同 Bose 子组成的体系 : Bose 子体系不受 Pauli 原理的制约, 可以有任意数目的 Bose 子同处于某一特定的单粒子态. 考虑粒子总数为 N 的全同 Bose 子体系, 设有 n i 个 Bose 子处在单粒子态 φ ki 上 (i = 1, 2,, N), N i=1 n i = N. 这些 n i 取非负整数, 它们中有些可以等于零, 有些可以大于 1. 于是, 体系的符合交换对称性的波函数可以写为 : ψn S 1 n 2 n N [ ] P φ k1 (q 1 ) φ k1 (q n1 ) φ k2 (q n1 +1) φ k2 (q n1 +n 2 ) P 这里的 P 是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换, 只有这样才能保证式中诸项彼此正交. 这样的置换总数为 : N! n 1!n 2! n N! = N! i n i!

51 因此,N 个全同 Bose 子所组成的体系的归一化波函数是 : ψn A i 1 n 2 n N (q 1, q 2,, q N ) = n i! P [φ k1 (q 1 ) φ kn (q N )] N! P

52 总结我们讨论了力学量随时间的演化和对称性 : 力学量平均值随时间的演化 : iħ d A(t) = [Â, Ĥ] dt 图像 :Schrödinger 图像,Heisenberg 图像维里定理守恒量与对称性全同粒子的交换对称性玻色子, 费米子

53 作业 : 曾谨言量子力学教程 ( 第三版 ): P96: 4.2, 4.3.

量子力学第五章：全同粒子

量子力学第五章：全同粒子 1 / 1 量子力学第五章 : 全同粒子杨焕雄中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn December 1, 018 双粒子体系 : / 1 单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s 3 ; tq 描写 : p~r; s 3 ; tq 是粒子空间位置坐标 ~r, 自旋角动量 s 3 以及 n 时间参数 t 的函数. p~r; s 3 ; tq 随时间的演化遵从薛定谔方程

量子力学 第五章： 力学量随时间的演化与对称性

量子力学第五章：力学量随时间的演化与对称性